02 2 Slides_Investimentos MBA FGV_Agosto2022

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Investimentos
Professor Ricardo Razuk
Retorno - Risco e Diversificação 
Alocação de Capital entre Ativo Arriscado e Ativo sem Risco 
Alocação de Capital entre Ativos com Risco 
Acrescentando Ativos sem Risco 
CAPM (Capital Asset Pricing Model)
APT (Teoria de Precificação por Arbitragem) 
Eficiência de Mercado e Finanças Comportamentais 
2
Conteúdo
Retorno - Risco e Diversificação
3
Os indivíduos possuem o desejo de transferir recursos no
tempo e entre “estados da natureza”, problema este que pode
ser separado em duas partes:
decisão de poupança
escolha de carteira ótima
4
• A teoria de carteiras é a análise quantitativa para a
administração eficiente do risco, avaliando as compensações
entre benefícios e custos da redução do mesmo.
• Esta teoria abrange o problema de como fazer uma escolha
entre as alternativas financeiras a fim de maximizar as
preferências declaradas, escolha essa que envolve avaliar a
compensação entre receber um retorno esperado mais elevado
e assumir um risco maior.
Teoria da Carteira
5
• Os investidores são avessos ao risco: demandam um prêmio de
risco para investir em ativos arriscados.
– Prêmio de risco: diferença entre o retorno esperado de um
ativo arriscado e o retorno de um ativo sem risco.
• A função utilidade dos investidores depende negativamente do
risco e positivamente do retorno do ativo.
6
Retorno
Definição de retorno líquido nominal:
r = dividendo pago no período + (preço final – preço inicial) 
preço inicial
Exemplo: Consideremos a ação VALE5 (Vale PN). Suponha que você
compre ações da Companhia Vale ao preço de R$ 15,00 por ação e que
pretenda ficar com elas durante um ano. O dividendo pago no período foi
R$ 2,50, enquanto o preço final foi de R$ 14,00. Calcule o retorno líquido
nominal desta operação.
7
Retorno
• O retorno acima só pôde ser calculado ex post, uma vez que o
preço final e os dividendos foram observados. No entanto,
quando tomamos as decisões financeiras as fazemos sem saber
o que de fato acontecerá amanhã ou depois.
• Certeza absoluta ~ caso degenerado de uma distribuição de
probabilidade.
• Uso de dados históricos. Problemas!
8
• Exemplo: Suponha que várias taxas de retorno das
ações VALE5 sejam possíveis dependendo da
conjuntura econômica, da administração da
companhia e de seus concorrentes, fornecedores e
clientes...
9
• Simplificando, vamos nos ater apenas a três estados 
possíveis da economia: forte, normal e fraco. 
Tabela: Distribuição de probabilidade das taxas de retorno da VALE5
Estado da 
economia
Taxa de retorno da 
VALE5
Probabilidade de 
ocorrência
Forte 20% 0,20
Normal 10% 0,70
Fraco -15% 0,10
10
• De posse destes dados, calculemos a taxa de 
retorno esperado E(r). Como?
Assim, 
E(rVALE5) = 0,20*20+0,7*10+0,1*(-15)=9,5%
11
onde Pn é a probabilidade do cenário n ocorrer, Retn é o 
retorno do ativo i se n ocorrer e N é o número total de 
cenários.
Valor Esperado de um Ativo
1
Re...ReReRe
Re)(Re
1
332211
1
N
n
n
NN
n
N
n
ni
P
tPtPtPtP
tPtE
12
• Observemos agora esse mesmo cenário para o caso de ação 
PETR4, a qual possui a seguinte distribuição de probabilidade:
Tabela: Distribuição de probabilidade das taxas de retorno da PETR4
Estado da 
economia
Taxa de retorno da 
PETR4
Probabilidade de ocorrência
Forte 35% 0,20
Normal 10% 0,70
Fraco -45% 0,10
13
Calculando o retorno esperado de PETR4:
E(rPETR4) =0,2*35+0,7*10+0,10*(-45)=9,5% 
E aí, caso fosse possível comprar apenas uma delas, o que 
você faria?
14
• A volatilidade de um ativo será maior quanto maior for a gama
de possíveis resultados e quanto maiores forem as
probabilidades desses retornos ocorrerem em valores
extremos.
• A estatística mais frequentemente usada na teoria de Finanças
para quantificar e mensurar a volatilidade da distribuição dos
retornos de qualquer ativo é o desvio padrão.
15
Se as probabilidades dos cenários são iguais:
onde N é o número total de cenários.
O desvio-padrão i é a raiz quadrada da variância.
O quão adequada é esta métrica? 
Variância de um Ativo
2
1
2 )(ReRe tEtP n
N
n
ni
N
n
ni tEt
N 1
22 )(ReRe
1
16
17
18
19
Apesar do uso unânime desta estatística como medida de
volatilidade no mercado financeiro, é importante que
observemos que o desvio padrão é construído a partir de
desvios de valor absoluto, ou seja, uma observação xi, que seja
inferior à média em n unidades, terá o mesmo desvio absoluto
e, portanto entrará com o mesmo peso no cálculo da
volatilidade que uma observação xj que seja superior à média
também em n unidades.
20
E a capacidade desta estatística de captar o comportamento dos
investidores, os quais normalmente reagem de forma diferente
a informações boas e ruins de mesma magnitude ou
importância, ou a ganhos e perdas de mesmo valor?
21
Medidas de Risco
• Valor em Risco (VaR, quantil de uma distribuição)
• Expectativa condicionada das caudas da distribuição (ECCD)
• Desvio-padrão parcial inferior (DPPI)
22
0
5
10
15
20
25
30
-3
5
.0
%
-3
3
.0
%
-3
1
.0
%
-2
9
.0
%
-2
7
.0
%
-2
5
.0
%
-2
3
.0
%
-2
1
.0
%
-1
9
.0
%
-1
7
.0
%
-1
5
.0
%
-1
3
.0
%
-1
1
.0
%
-9
.0
%
-7
.0
%
-5
.0
%
-3
.0
%
-1
.0
%
1
.0
%
3
.0
%
5
.0
%
7
.0
%
9
.0
%
1
1
.0
%
1
3
.0
%
1
5
.0
%
1
7
.0
%
1
9
.0
%
2
1
.0
%
2
3
.0
%
2
5
.0
%
2
7
.0
%
M
a
is
Fr
e
q
ü
ê
n
ci
a
Histograma: Retorno Mensal IBOV (1995-2016)
Média = 1.3% 
Desvio Padrão = 8.8%
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-1
0
.0
%
-9
.3
%
-8
.5
%
-7
.8
%
-7
.0
%
-6
.3
%
-5
.5
%
-4
.8
%
-4
.0
%
-3
.2
%
-2
.5
%
-1
.8
%
-1
.0
%
-0
.2
%
0
.5
%
1
.3
%
2
.0
%
2
.8
%
3
.5
%
4
.3
%
5
.0
%
5
.8
%
6
.5
%
7
.3
%
8
.0
%
8
.8
%
9
.5
%
M
a
is
Fr
eq
ü
ên
ci
a
Histograma: Retornos Diários Ibov (1995-2016)
Média = 0.07% 
Desvio padrão = 2.2%
• Exemplo: Qual seria a volatilidade das ações VALE5 e PETR4? 
Relembrando ....
(rVALE5) = (0,2*(20-9,5)2+0,7*(10-9,5)2+0,1*(-15-9,5)2)1/2=9,07
(rPETR4) =(0,2*(35-9,5)2+0,7*(10-9,5)2+0,1*(-45-9,5)2)1/2=20,67
2
1
))((
n
ii rErp
25
Exercício: Suponha que você tenha um projeto que tem a
chance de 70% de dobrar seu investimento inicial em um ano e
a chance de 30% de reduzir pela metade tal investimento. Qual
o desvio padrão e o retorno líquido esperado desse projeto?
26
É útil comparar variâncias dos retornos dos ativos individuais
com as variâncias dos retornos de uma carteira composta pelos
mesmos ativos.
A tabela abaixo (em %) contém retornos médios mensais e
desvios-padrão para 10 ações do Ibovespa no período fev/95-
ago/06, e também para uma carteira igualmente ponderada
formada por estas ações.
27
Nome Média Desvio-Padrão Min. Max.
Petrobrás PN 3,40 
Vale PNA 3,05 
Aracruz PNB 3,09 
Bradesco PN 3,16 
Cemig PN 2,48 
Gerdau PN 4,12 
Usiminas PNA 3,09 
Itau Holding PN 3,38 
BB ON 2,12 
Klabin PN 2,49 
Carteira 3,04 
28
As volatilidades dos ativos individuais são claramente maiores
do que a volatilidade da carteira.
Pergunta: Se uma carteira diversificada é composta de ativos
individuais, então por que a volatilidade da carteira não é igual
à média das volatilidades individuais?
29
Os preços dos ativos não se movem precisamente juntos.
Frequentemente, a queda no preço de um ativo é cancelada
pelo aumento no preço de outro. Naturalmente, quanto maior
for o número de ativos em um carteira, maior é a probabilidade
de cancelamentos no movimento dos preços.
30
Produto esperado dos desvios dos retornos em relação á 
respectiva média.Medida de como 2 variáveis “andam juntas”. 
Sejam 2 ativos A e B
Se as probabilidades dos cenários são iguais:
Covariância entre 2 Ativos
)(ReRe)(ReRe
1
B
B
nA
A
n
N
n
nAB tEttEtP
)(ReRe)(ReRe
1
1
B
B
nA
A
n
N
n
AB tEttEt
N
31
Sejam 2 ativos A e B
A correlação, como a covariância, também é uma medida de como 
duas variáveis “andam juntas”.
A correlação é apenas uma padronização da covariância (a 
correlação é mais intuitiva pois varia entre -1 e 1).
Correlação entre 2 Ativos
BA
AB
AB
32
Exemplos de correlação entre dois ativos
33
Em uma situação de risco, precisamos administrá-lo formulando
as compensações de custo-benefício na redução do mesmo.
Quais seriam as técnicas mais eficientes de gestão, de
transferência de risco?
Diversificação
Operações de seguro
Estratégias de hedge
34
Diversificação de Risco
• Como os preços dos ativos não se movem em sincronia, a
combinação de vários ativos em carteira tem um efeito
atenuante em sua variabilidade - DIVERSIFICAÇÃO
• Harry Markowitz (o Pai das Finanças Modernas) detalhou a
mecânica da diversificação no início dos anos 50. Ele ganhou
o prêmio Nobel em 1990. Continua sendo um dos pilares de
Finanças.
35
Diversificação de risco
Quando falamos em diversificar, estamos nos referindo a uma
aquisição de vários ativos com características particulares, em
vez de concentrar toda a nossa poupança na aquisição de um só
ativo, uma só ação.
Segundo o princípio da diversificação, ao diversificar o
indivíduo consegue uma redução de sua exposição ao risco total,
sem necessariamente reduzir o retorno esperado...
36
onde Wi é o peso do ativo i na carteira c e I é o número total de 
ativos na carteira c.
Valor Esperado de uma Carteira
i
I
i
ic tEWtE Re)(Re
1
37
Variância de uma Carteira
n
i
n
ij
j
jijii
n
i
ic WWW
1 1
,
2
1
22
Wi = Proporção investida no ativo “i”;
2 = Variância da taxa de retorno do ativo “i”;
ij = Covariância entre as taxas de retorno do ativo i 
e do ativo j.
38
Variância de uma Carteira
Para 2 ativos:
Para 3 ativos:
2,121
2
2
2
2
2
1
2
1
2 2 WWWWc
3,2323,131
2,121
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
2
WWWW
WWWWWc
39
Diversificação de risco
• Exemplo: Além das ações VALE5 e PETR4, existe uma
terceira ação, BBDC4, com a seguinte distribuição de
probabilidade:
Tabela: Distribuição de probabilidade das taxas de retorno da BBDC4
Estado da 
economia
Taxa de retorno da 
BBDC4
Probabilidade de 
ocorrência
Forte -15% 0,20
Normal 15% 0,70
Fraco 20% 0,10
40
• Examinemos as três ações disponíveis:
– As ações VALE5 e PETR4 possuem um comportamento
semelhante....
– A ação BBDC se comporta de maneira inversa.
• O quão diferentes seriam esses comportamentos? Como
mensurar?
41
25,187
)5,945(*)5,915(*1,0)5,910(*)5,910(*7,0)5,935(*)5,920(*2,0
)(ReRe)(ReRe
1
Petr
Petr
nVale
Vale
n
N
n
nPetrVale tEttEtP
Tabela: E(r), volatilidade e correlação das ações VALE5, PETR4 e BBDC4
Ação Retorno esperado Volatilidade
VALE5 9,5% 9,07%
PETR4 9,5% 20,67
BBDC4 9,5% 12,34%
Correl. (VALE5,PETR4) = 
0,9989
Correl. (VALE5,BBDC4) =
-0,6725
Correl. (BBDC4,PETR4) = 
-0,7067
9989,0
07,9*67,20
25,187
* PetrVale
PetrVale
PetrVale
42
Diversificação de risco
Com base nos resultados para as correlações, o que seria
esperado em termos de redução de volatilidade ao montarmos
carteiras que contenham duas ou até mesmo as três ações?
43
• Simulações simples, básicas:
• Quais seriam as lições e conclusões?
Diversificação de risco
Tabela: Retorno esperado e volatilidade das carteiras
Carteira Retorno esperado Volatilidade
A: 0,5 VALE5 + 0,5 PETR4 9,5% 14,87%
B: 0,5 VALE5 + 0,5 BBDC4 9,5% 4,58%
C: 0,5 PETR4 + 0,5 BBDC4 9,5% 7,40%
D: 1/3 VALE5 + 1/3 PETR4 + 1/3 BBDC4 9,5% 7,64%
44
Diversificação de risco
Neste exemplo, conseguimos a menor volatilidade ao
montarmos a carteira B, dentre as montadas no exemplo. Seria
essa a carteira de volatilidade mínima que podemos obter a
partir destas três ações?
45
Diversificação de risco
• De fato não! No momento, não estamos querendo abordar a
técnica usada para determinarmos tal carteira, mas sim
interessados em saber até que ponto conseguiríamos reduzir a
volatilidade ou o risco existente nessa economia.
• Fazendo algumas simulações, podemos evidenciar que
aumentando um pouco o peso da ação VALE5 e reduzindo um
pouco o peso da ação BBDC4, conseguimos obter uma
volatilidade bem próxima de 4%, mas não menos que isso.
Qual a razão disso?
46
Exemplo: O gráfico a seguir nos mostra a evolução da
volatilidade anual média de carteiras formadas a partir de
ações negociadas na Bolsa de Nova York (NYSE).
47
48
Diversificação de risco
No gráfico anterior, vimos que uma boa parte do risco
existente em grupos com poucas ações pode ser reduzida via
diversificação, de forma que chamamos tal fração de
diversificável ou idiossincrática.
Estamos diante do fato de que em todo cenário econômico
existem riscos chamados de sistemáticos, não-diversificáveis
ou de mercado, os quais não podem ser extintos ou reduzidos a
partir de diversificação, independente de quantos ativos sejam
usados na carteira.
49
Exercício
Suponha uma economia com apenas 2 ativos arriscados.
O ativo A tem retorno esperado de 10% e desvio-padrão de 
5% e o ativo B tem retorno esperado de 20% e desvio-padrão 
de 8%. Calcule o retorno esperado e o desvio-padrão de uma 
carteira composta por 50% em cada ativo se a correlação entre 
eles é de 0,5 e -0.5.
50
Será que haveria uma única e mais acertada estratégia ótima de 
montagem de carteira para uma determinada cesta de ativos?
51
• Não! Na realidade, indivíduos diferentes não necessariamente
possuem uma mesma estratégia ótima para a seleção e
composição de carteiras, mesmo que o conjunto de ativos
disponíveis seja o mesmo e que possuam as mesmas
limitações.
• Entretanto, para todos os agentes ditos avessos ao risco...
52
Até o presente momento, discutimos o risco sob uma
abordagem estatística simples. Investidores avessos ao risco
rejeitam investimentos que possuem prêmio de risco nulo, ou
negativo, de forma que estes somente aceitam oportunidades
que sejam livres de risco ou que possuem um prêmio de risco
positivo que compense pelo risco incorrido.
Outra forma de interpretar esse comportamento é aceitar que o
investidor avesso penaliza o investimento pelo risco associado
a este, exigindo, portanto um maior retorno esperado por isso.
53
Aversão e tolerância ao risco
• Analogamente, a tolerância ao risco de um indivíduo consiste
na sua pré-disposição para assumir riscos.
54
Aversão e tolerância ao risco
Alocação de Capital entre 
Ativo Arriscado e Ativo sem Risco
Profº Ricardo Razuk
55
Sabemos então que se os investidores são avessos ao risco
então demandam um prêmio de risco para investir em ativos
arriscados e que a sua felicidade (função utilidade) depende
negativamente do risco e positivamente do retorno esperado do
ativo.
56
A função utilidade dos investidores depende negativamente do 
risco e positivamente do retorno do ativo. A literatura 
comumente segue Markowitz, assumindo que:
U = E[r] – (½)A 2
Quanto maior a aversão ao risco (A), maior a intensidade do 
impacto da variância na perda de utilidade do investidor.
OBS: O retorno esperado e o desvio-padrão entram na forma decimal.
Utilidade
57
• Para construção da carteira ótima:
– Decisão de Alocação de Capital: escolha das proporções da 
carteira destinadas aos ativos sem risco e aos ativos 
arriscados (é sobre o que falaremos a seguir)
– Decisão de Seleção de Ativos: escolha dos ativos 
individuais para se investir.
Carteira Ótima
58
• Dado o conjunto de oportunidades das alternativas de
investimento (retornos esperados e covariâncias), quais
carteiras um investidor racional compraria?
• Hipóteses Implícitas:
– 1) O risco e o retorno de uma carteira pode ser completamente
caracterizado pela média e variância do retorno.
– 2) Os investidores são aversos ao risco e racionais. Preferem mais
retornoe menos risco.
59
• Suponha que um investidor tenha que decidir a proporção y da 
sua carteira a ser investida no ativo arriscado P (assim, ele 
investe 1-y no rf):
E[rc] = yE[rp] + (1 - y)rf
c = y p
Portanto, y define o retorno esperado e o risco da carteira 
Carteira com um Ativo sem Risco
e um Ativo Arriscado
60
• Conjunto de Oportunidades de Investimento: Conjunto de pares 
factíveis de retorno esperado e de desvio-padrão da carteira, que 
satisfazem a equação:
(chega-se nessa equação combinando-se as 2 anteriores)
Carteira com um Ativo sem Risco
e um Ativo Arriscado
c
p
fp
fc
r-]E[r
r]E[r
61
• Linha de Alocação de Capital (LAC): Linha que representa o 
conjunto de oportunidades de investimento (reta no gráfico em 
que eixo das abscissas é o desvio-padrão e eixo das ordenadas é 
retorno esperado, ambos da carteira)
O gráfico é uma reta com coeficiente linear rf e coeficiente angular 
Carteira com um Ativo sem Risco
e um Ativo Arriscado
c
p
fp
fc
r-]E[r
r]E[r
p
fp r-]E[r
62
Carteira com um Ativo sem Risco
e um Ativo Arriscado
c
p
fp
fc
r-]E[r
r-]E[r
c
E(rc)
rf
Linha de Alocação de Capital (LAC)
Mais 1% de risco, ganho 
de excesso de retorno
esperado.
p
fp r-]E[r
63
• Razão recompensa por variação ou Índice de Sharpe, também 
conhecido como Índice de Retorno de Volatilidade: é a 
inclinação da linha de alocação de capital:
• quanto maior o índice de Sharpe, maior a atração do investidor 
pelo ativo de risco.
Carteira com um Ativo sem Risco
e um Ativo Arriscado
p
fp r-]E[rIS
64
• Posição de investimento alavancada em um ativo (y > 100%): 
posição de investimento na qual se investe mais que 100% do 
orçamento no ativo.
– A posição de alavancagem só é possível caso o investidor não tenha 
restrição ao crédito.
– Na teoria, vamos supor que uma instituição possa pegar emprestado à 
taxa do ativo livre de risco (essa suposição é factível apenas para grandes 
“players”)
Carteira com um Ativo sem Risco
e um Ativo Arriscado
65
• Venda à descoberto (“short sales”): venda de um ativo sem 
possuí-lo. 
– Por exemplo: pode-se vender a ação A (sem possuí-la) para comprar a 
ação B (a venda de A é uma venda à descoberto)
– Na prática, aluga-se a ação A e vende-se ela no mercado
– Supondo B constante, Se A sobe (cai) o investidor perde (ganha). Ou seja,
o investidor está vendido em A.
Carteira com um Ativo sem Risco
e um Ativo Arriscado
66
• Dada a LAC, o investidor deve escolher a carteira ótima. 
– Nessa escolha, ele leva em consideração o trade-off entre risco e retorno 
esperado e o seu nível particular de aversão ao risco. A variável de 
escolha é a proporção y da sua carteira a ser investida no ativo arriscado 
Exemplo:
Max yU = E[rc] – 0.5A c2
Combinação ótima entre 
Ativo sem Risco e Ativo Arriscado
67
Max yU = E[rc] – 0.5A c2
Max yU = yE[rp] + (1 - y)rf – 0.5A y2 p2
Combinação ótima entre
Ativo sem Risco e Ativo Arriscado
2
fp r-]E[ry*
pA
c
E(rc)
rf
LAC
y*
U( )
Markowitz (1953)
U( ) tem esta forma pois para cada 
unidade de risco adicional, o investidor 
avesso ao risco exige mais retorno 
(U’’( ) > 0). 68
Toda a teoria até agora apresentada também vale para, ao invés de 
um ativo arriscado, uma carteira com ativos arriscados.
Combinação ótima entre
ativo sem risco e uma carteira arriscada
69
Linha do Mercado de Capitais
(Capital Market Line)
Se a carteira com ativos arriscados for a carteira de 
mercado, a LAC é chamada Linha do Mercado de 
Capitais
c
E(rc)
rf
CML (Capital 
Market Line)
E(rm)
m
70
Linha do Mercado de Capitais
(Capital Market Line)
Na prática, muitos consideram o ativo de mercado como o S&P500 
(EUA) e o IBOVESPA (Brasil)
Possuir uma carteira com o montante dividido em S&P500 e em 
renda fixa (T-Bills, por exemplo) é uma Estratégia Passiva de 
Montagem de Carteiras.
71
Exercícios
Suponha uma economia com apenas um ativo arriscado, com 
retorno esperado de 10% e desvio-padrão de 16%, e um ativo
livre de risco que rende 6%. Qual é a sua alocação ótima para 
um investidor com aversão ao risco de 4?
E se o ativo sem risco rende 7%?
E se a aversão ao risco do investidor cair para 2?
72
Exercícios
Seja um investidor que aplica 50% em PETR4 e 50% em um 
ativo sem risco. Suponha que o retorno esperado da PETR4 é 
de 25% e volatilidade de 50% e que o ativo sem risco rende
10%. Qual é a aversão ao risco desse investidor? 
Agora, suponha que esse investidor se depare com a seguinte 
loteria:
Cenário Prob Ret
A 50% 10% 
B 50% 0%
Qual o equivalente certeza dessa loteria?
73
Alocação de Capital 
(Ativos com Risco)
Profº Ricardo Razuk
74
Risco de uma Carteira 
n
i
n
ij
j
jijii
n
i
ic WWW
1 1
,
2
1
22
Wi = Proporção investida no ativo “i”;
2 = Variância da taxa de retorno do ativo “i”;
ij = Covariância entre as taxas de retorno do ativo i e do 
ativo j.
75
Risco de uma Carteira 
Assim sendo, o Risco da carteira considera os riscos de
todos os ativos tratados individualmente e a relação
existente entre eles definida pela covariância.
Para 2 ativos:
2,121
2
2
2
2
2
1
2
1
2 2 WWWWc
76
Risco de uma Carteira 
Diversificação 
Carteira com n ativos que possuem a mesma participação
financeira em uma carteira, ou seja, a participação de cada
ativo é 1/n.
n
i
n
ij
j
jii
n
i
c
nnn 1 1
,
2
1
22 )
1
)(
1
()
1
(
77
Risco de uma Carteira
Diversificação 
Retirando 1/n do primeiro somatório e (n-1)/n do
segundo, tem-se que:
n
i
n
ij
j
ji
n
i
i
c
nnn
n
nn 1 1
,
1
2
2 ]
)1(
[
1
][
1
O primeiro termo entre colchetes é a média das variâncias
dos ativos e o segundo a média das covariâncias entre os
ativos:
78
Risco de uma Carteira
Diversificação 
O primeiro termo da equação indica a contribuição dos
riscos individuais para o risco total da carteira.
Quanto maior a diversificação da carteira, menor a
contribuição individual da variância de um ativo para o
risco total da carteira. É o chamado risco diversificável.
jiic
n
n
n
,
22 11
79
Risco de uma Carteira
Diversificação 
O segundo termo da equação indica que quanto maior a
diversificação, mais ele se aproxima da média da
covariância dos ativos da carteira.
Este é o chamado risco não diversificável, risco de
mercado ou risco sistemático. Este risco deriva do fato de
existirem alguns fatores no mercado que afetam todos os
negócios simultaneamente.
jiic
n
n
n
,
22 11
80
Risco de uma Carteira
Diversificação 
Em uma carteira suficientemente diversificada, só o risco 
sistemático interessa, já que o risco diversificável foi 
eliminado. 
A diversificação decorre do fato de que as ações não são
perfeitamente correlacionadas, ou seja, quando os preços de
algumas caem, os preços de outras, eventualmente, podem
estar até subindo, o que contrabalança o efeito total.
81
Risco de uma Carteira
Diversificação 
Conclusão:
O risco individual de cada ativo pode ser
diversificado: é o chamado risco diversificável, risco não-
sistemático ou, ainda, risco idiossincrático.
O risco proveniente da covariância entre os ativos
não pode ser diversificado: é o chamado risco não
diversificável, risco de mercado ou risco sistemático.
82
Risco Sistemático
O risco sistemático é atribuído a fatores que afetam o mercado
como um todo. Em geral, os fatores macroeconômicos - taxa de
juros, inflação, desempenho da economia, cenário externo - afetam
os preços de todas as ações. Este tipo de risco não pode ser coberto
com a diversificação, por maior que seja a carteira.
83
Risco Não-Sistemático
O risco não sistemático está ligado a acontecimentos que afetam
um setor ou empresa isoladamente. Neste caso, a estratégia de
diversificar o patrimônio entre ações de setores/empresas diferentes,
minimiza o risco em relação àqueles que mantém posições
concentradas em poucas ações.
84
Mínima Variância de uma Carteira 
com 2 ativos
2/1
2,121
2
2
2
2
2
1
2
1 )2( WWWWc
em que W2 = 1 - W1.
Para se determinar o valor de W1 que minimiza a equação,
basta derivá-la em relação a W1 e igualá-la azero.
Condição de segunda ordem deve ser satisfeita (derivada
segunda deve ser positiva)
85
Mínima Variância de uma Carteira 
com 2 ativos
e W2(MV) = 1 - W1(MV).
W1 e W2 são os pesos percentuais dos ativos na carteira,
para que ela possua o menor risco possível.
212,1
2
2
2
1
212,1
2
2
1 2
)(MVW
86
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras 
Conjunto de Oportunidade de Carteiras: conjunto de todas 
as combinações de retorno esperado e desvio-padrão das 
carteiras 
Considere uma carteira formada pelos ativos 1 e 2 que 
possuem os seguintes retornos esperados e desvios-padrão 
(Venda a descoberto não permitida)
Retorno 
Esperado
Desvio-
Padrão
Ativo 1 10% 5%
Ativo 2 4% 2%
87
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a 1) 
Caso em que a correlação é igual a 1:
X1 0% 10% 20% 30% 40% 50%
E(Ret) 4,00% 4,60% 5,20% 5,80% 6,40% 7,00%
Desvio-
Padrão
2,00% 2,30% 2,60% 2,90% 3,20% 3,50%
X1 60% 70% 80% 90% 100%
E(Ret) 7,60% 8,20% 8,80% 9,40% 10,00%
Desvio-
Padrão
3,80% 4,10% 4,40% 4,70% 5,00%
88
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a 1) 
Risco X Retorno
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%
Risco
R
e
t
o
r
n
o
89
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a 1) 
No caso de ativos perfeitamente correlacionados, o retorno e o
risco da carteira de dois ativos são médias ponderadas, pelas
respectivas participações, do retorno e do risco dos ativos
individuais.
2211
2
22112121
2
2
2
2
2
1
2
1
2,12121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
WW
WWWWWW
WWWW
p
p
90
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a 1) 
Desta forma, não há redução de risco ao se comprar os
dois ativos.
O ponto de mínima variância, neste caso, é o ponto em
que
W1 = 0% e W2 = 100%
(pois o ativo 2 é o ativo menos arriscado)
91
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a -1) 
Caso em que a correlação é igual a -1:
X1 0% 10% 20% 30% 40% 50%
E(Ret) 4,00% 4,60% 5,20% 5,80% 6,40% 7,00%
Desvio-
Padrão
2,00% 1,30% 0,60% 0,10% 0,80% 1,50%
X1 60% 70% 80% 90% 100%
E(Ret) 7,60% 8,20% 8,80% 9,40% 10,00%
Desvio-
Padrão
2,20% 2,90% 3,60% 4,30% 5,00%
92
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a -1) 
Risco X Retorno
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%
Risco
R
e
to
r
n
o
93
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a -1) 
Nem todas as carteiras são eficientes.
Compare, por exemplo, a carteira em que W1 é 10% e W2
é 90% com a em que W1 é 30% e W2 é 70%.
A primeira possui risco maior e retorno menor.
A fronteira eficiente, neste caso, se constitui nas
composições da carteira em que os valores em W1 são
maiores ou iguais ao ser valor no ponto de mínima
variância.
94
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a -1) 
O ponto de mínima variância é o ponto em que
W1 = 28,57% e W2 = 71,43%.
No caso de ativos negativamente perfeitamente
correlacionados, há sempre uma combinação de ativos em
que o risco da carteira é zero, o que mostra que a
diversificação possui a propriedade da redução do risco.
95
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a -1) 
Caso em que r = -1: há sempre uma combinação de ativos
em que o risco da carteira é zero.
Para ver isso, basta substituir W1(MV) e W2(MV) na
fórmula da variância da carteira.
96
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a 0) 
Caso em que a correlação é igual a 0:
X1 0% 10% 20% 30% 40% 50%
E(Ret) 4,00% 4,60% 5,20% 5,80% 6,40% 7,00%
Desvio-
Padrão
2,00% 1,87% 1,89% 2,05% 2,33% 2,69%
X1 60% 70% 80% 90% 100%
E(Ret) 7,60% 8,20% 8,80% 9,40% 10,00%
Desvio-
Padrão
3,10% 3,55% 4,02% 4,50% 5,00%
97
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a 0) 
Risco X Retorno
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%
Risco
R
e
to
r
n
o
98
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras (correlação igual a 0) 
O ponto de mínima variância é o ponto em que
W1 = 13,79% e W2 = 86,21%.
Também é possível observar que nem todas as carteiras
são eficientes. A fronteira eficiente ocorre para as carteiras
em que W1 é maior ou igual a 13,79%.
Este formato de gráfico vale também para -1 < r < 1
99
Conjunto de Oportunidade de 
Carteiras
100
Escolha da combinação ótima 
entre os Ativos Arriscados
MaxwU = E[rc] – 0.5A c2
Para 2 ativos:
Max wU =
)) W-(12) W-(1(0.5A – ]E[r) W-(1]E[rW 2,111
2
2
2
1
2
1
2
12111 WW
0)2W-(12)1(220.5A– ]E[r-]E[r 12,11
2
21
2
121
1
WW
W
U
0)2W-(1)1(A– ]E[r-]E[r 12,11
2
21
2
121 WW
2,1
2
2
2
1
2,1
2
221
1 2
A]E[r-]E[r
A
W
101
Fronteira Eficiente
A fronteira eficiente é uma combinação de ativos
disponíveis que representam as melhores alternativas
de investimento para determinados níveis de risco e de
acordo com as restrições impostas.
102
Fronteira Eficiente
A teoria de Markowitz considera que todas as
oportunidades de investimento possíveis estão disponíveis
para todos os investidores, no contexto risco-retorno.
As carteiras dominarão os ativos individuais, na medida
em que através da diversificação, elas conseguem reduzir
o risco.
Se a diversificação de Markowitz for aplicada a todos os
ativos que formam o conjunto de oportunidades de
investimentos, as carteiras resultantes formarão o
conjunto eficiente de carteiras, que irão dar origem à
fronteira eficiente.
103
104
Fronteira Eficiente
As carteiras eficientes são definidas por meio da
utilização do conceito de dominância, que diz que um
investidor preferirá, para o mesmo nível de risco, a
carteira que lhe proporcione o maior retorno esperado ou,
inversamente, para o mesmo retorno esperado a carteira
de menor risco.
Deste modo, podemos definir fronteira eficiente como o
lugar geométrico de pontos no espaço físico Retorno X
Risco que contém o máximo de retorno para cada nível
de risco.
A curva pode diferir de um investidor para outro caso
tenham algum tipo de restrição de crédito, pois os pesos
nesse caso não podem ser negativos.
105
Exercício
Existem apenas 2 ações no mercado, com os seguintes dados: 
Retorno Esperado Desvio-Padrão
ação 1 10% 18%
ação 2 5% 8%
Correlação entre as ações: 0,35. U = E[rc] – 0.5A c
2, onde A = 5 
a) Suponha que não exista ativo livre de risco. Qual a fronteira eficiente 
de investimento? 
b) Qual a carteira ótima para ativos arriscados? 
106
Exercício
Suponha que você seja gestor de um fundo mútuo e que haja 2 ativos no
mercado: um ativo arriscado (S) com retorno esperado de 20% e desvio
padrão de 30%, um título (B) com retorno esperado de 12% e desvio
padrão de 15%. A correlação entre os ativos arriscados é de 0,10.
a) Obtenha as proporções de cada ativo da carteira arriscada ótima, para o caso
de um agente com utilidade a la Markowitz com aversão ao risco, A = 4.
b) Qual o desvio padrão e o retorno esperado desta carteira (item a)?
107
Acrescentando Ativos sem Risco
Profº Ricardo Razuk
108
Teoria Moderna de Carteiras 
Modelo de James Tobin 
Incorpora ao conceito de fronteira eficiente a
possibilidade de se emprestar ou tomar emprestado a
taxa de juros livre de risco
Surge uma nova fronteira eficiente que passa a ser a reta
que passa pelo ponto Rf e tangencia a fronteira eficiente
de ativos com risco no ponto M (retorno da carteira
eficiente dos ativos com risco).
Esta reta é chamada de Capital Market Line (CML).
109
Teoria Moderna de Carteiras 
Modelo de James Tobin 
rfrf
rf
E(rM)
110
Teoria Moderna de Carteiras 
Modelo de James Tobin 
Toda a carteira sobre a CML representa alguma combinação
de M e Rf.
A carteira M é a única sobre a CML que não está utilizando
as oportunidades de emprestar ou tomar emprestado.
Entre Rf e M: há capital investido à taxa livre de risco Rf.
Mais de 100% no ativo “M”: toma-se emprestado a taxa livre
de risco e investe-se no ativo com risco, o que aumenta a
expectativa de retorno e risco da carteira.
111
112Teoria de Moderna de Carteiras 
Modelo de James Tobin 
O retorno esperado de uma carteira que combina o ativo
livre de risco e a carteira M (carteira na CML):
E(rc)= Retorno esperado da carteira “p”;
rF = Retorno do ativo livre de risco;
E(rM)= Retorno esperado da carteira de mercado;
y = Percentual investido na carteira de mercado.
)()1()( MFc ryEryrE
113
Teoria de Moderna de Carteiras 
Modelo de James Tobin 
Como F e M,F são nulos,
p = y M.
Substituindo Y na equação do retorno:
Esta é a Equação da CML
c
M
FM
Fc
rrE
rrE
)(
)(
114
Como chegar na carteira de mercado?
Como chegar no portfolio de Mercado? Ou seja, em
quais ativos arriscados se deve investir?
Solução: o objetivo é encontrar os pesos tais que a 
carteira arriscada tenha o maior índice de Sharpe 
possível, isto é, o peso que maximiza a inclinação da 
linha de alocação de capitais.
P
FP rrEMax
)(
s.a. equações de E(rp) e p
115
Como chegar na carteira de mercado?
Para 2 ativos com risco (ativos 1 e 2), a maximização
fica:
5.0
2,111
2
2
2
1
2
1
2
1
2111
)) W- (12) W- (1(
 ]E[r ) W- (1 ]E[rW
WW
R
MaxISMax F
0 ]E[r ) W- (1 ]E[rW
)W21(2)W-2(1-2W
2
1
 ]E[r ]E[r
2111
1,21
2
21
2
11
5.05.0
21
1
FR
AA
W
IS
2
22,1
2
212,1
2
2
2
1
2
1
2,111
2
2
2
1
2
1
2
1
)(2)2(
) W- (12) W- (1
WW
WWASeja
116
Como chegar na carteira de mercado?
FR
AA
 ]E[r ) W- (1 ]E[rW
)W21()W-(1-W ]E[r ]E[r
2111
1,21
2
21
2
11
5.05.0
21
FRA ]E[r ])E[r- ](E[rW-)2-(W ]E[r ]E[r 22111,2
2
21,2
2
2
2
1121
1,2
2
21,2
2
2
2
112
1,2
2
21,2
2
2
2
11121
2
21,2
2
211,2
2
2
2
1
2
121
-)2-(W ]E[r 
-)2-(W])WE[r- ](E[r
)(2W)2-(W ]E[r ]E[r
FR
1,2
2
21,2
2
2
2
112
1,2
2
211,2
2
2
2
1
2
121
2
21,2
2
211,2
2
2
2
1
2
121
-)2-(W ]E[r 
)(-W)2-(W])E[r- ](E[r
)(2W)2-(W ]E[r ]E[r
FR
117
Como chegar na carteira de mercado?
1,2
2
21,2
2
2
2
112
2
21,2
2
2121 -)2-(W ]E[r )(W ]E[r ]E[r FR
2
221
2
21,22
1,2
2
2
2
12
2
21,2211
]E[r ]E[r- ]E[r 
 )2-( ]E[r)(]E[r ]E[rW
F
F
R
R
)2-( ]E[r)(]E[r ]E[r
]E[r ]E[r- ]E[r 
W
1,2
2
2
2
12
2
21,221
2
221
2
21,22
1
F
F
R
R
)(]E[r ]E[r-)2-( ]E[r
- ]E[r ]E[r ]E[r
W
2
21,2211,2
2
2
2
12
2
21,22
2
221
1
F
F
R
R
118
Como chegar na carteira de mercado?
Rearmando, chega-se a fórmula final:
2,1f1f2
2
2f1
2
1f2
2,1f2
2
2f1
1
r-]E[rr-]E[rr-]E[rr-]E[r
r-]E[rr-]E[r
W
119
Como chegar na carteira ótima?
Com os pesos W1 e W2 (que é igual a 1-W1) pode-se achar o
E(Rm) e m.
O retorno da carteira ótima será uma combinação entre o ativo
livre de risco e o ativo de mercado:
A volatilidade da carteira: c = y m
Já vimos que a proporção ótima na carteira arriscada (que no
caso é a carteira de mercado) é, para o caso em que U = E[rc] –
0.5A c
2:,
)()1()( MFc ryEryrE
2
fm r-]E[ry*
mA
120
121
122
Resumo do problema do investidor 
1 - Especificar as características dos ativos arriscados 
disponíveis no mercado: retorno esperado, desvio-padrão, 
covariância, além do retorno do ativo livre de risco.
2 – Construir a carteira de mercado (Maximiza IS): 
- calcular a proporção de cada ativo no portfolio
- calcular o retorno esperado e o desvio-padrão do 
portfolio
3 – Construir a carteira ótima (combinação da carteira de 
mercado com o ativo livre de risco): 
- Calcular os pesos do ativo livre de risco e da carteira de 
mercado 
- Calcular o peso de cada ativo arriscado na carteira
123
• O Modelo de Seleção de Carteira de Markowitz :
Em acordo com a modelagem desenvolvida por Markowitz,
podemos enunciar a famosa Propriedade da Separação,
segundo a qual, a escolha da carteira ótima pode ser
dividida em duas tarefas:
a primeira, a escolha da carteira arriscada ótima, é
apenas técnica;
a segunda, a escolha entre o ativo sem risco e a carteira
arriscada, depende da preferência do investidor.
Baseado nessa propriedade, temos que:
124
1. Uma carteira arriscada ótima pode ser oferecida para 
todos os investidores independentemente do seu nível 
de aversão ao risco. Isso faz com que fundos de 
investimento sejam menos custosos, por servirem 
muitos clientes com pequeno custo de administração.
2. A diferença entre as carteiras ótimas de cada fundo no 
mercado deve-se, então, às distintas análises dos ativos 
disponíveis, e às distintas restrições de cada fundo.
3. Essa propriedade, portanto, permitiu o desenvolvimento 
da indústria dos fundos mútuos.
125
Exercício
Existem apenas 2 ações no mercado, com os seguintes dados:
E[Retorno ] DP
ação 1 10% 18%
ação 2 5% 8%
Correlação entre as ações: 0,5
Utilidade do investidor: U = E[rc] – 0.5Asc
2, onde A = 5
a) Há ativo livre de risco que rende 1%. Qual carteira com risco 
será escolhida? Qual o retorno esperado e a volatilidade desta 
carteira? Calcule o índice de Sharpe da carteira e construa a CML 
(capital market line).
b) Agora o ativo livre de risco rende 3%. Qual portfólio com risco 
será escolhido? Qual o retorno esperado e a volatilidade deste 
portfólio? Qual o índice de Sharpe deste portfólio? Qual a CML 
(capital market line) ? 
126
Modelo de Fator Único e 
Modelos Multifatores
Profº Ricardo Razuk
127
Dificuldades do Modelo de 
Seleção de Carteiras de Markowitz
• Grande quantidade de estimativas para a elaboração da 
carteira arriscada ótima:
Para uma carteira com n ativos:
• n retornos esperados
• n variâncias
• (n2 – n)/2 covariâncias
Por exemplo, se há 50 ativos, temos que realizar 1325 
estimativas!
• Não oferece orientação quanto à previsão do prêmio de 
risco para a construção da carteira ótima.
TOTAL:
(n2+3n)/2
128
Dificuldades do Modelo de 
Seleção de Carteiras de Markowitz
• Erros no cálculo dessas estimativas podem levar a 
resultados inconsistentes:
• qual a “janela” para estimativa?
• para a variância futura, um dado recente deve ter o 
mesmo peso de um dado longínquo?
• Além disso, calcule a variância de uma carteira com -100% 
de A, 100% de B e 100% de C:
129
Dificuldades do Modelo de 
Seleção de Carteiras de Markowitz
• No exemplo do slide passado a variância é negativa, o que 
não é possível: os inputs da matriz de correlação não são 
consistentes.
• Se colocarmos os verdadeiros valores das correlações, a 
variância nunca será negativa. Mas quais os verdadeiros 
valores das correlações?
130
Fatores Econômicos Comuns
• Mudanças inesperadas nos fatores econômicos comuns
(ciclos de negócios, taxas de juros, mudanças tecnológicas,
custos do trabalho) causam choques nas taxas de retorno de
todo o mercado.
• É nisso que se baseia o Modelo de Fator Único !!!
131
Hipóteses do Modelo de Fator 
Único
1. Todos os fatores econômicos relevantes podem ser
resumidos em um único indicador macroeconômico;
2. Movimentos nesse indicador causam mudanças no
mercado de ativos inteiro;
3. Não há outra fonte de correlação entre os ativos: qualquer
incerteza restante deve-se a fatores específicos da firma.
132
Modelo de Fator Único
Podemos resumir a distinção entre fatores específicos da
firma e fatores macroeconômicos na seguinte equação:
E(ri) = retorno esperado do ativo no início do período; 
m = choques (surpresas) nos fatores macroeconômicos 
durante o período;
ei = choques nos eventos específicos da firma. 
Além disso, E(ei) = 0; E(m) = 0; e E (eim) = 0:
iii emrEr )(
133
Modelo de Fator Único
Melhorando o modelo: diferentes firmas têm diferentes
sensibilidades a eventos macroeconômicos. 
Modelo de Fator Único:
m = iF;
F = choque no fator macroeconômico; e 
i = sensibilidade da firma i ao fator F
iiii eFrEr )(
134
Modelo de Fator Único
• A variância de Ri surge de duas causas não correlacionadas, a 
sistemática e a específica à empresa:
• A covariância entre qualquer par de títulos também é 
determinada por beta:
imii e
2222
2,, mjijjiiji ememCovrrCov
135
Modelo de Fator Único
Um fator que sirva como uma aproximação para o fator 
macroeconômico comum. Qual fator usar?
136
Modelo de Índice ÚnicoModelo de Índice Único (single-index model): o
modelo de fator único é denominado Modelo de Índice Único
quando a proxy para o fator macroeconômico do modelo é a
taxa de retorno de um índice de mercado.
De acordo com esse modelo, nós podemos separar a
taxa de retorno realizada em um componente macro
(sistemático) e um micro (específico da empresa) através de
uma maneira similar àquela da equação do modelo de fator
único.
137
Modelo de Índice Único
Ri (= ri - rf ) é a soma de 3 componentes:
- O retorno excedente esperado se o excesso de retorno de mercado é zero, i
- O componente de retorno devido a todo o mercado: (o excesso de 
retorno de mercado). i é a resposta do ativo para os movimentos do mercado.
- O componente de retorno inesperado devido à eventos inesperados que são 
específicos para a firma, ei
FM rr
ifMiifi errrr )(
138
Modelo de Índice Único
A variância do retorno de cada ação é 
A variância pode ser decomposta em dois componentes:
a) atribuída ao fator macroeconômico comum
b) atribuída a fatores específicos da firma
A covariância entre os retornos da ação i e da ação j é:
)(2 ie
22
Mi
22
Mi
)(2 ie
2),(),( MjMjjiMiji jii eReRCOVRRCOV
139
Modelo de Índice Único
A correlação será:
A covariância entre os retornos da ação i e o índice de 
mercado é:
2),(),( MMiMiMi ii ReRCOVRRCOV
),(*),(
),(
222
MjMi
MjMi
MM
ji
M
ji
RRCORRRRCORR
RRCORR
jiji
140
Modelo de Índice Único
Esse modelo reduz consideravelmente o número de estimativas 
requeridas para o modelo de Markowitz:
Para uma carteira com n ativos:
• n retornos esperados independentes do mercado, ai
• n betas
• n variâncias dos fatores específicos da firma, 
• 1 estimativa de prêmio pelo risco de mercado, E(Rm)
• 1 estimativa da variância do fator macroeconômico 
comum,
Por exemplo, se há 50 ativos, temos que realizar 152 
estimativas, e não 1.325!
)(2 ie
2
M TOTAL: 3n+2
141
Modelo de Índice Único
Note que, para o cálculo da variância de uma carteira, a 
diferença deste modelo para o tradicional é o cálculo da 
covariância:
- A variância de cada ativo permanece a mesma (se 
considerarmos o risco de mercado e o risco específico)
- A covariância no Modelo de Índice Único é calculada 
sempre em função do mercado ( ), ao invés de se 
utilizar diretamente os retornos de 2 ativos.
2
Mji
142
Modelo de Índice Único
O modelo de índice permite a especialização do esforço de
análise de ativos: um grupo de analistas pode se especializar
em uma indústria, outro grupo em outra e ninguém precisa ter
conhecimento sobre as duas ao mesmo tempo para estimar
movimentos simultâneos, pois a covariância entre esses dois
grupos é facilmente calculada como uma função do fator
macroeconômico comum: 2
Mji
143
Modelo de Índice Único
Crítica ao Modelo: simplifica demasiadamente as fontes de
risco: ou sistemático (macro) ou idiossincrático (micro). Não
considera, por exemplo, o risco da indústria, que afeta muitas
firmas sem afetar toda a economia.
Exemplo:
alguma descoberta que beneficie toda a indústria de
computadores (essa descoberta não é contemplada pelo
modelo pois o retorno de uma firma de computadores está
atrelado apenas ao retorno de mercado)
144
Modelo de Índice e Diversificação
Modelo para ação:
em que R denota excesso de retorno.
O modelo também vale para um portfolio:
iMiii eRR
pMppp eRR
145
Modelo de Índice e Diversificação
pMppp eRER )(Comparando com , temos
146
Modelo de Índice e Diversificação
)(2222 PMPP e
Quanto mais diversificada a carteira, menor o risco 
idiossincrático.
O termo do risco sistemático persiste mesmo com a 
diversificação.
147
Modelo Multifatores
Deficiência do Modelo Índice: Ao resumir todos os fatores
macroeconômicos num único fator representativo, o
modelo índice perde significativamente a capacidade de
distinguir o real estado da economia (se bom ou se ruim)
para firmas distintas.
Por exemplo: uma firma exportadora pode reagir diferente
de uma firma importadora a um evento macro.
Os modelos multifatores vêm tentar solucionar este
problemas.
148
Modelos multifatores
(Chen, Roll e Ross)
onde,
IP = Mudança percentual na produção industrial.
EI = Mudança percentual na inflação esperada.
UI = Mudança percentual na inflação não-esperada.
CG = Excesso de retorno de títulos de longo prazo de 
firmas sobre títulos de longo prazo do governo.
GB = Excesso de retorno de títulos de longo prazo do 
governo sobre títulos de curto prazo do governo.
149
Modelos multifatores
Fama e French (1993)
onde,
MKT: excesso de retorno de mercado
SMB (small minus big): retorno de uma carteira com 
ações de firmas pequenas menos retorno de uma carteira 
com ações de firmas grandes.
HML (high minus low): retorno de uma carteira com 
ações com alta razão book-to-market menos retorno de 
uma carteira com ações com baixo book-to-market.
ttttft HMLSMBMKTRR 321
150
Modelos multifatores
Fama e French (1993)
Esses fatores foram escolhidos com base na observação de que o 
tamanho da firma e a razão book-to-market parecem ter capacidade de 
prever o retorno das ações. (R2 ajustado mais alto que CAPM e betas 
significativos)
Esses fatores poderiam também representar o estado da economia, já 
que Fama e French mostram, por exemplo, que firmas pequenas ou 
firmas com alta razão book-to-market são mais sensíveis às variações 
macroeconômicas.
Os retornos anormais ( ’s) estimados agora não são estatisticamene
diferentes de zero.
ttttft HMLSMBMKTRR 321
151
Exercício
1) Considere as seguintes estimativas abaixo
Ação Retorno esperado Beta DP do Componente específico
A 13% 0,8 30%
B 18% 1,2 40%
O índice de mercado tem um desvio padrão de 22% e a taxa livre de risco é de 8%.
a) Qual o desvio padrão das ações A e B?
b) Considere uma carteira que seja constituída pelas ações A e B e por um ativo
livre de risco de acordo com as seguintes proporções, respectivamente: 0,30;
0,45 e 0,25. Calcule o retorno esperado, o desvio padrão, o beta e o desvio 
padrão não sistemático da carteira.
152
CAPM
(Capital Asset Pricing Model)
Profº Ricardo Razuk
153
CAPM - Definição
É um modelo de precificação que determina um conjunto de
previsões sobre o retorno esperado de equilíbrio de ativos arriscados.
154
CAPM - Objetivos
Fornece um retorno esperado que servirá como marco para avaliar 
possíveis investimentos.
Fornece o retorno esperado de ativos que ainda não estão no mercado.
155
CAPM - Hipóteses
1. Há competição perfeita entre os investidores: existem
muitos investidores com dotação (riqueza) pequena se
comparada à dotação total da economia. Preços são dados.
2. Os investimentos são de curto prazo: todos os investidores
planejam por apenas um período, ignorando o que possa
acontecer no longo prazo.
3. Há investimento apenas em ativos financeiros publicamente
negociados no mercado: ações, títulos e ativo sem risco.
156
CAPM - Hipóteses
4. Não há impostos ou custos de transação.
5. Todos os investidores usam o modelo de seleção de carteira de 
Markowitz.
6. As expectativas são homogêneas.
157
CAPM - Carteira de Mercado
Resultados do Modelo de Markowitz:
A carteira arriscada de todos os investidores replicará a carteira
de mercado.
Carteira de Mercado: é a carteira formada por todos os ativos
arriscados do mercado (já que todos os investidores aplicam na
mesma carteira arriscada).
158
CAPM - Carteira de Mercado
Dadas as hipóteses, todos os investidores terão a mesma carteira 
arriscada pois: todos usam a análise de Markowitz (5) aplicada 
ao mesmo universo de ativos (3) pelo mesmo horizonte de 
tempo (2) e usando o mesmo conjunto de estimativas (6).
Assim, todos os indivíduos irão replicar a carteira de mercado.
159
CAPM - Resultado
Como 
1) o peso de cada ativo em todas as carteiras individuais será 
igual e
2) a carteira de mercado é definida como a carteira resultante 
da agregação de todas as carteiras, 
Temos que o peso do ativo na carteirade mercado será o 
mesmo que o peso do ativo nas carteiras individuais.
160
CAPM - LMC
LMC (linha de mercado de Capitais): melhor linha de 
alocação de capital atingível.
todos os investidores 
deterão a carteira de 
mercado como ativo 
arriscado e suas 
carteiras diferirão 
apenas no peso do 
ativo sem risco.
161
CAPM - Teorema dos fundos 
mútuos
Teorema dos fundos mútuos: assumindo que todos os 
investidores escolhem aplicar num fundo mútuo do índice 
de mercado, podemos separar a seleção da carteira em 
dois componentes:
a) um problema técnico: a montagem do fundo mútuo, 
feita por um analista de investimentos; e 
b) um problema pessoal: a escolha da carteira completa 
com o ativo sem risco, que depende da aversão ao 
risco do investidor.
162
CAPM - Teorema dos fundos 
mútuos
Assim, um investidor investiria um percentual de sua 
riqueza no fundo e outro percentual no ativo livre de 
risco. 
Esses percentuais dependem do grau de aversão ao risco 
do investidor
163
CAPM - Teorema dos fundos 
mútuos
Na realidade, analistas diferentes criam carteiras ótimas 
diferentes da carteira de mercado. 
Isso ocorre porque as expectativas não são homogêneas (além 
de as outras hipóteses não serem atendidas).
Na prática, então, trabalha-se com uma lista de estimativas 
distintas.
164
CAPM
O prêmio de risco dos ativos individuais é proporcional ao 
prêmio de risco da carteira de mercado e ao beta do ativo:
onde
o beta é uma medida de quanto o excesso de retorno de uma 
ação i se move junto com o excesso de retorno de mercado.
FMiFi rrErrE )()(
)(
,
FM
FiFM
i
rrVar
rrrrCov
165
CAPM
Para um investidor (que investe no ativo M), importa menos o
risco individual do ativo que o risco que ele traz para a carteira
(já que a carteira dele é extremamente diversificada pois contém
todos os ativos arriscados). O prêmio de risco que ele exige do
ativo, portanto, deve ser função apenas do risco de carteira de
mercado.
166
CAPM
Portanto, neste modelo, o E(ri) não é função do risco
diversificável (a carteira arriscada do investidor é extremamente
diversificada), apenas do risco de mercado.
Assim, o betai é uma medida de risco de mercado do ativo i. É o
parâmetro apropriado do seu risco por ser proporcional à
contribuição do risco do título para a carteira ótima de títulos de
risco.
167
CAPM - Demonstração
• Considere um investidor que aloca toda a sua riqueza na carteira de mercado M.
• Neste caso, teremos que o retorno esperado e a variância da carteira deste
investidor serão dados por E(Rm) e , respectivamente.
• Suponha que este investidor resolva rebalancear sua carteira, adquirindo uma
fração minimamente pequena desta mesma carteira M, a qual será financiada
por um empréstimo corrigido pela taxa livre de risco, Rf.
• Observe que o retorno esperado e a variância desta carteira rebalanceada serão
dados, respectivamente, por: e
Como a fração é pequena, então o último termo da variância é desprezível.
2
M
fMM RRERE
2221 M
• Desta forma, os diferenciais de retorno esperado e variância entre a carteira 
rebalanceada e a carteira original (somente composto pela carteira de mercado) serão 
dados por e . 
• A razão entre esses diferencias reflete claramente o trade-off entre o prêmio de risco 
incremental e o risco incremental, de forma que comumente a chamamos de preço 
marginal do risco.
• Se fizesse o rebalanceamento adquirindo uma fração de um ativo i qualquer, os 
novos retorno esperado e variância seriam dados respectivamente por: 
e .
• Desta forma, os diferenciais de retorno esperado e variância entre a nova carteira 
rebalanceada e a carteira original (somente composto pela carteira de mercado) 
seriam dados por e .
fm RRE
22 m
fim RRERE
22
,
2 2 iMim
fi RRE Mi,2
CAPM - Demonstração
CAPM - Demonstração
• Compare agora os preços marginais do risco incorridos por ambos os 
rebalanceamentos acima propostos: 
e 
• No equilíbrio, o preço marginal do risco de um ativo i disponível para o 
investidor e o do mercado deverão ser iguais. Assim sendo, deveremos ter a 
seguinte relação:
• Finalmente, temos a expressão mais familiar do CAPM, conhecida como a 
relação retorno esperado-beta:
22 M
fm RRE
Mi
fi RRE
,2
fM
M
Mi
fi RRERRE 2
,
fMifi RRERRE
LMA
LMA – Linha de Mercado de Ativos
A LMA é a representação gráfica da relação retorno 
esperado com o beta no plano E(r) ×
CAPM:
iFMFi rrErrE )()(
Aqui, diferentemente da CML, [E(rM)-rf] é o coeficiente
angular da LMA. O que importa não é o desvio-padrão do
ativo individual mas a contribuição do ativo para a
variância da carteira (mensurada pelo beta do ativo)
171
172
Novo Ativo no Mercado
Qual o retorno esperado?
Pode-se considerar para o beta desta empresa, o beta de uma 
empresa similar. 
Então, com o beta e a LMA, acha-se o retorno esperado do 
ativo.
173
O CAPM e o Modelo Índice
O CAPM usa retornos esperados. O modelo índice usa 
retornos realizados. Podemos relacionar esses dois 
modelos.
)(
,
M
iM
i
RVar
RRCov que é o mesmo beta do CAPM, exceto que ao
invés do (teórico) portfolio de mercado do 
CAPM temos o índice de mercado.
174
O Modelo Índice e a Relação 
Retorno Esperado-Beta
CAPM:
Modelo Índice:
FMiFi rrErrE )()(
ifMiifi errrr )(
175
O Modelo Índice e a Relação 
Retorno Esperado-Beta
Passando o operador esperança no Modelo Índice:
Então, o CAPM prevê que i = 0 para todos os ativos.
O alfa de uma ação é seu retorno esperado superior (ou 
abaixo) do retorno esperado justo previsto pelo CAPM. 
Pelo CAPM, se a ação está com seu preço justo, seu alfa 
deve ser zero. 
FMiiFi rrErrE )()(
176
Alfa Positivo
Uma possível estratégia ativa seria identificar os ativos com > 0 e 
aumentar o peso desses ativos na carteira. 
carteira.
177
178
O CAPM e o Modelo Índice
O CAPM é um modelo robusto: mesmo variando algumas
de suas hipóteses, mantemos seus principais resultados.
A questão é: o CAPM é testável? Seus resultados são
refutáveis?
A carteira de mercado é a carteira eficiente em termos de
média-variância. Porém, a construção e o teste de eficiência
de uma carteira do tamanho da carteira de mercado ainda
não é possível (pelo menos, até o momento).
179
O CAPM e o Modelo Índice
Mas, mesmo que conseguíssemos construir uma carteira do 
tamanho da carteira de mercado, como mostrar que o IS 
dessa carteira é maior que o de todas as outras carteiras? 
O IS é definido em termos de expectativas e não temos 
como observar as expectativas diretamente, apenas o retorno 
realizado. 
Da mesma forma, a relação retorno esperado-beta não pode 
ser testada por estar sob a forma de expectativas.
180
O CAPM e o Modelo Índice
Temos, então, duas críticas sobre o CAPM:
- Crítica de Roll: o CAPM não é testável porque a carteira de
mercado não é observável.
- Crítica de Hansen e Richard: mesmo que a carteira de
mercado fosse observável, não poderíamos testar o CAPM,
pois os conjuntos de informações dos agentes não são
observáveis. Logo, não teríamos as expectativas necessárias
para o modelo.
181
Exercícios
1) Se o CAPM for válido, quais das seguintes situações são possíveis? 
Considere cada situação de forma independente.
Carteira E(R) Beta E(R) = Rf +B * (Rm – Rf)
A 20 1,4
B 25 1,2
Carteira E(R) DP
A 30 35
B 40 25
Carteira E(R) Beta 16% = 10% +1,5 * (15% – 10%)
Livre de Risco 10 0 17,5% = 10% + 7,5%
Mercado 15 1,0
A 16 1,5
182
)(
,
FM
FiFM
i
rrVar
rrrrCov
Exercícios
• 2) Se o CAPM é válido, qual o de uma carteira com retorno esperado de 
18%, se o retorno livre de risco for de 6% e o retorno esperado da carteira 
de mercado for igual a 14%? 
• E(R) = Rf +B * (Rm – Rf)
• 18% = 6% + B*(14% - 6%)
• 18% = 6% + B*8%
• 12% = B*8%
• B = 12% / 8% = 1,5
183
Exercícios
Seja Rf = 6% e E(Rm)=16%.
3) Uma ação hoje é vendida a $50. Ela paga dividendos de $6 ao fim do ano. 
Seu betaé de 1,2. Por quanto o investidor espera vender a ação ao fim do 
ano?
Po = 50
D1= 6
P1 ? =
E(R) = Rf +B * (Rm – Rf)
E(R) = 6% + 1,2 * (16%-6%) = 18% = [(P1 – P0) + D1] / P0
18% = [(P1 – 50) + 6] / 50
18% * 50 = P1 – 50 + 6
18% * 50 +50 – 6 = P1 
P1 = 9 + 50 – 6 = 53
184
Exercícios
Seja Rf = 6% e E(Rm)=16%.
4) Uma ação apresenta taxa de retorno esperada de 4%. Qual é o seu beta?
E(R) = Rf +B * (Rm – Rf)
4% = 6% + B * (16% - 6%)
4% = 6% + B * 10% 
4% - 6% = B * 10% 
-2% = B * 10% 
B = -2% / 10% = -0,2
185
Exercícios
5) Dois consultores de investimento estão comparando desempenhos. Um 
obteve, na média, retorno de 19% e o outro, retorno de 16%. Contudo, o 
beta do primeiro investidor foi de 1,5, enquanto o do segundo foi de 1.
a) É possível dizer qual investidor é o que escolhe melhor as ações
individuais (independente do movimento geral do mercado)?
b) Se Rf fosse de 6% e o retorno de mercado durante o período fosse 
de 14%, qual investidor seria o que melhor escolhe as ações?
c) e se Rf fosse 6% e o retorno do mercado fosse 8%?
186
APT 
(Teoria de Precificação por Arbitragem)
Profº Ricardo Razuk
187
Arbitragem
Exploração de erros de precificação dos ativos de forma a se
obter lucros sem risco. Envolve a compra e venda simultânea de
ativos equivalentes de forma a obter ganhos sobre discrepâncias
em suas relações de preços.
188
Princípio básico da 
teoria do mercado de capitais
Preços de equilíbrio são racionais por eliminarem a 
oportunidade de arbitragem.
189
Lei do Preço Único
Se 2 ativos são iguais em todos os aspectos, eles devem ter o
“mesmo preço”. O custo de comprar um ativo em um
mercado deve ser o mesmo de se comprar o ativo no outro
mercado.
190
Lei do Preço Único
A lei de preço único é violada quando um ativo é negociado a
preços diferentes em mercados distintos e o diferencial de
preços excede o custo de transação.
Nesse caso, basta vender a descoberto o ativo no mercado de
maior preço e comprar o ativo no mercado de menor preço.
Depois, basta usar o ativo comprado no mercado barato para
cobrir a venda no mercado caro. A diferença paga os custos
de transação e ainda resta um ganho positivo.
191
Arbitragem
Obs.: Atualmente, os avanços tecnológicos permitem que os
investidores adquiram informação muito rapidamente e a
usem na exploração de oportunidades de arbitragem. Por isso,
elas ficaram mais raras embora não estejam extintas.
192
Arbitragem
Propriedade das carteiras com arbitragem: Qualquer
investidor, não importando o nível de aversão ao risco ou
riqueza, desejará uma posição infinita nessas carteiras.
Hipótese de não arbitragem: preços na economia são tais que
não há oportunidade de arbitragem na economia.
193
APT de 1 Fator
APT: desenvolvido por Ross em 1976
Modelo de mercado:
iMMiii erErrEr )()(
O retorno dos ativos tem duas fontes de incerteza: um fator 
macroeconômico comum e um fator específico da firma.
194
APT de 1 Fator
Se fizermos [rM rM)] = F, então temos:
iiii eFrEr )(
onde E (F) = 0; E(ei) = 0; E(F x ei) = 0; E(eiej) = 0.
Agora, basta observar F como um choque num fator
macroeconômico qualquer, não necessariamente choque
no índice de mercado e temos o APT para um fator.
195
APT e carteiras bem diversificadas
Para uma carteira, o APT de 1 fator é:
cccc eFrEr )(
A variância é: 222
Fc c
)(2 ce
n
i
iic ewe
1
196
APT e carteiras bem diversificadas
Então, como no modelo índice, quando n cresce, o risco não 
sistemático (diversificável, idiossincrático) tende a zero.
Esse último resultado pode ser demonstrado para qualquer 
carteira na qual wi diminui quando n aumenta
Carteira bem diversificada: carteira composta por um número
de ativos grande o suficiente para que wi seja pequeno de 
forma a tornar negligível o risco não sistemático.
197
APT e carteiras bem diversificadas
Desta forma, em uma carteira bem diversificada, como
Assim, podemos concluir que o valor realizado de ec é igual a 
zero.
temos que
0)(2 ce0)( ceE
FrEr ccc )(
222
Fc c
198
APT e carteiras bem diversificadas
Como grandes investidores, como bancos de investimento,
aplicam em carteiras com um grande número de ativos,
podemos dizer que o conceito de carteira bem diversificada é
operacional e que as equações acima podem fazer sentido.
199
Ar
200
Betas e Retornos Esperados
Para não haver arbitragem o prêmio de risco deve ser 
proporcional ao beta:
Vamos mostrar o porquê desta relação através de argumentos 
de não arbitragem: 
a) Para 2 Portfolios com mesmo Beta
b) Para Portfólios com Betas diferentes
b
fb
a
fa r-)(rEr-)(rE
201
Arbitragem: 
2 Carteiras com mesmo Beta
Ar FrB 0.1%8
202
Arbitragem: 
2 Carteiras com mesmo Beta
Arbitragem: venda a descoberto de $1MM de B
compra de $1MM de A
Qualquer que seja o F há um ganho sem risco de 2% 
($20.000)
+A –B: 10% + 1xF – (8% + 1xF) = 2% (qualquer que seja F)
Ou seja, para não haver arbitragem, carteiras com o mesmo 
beta devem ter o mesmo retorno esperado.
203
Arbitragem: 
Carteiras com Diferentes Betas
Eles devem ter prêmio de risco proporcional ao beta, senão 
há arbitragem. Seja a figura:
204
Arbitragem: 
Carteiras com Diferentes Betas
Dados: rf = 4% 
C = 0.5, E(Retc) = 6%. A =1 e E(RetA) = 10%. 
C fica abaixo da linha entre rf e o portfolio A, ou seja,
Considere um portfolio D composto de 50% do Portfolio A e 
50% de rf. D tem beta = 0.5 e E(RetD) = 7%. 
D tem mesmo beta que C e maior retorno esperado. De nossa
análise anterior, sabemos que isso se constitui em uma
oportunidade de arbitragem
c
fc
a
fa r-)(rEr-)(rE
205
Arbitragem: 
Carteiras com Diferentes Betas
Então, para quaisquer 2 portfolios bem diversificados i e j, 
temos que
j
fj
i
fi
r-)(rEr-)(rE
206
Arbitragem: 
Carteiras com Diferentes Betas
Note que comprando A e vendendo C (+A –C), a operação 
não teria arbitragem:
+A –C: 10% + 1xF – (6% + 0.5xF) = 4% + 0.5F
Então não há lucro garantido (depende de F, se F menor que 
-8% há prejuízo)
207
APT e CAPM
Seja a carteira “c” a carteira de mercado “m” (pode-se usar a 
carteira “m” aqui pois sabemos que ela é bem diversificada).
Então,
c
fc
a
fa r-)(rEr-)(rE
m
fm
a
fa r-)(rEr-)(rE
208
APT e CAPM
Como m = 1, temos de que: 
Que nada mais é que a SML derivada do CAPM
afmfa r - )(r Er )(r E
m
fm
a
fa r - )(r Er - )(r E
209
APT e CAPM
Desta forma, chega-se ao CAPM sem as hipóteses restritivas
do modelo (CAPM), mostrando que o CAPM é um modelo
robusto.
Como o APT vale para qualquer portfolio diversificado, o
APT fornece outra justificativa teórica para o uso do modelo
índice. Mesmo que o índice de mercado não seja uma boa
aproximação para a carteira de mercado, ele é diversificado o
suficiente para servir como referência.
210
APT
• Derivado de uma hipótese razoável: não arbitragem no 
equilíbrio;
• Gera relação retorno esperado - beta com uma carteira bem 
diversificada observável qualquer no lugar da carteira de 
mercado;
• O APT distingue risco sistemático (que afeta o prêmio de 
risco) de risco não sistemático;
• Serve para as mesmas funções que o CAPM: nos dá taxas 
de retorno referenciais que podem ser usadas para montagem 
de carteiras e avaliação de ativos.
211
APT Multifator
O APT de um fator admite que apenas um fator sistemático
afeta o retorno de uma carteira/ativo. Porém, esta hipótese é 
muito simplificadora. Outros fatores como:
-Supresas na inflação
-Supresas na taxa de juros
-Surpresas na produção industrial
-Supresas no PIB , etc
podem ajudar a explicar este retorno
Note que todos estes fatores tem valor esperado zero.
212
APT Multifator
APT com 2 fatores:
E(F1)=0, E(F2)=0, E(F1ei)=0, E(F2ei)=0
iiiii eFFrEr 2211)(
213
APT Multifator
Hipótese: Existe uma Carteira Fator:
Carteira bem diversificada construída para ter beta igual a 1
em algum fator e beta igual a 0 nos outros (ou seja, pode-se
comprar só o fator).
214
APT Multifator
Podemos usar a seguinte equação para o retorno esperado:
Ex:E(r1)= 10% , E(r2)=12%, rf = 4%, 1=0.5, 2=0.75
O prêmio de risco do fator 1 é 6%.
O prêmio de risco do portfolio atribuído ao fator 1 é 3%.
O prêmio de risco do portfolio então é 9%.
O retorno esperado do portfolio é 13%
Vamos ver o porquê de podermos usar a fórmula acima.
f22f11f r-)(rEr-)(rEr)(rE
215
APT Multifator
Para vermos que realmente o portfolio tem ret esperado = 13%:
Suponha que o portfolio tem retorno esperado de 12% ao invés de 
13%. Então, há oportunidade de arbitragem:
a) Posição vendida na carteira ra=12% + 0,5F1+0,75F2
b) Posição comprada em 1 do fator 1, 2 do fator 2 e (1- 1- 2) de rf.
O ret esperado em b) é E(rb) = (.5x10) + (.75x12) - (.25x4) =13%
rb=13% + 0,5F1+0,75F2
(Lembre-se que aqui F é a surpresa)
216
APT Multifator
Desta forma, temos 2 portfolios e estamos hedgeados nos
fatores de risco: o resultado independe de F1 e F2.
Não haverá arbitragem se o valor esperado do portfolio for
que no caso é 13%
f22f11f r-)(rEr-)(rEr)(rE
217
APT Multifator
Generalização do argumento: Como existem carteiras fatores, 
pode-se comprar P1 do fator 1 e P2 do fator 2 e (1- P1- P2) 
de rf. Então,
O APT multifator estabelece que o prêmio de risco total deste
portfolio deve ser igual a soma dos prêmios de risco
requeridos como uma compensação aos investidores por cada
fonte de risco sistemático.
218
Exercícios
2) (questão 5, cap. 10) Considere os seguintes dados de uma economia 
unifatorial. Todas as carteiras são bem diversificadas.
Carteira E(r) Beta
A 12% 1,2
F 6% 0,0
Suponha outra carteira, E, bem diversificada com beta de 0,6 e retorno 
esperado de 8%. Existe oportunidade de arbitragem? Se existir, qual seria a 
estratégia de arbitragem?
219
Exercícios
3) (questão 11, cap. 10) Suponha que o mercado possa ser descrito por 3 fontes 
de risco sistemático, cujos prêmios de risco são:
Fator Prêmio de risco
Taxa de juros (R) 6%
Produção industrial (I) 2%
Confiança do consumidor (C) 4%
O retorno de uma ação em particular é gerado a partir da seguinte equação:
r = 15% + 1,0.I + 0,5.R + 0,75.C + e
Obtenha o retorno de equilíbrio desta ação usando o APT. O retorno do ativo 
livre de risco é de 6%. Essa ação está cara ou barata? 
220
Eficiência de Mercado e 
Finanças Comportamentais
Profº Ricardo Razuk
221
Passeio Aleatório
Kendall (1953): preço dos ativos financeiros segue um
passeio aleatório (random walk - RW) se a probabilidade de
que o preço suba é a mesma de que o preço desça, não
importando a performance passada.
Economistas chegaram à conclusão de que movimentos
aleatórios de preços indicavam a existência de um mercado
eficiente e racional.
222
Passeios Aleatórios e a Hipótese de 
Eficiência do Mercado
Se os preços forem determinados racionalmente, então,
apenas informações novas podem mudá-los.
O preço dos ativos financeiros segue um passeio aleatório
(RW): qualquer mudança no preço deve ser aleatória e
imprevisível.
Desta forma, o movimento nos preços não segue nenhum
padrão ou tendência e os movimentos dos preços no passado
não podem ser usados para prever os movimentos dos preços
no futuro.
223
Passeios Aleatórios e a Hipótese de 
Eficiência do Mercado
Passeio Aleatório: Exemplo
em que
A melhor previsão, em t, do preço em t+1 é o preço em t.
11 ttt PP
0)( 1tE
224
Passeios Aleatórios e a Hipótese de 
Eficiência do Mercado
Qualquer desvio de Pt é dado por choques aleatórios de valor
esperado zero:
Analogamente, 
tt PPE )( 1
.....3,2,1,)( sPPE tst
225
Passeios Aleatórios e a Hipótese de 
Eficiência do Mercado
Hipótese do Mercado Eficiente (HME):
Um mercado eficiente é aquele no qual toda informação 
disponível é rapidamente disseminada e refletida nos preços
Mas o que é toda informação disponível?
226
Passeios Aleatórios e a Hipótese de 
Eficiência do Mercado
Alguns economistas sustentam que o preço pode não refletir 
informação da mesma forma em todos os mercados. Assim, 
existiriam mercados com vários graus de eficiência. 
Por exemplo, o mercado acionário americano, amplamente 
analisado e competitivo, seria mais eficiente que o mercado de 
ações brasileiro.
Assim, no mercado brasileiro, haveria mais possibilidade de os 
analistas encontrarem informações sobre os ativos que lhes 
garantissem maior retorno.
227
Passeios Aleatórios e a Hipótese de 
Eficiência do Mercado
Os fundos teriam incentivo a investir grandes quantias na
pesquisa de informações relevantes, mesmo para obter
pequenos acréscimos no retorno de suas carteiras.
A competição entre os analistas desses fundos leva à descoberta
de quase todas as informações relevantes e ao seu reflexo nos
preços, tornando o mercado mais eficiente.
228
Versões da Hipótese de Eficiência 
de Mercado
Existem três formas de eficiência de mercado: 
- eficiência fraca, 
- eficiência semi-forte
- eficiência forte. 
A diferença entre essas formas de eficiência está na definição 
de “toda informação disponível”.
Lembre que: Definição de HME - Um mercado eficiente é 
aquele no qual toda informação disponível é rapidamente 
disseminada e refletida nos preços.
229
Versões da Hipótese de Eficiência 
de Mercado
Conjunto de informação:
-Forma fraca: séries históricas dos preços e volumes;
- Forma semi-forte: séries históricas dos preços e volumes e
todas as informações públicas sobre a firma/ativo;
- Forma forte: séries históricas dos preços e volumes, todas as
informações públicas sobre a firma/ativo e todas as “inside
information” sobre a firma/ativo.
230
Implicações da HME para a 
Política de Investimentos
Análise Técnica: é a busca por padrões recorrentes e previsíveis no preço das
ações (os analistas que usam a análise técnica são chamados de grafistas).
Hipótese Fundamental para a Análise Técnica: preços se ajustam lentamente
às mudanças nos fundamentos da firma e do mercado.
Essa hipótese é contrária à HME, que defende o reflexo imediato das
mudanças nos preços.
Níveis de Resistência ou níveis de suporte: níveis de preço a partir dos quais
dificilmente o preço de uma ação vai subir ou abaixo dos quais dificilmente o
preço de uma ação vai cair.
231
Implicações da HME para a 
Política de Investimentos
Análise Técnica e HME:
Conseguir ganhos extraordinários com análise técnica é improvável pois ela 
viola a forma mais fraca e razoável de eficiência de mercado. 
A única maneira de a análise técnica render algo a mais seria a partir de 
contínuas descobertas de novas técnicas ainda não utilizadas pelo restante do 
mercado, algo dificultado pelo ambiente de grande competição.
232
Implicações da HME para a 
Política de Investimentos
Análise Fundamentalista:
A análise fundamentalista usa previsões de ganhos,
dividendos, taxas de juros e risco da firma/ativo para
determinar o preço correto dos ativos.
Assim, além de utilizar o preço, utiliza dados dos balanços das 
firmas (informações públicas).
233
Implicações da HME para a 
Política de Investimentos
Análise Fundamentalista:
De acordo com a forma semi-forte da HME, a análise fundamentalista está
condenada ao fracasso: há muita competição entre analistas, o que gera
uma grande busca por informações públicas sobre a firma.
Todas as informações que poderiam afetar os preços, portanto, já teriam
sido descobertas e já estariam refletidas nesses mesmos preços.
234
Implicações da HME para a 
Política de Investimentos
Para que a análise fundamentalista dê certo, seria preciso não apenas
descobrir firmas boas, mas descobrir firmas que são melhores do que os
demais analistas avaliaram (tem que haver diferença no preço)
Do mesmo modo, pode-se conseguir boas estratégias não apenas
descobrindo firmas ruins, mas descobrindo firmas não tão ruins quanto os
demais analistas avaliaram. Então, compra-se as ações dessas firmas (tem
que haver diferença no preço)
235
Implicações da HME para a 
Política de Investimentos
Gerência de Carteiras Ativa versus Passiva:
- Se a forma fraca da HME for válida, não vale a pena realizar análise 
técnica e, sea forma semi-forte da HME for válida, não vale a pena 
realizar análise fundamentalista. 
- Como a estratégia ativa de investimento compreende a escolha de ativos 
mal precificadas usando a análise técnica e a análise fundamentalista, ela 
não valeria a pena.
236
Implicações da HME para a 
Política de Investimentos
Gerência de Carteiras Ativa versus Passiva:
A saída seria adotar uma estratégia passiva de investimentos: comprar 
uma carteira bem diversificada e retê-la, sem tentar encontrar ações que 
estariam mal precificadas.
De acordo com a HME, não faria sentido ficar rebalanceando a carteira, já 
que todos os preços estariam no nível justo, refletindo toda a informação 
disponível.
237
Estudo de Eventos
Pesquisa empírica em finanças que permite ao observador avaliar o 
impacto de um evento particular no preço das ações de uma firma.
Num mercado eficiente, todas as informações disponíveis já estão 
refletidas nos preços. Então, mudanças nos preços só ocorrem quando 
ocorrem novos eventos.
Se o investidor consegue prever esses eventos de forma satisfatória, este 
pode obter retornos elevados.
238
Estudo de Eventos
Retorno anormal: retorno além daquele que é previsto apenas 
pelos movimentos do mercado.
Então, a estratégia do estudo de eventos é estimar e analisar o 
retorno anormal na data em que novas informações sobre a 
ação são divulgadas.
239
Argumentos para 
Eficiência de Mercado
• Condições suficientes para a eficiência do mercado:
1) Todos investidores são racionais, ou seja, têm expectativas não 
viesadas e não cometem erros sistemáticos.
• Há evidência de psicologia experimental contrária a isso.
• Há também evidência nos mercados de que os investidores:
a) transacionam com base em ruído
b) seguem conselhos de gurus financeiros
c) não diversificam
d) transacionam de forma muito ativa
e) seguem modelos de padrão de preços, etc..
240
Argumentos para 
Eficiência de Mercado
2) Há agentes irracionais, mas os erros deles se cancelam.
• Indivíduos não tendem a se desviar aleatoriamente da racionalidade uns 
comprando e outros vendendo, mas tendem a querer comprar ou vender o 
mesmo ativo ao mesmo tempo (efeito manada).
• Os gestores profissionais de carteira estão sujeitos a distorções adicionais:
– Estão sujeitos a avaliação de acordo com um benchmark, e tendem a 
escolher carteiras excessivamente próximas a este benchmark;
– Tendem a escolher ações que outros administradores escolhem para evitar 
um desempenho ruim isoladamente.
241
Argumentos para 
Eficiência de Mercado
3) Se os preços diferissem do valor fundamental, arbitradores teriam
retornos (ajustados pelo risco) excessivos, e sua ação faria com que o
desvio fosse corrigido. Principal argumento (desenvolvido por Milton
Friedman).
• Limitações à arbitragem fazem com que o argumento não valha:
a) Arbitragem é arriscada;
b) Restrições institucionais;
c) Restrições a venda à descoberto.
242
Algumas Evidências de Ineficiência
• Lentidão na incorporação da informação
243
Lentidão na incorporação da 
informação
• Em 8 de setembro de 2008, um artigo de 2002 sobre a concordata da United 
Airlines reapareceu na internet.
• Foi interpretado como novo pedido de concordata.
• A notícia foi identificada como falsa no mesmo dia, mas ainda assim fechou 
11.2% abaio do dia anterior.
244
245
Violação da Lei de Um Preço
• Ações da Royal Dutch são transacionadas em Amsterdam e nos EUA; ações da 
Shell são transacionadas em Londres. Pode-se obter ADRs das duas nos EUA.
• Em 1907 houve uma fusão com o seguinte acordo: os fluxos de caixa são divididos, 
60% Royal e 40% Shell
• Se vale a lei de um preço, os preços da Royal deveria ser 1.5 o da Shell.
246
247
Violação da Aritmética
• Em 2/3/2000 a 3Com vendeu uma parte da sua participação na Palm através de um IPO da Palm,
retendo 95% das ações (equity carve-out). Anunciou também a intenção de spin off as ações restantes
da Palm aos seus acionistas antes do fim do ano, que receberiam 1.5 ações da Palm para cada ação.
• Pela lei de um preço, o preço de uma ação da 3Com deveria ser pelo menos 1,5 ações da Palm (3Com tinha
também outros negócios lucrativos).
• No dia anterior ao IPO da Palm a ação da 3Com fechou a $104.13. Depois do primeiro dia de 
transação, Palm fechou a $95.06. 3Com caiu no mesmo dia a $81.81 (3Com deveria ter pulado no 
mínimo para $142.59)
• O “stub value” da 3Com era -$60.78 (valor de mercado para os demais negócios de menos 23 
bilhões).
• O erro de precificação permaneceu por meses e logo no primeiro dia foi objeto de dois artigos no
WSJ e no NYT.
248
249
250
251
Testes da Forma Fraca: 
Padrões nos Retornos das Ações
Retornos sobre Horizontes Curtos: 
Os primeiros testes da HME eram testes da eficiência da 
análise técnica, ou seja, verificavam a existência de tendência 
nos preços das ações.
Uma forma de testar a existência de uma tendência numa 
série de preços seria verificar o sinal da correlação serial dos 
retornos.
252
Retornos sobre Horizontes Curtos (cont.): 
Resultado Empírico: Ações tendem a exibir correlação serial 
positiva, embora pequena, no curto prazo.
Obs.: Esse resultado vem do estudo de retornos semanais de 
ações da bolsa de NY. O fato de a correlação ser pequena 
impede a conclusão de que há oportunidade de ganhos com 
essa tendência.
Testes da Forma Fraca: 
Padrões nos Retornos das Ações
253
Regra de Filtro: Técnicas de comprar e vender uma ação 
baseando-se nos preços passados.
Resultado Empírico: As regras de filtro geralmente não geram 
retornos anormais.
Testes da Forma Fraca: 
Padrões nos Retornos das Ações
254
Efeito Reversão
De acordo com DeBondt & Thaler, em horizontes longos, as ações 
tendem a reverter suas performances: 
Ações que estiveram acima do mercado no passado tendem a estar abaixo
nos períodos seguintes e vice-versa: uma carteira com um grupo de ações
“perdedoras” teria um retorno 25% maior que o retorno de uma carteira
com um grupo de ações “ganhadoras” no período seguinte.
Testes da Forma Fraca: 
Padrões nos Retornos das Ações
255
Retornos sobre Horizontes Longos:
Resultado Empírico: Retornos de longo prazo têm alta correlação serial 
negativa, i.e., apresentam reversão à média.
Uma possível explicação para esse resultado é que os investidores reagem 
de forma excessiva às novas notícias relevantes e essa reação é corrigida 
com o tempo. A aparência da série, então, é de “overshootings” seguidos 
de correções nos preços.
Testes da Forma Fraca: 
Padrões nos Retornos das Ações
256
Previsores dos Retornos:
Muitos estudos sugerem que certas variáveis facilmente observadas 
podem ser usadas para prever o retorno das ações.
Exemplos: 
- Fama & French: razão preço / dividendo; 
- Campbell & Shiller: ganhos / dividendos; 
- Keim & Stambaugh: diferença entre títulos de firmas grandes e títulos de 
firmas pequenas.
Testes da Forma Fraca: 
Padrões nos Retornos das Ações
257
“Inside Information”
Resultado Empírico: Alguns economistas como Jaffe, 
Seyhun, Givoly e Palmon mostraram que, de fato, “insider 
trading” pode gerar retornos anormais.
Isso violaria a HME forte.
Testes da Forma Forte: 
Informação Privilegiada
258
Finanças Comportamentais
Uma possível explicação para essas anomalias de mercado é de que estas
seriam causadas por “irracionalidade” dos investidores.
O estudo dessas atitudes começou com os trabalhos dos psicólogos
Kahneman e Tversky.
Ajuda a entender um mundo onde mercados não são eficientes. Ou seja,
os preços não refletem fidedignamente os fundamentos.
259
• A abordagem de finanças comportamentais tem caráter positivo, mas não 
normativo:
– Ajuda a entender os mercados...
– mas não se recomenda que os agentes se comportem de acordo com ela.
• A teoria de finanças tradicionais retém seu caráter normativo.
260
Finanças Comportamentais
Finanças Comportamentais
• Finanças comportamentais se baseia em dois pilares:
1. Parte dos agentes