Unidade 2

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UNIDADE 2
NEGÓCIOS
Matemática para
Organizadores:
Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber Moraes 
Rute Henrique da Silva Ferreira
Conjuntos Numéricos, 
Equações Polinomiais e 
Sistemas Lineares 2x2
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
Objetivo Geral 
Resolver situações-problema envolvendo conjuntos e intervalos numéricos, bem como equações 
polinomiais.
Objetivos Específicos 
• Definir conjuntos numéricos;
• Resolver situações-problema aplicadas a gestão e negócios envolvendo equação de 1º grau e sistemas 
2x2.;
• Resolver situações-problema aplicadas a gestão e negócios envolvendo equação de 2º grau.
unidade 
2
30 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
2.1 Introdução
Prezado(a) aluno(a), você chegou à segunda unidade da disciplina. Essa unidade versará 
sobre os conteúdos relacionados aos conjuntos e intervalos numéricos e suas respectivas 
operações. Também estudaremos as equações polinomiais de grau 1 e 2 e os sistemas 
de equações 2x2.
Para uma melhor organização da unidade, ela estará dividida em subtópicos de estudo 
de modo a facilitar a sua compreensão e aprendizagem. Ao final de cada tópico geral, 
apresentaremos exemplos para fixar o que foi estudado.
Fique convidado a fazer e refazer os exemplos e exercícios, bem como os materiais 
indicados nos ícones “Vídeo”, para que possa aproveitar o máximo possível 
essa experiência.
Você já pensou como podemos, de forma sistemática e por meio da matemática, 
determinar o número exato de pessoas que gostam ou não de determinado produto, 
ou que falam um ou mais idiomas, ou que já viajaram para outros países, se tivermos 
algumas dessas informações?
Tais exemplos podem nos levar a pensar que há maneiras de representar matematicamente 
esse tipo de problema. Dessa forma, nos próximos tópicos, ao estudar conjuntos 
numéricos e equações, procuraremos situá-los em problemas contextualizados.
2.2 Conjuntos
Dizemos que conjunto é o agrupamento ou a reunião de elementos que possuem 
características bem definidas e uniformes. Podemos dizer que um conjunto pode ser 
formado por um grupo de pessoas, por uma turma, por uma espécie, por profissionais 
de determinada área e/ou profissão, por um conjunto de cidades, regiões, entre muitas 
outras associações. Dessa forma, consideramos que os objetos constituintes de cada 
conjunto são denominados elementos. Assim, um conjunto pode ter um número finito ou 
infinito de elementos, ou nenhum ou apenas um elemento, sempre a depender do caso.
Os conjuntos sempre são representados por letras maiúsculas e os 
elementos por letras minúsculas, entre chaves e separados por vírgula.
DICA
31 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Exemplo: Represente o conjunto dos meses do primeiro semestre do ano.
Exemplo: Represente o conjunto das capitais dos países da América do Norte.
Exemplo: Represente o conjunto das cores primárias:
2.2.1 Conjuntos Numéricos
Vamos estudar os conjuntos numéricos. Temos que pensar que os números estão 
organizados em conjuntos que possuem características em comum, como números 
positivos, números que podem ser escritos na forma de fração, entre outros. 
Dessa forma, apresentamos a seguir os conjuntos em que, até a atualidade, os números 
estão organizados.
Conjunto dos números naturais
Entende-se por números naturais todos os números inteiros positivos, incluindo-se 
o zero. A representação do conjunto se dá pela letra N. 
N = {0,1,2,3,4,5,...}
Conjunto dos números naturais sem o zero
Este é um subconjunto de N, no qual se exclui o zero. A representação do conjunto se 
dá pela letra N*.
N* = {1,2,3,4,5,...}
Conjunto dos números inteiros relativos
Entende-se por números inteiros relativos todos os números inteiros positivos com os 
seus respectivos números simétricos (opostos), incluindo-se o zero. A representação do 
conjunto se dá pela letra Z. 
Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
� �, , , , ,M janeiro fevereiro março abril maio junho�
� P Cidade do México, Washington D.C., Ottawa��
� �, , azC amare ul ve olo rmelh�
32 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Conjunto dos números inteiros relativos sem o zero
Este é um subconjunto de Z, no qual se exclui o zero. A representação do conjunto se 
dá pela letra Z*.
Z* = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...}
Conjunto dos números inteiros relativos positivos
Este é um subconjunto de Z, no qual se excluem todos os números inteiros negativos. A 
representação do conjunto se dá pela letra Z+. Podemos dizer ainda que Z+ = N. 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Conjunto dos números inteiros relativos negativos
Este é um subconjunto de Z, no qual se excluem todos os números inteiros positivos. A 
representação do conjunto se dá pela letra Z–.
Z– = {..., −3, −2, −1, 0}
Conjunto dos números inteiros relativos positivos sem o zero
Este é um subconjunto de Z, no qual se excluem todos os números inteiros negativos 
incluindo-se o zero. A representação do conjunto se dá pela letra *Z�. Podemos 
dizer ainda que * *Z N� ��
Conjunto dos números inteiros relativos negativos sem o zero
Este é um subconjunto de Z, no qual se excluem todos os números inteiros positivos 
incluindo-se o zero. A representação do conjunto se dá pela letra *Z�
Conjunto dos números racionais
Entende-se por números racionais o conjunto que diz respeito a todos os números 
inteiros, decimais finitos e infinitos periódicos (dízimas periódicas). A representação 
do conjunto se dá pela letra Q.
* , com p Z e qQ
q
Zp� �� ��
�
� �
�
� �* 1, 2,3, 4,5,...Z� �
� �* ..., 4, 3, 2, 1Z� � � � � �
33 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Conjunto dos números irracionais
Entende-se por números irracionais todos os números que não possuem valor exato 
e não se permitem ser escritos na forma fracionária. A representação do conjunto se 
dá pela letra I.
Conjuntos dos números reais
Entende-se por conjunto dos números reais todos os números racionais e irracionais, 
ou seja, é a união dos conjuntos Q e I. A representação do conjunto se dá pela letra R.
Figura 2.1: Representação dos conjuntos numéricos.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
2.2.2 Representação de Conjuntos
Os conjuntos numéricos podem ser expressos por compreensão ou por extensão.
Por compreensão
Os conjuntos representados por compreensão são expressos por uma propriedade que 
possa caracterizar os elementos desses conjuntos.
Exemplo:
A = {x ∈ N / x > 6}
Por extensão
Números
Números Naturais: N
Números Inteiros: Z
Números Racionais: Q
Números Complexos: C
Números Irracionais: I
Reais: R = Q U I
34 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Os conjuntos representados por extensão destinam-se a enumerar os elementos do 
conjunto em ordem crescente.
Exemplo:
A = {9, 10, 11...}
Por diagrama de Venn – Euler
Outra forma de representação de conjuntos é através de diagramas, onde cada conjunto 
é representado pela região limitada por uma linha fechada. Quando esta linha é uma 
circunferência o diagrama é dito de Venn ou e Venn-Euler.
4.
5.
6.
2.
1.
3.
2.2.3 Tipos de Conjuntos
Os conjuntos podem ser classificados em: a) vazio; b) unitário; c) finito; e d) infinito.
a. Conjunto vazio ou nulo
É o conjunto que não possui nenhum elemento, representado por { } ou por ∅.
b. Conjunto unitário
É o conjunto que possui apenas um elemento.
Exemplo:
P = {2}
c. Conjunto finito
É o conjuntoque, de modo intuitivo, possui um número determinado de elementos.
Exemplo:
35 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
� �/ 3 8B x N x� � � �
� �4,5,6,7B �
d. Conjunto infinito
É o conjunto que, de modo intuitivo, possui um número indeterminado de 
elementos, ou seja, infinitos elementos.
Exemplo:
� �/ 8C x Z x� � �
� �...,5,6,7C �
2.2.4 Relações de Pertinência
Entende-se por relações de pertinência quando um elemento faz ou não parte de um 
determinado conjunto. É dizer se um número x qualquer pertence ou não pertence a 
um conjunto. As relações são representadas pelos seguintes símbolos: ∈ (pertence) e 
∉ (não pertence).
Exemplos:
a. 5 N�
b. 7 Z� �
c. 11 Q�
d. 3 2 I� �
e. 1
7
R�
36 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
2.2.5 Operações com Conjuntos
União
A união de dois conjuntos A e B, que se indica por A B� , é o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B, ou seja, � � / A B x x A ou x B� � � � .
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4,6,8}, C = {1,3,5,7} determine:
a. � �1,2,3,4,5,6,8A B� �
b. � �1,2,3,4,5,7A C� �
c. � �1,2,3,4,5,6,7,8B C� �
d. � �1,2,3,4,5,6,7,8A B C� � �
Neste exemplo, você pode perceber que os elementos de cada conjunto foram reunidos 
com os demais conjuntos. Além disso, pode notar que não se repete o elemento que há 
em mais de um conjunto, pois entende-se que ele é o mesmo elemento nos dois.
Intersecção
Dizemos que a intersecção de dois A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem 
ao conjunto A e ao conjunto B, ou seja, { } / A B x x A e x B∩ = ∈ ∈ Indicamos por A B�
. Além disso, dizemos que dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção de A B� é 
um conjunto vazio.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7}, determine:
� �
� �
� �
� �
) 2, 4
) 1,3,5
)
)
a A B
b A C
c B C
d A B C
� �
� �
� �
� � �
37 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Neste exemplo, você pode perceber que os elementos de cada conjunto foram selecionados 
com os iguais dos demais conjuntos. Quando o conjunto fica vazio, significa que não 
houve nenhum elemento igual.
Diferença
A diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não 
pertencem a B, ou seja, � � / A B x x A Be x� � � � . Indicamos por A − B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7}, determine:
a) A − B = {1, 3, 5}
b) A − C = {2, 4}
c) B − C = {2, 4, 6, 8}
Neste exemplo, você pode notar que apenas os elementos do primeiro conjunto que não 
estão no segundo conjunto são expressos na operação. Pode perceber também que no 
exemplo “c” o conjunto é o próprio B, pois não há nenhum elemento de B em C.
Aplicando: operações de conjuntos
1. Para uma vaga de emprego em uma grande rede de hotéis foram entrevistados 20 
candidatos, dos quais 12 falavam a língua inglesa, 5 a língua espanhola e 3 candidatos 
falam ambos idiomas (inglês e espanhol). O número de candidatos que não falavam 
nenhuma das línguas (inglesa e espanhola) é:__________
Resolução:
Para chegarmos ao Diagrama de Venn que representa essa situação, vamos seguir os 
seguintes passos:
1°) Atribuir as letras “I” para o conjunto de candidatos que fala a língua inglesa e “E” 
para os candidatos que falam a língua espanhola;
2º) Escrever o número 20 (totalidade de candidatos) em nosso diagrama, para representar 
o número de elementos do nosso conjunto universo.
3°) Preencher os elementos que estão nos dois conjuntos, ou seja, na intersecção 
entre os conjuntos. Assim, vamos escrever na intersecção o número 3, que 
representa os candidatos que falam ambos idiomas (inglês e espanhol). 
Esse valor deve ser descontado de todos os outros conjuntos.
38 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
4°) Como 12 candidatos falavam a língua inglesa, mas 3 já foram contados, resta 
preencher 9 no conjunto “I”.
5°) Como 5 candidatos falavam a língua espanhola, mas 3 já foram contados, resta 
preencher 2 no conjunto “E”.
6°) Somando os 3 candidatos que falam inglês e espanhol, com os 9 candidatos que falam 
apenas Inglês, mais os candidatos que falam apenas espanhol, totaliza 14 candidatos. 
Logo, concluímos que 6 candidatos não foram contabilizados, assim eles não falam 
inglês, nem espanhol.
9
6
20
3 2
I E
2. Numa pesquisa sobre a utilização de dois produtos, foram consultados 470 pessoas e 
o resultado foi o seguinte: 250 delas consomem o produto A, 180 consomem o produto 
B e 60 consomem os produtos A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?
b) Quantas pessoas consomem apenas o produto B?
c) Quantas pessoas entrevistadas não consomem a nenhum desses produtos?
Resolução:
Para chegarmos ao Diagrama de Venn que representa essa situação, vamos seguir os 
seguintes passos:
1°) Atribuir as letras “A” para o conjunto de consumidores do produto A e “B” para o 
conjunto de consumidores do produto B;
2º) Escrever o número 470 (totalidade de pessoas consultadas) em nosso diagrama, para 
representar o número de elementos do nosso conjunto universo.
3°) Preencher a intersecção entre os conjuntos: 60 pessoas consultadas consomem os 
produtos A e B. 
39 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
4°) Como 250 pessoas consomem o produto A, mas 60 já foram contadas, restam 
190 pessoas que consomem apenas o produto A, respondendo a letra “a” dessa 
situação problema.
5°) Como 180 pessoas consomem o produto B, mas 60 já foram contadas, restam 
120 pessoas que consomem apenas o produto B, respondendo a letra “b” dessa 
situação problema.
6°) Somando os 60 entrevistados que consomem os produtos A e B, com os 
190 que consomem apenas o produto A e os 120 que consomem apenas o 
produto B, totaliza 370 pessoas que consomem pelo menos um dos produtos. 
Logo, para responder a questão destacada na letra “c” e saber quantas pessoas 
entrevistadas não consomem a nenhum desses produtos, devemos subtrair do 
total de pessoas entrevistadas, as 470, pelo valor de 370 que representa as pessoas 
que consomem pelo menos um dos produtos que foi calculado anteriormente. 
Assim, concluímos que 100 pessoas não consomem os produtos A e B.
 
190
100
470
60 120
A B
3. Foi realizada uma pesquisa com 100 pessoas sobre o uso de três marcas de produtos. 
Constatou-se, então, que 65 pessoas usam Produtos de marca 1; 60 usam Produtos de 
marca 2; 50 usam Produtos de marca 3; 35 pessoas usam Produtos de marca 1 e Produtos 
de marca 2; 30 pessoas usam Produtos de marca 2 e Produtos de marca 3; 20 pessoas 
usam Produtos de marca 1 e Produtos de marca 3 e 10 pessoas usam as 3 marcas. Qual é 
o número de entrevistados que respondeu não usar nenhum dos produtos dessas marcas?
Resolução:
Para chegar ao Diagrama de Venn, exposto na figura, é necessário três conjuntos 
interligados entre si, de modo que cada um corresponda às três marcas de produtos. 
Vamos construir o seguir os seguintes passos:
1°) Atribuir “P1” para Produtos de marca 1; “P2” para Produtos de marca 2; “P3” 
para Produtos de marca 3.
40 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
2°) Escrever na intersecção entre os 3 conjuntos o número 10, pois 10 pessoas 
usam as 3 marcas. 
3°) Como 20 pessoas usam os Produtos de marca 1 e os Produtos de marca 3, mas 
já haviam 10 que utilizavam as três marcas, então restam 10 pessoas. 
4°) Como 30 pessoas usam os Produtos de marca 2 e Produtos de marca 3, mas já 
haviam 10 que utilizavam as três marcas, então restam 20 pessoas. 
5°) Como 35 pessoas usam os Produtos de marca 1 e os Produtos de marca 2, mas 
já haviam 10 que utilizavam as três marcas, então restam 25 pessoas.6°) Como 50 usam os Produtos de marca 3, mas 40 já foram contabilizados 
anteriormente, então, restaram apenas 10 pessoas que usam somente os 
Produtos de marca 3.
7°) Como 60 usam os Produtos de marca 2, mas 55 já foram contabilizados 
anteriormente, então, restaram apenas 5 pessoas que usam somente os 
Produtos de marca 2.
8°) Como 65 usam os Produtos de marca 1, mas 45 já foram contabilizados 
anteriormente, então, restaram apenas 20 pessoas que usam somente os 
Produtos de marca 1. 
9°) Somando todas as pessoas que responderam utilizar de pelo menos uma 
das marca temos 100 pessoas. Logo, todos os 100 entrevistados gostam de pelo 
menos uma das marcas.
20 25 5
10
10
10
P
20
1 P2
P3
100
41 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Portanto, o número de pessoas que não gostam de nenhuma das marcas é zero!
2.2.6 Intervalos Numéricos
Dizemos que os intervalos numéricos são considerados subconjuntos pertencentes ao 
conjunto dos números reais R , nos quais são descritos na reta numérica, pela forma 
geométrica. Desse modo, dizemos que os números se referem aos pontos da reta 
numérica e os pontos representam números reais.
Exemplos:
1. Represente o subconjunto de R sabendo que são números reais compreendidos entre 
–2 e 5, excluindo-se os extremos. 
Representação
Por compreensão: � �/ 2 5A x R x� � � � �
Por intervalo: � �2,5A � � 
Na reta numérica:
Figura 2.2: Intervalo do conjunto A.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo aberto
2. Represente o subconjunto de R sabendo que são números reais compreendidos entre 
3 e 10, incluindo o 3 e excluindo o 10.
Representação
Por compreensão: � �/ 3 5B x R x� � � �10}
Por intervalo: � �3,10B �
Para compreender melhor a aplicabilidade da matemática e sua história, 
assista ao documentário da BBC “A História da Matemática”. 
SAIBA MAIS
-2 5
42 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Na reta numérica: 
Figura 2.3: Intervalo do conjunto B.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
3. Represente o subconjunto de R sabendo que são números reais compreendidos entre 
–4 e 1, excluindo o 4 e incluindo o 1.
Representação
Por compreensão: � �/ 4 1C x R x� � � � � 
Por intervalo: � �4,1C � �
Na reta numérica: 
Figura 2.4: Intervalo do conjunto C.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
4. Represente o subconjunto de R sabendo que são números reais compreendidos entre 
–5 e –1, incluindo os extremos.
Representação
Por compreensão: � �/ 5 1D x R x� � � � � � 
Por intervalo: � �5, 1D � � �
Na reta numérica:
3 10
-4 1
43 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Figura 2.5: Intervalo do conjunto D.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo fechado
5. Represente o subconjunto de R sabendo que são números reais compreendidos à 
esquerda de 5, incluindo-se o próprio 5. 
Representação
Por compreensão: � �/ 5E x R x� � � 
Por intervalo: � �,5E � ��
Na reta numérica: 
Figura 2.6: Intervalo do conjunto E.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo infinito e fechado à direita
6. Represente o subconjunto de R sabendo que são números reais compreendidos à 
esquerda de 7, excluindo-se o próprio 7.
Representação
Por compreensão: � �/ 7F x R x� � � 
Por intervalo: � �,7F � ��
Na reta numérica: 
-5 -1
5
44 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Figura 2.7: Intervalo do conjunto F.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo infinito e aberto à direita
7. Represente o subconjunto de R, sabendo que são números reais compreendidos à 
direita de 1, excluindo o próprio 1.
Representação
Por compreensão: G = {x ∈ R / x > 1}
Por intervalo: � �1,G � ��
Na reta numérica:
Figura 2.8: Intervalo do conjunto G.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo infinito e aberto à esquerda
8. Represente o subconjunto de R sabendo que são números reais compreendidos à 
direita de –4, incluindo o próprio –4.
Representação
Por compreensão: � �/ 4H x R x� � � �
Por intervalo: � �4,H � � ��
7
1
45 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Na reta numérica:
Figura 2.9: Intervalo do conjunto H.
Fonte: Elaborada pelo autor (2016).
Característica: intervalo infinito e fechado à esquerda
2.3 Equações Polinomiais ou Algébricas
Denominamos equação polinomial ou algébrica toda equação que possui a forma p(x) = 0. 
Consideramos p(x) um polinômio qualquer, sendo que é 11 1 0( ) ... ¹n nn np x a x a x a x a��� � � � � 
de grau n, com 1 �� neNn .
Exemplos: 
1) x + 14 = 0 é uma equação do primeiro grau.
2) x2 + 2x + 12 = 0 é uma equação do segundo grau.
3) x3 – x2 + x – 1 = 0 é uma equação do terceiro grau.
4) x4 + 2x3 + x2 – x – 5 = 0 é uma equação do quarto grau.
2.3.1 Equações Polinomiais do Primeiro Grau
Chamamos de equação polinomial do primeiro grau toda equação que possa ser escrita 
na forma 0ax b� � , sendo a e b coeficientes da equação, com 0a � e x a variável ou 
incógnita, que representa um termo desconhecido. Cabe destacar que toda equação é 
uma sentença matemática que possui uma relação de igualdade. 
Exemplo:
a) x + 5 = 0
b) 3y - 3 = 0
-4
46 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Resolução de Equação do Primeiro Grau:
1. Resolva a equação 7 0x � �
� �
7 0
7
7
x
x
S
� �
� �
�
2. Resolva a equação 3( 5) 5x x� � �
� �
3( 5) 5
3 15 5
3 5 15
2 20
20
2
10
10
x x
x x
x x
x
x
x
S
� � �
� � �
� � � �
� �
� �
� �
� �
3. Resolva a equação 
Primeiro fazemos o mínimo múltiplo comum (M.M.C) dos números 3 e 1. Após termos 
o denominador comum, o eliminamos e resolvemos somente os numeradores.
2 6
3
6 18
3 3
7 18
3 3
x x
x x
x
� �
�
�
�
47 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
2 6
3
6 18
3 3
7 18
3 3
x x
x x
x
� �
�
�
�
Assim, teremos:
A resolução de situações-problema com equações do primeiro grau é muito comum 
no cotidiano. No entanto, vale a pena lembrar que há algumas expressões que 
representam as variáveis que utilizaremos para descobrirmos os valores dos termos 
desconhecidos. Vejamos
Lembre-se que:
• dobro de um número = 2x
• triplo de um número = 3x
• quádruplo de um número = 4x
• quíntuplo de um número = 5x
• sêxtuplo de um número = 6x
• a metade de um número = 2
x
• a terça parte de um número = 3
x
48 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
• a quarta parte de um número = 4
x
• a quinta parte de um número = 
5
x
• a sexta parte de um número = 
6
x
Aplicando: equações de primeiro grau
1. Para que o perímetro da figura tenha 60 cm, quanto valerá a incógnita “x”:
2x + 4
x + 5
Resolução:
Perímetro é a soma do contorno na figura. Assim, temos que
x + 5 + 2x +4 + x+5 + 2x + 4 = 60
6x +18 = 60
6x = 60 - 18
6x = 42
x= 
x= 7cm
A medida da incógnita é 7. As medidas da figura são 12 cm e 18 cm. Encontramos as medidas 
substituindo o valor sete nas expressões da figura (x+5) e (2x+4).
2. Descubra o valor do custo total de um determinado produto, sabendo que um quarto da 
quantia representa gastos de mão de obra, metade da quantia representa a matéria prima e o 
restante, totalizando R$ 25,00, representam o que é pago de impostos.
Resolução:
Quantia: x 
Um quarto da quantia: 
42
6
x
4
49 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Metade: 
Equação do problema: 
MMC (4,2) = 4
 
(simplificando os denominadores)
 
x + 2x + 100 = 4x
4
x + 2x + 100 = 4x
3x + 100 = 4x
3x - 4x = -100
-x= -100
x = 100
O Custo total do produto é R$ 100,00. 
3. Em uma pequena empresa o gasto total com folha de pagamento compreende ao valor total 
de R$ 11200,00 reais mensais. Este valor corresponde a renda de 3 funcionários. Sabendo que 
a folha de pagamento do funcionário B é o dobro da do funcionário A e a do funcionário C é 
a metade que o Funcionário A. Qual a renda de cada funcionário?
Resolução:
Funcionário A: x
Funcionário B: 2x
Funcionário C: 
Equação do problema: 
MMC (2, 1) = 2
2x + 4x + x = 22400
7x = 22400
x = 3200
Folha de pagamento do Funcionário A é de R$ 3200,00, Funcionário B de 
R$ 6400,00 e Funcionário C é R$ 1600,00.
x
2 x + +x4 2 25 = x
x
2
2xx ++ x2 = 11200
2x + 4x + x = 22400
2
50 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
2.3.2 Sistemas Lineares 2x2
Um sistema de equações lineares 2x2 é um conjunto de equações do tipo:
{
a11 + a12 y = b1
a21 + a22 y = b2
 com aij, números reais (ou complexos).
Uma solução do sistema 2x2 é um par de números (x,y) que satisfaça simultaneamente 
estas 2 equações.
Exemplo: Verifique se o par ordenado (2, 0) é uma solução do seguinte sistema linear:
{
x – y = 2
3x + 2y = 6
Resolução:
Para fazer a verificação, basta substituir x = 2 e y = 0 nas equações. Assim, temos:
x - y = 2 2 - 0 = 2
2 = 2
3x + 2y = 6
3.2 + 2.0 = 6
6 + 0 = 6
6 = 6
Logo, o par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear, pois substituímos os valores de x 
e y nas duas equações e a sentença apresenta-se verdadeira.
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se toda solução de 
qualquer um dos sistemas também é solução do outro. Por exemplo, o sistema { x – 7y = 2
3x + 4y = 6 
é equivalente ao sistema do exemplo anterior, pois o par (2,0) é 
solução de ambos.
Um sistema de equações pode ser possível ou impossível. Caso seja possível pode ter 
solução única (determinado) ou infinitas soluções (indeterminado). O esquema abaixo 
ilustra essa situação.
{ {impossível indeterminado (mais de uma solução)possível
determinado (solução única)
Podemos relacionar os sistemas 2x2 com retas no plano. Quando apresentam solução única, 
representam retas concorrentes. Quando apresentam mais de uma solução, representam retas 
coincidentes. Quando são impossíveis, representam retas paralelas.
51 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
6 + 0 = 6 
6 = 6 
Logo, o par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear, pois substituímos 
os valores de x e y nas duas equações e a sentença apresenta-se verdadeira. 
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se toda 
solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro. Por exemplo, 
o sistema é equivalente ao sistema do exemplo anterior, pois o par 
(2,0) é solução de ambos. 
Um sistema de equações pode ser possível ou impossível. Caso seja possível 
pode ter solução única (determinado) ou infinitas soluções (indeterminado). O 
esquema abaixo ilustra essa situação. 
 
Podemos relacionar os sistemas 2x2 com retas no plano. Quando apresentam 
solução única, representam retas concorrentes. Quando apresentam mais de 
uma solução, representam retas coincidentes. Quando são impossíveis, 
representam retas paralelas. 
Sistema possível determinado: 
 
 
Sistema possível indeterminado: 
 
 
 Sistema impossível: 
 
 
 
 
52 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
2.3.3 Resolução de um Sistema Linear 2x2
Resolução algébrica pelo método da substituição
Resolva o seguinte sistema linear : 
 


x + y = 3
x + 2y = 4
Isola-se x na primeira equação: x + y = 3 → x = 3 - y (I)
Substituindo (I) em x + 2y = 4, obtem-se: (3-y) + 2y = 4 → y = 1
Substituindo y por 1 em (I), determina-se o valor de x: x = 3 − 1 → x = 2
Logo, a solução do sistema é: S ={(2, 1)}. Sendo o primeiro elemento sempre o x e o 
segundo o y: S ={(x, y)}
Resolução algébrica pelo método da adição
Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas equações no intuito de obter 
resultado igual à zero. Veja a resolução do sistema a seguir: 
Logo, a solução do sistema é: S ={(3, 7)}.
 


x + 2y = 17
x – 2y = – 11
 


x + 2y = 17
x – 2y = – 11 +
Substituir, x=3 
x+ 2y = 17
3 + 2y = 17
2y = 17 – 3
2y = 14
y = 14
2x – 0y = 6
2x = 6
x = 6
x = 3 y = 7
2 2
53 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Outro Exemplo: Resolva o seguinte sistema 
Substituindo y = -2 em uma das igualdades, temos:
x − 2y = 5
x − 2 . (−2) = 5
x + 4=5
x = 5 - 4
x = 1
Logo, a solução do sistema é: S ={(1, -2)}.
2.3.4 Aplicando Sistemas Lineares
Um sistema de equações lineares 2x2 é um conjunto de equações do tipo:
1. Através de uma pesquisa, realizada por uma seguradora, verificou-se que a quantidade 
de carros roubados ao ano gira em torno de 150. O número de carros roubados da 
marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y 
juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros 
roubados da marca Y é:
Resolução:
A Marca x é o dobro do número de carros da Marca y 2x = y
As duas marcas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. 60% de 150 = 90
x + y = 90
 


x – 2y = 5
2x + 3y = – 4
 


x – 2y = 5 (– 2)
2x + 3y = – 4
 


– 2x + 4y = – 10
 2x + 3y = – 4
7y = – 14
y = – 2
y = 147
54 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Montamos assim, um sistema de equações: { x + y = 90
2x = y
Pelo método de substituição, 2x = y
x + y = 90 x + 2x = 90
3x = 90 ===> x = 90/3 ===> x= 30
Retomando: 2x = y y = 2 . 30
y = 60.
Logo, a solução do sistema é: S ={(30, 60)}. Resposta:60 carros.
2. Em uma compra, um comerciante pagou R$ 20,00 por pares de brincos e R$ 
50,00 por colares. Se ele comprou 90 peças (entre pares de brincos e colares) e gastou 
R$ 3.300,00 ao todo, então qual é a quantidade de pares de brincos e a quantidade de 
colares adquiridas?
Resolução:
Vamos adotar as seguintes incógnitas:
quantidade de pares de brincos: x
quantidade de colares: y
Se o comerciante comprou 90 peças, então:
x + y = 90 (I)
Cada par de brinco custou R$ 20,00; cada colar, R$ 50,00; e o gasto total foi 
R$ 330,00. Assim temos: 20x + 50y = 3300.
0x + 30y = 1500
y = 1500/30
y = 50
 


 


 


 x + y = 90
20x + 50y = 3300
x + y = 90 . (− 20)
20x + 50y = 3300
− 20x − 20y = − 1800
20x + 50y = 3300
55 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Para descobrirmos o valor de x substituímos em qualquer das duas equações o y por 
50 . Assim temos: 
x + y = 90
x + 50=90
x = 90 − 50
x = 40
Logo, a solução do sistema é: S = {(40, 50)}. Resposta para a situação: foram adquiridos 
40 pares de brincos e 50 colares.
3. Um grupo empresarial tem suas atividades divididas em dois setores: Informática 
e Móveis. Cada equação linear que compõe o sistema abaixo representa a capacidade 
de uma regional de produzir valor agregado para o grupo, em cada setor de atividade 
(primeiro membro), visando ao alcance de metas de lucro operacional em milhões de 
reais (segundo membro). De acordo com estes dados, qual o valor mínimo com que 
cada setor deverá contribuir, visando alcançar estas metas? 
x - Informática
y - Móveis
 


 0,2x + 0,5y = 544
0,3x + 0,4y = 536
Resolução:
Vamos multiplicar a equação (1) por -0,3 e a equação (2) por 0,2.
 


 –0,06x – 0,15y = –163,2
0,06x + 0,08y = 107,2
Agora somamos as duas equações.
−0,07y = −56
y = − 56 = 800
−0,07
Então substituímos o valor de y na primeira equação:
0,2x + 0,5.800 = 544
0,2x = 544 − 400
x = 144 = 720
0,2
56 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Logo, a solução do sistemaé: S = {(720, 800)}. Resposta: Os valores mínimos com que 
cada setor deverá contribuir será de 720 no setor de Informática e 800 no setor de Móveis.
Assim, podemos observar a importância das equações de 1º grau e dos sistemas 2x2 em 
situações aplicadas. Vamos agora estudar as equações de 2º grau.
2.3.5 Equações Polinomiais do Segundo Grau
Chamamos de equação polinomial do segundo grau toda equação que pode ser reduzida 
na forma ² 0ax bx c� � � , com a, b e c coeficientes, com 0a � e x sendo a variável.
2.3.5.1 Equações Incompletas
Para as equações do segundo grau serem consideradas incompletas, faz-se necessário 
que um dos coeficientes, b ou/e c, seja igual a zero, como nos dois casos que 
veremos a seguir.
1º Caso: Equações do tipo ax2 + bx = 0
Para esse caso, a equação é incompleta, pois 0c � .
Dessa forma, nesse caso podemos utilizar a fatoração por fator comum 
(colocar a incógnita em evidência) para resolver as equações.
Observe os exemplos a seguir:
1. Quais as raízes reais da equação x² + 3x = 0 ?
x.(x + 3) = 0
x = 0
x + 3 = 0
x = - 3
57 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
S = {-3,0}
As raízes da equação são –3 e 0.
2. Encontre as raízes reais da equação 5x² - 10x = 0
� �
5 ² 10 0
5 ( 2) 0
5 0
0
5
0
2 0
2
0,2
x x
x x
x
x
x
x
x
S
� �
� �
�
�
�
� �
�
�
2º caso: Equações do tipo ax2 + c = 0
Para esse caso, considera-se equação incompleta, pois b = 0. Veja os exemplos para 
resolver as seguintes equações:
1. Resolva a equação x² - 81 = 0
Observe que no exemplo 2 o resultado da fatoração ficou 5x2 – 10x 
= 0. 0 5 ficou para fora dos parênteses, pois foi realizado o máximo 
divisor comum (m.d.c.) de 5 e 10.
DICA
58 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
x² − 81 = 0
x² = 81
x =+− √ 81
x =+− 9
S = {−9,9}
2. Considerando a equação 5x² - 20 = 0, determine as suas raízes.
5x² - 20 = 0
5x² = 20
x² = 4
x² = 205
x =+−√ 4
x =+− 2
S = {−2,2}
3. Encontre as raízes reais da seguinte equação: 
� �
 
, 
² 16 0
² 16
16
 
x
x
Logo S
x R
� �
� �
� � � �
�
Lembre-se que a equação não possui raiz real, pois nesse conjunto não 
há raiz de número negativo, mas que existirá raiz se considerarmos 
o conjunto dos números complexos. Logo, não se pode dizer que não 
existe, mas que não pertence. Nesse caso, se fosse considerado o 
conjunto dos complexos, 16 4i� � .
DICA
59 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
3º caso: Equações do tipo ax2 = 0
Para esse caso, considera-se equação incompleta, pois b = 0, c = 0. Veja os exemplos 
para resolver as seguintes equações:
1. Resolva a equação x² = 0.
x² = 0
x² = 01
x = +− √ 0
x = 0
S = {0}
2. Resolva a equação 7x² = 0.
7x² = 0
x² = 07
x =+−√ 0
x² = 0
x = 0
S = {0}
2.3.5.2 Equações Completas
As equações polinomiais do 2º grau são consideradas completas quando todos os 
coeficientes são diferentes de zero.
3º Caso: Equações do tipo ax2 + bx + c = 0
60 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Desse modo, para resolver equações desse tipo, utilizaremos a fórmula de Bháskara.
x = − b
+
−√ ∆
2a
∆ = b² ₋ 4ac
Quando se resolve uma equação polinomial do segundo grau pela fórmula de Bháskara, 
é importante analisar o valor do discriminante, pois ele determina o número de raízes 
reais da equação. Vejamos:
Discriminante: Denominamos discriminante o radical b² − 4ac que é 
representado pela letra grega ∆ (delta).
GLOSSÁRIO
Discussão do discriminante
1º Caso: ∆ > 0: Quando o delta é maior que zero, a equação possui duas raízes 
reais e distintas;
2º Caso: ∆ = 0: Quando o delta é igual a zero, a equação possui duas raízes reais e iguais.
3º Caso: ∆ < 0: Quando o delta é menor que zero, a equação não possui raízes reais.
Para conhecer um pouco da história sobre as equações do segundo grau e da 
fórmula de Bháskara, acesse o vídeo 1. Disponível em: http://gg.gg/nrz7e.
Para ver a dedução da fórmula de Bháskara, acesse o vídeo 2. Disponível em: 
http://gg.gg/nrz7j.
VÍDEO
VÍDEO 1 VÍDEO 2
61 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Vamos ver alguns exemplos:
1. Determine as raízes da equação ² 5 6 0x x� � � . 
Iniciamos identificando os coeficientes:
1
5
6
a
b
c
�
�
� �
Depois calculamos o discriminante:
² 4
(5)² 4.1.( 6)
25 24
49
b ac� � �
� � � �
� � �
� �
Como o resultado do discriminante foi maior que zero, temos que ter duas raízes reais 
e diferentes como solução da equação.
Em seguida, aplicamos a fórmula de Bháskara:
62 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
� �
2
2
4
2
5 5 4.1.( 6)
2.1
5 25 24
2
5 49
2
5 7
2
5 7'
2
2'
2
' 1
5 7''
2
12''
2
'' 6
6,1
b b acx
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
S
� � �
�
� � � �
�
� � �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
� �
� �
Logo, � �6,1S � �
63 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Forma fatorada:
Todo polinômio de grau n, com n ≥ 1, f(x) = anxn + an-1x
n-1
 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + 
a0, pode ser decomposto em fatores lineares da forma f(x) = (x – x1) . (x – x2) ... (x – xn) 
onde x1, x2,..., xn são as raízes de f(x).
Logo, a forma fatorada de uma equação quadrada ax² + bx + c = 0 é: 
a.(x - x’) . (x - x’’) = 0
Exemplo: Escreva a forma fatorada da equação: x²+5x-6=0
Calculamos as raízes da equação x²+5x-6=0 anteriormente utilizando a fórmula de 
Bháskara e encontramos as seguintes raízes x’=1 e x’’= - 6,
assim, substituindo a.(x - x’) . (x - x’’) = 0
Temos 1.(x-1).(x+6)=0 como forma fatorada.
Resposta: (x-1).(x+6)=0
Observação: Se resolvermos essa expressão, voltamos a ter a equação anterior.
Vejamos outro exemplo:
2. Determine as raízes da equação
2x² − 6x − 20 = 0
∆ = b²− 4 . a . c 
∆ = (−6)²− 4 . 2 . (−20)
∆ = 36 + 160 
∆ = 196 
a = 2
b = −6
c = −20
Como o resultado do discriminante foi maior que zero, temos que ter duas raízes reais 
e diferentes como solução da equação.
Em seguida, aplicamos a fórmula de Bháskara
64 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Como o resultado:
Forma fatorada:
2 . (x + 2) . (x - 5) = 0
3. O quadrado de um número subtraído com esse número é igual a –1. 
Quais são os possíveis valores desse número?
Podemos perceber que é um problema de equação do segundo grau. Assim, vamos 
utilizar este passo a passo para facilitar a resolução do problema.
Passo a passo para resolução de situações-problema de equações:
1. Identifique as informações relevantes ao problema; 
2. Monte uma equação que represente o problema a ser solucionado;
3. Resolva a equação;
4. Determine o conjunto solução;
5. Responda o problema de forma adequada. 
Informações do problema:
Vamos chamar um número de x;
S = {−2, 5}
x = − b
+
−√ ∆
2.a
x = − (− 6)
+
− √ 196
2.2
x = 6
+
−14
4
xl = 6 + 144 = = 5
20
4
xll = 6 − 144 = = −2
-8
4
65 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
O quadrado desse número será x2.
Equação
² 1x x� � �
Resolução
2
² 1
² 1 0
1
1
1
² 4. .
( 1) 4.1.1
1 4
3
3
x x
x x
a
b
c
b a c
R
� � �
� � �
�
� �
�
� � �
� � � �
� � �
� � �
� � � �
Como o delta foi negativo, então a equação não possui raiz real.
Solução
Logo, o conjunto solução é vazio, ou seja, � �S � ou S ��
Resposta:
Esse problema não tem solução no conjunto dos números reais.
4. Sabe-se que o quadrado de um número somado com o seu quádruplo é igual a –4. 
Nessas condições, quais os possíveis valores desse número?
Informações do problema.
o quadrado de um número: x2
o quádruplo de um número: 4x
Equação
² 4 4x x� � �
66 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henriqueda Silva Ferreira
Resolução:
² 4 4
² 4 4 0
1
4
4
² 4
4² 4.1.4
16 16
0
x x
x x
a
b
c
b ac
� � �
� � �
�
�
�
� � �
� � �
� � �
� �
Como o delta deu igual a zero, sabemos que temos que ter duas raízes reais e iguais. 
Aplicando na Bháskara, temos:
2 4
2
2
4 0
2.1
4 0
2.1
4' ''
2
' '' 2
b b acx
a
bx
a
x
x
x x
x x
� � �
�
� � �
�
� �
�
� �
�
� � �
� � �Solução: � �2, 2S � � � ou apenas � �2S � � . 
Resposta: O valor é –2.
Forma fatorada:
(x + 2) . (x + 2) = 0
67 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Aplicando: equações de segundo grau
1. Seja R= − q2 + 40q, onde “R” representa a renda de determinada empresa e “q” a 
quantidade de unidades vendidas. Calcule a quantidade de unidades vendidas, sabendo 
que a Renda de empresa foi de R$ 375,00.
Resolução:
Equação do problema: 
− q2 + 40q = 375
− q2 + 40q − 375 = 0
∆ = b²− 4 . a . c 
∆ = 40²− 4 . (−1) . (−375)
∆ = 1600 - 1500 
∆ = 100 
a = −1
b = 40
c = −375
q = − b
+
− √ ∆
2.a
q = − 40
+
−√100 
2.(−1)
q = − 40
+
−10
−2
ql = −40 + 10
−2 = = 15
−30
−2
qll = − 40 − 10
−2 = = 25
−50
−2
68 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Resposta:
Para obter R$ 375,00 de renda a empresa terá que vender 15 ou 25 unidades.
2. O Gerente de Produção de uma Empresa que fabrica parafusos automotivos pretende 
realizar uma ampliação no layout do “chão” da fábrica, afim de facilitar o f luxo de 
seus colaboradores, o f luxo da produção e a manutenção das máquinas. Nesse sentido 
haverá uma reforma que amplia o espaço. O espaço atual mede 26 m de comprimento 
e 16 m de largura.
26
16
x
x
Desta forma, ao fundo do terreno e em uma de suas laterais — como mostra a figura 
anterior — serão a acrescentadas duas faixas de mesma largura. Com essa expansão, a 
nova área medirá 816 m2. Qual será a largura da área acrescentada?
Resolução:
Interpretando o problema:
Acrescentando esse novo espaço, o novo terreno, também retangular, teria dimensões
(x + 26) e (x + 16).
Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões e que a nova área 
é de 816 m2, podemos, então, escrever:
(x + 26) (x + 16) = 816
Desenvolvendo a equação, obtemos:
x2 + 42x +416 = 816
Utilizando o princípio de equivalência, temos:
x2 + 42x + 416 – 816 = 0
69 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
x2 + 42x – 400 = 0
Logo, x = 8 ou x = – 50
Analisando os resultados encontrados, o valor – 50 não pode ser usado no problema, 
pois não existem medidas negativas para representar a grandeza “largura”.
Resposta: A faixa terá 8 m de largura.
x = − b
+
− √ ∆
2.a
x = − 42
+
− √3364 
2.1
x = − 42
+
−58
2
xl = − 42 + 582 = = 8
16
2
xll = − 42 − 582 = = − 50
100
2
∆ = b²− 4 . a . c 
∆ = 42² − 4 . 1 . (−400)
∆ = 1764 + 1600
∆ = 3364 
a = 1
b = 42
c = −400
70 MATEMÁTICA Guilherme Mendes Tomaz dos Santos | Juliana Meregalli Schreiber MoraesRute Henrique da Silva Ferreira
Síntese da Unidade
Nesta unidade vimos que:
• Os conjuntos numéricos podem ser representados por extensão, por compreensão 
e por diagrama. Lembrando que por extensão deixamos os números expressos 
como são, por compreensão deixamos expressos em uma linguagem matemática 
que faça a representação. O diagrama auxilia na resolução de situações problemas 
envolvendo conjuntos.
• Os intervalos numéricos pertencem ao conjunto dos números reais;
• A equação do primeiro grau e os sistemas lineares 2x2 podem ser ferramentas 
valiosas na resolução de problemas;
• O cálculo do discriminante possibilita a você identificar as possibilidades de 
raízes na equação de segundo grau, ou seja, ∆ = b² 4ac;
• A forma geral de uma função do segundo grau é ax² + bx + c = 0, em que a, b e 
c são constantes.
71 Conjuntos Numéricos, Equações Polinomiais e Sistemas Lineares 2x2 | UNIDADE 2
Bibliografia
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