Unidade I Introdução aos Números Complexos

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Funções de Variável 
Complexa
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Carlos Henrique de Jesus Costa 
Revisão Textual:
Profa. Ms. Alessandra Fabiana Cavalcanti
Revisão Técnica
Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
Introdução aos Números Complexos
• Introdução
• Unidade Imaginária
• A Forma Algébrica
• Igualdade de Números Complexos
• Conjugado de Números Complexos
• Propriedades com o Conjugado dos Números Complexos:
 · Apresentar o caminho que levou à concepção dos números complexos, 
principalmente às etapas de evolução dos conjuntos numéricos.
 · Entender como os matemáticos interpretaram, conceituaram e 
calcularam problemas envolvendo os números complexos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
A proposta desta aula é informá-lo (a) a respeito de como se deu a formação 
do Conjunto dos Números Complexos que são aplicados em várias áreas do 
conhecimento humano, dentro e fora da Matemática.
Ao findar dessa aula, esperamos que seja capaz de interpretar, conceituar 
e calcular:
• A forma Algébrica;
• Igualdade de Números Complexos;
• Conjugado de um Número Complexo.
Para ajudar, realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico, 
acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as 
Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. Não 
deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo juntamente 
com exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento (a) para as atividades avaliativas 
propostas e o prazo de entrega.
Bons estudos!
ORIENTAÇÕES
Introdução aos Números Complexos
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
Contextualização
O seu “delta” já deu negativo? E agora, o que fazer?
Conheça um novo grupo de números que ajudará você a resolver 
essas equações.
“Muitas pessoas, resolvem equações de segundo grau, chegam a resultados 
estranhos como raízes de números negativos. Não sabem eles, porém, que além 
dos números reais existe um conjunto bem maior chamado de Complexos e 
representado pela letra C .”
Como você resolveria então a equação do 2º grau a seguir?
x x2 2 50 0� � �
Relembrando que a equação do 2º grau possui a seguinte forma completa 
a x b x c. .2 0� � � com a ≠ 0, podemos resolver, por exemplo, utilizando a fórmula 
de Bháskara: x b b ac
a
�
� � �2 4
2
 ou � �� � � � �b ac e x b
a
2 4
2
.
Resolvendo a equação x x2 2 50 0� � � , obtemos:
� �em
x
b b ac
a
x
x
x
�
� � �
�
� � � � �
�
� � �
�
� � �
2
2
4
2
2 2 4 1 50
2 1
2 4 200
2
2 196
2
( ) ( ) . .
.
Obs.: Se em uma equação algébrica do 2º grau com coeficientes reais, obtemos 
um discriminante (delta ou D ) negativo, sabemos que sua equação não possui 
raízes reais. Por outro lado, pelo Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), toda 
equação algébrica de grau “n” com coeficientes complexos tem exatamente “n” 
raízes complexas. Logo, as duas raízes dessa equação do 2º grau são Números 
Complexos. Temos, também, mais um Teorema que diz que se z = a + b.i 
é raiz complexa de uma equação algébrica com coeficientes reais, então seu 
conjugado z = a – b.i também é raiz dessa equação.
6
7
Assim, continuando a resolução, temos:
x
x
x
x
i
x i ou
x
�
� � �
�
� � �
�
� � �
�
� �
� � �
2 196
2
2 196 1
2
2 196 1
2
2 14
2
1 7 1
.( )
.
.
.
�� � �
� � �
�
�
�
� � � � � �� �
1 7
1 7
1 7 1 7
2
.
.
. , .
i
x i
S i i
Separando a Unidade Imaginária e aplicando 
a Propriedade da Radiciação: a b a b. .=
Trocando a Unidade Imaginária i � �1
Os números complexos surgiram quando os matemáticos buscavam fórmulas 
eficientes de se encontrar raízes de polinômios de terceiro grau, no final do século 
XVIII. A grande questão era se esses números realmente permitiriam avanço na 
teoria algébrica.
Acompanhe a evolução dos números complexos na Linha do Tempo a seguir:
Cardano
Surge o impasse
da raiz quadrada
de um número
negativo.
Tartaglia
Descobriu uma 
fórmula geral
para equações
do tipo: x3 + px = q
1500 1570 1600 1670 1700 1770 1800 1870
Bombelli
Considerou a raiz 
quadrada de -1 
como um número 
“imaginário”.
Abraham de Moivre
O Teorema 
de Moivre é
(cos θ + i sen θ)n =
cos (nθ) + i sen (nθ).
Gauss
Introduziu 
a expressão
número
complexo.
René Descartes
A raiz quadrada 
de -1 seria chamada 
de número 
imaginário.
Euler
Surgimento 
do símbolo i.
Também destacamos que os números complexos representam uma das es-
truturas mais importantes da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a En-
genharia Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluídos, sem os números 
complexos. A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos e, na Teoria da 
Relatividade de Einstein, o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão 
relativa ao tempo como imaginário.
Complexos nada “complexos” (Blog): Disponível em: http://goo.gl/ipTBKl
Para todos e sobre tudo: Disponível em: http://goo.gl/PucUKtEx
pl
or
7
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
Introdução
Dentre os conjuntos numéricos que conhecemos temos:
Conjunto dos números Naturais (IN)
Conjunto dos números Inteiros (Z)
Conjunto dos números Racionais ou 
Fracionários (Q)
Esse conjunto consiste na união dos 
números inteiros mais os numerais 
que podem ser escritos na forma 
de fração ou de números decimais.
Conjunto dos números Irracionais (I)
Podemos observar que existem 
decimais infinitas não periódicas, às 
quais damos o nome de Números 
Irracionais, que não podem ser 
escritos na forma a
b
 (fração).
Conjunto dos números Reais �� �
Da união dos Números Racionais 
com os Números Irracionais formam 
o conjunto dos Números Reais.
�� � � �0 1 2 3 4, , , , ,
� � � � �� � , , , , , , , ,3 2 1 0 1 2 3
Q x
a
b
com a b e b� � � � ���
�
�
�
�
, ,� � 0
� �
�
�
�
�
2 1 4142135
3 1 7320508
3 1415926535
2 71828
, ...
, ...
, ...
, ..
�
e ..
�
�
�
�
�
�
�
� � Q  �
A união dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais 
forma o conjunto dos números Reais que, graficamente, podemos demonstrar:
I
R
N Z Q
8
9
Continuando, sabemos que, se x�� , então x2 0≥ . Assim, a equação x2 1 0� �
não tem solução no conjunto dos números Reais �� � , pois:
Resolução:
Não existe solução no conjunto dos 
Números Reais, pois não há um número 
real x que, elevado ao quadrado, resulte em 
–1. Por isso, temos de estender o conjunto 
dos Números Reais para obter um novo 
conjunto chamado de CONJUNTO DOS 
NÚMEROS COMPLEXOS (C).
� �em
x
x
x
2
2
1 0
1
1
� �
� �
� � �
Note que ao desenvolver a equação do segundo grau, nos deparamos com a 
raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro dos 
Números Reais. A solução só foi possível com a criação e a adequação do conjunto 
dos Números Complexos. Os Números Complexos constituem o maior conjunto 
numérico existente, então, graficamente, temos agora: 
I
R
C
N Z Q
Unidade Imaginária
Como vimos, a equação x2 1 0� � não tem solução no campo dos números 
reais, pois não existe nesse campo raiz quadrada de número negativo x � � �� �1 .
Criou-se, então, um nome e um símbolo para o Número Complexo, representado 
pela letra “i” , denominado unidade imaginária:
i2 1�� ⇒ i � �1
Porque não podemos �car juntos?
-1
É complexo.
9
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
Assim, a resolução da equação x2 1 0� � , no conjunto dos números Comple-
xos, ficará:
Resolução:
i � �1Trocando a Unidade Imaginária 
x
x
x x i ou
x i
x i
S i
2
2
1
2
1 0
1
1
� �
� �
� � � � ��
� �
� �
�
�
�
� � �� �
Um pouco de história, segundo o autor Alex Bellos (p.197-198, 2015):
”A primeira pessoa a considerar a raiz quadrada de um número negativo, o matemático 
italiano Girolamo Cardano, declarou em 1545 que pensar sobre isso tinha lhe causado ‘torturas 
mentais’, como causaria a qualquer um que não tivesse se deparado antes com o conceito. Assim, 
ele ignorou, afirmando que, se a solução de uma equação era a raiz quadrada de um número 
negativo, então ela era ‘tão refinada quanto inútil’. Cardano abrira uma porta para um mundo 
inteiramente novo na matemática,e então tornara a fechá-la.
Algumas décadas depois, um compatriota de Cardano, Rafael Bombelli, reabriu a porta e 
intrepidamente a atravessou. As raízes quadradas de números negativos estavam aparecendo 
cada vez mais nos cálculos algébricos e assim Bombelli decidiu tratá-las da mesma forma como 
se tratam positivos e negativos, somando-as, subtraindo-as, multiplicando-as e dividindo-as 
quando apareciam. ‘É uma ideia estapafúrdia, na opinião de muita gente’, ele escreveu. ‘Toda a 
questão parecia basear-se mais em sofística do que na verdade.’ Mas a verdade é que as raízes 
quadradas de números negativos não só se comportaram bem como lhe permitiram solucionar 
equações que antes não eram solucionáveis.
Em 1637, René Descartes descreveu as raízes quadradas de números negativos como 
‘imaginárias’, palavra que ganhou a chancela de aprovação de Leonhard Euler um século depois. 
‘Todas as expressões, tais como −1 , −2 etc. são consequentemente números impossíveis ou 
imaginários, uma vez que representam raízes de quantidades negativas, e quanto a tais números 
podemos asseverar verdadeiramente que eles não são nem nada, nem maiores que nada, nem 
menores que nada, o que necessariamente os constitui como imaginários ou impossíveis’. Em 
1777, Euler deu ao número −1 seu próprio símbolo, i , de ‘imaginário’, e demonstrou que a raiz 
quadrada de todo número negativo pode ser expressa como um múltiplo de i . Por exemplo, −4 
torna-se 2.i , já que � � � � � � � � � �4 4 1 4 1 2 2( ) .i i . Mais genericamente, � � � �n n i. . 
As raízes quadradas de números negativos, que são todas múltiplos de i , são conhecidas 
coletivamente como ‘números imaginários’.
Vejamos alguns exemplos aplicando esse novo conceito:
Exemplo 1: Calcular a seguinte equação x2 9 0� �
10
11
Resolução:
x
x
x
x
x
x i ou
x i
x i
2
2
1
2
9 0
9
9
9 1
9 1
3
3
3
� �
� �
� � �
� � �
� � �
� �
� �
� �
�
�
�
�
.( )
.
.
.
.
SS i� �� �3.
Separando a Unidade Imaginária e aplicando 
a Propriedade da Radiciação: a b a b. .=
Trocando a Unidade Imaginária i � �1
Exemplo 2: Calcular a seguinte equação x x2 2 5 0� � �
Resolução:
Cálculo de D (discriminante): 
�
�
�
�
� �
� � �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
b a c2
2
4
2 4 1 5
4 20
16
. .
( ) . .
Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x
b
a
�
� � �
2.
x
x
x
x
i
x i ou
x
�
� � �
�
� � �
�
� � �
�
� �
� � �
� �
2 16
2 1
2 16 1
2
2 16 1
2
2 4
2
1 2 1
.
.( )
.
.
.
11 2
1 2
1 2 1 2
2
�
� � �
�
�
�
� � � � � �� �
.
.
. , .
i
x i
S i i
Verificamos que todos os números envolvidos 
podem ser divididos (simplificados) por 2 (dois).
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
Atividades Práticas
Resolva, no conjunto dos Números Complexos, as equações:
1. x2 121 0� � S i� �� �11.
2. x x2 6 10 0� � � S i� �� �3
3. � � � �x x2 4 29 0 S i� �� �2 5.
4. x x2 6 15 0� � � S i� � �� �3 6.
11
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
A Forma Algébrica
Conforme destaca o autor Alex Bellos, em seu livro “Alex Através do Espelho: 
como a vida reflete os números e como os números refletem a vida” (p.199):
“Quando um número real é somado a um número imaginário, digamos 
3 2+ .i , ganha o nome de “número complexo”. Todos os números 
complexos têm o formato a b i+ . , onde a e b são números reais e 
i é −1 . Como não se pode somar um número real e um número 
imaginário no sentido da soma tradicional, o sinal de adição é apenas um 
modo de separar as duas partes, sua parte real e sua parte imaginária. 
Se a parte real for zero, o número é puramente imaginário, se a parte 
imaginária for zero, o número é puramente real”.
Assim, todo número complexo pode ser escrito na forma z a b i� � . , com 
a b e i�� �� � �, 2 1 , denominada forma algébrica ou forma binomial.
Observamos que um número complexo escrito nessa forma possui 2 (duas) partes:
Parte real de z
Re(z) = a
Parte imaginária de z
Im(z) = b
z a b i� � .
Portanto, temos:
z a b i
z a i z a é um número real
z b i z b i é um número i
� � �
� � � �
� � � �
.
. ( )
. . (
0
0 mmaginário puro)
�
�
�
Exemplos:
a) z = 3 + 2.i → número imaginário
b) z = 7.i → número imaginário puro
c) z = 5 → número real
Vejamos alguns exemplos a respeito:
Exemplo 3: Determine o valor de m, para que o número complexo z m i� � �( ) .3 4
seja um imaginário puro.
12
13
Resolução:
Para obtermos um número imaginário puro, a parte real deve ser igual a 
zero, assim:
Re(z) = 0
m
m
� �
�
3 0
3
z m i
z i
z i
z i
� � �
� � �
� �
�
( ) .
( ) .
3 4
3 3 4
0 4
4
Trocando m = 3, obtemos um número imaginário puro, observe:
Exemplo 4: Determine o valor de p, para que o número complexo z p i� � �8 42( ).
seja um número real.
Resolução:
Para obtermos um número real, a parte imaginária deve ser igual a zero, assim:
Im(z) = 0
p
p
p
p
2
2
4 0
4
4
2
� �
�
� �
� �
z p i
z i
z i
z i
z
� � �
� � � �
� � �
� �
�
8 4
8 2 4
8 4 4
8 0
8
2
2
( ).
[( ) ].
( ).
.
z p i
z i
z i
z i
z
� � �
� � � �
� � �
� �
�
8 4
8 2 4
8 4 4
8 0
8
2
2
( ).
[( ) ].
( ).
.
Trocando p � �2 e p � �2 , obtemos um número real, observe:
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
Atividades Práticas
5. O número complexo z m m i� � � �( ) ( ).2 25 5 é imaginário puro.
a) Qual é o valor de m? R m. : � �5
b) Determine z. R z i. : .� �10
6. Obtenha x e y para que o número complexo z x y i� � � �( ) ( ).8 36
2
 seja:
a) Um número real. R y. : � �6
b) Um número imaginário puro. R x e y. : � � �8 6
13
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
Igualdade de Números Complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e 
imaginárias forem respectivamente iguais.
Dados: z a b i e z c d i1 2� � � �. . , assim, a igualdade z z1 2= se verifica quando:
a b i c d i
a c
e
b d
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
. .
Igualdade 
de Números 
Complexos
Vejamos um exemplo a respeito:
Exemplo 5: Dados: z x y i e z x y i1 22 6 5 4� � � � � �( ) . ( ). . Calcule o valor de x 
e y sabendo que z z1 2= .
Resolução:
Para obtermos o valor de x e y, vamos igualar a parte real e a parte imaginária 
dos dois números complexos, assim:
z x y i e z x y i1 22 6 5 4� � � � � �( ) . ( ).
2 5
4 6
2
2 5
4 6
2 5
2 8 12
7
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
� � � �
�
�
�
�
.
�� �
�
�
�
7
7 7
7
7
1
y
y
y
2 5
2 1 5
2 5 1
2 4
4
2
2
x y
x
x
x
x
x
� �
� �
� �
�
�
�
Sistema com duas equações e duas variáveis do 
1º grau, sendo resolvido pelo método da Adição.
Substituindo y = 1, para 
achar o valor de x.
Resposta: x = 2 e y = 1.
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
14
15
Atividades Práticas
7. Determine x e y reais de modo que ( ) ( ). .x y i i� � � �3 2 5 . R x e y. : = =3 7
8. Dados: z x y i e z x y i1 24 1 2� � � � � � �( ) . ( ). , calcule o valor de x e y, 
sabendo que z z1 2= . R x e y. : = =1 2
9. Sendo z a b i e z i1
2
21 4 3 10� � � � � �( ). . , determine a e b, para que z1
seja igual a z2 . R a e b. : � � �2 14
Conjugado de Números Complexos
O conjugado de um número complexo z a b i� � . é indicado por z e definido 
por z a b i� � . , ou seja, o conjugado é obtido trocando-se apenas o sinal de sua 
parte imaginária.
z a b i z a b i� � � � �. .
Exemplos:→ z i� �3 7. � � �z i3 7.
 → z i� �7 � � �z i7
 → z i� �20. � � �z i20.
 → z � �9 � � �z 9
Obs.: O conjugado de um número complexo possui grande utilidade nos cálculos 
com variáveis complexas, além de representar a reflexão do número em torno do 
eixo das abscissas no Plano de Argand Gauss.
Propriedades com o Conjugado dos 
Números Complexos:
1. z z=
O módulo do conjugado de um número é o mesmomódulo do número.
Exemplo: Dado o número complexo z i� �2 4. , seu conjugado é z i� �2 4. .
Comprovando a propriedade:
Fique tranquilo (a)! 
Em outra Unidade, detalharemos melhor 
o conceito de Módulo de um Número 
Complexo! Apenas estamos apresentando 
o cálculo do módulo para poder comprovar 
a propriedade do conjugado, ok!!!
Cálculo do Módulo:
15
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
z i
a
b
z a b
z
z
z
� � �
�
� �
�
�
�
� �
� � � � � �
� � � �
�
2 4
2
4
2 4 4 16
20 4 5 4 5
2
2 2
2 2( ) ( )
. .
55
z i
a
b
z a b
z
z
z
� � �
�
�
�
�
�
� �
� � � � �
� � � �
�
2 4
2
4
2 4 4 16
20 4 5 4 5
2 5
2 2
2 2
. .
Portanto: z z� � �2 5 2 5
2. Se z a b i� � . , então: z z a b. � �2 2 ou z z z. =
2
O produto de um número pelo seu conjugado é o quadrado do módulo 
do número.
Exemplo: Dado o número complexo z i� � �1 7. , seu conjugado é z i� � �1 7. .
Comprovando a propriedade:
Cálculo do Módulo: 
z i
a
b
z a b
z
z
� � � �
� �
� �
�
�
�
� �
� � � � � � �
� � �
1 7
1
7
1 7 1 49
50 25 2 25
2 2
2 2
.
( ) ( )
. .. 2
5 2
�
�z
z z z
i i
i i i
.
( ).( ) ( )
. .
.( )
�
� � � � �
� � � �
� � �
2
2
2
1 7 1 7 5 2
1 7 7 49 25 2
1 49 1 50
1�� �
�
49 50
50 50
Em uma próxima Unidade, 
detalharemos melhor as Operações 
com Números Complexos!
Trocando a Unidade Imaginária i2 1� �
3. z z z� � 2.Re( )
A soma de um número ao seu conjugado é o dobro da parte real do número.
Exemplo: Dado o número complexo z i� �13 7. , seu conjugado é z i� �13 7. .
Comprovando a propriedade:
Parte Real
Re(z)
16
17
z z z
i i
i i
� �
� � � �
� � � �
� �
�
2
13 7 13 7 2 13
13 7 13 7 26
13 13 26
26 26
.Re( )
. ( . ) .
4. z z z� � 2.Im( )
A subtração de um número ao seu conjugado é o dobro da parte imaginária 
do número.
Exemplo: Dado o número complexo z i� �13 7. , seu conjugado é z i� �13 7. .
Comprovando a propriedade:
z z z
i i i
i i i
i i
� �
� � � � �
� � � � �
� �
2
13 7 13 7 2 7
13 7 13 7 14
7 7 14
.Im( )
. ( . ) .( )
ii
i i14 14�
5. z z z z1 2 1 2� � �
O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados.
Exemplo:
Dados os números complexos: z i1 2 3� � . , seu conjugado é z i1 2 3� � . .
 z i2 5 10� � � . , seu conjugado é z i1 5 10� � � . .
Comprovando a propriedade:
z z z z
i i i i
i i i
1 2 1 2
2 3 5 10 2 3 5 10
2 3 5 10 2 3 5 1
� � �
� � � � � � � � �
� � � � � � �
( . ) ( )
00
3 7 3 7
3 7 3 7
i
i i
i i
� � � � �
� � � � �
6. z z z z1 2 1 2. .=
O conjugado de um produto indicado é igual ao produto dos conjugados.
Exemplo:
Dados os números complexos: z i1 2 3� � . , seu conjugado é z i1 2 3� � . .
 z i2 5 10� � � . , seu conjugado é z i1 5 10� � � . .
Parte Imaginária
Im(z)
17
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
Comprovando a propriedade:
z z z z
i i i i
i i i
1 2 1 2
2 3 5 10 2 3 5 10
10 20 15 30
. .
( ).( . ) ( ).( )
�
� � � � � � �
� � � � 22 210 20 15 30
10 35 30 1 10 35 30 1
10 35
� � � � �
� � � � � � � � �
� � �
i i i
i i
i
.( ) .( )
330 10 35 30
20 35 20 35
20 35 20 35
� � � �
� � � � �
� � � � �
i
i i
i i
7. z z= ⇔ z é número real.
Exemplo:
Dados os números complexos: z i1 2 3� � . , seu conjugado é z i1 2 3� � . .
 z2 25� � , seu conjugado é z 1 25� � .
Comprovando a propriedade:
 
z z
i i Falso
1 1
2 3 2 3
�
� � � � Pois z1 possui parte Real e parte Imaginária.
z z
Verdadeiro
2 2
25 25
�
� � � � Pois z2 possui apenas a parte Real.
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos, ao final deste conteúdo consulte suas 
resoluções, ok!
Atividades Práticas
10. Neste exercício, tente apenas determinar o conjugado dos seguintes 
números complexos:
a) z i� �13 7. ____________________________________________
b) z i� � �
2
3
21. ____________________________________________
c) z i� �13
5
7
. ____________________________________________
d) z i� � �17 2. ____________________________________________
e) z i� � 23 ____________________________________________
f) z i� � �3 1
6
. ____________________________________________
18
19
g) z i� � �7 2. ____________________________________________
h) z i=
5
2
. ____________________________________________
i) z � �
6
7
 ____________________________________________
j) z i� �12 16. ____________________________________________
Resoluções de Atividades Práticas:
1. x2 121 0� �
x
x
x
x
x
x i ou
x
2
2
1
121 0
121
121
121 1
121 1
11
11
� �
� �
� � �
� � �
� � �
� �
� �
.( )
.
.
.ii
x i
S i
2 11
11
� �
�
�
�
� � �� �
.
.
2. x x2 6 10 0� � �
Cálculo de D (discriminante): 
�
�
�
�
� �
� � �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
b a c2
2
4
6 4 1 10
36 40
4
. .
( ) . .
Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x
b
a
�
� � �
2.
x
x
x
x
i
x i ou
x i
x
�
� � � �
�
� �
�
� �
�
�
� �
� �
�
( )
.
.( )
.
.
6 4
2 1
6 4 1
2
6 4 1
2
6 2
2
3
3
3
1
2 ��
�
�
�
� � � �� �
i
S i i3 3,
Verificamos que todos os números envolvidos 
podem ser divididos (simplificados) por 2 (dois).
3. � � � �x x2 4 29 0
Cálculo de ∆ (discriminante): 
�
�
�
�
� �
� � � �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
b a c2
2
4
4 4 1 29
16 116
100
. .
( ) . .
Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x
b
a
�
� � �
2.
19
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
x
x
x
x
i
x
�
� � �
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
� �
�
� �
4 100
2 1
4 100 1
2
4 100 1
2
4 10
2
2 5
.
.( )
.
.
.ii ou
x i
x i
S i i1
2
2 5
2 5
2 5 2 5
� �
� �
�
�
�
� � � �� �
.
.
. , .
Verificamos que todos os números 
envolvidos podem ser divididos 
(simplificados) por - 2 (menos dois).
4. x x2 6 15 0� � �
Cálculo de D (discriminante): 
�
�
�
�
� �
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
b a c2
2
4
6 4 1 15
36 60
24
. .
( ) . .
Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x
b
a
�
� � �
2.
x
x
x
x
x
i
�
� � �
�
� � �
�
� � �
�
� � �
�
� �
6 24
2 1
6 24 1
2
6 4 6 1
2
6 4 6 1
2
6 2 6
2
.
.( )
. .
. .
.
xx i ou
x i
x i
S i i� � �
� � �
� � �
�
�
�
��
� � � � � �� �3 6 3 6
3 6
3 6 3 61
2
.
.
.
. , .
Decompondo o número 24 em fatores primos chegamos 
ao produto de 4 x 6, assim podemos simplificar a raiz, 
extraindo apenas a raiz quadrada do fator 4.
Verificamos que todos os números envolvidos podem 
ser divididos (simplificados) por 2 (dois).
5. O número complexo z m m i� � � �( ) ( ).2 25 5 é imaginário puro.
Resolução:
a) Qual é o valor de m?
Nesse caso, para obtermos um número imaginário puro, a parte real deve ser 
igual a zero e a parte imaginária precisa ser diferente de zero, assim:
Re( )z
m
m
m
m ou
m
m
�
� �
�
� �
� �
� �
� �
�
�
�
0
25 0
25
25
5
5
5
2
2
 e 
Im( )z
m
m
�
� �
� �
0
5 0
5
20
21
Portanto, m = +5
b) Determine z.
Trocando m = +5, obtemos o seguinte número imaginário puro:
z m m i
z i
z i
z
� � � �
� � � � � �
� � � �
� �
( ) ( ).
[( ) ] ( ).
( ) .
2
2
25 5
5 25 5 5
25 25 10
0 100
10
.
.
i
z i�
6. Obtenha x e y para que o número complexo z x y i� � � �( ) ( ).8 362 seja:
Resolução:
a) Um número real.
Para obtermos um número real, a parte imaginária deve ser igual a zero, assim:
Im(z) = 0
y
y
y
y
2
2
36 0
36
36
6
� �
�
� �
� �
b) Um número imaginário puro.
Nesse caso, para obtermos um número imaginário puro, a parte real deve ser 
igual a zero e a parte imaginária precisa ser diferente de zero, assim:
Re( )z
x
x
�
� �
�
0
8 0
8
 e 
Im( )z
y
y
y
y
�
� �
�
� �
� �
0
36 0
36
36
6
2
2
7. Determine x e y reais de modo que ( ) ( ). .x y i i� � � �3 2 5 .
Resolução:
Para obtermos o valor de x e y, vamos igualar a parte real e a parte imaginária 
dos dois números complexos, assim:
( ) ( ). .
( ) ( ). .
x y i i
ou
x y i i
� � � �
� � � � �
3 2 5
3 2 0 5
21
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
x e y
x y
y
� � � �
� � �
�
3 0 2 5
3 5 2
7
Resposta: x = 3 e y = 7.
8. Dados: z x y i e z x y i1 24 1 2� � � � � � �( ) . ( ). . Calcule o valor de x e y 
sabendo que z z1 2=
Resolução:
Para obtermos o valor de x e y, vamosigualar a parte real e a parte imaginária 
dos dois números complexos, assim:
z x y i e z x y i1 24 1 2� � � � � � �( ) . ( ).
x y
y
y
y
y
� � �
� � � �
� � � �
� � � �
� �
1
1 1
1 1
2 1
2
.( )
x y
x y
x y
x y
x
x
x
x
� � �
� �
�
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
1
2 4
1
2 4
3 3
3 3
3
3
1
Sistema com duas equações e duas variáveis do 
1º grau, sendo resolvido pelo método da Adição.
Substituindo x = 1, para 
achar o valor de y.
Resposta: x e y= =1 2 .
9. Sendo z a b i e z i1
2
21 4 3 10� � � � � �( ). . , determine a e b, para que z1 
seja igual a z2 .
z a b i e z i1
2
21 4 3 10� � � � � �( ). .
a
a
a
a
a
2
2
2
1 3
3 1
4
4
2
� �
� �
�
� �
� �
 e 
4 10
10 4
14 1
14
� � �
� � � �
� � � �
�
b
b
b
b
.( )
Multiplicando por (– 1) 
ambos os lados da equação.
Resposta: a e b� � �2 14 .
22
23
10. Neste exercício, tente apenas determinar o conjugado dos seguintes 
números complexos:
a) z i� �13 7. Resp.: z i� �13 7.
b) z i� � �
2
3
21. Resp.: z i� � �
2
3
21.
c) z i� �13 5
7
. Resp.: z i� �13 5
7
.
d) z i� � �17 2. Resp.: z i� � �17 2.
e) z i� � 23 Resp.: z i ou z i� � � � �23 23
f) z i� � �3
1
6
. Resp.: z i ou z i� � � � � �3 1
6
1
6
3. .
g) z i� � �7 2. Resp.: z i ou z i� � � � �7 2 2 7. .
h) z i= 5
2
. Resp.: z i� �
5
2
.
i) z � �
6
7
 Resp.: z � �
6
7
j) z i� �12 16. Resp.: z i� �12 16.
23
UNIDADE Introdução aos Números Complexos
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Site Me Salva!
https://mesalva.com/
 Vídeos
Um sonho complexo
O Jovem Hans se depara com as palavras complexo e imaginário e fica muito 
incomodado, pois para ele matemática deveria ser real, concreta e exata. Resolve 
dormir e sonha com um personagem estranho, que tem meia barba, usa bermudas e 
fraque e é uma mistura dos dois personagens do livro O Médico e o monstro, o qual 
representa uma dualidade do mundo. Ao acordar, entende que o sonho mostrou um 
pouco da magia dos números complexos.
https://goo.gl/PYqd5n
O sonho não acabou
Este é o segundo vídeo sobre os números complexos com o mesmo personagem 
Hans, um jovem estudante. Hans vai dormir e sonha com outro jovem. Agora é o 
Morfeu, o deus dos sonhos. Morfeu explica direitinho ao jovem sobre a história dos 
números complexos, chegando à fórmula de De Moivre.
https://goo.gl/yckRBI
O sonho continua
Este é o terceiro vídeo da série sobre os números complexos. Hans, o jovem estudante 
sonha novamente com Morfeu, que lhe conta sobre a fórmula de Euler e sobre os 
conjuntos numéricos.
https://goo.gl/7ZL4nR
História dos Números Complexos
Vídeo produzido por um grupo de alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio 
Graccho, como atividade pedagógica de Matemática.
https://goo.gl/p9WkQ9
Me Salva! CPX01 - Números complexos - Introdução e forma algébrica
https://goo.gl/9BFXH6
24
25
Referências
ÁVILA, G.S.S. Variáveis Complexas e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
BELLOS, A. Alex através do espelho: como a vida reflete os números e como os 
números refletem a vida. São Paulo: Companhia das Letras, 2015.
CAON, F. Números Complexos: inter-relações entre conteúdo e aplicações. 
(Dissertação) -Universidade Estadual de Ponta Grossa. Ponta Grossa. 
2013. 74. f. Disponível em: http://bicen-tede.uepg.br/tde_busca/arquivo.
php?codArquivo=926 . Acesso em 03 de agosto de 2015.
CERRI, C.; MONTEIRO, M. S. História dos Números Complexos. CAEM - 
Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática (Instituto de Matemática 
e Estatística da USP). Disponível em: http://www.ime.usp.br/~martha/caem/
complexos.pdf . Acesso em 03 de agosto de 2015.
CERRI, C. Desvendando os Números Reais. São Paulo: IME-USP. Novembro 
de 2006. Disponível em: www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf . 
Acesso em 03 de agosto de 2015.
CHURCHILL, R.V. Variáveis complexas e suas aplicações. Tradução: Tadao 
Yoshioka; revisão técnica: Alfredo Alves de Farias. São Paulo: McGraw-Hill do 
Brasil e Editora da Universidade de São Paulo, 1975.
DANTE, L. R. Matemática, volume único. São Paulo: Ática, 2005.
DIAS, N. L. Pequena introdução aos números. Curitiba: InterSaberes, 2014. (e-book).
GIOVANNI, J. R. Matemática Fundamental. 2º Grau: volume único, São Paulo: 
FTD, 1994.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R.; ALENDA, N. Matemática:
ciência e aplicações, 4 ed.São Paulo: Atual, 2006.
LEITE, Á. E.; CASTANHEIRA, N. P. Teoria dos números e teoria dos conjuntos. 
Curitiba: InterSaberes, 2014. (e-book).
SHOKRANIAN, S. Uma introdução à variável complexa – 476 exercícios 
resolvidos. São Paulo: Ciência Moderna, 2011.
SILVA, M. A. Da teoria à prática: uma análise histórica do desenvolvimento 
conceitual dos números complexos e suas aplicações. Revista Brasileira de História 
da Ciência, Rio de Janeiro, v. 4, n. 1, p. 79-91, jan-jun 2011. Disponível em: 
<http:www.sbhc.org.br/arquivo/download?ID_ARQUIVO=23>. Acesso em 03 
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SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.
25