Lógica e raciocínio Proposições matemáticas, conectivos e condicionais, tautologia, sentenças abertas e quantificadores, negação de proposições lógicas, postulados, teoremas, conjecturas, provas matem

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Lógica e Raciocínio 1
Lógica e Raciocínio 
Proposições matemáticas, conectivos e condicionais
Sumário: 
Proposições matemáticas: elemento fundamental do argumento lógico 
matemático.
Negação de uma proposição: técnica básica de argumentação lógica.
Conectivos: combinação de proposições simples em proposições 
compostas.
Condicionais: combinação de proposições em uma cadeia lógica. 
Proposição: oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou 
falsa. 
💡 Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira 
e falsa ao mesmo tempo. 
Princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou 
falsa, não há uma terceira possibilidade. 
A partir de uma proposição p podemos construir uma nova proposição, 
chamada de negação de P, representada por ~p, cujo o valor lógico (verdadeiro 
ou falso) é sempre o oposto da proposição original p. 
Conectivos:
Conectivo de conjunção: ^ (lê-se como “e”).
Lógica e Raciocínio 2
p: O número 7 é primo.
q: O número 2 é par.
p^q: O número 7 é primo e o número 2 é par. 
Se o valor de uma das proposições for falso, o valor da conjunção vai 
ser falso. 
Conectivo de disjunção: v (lê-se como “ou”).
p: 2 é um número primo.
q: 2 é um número composto.
pvq: 2 é um número primo ou um número composto. 
O valor da disjunção só vai ser falso se o valor das duas proposições for 
falso. 
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Condicionais:
Condicional simples → (lê-se como “se p, então q”).
p: Cinco é divisor de vinte. (5/20)
q: Vinte é divisor de cem. (20/100)
p → q: Se cinco é divisor de vinte, então vinte é divisor de cem. (5/20 → 
20/100)
Uma condicional “se p, então q” só vai ser falsa se a proposição p for 
verdadeira e q for falsa. 
Condicional ↔ (lê-se como “p, se e somente se, q”).
p: Cinco é divisor de vinte. (5/20)
q: Vinte é divisor de cem. (20/100)
p↔q: Cinco é divisor de vinte, se e somente se, vinte é divisor de cem. 
(5/20 ↔ 20/100)
Uma condicional “p, se e somente se, q” só vai ser verdadeira se as 
proposições tiverem o mesmo valor lógico. 
Lógica e Raciocínio 4
Tautologia e relações lógicas 
Sumário:
Tautologia (tabela-verdade): validação de proposições logicamente 
verdadeiras.
Proposições logicamente falsas: raciocínio básico para demonstrações 
matemáticas.
Relação de implicação: peça fundamental da lógica matemática em 
teoremas e demonstrações. 
Relação de equivalência: peça fundamental da lógica matemática em 
teoremas e demonstrações. 
Tautologia: proposição composta logicamente verdadeira, seu valor lógico é 
sempre verdadeiro. 
Proposições logicamente falsas = contradições: valor lógico é sempre falso. 
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Relação de implicação: uma proposição p implica em uma proposição q se q é 
verdadeira todas as vezes que p é verdadeira, isto é, quando a condicional p → 
q é verdadeira. Neste caso, indicamos p ⇒ q. 
Relação de equivalência: dizemos que p é equivalente a q quando p e q tem os 
mesmos valores lógicos, quando a condicional p ↔ q é verdadeira. Neste caso, 
indicamos p <=> q. 
Lógica e Raciocínio 6
Sentenças Abertas e Quantificadores 
Sumário:
Sentenças abertas: são frequentes na matemática e na lógica.
Quantificador universal: transformar uma sentença aberta em uma 
proposição lógica.
Quantificador existencial: transformar uma sentença aberta em uma 
proposição lógica.
Sentença aberta p(x): valor lógico depende de uma variável x (ou mais de uma). 
Conjunto-verdade Vp: o conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x) é o 
conjunto de todos os elementos / valores / objetos a tais que p(a) é uma 
proposição verdadeira.
Sendo A o conjunto de todos possíveis valores / objetos da variável x da 
sentença aberta p(x), temos 3 possibilidades:
p(x) é verdadeira para todo x ∈ A. Neste caso Vp = A e p(x) é uma 
propriedade universal no conjunto A. 
p(x) é verdadeira somente para alguns x ∈ A. Neste caso Vp é um 
subconjunto próprio de A e p(x) é uma propriedade possível no conjunto 
A. 
p(x) é falsa para todo x ∈ A. Neste caso Vp = Ø e p(x) é uma 
propriedade impossível no conjunto A. 
Quantificador universal ∀ (lê-se “para todo” ou “qualquer que seja”): 
(∀x ∈ N)(x + 5 = 7): “para todo número natural x, temos que x + 5 = 7”. 
(valor-lógico: falso)
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∀ a torna uma 
proposição (∀x ∈ A)(p(x)). 
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Se Vp = A, a proposição é verdadeira.
Se Vp ≠ A, a proposição é falsa. 
Quantificador existencial ∃ (lê-se “existe” ou “existe pelo menos um”):
(∃x ∈ N)(x + 5 = 7): “existe um número natural x tal que x + 5 = 7”. (valor-
lógico: verdadeiro)
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃ a torna uma 
proposição (∃x ∈ A)(p(x)). 
Se Vp ≠ Ø, a proposição é verdadeira.
Se Vp = Ø , a proposição é falsa. 
Quantificador existencial e de unicidade ∃! (lê-se “existe e é único” ou “existe 
apenas um”): quando além de existir, ele é único. 
(∃!x ∈ N)(x + 5 = 7): “existe um único número natural x tal que x + 5 = 7”. 
(valor-lógico: verdadeiro)
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃! a torna uma 
proposição (∃!x ∈ A)(p(x)). 
Se Vp = {a}, a proposição é verdadeira.
Se Vp ≠ {a}, a proposição é falsa. 
Negação de proposições lógicas
Sumário:
Negação de uma conjunção.
Negação de uma disjunção.
Negação de uma condicional simples.
Negação de proposições quantificadas.
Negação de uma conjunção:
Conjunção: p ^q
~(p^q) <=> ~p v ~q
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Exemplo:
p: 2 é um número par.
q: 2 é um número primo. 
(p ^q): 2 é um número par e 2 é um número primo. 
~(p^q): 2 não é um número par ou 2 não é um número primo. 
Negação de uma disjunção: 
Disjunção: p v q 
~(p v q) <=> ~p ^~q
Exemplo:
p: 2 é um número par.
q: 2 é um número primo. 
(p v q): 2 é número par ou 2 é um número primo. 
~(p v q): 2 não é um número par e 2 não é um número primo. 
Negação de uma condicional simples: 
Condicional simples: p → q (se p, então q)
~(p → q) <=> p ^~q
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Exemplo:
p: 7 é um número racional. (7 ∈ Q)
q: 7 é um número real. (7 ∈ R)
(p → q): se 7 é um número racional, então 7 é um número real. (7 ∈ Q) 
→ (7 ∈ R)
~(p → q): 7 é um número racional e 7 não é um número real. (7 ∈ Q) ^ 
(7 ∉ R)
Negação de proposições quantificadas:
Negação do quantificador universal:
Quantificador universal: ∀ (lê-se “para todo” ou “qualquer que seja”).
p(x): x fala alemão.
(∀x)(p(x)): todo x fala alemão. 
~(∀x)(p(x)) <=> (∃x)(~p(x))
Exemplo 1:
p(x): x + 7 = 1.
(∀x ∈ R)(p(x)): para todo x ∈ R, x + 7 = 1 (para todo número real 
x, temos que x + 7 = 1). 
~(∀x)(p(x)): existe pelo menos um x ∈ R tal que x + 7 ≠ 1 (existe 
pelo menos um número real x tal que x + 7 ≠ 1). 
Exemplo 2: 
p(L): o losango L é um quadrado. 
(∀L)(p(L)): todo losango é um quadrado. 
~(∀L)(p(L)): existe pelo menos um losango que não é um 
quadrado. 
Negação do quantificador existencial:
Quantificador existencial: ∃ (lê-se “existe” ou “existe pelo menos um”).
p(x): x foi a Marte. 
(∃x)(p(x)): existe pelo menos um x que foi a Marte. 
~(∃x)(p(x)) <=> (∀x)(~p(x))
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Exemplo: 
p(x): x + 7 = 1.
(∃x ∈ R)(p(x)): existe um x ∈ R tal que x + 7 = 1 (existe pelo 
menos um número real x tal que x + 7 = 1). 
~(∃x ∈ R)(p(x)): para todo x ∈ R, x + 7 ≠ 1 (para todo número real 
x temos que x + 7 ≠ 1). 
Negação do quantificador existencial e de unicidade: 
Quantificador existencial e de unicidade: ∃! (lê-se “existe e é único” ou 
“existe apenas um”). 
p(L): o losango L é um quadrado. 
(∃!L)(p(L)): existe um único losango L que é um quadrado. 
~(∃!L)(p(L)): para todo losango L temos que L não é um quadrado, 
ou existem pelo menos 2 losangos L1 e L2 que não são quadrados. 
~(∃!L)(p(L)) <=> (∀L)(~p(L)) v ~(∃!L)(p(L)) <=> (∃L1, L2)
(~p(L1)^~p(L2))
Postulados, Teoremas e Conjecturas
Sumário:
Definições: elemento básico de uma teoria matemática.
Postulados e axiomas: regras iniciais de uma teoria matemática.
Lemas, proposições, teoremas e corolários: resultadosdemonstráveis de de 
uma teoria matemática.
Conjecturas matemáticas: resultados que ainda não foram demonstrados na 
matemática. 
Definições: classe de objetos com características em comum, ou para abreviar a 
escrita de um objeto. 
Exemplos:
Número primo: todo número natural divisível apenas por dois números: 
o 1 e por ele mesmo. 
Composto: todo número que não é um número primo. 
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Triângulo: figura plana formada por 3 segmentos de reta que se 
intersectam dois a dois em em suas extremidades. 
Modos de escrever uma definição: p := (x,y) ou p =def (x,y)
💡 Definições não estão nem certas nem erradas, elas só não podem ser 
ambíguas. 
Postulados e axiomas: regras iniciais de uma teoria, que não são provadas ou 
demonstradas. 
Axiomas são obrigatoriamente independentes entre si, um axioma não pode 
ser demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados. 
Postulados não são obrigatoriamente independentes entre si, um postulado 
pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados. 
Lemas, proposições, teoremas e corolários são resultados demonstráveis a 
partir de postulados, axiomas e resultados previamente demonstrados. 
Proposições: são resultados de relevância “padrão”, úteis porém não 
possuem destaque. 
Teoremas: são resultados de maior relevância na teoria estudada.
Lemas: são resultados prévios, normalmente técnicos, para a demonstração 
de uma proposição ou teorema. 
Corolários: resultado cujo a demonstração utiliza um resultado provado logo 
antes. 
Escólio: resultado imediato de um resultado anterior, de demonstração 
imediata. 
Conjecturas matemáticas: candidatas a proposições / teoremas que ainda não 
foram provadas como verdadeiras ou falsas. São suposições não verificadas. 
Também chamadas de hipóteses. 
Tipos de Provas Matemáticas I
Sumário:
O que é uma prova matemática: validar lemas, proposições e teoremas.
Prova direta.
Lógica e Raciocínio 12
Prova indireta.
Prova por indução.
Prova matemática (ou demonstração matemática): cadeia de argumentos 
lógicos que tem como premissa os axiomas, postulados e resultados 
previamente provados. 
Hipótese → Tese.
Deve ser geral, abranger toda a hipótese.
Prova direta (ou demonstração direta): se baseia na relação lógica “se p, então 
q” (p → q). 
Prova indireta (ou demonstração indireta, ou por contradição): baseia-se em 
negar a tese e manter válida a hipótese, a fim de encontrar uma contradição 
lógica. 
Prova por indução (ou demonstração por indução, ou por recorrência): baseia-
se em duas etapas:
Base da indução: provar que o enunciado é válido para um primeiro caso.
Passo indutivo: provar que, se o resultado vale para um n = k, então 
também será válido para o n = k + 1.
💡 Só funciona quando se está provando uma teoria dos números 
naturais. 
Tipos de Provas Matemáticas II
Sumário:
Prova por contraposição.
Prova por construção.
Prova por exaustão.
Prova por força bruta. 
Prova por contraposição (ou demonstração por contraposição): se baseia na 
relação lógica (p → q) <=> ~q → ~p.
Negar a tese e concluir que a hipótese também é negada. 
Lógica e Raciocínio 13
Exemplo:
Se x² é par, então x é par. 
Prova: iremos provar que x não é par, então x² não é par. 
Se x não é par, então x é ímpar.
O produto de dois números ímpares é ímpar, então x . x = x² é 
ímpar. 
💡 Prova por contradição: nega a tese e assume a hipótese é válida 
para chegar a uma contradição. 
Prova por contraposição: nega a tese a fim de negar a hipótese (não 
assume que a hipótese é válida). 
Prova por construção (ou demonstração por construção): demonstra a 
existência de um objeto matemático através de um algoritmo para a construção 
do mesmo (mais usado em geometria). 
Prova por exaustão (ou demonstração por exaustão, ou por casos): dividir a 
demonstração em um número finito de casos e provar cada um deles 
separadamente. 
💡 Abrange uma quantidade infinita de números divididos em um número 
finito de casos. 
Prova por força bruta (ou demonstração por força bruta): demonstrar o resultado 
para todo os casos possíveis. 
Paradoxos, Sofismas e Falácias
Sumário: 
Paradoxos matemáticos: expor um raciocínio incorreto.
Paradoxo de Russel: paradoxo importante na teoria dos conjuntos.
Sofismas e falácias: métodos de ludibriar uma pessoa.
Sofismas matemáticos: métodos de ludibriar na matemática. 
Paradoxos matemáticos: 
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Paradoxo: sentença aparentemente verdadeira, mas que possui uma 
contradição lógica ou contradiz o senso-comum. 
Classificação:
Paradoxos verídicos: dão resultado contra o senso-comum, mas 
logicamente correto. 
Paradoxos falsídicos: dão resultado incorreto, utilizando um raciocínio 
lógico falso. 
Antinomias: possuem falhas no raciocínio, axiomas ou definições. 
Paradoxo de Russel: “Não pertence a si mesmo”. Trata-se de uma antinomia.
Sofismas e falácias: 
Silogismo: método argumentativo baseado na dedução, composto por 3 
proposições: premissa maior, premissa menor e conclusão. 
Exemplo:
Premissa maior: todo homem é mortal.
Premissa menor: Aristóteles é um homem.
Conclusão: Aristóteles é mortal. 
Falácia: erro lógico, consciente ou não, que forma juízo equivocado sobre o 
assunto em pauta, conduzindo a formulação de conceitos ilegítimos. 
Paralogismo: locutor comete a falácia de modo involuntário, sem 
intenção de enganar o interlocutor. 
Sofisma: locutor comete a falácia de modo proposital, com intenção de 
enganar o interlocutor. 
Sofismas matemáticos (ou falácias matemáticas): argumentos falsos para 
ludibriar o interlocutor.