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Integração por Substituição 
Na seção anterior obtivemos a fórmula 
Esta fórmula nos diz como podemos obter a integral de uma função que pode ser 
escrita como produto de outras duas, onde uma destas funções pode ser vista 
como uma função composta ( ) e a segunda função é a derivada da função 
interna desta função composta ( ). Para isto, devemos encontrar uma 
antiderivada da função externa da composta ( ) e avaliá-la (ou calculá-la) em .
Nos últimos exercícios da seção anterior tínhamos a integral 
. 
O integrando é formado pelo produto das funções e . A 
primeira função é certamente uma função composta onde é 
a função interna e é a função externa. O segundo fator do integrando é 
 que é justamente a derivada de . Assim, pela fórmula acima, basta 
encontrarmos uma antiderivada de e calcularmos esta antiderivada em 
. Sabemos que uma antiderivada de é o próprio , logo 
 e . Temos, daí, o resultado desejado 
. 
Para conferir a resposta dada, derivamos . Não podemos esquecer de 
aplicar a regra da cadeia no cálculo desta derivada.
Conferindo, temos
 que é 
a função dentro do sinal de integral (chamado de integrando). Portanto, o 
resultado encontrado está correto.
f (g(x))
g′ (x)
f g(x)
∫ e−2x5+3x2(−10x4 + 6x) dx
e−2x5+3x2 −10x4 + 6x
g(x) = − 2x5 + 3x2
f (x) = ex
−10x4 + 6x g
f (x) = ex
g(x) = − 2x5 + 3x2 ex ex
F(x) = ex F(g(x)) = eg(x) = e−2x5+3x2
∫ e−2x5+3x2(−10x4 + 6x) dx = e−2x5+3x2 + C
e−2x5+3x2
d
dx
(e−2x5+3x2) = e−2x5+3x2 .
d
dx
(−2x5 + 3x2) = e−2x5+3x2 . (−10x4 + 6x)
Maria Paula G. Fachin ,agosto de 2020
 
∫ f (g(x)) g′ (x) d x = F(g(x)) + C,  onde F′ (x) = f (x)
O cálculo das integrais dos itens b. e c. não é tão direto. No item b., tínhamos
. Aqui a primeira função do integrando é a mesma do 
item a, mas a segunda função é um pouco diferente. Assim, se escolhemos e 
como antes, ainda temos (claro) , mas não é igual ao 
segundo fator do integrando, que é . Portanto não podemos aplicar a 
fórmula destacada acima diretamente (já que o integrando não está no formato 
necessário ). No entanto, neste exemplo, ainda podemos usar a 
fórmula (embora não diretamente) observando que 
. Para obter no integrando podemos 
multiplicar a integral por , mas isto altera a própria integral. Para que a integral 
permaneça a mesma, dividimos também por , o que equivale a multiplicar pelo 
número que não altera qualquer expressão. Temos assim 
 (mult. por 2/2=1)
 (prop mult. por cte.) 
 
 (integral obtida do item a). 
Confira a resposta derivando . 
Para o item c. , escolhendo e como antes, basta observar 
que e podemos fazer o mesmo processo acima, 
multiplicando e dividindo a integral por . (tente).
∫ e−2x5+3x2(−5x4 + 3x) dx
f g
g′ (x) = − 10x4 + 6x g′ (x)
−5x4 + 3x
f (g(x))g′ (x)
2(−5x4 + 3x) = − 10x4 + 6x = g′ (x) g′ (x)
2
2
1
∫ e−2x5+3x2(−5x4 + 3x) d x = ∫ (e−2x5+3x2)
2
2
(−5x4 + 3x) d x
=
1
2 ∫ (e−2x
5+3x2) 2(−5x4 + 3x) d x
=
1
2 ∫ (e−2x
5+3x2) (−10x4 + 6x) d x
=
1
2
e−2x5+3x2 + C
1
2
e−2x5+3x2
∫ e−2x5+3x2(5x4 − 3x) d x f g
g′ (x) = − 10x4 + 6x = − 2(5x4 − 3x)
−2
Maria Paula G. Fachin ,agosto de 2020
Exercício Identifique quem são as funções e em cada integral a seguir e verifique se 
 é o segundo fator do integrando. Se for, obtenha a integral, encontrando quem é F. Se 
o segundo fator, não for , mas puder ser obtido através da multiplicação por 
uma constante, faça os ajustes necessários como acima. Se mais de uma função do 
integrando for formada pela composição de funções, utilize a escolha mais adequada, 
isto é, aquela que faça com que seja o outro fator (se possível).
1. 	 	 	 	 	 15. 
2. 	 	 	 	 	 	 16. 
3. 	 	 	 	 	 	 	 17. 
4. 		 	 	 	 	 	 18. 
5. 	 	 	 	 	 	 19. 
6. 	 	 	 	 	 	 20. 
7. 
8. 
9. 
10. 
 11. 
12. 
13. 
14. 
f g
g′ 
g′ (x) g′ (x)
g′ (x)
∫ ex3d x ∫ ( x3 − x) ex d x
∫ 3ex3x2d x ∫ ( x3 − x) 3x2 d x
∫ ex3d x ∫ ( x3 − x) (3x2 − 1) d x
∫ ex3x2d x ∫ (x3 − x)−4 (3x2 − 1) d x
∫ 5ex3x2d x ∫ 10(cos(5x2 − 1)) x d x
∫
1
4
ex3x2d x ∫ 2(cos(5x2 − 1)) x d x
∫ (3x6 + 2x)10 d x
∫ (3x6 + 2x)10 (18x5 + 2) d x
∫ (3x6 + 2x)10 (9x5 + 1) d x
∫ (3x6 + 2x)10 9x5 d x
∫ (3x6 + 2x)10 x d x
∫
18x5 + 2
(3x6 + 2x)10
d x
∫
18x5
(3x6 + 2x)10
d x
∫ x3 − x d x
Maria Paula G. Fachin ,agosto de 2020