AULA 9 - Integral

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UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
 
INTEGRAÇÃO 
 
1. ANTIDERIVAÇÃO: A Integral indefinida 
 Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida, e a meta é encontrar a função 
propriamente dita. Por exemplo, um sociólogo que conhece a taxa na qual uma população está crescendo 
pode querer usar essa informação para prever a população futura; um físico que conhece a velocidade de um 
corpo em movimento pode querer calcular a posição futura do corpo. 
 O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação 
(antidiferenciação) ou integração. 
 
Antiderivada 
Uma função F(x) para a qual 
F’(x) = f(x) 
 
Para x no domínio de f é dita ser uma antiderivada ( ou integral indefinida) de f. 
 
 Comentário: Lembre-se de que F’(x) = . Algumas vezes escreveremos a equação F’(x) = f(x) 
como = f(x). 
 
 Mais tarde nesta secção você aprenderá técnicas que pode usar para as antiderivadas. Após você ter 
encontrado aquilo que acredita ser a antiderivada de uma função, você sempre pode verificar sua resposta 
através da derivação, obtendo, dessa forma, a função original de volta. Aqui está um exemplo. 
 
EXEMPLO 1.1 
Verifique se 25
3
)(
3
 x
x
xF é uma antiderivada de f(x) = x2 + 5. 
Solução: 
 F(x) é uma antiderivada de f(x) se, e somente se, F’(x) = f(x). Derive F e você encontrará que 
F’(x) = x2 + 5 = f(x) como requerido. 
 
Antiderivada Geral de uma função 
 Uma função tem mais de uma antiderivada. Por exemplo, uma antiderivada da função f(x) = 3x2 é 
F(x) = x3, pois 
F’(x) = 3x2 = f(x) 
 Mas G(x) = x3 + 12 também o é, pois a derivada da constante 12 é zero e 
G’(x) = 3x2 = f(x) 
 Em geral, se F é uma antiderivada de f, qualquer função obtida pela adição de uma constante a F é 
também uma antiderivada de f. De fato, todas as antiderivadas de f podem ser obtidas adicionando-se 
constantes a qualquer antiderivada particular de f. 
 
As antiderivadas de uma função 
Se F e G são antiderivadas de f, então existe uma constante C tal que 
G(x) = F(x) + C 
 
 
 Há uma explicação geométrica simples para o fato de que quaisquer duas antiderivadas de uma 
mesma função devem diferir por uma constante. Se F é uma antiderivada de f, então F’(x) = f(x). Isto diz 
que, para qualquer valor de x, f(x) é a inclinação da tangente ao gráfico de F(x). Se G é uma outra 
antiderivada de f, a inclinação de sua tangente é também f(x). Assim, o gráfico de G é “paralelo” ao gráfico 
de F, e pode ser obtido pela translação do gráfico de F verticalmente. Isto é, existe alguma constante C para 
a qual G(x) = F(x) + C. Esta situação está ilustrada na fig. 1 a seguir, que mostra várias antiderivadas da 
função f(x) = 3x2. 
 
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Fig. 1 – y=x³+2, y=x³+1, y=x³, y=x³-1, y=x³-2: Algumas antiderivadas de f(x) = 3x2 
 
Notação de Integral 
 É usual escrever 
 
 Para expressar o fato de que toda antiderivada de f(x) é da forma F(x) + C. Por exemplo, você pode 
expressar o fato de que toda a antiderivada de 3x2 é da forma x3 + c escrevendo 
 
 O símbolo  é chamado um sinal de integral e indica que você busca a forma mais geral da 
antiderivada da função que se segue ao símbolo. O sinal de integral se assemelha a um “s” alongado. O “s” 
vem de “soma”. Mais adiante você verá uma conexão surpreendente entre as antiderivadas e as somas, e que 
é tão importante que é conhecido como teorema fundamental do cálculo. 
 Na expressão , a função f(x) que está para ser integrada é chamada de 
integrando. A constante C não-determinada que é adicionada à F(x) para fornecer a forma mais geral da 
antiderivada é conhecida como constante de integração. 
 O símbolo dx que aparece após o integrando pode parecer misterioso. Seu papel é indicar que x é a 
variável em relação à qual a integração deve ser executada. Uma notação análoga é usada se a função é 
expressa em termos de uma outra variável diferente de x. Por exemplo,   Cpdtp ³²3 . Na expressão 
 dxpx²3 , o dx indica que x, em vez de p, é a variável de integração. Assim, Cpxdxpx  ³²3 (você 
percebe como calcular  dxpx²3 ?). 
 Aqui está uma redefinição da integral (ou antiderivada) em notação de integral. 
 
A Integral Indefinida 
  CxFdxxf )()( 
Se, e somente se, F’(x) = f(x) 
Para todo x no domínio de f. Em outras palavras, 
  CxFdxxF )()(' 
 
Regras de Integração 
 A integração é o inverso da derivação. Assim, muitas regras de integração podem ser obtidas pelas 
regras de derivação correspondentes. 
 
 
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A Regra de Potência para Integrais 
 De acordo com a regra de potência para as derivadas, 1)(  nn nxx
dx
d
. Isto é, para derivar uma 
função potência, reduza sua potência de uma unidade e multiplique-a pela potência original. Olhada ao 
contrário, esta regra diz que, para integrar uma função potência, aumente sua potência de 1 e divida-a pela 
nova potência. Aqui está uma forma mais precisa da regra. 
 
A Regra da Potência para Integrais 
Para n≠ -1,  
  cx
n
dxx nn 1
1
1
 
Isto é, para integrar xn (n ≠ -1), aumente a potência de x de 1 e divida a função 
pela nova potência. 
 
 Para verificar esta regra, simplesmente note que 
nnn xx
n
n
x
ndx
d






1
1
)
1
1
( 1 
 
 A regra vale para todos os valores de n exceto, naturalmente, para n = -1, em cujo caso 
1
1
n
 está 
indefinida. Este caso especial será discutido em breve. Nesse ínterim, veja se pode imaginar qual seria a 
antiderivada de x-1 por sua própria conta. 
 A regra para integração de funções potência está ilustrada no próximo exemplo. 
 
EXEMPLO 1.2 
 Encontre as seguintes integrais: 
 a) dxx
5/3 b) dx c) dt
t

1
 
 Solução 
a) Aumente a potência de x em 1 e então divida a função pela nova potência para obter 
Cxdxx 
5/85/3
8
5
 
 
b) Como 1 = x0, segue-se que Cxdxdx   1 . 
 
c) Como 2/1
1  t
t
, temos que:  
 CtCtdttdt
t
22
1 2/12/1 
 
A Integral de 
x
1
 
 Você foi capaz de descobrir uma antiderivada de x-1, isto é, uma função cuja derivada seja 
x
1
? O 
logaritmo natural ln x é esta função, e assim acontece que   Cxdxx
ln
1
. Realmente, isto é verdade 
somente quando x é positivo, porque ln x não está definido para valores não positivos de x. Quando x é 
negativo, acontece que a função xln é uma antiderivada de 
x
1
, porque, se x for negativo, x = -x e 
   
xx
x
dx
d
x
dx
d 1
)1(
1
)ln(ln 






 
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 Como x = x quando x é positivo, a integral de 
x
1
 é dada exclusivamente pela seguinte fórmula. 
 
A Integral de 
x
1
 
 
  Cxdxx
ln
1
 
 
A integral de ex 
 A integração da função exponencial ex é trivial, porque ex é a sua própria derivada. 
 
A Integral de ex 
 
  Cedxe
xx 
 
 
As Regras do Produto por Constante e da Soma 
 É fácil reescrever a regra do produto por constante e a regra da soma para a derivação como regras de 
integração. 
 
 
A Regra do Produto por Constante para Integrais 
Para qualquer constante c, 
  dxxfcdxxcf )()( 
Isto é, a integral de uma constante vezes uma função é igual à 
constante vezes a integral da função. 
 
 
 
A Regra da Soma para Integrais 
 
    dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
Isto é, a integral de uma soma é a soma das integrais. 
 
 
Aqui está um exemplo ilustrando o uso dessas regras. 
 
EXEMPLO 1.3 
 Encontre  





 dxx
x
e x 2
2
12
3 
 
 Solução:    





 dxxdx
x
dxedxx
x
e xx 22
2
11
23
2
12
3 
 Cxxe x  3
6
1
ln23 
 
 Note que, em vez de constantes separadas de integração para cada uma das três antiderivadas 
calculadas no Exemplo 1.3, uma única constante C foi adicionada ao final. 
 
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Integração de Produtos e Quocientes 
 Você pode ter notado que nenhuma regra geral foi estabelecida para a integração de produtos e 
quocientes.Isto é devido a não haver regras gerais para esses casos. Eventualmente, você será capaz de 
reescrever um produto ou um quociente em uma forma que possa ser integrada usando as técnicas que 
aprendeu nesta seção. Aqui está um exemplo. 
 
EXEMPLO 1.4 
Encontre dx
x
xx


3
5 523
 
 Solução: Execute a divisão indicada para obter a soma de potências 
322
32
2
3
5
523
52
3
523  

xxx
xx
x
x
xx
 
 E, então, integre termo a termo. 
  C
xx
xCxxxdxxxxdx
x
xx

 
 2
3213322
3
5
2
52
2
5
2523
523
 
 
 O próximo exemplo mostra como a integração pode ser usada para encontrar a equação de uma 
função f(x) quando a inclinação da reta tangente é conhecida em cada ponto do gráfico de f(x). 
 
EXEMPLO 1.5 
 Encontre a função f(x) cuja tangente tem inclinação 3x² + 1 para cada valor de x e cujo gráfico 
contém o ponto (2,6). 
 
 Solução: A inclinação da tangente em cada ponto (x, f(x)) é a derivada f’(x). Assim, 
f’(x) = 3x²+1 
 e portanto f(x) é a antiderivada 
   Cxxdxxdxxfxf ³)1²3()(')( 
 Para encontrar C, use o fato de que o gráfico de f contém o ponto (2, 6). Isto é, substitua x = 2 e f(2) 
= 6 na equação para f(x) e resolva para C para obter 
6=(2)³ + 2 + C ou C = -4 
 Isto é, a função desejada é f(x) = x³ + x – 4. 
 
Aplicações práticas 
 Aqui estão três problemas nos quais a taxa de variação de uma quantidade é conhecida e a meta é 
encontrar uma expressão para a quantidade propriamente dita. Como a taxa de variação é a derivada de uma 
grandeza, você encontra a expressão para a própria grandeza através de antiderivação. 
 
EXEMPLO 1.6 
 Um produtor descobre que o custo marginal é 3q² - 60q + 400 u.m. por unidade, quando q unidades 
do produto são produzidas. O custo total de produzir as primeiras 2 unidades é de $900. Qual é o custo total 
de produzir as primeiras 5 unidades? 
 
 Solução: Lembre-se de que o custo marginal é a derivada da função custo total C(q). Assim, 
C’(q) = 3q² - 60q + 400 
 Logo C(q) deve ser a antiderivada 
   KqqqdqqqdqqCqC 400²30³)40060²3()(')( 
 Para alguma constante K (a letra K foi usada para evitar confusão com a função custo C). O valor de 
K é determinado pelo fato de C(2) = 900. Em particular, 
900 = (2)³ - 30 (2)² + 400(2) + K ou K = 212 
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 Assim, 
C(q) = q³ - 30q² - 400q +212 
 E o custo de produzir as primeiras 5 unidades é 
C(5) = (5)³ - 30(5)² + 400(5) + 212 = $ 1587 
 
EXEMPLO 1.7 
 Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa cidade estará variando a uma taxa de 
x62  pessoas por mês. A população atual é de 5000. Qual será a população daqui a 9 meses? 
 
 Solução: Faça P(x) denotar a população da cidade daqui a x meses. Então a taxa de variação da 
população em relação ao tempo é a derivada 
x
dx
dP
62  
 Sabe-se que a função população P(x) é uma antiderivada de x62  . Isto é, 
   Cxxdxxdxdx
dP
xP 2/34262)( 
 Para alguma constante C. Para determinar C, use o fato de que no presente (quando x = 0) a 
população é de 5000. Isto é, 
5000=2(0) + 4 (0)3/2 + C ou C = 5000 
 Assim, 
P(x) = 2x + 4x3/2 + 5000 
 E a população daqui a 9 meses será de 
P(9) = 2(9) + 4(9)3/2 + 5000 = 5126 
 
EXEMPLO 1.8 
 Um varejista recebe uma encomenda de 10.000 kg de arroz, que serão consumidos em um período de 
5 meses a uma taxa constante de 2000 kg por mês. Se os custos de armazenamento são de 1 centavo por 
quilograma por mês, quanto o varejista pagará pelos custos de armazenamento nos próximos 5 meses? 
 
 Solução: Seja S(t) o custo de armazenamento total (em u.m) durante t meses. Como o arroz é 
consumido a uma taxa constante de 2000 kg por mês, a quantidade de arroz em estoque após t meses é de 
10.000 – 2000t. Assim, como os custos de armazenamento são de 1 centavo por quilograma por mês, a taxa 
de variação do custo de armazenamento em relação ao tempo é 
)2000000.10(01,0)log)(log( tramasquinúmeroramaquiporcusto
dt
dS
 
 Segue-se que S(t) é a antiderivada de 
tt 20100)2000000.10(01,0  
 Isto é, 
    Cttdttdtdt
dS
tS ²1010020100)( 
 Para alguma constante C. Para determinar C, use o fato de que no instante em que o embarque chega 
(quando t = 0) não há nenhum custo, de forma que 
0 = 100(0) – 10(0)² + C ou C = 0 
 Assim 
S(t) = 100t -10t² 
 E o custo de armazenamento ao longo dos próximos 5 meses será de 
S(5) = 100(5) – 10 (5)² = $ 250 
 
Movimento retilíneo 
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 Lembre-se que, se um objeto se move ao longo de uma linha reta com deslocamento s(t), então sua 
velocidade é dada por 
dt
ds
v  , e sua aceleração por 
dt
dv
a  . Se a aceleração do objeto é dada, então sua 
velocidade e deslocamento podem ser encontrados por integração. Aqui está um exemplo. 
 
EXEMPLO 1.9 
 Após a aplicação dos freios, um carro desacelera a uma taxa constante de 22 pés por segundo por 
segundo. Se o carro está viajando a 45 milhas por hora (66 pés por segundo) no momento em que os freios 
são aplicados, que distância ele percorre antes de parar por completo? 
 
 Solução: Seja s(t) o deslocamento (distância) do carro t segundos após os freios serem aplicados. 
Porquanto o carro desacelera a 22 pés por segundo, segue-se que a(t) = -22 (o sinal negativo indica que o 
carro está diminuindo de velocidade), e 
22)(  ta
dt
dv
 
 Integrando, você encontra que a velocidade no tempo t é dada por 
  12222)( Ctdttv 
 Para calcular C1, note que v = 66 quando t = 0, de modo que 
66 = v(0) = -22(0) + C1 e C1 = 66. 
 Assim, a velocidade no instante t é v(t) = -22t + 66. 
 Em seguida, para encontrar o deslocamento s(t), comece com o fato de que 
6622)(  ttv
dt
ds
 
 e use integração para mostrar que 
  266²116622)( Cttdttts   
 Como s(0) = 0 (você percebe por quê?), segue-se que C2 = 0 e 
s(t) = -11t² + 66t 
 Finalmente, para encontrar a distância de frenagem, note que o carro pára quando v(t) = 0, e isto 
ocorre quando 
v(t) = -22t + 66 = 0 
 Resolvendo esta equação, você encontra que o carro pára após 3 segundos de desaceleração e nesse 
tempo ele percorreu 
s(3) = -11(3)² + 66(3) = 99 pés 
 
PROBLEMAS 5.1 
 Nos Problemas de 1 a 20, encontre a integral indicada. Verifique suas respostas por derivação. 
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RESPOSTAS: 
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8. 
9. 10. 
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11. 12. 
13. 14. 
15. 16. 
17. 18. 
19. 20. 
 
 Resolva os Problemas (de 21 a 24): 
21) Encontre a função cuja tangente tem uma inclinação de 4x + 1 para cada valor de x e cujo gráfico 
contém o ponto (1 , 2). 
 
22) Encontre a função cuja tangente tem uma inclinação de 3x² + 6x - 2 para cada valor de x e cujo gráfico 
contém o ponto (0 , 6). 
 
23) Encontre a função cuja tangente tem uma inclinação de 2
²
2
³ 
x
x para cada valor de x e cujo gráfico 
contém o ponto (1 , 3). 
 
24) Encontre a função cuja tangente tem um mínimo relativo em x = 1 e um máximo relativo em x = 4. 
 
 
 
 
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2. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Esta seção lida com a versão para a integral da regra da cadeia. Para refrescar sua memória, aqui está 
uma aplicação típica da regra da cadeia para derivação. 
De acordo com a regra da cadeia, a derivada da função é 
 
Note que a derivada é um produto, e que um de seus fatores, , é a derivada de uma expressão, 
, que ocorre no outro termo. Mais precisamente, a derivada é um produto da forma 
 
onde, neste caso, 
 e 
 Você pode integrar muitos produtos da forma aplicando a regra da cadeia ao inverso. 
Especificamente, se G é uma antiderivada de g, então 
 
 Pois, pela regra da cadeia, 
 
 
 Para resumir: 
Forma Integral da Regra da Cadeia 
 
 Isto é, para integrar um produto da forma , na qual um dos termos é a derivada de uma 
expressão que aparece nooutro termo: 
1. Encontre a antiderivada do termo em relação a . 
2. Substitua na resposta por sua expressão em termos de 
 
Aqui estão dois exemplos. 
 
EXEMPLO 2.1 
 Encontre 
 
 Solução: O integrando é um produto no qual um dos termos é a 
derivada de uma expressão que aparece no outro termo. Em particular, 
 
 Onde 
 e 
 Assim, pela forma integral da regra da cadeia, 
 
 
 O produto a ser integrado no próximo exemplo não é exatamente da forma . Contudo, é um 
múltiplo desse produto, e você pode integrá-lo combinando a regra do produto por constante com a forma 
integral da regra da cadeia. 
 
EXEMPLO 2.2 
 Encontre 
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 Solução: Primeiro use a regra do produto por constante para reescrever a integral como 
 
 De modo que o novo integrando é um produto no qual um dos termos, , é a derivada de 
uma expressão que aparece no outro termo. Em particular, 
 
 onde 
 e 
 Assim, pela forma integral da regra da cadeia, 
 
 
 
Mudança de variáveis 
 A forma integral da regra da cadeia pode ser pensada como uma técnica para simplificar uma integral 
através da mudança da variável da integração. Em particular, você pode começar com uma integral 
 na qual a variável de integração é , e transformá-la na integral mais simples na qual 
a variável de integração é . Nesta transformação, a expressão na integral original é substituída na 
integral simplificada pelo símbolo . Você pode se lembrar desta relação entre e fingindo que 
é um quociente e escrevendo 
 
Essas observações sugerem a seguinte técnica de integração geral, denominada integração por 
substituição, na qual a variável é formalmente substituída por uma expressão apropriada em e a integral 
original é transformada em uma mais simples na qual a variável de integração é 
 
Integração por Substituição 
 Passo 1. Introduza a letra para substituir alguma expressão em que seja escolhida para 
simplificar a integral. 
 Passo 2. Reescreva a integral em termos de Para reescrever , calcule e resolva 
algebricamente como se o símbolo fosse um quociente. 
 Passo 3. Calcule a integral resultante e então substitua por sua expressão em termos de na 
resposta. 
 
Uma Palavra de Advertência 
 Se o integrando é um produto ou quociente de dois termos e um termo é múltiplo da derivada de uma 
expressão que aparece no outro, então esta expressão é provavelmente uma boa escolha para 
 O método de integração por substituição está ilustrado no próximo exemplo usando a integral do 
Exemplo 2.1. 
 
EXEMPLO 2.3 
 Encontre 
 
 Solução: O integrando é um produto no qual um dos fatores, , é a derivada de uma expressão 
 que aparece no outro fator. Isto sugere que você faça . Então 
 logo 
 Substituindo e , obtemos 
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 Aqui estão alguns exemplos adicionais que ilustram o método de integração por substituição. 
 
EXEMPLO 2.4 
 Encontre 
 
 Solução: Observe que 
 
 Assim, o integrando é um quociente no qual um termo é múltiplo da derivada de uma expressão 
 que aparece no outro termo. Isto sugere que você faça . Então, 
 
 Substituindo e , obtemos 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.5 
 Encontre 
 
 Solução: Observe que 
 
 Assim, o integrando é um quociente no qual um termo é um múltiplo da derivada de uma 
expressão que aparece no outro termo. Isto sugere que você faça . Então, 
 
 
 ou 
 
 Substituindo e , obtemos 
 
 
 
EXEMPLO 2.6 
 Encontre 
 
 Solução: Observe que 
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 Assim, o integrando 
 
 É um produto no qual um dos fatores, , é a derivada de uma expressão que aparece no outro 
fator. Isto sugere que você faça . Então, 
 
 Substituindo , obtemos 
 
 
EXEMPLO 2.7 
 Encontre 
 
 Solução: Não há nenhum modo fácil de integrar este quociente do jeito que está. Mas observe o que 
acontece se você fizer a substituição . Então, e , e assim 
 
 
 
 
Uma Comparação de Duas Técnicas 
A forma integral da regra da cadeia, que foi usada nos exemplos 2.1 e 2.2, é atraente porque envolve 
não mais do que uma regra familiar de derivação aplicada ao inverso. A experiência no uso desse método 
deve tornar você capaz de resolver integrais como aquelas dos exemplos 2.1 a 2.6 por inspeção, sem 
necessidade de escrever os passos intermediários. 
 Contudo, muitas pessoas preferem usar o método da substituição formal. Elas gostam do fato de que 
ele envolve uma manipulação direta de símbolos, e apreciam a conveniência da notação. Este método de 
substituição é também um tanto quanto mais versátil, como você viu no Exemplo 2.7. 
 Para muitas das integrais que você encontrará, ambos os métodos funcionam bem, e você deve se 
sentir livre para usar um ou outro conforme se sentir mais à vontade. 
 
PROBLEMAS 
 Nos problemas de 1 a 26, encontre a integral indicada e verifique sua resposta por derivação. 
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8. 
9. 10. 
11. 12. 
13. 14. 
15. 16. 
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17. 18. 
19. 20. 
21. 22. 
23. 24. 
25. 26. 
RESPOSTAS: 
 
 
 
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3. ÁREA E A INTEGRAL DEFINIDA 
 Suponha que você conheça a taxa na qual uma certa grandeza está variando e deseje 
encontrar a quantidade pela qual a grandeza variará entre e . Você poderia priemiro encontrar 
 por antidiferenciação, e então calcular a diferença , que será a variação em entre e 
. 
 O resultado numérico deste cálculo é chamado de Integral Definida da função e é denotado pelo 
símbolo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O símbolo é lido como “a integral (definida) de de até ”. Os números e são 
denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é frequentemente 
conveniente usar o símbolo para a diferença . 
 
Aplicações 
 Apresentamos a seguir dois problemas práticos envolvendo uma variação líquida cujas soluções são 
integrais definidas. 
 
EXEMPLO 3.1 
 Um estudo indica que, daqui a x meses, a população de uma ciadade estará crescendo a uma taxa de 
 pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 meses? 
 
 Solução: Vamos chamar de a população da cidade daqui a x meses. Então, a taxa de variação da 
população em relação ao tempo é , e a quantidade pela qual a população crescerá durante os próximos 4 
meses é a integral definida : 
 
 pessoas 
 
 Comentário: Note o que acontece com a constante C na avaliação de uma integral definida. Ela 
aparece nas expressões tanto para quanto para , e dessa forma é eliminada quando se 
realiza a subtração. Podemos, portanto, sempre omitir a constante C ao avaliar integrais definidas. 
 
EXEMPLO 3.2 
 Em uma certa comunidade, a demanda por gasolina está crescendo exponencialmente à taxa de 5% 
ao ano. Se a demanda atual é de 4 milhões de galões por ano, quanto de gasolina será consumido nesta 
comunidade durante os próximos 3 anos? 
 
 Solução: Seja o consumo total (em milhões de galões) de gasolina na comunidade nos 
próximos t anos. Então, a demanda (em milhões de galões por ano) é a taxa de variação do consumo total 
A Integral Definida 
 A Integral Definida de , de até , é a diferença 
 
 Onde é uma antiderivada de . Isto é, a integral definida é a variação 
da antiderivada entre e . 
UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
em relação ao tempo. O fato de que esta demanda está crescendo exponencialmente a uma taxa de 5% ao 
ano e é atualmente igual a 4 milhões de galão por ano implica que 
 
Assim, o consumo total durante os próximos 3 anos é a integral definida 
 
 
 No próximo exemplo você verá com o método de substituição pode ser usado para avaliar uma 
integral definida. 
 
EXEMPLO 3.3 
 Calcule . 
 
 Solução: O integrando é um produtono qual um dos fatores, , é múltiplo da derivada da expressão . 
Então, calculamos primeiramente a integral indefinida: 
 
pelo método da substituição: 
 
Então: 
 
Logo: 
 
EXEMPLO 3.4 
 Calcule . 
 
 Solução: O integrando pode ser escrito como um produto, , no qual um dos fatores, , é a derivada do 
outro, . Isto sugere que se faça . Assim: 
 
 
 
Área como uma Integral Definida 
 Se é contínua e em um intervalo , então faz sentido falar sobre a área “sob 
a curva , entre e ” (veja figura 3.1). Isto acarreta uma surpreendente conexão entre 
essa área e a integral definida, que pode ser resumida como se segue. 
UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
 
 
 Uma justificativa dessa fórmula de área será dada mais adiante, mas primeiro examinaremos alguns 
exemplos que ilustram o uso da fórmula. Começaremos usando a fórmula para encontrar uma área que você 
já conhece da geometria elementar. 
 
EXEMPLO 3.5 
 Encontre a área da região delimitada pela reta , o eixo de e a reta vertical . 
 
 Solução: 
 
 
 Para calcular esta área usando Cálculo, aplique a fórmula da integral com . Faça , 
porque a região é limitada à direita por , e pois, à esquerda, o limite consiste em um único ponto 
, que é parte da reta vertical . Você encontra, como esperado, que: 
Área u.a. 
 
EXEMPLO 3.6 
 Encontre a área da região limitada pela curva e pelo eixo . 
 
 Solução: Da forma fatorada do polinômio temos que y = -x² + 4x – 3 = - (x-3)(x-1), desta forma 
podemos concluir que as raízes da função, ou seja, os interceptos em x da função, acontecem em (1 , 0) e 
(3 , 0). Graficamente temos: 
Área sob uma Curva 
Suponha que seja contínua e no intervalo 
. Então, a região sob a curva e entre 
 e tem uma área de: 
Área de 
 
A região em questão é o triângulo da figura 3.2, e 
sabemos da geometria que a sua área é: 
 
 
UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
 
 Do gráfico correspondente (fig. 3.3), vê-se que a região em questão está abaixo da curva 
, acima do eixo , e se estende de a . Assim: 
Área 
 
 
 
Por que a Fórmula da Integral para a Área Funciona? 
 Para ver por que a fórmula da integral funciona no cálculo de área, suponha que seja contínua e 
não-negativa no intervalo . Para qualquer valor de neste intervalo, faça representar a área 
da região sob o gráfico de entre e como mostrado na figura 3.4. Note que é uma função de no 
intervalo . 
 
 
 
 Sua meta é mostrar que . O passo crucial é estabelecer que a derivada da 
função área é igual a . Para fazer isto, considere o quociente da diferença: 
 
 A expressão no numerador é exatamente a área sob a curva e . Se for 
pequeno, a área é aproximadamente a mesma da área do retângulo cuja altura é e cuja base é , como 
indicado na figura 3.5: 
UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
 
 Isto é, 
 
Ou, equivalentemente, 
 
Quando tende a zero, o erro na aproximação tende também a zero, e daí segue-se que 
 
Mas, pela definição de derivada, 
 
Assim, 
 
e também, 
 
Mas é a área sob a curva entre e , que é obviamente zero. Logo, 
 
e a fórmula da área está provada. 
 
Áreas de Regiões mais Complexas 
 A região no próximo exemplo não é limitada acima por uma única curva. Contudo, pode ser dividida 
em duas regiões que o são, e a área de cada uma pode ser calculada usando a fórmula da integral. 
 
EXEMPLO 3.7 
 Encontre a área da região no primeiro quadrante que se situa sob a curva e é limitada por 
esta curva e pelas retas , e . 
 
 Solução: Primeiramente esboce a região como mostrada na figura 3.6. Note que a curva e a 
reta se cruzam no ponto . 
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 Observe que, à esquerda de , é limitada superiormente pela reta , enquanto à direita de 
 ela é limitada pela curva . Isto sugere que você divida em duas sub-regiões, e , como 
mostrado na figura 3.6, e aplique a fórmula da integral para a área a cada uma dessas sub-regiões 
separadamente. Em particular, 
Área de 
 e 
Área de 
 A área de é a soma dessas duas áreas. Isto é, 
 Área de 
 
Área entre Duas Curvas 
 Em alguns problemas práticos você pode precisar calcular a área entre duas curvas. Suponha que 
 e são funções não-negativas e que no intervalo como mostrado na 
figura 3.7a. 
 Para encontrar a área da região entre as curvas de até , você simplesmente subtrai a 
área sob a curva inferior , (fig. 3.7c), da área sob a curva superior ,(fig. 3.7b). 
Isto é, 
Área de 
 Pode ser mostrado que esta fórmula permanece válida mesmo que as funções e não sejam ambas 
não-negativas. 
 
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EXEMPLO 3.8 
 Encontre a área da região limitada pelas curvas e entre e . 
 
 Solução: De modo a poder visualizar a situação, esboce a região como mostrada na figura 3.8a: 
 
 Então, aplique a fórmula da integral com e no intervalo , 
ou seja, e , para obter: 
Área 
 
 
EXEMPLO 3.9 
 Encontre a área da região limitada pelas curvas e . 
 
 Solução: Esboce as curvas como mostradas na figura 3.8b: 
 
Área entre Duas Curvas 
 Se e são contínuas num intervalo com , e se 
 é a região limitada pelos gráficos de e e pelas retas verticais e , 
então 
Área de 
UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
 Então encontre os pontos de interseção das duas funções resolvendo o sistema formado pelas duas 
equações: 
, 
 os pontos correspondentes, e são os pontos de interseção. 
 Note que, para , o gráfico de situa-se acima do gráfico de (pois o quadrado 
de uma fração entre 0 e 1 é maior que seu cubo). Assim, a região em questão é limitada superiormente pela 
curva e inferiormente pela curva , e se estende de a , logo 
Área 
 Obs: Definimos a integral definida como a variação da antiderivada, e então provamos que esta 
variação é igual ao “valor limite” de uma determinada soma. Alguns textos de cálculo usam a abordagem 
oposta. Eles definem a integral definida como um valor limite de uma soma e então provam que ela pode ser 
calculada como a variação da antiderivada. De qualquer forma, o importante é a conexão entre as 
antiderivadas e as somas. Essa relação é conhecida como o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
EXERCÍCIOS 
 Calcule a integral definida em cada caso: 
1. 10. 
2. 11. 
3. 12. 
4. 13. 
5. 14. 
6. 15. 
7. 16. (fora) 
8. 17. 
9. 18. 
 
4. INTEGRAÇÃO POR PARTES; TABELAS DE INTEGRAL 
 Nesta seção você verá uma técnica que pode ser usada para integrar certos produtos do tipo f(x)g(x). 
A técnica é chamada de integração por partes, e, como você verá, é uma reestruturação da regra do 
produto para derivação. Aqui está o enunciado formal dessa técnica. 
 
 
 
 
 
Por que a integração por partes funciona? 
Integração por Partes 
 
onde é uma antiderivada de . 
UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
 Para ver como a integração por partes é uma reestruturação do que acontece quando a regra do 
produto é usada para derivar f(x)G(x), onde G é uma antiderivada de g, note que 
 
 Expressa em termos de integral, isto diz que 
 
 ou 
 
 que é precisamente a fórmula para integração por partes. 
 
Como e quando usar a integração por partes? 
 Integração por partes é uma técnica para integrar produtos f(x)g(x), nos quais um dos fatores, por 
exemplo g(x), pode ser facilmente integrado, e o outro, f(x), se torna mais simples quando derivado. Para 
calcular uma tal integral, , usando integração por partes, primeiro integre g e multiplique o 
resultado por f para obter 
f(x)G(x) 
 onde G é uma antiderivada de g. Depois multiplique a antiderivada de G pela derivada de f e subtraia 
a integral deste produto do resultado do primeiro passo para obter 
 
 Esta expressão será igual à integral original , e se você tiver sorte, a nova integral 
 será mais fácil de calcular do que a primeira original. 
 Aqui está um resumo informal doprocedimento passo-a-passo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aqui estão alguns exemplos que ilustram o procedimento. Em cada exemplo, g(x) é usada para 
denotar o fator que deve ser integrado e f(x) é usada para denotar o fator que deve ser derivado. Como 
lembrete, as letras I (para integrar) e D (para derivar) são colocadas acima dos fatores apropriados no 
integrando. 
 Com a prática, você se tornará familiarizado com o padrão e deve chegar a ser capaz de fazer este 
tipo de integração por partes sem necessidade de escrever os passos intermediários para as funções g(x), f(x), 
G(x) e . 
 
EXEMPLO 4.1 
 Encontre . 
 
 Solução: Neste caso, ambos os fatores x e são fáceis de integrar. Ambos são também fáceis de 
derivar, mas um processo de derivação simplifica x, enquanto deixa essencialmente o mesmo. Isto 
sugere que você deve tentar integrar por partes com 
Como usar a integração por partes para integrar um produto 
 Passo 1. Selecione um dos fatores do produto como aquele a ser integrado e um outro como 
aquele a ser derivado. O fator selecionado para integração deve ser fácil de integrar, e o fator selecionado 
para derivação deve se tornar mais simples quando derivado. 
 Passo 2. Integre o fator designado e multiplique-o pelo outro fator. 
 Passo 3. Derive o fator designado, multiplique-o pelo fator integrado do Passo 2 e subtraia a 
integral deste produto do resultado do Passo 2. 
 Passo 4. Complete o procedimento encontrando a nova integral que foi formada no Passo 3. de . 
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 e 
 Então, 
 e 
 e portanto, 
 
 
 
 
EXEMPLO 4.2 
 Encontre . 
 
 Solução: Novamente, ambos os fatores no produto são fáceis de integrar e derivar. Contudo, o fator x 
é simplificado pela derivação, enquanto a derivada de é ainda mais complicada que 
propriamente dita. Isto sugere que você deve tentar integrar por partes com 
 e 
 Então 
 e 
 e, portanto, 
 
 
 Comentário: Algumas integrais podem ser calculadas tanto por substituição quanto por integração 
por partes. Por exemplo, a integral do Exemplo 4.2 pode ser encontrada por substituição como se segue: 
 Seja . Então e , e 
 
 
 Esta fórmula da integral não é a mesma encontrada no Exemplo 4.2. Para mostrar que as duas formas 
são equivalentes, note que a antiderivada no Exemplo 4.2 pode ser expressa como 
 
 
 
 que é a forma da antiderivada obtida por substituição. Este exemplo mostra que é bastante possível 
você fazer tudo corretamente e ainda assim não obter uma resposta igual à do fim do livro. 
 
EXEMPLO 4.3 
 Encontre . 
 
 Solução: O truque é escrever como um produto , no qual o termo 1 é fácil de integrar e o 
termo é simplificado pela derivação. Isto sugere que você use integração por partes com 
 e 
 Então, 
 e 
D I 
D I 
UNIVATES – Cálculo 1 – 2016 A 
 
 e assim 
 
 
 
Aplicações repetidas de integração por partes 
 Algumas vezes a integração por partes leva a uma nova integral que também deve ser integrada por 
partes. Esta situação está ilustrada no exemplo seguinte. 
 
EXEMPLO 4.4 
 Encontre . 
 
 Solução: Como o fator e é fácil de integrar e o fator x é simplificado por derivação, tente 
integração por partes com 
 e 
 Então, 
 e 
 e assim 
 
 
 
Para encontrar , você deve integrar por partes novamente, desta vez com 
 
 e 
 
Então, 
 
 e 
 
 e assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo de integrais definidas por partes 
 
 A fórmula para a integração por partes pode ser reescrita para as integrais definidas como se segue. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4.5 
 Calcule . 
 
 I D 
 D I 
 D I 
Integração por Partes 
 
onde é uma antiderivada de . 
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 Solução: Como o fator x é fácil de integrar e o fator é simplificado por derivação, tente 
integração por partes com 
 
 e 
 Então, 
 
 e 
 e assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 Nos problemas de 1 a 16, use integração por partes para encontrar a integral dada. 
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