FisicaII_lista03

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Físi
a II
Primeiro semestre de 2013
Professores: Dilson Pereira Caetano e Wellington Gomes Dantas
Lista III: Lei de Gauss
1. Uma região esféri
a está uniformemente 
arregada

om uma densidade volumétri
a de 
arga ρ. Uma

avidade esféri
a é aberta, 
omo mostrado na
�gura. Mostre que o 
ampo elétri
o, em todos os
pontos no interior da 
avidade, é E = ρa/3ǫ0, onde
a é o vetor que vai do 
entro da esfera ao 
entro da

avidade.
2. Um 
ilindro longo possui um densidade de 
arga
volumétri
a 
onstante ρ positiva e uma raio R. Um
�o longo, paralelo ao 
ilindro e 
om densidade de

arga linear λ, está a uma distân
ia d > R do eixo
do 
ilindro. Qual deve ser o valor de λ para que o

ampo elétri
o no ponto P, que está a uma distân
ia
r0 < R do eixo do 
ilindro, seja nulo? Todass as
distân
ias são medidas na direção ortogonal do eixo
do 
ilindro.
3. Considere um 
ampo elétri
o uniforme, de módulo
E=2, 0×102 N/C, 
ujo vetor seja paralelo ao eixo x
apontando no sentido do 
res
imento de x. Imag-
ine uma parede perpendi
ular ao eixo x e lo
al-
izada a uma distân
ia de 5 m da origem do sis-
tema de 
oordenadas. Es
olha, do modo mais fá-

il possível, a forma e as dimens�es de bura
os a
serem feitos na parede de modo que o �uxo do

ampo elétri
o através de 
ada bura
o seja igual
a: (a) 1, 0× 102 Nm2/C, (b) 2π× 102 Nm2/C e (
)
1,23 Nm
2
/C.
4. No problema 1, de que ângulo a parede deve ser
in
linada de modo a reduzir o �uxo elétri
o de 10%
o seu valor original (preste atenção: �reduzir de� é
diferente de �reduzir a�)? Esse ângulo depende da
forma do bura
o?
5. O 
ampo elétri
o produzido por um �o retilíneo
muito longo 
arregado é perpendi
ular ao �o e pos-
sui módulo E=λ/(2πǫ0r). Considere uma super�-

ie 
ilíndri
a imaginária de raio r=0,25 m e 
ompri-
mento l=0.5 m 
ujo eixo 
oin
ide 
om o �o retilí-
neo. Se λ=8,0 µC/m 
al
ule: (a) O �uxo elétri
o
através das tampas do 
ilindro (justi�que sua re-
sposta). (b) O �uxo elétri
o através da superfí
ie
lateral do 
ilindro. (
) O �uxo elétri
o através do

ilindro interiro se seu raio dobrar de valor.
6. Uma esfera não-
ondutora de raio a, tem uma 
arga
total −Q, distribuída em seu volume segundo sua
densidade volumétri
a de 
arga em função do raio,
dada por: ρ(r)=−βr2, onde β é uma 
onstante que
torna a densidade dimensionalmente 
orreta. Esta
esfera é 
entrada no interior de uma 
as
a esféri
a

ondutora, de 
arga nula, raio interno b e raio ex-
terno c. (a) Faça um desenho esquemáti
o das es-
feras, indi
ando os raios, as 
argas, e se a esfera é

ondutora ou isolante. (Di
a: faça um desenho em

orte passando pelo 
entro das esferas). (b) Deter-
mine β. (
) Determine o 
ampo elétri
o ~E (módulo,
direção e sentido), na região r<a. (d) Determine
a 
arga elétri
a induzida nas superfí
ies interna e
externa da 
as
a 
ondutora.
7. Uma esfera de raio R não 
ondutora, e 
arga total
Q, possui distribuição de 
arga não uniforme
ρ(r) =
αe−2r/R
r2
onde α e R são 
onstantes. Usando a lei de Gauss

al
ule: (a) a 
arga total da esfera em função de α
e de R; (b) o 
ampo elétri
o na região r<R; (
) o

ampo elétri
o na região r>R.
8. Um 
abo 
oaxial longo é 
onstituído por um 
ilin-
dro interno 
ondutor de raio a e por um 
ilindro
externo 
ondutor 
om raio interno b e raio externo
c 
onforme a �gura abaixo. O 
ilindro externo está
2
apoiado em suportes isolantes e não possui nen-
huma 
arga líquida. O 
ilindro interno possui uma

arga por unidade de 
omprimento uniforme λ. De-
termine o 
ampo elétri
o (a) em qualquer ponto
entre os dois 
ilindros, a uma distân
ia r do eixo;
(b) em qualquer ponto no exterior do 
ilindro. (
)
Faça um grá�
o do módulo do 
ampo elétri
o em
função da distân
ia r ao eixo do 
abo, desde r=0
até r=2c. (d) Cal
ule a 
arga por unidade de 
om-
primento das superfí
ies interna e externa do 
ilin-
dro externo. Faça um desenho ilustrando o 
abo

oaxial.
9. Uma esfera 
ondutora o
a de 
arga neutra possui
no seu interior uma 
arga elétri
a q=+5 µC. Us-
ando a lei de Gauss, faça um desenho mostrando
qualitativamente e 
oerentemente as distribuições
de 
argas elétri
as induzidas nas superfí
ies interna
e externa do 
ondutor nas seguintes situações: (a)
quando a 
arga q está lo
alizada no 
entro da es-
fera; (b) quando a 
arga q está lo
alizada à es-
querda (portanto fora) do 
entro da esfera.
10. Uma esfera 
ondutora sólida de raio R possui uma

arga positiva Q. A esfera está no interior de uma
esfera o
a isolante e 
on
êntri
a 
om raio interno
R e raio externo 2R. A esfera isolante possui uma
densidade de 
arga uniforme ρ. (a) Cal
ule o valor
de ρ para que a 
arga total do sistema seja igual a
zero. (b) Usando o valor de ρ en
ontrado na parte
(a), determine o módulo, a direção e o sentido do

ampo elétri
o em 
ada uma das regiões 0<r<R,
R<r<2R, e r>2R. Mostre seus resultados em um
grá�
o do 
omponente radial do 
ampo elétri
o em
função da distân
ia r.
11. Um 
ilindro isolante, de raio R e in�nitamente
longo, possui uma distribuição volumétri
a de

arga que varia 
om a distân
ia do seguinte modo
ρ = ρ0
(
a−
b
r
)
,
onde a, b e ρ0 são 
onstantes positivas e r é a dis-
tân
ia medida a partir do eixo do 
ilindro. Use a
lei de Gauss para 
al
ular o 
ampo elétri
o desta
distribuição para (a)r < R e (b)r > R.
12. Na �gura abaixo temos duas 
as
as esféri
as não-

ondutoras que são mantidas �xas no eixo x. A

as
a 1 possui uma densidade uniforme de 
arga
σ1 e raio r1, enquanto que a 
as
a 2 possui uma
densidade uniforme de 
arga σ2 e raio r2. A dis-
tân
ia entre os 
entros das 
as
as é L. Determine
os pontos sobre o eixo x onde o 
ampo elétri
o é
nulo.