Momento de Inercia

Prévia do material em texto

Momento de Inercia 
Andrei Vinícius Ferreira Batista, Lidia Eduarda Sousa Santos, Marcel Frank 
Amaral Silva, Luís Gustavo Dos Santos 
Professor: Fábio Lacerda Resende e Silva 
26 de abril de 2022 
 
 
Objetivos 
O objetivo dessa prática é analisar e 
determinar por experimentos o momento 
de inercia de alguns objetos, sendo eles um 
disco, uma vareta com massas pontuais e 
um anel acoplado ao disco. 
Fundamento teórico 
O momento de inércia expressa o grau de 
dificuldade em se alterar o estado de 
movimento de um corpo em rotação. 
Nesse sentido, quanto maior for o 
momento de inércia de um corpo, mais 
difícil é mudar seu estado de rotação. 
(Beer, 2012). 
Por definição temos que o momento de 
inercia de uma partícula é 𝐼 = 𝑚𝑟 onde 
m é a massa da partícula e r é a distância 
entre ela e o eixo de rotação. Como um 
corpo é um sistema composto por 
diversas partículas, seu momento de 
inercia é a soma dos momentos de cada 
partícula: 𝐼 = ∑ 𝑚 𝑟 , onde n é o 
número de partículas. Por fim, para um 
corpo que possui uma distribuição 
continua de massas, temos que a fórmula 
geral para o momento de inercia é a 
integral do somatório, sendo assim 
𝐼 = ∫ 𝑟 𝑑𝑚 (1) 
Se tomarmos como exemplo um disco e o 
dividirmos em anéis infinitamente 
pequenos (como representado na figura 1) 
com massa dm, um raio r e espessura dr, 
podemos somar o momento de inercia de 
cada um. 
 
Figura 1: Divisão de um disco em anéis 
infinitesimais 
Sendo assim, a área do anel citado será: 
𝑑𝐴 − 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 (2) 
Temos que a massa do anel divida por sua 
área é igual a massa do disco dividida pela 
área do disco. 
𝑑𝑚
𝑑𝐴
−
𝑀
𝐴
→ 𝑑𝑚 −
𝑀 𝑑𝐴
𝐴
 (3) 
Aplicando a equação 2 na equação 3: 
𝑑𝑚 =
𝑀 × 2𝜋𝑟 𝑑𝑟
𝐴
 𝑑𝑚 =
𝑀 × 2𝜋𝑟 𝑑𝑟
𝜋𝑅
 
𝑑𝑚 =
2𝑀𝑟 𝑑𝑟
𝑅
 (4) 
Aplicando a equação 4 na equação 1, tem-
se: 
𝐼 = 𝑟 ∗
2𝑀𝑟 𝑑𝑟
𝑅
→ 𝐼 =
2𝑀
𝑅
𝑟 𝑑𝑟 
𝐼 =
𝑀𝑅
2
 
E assim encontramos o momento de inércia 
de um disco que gira perpendicularmente a 
um eixo que passa pelo seu centro de 
massa. 
O mesmo raciocínio vale para um anel 
dividido em infinitos anéis, como 
mostrado na figura 2. 
 
Figura 2: Anel de raio interior 𝑅 e raio exterior 
𝑅 dividido em infinitos anéis de raio r 
Logo, a área do anel infinitesimal pode 
ser calculada pela equação 2. Como 
estamos considerando que o objeto é 
homogéneo, a massa do anel infinitesimal 
dividida por sua área é igual a massa total 
do anel dividida pela área total do anel, 
como visto na equação 3. 
Substituindo 𝑑𝐴 da equação 2 na equação 
3, tem-se: 
𝑑𝑚 =
𝑀2𝜋𝑟 𝑑𝑟
𝐴
→ 𝑑𝑚 =
𝑀2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝜋(𝑅 − 𝑅 )
 
𝑑𝑚 =
2𝑀𝑟 𝑑𝑟
𝑅 − 𝑅
 (5) 
Substituindo 𝑑𝑚 da equação 5 na 
equação 3: 
𝐼 = 𝑟 ∗
2𝑀𝑟
𝑅 − 𝑅
𝑑𝑟 
𝐼 =
2𝑀
𝑅 − 𝑅
𝑟 𝑑𝑟 
𝐼 =
2𝑀
𝑅 − 𝑅
∗
𝑅 − 𝑅
4
 
𝐼 =
2𝑀
𝑅 − 𝑅
∗
(𝑅 + 𝑅 )(𝑅 − 𝑅 )
4
 
𝐼 =
𝑀(𝑅 + 𝑅 )
2
 
E assim temos o momento de inercia para 
um anel de raio interno 𝑅 e externo 𝑅 
que gira pelo mesmo eixo que passa pelo 
seu centro de massa. 
Para calcular o momento de inercia de uma 
barra de comprimento L e massa M, que 
gira em relação a um eixo perpendicular ao 
comprimento da barra e passa pelo seu 
centro de massa, podemos dividi-la em 
comprimentos infinitesimais 𝑑𝑥, cuja 
massa será 𝑑𝑚, como mostra a figura 3: 
 
Figura 3: divisão de uma barra em elementos de 
comprimento 𝑑𝑥. 
A massa da barra infinitesimal dividida 
pelo comprimento da barra infinitesimal é 
igual a massa total da barra dividida pelo 
seu comprimento total. 
𝑑𝑚
𝑑𝑥
=
𝑀
𝐿
→ 𝑑𝑚 =
𝑀𝑑𝑥
𝐿
 (6) 
Substituindo 𝑑𝑚 da equação 6 na equação 
1, tem-se: 
𝐼 = 𝑥
𝑀
𝐿
𝑑𝑥 → 𝐼 =
𝑀
𝐿
𝑥 𝑑𝑥 
𝐼 =
𝑀
𝐿
∗
𝐿
12
→ 𝐼 =
𝑀𝐿
12
 
Dada a situação de termos um disco e um 
anel acoplados, de modo que seus centros 
de massa coincidam. Caso eles girem em 
torno de um eixo perpendicular ao plano 
que contem o disco e que passa pelo centro 
de massa do sistema o momento de inercia 
do sistema será o somatório dos momentos 
de inercia do disco com o do anel, portanto: 
𝐼 = 𝐼 + 𝐼 → 
𝐼 =
𝑀 𝑅
2
+
𝑀 (𝑅 + 𝑅 )
2
→ 
𝐼 =
𝑀 𝑅 + 𝑀 (𝑅 + 𝑅 )
2
 (7) 
Onde 𝐼 é o momento de inercia total, 𝐼 o 
momento de inercia do disco, 𝑇 o 
momento de inercia do anel, 𝑀 a massa 
do disco, 𝑀 a massa do anel, 𝑅 o raio 
do disco, 𝑅 o raio interno do anel e 𝑅 o 
externo. 
Considerando um corpo de pontual em 
rotação, independente da angulação que a 
força �⃗� é aplicada, apenas 𝐹 (força 
tangencial) produz movimento pois a �⃗� 
(força resultante) é sempre perpendicular 
ao deslocamento. Sendo, o trabalho de 
uma força dado por 𝑊 = �⃗� 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 e o 
angulo entre o deslocamento e a força �⃗� 
igual a 90°, então o trabalho dessa força 
é W = 0. Logo �⃗� não altera o movimento. 
Portanto fazendo as substituições na 
equação �⃗� = 𝑚|�⃗�| e sabendo que a 
aceleração angular é dada por �⃗� = �⃗� ∗ 𝑟, 
tem-se: 
|�⃗� |= 𝑚|�⃗�| (8) 
Multiplicando a equação 8 pelo raio de 
rotação r, manteria a igualdade e se 
obteria a equação 
|�⃗� |𝑟 = |𝛼⃗|𝑚𝑟 (9) 
Tem-se que: 
|𝜏| = �⃗� |𝜏|𝑠𝑒𝑛𝜃 → |𝜏| = 𝐹 |𝜏| (10) 
Onde 𝜏 é o torque �⃗� a força aplicada, 𝑟 a 
distância entre o eixo de rotação e a 
partícula a qual a força é aplicada e 𝜃 o 
ângulo entre a força e o prolongamento 
do raio. Portanto, quando se relaciona as 
equações 1 e 10 á equação 9, obtém-se 
|𝜏 | = 𝐼|�⃗�| (11) 
Onde 𝜏 é o torque resultante, I o 
momento de inercia do corpo e �⃗� a 
aceleração angular da partícula. 
Metodologia 
Para a realização da prática foi-se 
utilizado: um sensor de rotação PASCO, 
tripé de aço, um disco e anel metálico, 
vareta, massas, uma polia com braçadeira, 
linha de nylon, polia de 3 passos e um 
Notebook. 
Primeiramente foi medido as massas da 
vareta, do disco, do anel e dos pesos 
acoplados. Como também, as dimensões do 
disco e do anel. 
Tabela 1: medidas pré experimentais 
 
Massa da vareta 𝟐𝟖. 𝟏𝒈 ± 𝟎. 𝟎𝟓𝒈 
Massa do disco 𝟏𝟐𝟏. 𝟓𝒈 ± 𝟎. 𝟎𝟓𝒈 
Massa do anel 𝟒𝟔𝟖. 𝟔𝒈 ± 𝟎. 𝟎𝟓𝒈 
Massa dos pesos (2) do 
fio 
𝟏𝟎𝟎. 𝟒𝒈 ± 𝟎. 𝟎𝟓𝒈 
Massa dos pesos (2) 
acoplado 
𝟏𝟓𝟒. 𝟑𝒈 ± 𝟎. 𝟎𝟓𝒈 
Diâmetro interno do 
anel 
𝟓𝟑. 𝟕𝟒𝒎𝒎
± 𝟎. 𝟎𝟓𝒎𝒎 
Diâmetro externo do 
anel 
𝟕𝟔. 𝟓𝟖𝒎𝒎
± 𝟎. 𝟎𝟓𝒎𝒎 
Diâmetro do disco 𝟗𝟓. 𝟑𝟎𝒎𝒎
± 𝟎. 𝟎𝟓𝒎𝒎 
Diâmetro da polia 𝟐𝟖. 𝟕𝟒𝒎𝒎
± 𝟎. 𝟎𝟓𝒎𝒎 
Comprimento da 
vareta 
𝟑𝟖𝟎𝒎𝒎 ± 𝟎. 𝟓𝒎𝒎 
 
Em seguida foi conectado o sensor de 
rotação a um computador e junto ao tripé 
metálico foi enrolada uma linha em torno da 
polia de 3-passos e acoplada uma vareta 
pelo seu centro de massa, e os pesos foram 
liberados para descer, como demonstra a 
figura 4. Todos os dados foram coletados 
pelo computador através do programa 
capstone-pasco. 
 
Figura 4: primeiro procedimento 
Para o segundo procedimento, foi-se 
necessário retirar a vareta e acoplar o 
disco e para isso, a polia de 3-passos foi 
invertida. Em seguida, o experimento 
foi repetido com o anel sobre o disco, 
como demonstrado na figura 5. 
 
Figura 5: segundo procedimento 
 
Resultados e análise 
Ao realizar o primeiro experimento 
(rotação da vareta com pesos acoplados) o 
programa capstone-pasco plotou o gráfico 
que pode ser observado na figura 6. 
Sabe-se que a aceleração angular é igual a 
derivada da equação da velocidade 
angular, ou seja, o coeficiente angular. 
Logo, a aceleração angular do 
experimento 1 é |𝛼 ⃗| = 0,0170 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ±
0,0244 𝑟𝑎𝑑/𝑠 , como é visto pelos dados 
obtidos do gráfico na figura 7. 
 
Figura 6: gráfico da velocidade angular vs tempo 
do experimento 1 
 
Figura 7: analise do gráfico da figura 6 
 
O mesmo procedimento foi feito para o 
experimento 2 (rotação do anel com disco). 
O gráfico e sua análise gerados a partir dos 
experimentos pelo mesmo aplicativo 
podem ser observados nas imagens 8 e 9 
respetivamente. 
 
Figura 8: Gráfico da velocidade angular vs tempo 
do experimento 2Figura 9: analise do gráfico da figura 8 
Seguindo o mesmo raciocínio do 
experimento 1, deduz-se que a aceleração 
angular no experimento 2 é 
|�⃗�| = 2,4194 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ± 0,7064 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Também é possível analisar a queda da 
massa livre na figura 10 e a analise de seus 
dados na figura 11. 
 
Figura 10: Gráfico da velocidade angular vs 
tempo da queda das massas 
 
Figura 11: analise do gráfico da figura 10 
Ao observar a queda da massa acoplada, 
possui-se uma impressão de que ela cai 
com velocidade constante. Porém, após 
observar os gráficos presentes nas 
imagens, notamos que existe uma 
aceleração angular durante o teste. Então é 
possível afirmar que a massa não cai com 
velocidade constante. Isso se deve a vários 
fatores, como a ação da aceleração 
gravitacional, a foça de atrito do ar, do fio 
com a polia entre outras forças 
dissipativas. 
Outro resultado que podemos obter com 
os dados retidos é o torque na polia de 3 
passos. Considerando-se que o fio é ideal, 
que toda força foi aplicada de forma 
tangencial, que a força resultante na polia 
é a força peso da massa acoplada, ou seja: 
�⃗� = 𝒎|𝒈|, sendo 𝒈 a aceleração 
gravitacional, com valor aproximado à 
𝟗, 𝟕𝟖 𝒎/𝒔𝟐. Substituindo as variáveis da 
equação 10, tem-se que: 
|𝜏| = 𝑚|�⃗�||𝑟| → 
|𝜏| = 50,2 ∗ 10 ∗ 9,78 ∗
28,74 ∗ 10
2
 
|𝜏| = 7,05 ∗ 10 𝑁 ∙ 𝑚 
Como os cilindros possuem dimensões 
desprezíveis se comparadas às dimensões da 
vareta e o sistema do experimento de 
rotação foi composto pelas varetas e pelos 
cilindros, é razoável para o cálculo 
considerá-los como corpos pontuais 
posicionados no fim da vareta. 
O torque em todos os sistemas dos 
experimentos, como pode ser comprovado 
pela equação 10, permanecem constantes 
em todas as práticas. Assim tem-se: 
|𝜏 | = 𝐼|�⃗�| → 𝐼 =
|𝜏 |
|�⃗�|
 (12) 
Calculando o momento de inercia do 
sistema formado pela vareta-massas, 
usando-se da equação 12: 
𝐼 =
7,05 ∗ 10
0,0170
= 0,4147 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 (13) 
Partindo da resolução pela equação 𝐼 =
 combinada a equação 1, tem-se: 
𝐼 =
𝑀 𝐿
12
+ 𝑟 (𝑀 + 𝑀 ) (14) 
Onde M1 é a massa da vareta, M2 e M3 os 
pesos acoplados, L o comprimento da vareta 
e r a distância entre os pesos e o centro de 
rotação, ou seja, L/2. Aplicando a equação 
14, tem-se: 
𝐼 =
28,1 ∗ 10 ∗ (380 ∗ 10 )
12
+ 
(380 ∗ 10 )
2
∗ (154,3 ∗ 10 ) 
𝐼 = 1,14 ∗ 10 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 (15) 
Calculando o momento de inercia formado 
pelo disco-anel, usando-se da equação 12: 
𝐼 =
7,05 ∗ 10
2,4194 
= 2,9139 ∗ 10 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 
Partindo da resolução pela equação 7, tem-
se: 
𝐼 =
121,5 ∗ 10 ∗
(95,30 ∗ 10 )
2
2
+
468,6 ∗ 10
53,74 ∗ 10
2
+
76,58 ∗ 10
2
2
 
𝐼 = 1,8 ∗ 10 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 
 
Utilizando a equação �⃗� = �⃗�𝑟 podemos 
determinar a aceleração da massa em cada 
um dos experimentos: 
Experimento vareta-massas: 
|�⃗�| = 0,0170 ∗
28,74 ∙ 10
2
→ 
|�⃗�| = 2,44 ∙ 10 𝑚/𝑠 
Experimento disco-anel: 
|�⃗�| = 2,4194 ∗
28,74 ∙ 10
2
→ 
|�⃗�| = 3,47 ∙ 10 𝑚/𝑠 
Com base nos experimentos feitos 
concluímos que o cálculo do erro 
cometido no momento de inercia da barra 
com as massas acopladas se dá pela 
seguinte propagação de incerteza usando-
se da seguinte formula: 
Δ𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(Δ𝑥) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(Δ𝑦) +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
(Δ𝑧) 
ΔI(𝑚, 𝑟, 𝛼)
=
𝜕𝐼
𝜕𝑚
(Δ𝑚) +
𝜕𝐼
𝜕𝑟
(Δ𝑟) +
𝜕𝐼
𝜕𝛼
(Δ𝛼) 
Δ𝐼(𝑚, 𝑟, 𝛼)
=
𝑔𝑟
𝛼
(Δ𝑚) +
𝑚𝑔
𝛼
(Δ𝑟) + (𝑚𝑔𝑟 ∙ 𝑙𝑛 𝛼) (Δ𝛼) 
Δ𝐼 = (𝑚, 𝑟, 𝛼)
=
9,78 × 0,381
0,017
(0,0025) +
0,0502 × 9,78
0,017
(0,05) + (0,0502 ∗ 9,78 ∗ 0,381 ∗ ln(0,017)) (0,0015) 
Δ𝐼 = 1,54 ∙ 10 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 
Podemos tratar de incertezas sistemáticas, 
que se dão pela má calibração dos 
instrumentos, incertezas sistemáticas 
residuais, a incerteza que obtivemos com 
a utilização do dinamômetro para medição 
de massa (±2,5𝑔), e a incerteza aleatória 
tendo como fator a medição humana. 
 
 
 
Conclusão 
O experimento realizado teve o objetivo de 
determinar a aceleração angular de um 
sistema, utilizando-se dela para encontrar o 
momento de inércia de uma série de objetos: 
vareta-massas, disco e disco-anel. Nesse 
sentido, tivemos êxito na realização da 
prática e obtivemos resultados controversos. 
Podemos concluir que os resultados não 
foram extremamente precisos. Isso 
aconteceu porque eles estavam todos 
submetidos a condições diversas: 
temperatura, atrito, vento, erros humanos, 
umidade, resistência do ar, dentre outros 
fatores que são totalmente desconsiderados 
dos cálculos teóricos. Devido a isso, 
obtivemos erros em todas as medições 
Referencias 
Halliday, David (2012). Fundamentos de 
Física Volume 1 – Mecânica 
Resende, Fábio; Marcelino, Rafael (2019). 
Apostila de Laboratório de Física 1. 
Beer, Ferdinand P. et al. Mecânica vetorial 
para engenheiros-estática.