Espaço_Estados_Gabriel_Igor

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Projeto de Controlador via Espaço de Estados
Gabriel Lopes dos Santos ∗ Igor Ribeiro Pereira ∗
∗ Curso de Engenharia Mecatrônica, CEFET-MG, Campus
Divinópolis, (e-mail: gabriellopessantos21@gmail.com,
igoribeiro.275@gmail.com).
1. SISTEMA EM ESTUDO
Para o estudo referente ao projeto de controladores via
abordagem lugar geométrico das ráızes, tem-se que o
sistema em análise se refere a um calha-bola, como é
apresentado na Figura 1, sendo um exemplar de sua
estrutura f́ısica.
Figura 1. Exemplar de um sistema Calha-Bola f́ısico.
Logo, o mesmo se trata de um mecanismo com um feixe
na horizontal e um motor acoplado em uma das suas
extremidades, bem como um sensor resistivo introduzido
no interior do feixe. Sendo na extremidade esquerda posi-
ção de referência zero e na extremidade direita a posição
máxima de 50 cm. Nesse sentido, esse sistema tem o
objetivo de equilibrar uma bola controlando sua posição
no feixe por meio do controle do seu atuador - motor
DC, o qual recebe sinais do sensor de posição e realiza o
trabalho fundamental para equilibrar a bola na localização
determinada do feixe.
Todavia, após fazer vários estudos na disciplina de Labo-
ratório de Controle Digital, percebeu-se que a planta com-
pleta consista em um sistema MIMO (Múltiplas entradas
e Múltiplas Sáıdas), uma vez que, teria que controlar a
posição angular do motor em conjunto coma posição linear
da bola na barra. Nesse sentido, o professor solicitou que,
a partir daquele momento, passasse a controlar a posição
angular da barra da planta em estudo, e não mais a posição
linear da bola . Nesse sentido, determinou-se um novo
ponto de operação do sistema, em 15◦. Vale frisar também
que, os outros controladores que já haviam sido projetados,
foram refeitos novamente com a nova função transferência
e ponto de operação, para que, assim, fosse posśıvel realizar
a comparação dos três controladores obtidos na disciplina.
2. SISTEMA DISCRETIZADO
Nesse sentido, tem-se que o a função transferência discre-
tizada do sistema em estudo, bem como com aux́ılio de seu
tempo de acomodação Ts = 0.06s se refere:
G(z) =
0.00153z2 + 0.005733z + 0.001362
z3 − 2.652z2 + 2.445z − 0.7938
. (1)
Logo, nota-se que o modelo obtido em (1) possui seus polos
P(1,2) = 0.826 ± 0.333, bem como um um polo P3 = 1.
Além disso, o sistema em estudo dispõe de dois zeros,
sendo z1 = 0.255 e z2 = 3.495. Nesse sentido, sabe-se via
simulação, que o sistema em malha aberta é considerado
instável, todavia, em malha fechada pode ser considerado
como marginalmente estável.
3. PROJETO DE CONTROLADORES
Para o progresso do trabalho, utilizou-se o software
MATLAB/ Simulink, com o propósito de obter os parâme-
tros do sistema, funções de transferência, além das monta-
gens dos diagramas de blocos e as simulações necessárias.
3.1 Controlador Polinomial
Uma vez que o sistema em malha aberta é tido como ins-
tável, logo, buscou-se obter critérios de desempenho para
que o o processo posso opera em malha fechada junto aos
controladores. Nesse sentido, a fim de conseguir melhoria
de resposta do sistema em malha aberta, determinou-se
um sobressinal máximo em OS% = 30% e um tempo de
acomodação ts = 3 s.
Por conseguinte, para o projeto de controlador via aborda-
gem polinomial, inicialmente se calculou os polos dominan-
tes da malha fechada correspondentes às especificações de
desempenho desejadas. Para isso, encontrou-se os novos
valores para o coeficiente de amortecimento, ξ, e para a
frequência natural, ωn, da malha fechada, sendo eles:
ξ =
−ln(OS%)√
π2 + ln2(OS%)
= 0.3579, (2)
ωn =
4
ξts
= 3.7259. (3)
Portanto, tem-se que os polos dominantes são:
S1,2 = −ξωn ± ωn
√
1− ξ2 = −1.33± 3.479j. (4)
Logo,como o objetivo é encontrar um controlador polino-
mial em tempo discreto, foi preciso realizar o mapeamento
dos polos do plano s para o plano z, sendo que se utilizou
a relação:
Z = esT = e(σ±jω)T = eσT · ejωT , (5)
em que: σ é a parte real, jω é a parte imaginária e T
é o peŕıodo de amostragem. Diante disso, substituindo
os valores dos polos encontrados em S1,2, e o tempo de
amostragem dado por Ts = 0.06 s na equação (5), obteve-
se:
Z1,2 = 0.9231± 0.1913j. (6)
Desse modo, visto que o polinômio D(Z) deverá possuir
grau δ(D(z)) = (2n − 1) = 5, então se fez necessário
acrescer o terceiro polo que não interfira na dinâmica do
sistema. Sendo assim, optou-se em adicionar o terceiro
polo sendo posicionado em z3 = 0.3012, z4 = 0.2837 e
z5 = 0.2671. Portanto, o polinômio diofantino D(z) para
a malha fechada é dado por:
D(z) = (Z − Z1)(z − Z2)(Z − Z3)(Z − Z4)(Z − Z5),
D(z) = (z − 0.903 + 0.191j)(z − 0.903 − 0.191j)(z − 301)(z − 0.284)(z − 0.267),
D(z) = z
5 − 2.658z4 + 2.633z3 − 1.185z2 + 0.2472z − 0.019. (7)
Com isso, seguiu-se para a obtenção da solução matricial
M = E−1D, de forma a adquirir os coeficientes do
controlador. Assim, através da matriz de Sylvester, E, com
dimensão 6×6, e pela matriz D, formada pelos coeficientes
do polinômio D(z) e com dimensão 6 × 1, tem-se que a
solução matricial M é dada por:
M = E
−1 · D,
−0.0194
0.2471
−1.1853
2.6326
−2.6581
1
 =


−0.794 0 0 0.00136 0 0
2.445 −0.794 0 0.00573 0.00362 0
−2.652 2.445 −0.794 0.00153 0.00573 0.00136
1 −2.652 2.445 0 0.00153 0.00573
0 1 −2.652 0 0 0.00153
0 0 1 0 0 0


−1
·

6 · 10−2
3 · 10−2
1
0.213
−0.361
0.169
 , (8)
de forma que, com os valores dos coeficientes dispostos
na matriz M , tem-se que a função de transferência para o
controlador via abordagem polinomial é dada por:
C(z)P =
16.92z2 − 36.12z + 21.26
z2 − 0.03202z + 0.06097
. (9)
Portanto, obtida a função de transferência discreta do
controlador polinomial, pretendeu-se realizar sua validação
em malha fechada. Logo, o controlador foi posicionado no
ramo direto da malha e aplicou um sinal de referência de
15◦ para entrada em degrau. Além disso, aplicou-se um
degrau em torno do ponto de operação em t = 10 s, com
amplitude de 5◦, bem como uma pertubação em t = 16 s.
Nesse sentido, a validação da resposta temporal da malha
fechada de controle se encontra disposta na Figura 2.
Por conseguinte, a partir da análise da curva de resposta do
sistema em malha fechada com o controlador polinomial,
obteve-se como parâmetros um sobressinal de OS% =
16, 6% e um tempo de acomodação de ts = 3, 45 s. Dessa
maneira, confirma-se que a especificação pré-estabelecida
foram parcialmente atendidas, uma vez que o sobressinal
foi atendido, entretanto, o tempo de acomodação ultrapas-
sou o que foi estabelecido.
Ademais, é importante mencionar que a resposta compre-
endida entre o intervalo de 0 < t < 10 s obtida para a
malha de controle, referente ao peŕıodo de estabilização
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-5
0
5
10
15
20
25
30
D
es
lo
ca
m
en
to
 a
ng
ul
ar
 [°
]
Referência
Polinomial
Figura 2. Resposta temporal do sistema com controlador
polinomial com entrada ao degrau e pertubação.
do sistema no ponto de operação, não é significativo para
a análise, dado que o controlador foi obtido a partir do
modelo linearizado em torno do ponto de operação, logo,
é válido somente nesta região. Por fim, tem-se que o dia-
grama de blocos da malha de controle com o controlador
via abordagem polinomial disposto na realimentação pode
ser visto na Figura 3.
Figura 3. Diagrama de blocos em malha fechada para o
controlador polinomial.
3.2 Controlador via LGR
Tem-se que os controladores via lugar geométrico das
ráızes por avanço de fase possui como objetivo obter uma
melhoria da resposta transitória do sistema e, para isso,
o zero, z, e o polo, p, são escolhidos de modo a colocar
o ponto de projeto sobre o lugar geométrico das ráızes.
Dessa forma, p deve ser posicionado à esquerda de z.
Nesse sentido, o primeiro passo a ser seguido para o projeto
desse controlador é marcar no plano Z os polos e zeros
do sistema, sendo estes relativos ao modelo linearizado
discretodisposto em (1). Ademais, vale ressaltar que não
foi necessário a introdução de um integrador à função do
sistema, uma vez que já possui integrador puro em sua
composição. Logo, obtém-se o lugar das ráızes na Figura
4.
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
Figura 4. Lugar geométrico das ráızes do sistema não
compensado.
Nesse sentido, com o propósito de diminuir a complexidade
do projeto, uma vez que, o sistema em estudo é terceira
ordem, possui polos complexos conjugados e um zero de
fase não mı́nima em sua estrutura, realizou-se a compen-
sação do sistema disposto em (1), para aproximá-lo de um
sistema de segunda ordem. Logo, obteve-se:
G(z)comp
0.02054z + 0.01501
z2 − 1.388z + 0.3877
. (10)
Adiante, o próximo passo é referente ao cálculo dos polos
dominantes para a malha fechada correspondentes às espe-
cificações de desempenho desejadas. Para isso, considerou-
se as as mesmas especificações determinadas para o con-
trolador polinomial, ou seja, OS% = 30% e ts = 3 s.
Logo, tem-se que os polos desejados em malha fechada no
domı́nio discreto encontra-se dispostos em (6).
Nesse sentido, no terceiro passo, deve-se encontrar a defici-
ência angular ∠G(z = z∗) = Σθz−Σθp, em que z∗ é respec-
tivo aos polos dominantes desejados para a malha fechada.
Sendo assim, no primeiro momento, optou-se em colocar
um zero em z = 0.542. Com a finalidade de tentar puxar
os polos dominante para a região desejada. Em sequência,
resta calcular a desfasagem necessária para alocar o polo
do compensador e, assim, compensar a deficiência angular
relativa ao ponto de projeto especificado. Sendo o cálculo
realizado como segue:
∠G(z = z∗) = Σθz − Σθp = ±180◦,
θz=0.542 − θp− = ±180◦,
156, 8◦ − θp = −180◦,
−θp − 151, 2◦ = −180◦,
θp = +23, 2
◦. (11)
Sendo assim, por geometria encontra-se a localização do
polo, dada por p = 0, 1448, que resulta no lugar geométrico
das ráızes apresentado na Figura 5, e na seguinte função
de transferência para o controlador.
C(z) = Kp
(z − 0.542)
(z − 0.1448)
. (12)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Root Locus
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
Figura 5. Lugar geométrico das ráızes do sistema compen-
sado.
Por fim, o último passo se determinou o ganho Kp do com-
pensador através da condição de módulo, |KC(z)G(z)|z=z∗ =
1. Todavia, via o lugar geométrico das ráızes fornecido pelo
sisotool, ferramenta do MATLAB que permite o projetos
de controladores, é posśıvel encontrar Kp por meio do
ajuste da posição dos polos desejados de malha fechada.
Desse modo, com o uso desta ferramenta, encontrou-se que
6.4243 e, sendo substitúıdo em (12), forneceu-se:
C(z)LGR =
6.4243z − 3.4807
z − 0.141
. (13)
Obtida a função de transferência discreta do controlador
via lugar geométrico das ráızes por avanço de fase, visou-se
realizar sua validação em malha fechada. Dessa forma, o
controlador foi posicionado em série na malha e se aplicou
um sinal de referência de 15◦ para entrada em degrau.
Assim sendo, de forma análoga à malha do controlador via
abordagem polinomial, aplicou-se um degrau em torno do
ponto de operação em t = 10 s, com amplitude de 5◦, como
também uma pertubação em t = 16 s. Logo, a validação
da resposta temporal da malha fechada de controle está
expressa na Figura 6.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-5
0
5
10
15
20
25
30
D
es
lo
ca
m
en
to
 a
ng
ul
ar
 [°
]
Referência
LGR
Figura 6. Resposta temporal do sistema com controlador
LGR com entrada ao degrau e pertubação.
Logo, a partir da análise da curva de resposta do sistema
em malha fechada com o controlador via lugar geométrico
das ráızes, obteve-se como parâmetros um sobressinal de
OS% = 6, 65% e um tempo de acomodação de ts = 3 s.
Logo, atesta-se que as especificações pré-estabelecidas de
sobressinal máximo e de tempo de acomodação foram
totalmente atendidas.
Ademais, vale ressaltar mais uma vez que a resposta
compreendida no intervalo de 0 < t < 10 s obtida para
a malha de controle, relativa ao peŕıodo de estabilização
do sistema no ponto de operação, não é relevante para a
análise, um vez que o controlador foi obtido a partir do
modelo linearizado em torno do ponto de operação, logo,
é válido somente nesta região, isto é, em 10 < t < 25 s.
Por fim, tem-se que o diagrama de blocos da malha de
controle pode ser visto na Figura 7.
Figura 7. Diagrama de blocos da malha fechada.
3.3 Controlador via Espaço de Estados
No primeiro momento, tinha como objetivo encontrar uma
representação do sistema no espaço de estados e, para isso,
utilizou-se a função de transferência do sistema, dada por:
Gp(s) =
45.326
s3 + 3.849s2 + 44.83s− 0.0002923
. (14)
Logo, foi encontrada a representação em espaço de estados
do sistema:
A =
[−3.849 −44.83 0.0003
1 0 0
0 1 0
]
;B =
[
1
0
0
]
;
C = [0 0 45.326] ;D = [0] ; (15)
Adiante, visto que o controle se dará em tempo discreto,
então realizou-se a discretização da representação encon-
trada em (15), resultando em:
Ad =
0.725 −2.338 1.5 · 10−50.052 0.926 4.8 · 10−7
0.002 0.058 1
 ;Bd =
 0.052150.00165
3.375 · 10−5
 ;
Cd = [0 0 45.33] ;Dd = [0] ; (16)
Desse modo, como será acrescida um integrador na malha
de controle, então se fez necessário encontrar as matrizes
A e B aumentadas, sendo elas:
Adaum =
[
Ad 0
−Cd · Ad 1
]
=
[
0.725 −2.338 1.5 · 10−5
0.052 0.926 4.8 · 10−7
0.002 0.058 1
−0.075 −2.651 45.326 1
]
; (17)
Bdaum =
[
Bd
−Cd ·Bd
]
=
 0.05210.00160
−0.0015
 ; (18)
Logo, verificou-se a controlabilidade do sistema em estudo
através dos comandos ctrb e rank do MATLAB, sendo,
respectivamente, um comando para encontrar a matriz de
controlabilidade e o outro para calcular o posto da matriz
em questão. Com isso, com o fornecimento das matrizes
Adaum e Bdaum, adquiriu-se:
Cm =
 0.0521 0.0340 0.0147 −0.00260.0016 0.0042 0.0057 0.00610 0.00090.0005 0.0009
−0.0015 −0.0113 −0.0349 −0.0747
 , (19)
em que possui posto 4 e, portanto, determina-se que o
sistema é controlável.
Por conseguinte, para que o sistema atue em malha fe-
chada, estabeleceu-se os critérios e especificações de de-
sempenho para esse modo de operação. Logo, estipulou os
mesmos critérios que foram utilizados para o controlador
polinomial e LGR, ou seja, um sobressinal máximo em
OS% = 30% e um tempo de acomodação ts = 3 s.
Dessa maneira os polos desejáveis para a malha fechada
no domı́nio discreto se encontra disposto em (6). Adiante,
como o sistema em estudo é de ordem 3 e haverá o uso do
integrador, então será preciso utilizar 4 polos. Dessa forma,
é necessário acrescer mais dois polos que não interferirão
na dinâmica do sistema e, com isso, eles foram foram
posicionados em: z3 = 0.1353 e z4 = 0.1225, de modo que
a parte real foi de pelo menos dez vezes maior comparado
ao polos dominantes. A partir disso, obteve-se o vetor P :
P =
[
0.9231 + 0.1913j 0.9231 − 0.1913j 0.1353 0.1225
]
, (20)
sendo ele o que contém os autovalores de (Adaum−Bdaum·
K). Adiante, utilizou-se o comando place para encontrar
K, resultando em:
K = [21.2679 230.0889 613.5010 −0.8891] , (21)
logo, sabendo que K = [Kp −Ka], em que Kp é a matriz
3× 1 do ganho e Ka é o ganho do integrador, tem-se:
Kp = [21.2679 230.0889 613.5010] , (22)
Ka = 0.8891. (23)
Por conseguinte, o próximo passo consiste no projeto do
observador, logo, inicialmente verificou a observabilidade
do sistema através dos comandos obsv e rank do MA-
TLAB, no qual o primeiro se refere em encontrar a matriz
de controlabilidade e o segundo para calcular o posto dessa
mesma matriz. Com isso, fornecendo as matrizes A e C,
resultou em:
Om =
[
0 0 45.3260
0.0747 2.6510 45.3260
0.2671 4.9317 45.3260
]
, (24)
logo possui posto 3 e, portanto, concluiu-se que o sistema
é observável. Logo, propôs-se um vetor Pe para o observa-
dor, contendo seus autovalores. Disso, especifica-se para o
observador umcomportamento com autovalores dez vezes
mais rápidos que os da malha fechada, resultando em:
λ1 = 0.23, λ2 = 0.24 e λ3 = 0.25, obtendo:
Pe = [0.23 0.24 0.25] . (25)
Em seguida, sabendo que λ1, λ2 e λ3 são autovalores de
(Ad −Ke · Cd), então se utilizou do comando place para
encontrar Ke, adquirindo:
Ke = [−0.6374 0.1714 0.0314] . (26)
Nesse sentido, apos obter os ganhos via espaço de estados,
bem como executada a topologia com a adição do inte-
grador e do observador, visou-se realizar sua validação.
Desse modo, aplicou-se um sinal de referência de 15◦ para
entrada em degrau e, também, um degrau em torno do
ponto de operação em t = 10 s, com amplitude de 5◦,
além de uma pertubação em t = 16 s. Logo, a validação
da resposta temporal da malha fechada de controle está
expressa na Figura 8.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-5
0
5
10
15
20
25
30
D
es
lo
ca
m
en
to
 a
ng
ul
ar
 [°
]
Referência
Espaço de Estados
Figura 8. Resposta ao degrau em malha fechada do con-
trolador via espaço de estados com aplicação de dis-
túrbio.
A partir da análise da curva de resposta na Figura 8,
obteve-se como parâmetros um sobressinal de OS% =
7, 6% e um tempo de acomodação de ts = 2, 69 s. Nesse
sentido, conclui-se que as especificações pré-estabelecidas
de sobressinal máximo e de tempo de acomodação não
foram atendidas. Por fim, também vale ressaltar que a
resposta compreendida entre o intervalo de 0 < t < 10 s
obtida para a malha de controle, relativa ao peŕıodo de
estabilização do sistema no ponto de operação, não é
relevante para o presente estudo, dado que o controlador
foi adquirido a partir do modelo linearizado em torno do
ponto de operação, sendo este válido somente nesta região.
Ademais, o diagrama de blocos da malha de controle pode
ser visto na Figura 9.
Figura 9. Diagrama de blocos da malha fechada.
Desse modo, apesar que o controlador via Espaço de
Estados apresentar um oversshot um pouco maior do
que o controlador via LGR, o mesmo obteve o menor
tempo de acomodação dentre os três controladores obtidos.
Ademais, pode-se levantar a hipótese que controlador via
Espaço de Estados apresentou uma diferença superior de
0.543% no oversshot ao comparará-lo com o LGR devido
a adição de mais um integrador na malha de controle, uma
vez que, o próprio sistema já dispunha de um integrador.
Portanto, pela análise gráfica da resposta temporal dos
controladores, tem-se que o controlador via Espaço de
Estados apresentou o melhor desempenho.
4. AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO DOS
CONTROLADORES
Como método de avaliação complementar de desempenho
das malhas de controle obtidas via o modelo de controlador
polinomial e pelo lugar geométrico das ráızes, faz-se uso
dos mais variados ı́ndices de desempenho existentes, no
qual se pode citar: o ITAE, IVU, IAE, ITSE e o RMSE
Esses ı́ndices de desempenho devem ser selecionados e
avaliados sobre janelas temporais fixas e, sendo assim, só
fazem sentido via avaliação comparativa. Além disso, pre-
cisam ser avaliados de acordo com os objetivos de controle,
investigando o comportamento de malha fechada para
entradas padronizadas de referência, pertubação e rúıdo.
Diante disso, foram realizados os cálculos do indicie IAE
e RMSE, respectivamente, para ambos os controladores
obtidos, visando-se sua posterior comparação e análise.
4.1 Índice IAE
O ı́ndice de desempenho IAE (Integral Absolute Error), é
calculado via a integral do módulo do erro atuante, logo,
nota-se que este tipo de ı́ndice não adiciona qualquer tipo
de peso ao erro citado, a vista disso, é pertinente afirmar
que ele beneficia de maneira equitativa o erro atuante no
transitório e em regime permanente. Logo, o IAE se dá
por:
IAE =
∫
|e(t)|dt. (27)
Nesse sentido, utilizou-se o sinal do erro para o cálculo do
ı́ndice, sendo estes apresentados na Figuras 10, 11 e 12.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
D
es
lo
ca
m
en
to
 a
ng
ul
ar
 [°
]
Sinal do erro Polinomial
Figura 10. Sinal do erro em malha fechado com o contro-
lador polinomial.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
D
es
lo
ca
m
en
to
 a
ng
ul
ar
 [°
]
Sinal do erro LGR1
Figura 11. Sinal do erro em malha fechado com o contro-
lador LGR por avanço de fase.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
D
es
lo
ca
m
en
to
 a
ng
ul
ar
 [°
]
Sinal do erro Espaço de Estados
Figura 12. Sinal do erro em malha fechado com o contro-
lador via Espaço de Estados.
Assim, ao obter tal ı́ndice das malhas de controle utili-
zando como janela temporal o intervalo 10 < t < 25 s,
observa-se os valores dispostos nas Tabelas 1, 2 e 3, sendo
posśıvel afirmar que a resposta conferida pela aplicação
do controlador via Espaço de Estados é consideravelmente
melhor, visto que seu IAE corresponde a somente 28.7%
do obtido para o controlador polinomial e 21.1% obtido
para o controlador LGR.
Disso, uma vez que o sistema já dispunha de integrador
puro, todos o controladores possuem a capacidade de
rejeitar uma pertubação. Contudo, uma hipótese a se
levantar consiste que o controlador via Espaço de Estados
permite obter polos estáveis mais precisos, ou seja, tendem
mais ao interior do ćırculo unitário, dos que as outras
técnicas utilizadas. Além disso, esse tipo de controlador
observar e controla todos os estados presentes no sistema
em estudo, o que colabora para o mesmo obter o melhor
desempenho entre os controladores comparados.
Tabela 1. Valores obtidos para o ı́ndice de de-
sempenho IAE para o controlador Polinomial
e LGR.
Malha de Controle Absoluto Percentual
Polinomial 0.09619 1
LGR 0.08691 0,096
Tabela 2. Valores obtidos para o ı́ndice de
desempenho IAE para os controladores Poli-
nomial e via Espaço de Estados.
Malha de Controle Absoluto Percentual
Polinomial 0.09619 1
Estado 0.06858 0.287
Tabela 3. Valores obtidos para o ı́ndice de
desempenho IAE para o controladores LGR e
via Espaço de Estados.
Malha de Controle Absoluto Percentual
LGR 0.08691 1
Estado 0.06858 0.211
4.2 Índice RMSE
Dando sequência aos ı́ndices sugeridos, tem-se o ı́ndice de
desempenho RMSE (Root Mean Square Error), no qual
consiste na medida que calcula à raiz quadrática média dos
erros entre valores observados e predições, dessa maneira,
interpreta-se seu valor como uma medida do desvio médio
entre o valor observado e predito. Dessa forma, ele é dado
por:
RMSE =
√√√√ N∑
i=1
(ûi − ui)2
N
, (28)
em que û é o valor predito, ui são os valores observados e
N é o número de observações que, para o presente estudo,
se refere à janela de avaliação dividida pelo peŕıodo de
amostragem, Ts. Dessa forma, utiliza-se o sinal de controle
para o cálculo do ı́ndice, sendo estes apresentados nas
Figuras 13, 14 e 15.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
T
en
sã
o 
[V
]
Sinal de controle Polinomial
Figura 13. Sinal de controle da malha fechada com o
controlador polinomial.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
T
en
sã
o 
[V
]
Sinal de controle LGR
Figura 14. Sinal de controle da malha fechada com o
controlador LGR por avanço de fase.
0 5 10 15 20 25
tempo [s]
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
T
en
sã
o 
[V
]
Sinal de controle Espaço de Estados
Figura 15. Sinal de controle da malha fechada com o
controlador via Espaço de Estados
Logo, ao obter o ı́ndice das malhas de controle utilizando
como janela temporal o intervalo 10 < t < 25 s, atingiu-
se os valores presentes nas Tabelas 4, 5 e 6, sendo capaz
de afirmar que a resposta conferida pela aplicação do
controlador via Espaço de Estados é melhor, uma vez que
seu RMSE corresponde a 68, 3% do obtido para o contro-
lador polinomial, e 38, 8% do obtido para o controlador
LGR. Nesse sentido, isso se justifica devidos aos picos
com grandes amplitudes no sinal de controle referente ao
controladorvia Espaço de Estados compensam a diferença,
o que consequentemente, aumente seu ı́ndice, porém não o
suficiente para ultrapassar o valores obtido via abordagem
polinomial e via lugar geométrico das ráızes.
Tabela 4. Valores obtidos para o ı́ndice de
desempenho RMSE para o controlador Polino-
mial e LGR.
Malha de Controle Absoluto Percentual
Polinomial 0.09876 1
LGR 0.05123 419
Tabela 5. Valores obtidos para o ı́ndice de
desempenho RMSE para os controladores Po-
linomial e via Espaço de Estados.
Malha de Controle Absoluto Percentual
Polinomial 0.09876 1
Estado 0.03131 0.683
Tabela 6. Valores obtidos para o ı́ndice de
desempenho RMSE para o controladores LGR
e via Espaço de Estados.
Malha de Controle Absoluto Percentual
LGR 0.05123 1
Estado 0.03131 0.388
5. SENSIBILIDADE E SENSIBILIDADE
COMPLEMENTAR
É notório que qualquer sistema de controle está proṕıcio
a variações de seus parâmetros, seja por fatores relaci-
onados a temperatura, umidade e entre outros. Logo, é
importante que as caracteŕısticas do sistema permaneçam
estáveis enquanto isso ocorre, mesmo que ele seja uma
função dos parâmetros, pode-se reduzir a sensividade do
sistema quanto essas mudanças em alguns casos (?). Nesse
sentido de forma a apresentar a definição de sensibilidade,
considera-se, por exemplo, um sistema de malha fechada
que é descrito pela função de transferência dada por:
T (z) =
G(z)
1 +G(z)
. (29)
Assim, a sensibilidade para um parâmetro a é comumente
descrito como a medida da variação percentual em (29)
para uma dada variação percentual em a. Em suma:
sensibilidade ≈
∆T
T
∆a
a
=
∆T
∆a
a
T
, (30)
em que ∆T é a variação em T ocasionada por ∆a. Disso, se
o limite de (30) é calculado a partir de ∆a =⇒ 0, pode-se
determinar a sensibilidade como sendo:
STa =
δT
δa
a
T
. (31)
Dessa forma, para o sistema apresentado na Figura 16,
considera-se que o sensor H(s) = 1, estabelecendo que ele
seja estático em relação ao sistema. Além disso, Td(s) é a
perturbação e N(s) é o rúıdo.
Figura 16. Sistema de malha fechada.
Então, definido que a situação em que Td(s) = N(s) = 0,
obtém-se a função de malha fechada:
Y (z) =
C(z)G(z)
1 + C(z)G(z)
R(z). (32)
Além disso, considerando que R(s) = N(s) = 0, pode-se
aferir que:
E(z) =
GTd(z)
1 + C(z)G(z)
. (33)
E, nesse caso, sabendo que E(s) = Y (s), então E(z) =
Y (z). Assim:
Y (z) =
GTd(z)
1 + C(z)G(z)
. (34)
Por fim, se R(s) = Td(s) = 0, tem-se:
Y (z) = − C(z)G(z)
1 + C(z)G(z)
N(z). (35)
Adiante, dadas as considerações realizadas, para encontrar
a expressão para o erro E(z), tem-se:
E(z) = R(z) − Y (z),
E(z) = R(z) −
C(z)G(z)
1 + C(z)G(z)
R(z) −
GTd(z)
1 + C(z)G(z)
+
C(z)G(z)
1 + C(z)G(z)
N(z),
E(z) =
1
1 + C(z)G(z)
R(z) −
GTd(z)
1 + C(z)G(z)
+
C(z)G(z)
1 + C(z)G(z)
N(z). (36)
Assim, definindo que S(z) = 11+C(z)G(z) e Sc(z) =
C(z)G(z)
1+C(z)G(z) , então a equação (36) pode ser reescrita como:
E(z) = S(z)R(z)− S(z)GTd(z) + Sc(z)N(z), (37)
em que S(z) é a função sensibilidade e Sc(z) é a função
de sensibilidade complementar para o controlador em série
na malha fechada. Assim, essas equações serão utilizadas
para obter o diagrama de bode com malha de controle do
sistema com o controlador polinomial e LGR no software
MATLAB.
No caso da malha de controle do sistema com um con-
trolador via realimentação de estados observados, tem-se
o diagrama de blocos apresentado na Figura 17. Assim,
Figura 17. Sistema de malha fechada com controlador via
Espaço de Estados com Observador.
observa-se que é necessário encontrar as expressões que
representem C1 e C2, de forma a ser posśıvel obter o
diagrama de bode através das funções de sensibilidade e
de sensibilidade complementar. Logo, tem-se que a função
que descreve Go1(z) e Go2(z) que foram implementadas no
MATLAB, sendo elas, respectivamente:
Go1(z) = −Kp(zI − A + BKp + KeC)
−1
B(−Ka), (38)
Go1(z) = −Kp(zI − A + BKp + KeC)
−1
Ke (39)
Com isso, pela análise do diagrama de blocos apresentado
na Figura 17, pode-se afirmar que C1 e C2 são dados por:
C1 = [−Ka +Go1(z)]
z
z − 1
, (40)
C2 =
G(z)
1−G(z)Go2(z)
. (41)
Além disso, considerando as funções de sensibilidade e de
sensibilidade complementar, é válida a propriedade:
S(z) + Sc(z) ≡ 1, (42)
que, como consequência, |S(jω)| e |Sc(jω)| não podem ser
pequenos simultaneamente, dado que:
1 = |S(jω) + Sc(jω)| ≤ |S(jω)|+ |Sc(jω)|. (43)
Diante disso, a partir das equações (40) e (41) é posśı-
vel obter o digrama de bode para a malha de controle
com o controlador via espaço de estados com observador
composto pelas curvas da função de sensibilidade e de
sensibilidade complementar, sendo elas dadas por, respec-
tivamente:
Sss(z) =
1
1 + C1C2
, (44)
Scss(z) = 1− Sss(z). (45)
Nesse sentido, é importante salientar que para atenuar
os efeitos de uma perturbação externa sobre a sáıda do
sistema, a sensibilidade S(z) deve ser pequena na faixa
de frequências em que a energia desse sinal é mais signi-
ficativa, o que normalmente ocorre em baixas frequências.
Logo, a função sensibilidade deve apresentar um ganho
baixo em baixas frequências. Além disso, para a função
de sensibilidade complementar, com a finalidade de que
o efeito do erro de medida sobre a sáıda seja pequeno,
Sc(z) deve ser pequena na região de frequências, onde
o erro de medida tem maior energia. Logo, que os erros
mais significativos introduzidos pelos sensores são de alta
frequência, então é posśıvel que sensibilidade complemen-
tar tenha uma banda passante suficientemente larga para
permitir boas caracteŕısticas de acompanhamento do sinal
de referência e, conjuntamente, apresentar um ganho baixo
em altas frequências.
Nesse sentido, tem-se que a função sensibilidade da malha
com o controlador polinomial:
G(z)PolS =
z5 − 2.684z4 + 2.591z3 − 1.034z2...
z5 − 2.658z4 + 2.633z3 − 1.185z2...
+0.1745z − 0.0484
+0.2472z − 0.01943
; (46)
Logo, tem-se também a função complementar:
G(z)PolSC =
0.02588z4 + 0.04176z3 − 0.1515z2...
z5 − 2.658z4 + 2.633z3...
+0.07268z + 0.02896
−1.185z2 + 0.2472z − 0.01943
. (47)
Dessa formas, após obter (46) e (47) via a função bode()
do software MATLAB, adquiriu-se o diagrama, no qual
pode-se observar pela Figura 18
-80
-60
-40
-20
0
20
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10-1 100 101 102
-540
-360
-180
0
180
360
P
ha
se
 (
de
g)
S_pol
Sc_pol
M_pol
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Figura 18. Diagrama de bode de análise das funções
sensibilidade e sensibilidade complementar da malha
de controle com compensador polinomial.
Adiante, foram obtidas as funções sensibilidade e sensibi-
lidade complementar para a malha com o controlador via
lugar geométrico das ráızes, respectivamente.
G(z)PolS =
z4 − 2.537z3 + 2.141z2...
z4 − 2.527z3 + 2.172z2...
−0.5131z − 0.09113
−0.5243z − 0.09587
; (48)
G(z)PolSC =
0.009826z3 + 0.03151z2...
z4 − 2.527z3...
−0.0112z − 0.004742
+2.172z2 − 0.5243z − 0.09587
; (49)
Sendo assim , após obter (48) e (49), obteve-se o diagrama,
no qual pode-se observar pela Figura 19
-60
-40
-20
0
20
40
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10-1 100 101 102
-360
-180
0
180
P
ha
se
 (
de
g)
S_lgr
Sc_lgr
M_lgr
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Figura 19. Diagrama de bode de análise das funções
sensibilidade e sensibilidade complementar da malha
de controle com compensador LGR.
Por conseguinte, as funções sensibilidade e sensibilidade
complementar ficaram bem extensas, logo, era inviável
colocá-las no documento. Todavia, o bode das funções se
encontra disposto na Figura 20.
-60
-40
-20
0
20
40
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10-1 100 101 102
-270
-180
-90
0
90
P
ha
se
 (
de
g)
S_ss
Sc_ss
M_ss
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Figura 20. Diagrama de bode de análise das funções
sensibilidade e sensibilidade complementar da malha
de controle com compensador LGR.
Nesse sentido, ao analisar a Figura 18, referente à ma-
lha de controle com o compensador Polinomial, observa-se que sua função sensibilidade apresenta ganho baixo
em baixas frequências, de aproximadamente −26.04 dB
em 10−1 rad/s. Ademais, possui ganhos baixos em al-
tas frequências. Portanto, isso demostra boa rejeição a
pertubação, uma vez que, o sistema em si já possui um
integrador.
Logo, ao analisar a Figura 19, referente à malha de
controle com o compensador via LGR, nota-se que sua
função sensibilidade também apresenta ganho baixo em
baixas frequências, de aproximadamente −29.3 dB em
10−1 rad/s. Além disso, possui ganhos baixos em altas
frequências e banda passante suficientemente grande. Por-
tanto, isso demostra boa rejeição a pertubação e baixo erro
de medida.
Por fim, ao analisar a Figura 20, referente à malha de
controle com o compensador via Espaço de Estados e Ob-
servador, observa-se que sua função sensibilidade também
apresenta ganho baixo em baixas frequências, de aproxi-
madamente −34.9 dB em 10−1 rad/s. Além disso, também
possui ganhos baixos em altas frequências e banda pas-
sante suficientemente grande. Logo, demostra boa rejeição
a pertubação e baixo erro de medida.
6. CONCLUSÃO
Primeiramente, constatou-se que existem diferentes méto-
dos de avaliação de desempenho de malhas de controle,
sendo uma delas via ı́ndices de especificação, tais como
o tempo de acomodação, ts, e o sobressinal, OS%,outra
maneira seria pelos ı́ndices de desempenho, tais como o
ISE e o RMSE, no qual foram abordados nesta análise. E,
por fim, via a sensibilidade da malha fechada.
Em seguida, ao realizar a análise e avaliação através dos
ı́ndices de especificação, constatou-se que a resposta ob-
tida pela aplicação do controlador via Espaço de Estados,
obteve-se melhor resposta, em que para o sistema em es-
tudo é devido à sua capacidade de rejeição de pertubação,
bem como pela sua precisão em se alocar polos estáveis em
malha fechada e em razão que o mesmo controla e observa
todos os estados do sistema.
Logo, ao analisar e avaliar as malhas através dos ı́ndices
de desempenho ISE e RMSE, foi obtido um resultado
análogo, isto é, melhor resposta para o controlador via
realimentação de estados referente ao, LGR e ao Polino-
mial. Por fim, ao analisar as malhas de controle via função
de sensibilidade e sensibilidade complementar, verificou-
se que os compensadores via LGR e Espaço de Estados
apresentaram boas caracteŕısticas relativas à rejeição de
pertubação e baixo erro de medida.
Portanto, ao averiguar os diferentes métodos de avaliações
de desempenho empregados nas avaliações dos compensa-
dores projetados, constata-se que o controlador via reali-
mentação de estados com observador e integrador apresen-
tou a melhor comportamento na malha de controle para o
sistema em estudo.