TEORIA DE CONTROLE E SERVOMECANISMO

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TEORIA DE CONTROLE E SERVOMECANISMO
MODULO 1
OLÁ!
Você está na unidade Servomecanismo e retroalimentação. Conheça aqui o conceito as propriedades e conceitos básicos sobre controle e servomecanismo. Aprenda também a analisar o controle de sistemas dinâmicos em malha fechada para sistemas de controle. Conheça ainda como são feitos os controles dos processos eletrônicos e as propriedades e conceitos básicos sobre servomecanismo e controle de sistemas dinâmicos em malha fechada.
Bons estudos!
1. Servomecanismo
Desde os primeiros passos da civilização, o homem tentou mecanizar o trabalho. Ele rapidamente encontrou maneiras de substituir a energia muscular por energia mecânica; o ponto mais alto desse período inicial de progresso tecnológico foi a Revolução Industrial do século XVIII. Uma nova era começou quando se aprendeu a produzir e distribuir energia. No século XX, nos países avançados, a energia mecânica derivada do vapor, água corrente e eletricidade substituíram amplamente a energia de seres humanos e animais. Quando grandes quantidades de energia foram disponibilizadas, o interesse público mudou para o gerenciamento dessa energia.
A próxima etapa importante no desenvolvimento da tecnologia, chamada de Segunda Revolução Industrial, começou na década de 1930. Essa revolução não estava associada à invenção de dispositivos mecânicos fundamentalmente novos, mas à implementação de uma ideia, a saber, a ideia de autorregularão, que é uma característica fundamental de inúmeros processos naturais. Embora a existência de processos de autorregulação na natureza tenha sido percebida pelas pessoas anteriormente, apenas no século XX os princípios da regulação automática foram formulados e desenvolvidos sistematicamente. A aplicação desses princípios inaugurou uma nova era na tecnologia e na indústria. 
Figura 1 - Fábrica de tecido (Século XIX) Fonte: Everett Historical, Shutterstock, 2020
#PraCegoVer: A imagem é uma gravura de uma fábrica de tecidos do século XIX, na qual vemos um grupo de mulheres trabalhando em máquinas que produzem fios de algodão.
Para entender os processos autônomos é necessário saber algumas definições referentes a sistemas de controle. De acordo com Ogata (2010), tais definições são as seguintes:
	Plantas 
	Uma planta é uma parte de um equipamento, eventualmente um conjunto de itens de uma máquina que funcionam conjuntamente, cuja finalidade é desempenhar uma operação.
	Processos
	Um processo é uma série sistemática de ações direcionadas a algum fim, como, por exemplo, processos químicos econômicos e biológicos.
	Sistemas
	Um sistema é a combinação de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo.
	Distúrbio
	Um distúrbio e um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da variável de saída de um sistema. Se um distúrbio for gerado dentro de um sistema, ele será chamado distúrbio interno, enquanto um distúrbio externo é aquele gerado fora do sistema e que se comporta como um sinal de entrada no sistema
	Controle com retroalimentação
	Operação que na presença de distúrbios, tende a diminuir a diferença entre a saída de um sistema e alguma entrada de referência e atua com base nessa diferença.
A ação do servomecanismo pode ser analisada usando um exemplo típico. Considere o diagrama funcional do mecanismo servo. O servomecanismo é usado para reproduzir a posição angular de um eixo (comando) por outro (controlado) localizado à distância. A posição do eixo de comando pode ser alterada arbitrariamente e a qualquer momento é determinada pela seta no mostrador (mostrador) do dispositivo de medição. A posição desse eixo com a ajuda de um potenciômetro é convertida em voltagem, proporcional à rotação do eixo e, para o eixo controlado, é o fator propulsor. A posição do eixo controlado (também determinada pela seta no membro), que deve reproduzir a posição do comando, também é convertida por um potenciômetro em uma tensão proporcional a ele. Equipe de gerenciamento, ou seja, o sinal que aciona o sistema é formado com base na diferença entre as duas tensões e é a reação do sistema de controle a uma incompatibilidade entre as posições dos dois eixos. Essa tensão de controle é fornecida ao amplificador e aplicada a um dos enrolamentos de campo do motor elétrico de controle bifásico; o eixo deste motor é conectado a um eixo controlado por um sistema de engrenagem. Quando houver tensão na entrada do amplificador, o motor gira o eixo de direção até que a tensão de entrada se torne zero.
Para investigar as características deste sistema, considere o comportamento de um eixo controlado para dois sinais de teste na entrada. Para simplificar, suponha que o sistema esteja inicialmente em repouso quando os dois membros tiverem zeros. Então o eixo de comando, no primeiro caso, assume inesperadamente uma nova posição; aqui a ação de dirigir é uma função do tempo. O sinal de controle do servo motor assume imediatamente um valor correspondente à nova posição. No entanto, o eixo controlado não assume imediatamente uma nova posição, devido à sua inércia e ao atraso do servomotor. Porém, muita tensão do amplificador já está aplicada ao servomotor e gradualmente gira o eixo para uma posição que corresponde à posição do eixo de comando. Quando as posições dos dois eixos coincidem, o sinal de erro chega a zero. 
Na maioria dos casos, a inércia do rotor do servomotor e do eixo controlado faz com que este deslize na posição desejada. Como a tensão de incompatibilidade agora é negativa, o torque do motor tende a girar o eixo de direção, que depois diminui a velocidade primeiro, depois para e, girando na direção oposta, atinge a posição correspondente ao sinal de controle zero. Nesse ponto, alguma inércia reaparece e o sistema falha novamente. Esse processo de oscilação continua até que o eixo direcionado tome a posição necessária. Embora, em teoria, essas oscilações possam continuar indefinidamente, na prática elas decaem e o eixo controlado atinge um estado final após algum tempo. Que o último deslize a posição desejada. 
Como a tensão de incompatibilidade agora é negativa, o torque do motor tende a girar o eixo de direção, que depois diminui a velocidade primeiro, depois para e, girando na direção oposta, atinge a posição correspondente ao sinal de controle zero. Nesse ponto, alguma inércia reaparece e o sistema falha novamente. Esse processo de oscilação continua até que o eixo direcionado tome a posição necessária. Embora, em teoria, essas oscilações possam continuar indefinidamente, na prática elas decaem e o eixo controlado atinge um estado final após algum tempo. O torque do motor tende a girar o eixo direcional, que primeiro diminui a velocidade, depois para e, girando na direção oposta, atinge a posição correspondente ao sinal de controle zero. Nesse ponto, alguma inércia reaparece e o sistema falha novamente. Esse processo de oscilação continua até que o eixo direcionado tome a posição necessária. 
Outra entrada de teste que examinaremos é uma função escalonada da velocidade quando o eixo de comando, que estava parado, repentinamente começa a girar a uma velocidade angular constante. Como no caso anterior, a inércia não permite que o eixo controlado siga imediatamente o comando. O torque desenvolvido pelo servomotor faz com que o eixo direcionado gire mais rapidamente para alcançar o eixo de comando. Quando o eixo controlado ultrapassa o eixo de comando, a incompatibilidade e, portanto, o torque do servomotor, inverte o sinal. Finalmente, quando o eixo direcionado gira na mesma velocidade que o eixo de comando, um sinal de erro em estado estacionário é gerado. Este sinal serve para criar um torque que fornece uma velocidade angular constante de rotação do eixo controlado.
A resposta do sistema aos efeitos dos dois sinais de entrada padrão discutidos acima depende de seus parâmetros. Portanto, o estudo das características dinâmicas de um sistema controlado é fundamental para a qualidade do controle. Por exemplo, se o sistema é muito sensível, ele responde melhor ao controlede sinais, mas também é mais propenso a flutuações. As oscilações também ocorrem nos componentes de alta frequência do processo oscilatório. Se o amortecimento do sistema, ou seja, a influência da força restauradora, aumentar, as oscilações desaparecerão mais rapidamente. À medida que o ganho aumenta, o sistema exigirá menos incompatibilidade para criar o mesmo torque. Porém, com um alto ganho, o sistema fica mais suscetível a oscilações, os erros (overshoot) aumentam e a frequência de oscilação aumenta.
No sistema que analisamos, com uma mudança sinusoidal na tensão do sinal de erro, o torque do servomotor e, portanto, os movimentos do eixo controlado também mudam sinusoidalmente. Devido à inércia do sistema, o sinal de saída fica atrás do sinal de incompatibilidade e sua amplitude, que depende da magnitude de certos parâmetros do sistema, também será diferente. À medida que a frequência de tensão do sinal de incompatibilidade aumenta, o sinal de saída fica cada vez mais atrasado; enquanto sua amplitude diminui rapidamente. A uma certa frequência da tensão do sinal de erro, o sinal de saída será atrasado exatamente na metade do período. Se a tensão do sinal de saída em amplitude for exatamente igual à tensão do sinal de erro, o sistema poderá entrar no modo de auto-oscilação. Se essa amplitude for maior que a amplitude do sinal de erro, as oscilações aumentarão até o sistema falhar. 
Nos dois últimos casos, eles dizem que o sistema é instável e deixa de funcionar como um sistema de controle. Um sistema estável, mantendo a sensibilidade ao sinal de controle, amortece efetivamente as oscilações. A resposta do sistema a uma perturbação para diferentes frequências varia em amplitude e atraso. As características de amplitude e fase do sistema podem ser representadas no gráfico em função da frequência. Esses gráficos auxiliam bastante o projetista servo. A resposta do sistema a uma perturbação para diferentes frequências varia em amplitude e atraso. As características de amplitude e fase do sistema podem ser representadas no gráfico em função da frequência. Esses gráficos auxiliam bastante o projetista servo. 
Assista aí
1.1 Conceito de retroação
Uma característica importante da maioria dos processos controlados é a retroação. A noção de retroação pode ser facilmente ilustrada com um exemplo simples de um marinheiro operando um navio usando um volante. O leme mantém o curso da embarcação de acordo com os comandos fornecidos. Esse método de controle, conhecido como "controle de malha aberta", sofre de várias desvantagens sérias. Portanto, ao alterar as características do acionamento - o atuador que altera a posição do leme -, o navio se desviará do curso se o timoneiro não tiver informações sobre a direção real do movimento.
A primeira e mais importante base para a modelagem dinâmica de uma empresa é o conceito de servomecanismo como protótipo de um sistema de informações de retroação, desenvolvido durante a Segunda Guerra Mundial e no período pós-guerra. Até recentemente, não tínhamos uma ideia suficiente da influência do intervalo de tempo, ganho e estrutura no comportamento dinâmico do sistema. Só agora estamos começando a entender que a interação entre os componentes do sistema pode ser mais importante que os próprios componentes.
Os conceitos de sistemas de informação com retroação estão se tornando a principal base para a criação de uma estrutura básica que integra vários aspectos do processo de gerenciamento. O que é um sistema de informação de retroação? Em termos gerais, pode ser definido da seguinte forma: existe um sistema de informações de retroação onde o ambiente leva a uma decisão que desencadeia uma ação que afeta o ambiente e, portanto, outras decisões. Esta definição refere-se a qualquer decisão consciente e subconsciente tomada por uma pessoa. Também inclui as soluções mecânicas fornecidas por um dispositivo auxiliar chamado servomecanismo. O gerenciamento de retroação dos sistemas de informação é a base de toda a vida e de todos os esforços humanos, desde os lentos passos da evolução biológica até o lançamento de satélites espaciais.Veja a seguir alguns exemplos:
Exemplos de sistemas de informação com retroação
O termostato recebe informações sobre a temperatura e decide ligar o forno; a temperatura aumenta e o forno desliga.
 O homem sentiu que poderia cair, ele regula a balança e, como resultado, ele pode ficar de pé.
 Na prática econômica, o número de pedidos e o volume de estoques determinam a adoção de tais decisões relativas à produção que permitem atender pedidos, reabastecer estoques e, posteriormente, tomar novas decisões sobre a produção.
 Uma indústria lucrativa atrai concorrentes até que o aumento do lucro caia para um nível médio, o que levará à cessação do influxo de capital nessa indústria.
 O desejo das empresas concorrentes de produzir novos produtos estimula os custos de pesquisa e aprimoramentos técnicos, o que leva a mudanças correspondentes nas técnicas de produção.
Figura 2 - Termostato Fonte: Ciripasca, Shutterstock, 2020
#PraCegoVer: A figura ilustra um termostato, através de dois termômetros, um medindo frio e o outro calor, identificados através dos ícones de um floco de neve e do sol.
Todos esses exemplos estão relacionados ao gerenciamento de sistemas de informação com retroação. O processo de retorno de retroação é contínuo; novos resultados levam a novas soluções que determinam o movimento constante do sistema. Tais sistemas não são necessariamente bem-sucedidos. De fato, um sistema de informação complexo com retroação, projetado aleatoriamente ou intuitivamente, geralmente é instável ou ineficaz.
Um estudo de sistemas de informação com retroação revela uma maneira de usar as informações para gerenciamento. Este estudo ajuda a entender como a quantidade total de ações corretivas e atrasos nos links interconectados pode levar a flutuações instáveis. Um bom exemplo é dirigir um carro. A cadeia de informações e controle vai do volante ao carro, à rua, olhos, mãos do motorista e volta ao volante. Aceitamos este sistema integrado sem pensar. Vamos considerar, no entanto, o efeito de pequenas mudanças na estrutura do sistema e atrasos no tempo. Suponha que os olhos do motorista estejam com os olhos vendados e ele controle a máquina de acordo com as instruções do instrutor sentado ao lado dele. O atraso resultante da informação por vários segundos e alguma distorção adicional devido à inclusão de voz e audição entre a percepção visual do observador e a consciência do motorista devem levar ao controle errático do carro.
Em qualquer sistema de informação com retroação, as informações disponíveis sobre o passado são sempre usadas como base para decisões sobre ações futuras.
Tudo o que fazemos como indivíduos, como empresa ou sociedade, é realizado no mesmo contexto de um sistema de informações de retroação. A definição de tal sistema é tão abrangente que, à primeira vista, parece não ter sentido. Somente agora somos capazes de avaliar o enorme valor dos parâmetros do sistema de informação com retroação para determinar o comportamento dos sistemas correspondentes.
Os sistemas de informações de retroação - mecânicos, biológicos ou sociais - têm três características em seu comportamento: estrutura, atraso e amplificação. A estrutura do sistema nos fala sobre o relacionamento das partes individuais. Sempre existem atrasos na obtenção de informações, na tomada de decisões com base nessas informações e no processo de implementação dessas decisões. Os reforços geralmente ocorrem em todo o sistema, especialmente com a ordem de decisão atual em nossos sistemas industriais e sociais. Eles aparecem naqueles casos em que a ação é mais forte do que pode ser assumida, com base na entrada de informações que determinam as decisões regulatórias. Só agora estamos começando a entender como a interação da estrutura, atraso e amplificação afeta o comportamento dos sistemas sociais.
Por que a importância fundamental dos sistemas de informações de retroação não chamou a atençãoaté as últimas três décadas? Isso aconteceu como resultado de uma espécie de separação desses sistemas, que foi adotada antes de 1940. Por um lado, estávamos lidando com sistemas biológicos de retroação que regulam a temperatura do corpo humano, a coordenação muscular etc. Esses sistemas são tão perfeitos correspondem ao seu objetivo e, ao mesmo tempo, estamos tão acostumados às suas deficiências que suas propriedades como sistemas de informação com retroação permaneceram despercebidas. Por outro lado, os sistemas sociais, econômicos e industriais evoluíram nos últimos séculos em uma escala tão grande em comparação com o indivíduo humano, que era difícil reconhecer a semelhança de suas propriedades como sistemas de informação com retroação. 
A teoria e os conceitos básicos dos sistemas de informação de retroação começaram a ser desenvolvidos relativamente recentemente, como resultado de tentativas de criar um sistema de controle auto ajustável elementar. À medida que os sistemas de rastreamento se tornaram mais sofisticados que o regulador de vapor de Watt, foi necessária mais precisão. Os sistemas gerenciados tornaram-se mais complexos. As características dinâmicas e as dificuldades dos sistemas tornaram-se óbvias e acessíveis para estudo em uma escala bastante pequena. Os requisitos comerciais e militares estimularam tentativas de dominar a teoria do design de sistemas de informação com retroação. Tarefas simples foram resolvidas por métodos matemáticos acessíveis. No processo de desenvolvimento de vinte anos da dinâmica dos sistemas físicos, problemas, necessidades e meios foram trazidos para correspondência mútua.
O controle de retroação usa frequentemente uma função de relação preestabelecida entre a saída e a entrada para controlar o processo, de acordo com Dorf (2001). Um controle de servomecanismo utiliza processo, análise em malha aberta e um sinal com retroação. Segundo Dorf (2001), ao contrário do sistema de malha aberta, um controle de sistema em malha fechada, utiliza uma média adicional da saúda para comparar a saída real com a resposta desejada. A medida da saída é chamada de retroação.
Para aprofundar no tema sobre Controle e Servomecanismo veja mais sobre os Servo Motores, acesse o link https://www.citisystems.com.br/servo-motor/ e fique por dentro da especificações princípio de funcionamento modelo e formas de alimentação com a rede elétrica. Além de verificar a diferença de Servo motores com funcionamento síncronos e assíncronos.
Um sistema de controle servo automático que opera com princípio de retroação, e no qual um ou mais sinais do sistema formados em um sinal de controle, têm um efeito regulador mecânico sobre o objeto. O termo "servo" (do latim Servus -servant) é usado para designar mecanismos e sistemas, cujo valor de saída é alimentado na entrada, onde é comparado com a ação principal. Os sistemas servos, por via de regra, têm duas características: a capacidade de amplificar a retroação de potência e informação. A amplificação é necessária porque a energia necessária na saída é geralmente grande (obtida de uma fonte externa) e insignificante na entrada. Retroação é um loop fechado no qual a incompatibilidade dos sinais de entrada e saída é usada para controle. Portanto, na direção direta, o circuito transmite energia, enquanto na direção oposta fornece as informações necessárias para um controle preciso.
Embora a definição acima de um sistema servo seja considerada geralmente aceita, alguns autores não incluem uma provisão sobre amplificação de potência, negligenciando a diferença entre servo sistemas e sistemas de controle em circuito fechado, os quais, em geral, não realizam amplificação de potência.
Os servomecanismos fazem com que o valor da saída reproduza a entrada, além de estabilizar os sistemas de controle automático. Mas para sistemas de estabilização, o valor de entrada é dado e constante. Por outro lado, a ação de acionamento do mecanismo servo pode variar arbitrariamente e frequentemente continuamente. Nesse caso, a tarefa de design é monitorar continuamente a saída e compará-la com a entrada. Exemplos de mecanismos servo incluem servo-antenas automáticas e copiadoras.
1.2 Princípio de operação
Os sistemas de controle automático podem ser divididos em dois grupos principais: estabilização e rastreamento.  Em servossistemas (servomecanismos), o sinal de entrada varia arbitrariamente e frequentemente continuamente; enquanto nos sistemas de estabilização é definido como um valor fixo, e o objetivo do controle é manter a saída constante, apesar das flutuações da carga. Um termostato cuja saída é uma temperatura fixa e um regulador de voltagem, cuja saída é a voltagem desejada na rede, são exemplos de sistemas de estabilização. Exemplos de servomecanismos incluem sistemas de orientação por radar e artilharia e pilotos automáticos que controlam a posição e a direção do movimento da aeronave
Um sistema de controle automático não pode funcionar sem algum erro, porque é esse erro que é a fonte do sinal de controle. A tarefa do projetista do sistema de controle é cometer esse erro o menor possível e, assim, aumentar a sensibilidade do sistema. Esta tarefa está associada a certas limitações, o que fica claro no exemplo a seguir. O sistema de controle de retroação, necessário apontar uma arma pesada com alta precisão; consiste em um detector de erros, um amplificador e um Servo motor.
 Um elemento-chave do sistema é um dispositivo que detecta uma incompatibilidade nas direções angulares do alvo e da arma, gerando um sinal proporcional a ele. Esse "sinal de erro", geralmente muito pequeno, é amplificado e aplicado como tensão a um dos enrolamentos de excitação do motor elétrico, que desenvolve um torque proporcional à tensão indicada. Esse torque move uma direção que reduz o erro. Se a direção do alvo mudar, a arma o seguirá. No entanto, por inércia, a pistola pula para a posição desejada, levando ao aparecimento de um erro com o sinal oposto. Isso, por sua vez, fará com que o servomotor gire o implemento na direção oposta. Consequentemente, o pode vasculhar para frente e para trás, deslizando na posição correta. Este modo de operação do sistema de controle é chamado de "auto-oscilante" e é uma limitação fundamental do controle de retroação. Portanto, o principal problema que o projetista de sistemas de controle enfrenta é evitar oscilações não controladas, mantendo uma alta sensibilidade do sistema ao sinal de controle.
A primeira solução é minimizar o atraso do sinal de retroação usando instrumentos com um tempo de resposta curto. Isso pode melhorar a estabilidade do sistema, mas geralmente não resolve o problema completamente. Além disso, na maioria das situações práticas, o projetista é forçado a usar os elementos existentes do sistema, que são ditados por considerações de peso e custo.
O segundo e mais comum procedimento é o uso de elos corretivos no circuito que neutralizam o efeito de afundamento. Na ausência de tais compensadores, o sinal de controle é um erro amplificado e possui o mesmo sinal que o erro. Se o compensador gerar um componente de sinal proporcional à derivada de tempo do erro, o sinal de controle geral diminuirá e se tornará negativo antes que o sistema "falhe". Isso impedirá que o sistema entre no modo de oscilação automática. Esse método de controle de compensação é chamado de "condutor de fase" ou "controle com uma cadeia diferenciadora".
Outro tipo de elemento de compensação é um dispositivo com um circuito de integração que ignora pequenos sinais de erro que flutuam rapidamente e leva em consideração apenas o componente monotônico. Isso reduz o efeito de realimentação em altas frequências, mas mantém seu efeito em baixas frequências. Como a maioria dos sistemas de controle de retroação responde adequadamente apenas a sinais de baixa frequência, essa compensação melhora a precisão. Na maioria dos sistemas de controle, os compensadores mencionados podem ser mecânicos ou elétricos, e o projetista tem total liberdade para selecioná-los paraobter a melhor eficiência.
Outro método para melhorar o controle é a introdução de loops de retroação adicionais (secundários) nos quais qualquer componente de sinal desejado pode ser gerado. Em uma situação específica, o designer pode escolher uma combinação dos métodos mais recentes para garantir o design correto do sistema de controle.
Nos casos considerados acima, supõe-se que o processo ou objeto controlado seja inalterado, e o sistema de controle e os elementos de compensação sejam adaptados ao processo. Com a crescente necessidade de controle em muitos setores e tecnologia, não é incomum que as próprias plantas sejam projetadas para aproveitar ao máximo os últimos avanços na teoria de controle. Nesses casos, a própria instalação se torna parte do sistema de controle. De fato, à medida que os sistemas de retroação se tornam mais complexos, há uma crescente conscientização entre projetistas e especialistas em controle de que, embora várias partes do sistema, como mísseis, possam ser estudadas e analisadas independentemente, o próprio sistema deve ser projetado como um todo. 
Princípio de design
Os engenheiros envolvidos no projeto de servomecanismos e servossistemas são forçados a resolver problemas extremamente diversos. Na prática, esse engenheiro sempre encontra um problema de síntese, que pode ser formulado da seguinte maneira. Elementos específicos de um determinado sistema servo são especificados. Como projetar outros elementos para que o sistema servo como um todo atenda aos requisitos especificados? Esse problema invariavelmente acaba sendo complexo e sua solução é alcançada através de uma combinação de cálculos, projeto e teste.
Em um caso típico, o projetista escolhe o tipo de acionamento de energia para o sistema - geralmente um motor elétrico de corrente alternada (CC) ou sistema hidráulico (pneumático) - com base nos requisitos de energia do sistema, com base em sua finalidade e também levando em consideração as restrições que se aplicam às características, tamanhos e custo do sistema. Usando cálculos preliminares do ganho necessário do sinal de erro, selecione o amplificador apropriado. Essa escolha depende do tipo de unidade. A seguir, são apresentados sensores, transdutores, interruptores e outros componentes do sistema de controle:
O mecanismo servo é o núcleo do sistema e, em cada estágio de seu projeto, deve ser considerada a operação do sistema como um todo. Por exemplo, no caso típico descrito em termos gerais acima, o projetista, após selecionar os elementos do sistema, passa a construir um modelo de trabalho com amplificadores elétricos e dispositivos mecânicos para determinar as características dinâmicas do sistema como um todo; 
 Se as características dinâmicas definidas dessa maneira não atenderem aos requisitos estabelecidos, pode-se recorrer a vários métodos e meios de aprimorá-los. Isso inclui esquemas de compensação e loops de retroação adicionais;
O compromisso necessário entre precisão e estabilidade do controle pode ser alcançado usando uma combinação de circuitos simples de avanço e retardo (cadeias de diferenciação e integração) que geram as características necessárias do sinal de controle para o Servo conversor; 
Esquemas de retroação adicionais, incluindo geradores de derivativos de sinal, também podem ser usados ​​não apenas para obter as características dinâmicas necessárias do sistema, mas também para compensar violações em sua operação;
Após a modelagem dinâmica do sistema usando sinais de entrada realísticos, garantindo que o modelo do sistema tenha características satisfatórias, o projetista passa da fase experimental para o desenvolvimento de um protótipo e depois para o modelo de produção final do sistema servo;
O regulamento do circuito aberto é, portanto, usado para sistemas de baixo desempenho, ou quando há um operador que verifica visualmente o resultado obtido (como acontece, por exemplo, nos controles remotos). Certamente, os geradores de vapor não são controlados com sistemas deste tipo e requerem regulação em circuito fechado.
2. Controle de sistemas em malha fechada
De acordo com Ogata (2015), o sistema de controle em malha fechada é aquele no qual o sinal de saída possui efeito direto na ação de controle, isto é, são sistemas de controle retroalimentados.
Para entender esse diagrama em blocos, vamos considerar H(s) é igual a 1. Então Ea(s) = E(s) e de acordo a Equação 1.
Y(s) = G(s)E(s) = G(s)[R(s) – Y(s)]
Resolvendo Y(s), tem-se de acordo a Equação 2
O sinal do erro atuante é descrito na Equação 3.
A função de transferência de qualquer sistema de controle elétrico ou eletrônico é o relacionamento matemático entre a entrada e a saída do sistema e, portanto, descreve o comportamento do sistema. Observe também que a proporção da saída de um dispositivo específico para sua entrada representa seu ganho. Então, podemos dizer corretamente que a saída é sempre a função de transferência do sistema vezes a entrada.
A regulação ou controle de circuito fechado (também chamado controle de feedback) consiste em fazer um regulador agir de acordo com a quantidade que controla. Um sistema deste tipo é baseado no princípio segundo o qual, dado o sistema S sujeito a diferentes perturbações z, existem variações da quantidade de saída y (variável a ser regulada). Esta quantidade, transformada em um sinal de realimentação por meio do transdutor T e comparada com um sinal de referência predeterminado r (chamado valor SET POINT), determina um sinal de erro que representa uma medida do desvio do valor predeterminado. O controlador C transforma o sinal e em uma variação de x, chamada sinal de acionamento, que atua adequadamente no sistema S, de modo que a quantidade y retorne ao valor de referência.
2.1 Dificuldade em ajustar um sistema de retroalimentação
Dados os dois tempos característicos do sistema de regulação:
 Constante de tempo equivalente, função do sistema a ser controlado;
 Tempo de atraso equivalente; esse valor é desestabilizador porque, depois que o regulador executou uma ação, ele não pode observar seus efeitos antes que o tempo de atraso tenha decorrido.
A dificuldade de regular um sistema, em função de seu comportamento dinâmico, pode ser quantificada pela relação entre seu tempo de atraso e sua constante de tempo:
λ = (tempo de atraso equivalente / constante de tempo equivalente)
A proporção assim definida é chamada de grau de dificuldade de ajuste. Quanto menor seu valor, mais fácil será o ajuste; em particular
 Para λ <0,1, o ajuste é considerado fácil
 Para 0,1 <0,3 o regulamento é considerado de dificuldade média
 Para λ> 0,3 o regulamento é considerado difícil
Portanto, é importante minimizar os atrasos (por exemplo, posicionando os sensores o mais próximo possível do local onde o regulador atua) para obter uma melhor qualidade de regulação.
Em geral, os sistemas mais fáceis de tratar são os lentos, enquanto os mais difíceis são os mais rápidos. Existem diferentes tipos de sistemas de regulação (em circuitos fechados), que permitem satisfazer os vários problemas de controle e regulação.
2.2 Classificação dos reguladores
Os reguladores são classificados em dois grupos principais de acordo com o método de cálculo da intervenção:
Os reguladores não progressivos não podem impor nada além de duas ou mais posições fixas ao membro regulador. Os principais são:
Reguladores de duas posições: tudo ou nada; 
Reguladores de múltiplas posições;
Reguladores modulados com tudo ou nada.
Os reguladores progressivos impõem ao órgão regulador qualquer posição de sua faixa de operação. Os principais são:
Reguladores flutuantes;
Reguladores proporcionais (P);7
Reguladores integrais (I);
Reguladores proporcionais integrais (PI);
Reguladores proporcionais de derivativos integrais (PID).
Quando o desempenho dinâmico em movimento é relativamente alto, o motor precisa ser ajustado em tempo real. Então, se a velocidade de operação do próprio controlador for muito lenta (como PLC, ou controlador de movimento low-end), use o controle de posição. Se a velocidadede operação do controlador for relativamente rápida, você poderá usar o método de velocidade para mover o loop de posição do driver para o controlador para reduzir a carga de trabalho do driver e melhorar a eficiência (como a maioria dos controladores de movimento intermediários e avançados); se houver um melhor controle de nível superior O controlador também pode ser controlado por torque e o loop de velocidade também é removido do driver, isso geralmente é feito apenas por controladores dedicados avançados e, neste momento, não há necessidade de usar um servo motor.
　　Quando o controle de torque ou controle de velocidade, um gerador de impulsos recebe um sinal de onda quadrada, para que o motor gire continuamente para frente e para trás e a frequência seja continuamente aumentada.O osciloscópio exibe um sinal de varredura de frequência. Quando atinge 70,7% do valor mais alto, indica que está fora de sintonia. Nesse momento, o nível da frequência pode mostrar quem é o produto. O loop de corrente pode ser feito acima de 1000Hz e o loop de velocidade pode ser feito apenas para dezenas de hertz.
Assista aí
É ISSO AÍ!
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
· aprender sobre controle de sistemas em malha fechada;
· analisar as dificuldades em ajustar sistemas de retroalimentação;
· aprender sobre as classificações dos reguladores.
REFERÊNCIAS
DORF, R. C. et al. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo: LTC, 2001.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2015.
MATERIAL COMPLEMENTAR:
https://www.youtube.com/watch?v=neYCp5JoYV0
https://www.youtube.com/watch?v=XxFX9zquymo
MODULO 2
OLÁ!
Você está na unidade Método do Lugar das Raízes. Conheça aqui uma ferramenta chamada Lugar das Raízes, que é um diagrama com o traçado da localização dos polos de uma determinada função transferência à medida que eles se movem sobre o plano complexo. Nesta unidade, você compreenderá quais são os procedimentos necessários para projetar controladores usando a técnica do lugar das raízes, de tal forma que um dado sistema tenha as especificações desejadas.
Especificamente, você analisará, também, os controladores: proporcional (P), derivativo (D), integral (I) proporcional-derivativo (PD), proporcional-integral (PI), proporcional-integral-derivativo (PID), com atraso de fase (lag), com avanço de fase (lead) e, finalmente, o controlador com avanço e atraso de fase (lead-lag).
Bons estudos!
1. Análise do Lugar das Raízes
Conhecer a localização dos polos e zeros de uma planta é importante porque ela afeta a resposta transitória e indica se o sistema é estável ou não. Uma propriedade importante do sistema de controle é a variação desses locais à medida que o ganho do controlador muda, portanto. Logo, precisamos quantificar essas variações. A seguir, você conhecerá o lugar das raízes, que é um meio gráfico de quantificar as variações nas localizações dos polos, mas não dos zeros.
1.1 1.1 Diagrama do Lugar das Raízes
Tenha em mente que, a localização dos polos da função transferência determina as características de desempenho, como tempo de subida, tempo de acomodação e “overshoot” da planta. Uma realimentação pode mudar a localização dos polos na função transferência do sistema e, portanto, o desempenho também muda.
Suponha que há um único parâmetro de projeto variável em um sistema de controle e você deseja selecionar o seu valor. Você pode considerar desenhar um diagrama paramétrico da localização dos polos do sistema à medida que o valor do parâmetro se altera. Então, você pode selecionar o valor que resulta na “melhor” combinação de localizações de polos em relação às especificações desejadas para o desempenho.
Os polos são as raízes do denominador da função transferência, ou seja, do polinômio característico. O diagrama do lugar das raízes é o desenho de todas as combinações possíveis das localizações desses polos em função de um único parâmetro (NISE, 2017). Assim, o lugar das raízes é o diagrama paramétrico (em função de) das raízes de uma equação:
Observe o diagrama de blocos da Figura “Diagrama de Blocos Simples em Malha Fechada”, com uma realimentação unitária e um ganho proporcional:
Figura 1 - Diagrama de blocos simples em malha fechada Fonte: Elaborada pela autora, 2020
#PraCegoVer: Há um sinal de referência R(s) na entrada. O ganho K está em série com a planta do sistema G(s). A saída Y(s) realimenta a entrada com ganho unitário.
A função transferência de malha fechada é (NISE, 2017):
E os polos são as raízes de 
Assuma que a função transferência da planta  é um polinômio racional:
Onde  pode ser assumido mônico sem perda de generalidade; se  não for mônico, então seu ganho é absorvido como parte de  são os zeros de ; são os polos de ; é a função transferência em malha aberta (D’AZZO, 2003). Os polos de malha fechada são as raízes da equação:
A equação claramente se modifica em função de . Os zeros não são afetados pela realimentação.
1.2 1.2 Regras para desenhar o Lugar das Raízes
Encontrar as raízes um polinômio quadrático é fácil, mas, em geral, encontrar as raízes de polinômios de ordens superiores é muito mais difícil. Então, são necessários métodos para desenhar o lugar das raízes sem realmente encontrar a localização das raízes para cada valor de . Assumindo que  são mônicos, considere, primeiramente, o diagrama do lugar das raízes para . Este é o lugar das raízes 180°. Se  um procedimento semelhante resultará no lugar das raízes 0°.
Um pontoestá sobre o lugar das raízes se De forma equivalente,    (GOLNARAGHI, 2010). Como  é complexo e  é real e positivo, temos que:
Então, uma vez que conhecemos um ponto no lugar das raízes, podemos usar para encontrar o ganhoque o produz (DORF, 2017). O ângulo do lugar das raízes representa todos os pontos do plano complexo onde . Para qualquer ponto no plano complexo:
Regra #1 Todos os pontos no eixo real à esquerda de um número ímpar de polos e zeros fazem parte do lugar das raízes.
Se você quiser encontrar para um ponto específico, no lugar das raízes, retome a equação (5). O ângulo é utilizado para determinar se está sobre o lugar das raízes. A magnitude pode ser usada para determinar o valor de para se obter uma combinação específica de polos de malha fechada. Ou seja, é o ganho necessário para colocar um polo em , se estiver no lugar das raízes.
Como os modelos dos sistemas que estamos analisando são polinômios racionais com coeficientes reais, os polos devem ou serem reais ou serem pares conjugados. Portanto, o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real (GOLNARAGHI, 2010). Porém, saber disso não é suficiente para especificar o que acontece com os polos complexos conjugados à medida quevaria de .
Primeiramente, considere o que acontece nos casos  . Note quepode ser escrito como:
Para  os polos de malha fechada são iguais aos polos de malha aberta. Para , a expressão (7) pode ser escrita como:
Os polos de malha fechada se aproximam dos zeros da função transferência em malha aberto, incluindo os  zeros em Conhecer ospolos de malha fechada que tendem aos zeros de malha aberta é relativamente fácil. Mas conhecer os  polos que vão para é um pouco mais complicado. No plano complexo,  é um número com magnitude infinita e algum ângulo.
Para encontrar os polos à medida que , considere que os  zeros finitos cancelaram dos polos. Analisando os  polos restantes que estão em , temos, aproximadamente,
Ou polos centrados em .
Para determinar, o centro do lugar das raízes, e as direções que os polos tomam, assuma que está dentro do lugar das raízes,  é grande e fixo, é variável. Já que todos os polos de malha aberta estão, aproximadamente, no mesmo local que  se os ângulos de  somarem 180° (DORF, 2017).
Então, por exemplo, se , e há um polo tendendo a ao longo do eixo real negativo. Se e há dois polos tendendo a verticalmente. Se  um polo está à esquerda e os outros dois vão para
Para encontrar o centro , observe que as raízes do denominador de  satisfazem:
Note que as raízes do denominador de são:
Se  -ésimo coeficientedo sistema em malha fechada é tal que  são os polos de malha fechada.
Sabemos que polos se aproximam dos zeros dee assumimos que os outros  polos estão aglomerados em . Portanto, a soma assintótica das raízes é . Em resumo (DORF, 2017),
Regra #2 Todos os polos saem de suas localizações de malha aberta, em , para os zeros de  ou para . Os polos que vão para  seguem a assíntota   centrada em .
Essas duas regras gerais já seriam suficientes para esboçar o lugar das raízes, se alguns casos não causassem ambiguidade. Por exemplo, nós sabemos, assintoticamente, aonde os polos vão, mas precisamos saber como eles iniciam sua trajetória e como eles chegam lá. Assim, para uma multiplicidade, podemos definir algumas regras para os ângulos de partida e os ângulos de chegada dos polos e zeros complexos (D’AZZO, 2003).
A ideia de adicionaré adicionar um ângulo suficiente para obter o resultado dentro de . Além disso, se houver multiplicidade  levará em conta os ângulos diferentes.
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz pode ser testado para encontrar o valor de  que causa estabilidade marginal e indica onde o lugar das raízes crua o eixo imaginário. Para isso, basta substituire encontrar as raízes de (NISE, 2015). Alternativamente, substitua, adotee resolva a equação .
Algumas vezes, alguns ramos do lugar das raízes se intersectam. Computar esses pontos de intersecção pode esclarecer alguns locais ambíguos (GOLNARAGHI, 2010). Considere dois polos se aproximando um do outro no eixo real. À medida que os dois polos se aproximam, o ganho aumenta. Quando eles se encontram, eles escapam do eixo real e, assim, aumenta apenas para a parte imaginária do plano complexo (FRANKLIN, 2019).
Portanto, o ganho ao longo de um ramo do lugar das raízes é máximo em um ponto de ruptura. O ganho é mínimo ao longo de um ramo do lugar das raízes para os pontos de chegada. Os dois valores são considerados pontos de sela no plano complexo (D’AZZO, 2003). Logo,
Verificar se está sobre o lugar das raízes é sempre obrigatório, para que resultados estranhos não o surpreendam.
O processo de esboçar o lugar das raízes parapode ser resumido nos passos a seguir:
Estimar a função transferência e escrever a equação característica da qual o parâmetro de ajuste,, aparece como um multiplicador 
Encontrar os polos (pontos de partida) de e marcá-los no plano complexo com “x” e “o”, respectivamente;
Determinar o número de segmentos do lugar das raízes - igual ao número de polos de;
Localizar os segmentos do eixo real que estão sobre o lugar das raízes - o lugar geométrico fica à esquerda de um número ímpar de zeros ou polos;
Encontrar as assíntotas do lugar das raízes que tendem a zeros no infinito - o ponto de interseção das assíntotas é determinado pela equação (13) e os ângulos são determinados pela equação (10).
Determinar os pontos de ruptura - encontre  para a equação (16);
Determinar os ângulos de partida/chegada nos polos/zeros de;
Finalizar o diagrama.
Um sistema com um atraso no tempo tem uma função transferência da formaé o sistema sem atraso. Como não está na forma de um polinômio racional, nós não podemos usar as técnicas do lugar das raízes diretamente. Podemos, por exemplo, obter, usando a aproximação de Padé. Ou podemos desenhar o lugar das raízes usando e procurar locais onde.
2. Projetando Controladores a partir do método do Lugar das Raízes
Você aprendeu como obter o lugar das raízes para a dinâmica de uma dada planta. Em uma configuração com realimentação unitária, foi utilizado um ganho variável- isso é conhecido como controle proporcional. Às vezes, o controle proporcional, com uma escolha cuidadosa do valor deé suficiente para atender as especificações do sistema em malha fechada. Porém, o que deve ser feito se a localização do conjunto de polos de malha fechada não satisfazer, simultaneamente, a geometria que define as especificações? É o que abordaremos a seguir.
2.1 Projetando Controladores
Caso o controle proporcional não seja suficiente para atender às especificações do sistema em malha fechada, você precisa modificar o lugar das raízes adicionando uma dinâmica adicional - um controlador como na figura abaixo, “Sistema de Controle com Controlador”.
Figura 2 - Sistema de Controle com Controlador Fonte: Elaborada pela autora, 2020
#PraCegoVer Há um sinal de referência r(t) na entrada. O ganho K está em série com o controlador D(s) e com a planta do sistema G(s). A saída y(t) realimenta a entrada com ganho unitário.
Assim, o lugar das raízes deve ser redesenhado edeve ser escolhido de modo que os polos sejam colocados onde queremos. Na prática, adicionar um controlador adiciona uma dinâmica à planta (DORF, 2017).
Porém, para decidirmos que tipo de controlador devemos usar e para descobrirmos onde devemos colocar a dinâmica adicional, precisamos estudar como o lugar das raízes é alterado quando polos e zeros são adicionados.
De forma geral, adicionar um polo na metade esquerda do polo desloca o lugar das raízes para a direita. Isso tende a diminuir a estabilidade relativa do sistema e a desacelerar a acomodação da resposta. Porém, se for provado que o sistema de malha fechada é estável, o polo pode, também, diminuir o erro de regime permanente (GOLNARAGHI, 2010).
Além disso, geralmente, adicionar um zero na metade esquerda do plano desloca o lugar das raízes para a esquerda. Isso tende a tornar o sistema mais estável e a acelerar a acomodação da resposta. Fisicamente, um zero adiciona um controle derivativo ao sistema, introduzindo uma antecipação no sistema e agilizando a resposta transitória (GOLNARAGHI, 2010).
Porém, o erro de regime permanente pode piorar. Efetivamente, não é possível adicionar um zero sem um polo. Logo, devemos colocar o polo bem à esquerda do plano complexo para não deteriorarmos o impacto desejado do zero (NISE, 2015).
2.2 Reduzindo o erro em regime permanente
Uma das opções disponíveis para reduzir o erro em regime permanente é a realimentação proporcional (P), como já vimos anteriormente.
O controlador consiste, basicamente, em um ganho variável. Aumentar o ganho frequentemente reduz o erro em regime permanente, mas pode degradar a resposta transitória.
Como nenhuma dinâmica adicional está modificando o lugar das raízes, este método, embora seja um bom ponto de partida, é, usualmente, bastante limitado. Pois, se diminuirmos o erro em regime permanente, consequentemente, pioramos a resposta transitória - melhoramos um ou outro, não ambos (NISE, 2015).
Outra maneira de reduzir o erro em regime permanente é usar uma realimentação integral (I).
Esta solução é, usualmente, utilizada para reduzir ou eliminar o erro em regime permanente, pois, sese tornará bastante grande e, provavelmente, corrigirá o erro (NISE, 2015). Idealmente, desejamos um erro nulo, mas, na realidade, pode estar entre 1% e 2%.
Para um sistema de controle com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau unitário é:
Adicionar um integrador no controlador reduz o erro dea zero para sistemas que não têm nenhum integrador livre. Adicionar um integrador aumenta a ordem do sistema, porém, à medida que a resposta de regime permanente melhora, a resposta transitória, frequentemente, piora.
O controle proporcional-integral (PI), por sua vez, adiciona um polo e um zero ao sistema. A combinação proporcional-integral resolve a maioria dos problemas apresentados pelo controle integral (NISE, 2015).
No entanto, o integrador do controle PI pode causar alguns problemas práticos, como o “windup” do integrador, devido à saturação do atuador. Dessa maneira, o controle PI é, frequentemente, aproximado pelo controle por atraso de fase, que coloca o polo mais próximo da origem que o zero (OGATA, 2010).
Como  adicionada à função transferência de malha aberta é negativa, ou seja, a fase está atrasada. O polo é alocado, frequentemente, muito próximo de zero, por exemplo,. O zero é alocado próximo do polo, por exemplo,. O objetivo é ter para preservar a resposta transitória e, consequentemente, ter praticamente o mesmo lugardas raízes que o controlador proporcional.
A ideia principal é melhorar o erro em regime permanente, mas modificar o mínimo possível a resposta transitória. Isto é, usando o controle proporcional, temos já temos os polos nos locais desejados, mas temos um erro em regime permanente considerável. Logo, adicionando um controlador com atraso de fase, o erro em regime permanente diminui e a boa localização dos polos existentes é minimamente perturbada (FRANKLIN, 2019).
O controlador com atraso de fase é muito similar ao controlador proporcional. Com o controle por atraso de fase, um erro em regime permanente aceitável é obtido, sem problemas de “windup”. Sem o controlador, o sistema tem um ganho. Com o controle por atraso de fase, o sistema tem o ganho a seguir:
Uma vez que há uma redução no erro em regime permanente e uma melhoria na constante de erro de posição, velocidade e aceleração do sistema. A resposta transitória fica praticamente inalterada, apenas levemente mais lenta, por causa do controlador com atraso de fase (FRANKLIN, 2019).
2.3 Melhorando a resposta transitória
Se quisermos melhorar a resposta transitória do sistema, temos algumas opções disponíveis. A primeira delas é, novamente, o controlador com realimentação proporcional (P). Todavia, ele continua tendo os mesmos benefícios e as mesmas limitações que já analisamos. A segunda técnica se baseia no controlador derivativo (D):
Esse método pode até piorar o erro em regime permanente, porém, por fornecer uma realimentação que é proporcional à taxa de variação de, a resposta do controle derivativo antecipa erros futuros (NISE, 2015). A realimentação derivativa é bastante estável e tende a suavizar a resposta do sistema e reduzir oscilações.
Frequentemente, os controles proporcional e derivativo (PD) são usados em conjunto. Isso melhora a resposta e regime permanente, porque elimina o zero em.
O controle derivativo amplifica o ruído em sensores. Por isso, é comum que um controlador com avanço de fase seja utilizado, em vez de um controlador D ou PD, para alocar o zero mais próximo da origem que o polo (OGATA, 2010).
O controle por avanço de fase é muito similar ao controle por atraso de fase, porém, tem um objetivo diferente. O controle por atraso de fase não altera o lugar das raízes significativamente, uma vez que, no entanto, melhora o erro em regime permanente (FRANKLIN, 2019). O controle por avanço de fase modifica o lugar das raízes: a localização do polo e do zero é escolhida de modo que o lugar das raízes passe sobre algum ponto desejado 
Às vezes, podemos ter sucesso escolhendo o valor depara cancelar um polo estável na planta (FRANKLIN, 2019). Então, forçamos que um polo de malha fechada esteja em determinando e de maneira que:
Isso não garante que outros polos sejam razoáveis, então você deve sempre testar o projeto.
Caso não haja nenhum polo real estável a ser cancelado, podemos usar uma versão modificada do controlador com avanço de fase.
Escolha  de forma a obter um ganho CC específico.
Em seguida, escolha  e de forma a fazer o lugar das raízes passar através de  para que este ponto esteja no lugar das raízes.
Um procedimento de projeto semelhante também pode ser aplicado ao controle proporcional-integral-derivativo (PID).
O termodeve ser escolhido para atender algum critério de projeto, como, por exemplo, o erro em regime permanente (DORF, 2017). Para retornar à forma inicial do controlador PID, realize as conversões a seguir:
Finalmente, o controle por avanço e atraso de fase pode ser usado quando queremos satisfazer tanto as especificações transitória e de regime permanente (OGATA, 2010). Primeiro, você deve projetar um controlador com avanço de fase para atender as especificações da resposta transitória.
Depois, junte este controlador com avanço de fase à planta. Para atender às especificações da resposta em regime permanente, projete um controlador com atraso de fase, sendo a planta atual igual à planta original e o controlador com avanço de fase combinados (NISE, 2015).
É ISSO AÍ!
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
· compreender qual o lugar das raízes e o que são os polos e zeros de uma função transferência;
· aprender a determinar o lugar das raízes para um sistema dinâmico;
· analisar os controles proporcional, integral e derivativo;
· estudar os controles proporcional-integral, proporcional-derivativo e proporcional-integral-derivativo;
· analisar os controles por avanço de fase, por atraso de fase e por avanço e atraso de fase.
REFERÊNCIAS
D’AZZO, J. J. et al. Linear Control System Analysis and Design with MATLAB. 5 ed. Nova York, NY: Marcel Dekker, 2003.
DORF, R. C. et al. Modern Control Systems. 13 ed. Hoboken, NJ: Pearson, 2017.
FRANKLIN, G. F. et al. Feedback Control of Dynamic Systems. 8 ed. Nova York, NY: Pearson, 2019.
GOLNARAGHI, F. et al. Automatic Control Systems. 9 th. Hoboken, NJ: Wiley, 2010.
NISE, N. S. Control Systems Engineering. 7 ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2015.
OGATA, K. Modern Control Engineering. 5 ed. Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2010.
MATERIAL COMPLEMENTAR:
https://www.youtube.com/watch?v=uNseQ6DqL-I
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2470110/mod_resource/content/2/6_M%C3%A9todo_Lugar_Ra%C3%ADzes.pdf#:~:text=O%20M%C3%A9todo%20do%20Lugar%20das,o%20ganho%2C%20em%20geral).&text=%C3%A9%20um%20gr%C3%A1fico%20constru%C3%ADdo%20a,do%20sistema%20em%20malha%20aberta
https://www.youtube.com/watch?v=tHiksRZfXME
MODULO 3
OLÁ!
Você está na unidade Resposta em frequência. Conheça aqui o conceito de sinal de saída do sistema no domínio da frequência. Trata-se de uma reação ao sinal de entrada, que varia em frequência e em amplitude constante. O termo é geralmente referido em conexão com amplificadores eletrônicos, alto falantes de áudio e sistemas similares. A resposta em frequência é caracterizada pela amplitude do sinalde saída do sistema. Em decibéis e fase em radianos em diferentes frequências. Ocasionalmente, o termo é usado, e em outras formas: como uma simples transformação de Fourier de saída de sinal do sistema.
Bons estudos!
1 Resposta em frequência
Frequency response (AFC) significa "resposta em frequência". A característica de amplitude-frequência do circuito mostra a dependência do nível do sinal na saída deste dispositivo na frequência do sinal transmitido, com uma amplitude constante de um sinal sinusoidal na entrada deste dispositivo. A resposta de frequência pode ser determinada analiticamente através de fórmulas ou experimentalmente. Qualquer dispositivo é projetado para transmitir (ou amplificar) sinais elétricos. A resposta em frequência do dispositivo é determinada pela dependência do coeficiente de transmissão (ou ganho) da frequência.
De acordo com Sadiku (2016), a função de transferência H (ω) (também denominada função de circuito) é uma ferramenta analítica útil para encontrar a resposta de frequência de um circuito. A resposta de frequência de um circuito é o gráfico da função de transferência do circuito H (ω) versus v, com v variando de ω = 0 a ω =  . A função de transferência é a razão, dependente da frequência, entre uma função forçada e uma função forçante (ou de uma saída para uma entrada). A ideia de função de transferência estava implícita quando usamos os conceitos de impedância e de admitância para relacionar tensão com corrente.
O que é relação de transmissão? O coeficiente de transmissão é a razão entre a tensão na saída do circuito e a tensão na sua entrada, de acordo a Equação 1:
Onde:
 Função de transferência H(ω) de um circuito é a razão, dependente da frequência, entre uma saída fasorial
 Y(ω) (a tensão ou corrente de um elemento) e uma entrada fasorial
 X(ω) (fonte de tensão ou corrente).
A resposta em frequência na teoria matemática de sistemas estacionários lineares descreve a dependência em frequência do módulo da função de transferência complexa de um sistema linear. A resposta de frequência em uma determinada frequência indica quantas vezes a amplitude do sinal dessa frequência na saída do sistema difere da amplitude dosinal de saída em outra frequência. Normalmente são normalizados os valores máximos de resposta em frequência.
Em matemática, a resposta de frequência é chamada de módulo de função complexo. Para construir a resposta em frequência, geralmente são necessários de 5 a 8 pontos na faixa de frequência operacional de ω min a ω cf. Essas características, bem como as temporárias, contêm informações sobre as propriedades de sistemas dinâmicos lineares. 
A resposta em frequência dos canais receptores de radar, comunicações e outros sistemas de rádio caracteriza sua imunidade a ruídos. É necessário levar em consideração que, durante o processamento do sinal digital, a resposta de frequência se repete periodicamente. Portanto, bandas de recepção espúrias (o chamado lóbulo lateral da resposta de frequência) em dispositivos digitais devem ser suprimidas no estágio do processamento de sinal analógico.
Em sistemas multicanais, por exemplo, em arranjos de antenas digitais, a identidade Inter canal da resposta de frequência com coeficientes de correlação Inter canal até 0,999 e superiores na região da banda passante principal também desempenha um papel importante. Quanto mais alto esse indicador e maior a faixa de frequência em que ele atende aos requisitos, melhor é possível minimizar o ruído multiplicativo que ocorre durante o processamento do sinal entre canais. Para aumentar essa identidade, algoritmos especiais para correção entre canais da resposta em frequência dos canais receptores podem ser usados.
Como os coeficientes de correção no caso geral dependem do nível dos sinais de teste, para sistemas multicanais, é interessante analisar a dependência da resposta em frequência ao nível de exposição de entrada em toda a faixa dinâmica linear do dispositivo. A versão correspondente da resposta de frequência terá uma dependência tridimensional. Deve ser formado após a correção da resposta em frequência dos dispositivos analisados.
Assista aí
1.1 Métodos de resposta em frequência
O método clássico de medir a resposta em frequência é alimentar um sinal harmônico de frequência variável com uma constante ou amplitude conhecida por cada frequência de sinal na entrada do objeto em estudo. Nesse caso, é medida a proporção dos módulos de amplitude dos sinais de saída e entrada (coeficiente de transmissão) do sistema estudado para diferentes frequências.
Para reduzir o tempo necessário para a formação da resposta de frequência, é melhor alterar a frequência usando um gerador de frequência oscilante - um gerador de medição que sintoniza suavemente a frequência de seu sinal com uma amplitude constante no tempo. Normalmente, esses geradores alteram suavemente sua frequência de baixa para alta e depois mudam rapidamente a frequência para a mais baixa, repetindo periodicamente o processo. Esses geradores são chamados de geradores de frequência oscilante (GKCh) ou " geradores de varredura ".
Os métodos indicados de mudança de frequência sucessiva não são adequados para dispositivos com controle de ganho automático (AGC) que igualam diferenças na resposta de frequência em diferentes frequências quando o tempo de transição de uma frequência para outra excede a constante de tempo de resposta do AGC. Eles também não permitem avaliar a distorção de intermodulação entre sinais de ação simultânea de diferentes frequências. Método de resposta em frequência usando sinais modulados em frequência linear (LFM) não permite o acúmulo coerente de tensões de sinal para componentes de frequência ao longo do tempo; portanto, sua precisão é limitada pela condição de relações sinal-ruído suficientemente grandes. Por esse motivo, o método não é adequado para a formação de resposta tridimensional de frequência, caracterizando a dependência da faixa dinâmica linear da frequência, uma vez que, com fracas relações sinal-ruído, gera grandes erros.
Existem medidores de resposta em frequência baseados em outros princípios, como, por exemplo:
Medidores que fornecem um sinal de banda larga;
Medidores que fornecem um pulso de banda larga com bordas curtas para a entrada do sistema em estudo;
Medidores com um sinal de ruído que possui uma densidade espectral de potência constante na banda de frequência que é significativa para a medição.
A resposta do sistema é analisada usando um analisador de espectro ou um medidor de Fourier. Qualquer método de medir a resposta em frequência tem certas vantagens ou desvantagens. A maneira aceitável de aplicar a medição depende da tarefa específica.
No gráfico da resposta em frequência nas coordenadas cartesianas, a frequência é plotada ao longo do eixo da abcissa, e a proporção das amplitudes dos sinais de saída e entrada do sistema é plotada ao longo do eixo das ordenadas.
Geralmente, uma escala logarítmica é usada para o eixo da frequência, pois a faixa de frequência exibida pode variar em uma faixa bastante ampla (de unidades a milhões de hertz ou rad / s). No caso em que a escala logarítmica também é usada no eixo das ordenadas, a resposta em frequência é chamada de característica de amplitude-frequência logarítmica.
Nos dispositivos de amplificação, o coeficiente de transmissão é maior que a unidade. Se o dispositivo introduzir atenuação do sinal transmitido, o coeficiente de transmissão será menor que a unidade.
Para entender completamente o que é AFC, temos, na entrada da qual forneceremos um sinal sinusoidal e, na saída, dispararemos um sinal. A condição deve ser atendida: você precisa alterar a frequência do sinal sinusoidal de entrada, mas sua amplitude deve ser constante. A seguir, é necessário medir a amplitude do sinal na saída nas frequências do sinal de entrada de seu interesse. Ou seja, devemos alterar a frequência do sinal de entrada de 0 Hertz (corrente contínua) para qualquer valor final que satisfaça nossos objetivos e ver qual amplitude do sinal será emitida nos valores de entrada correspondentes.
Para aprofundar no tema sobre Controle e Servomecanismo e suas simulações, você pode realizar com o software Matlab (https://www.mathworks.com/products/matlab.html). Também pode montar os circuitos e analisar as suas respostas em frequências utilizando o Proteus (https://www.labcenter.com). Ambos são softwares de simulação e que realizam de maneira satisfatória as teorias de servo e controle.  
2. Fase linear
O conceito de sistemas com uma fase linear, e especialmente com uma fase mínima, é muitas vezes difícil de entender. Vamos tentar explicar o conceito de sistemas de fase linear, enquanto expomos vários mitos. Primeiramente, o conceito de uma fase linear ideal segue o conceito de atraso de grupo, é um "envelope" de um atraso que não deve ser confundido com um atraso de fase.
Atraso de fase é o atraso de tempo de um sinal sinusoidal com uma frequência constante f enquanto passa pelo sistema. O SHD é o atraso de tempo do envelope da amplitude dos sinais sinusoidais em uma faixa espectral estreita em torno da frequência f. Pode-se observar que, quando a fase depende linearmente da frequência, o atraso da fase e o atraso de tempo são avaliados por um valor constante do atraso. Quando a fase depende da frequência de maneira não linear, nem o atraso da fase nem o atraso também são constantes quando a frequência muda.
Em sistemas convencionais com largura de banda limitada, a HVR aumenta mais perto do limite da banda. O motivo é que a borda da banda passante é determinada pela presença de um ou mais pólos de filtro, que aumentam a taxa de decaimento da resposta de frequência para 20 dB por década e adicionam um atraso de fase de 90 °. Nas frequências centrais dos complexos pares de pólos conjugados, em que a resposta da resposta em frequência tende a um valor de pico, o GW também possui um valor de pico. Ao considerar a resposta de frequência real do osciloscópio, isso significa que os componentes de RF do sinal que passa pelo sistema recebem um atraso adicional. Esse fenômeno é observado na resposta transitória na forma de frentes “desarrumadas” e grandes emissões, uma vez que os componentes de RF não atingema saída do sistema simultaneamente com a frente, mas existem após a frente.
Muitos dos usuários estão acostumados a acreditar que a fase linear é o melhor tipo de resposta da fase. Isso é verdade em sistemas de telecomunicações e transmissão de áudio, mas essa solução não é adequada para sistemas de controle.
Assista aí
3. Reposta da frequência de fase
A resposta da frequência de fase é decifrada como uma característica de frequência de fase, resposta de fase. A característica de frequência de fase é a dependência do deslocamento de fase entre os sinais sinusoidais na entrada e saída do dispositivo na frequência da oscilação de entrada.
É comum escutar a expressão: "ele teve uma mudança de fase". Essa expressão entrou recentemente em nosso vocabulário e significa que uma pessoa mudou de ideia. Isso geralmente acontece também na eletrônica. A diferença entre as fases dos sinais na eletrônica é chamada de diferença de fase. Parece estar "dirigindo" algum sinal para a entrada, e o sinal de saída sem motivo levou e mudou no tempo em relação ao sinal de entrada.
Para determinar a diferença de fase, a condição deve ser atendida: as frequências do sinal devem ser iguais.  Se a condição de igualdade não fosse atendida, a mudança de fase entre os sinais mudaria o tempo todo.Um osciloscópio de dois canais é usado para determinar a mudança de fase. A diferença de fase é mais frequentemente indicada pela letra φ e na forma de onda.
Na prática, a resposta de fase pode ser medida da mesma maneira que a resposta de frequência, simplesmente observando a diferença de fase e registrando as leituras em uma placa. Neste experimento, apenas asseguramos que, na frequência de corte, realmente tenhamos uma diferença de fase entre o sinal de entrada e saída de 45 graus ou π / 4 em radianos. Veja o gráfico a seguir:
Figura 1 - Gráfico defasagem das fases Fonte: Elaborado pelo autor, 2020
#PraCegoVer: O gráfico ilustra a diferença de fase entre dois sinais através de duas curvas de medidas.
O período inteiro é 2p, então metade do período é π. No semestre, temos cerca de 15,5 divisões. Há uma diferença de 4 divisões entre os dois sinais. Nós fazemos a proporção de acordo a Equação 2:
A partir daqui x = 0,258p ou quase 1 / 4p pode ser dito. Consequentemente, a diferença de fase entre esses dois sinais é n / 4, que coincide quase exatamente com os valores calculados em Proteus.
Na eletrônica, esse estímulo será o sinal de entrada. Na faixa de áudio, é comumente referido em conexão com amplificadores eletrônicos, microfones e alto-falantes. A resposta de frequência do espectro de radiofrequência pode estar relacionada a medições de cabo coaxial , par trançado , equipamento de comutação de vídeo , dispositivos de comunicação sem fio e sistemas de antena. A medição infrassônica da resposta em frequência inclui terremotos e eletroencefalografia (ondas cerebrais).
A resposta em frequência varia de acordo com o aplicativo. No áudio de fidelidade, o amplificador requer uma resposta de frequência de pelo menos 20-20000 Hz, com uma tolerância de ± 0,1 dB em frequências médias de cerca de 1000 Hz; no entanto, em telefonia , uma resposta de frequência de 400-4000 Hz , com tolerância de ± mais 1 dB é suficiente para a inteligibilidade da fala.
As características de frequência são frequentemente usadas para indicar a precisão de componentes ou sistemas eletrônicos. Quando um sistema ou componente reproduz todos os sinais de entrada necessários, sem ênfase ou atenuação de uma determinada faixa de frequência, o sistema ou componente é chamado de "plano" ou possui uma curva de resposta de frequência plana. Como alternativa, você pode usar a forma da superfície 3D da resposta de frequência.
Após a resposta de frequência ter sido medida (por exemplo, como uma resposta de impulso), desde que o sistema seja estacionário, sua resposta pode ser aproximada com precisão arbitrária usando um digital. Da mesma forma, se o sistema tiver uma resposta de frequência ruim, um filtro digital ou analógico poderá ser aplicado aos sinais antes que eles sejam reproduzidos para compensar essas deficiências.
O formato da curva de resposta em frequência é muito importante na proteção contra interferências de radares, comunicações e outros sistemas.
3.1 Fase mínima
Levaremos em conta o fato de que os filtros de banda larga não introduzem distorção de amplitude. Um número infinito de combinações de filtros de banda larga adicionados ao filtro Butterworth de 5ª ordem terá a mesma resposta de amplitude, mas diferentes valores de ganho. Além disso, todo o conjunto como um todo levará a um atraso de sinal maior do que um único filtro Butterworth. Além disso, existe apenas uma maneira de adicionar zeros e pólos ao filtro Butterworth, no qual nenhuma alteração é feita na amplitude. É a adição de seções de banda larga que sempre possuem zeros no meio plano direito (ou zeros fora do círculo unitário no domínio digital). Isto implica a definição do sistema de fases mínimas na teoria do controle e processamento de sinais digitais, um sistema linear constante de tempo é minimamente de fase.
Essa definição mostra que todos os zeros do sistema de fase mínima devem estar no semiplano esquerdo (dentro do círculo unitário); caso contrário, é impossível inverter o sistema, pois no sistema inverso os zeros se voltam para polos. Assim, é fácil criar sistemas de fases mínimas planejando antecipadamente a disposição dos zeros e polos do sistema.  O efeito de amplitude dos zeros não depende se eles estão no semi plano direito ou esquerdo. Portanto, a criação de um sistema de fase mínima é conseguida simplesmente movendo-se quaisquer zeros do semi plano direito para a esquerda. No plano S, isso significa uma mudança no sinal da parte real de zero. No domínio digital, isso significa tomar um complexo de posição zero conjugado aos dados, se esse movimento for realizado.
Este procedimento também é aplicável a todos os filtros de polos. Se a resposta ao impulso do sistema for conhecida, também serão conhecidos os coeficientes do filtro FIR que define esse sistema.
Assista aí
É ISSO AÍ!
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
· compreender que a característica de amplitude-frequência do circuito mostra a dependência do nível do sinal na saída deste dispositivo na frequência do sinal transmitido com uma amplitude constante de um sinal sinusoidal na entrada deste dispositivo;
· entender que a característica de frequência de fase é a dependência do deslocamento de fase entre os sinais sinusoidais na entrada e saída do dispositivo na frequência da oscilação de entrada;
· aprender que o coeficiente de transmissão é a razão entre a tensão na saída do circuito e a tensão na sua entrada. Se o coeficiente de transmissão for maior que a unidade, o circuito elétrico amplifica o sinal de entrada, mas se for menor que a unidade, ele enfraquece;
· entender que a largura de banda é uma faixa de frequência dentro da qual a resposta de frequência de um circuito ou dispositivo de rádio é uniforme o suficiente para permitir a transmissão do sinal sem distorção significativa de sua forma. É determinado pelo nível de 0,707 da resposta de frequência máxima;
· compreender que a resposta de fase é decifrada como uma característica de frequência de fase;
· aprender que a resposta de fase pode ser medida da mesma maneira que a resposta de frequência, simplesmente observando a diferença de fase e registrando as leituras em uma placa
REFERÊNCIAS
ALEXANDRE, C. K. et al. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
DORF, R. C. et al. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo: LTC, 2001.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2015.
MATERIAL COMPLEMENTAR:
https://www.youtube.com/watch?v=jYc05vXIRYo
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4466554/mod_resource/content/1/7_Resposta_Frequencia.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=sdOBp6NssRk
MODULO 4
OLÁ!
Você está na unidade Controle via Espaço de Estados. Conheça aqui conceitos como controlabilidade eobservabilidade; aprenda a projetar controladores utilizando variáveis de estado e saiba como é a solução da equação de estados. Você terá a oportunidade de estudar observadores, realimentação de estados, princípio do modelo interno e outros assuntos relacionados à teoria de controle moderno. Além de analisar os sistemas físicos no domínio da frequência, você também pode representá-los no domínio do tempo. O engenheiro de controle que trabalha no espaço de estados projeta uma compensação dinâmica trabalhando diretamente com a descrição da variável de estado do sistema.
Bons estudos!
1 Modelagem de Sistemas no Espaço de Estados
Uma ferramenta de grande valor e bastante utilizada para a modelagem de plantas é a representação em variáveis de estado. As variáveis de estado formam um conjunto de variáveis internas que são um conjunto completo, de modo que, se essas variáveis forem conhecidas em um determinado tempo, então qualquer saída da planta,, pode ser computada para todos os tempos futuros, como uma função das variáveis de estado e dos valores presentes e futuros das entradas do sistema.
Podemos dizer que um sistema é linear se o princípio da sobreposição for sustentado (DORF, 2017). Isso significa que se as condições iniciais e produzem respostas  , respectivamente, com entrada nula, e as entradas e produzem respostas  , respectivamente, como condições iniciais nulas, então a resposta para a entrada  com condições iniciais  é .
Um sistema é chamado de invariante no tempo se a resposta a uma entrada deslocada no tempo for simplesmente um deslocamento no tempo da resposta original, isto é, se a entrada  produz uma resposta, então, a entrada  produz a resposta .
Se denotarmos por o vetor correspondente a uma seleção particular de variáveis de estado, um modelo linear e invariante no tempo é descrito no espaço de estados como (NISE, 2015):
Onde A, B, C e D são matrizes de dimensões apropriadas, é o vetor de estado, é o sinal de controle,  é a saída e é o vetor de estado no tempo  A equação (1) é chamada de equação de estado e a equação (2) é chamada de equação de saída.
O Espaço de Estados  refere-se ao espaço cujos eixos são as variáveis de estado. As variáveis de estado são a menor quantidade de variáveis do sistema que conseguem representar todo o estado em qualquer momento. Geralmente, elas estão relacionadas com a quantidade de componentes diferenciais do circuito. Na Engenharia, os Espaços de Estados referem-se a modelos matemáticos de  sistemas físicos compostos de um conjunto de variáveis de entrada, de saída e de Estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem.
Assista aí
1.1 Solução de equações de Espaços de Estados de tempo contínuo
Os modelos no espaço de estados são descritos por um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem e, por isso, é relativamente fácil resolvê-los. A matriz exponencial, definida a seguir, é importante na determinação das soluções de equações de estado (NISE, 2015).
A solução explícita para a equação de estado linear é dada por:
Isto pode ser verificado substituindo-se (4) diretamente em (1). Para realizar a diferenciação necessária, note que:
E também relembre a regra de Leibnitz:
A aplicação de (6) e (5) em (4) resulta na resposta esperada:
Note que, se , apenas a matriz  é necessária para determinar a transição de  para . Essa observação justifica o nome “matriz de transição”, como é, muitas vezes, chamada a matriz . A saída do modelo é encontrada a partir de (2) e (7).
Perceba que as soluções do estado (4) e da saída (9) consistem de dois termos cada, denominados como resposta natural, devido a  , e resposta forçada, que depende da entrada  no intervalo. Verifique o princípio da sobreposição para a resposta dada em (9).
1.2 Transformação de similaridade
É facilmente visto que a definição do estado de um sistema não é exclusiva. Considere, por exemplo, uma transformação linear de  para definida como:
Onde é qualquer matrix não-singular, denominada transformação de similaridade. Se (10) for substituída em (1) e (2), a seguinte descrição alternativa no espaço de estados é obtida:
Sendo
O modelo representado pelas equações (11) e (12) é uma descrição válida equivalente do sistema. De fato, há uma infinidade de maneiras equivalentes para expressar o modelo no espaço de estados de um dado sistema (NISE, 2015). Todos os modelos equivalentes estão relacionados por meio de um transformação de similaridade, como em (13). Você perceberá a seguir que determinadas escolhas para a transformação T fazem com que muitos aspectos da resposta do sistema se tornem mais fáceis de serem visualizados e de serem computados.
Digamos que a matriz A possa ser diagonalizada através de uma transformação de similaridade T , então
Se  são os auto-valores de A , então:
Como P é uma matriz diagonal, temos
Onde o subscrito  denota o -ésimo componente do vetor de estados. A equação (16) nos dá uma conexão direta entre a saída do sistema e os auto-valores da matriz A. Note que, em caso de auto-valores complexos conjugados , também será complexo, embora a saída seja necessariamente real.
Exemplo: Considere o sistema descrito no espaço de estados representado por:
Usando o comando eig no MATLAB, descobrimos que os auto-valores de A são -5, -3 e -2. A matriz A pode ser diagonalizada através de uma matriz de transformação de similaridade T cujas colunas são um conjunto de auto-vetores de A linearmente independentes. A matriz T também pode ser obtida a partir do comado eig no MATLAB.
Usando a equação (13), obtemos a descrição no espaço de estados dada por:
1.3 Relação entre Função Transferência e Espaço de Estados
Você aprenderá agora como representar no Espaço de Estados um sistema que está representado por uma função transferência. Considere uma função de transferência  (NISE, 2015):
Então, podemos escrever as seguintes definições:
Observe que
Escolhendo  como variáveis de estado, o resultado é
Exemplo: Construa um modelo no espaço de estados para o sistema representado pela seguinte função transferência:
Usando (19), (20), (21) e (22), obtém-se:
Porém, se você quiser obter a função transferência de um sistema que está representado no espaço de estados, você pode usar a transformada de Laplace para resolver as equações diferenciais (1) e (2). Assim,
Na verdade, a equação (9) pode ser obtida a partir da aplicação da transformada inversa de Laplace na equação (24), lembrando que:
Com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da saída, , está relacionada à transformada de Laplace da entrada,, da seguinte maneira:
Então,  é a função transferência do sistema (NISE, 2015).
Exemplo: Considere novamente o modelo no espaço de estados abaixo:
A computação da função transferência pode ser feita por meio do comando ss2tf no MATLAB.
1.4 Controlabilidade e observabilidade
Uma questão importante do controle usando modelos de espaço de estados é se podemos ou não direcionar o estado através da entrada de controle para determinados locais no espaço de estados. Tecnicamente, essa propriedade é chamada de controlabilidade (OGATA, 2010).
Um estado  é considerado controlável se houver um intervalo finitoe uma entrada  tal que . Se todos os estados forem controláveis é dito que o sistema é completamente controlável.
Existe um simples teste algébrico para a controlabilidade. A matriz de controlabilidade M é definida como:
O sistema é controlável se, e apenas se, o posto de M for igual a. Note que, se o posto de M for menor que , nós não conhecemos nada sobre a controlabilidade dos modos individuais. Nós apenas sabemos que pelo menos um modo é incontrolável.
Exemplo: Verifique a controlabilidade para o modelo no espaço de estados.
A matriz de controlabilidade é dada por:
Como posto  então o sistema é completamente controlável.
No geral, a dimensão da saída observada, , pode ser menor que a dimensão do estado, Entretanto, pode-se supor que, se observamos a saída durante algum intervalo de tempo consideravelmente