Aula_6_Relatividade_II_disponibilizada

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Aula-6
Teoria da Relatividade 
Restrita - II
Física Geral F-428
1
• Se, no referencial S, dois eventos estão separados 
por uma diferença de coordenada ; e 
ocorrem em dois instantes de tempo separados por
, no referencial S’ teremos:
• Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes 
independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente 
único: o espaço-tempo.
• Podemos também inverter as transformações acima:
)( tvxx −=  )( 2 xc
v
tt −= 
)( tvxx +=  )(
2
x
c
v
tt += 
As transformações de Lorentz
H. A. Lorentz
(1853 – 1928) 
2
A relatividade das velocidades
Vimos que:
Logo:
Na transformação clássica 
de Galileu teríamos :
)( tvxx −=  )(
2
x
c
v
tt −= 
Portanto: )( v d td xxd −=  )( 2 dxc
v
dttd −= 
2
1
c
uv
vu
td
xd
u
x
x
x
−
−
=


=
vu
td
xd
u xx −=


=(v << c)
3
Podemos ainda deduzir expressões para as relações entre 
as demais componentes nos outros eixos:
➢ Portanto, a transformação está coerente com o fato da 
velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e 
nenhuma velocidade poder excedê-la. 
• As transformações podem ser invertidas, trocando os 
índices com linha  sem linha e v por –v : 
2
2
1
)1(
c
uv
u
td
yd
u
x
y
y
−
−
=


=

2
2
1
)1(
c
uv
u
td
zd
u
x
z
z
−
−
=


=

c
c
uv
vu
u
x
x
x =
+
+
=
2
1
cu x = teremos:
A relatividade das velocidades
• Se:
4
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações 
em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. 
Isto, porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, 
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se
propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a 
fonte e o detector. 
O efeito Doppler da luz
Som
5
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em 
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto 
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, 
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga 
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o 
detector. 
O efeito Doppler da luz
●
Fonte v
Detector
v a
6
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em 
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto 
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, 
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga 
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o 
detector. 
O efeito Doppler da luz
●
Fonte v
Detector
v a
7
Se o observador O, em S, descreve o campo 
de uma onda eletromagnética, o observador O’, em S’, deverá 
observar . Pelo princípio da relatividade, 
devemos ter invariância de fase:
tk x − txk − =
)( tvxx +=  )(
2
x
c
v
tt += Então, usando que: e
podemos mostrar que:






−=
2c
v
kk

 ( )vk−= e
O efeito Doppler da luz
)s in (),( 0 tk xEtxE −=
)s in (),( 0 txkEtxE −= 
8
Mas: 

 c
f
kk
c =


== ;
( ) −= 1kk ( ) −= 1e
O efeito Doppler da luz
Esta expressão é válida no caso do observador ( f ´ = fobs) 
e a fonte ( f = f0) estarem se afastando ( > 0). 


+
−
=
1
1
ff
●
Fonte v´, f ´
c
v
=;
9
Esta expressão é válida no caso do observador (f ´ = fobs) 
e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando ( < 0). 
Mas: 

 c
f
kk
c =


== ;
( ) −= 1kk ( ) −= 1e


−
+
=
1
1
ff
O efeito Doppler da luz
●
Fonte v ´, f ´
c
v
=;
10
 ;k


Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação: 
( )  c o s1 −=
Se “Doppler transverso”. Note que aqui a fonte em 
movimento emite radiação com frequência conhecida .
2

 =
2
0º9 0 1  −=
0
 =
O efeito Doppler da luz
 ;k

11
Fonte
Observador
• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma 
velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos:
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
•Se a estrela estiver se afastando 
( v > 0 ) temos   0
Deslocamento da luz 
para o vermelho
•Se a estrela estiver se aproximando 
(v < 0) teremos  < 0
O efeito Doppler na Astronomia
Deslocamento da
luz para o azul 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif
12
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif
13
Observações experimentais 
e suas implicações para a Cosmologia:
Em 1929, Edwin Hubble propôs que o desvio para o vermelho 
observado para as linhas espectrais originadas de átomos de cálcio 
de galáxias distantes era devido ao efeito Doppler: 
as galáxias estariam se afastando de nós.
É possível medir a velocidade de recessão V de várias galáxias e
Hubble encontrou V = H0 r , com H0 é a constante de Hubble =
= 71  4 km/s/Mpc. 
Esta é a primeira evidência experimental 
da expansão do Universo!
Dinâmica relativística
Na Mecânica Newtoniana temos 
dt
pd
F

= , onde o momento linear é definido por: vmp

=
co nst.0 == pF

a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas 
isolados, assim como na Mecânica Newtoniana.
b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite
. 
Procuramos um análogo relativístico desta expressão que 
tenha as seguintes propriedades:
14
Dinâmica relativística
Colisão das partículas a e b, de
mesma massa, no referencial S’.
Vamos definir o referencial S´ como 
aquele em que o momento total seja 
nulo (Ref. Centro de Momento=RCM).
Se
)( antes
a
vm

 )( antes
b
vm


)( depois
b
vm

)( depois
a
vm

 +
+ =
const.0 == pF
ex t

x
y S’
)(antes
b
v


)(depois
b
v


)(depois
a
v


)(antes
a
v


15
Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades:
2
1
c
uv
vu
dt
dx
u
x
x
x 
+
+
==
... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial 
S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao 
longo do eixo x ...
2
2
1
)1(
c
uv
u
dt
dy
u
x
y
y 
+
−
==

2
2
1
)1(
c
uv
u
dt
dz
u
x
z
z 
+
−
==

Momento linear relativístico
16
y
antes
byy
antes
ay
x
antes
bxx
antes
ax
vvvv
vvvv
−==
−==
Momento linear relativístico
y
depois
byy
depois
ay
x
depois
bxx
depois
ax
vvvv
vvvv
=−=
−==
x
y
S’
)(antes
b
v

)(depois
b
v


)(depois
a
v


)(antes
a
v


mmm ba ==
)/(1)/(1
)/(1)/(1
22
22
cvv
vv
v
cvv
vv
v
cvv
vv
v
cvv
vv
v
x
xdepois
bx
x
xdepois
ax
x
xantes
bx
x
xantes
ax
−
+−
=
+
+
=
−
+−
=
+
+
=
)/(1
1
)/(1
1
)/(1
1
)/(1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
cvv
v
v
cvv
v
v
cvv
v
v
cvv
v
v
x
ydepois
by
x
ydepois
ay
x
yantes
by
x
yantes
ay
−
−
=
+
−−
=
−
−−
=
+
−
=


transformação 
de Lorentz das 
velocidades
2
1
c
vv
vv
dt
dx
v
x
x
x 
+
+
==
2
2
1
)1(
c
vv
v
dt
dy
v
x
y
y 
+
−
==

y
x
S
v
17
➢ não fornece uma expressão tal que o momento 
linear total conservado na colisão.
vmp

=
Momento linear relativístico
18
Mas, pode-se mostrar que o momento total será uma quantidade 
conservada se definirmos: 
22
0
0
/1 cv
vm
vmp
−
==



22
0
0
1
)(
cv
m
mvm
−
== 
• A força é, então, dada por:
)(
0
vm
dt
d
dt
pd
F


==
• Pode-se ainda definir uma massa relativística, dada por:
Momento linear relativístico
(com m0 sendo a massa do corpo 
no referencial em que o corpo se 
encontra em repouso.)
19
Energia relativística
• A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula 
continua sendo dada por:
dt
pd
vvF
dt
dK


==
 ===
rrr
d tv
d t
vmd
rd
d t
vmd
rdFK






00
0
0
0
)()( 
0
2
0
2
0 :o n d e)()1( mmcmmcmK  =−=−=
222
0 m cEEm ccmK ===+então:
( ) v
vv
xcm
x
d xx
cmcv
cv
cv
dcmK 0
2/122
0
0
2/12
2
0
0
22
2
0 1
)1(
)/()
/1
/
( +=
+
=
−
= 



22 /1
/
cv
cv
x
−
=
Energia 
Total
(Supondo Epotencial = 0 )
vmγp

0=
20
21
Veja uma outra forma de deduzir essas expressões 
da energia total e da energia cinética 
(através de derivada, não de integral)
no arquivo “Dinâmica Relativística”.
Usando que vmp

= temos
E
pc
v
c
vmc
p



 2
2
2
==
Como
42
0
2422 cmcmE == obtemos:
2242
0
2 cpcmE +=
Se m0 = 0 pcE =
• Portanto, a radiação eletromagnética transporta um momento 
linear , e podemos imaginá-la como composta por 
corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.
cUp /=
Relação energia-momento linear
Energia relativística






−
=
22
24
42
02
1
Ec
pc
cm
E
2)/(1
1
cv−

22
• Limite clássico da energia






+++=
−
= ...
8
3
2
1
1
4
4
2
2
2
022
2
0
c
v
c
v
cm
cv
cm
E
Expandindo E=mc2 para v/c << 1 :
...
8
3
2 2
22
0
2
02
0
+





++=
c
vvmvm
cmE
Energia de repouso:
2
0
cmE =
2
2
0vmK 
Energia cinética para v/c << 1 :
Energia relativística
pontos experimentais (x)
23
Energia de repouso: 2
0
cmE =
2
2
0vmK Energia cinética para v/c << 1 :
Energia relativística
pontos experimentais (x)
24
Experimento de William Bertozzi para medir v 
e K de elétrons relativísticos no acelerador 
linear no MIT (Amer.Jour.Phys. 32(1964)551)
25
( ) 22
22
22422
1 mcmcEE
EmcmcE
cpcmE
mvpp
cin
cin
−=−=
+==
+=
==




Procedimento mais usual: usar apenas a massa 
de repouso da partícula nas nossas equações, 
que é a única massa definida para a partícula. 
As equações da dinâmica ficarão:
• A energia de um sistema isolado se mantém constante.
➢ Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia
∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:
Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares, 
embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.
➢ Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua
velocidade), sua massa também aumenta:
2c
Q
mmm if −=−=
2c
E
m

=
Energia relativística
QcmE −== 2)(
26
Relatividade Geral
• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece 
acelerado, se visto de um referencial não-inercial.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia: 
É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante 
daquela num referencial uniformemente acelerado!
O elevador de 
Einstein
27
Relatividade Geral
• Princípio da equivalência de Einstein
Num recinto suficientemente pequeno para que o campo 
gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme e em 
queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as 
mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo 
gravitacional.
(a)
ga

=
g

a
a

ga

=
28
• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias dos corpos.
Relatividade Geral
“A massa diz ao espaço-tempo como se 
curvar; e o espaço-tempo diz à massa 
como se mover”!
• Einstein encarou a força gravitacional como uma
força de inércia curvatura do espaço-tempo!
29
30
Expressão geral para o efeito Doppler:
( ) cos -1f f´=
S
S´
v


P
Note: os casos mencionados 
são casos particulares do 
caso geral, com  = 0° ou 
180°. Se a fonte se move, 
então f´ = f0 e a frequência 
observada a 90° é f = f0/ 
(1-2/2) f0 .
Prob. 31: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo
com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito,
também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave
viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela
espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?
v
v
L0
L0 = 350 m 
v = 0,82 c
xS
y
Velocidade do meteorito 
em relação à nave:
2
1
c
uv
vu
u
x
x
x
−
−
=
s
v
L
t 19,1
m/s102,94
m350
8
0
0 



=
c
c
c
v
v
c
vv
vv
v 98,0
)82,0(1
64,1
1
2
)(
1
2
2
2
2
−
+
−=
+
−
=
−
−
−−
=
m/s1094,2 8−v
31
Prob. 39: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c.
Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os
passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde,
amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.
v = 0,20c


+
−
=
1
1
ff
• Efeito Doppler da luz (se afastando):
2/1
1
1






+
−
=
 


cc
nm551
8,0
2,1
nm450
1
1
2/12/1






=





−
+
=



a)
b) Luz "verde-amarelada": 
32
33
Prob. 47: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de
massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que
a sua energia de repouso ?
2242
0
2 cpcmE +=
)(3 20
2 cmm cE ==
2242
0
42
09 cpcmcm +=
mas:
222
08 pcm = cmp 022=
34
Prob. 51: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um 
momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ; 
(b) de ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso. 
cmvvmp 0)( == 







−=→=








−
2
2
2
2
02/1
2
2
0 1
1
c
v
c
v
cm
c
v
vm
707,0
2
1
12
2
2
==→=
c
v
c
v
a)
( )
414,12
2/1
1
2/11
1
==
−
=
414,01414,1
)1(
2
0
2
0
0
=−
−
=
cm
cm
E
K 
b)
c)
35