VIGA PROTENDIDA_AULA

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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO – SÃO PAULO 
DISC.: ESTRUTURAS PROTENDIDAS_2ºsemestre_2018 
Professor Esp.: Valmik Celeste Alvarado 
 
VIGA_PROTENDIDA_MODELO_04_ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO 
 
No modelo apresentado a seguir serão abordadas as análises iniciais geométricas, bem como, 
as análises de carregamentos atuantes no ato de protensão e no tempo infinito de trabalho da 
estrutura, visando determinar as forças máximas e mínimas de protensão em cada etapa, de 
maneira que os E.L.U e E.L.S sejam devidamente atendidos, possibilitando assim, determinar 
com base no tipo de cordoalha adotada uma área de aço ideal que atenda ambas as etapas e 
estados limites analisados. 
 
A viga modelo analisada será utilizada como uma longarina de ponte rodoviária, que foi 
protendida com pós-tração, se utilizando de cordoalhas “aderentes” do tipo CP_190RB. A 
longarina recebe uma carga permanente devido ao peso próprio “𝐐𝐏,𝐠𝟏”= 28,50KN/m, uma carga 
permanente devido à existência de um tabuleiro “𝐐𝐏,𝐠𝟐,”= 36KN/m, e uma carga variável devido 
as ações acidentais “𝐒𝐐,𝐪𝟏,”= 42KN/m. A longarina será utilizada em um ambiente com classe de 
agressividade ambiental CAA III, classificada assim como protensão “Limitada” com concreto 
protendido nível 2, devendo para esta categoria ser verificada os 𝐄. 𝐋. 𝐒_𝐃𝐚 por meio das 
combinações de carregamento quase permanente “CQP”, o E.L.S_F por meio das combinações 
de carregamento frequentes “CF”, bem como, faz-se necessário verificar os E.L.S_CE para cada 
combinação, respeitando os limites da estrutura apontados no E.L.U _Ato de Protensão conforme 
os prescritos de norma. 
 
A estrutura utilizará um concreto do tipo CP_III de Fck= 55MPa, e será protendida no canteiro 
de obras após 429h de sua concretagem, esta etapa pode ser denominada como “Fase_1” na 
qual ocorre o ato de protensão, onde as forças de protensão aplicadas são as máximas e as 
perdas tendem a zero, e o único carregamento atuante é o de peso próprio da estrutura, 
entretanto, a longarina só será colocada sobre os pilares após 28 dias, onde receberá o tabuleiro 
e posteriormente estará sujeita as ações variáveis conforme previsto, esta etapa pode ser 
denominada “Fase_2” na qual todas as ações estão atuantes na estrutura e as perdas já tendem 
ao máximo previsto para o tempo infinito. A longarina possui “32m” de vão livre efetivo e estará 
apoiada em suas extremidades sobre os consolos dos pilares, trabalhando assim como uma viga 
“Bi_apoiada”, e possui estimativas de perdas de protensão para o tempo infinito na ordem de 
21%. Com base nas informações preliminares, determine a área de aço de protensão aderente 
pelo método dos estados limites. 
 
VIGA_MODELO_ANALISADA 
 
 
RESULTADOS PARCIAIS. 
 
v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DAS COMBINAÇÕES 
 
A estrutura trabalha em uma classe de agressividade ambiental III, e foi protendida com pós-
tração conforme proposto no modelo, e com base nesta condição é preciso atender os prescritos 
da NBR_6118/14 item: 13.4.2, que classifica este tipo de protensão como protensão limitada, com 
concreto protendido nível 2, e estabelece que sejam verificadas as combinações de E.L.S_F por 
meio das combinações de carregamento frequente “CF”, e o E. L. S_Da por meio das combinações 
de carregamento quase permanente “CQP”, bem como, é preciso sempre garantir os E.L.S_CE 
estabelecido no item: 3.2.7 da mesma norma, o qual tem como parâmetro de verificação os 
prescritos no item: 17.2.4.3.2 alíneas a) b) e c). 
 
Ao analisarmos as combinações no E.L.U_ Ato de Protensão, devemos considerar os 
coeficientes de ponderação para as cargas que atuam nesta etapa, tais como: 
 
Ɣ𝑝 = 1,1 Na pós-tração; 
Ɣ𝑔 = 1,0 Para as ações desfavoráveis; 
70% Fckj = Na verificação da compressão máxima do concreto; 
1,2Fctmj = Na verificação de tração máxima do concreto, correspondente ao Fckj especificado. 
 
 
 
 
 
Tensões superiores 
 
Ϭ𝒈𝟏,𝒌
𝒔
= 
− 𝟎,𝟔𝟓𝟓𝟐𝟓𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
Ϭ𝒈𝟐,𝒌
𝒔
= 
− 𝟎,𝟖𝟐𝟕𝟔𝟖𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
Ϭ𝒒𝟏,𝒌
𝒔
= 
− 𝟎,𝟗𝟔𝟓𝟔𝟑𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
 
Tensões inferiores 
 
Ϭ𝒈𝟏,𝒌
𝒊
= 
+𝟏,𝟎𝟔𝟓𝟗𝟏𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
Ϭ𝒈𝟐,𝒌
𝒊
= 
+𝟏,𝟑𝟒𝟔𝟒𝟏𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
Ϭ𝒒𝟏,𝒌
𝒊
= 
+𝟏,𝟓𝟕𝟎𝟖𝟏𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
 
Parâmetros geométricos 
 
Ac= 𝟏𝟏. 𝟒𝟎𝟎𝐜𝐦𝟐; 
CG= 123,8596491cm; 
𝐈𝒙= 𝟒𝟐. 𝟑𝟗𝟎. 𝟏𝟕𝟓, 𝟒𝟒𝒄𝒎𝟒; 
𝛚𝐢= 𝟑𝟒𝟐. 𝟐𝟒𝟑, 𝟔𝟐𝟔𝟏𝒄𝒎𝟑; 
𝛚𝐬= 𝟓𝟓𝟔. 𝟕𝟑𝟕, 𝟑𝟐𝟕𝟐𝒄𝒎𝟑; 
𝑲𝒔= 30,02137071cm; 
𝑲𝒊= 48,83660765cm; 
ep= 48,83660765cm; 
 
Parâmetros do 
Concreto. 
Fck= 55Mpa; 
Fckj= 49,9856Mpa. 
 
Tensões de Protensão 
 
Ϭ𝒔𝑷,𝒌= 0 
Ϭ𝒊𝑷,𝒌= 
−𝟐,𝟑𝟎𝟒𝟏𝟒𝟕𝟓𝐱𝟏𝟎−𝟒.𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
 
VERIFICAÇÃO DA PROTENSÃO NO E.L.U_ATO_DE_PROTENSÃO 
 
As combinações do E.L.U podem ser expressas da seguinte forma: 
 
Fd= ∑ Ɣ𝒈𝟏𝑭𝒈𝟏,𝒌 + Ɣ𝒒. [𝑭𝒒𝟏,𝒌 + ∑𝜳𝟎𝒋𝑭𝒒𝒋,𝒌] ≤ { 𝟏,𝟐𝒇𝒄𝒕𝒎𝒋
−𝟎,𝟕𝒇𝒄𝒌𝒋
, 
 
É possível observar que na expressão da norma não esta inserida a componente de ações 
devidas a protensão, entretanto, esta inserção pode ser feita de acordo com as considerações do 
item: 17.2.4.3.2_a da NBR_6118/14, complementado ainda pela compreensão de que no ato de 
protensão as demais ações variáveis acidentais não estão atuando na estrutura, logo podemos 
ajustar a combinação e expressá-la da seguinte forma: 
 
Fd= ∑ Ɣ𝒑𝑭𝑷𝒊,𝒌 + Ɣ𝒈𝟏𝑭𝒈𝟏,𝒌 ≤ { 𝟏,𝟐𝒇𝒄𝒕𝒎𝒋
−𝟎,𝟕𝒇𝒄𝒌𝒋
 
 
Ao analisarmos as ações atuantes na combinação acima, podemos observar que as mesmas 
estão relacionadas às forças de protensão máximas da fase um e as forças correspondentes de 
peso próprio da estrutura, entretanto, a parcela de protensão não esta definida, apenas foi 
delimitada em função da constante de “N” analisada por meio das tensões superiores e inferiores, 
logo é preciso ajustar a combinação para este comportamento, resultando assim na seguinte 
combinação: 
Fd= ∑ Ɣ𝒑Ϭ
𝒊
𝑷𝒊,𝒌
+ Ɣ𝒈𝟏Ϭ𝒈𝟏,𝒌
𝒊 ; ∑ Ɣ𝒑Ϭ
𝒔
𝑷𝒊,𝒌
+ Ɣ𝒈𝟏Ϭ𝒈𝟏,𝒌
𝒔 ≤ { 𝟏,𝟐𝒇𝒄𝒕𝒎𝒋
−𝟎,𝟕𝒇𝒄𝒌𝒋
 
 
As combinações acima ajustadas propõem uma análise do E.L.U em função das combinações 
devido as tensões atuantes nas fibras superiores e inferiores, as quais devem atender os limites 
pré-estabelecidos pela NBR_6118/14 determinados conforme demonstrado a seguir. 
 
 O limite de tração admitida para o concreto em 𝐣𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de 1,2fctmj, logo: 
fctmj= 0,3. Fckj2/3 = 0,3x(49,9856MPA)2/3 = 4,0708Mpa = 
0,40708𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; 
1,2 . fctmj= 1,2 x 
0,40708𝐾𝑁
𝑐𝑚2
= 
0,48849𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; 
𝟏, 𝟐. 𝐟𝐜𝐭𝐦𝐣𝒍𝒊𝒎, = 
𝟎,𝟒𝟖𝟖𝟒𝟗𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
 O limite de compressão admitida para o concreto em 𝐣𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de -0,7Fckj, logo: 
-0,7.Fckj= -0,7 x 49,9856Mpa= - 34,9899Mpa = 
−3,49899𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; 
-0,7.Fckj= 
−𝟑,𝟒𝟗𝟖𝟗𝟗𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
Analisando as combinações para o E.L.U_ATO_DE_PROTENSÃO e o limites permitidos para 
esta etapa, denominada fase um, podemos analisar as fibras superiores e inferiores de maneira 
separada e determinar o intervalo de força de protensão “N” que atenda as combinações e limites 
pré-estabelecidos acima conforme NBR_6118/14 item: 17.2.4.3.2_a, logo: 
 
 Análise da fibra superior. 
 
Fd= ∑ Ɣ𝒑Ϭ
𝒔
𝑷𝒊,𝒌
+ Ɣ𝒈𝟏Ϭ𝒈𝟏,𝒌
𝒔 ≤ { 𝟏,𝟐𝒇𝒄𝒕𝒎𝒋
−𝟎,𝟕𝒇𝒄𝒌𝒋
 
 
 
 
 
Fd= ∑ 1 𝑥 (0) + 1,0 .
− 𝟎,𝟔𝟓𝟓𝟐𝟓𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 = 
− 𝟎,𝟔𝟓𝟓𝟐𝟓𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
 
− 𝟎,𝟔𝟓𝟓𝟐𝟓𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 < 
− 𝟑,𝟒𝟗𝟖𝟗𝟗𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 Verificação OK!!! 
 
Ao analisar a fibra superior no ato de protensão sabendo que independente da força de 
protensão aplicada na distância ep= Ki as tensões devido à protensão na fibra serão nulas, 
podemos observar que a fibra esta sendo comprimida pela tensão devido às ações de peso 
próprio, que neste caso são inferiores ao limite calculado para a fibra, demonstrando assim que o 
concreto resiste às solicitações de compressão nesta etapa. 
 
 Análise da fibra inferior. 
 
Fd= ∑ Ɣ𝒑Ϭ
𝒊
𝑷𝒊,𝒌
+ Ɣ𝒈𝟏Ϭ𝒈𝟏,𝒌
𝒊≤ { 𝟏,𝟐𝒇𝒄𝒕𝒎𝒋
−𝟎,𝟕𝒇𝒄𝒌𝒋
; 
 
 
 
Fd= ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝑖
𝑃𝑖,𝑘
+ Ɣ𝑔1Ϭ𝑔1,𝑘
𝑖 ≤ 1,2fctmj 
Fd= ∑1,1 x 
−2,3041475x10−4N
cm2
+ 1,0 x 
+1,06591KN
cm2
 ≤ 
0,48849𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 
Fd= 
−2,53456225x10−4N
cm2
+ 
+1,06591KN
cm2
 ≤ 
0,48849𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 
Fd= 
+2,53456225x10−4N
cm2
 ≥ 
+1,06591KN
cm2
 - 
0,48849𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 
Fd= N ≥ 
+0,57742KN
cm2
𝑥 
cm2
+2,53456225x10−4
 
𝐍 ≥ 𝟐. 𝟐𝟕𝟖, 𝟏𝟖𝟒𝟑𝟐𝟗𝐊𝐍 
Se: Ϭ𝑠𝑃𝑖,𝑘= 0, e Se: -0,7.Fckj= 
− 3,49899𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; temos que: 
Se: 1,2. fctmj𝑙𝑖𝑚, = 
0,48849𝐾𝑁
𝑐𝑚2
, e Se: -0,7.Fckj= 
−3,49899𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; temos que: 
Analisando a fibra inferior e admitindo para esta uma tração limite de 1,2fctmj, podemos 
determinar uma força mínima de protensão N ≥ 2.278,184329KN, desta maneira foi possível 
atender o limite de tração para a fibra, entretanto, este valor de “N” não pode ser infinitamente 
maior, ou seja, é preciso determinar uma força N máxima para esta fibra, de maneira que o limite 
de compressão também seja atendido, logo: 
 
Fd= ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝑖
𝑃𝑖,𝑘
+ Ɣ𝑔1Ϭ𝑔1,𝑘
𝑖 ≤ -0,7fckj 
Fd= ∑1,1 x 
−2,3041475x10−4N
cm2
+ 1,0 x 
+1,06591KN
cm2
 ≤ 
−3,49899𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 
Fd= 
−2,53456225x10−4N
cm2
+ 
+1,06591KN
cm2
 ≤ 
−3,49899𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 
Fd= 
−2,53456225x10−4N
cm2
 ≤ 
−1,06591KN
cm2
 
−3,49899𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 
Fd= N ≤ 
−4,5649KN
cm2
𝑥 
cm2
−2,53456225x10−4
 
𝐍 ≤ 𝟏𝟖. 𝟎𝟏𝟎, 𝟔𝟎𝟓𝟏𝟖𝐊𝐍 
 
Analisando a fibra inferior e admitindo para esta uma compressão limite de -0,7fckj, podemos 
determinar uma força máxima de protensão N ≤ 18.010,60518KN, desta maneira foi possível 
atender o limite de compressão da fibra. Uma vez analisado ambos os limites desta fase e de 
suas combinações em função da força de protensão e peso próprio da estrutura, podemos 
observar que é possível delimitar um intervalo possível atribuído à força de protensão “N” 
conforme demonstrado a seguir: 
 
 
 
 
 
VERIFICAÇÃO DA PROTENSÃO NO E.L.S_D-CQP 
 
As combinações do E.L.S_D-CQP podem ser expressas da seguinte forma: 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ 𝐅𝐠𝐢,𝐤 + 𝚿𝟐𝐣𝐅𝐪𝐣,𝐤 ≤ { 𝟎
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
 
É possível observar que na expressão da norma não esta inserida a componente de ações 
devidas a protensão, entretanto, esta inserção pode ser feita de acordo com as considerações do 
item: 13.4.2 Tabela: 13.4 da NBR_6118/14, complementado ainda pela compreensão de que no 
E.L.S as demais ações variáveis acidentais e permanentes de tabuleiro estão atuando na 
estrutura, e que as forças de protensão já sofreram as perdas no tempo infinito, logo podemos 
ajustar a combinação e expressá-la da seguinte forma: 
𝟐. 𝟐𝟕𝟖, 𝟏𝟖𝟒𝟑𝟐𝟗𝐊𝐍 ≤ 𝐍 ≤ 𝟏𝟖. 𝟎𝟏𝟎, 𝟔𝟎𝟓𝟏𝟖𝐊𝐍 
Força mínima e máxima no ato de protensão é de: 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ Ɣ𝑝𝐅𝐏∞,𝐤 + 𝐅𝐠𝐢,𝐤 + 𝚿𝟐𝐣𝐅𝐪𝐣,𝐤 ≤ { 𝟎
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
Ao analisarmos as ações atuantes na combinação acima, podemos observar que as mesmas 
estão relacionadas às forças de protensão máximas da fase dois e as forças correspondentes de 
peso próprio da estrutura, peso próprio de tabuleiro e cargas acidentais, e a parcela de protensão 
não esta definida, apenas foi delimitada em função da constante de “N” analisada por meio das 
tensões superiores e inferiores, logo é preciso ajustar a combinação para este comportamento, 
resultando assim na seguinte combinação: 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫=∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝒊
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒊,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟐𝐣Ϭ
𝒊,𝐪𝐣,𝐤 ; ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝒔
𝐏∞,𝐤 + Ɣ𝑔Ϭ
𝒔,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟐𝐣Ϭ
𝒔,𝐪𝐣,𝐤 ≤ { 𝟎
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
 
As combinações acima ajustadas propõem uma análise do E.L.S em função das combinações 
devido as tensões atuantes nas fibras superiores e inferiores, as quais devem atender os limites 
pré-estabelecidos pela NBR_6118/14 determinados conforme demonstrado a seguir. 
 
 Análise da fibra superior. 
 
 O limite de descompressão não admite tração, permitindo no ponto mais crítico ser nula: 
E.L.S_D ≤ 0 
 O limite de compressão admitida para o concreto em 𝟐𝟖𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de -0,7Fck, logo: 
-0,7.Fck= -0,7x55Mpa= -38,5Mpa = 
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; 
-0,7.Fck= 
−𝟑,𝟖𝟓𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
Ϭ𝒔,𝐠𝐢,𝐤 = Ϭ
𝒔,𝐠𝟏,𝐤+ Ϭ
𝒔,𝐠𝟐,𝐤 
Ϭ𝒔,𝐠𝐢,𝐤 = 
− 0,65525KN
cm2
+ 
− 0,82768KN
cm2
 = 
− 1,48293KN
cm2
 
Ϭ𝒔,𝐠𝐢,𝐤 = 
− 𝟏,𝟒𝟖𝟐𝟗𝟑𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫 = Ɣ𝑝Ϭ
𝒔
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒔,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ2jϬ
𝑠,qj,k ≤ { 𝟎
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
 
 
 
Fd,ser = Ɣ𝑝Ϭ
𝑠
P∞,k
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝑠,gi,k+ Ψ2jϬ
𝑠,qj,k ≤ −0,7. Fck 
Fd,ser = 0,9 x (0) + 1,0 x
− 1,48293KN
cm2
+ 0,3 x
− 0,96563KN
cm2
≤
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 
− 1,772619KN
cm2
≤
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
 Verificação OK!!! 
 
Se: Ψ2j=0,3 ; Se: Ϭ
𝑠
P∞,k= 0 ; Se: Descompressão ≤ 0 ; e Se: -0,7.Fck= 
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; temos que: 
Ao analisar a fibra superior sabendo que independente da força de protensão aplicada na 
distância ep= Ki as tensões devido à protensão na fibra serão nulas, podemos observar que a 
fibra esta sendo comprimida pelas tensões devido às ações de peso próprio, tabuleiro e 
acidentais e que neste caso são inferiores ao limite calculado para a fibra, demonstrando assim 
que o concreto resiste às solicitações de compressão nesta análise. 
 
 Análise da fibra inferior. 
 
 O limite de compressão admitida para o concreto em 𝟐𝟖𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de -0,7Fck, logo: 
-0,7.Fck= -0,7x55Mpa= -38,5Mpa = 
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; 
-0,7.Fck= 
−𝟑,𝟖𝟓𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
 O limite de descompressão não admite tração, permitindo no ponto mais crítico ser nula: 
 
E.L.S_D ≤ 0 
Ϭ𝒊,𝐠𝐢,𝐤 = Ϭ
𝒊,𝐠𝟏,𝐤+ Ϭ
𝒊,𝐠𝟐,𝐤 
Ϭ𝒊,𝐠𝐢,𝐤 = 
1,06591KN
cm2
+ 
1,34641KN
cm2
 = 
+ 2,41232KN
cm2
 
Ϭ𝒊,𝐠𝐢,𝐤 = 
𝟐,𝟒𝟏𝟐𝟑𝟐𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫 = Ɣ𝑝Ϭ
𝒊
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒊,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ2jϬ
𝑖 ,qj,k ≤ { 𝟎
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
Fd,ser = 0,9 x 
−2,3041475x10−4N
cm2
+ 1,0 x 
+2,41231KN
cm2
+ 0,3 x
+1,57081KN
cm2
≤ 0 
Fd,ser =
−2,07373275x10−4N
cm2
+
+2,883553KN
cm2
≤ 0 
Fd,ser = N ≥
−2,883553KN
cm2
 𝑥 
cm2
−2,07373275x10−4
 
 
N ≥ 13.905,13315KN 
 
Analisando a fibra inferior e admitindo para E.L.S_D zero tração, podemos determinar uma 
força mínima de protensão N ≥ 13.905,13315KN, desta maneira foi possível atender o limite de 
descompressão para a fibra, entretanto, este valor de “N” não pode ser infinitamente maior, ou 
seja, é preciso determinar uma força “N” máxima para esta fibra de maneira que o limite de 
compressão também seja atendido, logo: 
 
 
 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫 = Ɣ𝑝Ϭ
𝒊
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒊,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ2jϬ
𝑖 ,qj,k ≤ { 𝟎
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
Fd,ser = 0,9 x 
−2,3041475x10−4N
cm2
+ 1,0 x 
+2,41231KN
cm2
+ 0,3 x
+1,57081KN
cm2
≤ −0,7fck 
Fd,ser =
−2,07373275x10−4N
cm2
+
+2,883553KN
cm2
≤
− 3,85KN
cm2
 
Fd,ser =
−2,07373275x10−4N
cm2
≤
− 3,85KN
cm2
 
−2,883553KN
cm2
 
Fd,ser = N ≥
−6,733553KN
cm2
 𝑥 
cm2
−2,07373275x10−4
 
 
N ≤ 32.470,68842KN 
 
Analisando a fibra inferior e admitindo para esta uma compressão limite de -0,7fck, podemos 
determinar uma força máxima de protensão N ≤ 32.470,68842KN, desta maneira foi possível 
atender o limite de compressão da fibra. Uma vez analisado ambos os limites desta fase e de 
suas combinações em função da força de protensão, peso próprio da estrutura, peso próprio do 
tabuleiro e cargas acidentais, podemos observar que é possível delimitar um intervalo possível 
atribuído à força de protensão “N” conforme demonstrado a seguir: 
 
 
 
 
VERIFICAÇÃO DA PROTENSÃO NO E.L.S_F-CF 
 
As combinações do E.L.S_F-CF podem ser expressas da seguinte forma: 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ 𝐅𝐠𝟏,𝐤 + 𝚿𝟏𝐅𝐪𝟏,𝐤 + ∑𝚿𝟐𝐣𝐅𝐪𝐣,𝐤 ≤ { 𝛂.𝐟𝐜𝐭𝐤
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
 
É possível observar que na expressão da norma não esta inserida a componente de ações 
devidas a protensão, entretanto, esta inserção pode ser feita de acordo com as considerações do 
item: 13.4.2 Tabela: 13.4 da NBR_6118/14, complementado ainda pela compreensão de que no 
E.L.S as demais ações variáveis acidentais e permanentes de tabuleiro estão atuando na 
estrutura, e que as forças de protensão já sofreramas perdas no tempo infinito, logo podemos 
ajustar a combinação e expressá-la da seguinte forma: 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ 𝐅𝐏∞,𝐤 + 𝐅𝐠𝟏,𝐤 + 𝚿𝟏𝐅𝐪𝟏,𝐤 + ∑𝚿𝟐𝐣𝐅𝐪𝐣,𝐤 ≤ { 𝛂.𝐟𝐜𝐭𝐤
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
 
Compreendendo que a estrutura não possui ações variáveis secundárias é possível simplificar 
a expressão acima da seguinte forma: 
𝟏𝟑. 𝟗𝟎𝟓, 𝟏𝟑𝟑𝟏𝟓𝐊𝐍 ≤ 𝐍 ≤ 𝟑𝟐. 𝟒𝟕𝟎, 𝟔𝟖𝟖𝟒𝟐𝐊𝐍 
Força mínima e máxima no E.L.S_D-CQP é de: 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ 𝐅𝐏∞,𝐤 + 𝐅𝐠𝟏,𝐤 + 𝚿𝟏𝐅𝐪𝟏,𝐤 ≤ { 𝛂.𝐟𝐜𝐭𝐤
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
Ao analisarmos as ações atuantes na combinação acima, podemos observar que as mesmas 
estão relacionadas às forças de protensão máximas da fase dois e as forças correspondentes de 
peso próprio da estrutura, peso próprio de tabuleiro e cargas acidentais, e a parcela de protensão 
não esta definida, apenas foi delimitada em função da constante de “N” analisada por meio das 
tensões superiores e inferiores, logo é preciso ajustar a combinação para este comportamento, 
resultando assim na seguinte combinação: 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝒊
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒊,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟏Ϭ
𝒊,𝐪𝟏,𝐤 ; ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝒔
𝐏∞,𝐤 + Ɣ𝑔Ϭ
𝒔,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟏Ϭ
𝒔,𝐪𝟏,𝐤 ≤ { 𝛂.𝐟𝐜𝐭𝐤
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
As combinações acima ajustadas propõem uma análise do E.L.S em função das combinações 
devido as tensões atuantes nas fibras superiores e inferiores, as quais devem atender os limites 
pré-estabelecidos pela NBR_6118/14 determinados conforme demonstrado a seguir. 
 
 Análise da fibra superior. 
 
 O limite de tração admitida para o concreto em 𝟐𝟖𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de α.fctk, logo: 
α.fctk= 𝛼 𝑓𝑐𝑡𝑘𝑖𝑛𝑓 = 1,2 𝑥 0,7 𝑥 𝑓𝑐𝑡𝑚 = Mpa 
α.fctk= 1,2 𝑥 0,7 𝑥 [2,12 x ln 𝑥 (1 + 0,11 𝑥 55𝑀𝑃𝑎)] = 3,47795MPa 
α.fctk= 
+ 𝟎,𝟑𝟒𝟕𝟕𝟗𝟓𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
 O limite de compressão admitida para o concreto em 𝟐𝟖𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de -0,7Fck, logo: 
-0,7.Fck= -0,7x55Mpa= -38,5Mpa = 
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; 
-0,7.Fck= 
−𝟑,𝟖𝟓𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
Ϭ𝒔,𝐠𝐢,𝐤 = Ϭ
𝒔,𝐠𝟏,𝐤+ Ϭ
𝒔,𝐠𝟐,𝐤 
Ϭ𝒔,𝐠𝐢,𝐤 = 
− 0,65525KN
cm2
+ 
− 0,82768KN
cm2
 = 
− 1,48293KN
cm2
 
Ϭ𝒔,𝐠𝐢,𝐤 = 
− 𝟏,𝟒𝟖𝟐𝟗𝟑𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= Ɣ𝑝Ϭ
𝒔
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒔,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟏Ϭ
𝒔,𝐪𝟏,𝐤 ≤ { 𝛂.𝐟𝐜𝐭𝐤
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
 
 
 
Fd,ser= ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝑠
P∞,k
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝑠,gi,k + Ψ1Ϭ
𝑠,q1,k ≤ −0,7fck 
Fd,ser= 0,9 x (0) + 1,0 x 
− 1,48293KN
cm2
+ 0,5 x
− 0,96563KN
cm2
≤ −0,7fck 
− 1,965745KN
cm2
≤
−3,85KN
cm2
 Verificação OK!!! 
Se: Ψ1=0,5 ; Se: Ϭ
𝑠
P∞,k= 0 ; Se: α. fctk = ≤ 
0,347795KN
cm2
 ; e Se: -0,7.Fck= 
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; temos que: 
Ao analisar a fibra superior sabendo que independente da força de protensão aplicada na 
distância ep= Ki as tensões devido à protensão na fibra serão nulas, podemos observar que a 
fibra esta sendo comprimida pelas tensões devido às ações de peso próprio, tabuleiro e 
acidentais e que neste caso são inferiores ao limite calculado para a fibra, demonstrando assim 
que o concreto resiste às solicitações de compressão nesta etapa. 
 
 Análise da fibra inferior. 
 
 O limite de tração admitida para o concreto em 𝟐𝟖𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de α.fctk, logo: 
α.fctk= 𝛼 𝑓𝑐𝑡𝑘𝑖𝑛𝑓 = 1,2 𝑥 0,7 𝑥 𝑓𝑐𝑡𝑚 = Mpa 
α.fctk= 1,2 𝑥 0,7 𝑥 [2,12 x ln 𝑥 (1 + 0,11 𝑥 55𝑀𝑃𝑎)] = 3,47795MPa 
α.fctk= 
+ 𝟎,𝟑𝟒𝟕𝟕𝟗𝟓𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
 O limite de compressão admitida para o concreto em 𝟐𝟖𝐝𝐢𝐚𝐬 nesta etapa é de -0,7Fck, logo: 
-0,7.Fck= -0,7x55Mpa= -38,5Mpa = 
−3,85𝐾𝑁
𝑐𝑚2
; 
-0,7.Fck= 
−𝟑,𝟖𝟓𝑲𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
Ϭ𝒊,𝐠𝐢,𝐤 = Ϭ
𝒊,𝐠𝟏,𝐤+ Ϭ
𝒊,𝐠𝟐,𝐤 
Ϭ𝒊,𝐠𝐢,𝐤 = 
1,06591KN
cm2
+ 
1,34641KN
cm2
 = 
+ 2,41232KN
cm2
 
Ϭ𝒊,𝐠𝐢,𝐤 = 
𝟐,𝟒𝟏𝟐𝟑𝟐𝐊𝐍
𝐜𝐦𝟐
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝒊
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒊,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟏Ϭ
𝒊,𝐪𝟏,𝐤 ≤ { 𝛂.𝐟𝐜𝐭𝐤
−𝟎,𝟕𝐟𝐜𝐤
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝒊
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒊,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟏Ϭ
𝒊,𝐪𝟏,𝐤 ≤ α. fctk – Limite de Tração 
Fd,ser = 0,9 x 
−2,3041475x10−4N
cm2
+ 1,0 x 
+2,41231KN
cm2
+ 0,5 x
+1,57081KN
cm2
≤
+0,347795KN
cm2
 
Fd,ser =
−2,07373275x10−4N
cm2
+
+3,197715KN
cm2
≤
+0,347795KN
cm2
 
Fd,ser =
−2,07373275x10−4N
cm2
≤
+0,347795KN
cm2
 
−3,197715KN
cm2
 
Fd,ser = N ≥
−2,84992KN
cm2
 𝑥 
cm2
−2,07373275x10−4
 
 
N ≥ 13.742,94735KN 
Analisando a fibra inferior e admitindo para E.L.S_F uma tração ≤ α. fctk, podemos determinar 
uma força mínima de protensão N ≥ 13.742,94735KN, desta maneira foi possível atender o limite 
de tração para a fibra, entretanto, este valor de “N” não pode ser infinitamente maior, ou seja, é 
preciso determinar uma força “N” máxima para esta fibra, de maneira que o limite de compressão 
também seja atendido, logo: 
 
𝐅𝐝,𝐬𝐞𝐫= ∑ Ɣ𝑝Ϭ
𝒊
𝐏∞,𝐤
+ Ɣ𝑔Ϭ
𝒊,𝐠𝐢,𝐤+ Ψ𝟏Ϭ
𝒊,𝐪𝟏,𝐤 ≤ α. fctk – Limite de Compressão 
Fd,ser = 0,9 x 
−2,3041475x10−4N
cm2
+ 1,0 x 
+2,41231KN
cm2
+ 0,5 x
+1,57081KN
cm2
≤
−3,85KN
cm2
 
Fd,ser =
−2,07373275x10−4N
cm2
+
+3,197715KN
cm2
≤
−3,85KN
cm2
 
Fd,ser =
−2,07373275x10−4N
cm2
≤
−3,85KN
cm2
 
−3,197715KN
cm2
 
Fd,ser = N ≥
−7,047715KN
cm2
 𝑥 
cm2
−2,07373275x10−4
 
 
N ≤ 33.985,64738KN 
Analisando a fibra inferior e admitindo para esta uma compressão limite de -0,7fck, podemos 
determinar uma força máxima de protensão N ≤ 33.985,64738KN, desta maneira foi possível 
atender o limite de compressão da fibra. Uma vez analisado ambos os limites desta fase e de 
suas combinações em função da força de protensão, peso próprio da estrutura, peso próprio do 
tabuleiro e cargas acidentais, podemos observar que é possível delimitar um intervalo possível 
atribuído à força de protensão “N” conforme demonstrado a seguir: 
 
 
 
 
ANÁLISE PRELIMINAR DOS RESULTADOS NO E.L.U e E.L.S 
 
Ao analisar as combinações no E.L.U e E.L.S foi possível determinar um intervalo cujo valor de 
protensão atenda cada limite pré-estabelecido, conforme demonstrado abaixo. 
 
 
 
 
 
Analisando os intervalos de cada combinação e considerando que a viga protendida sofrerá 
perdas de protensão da fase um para a fase dois no tempo infinito na ordem de 21%, podemos 
dizer que a força mínima de protensão deve atender ambas as fases, já considerando as perdas, 
desta forma podemos dizer que: 
 
𝟏𝟑. 𝟕𝟒𝟐, 𝟗𝟒𝟕𝟑𝟓𝐊𝐍 ≤ 𝐍 ≤ 𝟑𝟑. 𝟗𝟖𝟓, 𝟔𝟒𝟕𝟑𝟖𝐊𝐍 
Força mínima e máxima no E.L.S_F-CF é de: 
 
E.L.U_Ato_Protensão: 𝟐. 𝟐𝟕𝟖, 𝟏𝟗𝐊𝐍 ≤ 𝐍 ≤ 𝟏𝟖. 𝟎𝟏𝟎, 𝟔𝟎𝐊𝐍 
E.L.S_D-CQP: 𝟏𝟑. 𝟗𝟎𝟓, 𝟏𝟒𝐊𝐍 ≤ 𝐍 ≤ 𝟑𝟐. 𝟒𝟕𝟎, 𝟔𝟖𝐊𝐍 
E.L.S_F-CF: 𝟏𝟑. 𝟕𝟒𝟐, 𝟗𝟓𝐊𝐍 ≤ 𝐍 ≤ 𝟑𝟑. 𝟗𝟖𝟓, 𝟔𝟒𝐊𝐍 
A força Nt∞= Menor força no tempo infinito que atenda ambas as combinações do E.L.S, logo: 
 
“Fase 2” 13.905,14KN ≤ 𝐍𝐭 ≤ 17.183,24KN “Fase 1” 
 
A força N𝑡,0= 
Nt∞ 
Perdas
 = 
13.905,14KN 
0,79
 = 17.601,44KN 
 
“Fase 1” 17.601,44KN ≤ 𝐍𝐭 ≤ 18.010,60KN 
“Fase 2” 13.905,14KN ≤ 𝐍𝐭 ≤ 32.471,68KN