DETERMINAÇÃO DE DESLOCAMENTOS GENERALIZADOS DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

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UNIVERSIDADE DO PORTO 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DE DESLOCAMENTOS 
GENERALIZADOS DE ESTRUTURAS 
HIPERESTÁTICAS 
 
 
 
Rui Carneiro de Barros 
Prof. Associado Agregado do DEC da FEUP 
 
(Agregação; Ph.D.; M.Sc.; Engº Civil) 
 
 
 
Texto de Apoio Científico, Técnico e Pedagógico à disciplina 
Teoria das Estruturas 1 
 
 
 
(versão ainda provisória das páginas 17-22, a corrigir e concluir) 
 
 
 
 
 
 
Porto e FEUP, 23 de Outubro de 2003 
Teoria de Estruturas 1 RCB 
DEC-FEUP 
DETERMINAÇÃO DE DESLOCAMENTOS GENERALIZADOS DE 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
 
1. Revisão introdutória para estruturas isostáticas 
 
Sabe-se da Resistência dos Materiais (RM) que a determinação de deslocamentos 
generalizados em barras prismáticas e em sistemas isostáticos de barras prismáticas é 
realizada aplicando o designado Método da Carga Unitária ou Virtual (v) em conjunção 
com o Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV). Assim, na ausência de assentamentos de 
apoio, o TV externo realizado pela carga virtual unitária através do deslocamento 
generalizado (procurado ou pretendido) real (r) é igual ao TV interno realizado pelos 
esforços generalizados virtuais (resultantes da aplicação da acção virtual) através das 
deformações ou distorções reais. 
Genéricamente: 
{ {
{ {
∫














+
+++
===
Estrutura
virtual
t
torçãodereal
distorção
t
virtual
real
extensão
virtual
xTporreal
distorção
rvirtual
real
curvatura
real
gen
virtual
ext dx
xM
GJ
xM
xN
EA
xN
xT
GA
xT
xM
EI
xM
WdxW
321
321
321321
321
321
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
)(
intδδ 
 
Se existirem assentamentos de apoio, o TV externo é realizado não só pela carga virtual 
unitária através do deslocamento generalizado real (procurado ou pretendido), mas também 
pelas reacções generalizadas virtuais virtuaisR (em equilíbrio com a carga virtual unitária) 
através dos assentamentos generalizados (translações e rotações) reais ∆ dos seus 
pontos de aplicação (ou planos de acção). 
reais
 
Neste caso genericamente { { { { int
1 WRdxW
Apoios
apoiosdosreais
tosassentamen
r
virtuais
reacções
v
real
gen
virtual
ext δδ =∆+= ∑ sendo o 
TV interno intWδ expresso por: 
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{ {∫










+++=
Estrutura virtual
t
torçãodereal
distorção
t
virtual
real
extensão
virtual
xTporreal
distorção
rvirtual
real
curvatura
dxxM
GJ
xM
xN
EA
xN
xT
GA
xT
xM
EI
xM
W
321
321321321
321
321
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
intδ 
 
Nas expressões anteriores as leis dos esforços internos reais são estáticamente 
determináveis (e assim determinadas). 
 
2. Formulação inicial para estruturas hiperestáticas 
 
A mesma metodologia é aplicável à determinação de deslocamentos generalizados de 
estruturas hiperestáticas de qualquer grau de hiperestaticidade (gh). Neste caso nas 
expressões anteriores as leis dos esforços internos reais e virtuais não são estáticamente 
determináveis apenas pelas equações universais da Estática (EUE), mas adicionalmente são 
necessárias gh equações de compatibilidade que permitem determinar as gh incógnitas 
hiperestáticas da estrutura hiperestática quer sob as acções reais quer sob a carga unitária 
(generalizada) virtual. Genéricamente: 
 
{ { { {
{ {
( )
{ {
∫
∑


















 ∆+++
+++
==
=∆+=
Estrutura
icaHiperestát
navirtual
icaHiperestátdareal
térmicacurvaturaicaHiperestát
navirtual
icaHiperestátdareal
térmicaextensão
icaHiperestát
navirtual
t
icaHiperestátda
torçãodereal
distorção
t
icaHiperestát
navirtual
icaHiperestátda
realextensãoicaHiperestát
navirtual
icaHiperestátda
xTporreal
distorção
r
icaHiperestát
navirtual
icaHiperestátda
realcurvatura
Apoios
apoiosdosreais
tosassentamen
r
virtuais
reacções
v
real
gen
virtual
ext
dx
xM
h
t
xNtxM
GJ
xM
xN
EA
xN
xT
GA
xT
xM
EI
xM
W
RdxW
321
321
321
321
321321
321
321
)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
0
)(
int
αα
δ
δ
 
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No que se pretende provar e generalizar, toma-se em consideração que para estruturas 
hiperestáticas homogéneas (não-mistas) reticuladas que não sejam constituídas por barras 
curtas (consolas) nem por barras de grande altura seccional, é habitual desprezar as 
deformabilidades por esforço axial e por esforço transverso, porque as referidas parcelas 
são frequentemente infinitésimos de ordem superior à parcela correspondente à 
deformabilidade por flexão. 
 
Assim, e também simplificadamente na ausência de assentamentos de apoio e de acções 
térmicas uniformes e diferenciais, sem perda de generalidade pode-se escrever a seguinte 
equação para o cálculo do deslocamento generalizado da estrutura hiperestática sob acções 
forças (F – forças generalizadas): 
 
{ { ∫∫ ====
Estrutura
hipervirtualhiperreal
Estrutura
icaHiperestát
navirtual
icaHiperestátda
realcurvatura
real
gen
virtual
ext dxEI
MM
dxxM
EI
xM
WdxW ,,int )(
)(
1
321
321
δδ 
 
O problema reside no facto de quer para as acções reais (neste caso demonstrativo: forças 
generalizadas ou genéricamente acções F) ou R quer para a acção carga (generalizada) 
virtual unitária ou V, ser aparentemente necessário resolver a estrutura hiperestática duas 
vezes – para as acções reais e para acção virtual da carga unitária – e obter os diagramas 
correspondentes que neste caso são devidos à acção F e )(xM )(xM , portanto e . FRM VM
 
 
3. Metodologia prática para o cálculo de deslocamentos devidos a acções forças (F) 
 
Como exemplo considere-se a estrutura apenas de gh=1. Neste caso: 
[ ]
[ ]
)4(
110)2(110,,
)3(
110)1(110,,
 ′′+′=+==
 ′′+′=+==
XMMXMMMM
XMMXMMMM
hVhipervirtual
hRhiperreal
 
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Note-se que as expressões (1) e (3) permitem determinar o mesmo valor dos momentos 
reais finais da estrutura hiperestática sob acções reais (forças), mas correspondem a dois 
sistemas base distintos para a sua resolução, portanto com dois valores distintos das 
incógnitas (multiplicadores, escaladores) hiperestáticas e 1X
′
1X . 
De igual modo, as expressões (2) e (4) permitem determinar o mesmo valor dos momentos 
virtuais da estrutura hiperestática sob acção carga unitária virtual, mas correspondem a dois 
sistemas base distintos para a sua resolução, portanto com dois valores distintos das 
incógnitas (multiplicadores, escaladores) hiperestáticas 1X e 
′
1X . 
 
No entanto o sistema base correspondente à determinação dos momentos reais por (1) é o 
mesmo sistema base correspondente à determinação dos momentos virtuais por (2), porque 
mesmo 1M . De igual modo, sistema base correspondente à determinação dos momentos 
reais por (3) é o mesmo sistema base correspondente à determinação dos momentos virtuais 
por (4), porque mesmo 
′
1M . 
 
Considere-se agora os integrais do 2º membro correspondentes ao produto das expressões 
(1) e (2) dos momentos reais pelos momentos virtuais da estrutura hiperestática, calculada 
pelo mesmo sistema base (correspondente aos 1M ). Assim: 
 ( ) ( ) 1121100,111100,,,
,
XXMMMMMXMXMMMMMM hR
M
hRhVhR
hR
++=++=
4434421
 
 ( )
( ) ∫∫∫
∫∫∫
=++=
++=
≡≡+Estrutura
isovirtualehiperreal
deobtençãonaéisto
basesistemamesmo
isoVhiperR
idadecompatibildeequaçãopelaX
EstruturaEstrutura
isoVhiperR
EstruturaEstrutura
hR
Estrutura
hVhR
dx
EI
MM
Xdx
EI
XMMM
dx
EI
MM
dx
EI
XXMMM
dx
EI
MM
dx
EI
MM
44 844 76
44444 344444 21
,
,
,,
1
,0
1
2
110,,
11
2
110
0,,,
111110 δδδ
 
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No caso de estruturas hiperestáticas de gh=2, os momentos das acções reais aplicadas na 
estrutura hiperestática e os momentos da acção virtual (carga unitária generalizada) 
aplicada na estrutura hiperestática, e relativos à utilização do mesmo sistema base de 
resolução da estrutura hiperestática (mesmos 1M e 2M ), são expressos por: 
( )( )
)6(22110,,
)5(22110,,
XMXMMMM
XMXMMMM
hVhipervirtual
hRhiperreal
++==
++==
 
( )( )( )( ) ( ) 2222112201221121100, 2211221100,
22110,,,
XXMXMMMMXXMMXMMMMM
XMXMXMXMMMM
XMXMMMMM
hR
hR
hRhipervirtualhiperreal
++++++=
=++++=
=++=
 
 ( )
( )
( ) ( )
∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
=
++++++
+=+++
++++=
≡≡++≡≡++
Estrutura
isovirtualehiperreal
deobtençãonaéisto
basesistemamesmo
isoVhiperR
idadecompatibildeequaçãopelaXX
Estrutura
idadecompatibildeequaçãopelaXX
Estrutura
Estrutura
isoVhiperR
Estrutura
EstruturaEstrutura
hR
Estrutura
hVhR
dx
EI
MM
Xdx
EI
XMXMMMM
Xdx
EI
XMMXMMM
dx
EI
MM
dx
EI
XXMXMMMM
dx
EI
XXMMXMMM
dx
EI
MM
dx
EI
MM
44 844 76
4444444 34444444 214444444 34444444 21
,
,
,,
2
,0
2
2
211220
1
,0
2211
2
110
,,22
2
211220
12211
2
110
0,,,
222212120121211110 δδδδδδδδ
 
Note-se que as equações de compatibilidade anteriormente utilizadas para simplificação dos 
integrais correspondem apenas à inclusão dos termos flexionais no cálculo dos 
deslocamentos generalizados iji δδ e0 , satisfazendo as premissas que foram consideradas. 
Mas teriam o mesmo aspecto no caso dos outros termos de deformabilidade axial e por 
esforço transverso serem considerados na determinação dos iji δδ e0 . 
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Isto é, as simplificações e conclusões não são afectadas pelo maior número de termos 
utilizados no cálculo mais rigoroso dos deslocamentos generalizados contidos nas equações 
de compatibilidade. 
 
Mas a unicidade de soluções da Teoria da Elasticidade assegura que para estruturas 
elásticas os esforços reais finais da estrutura hiperestática são únicos, e como tal 
independentes da escolha do sistema base. 
 
Assim na expressão anterior, os diagramas dos momentos das acções reais poderão ser 
obtidos pelo sistema base correspondente à utilização da expressão dos momentos reais 
finais com subíndice (3) e não (1), no caso de estruturas de gh=1; ou qualquer outra 
expressão similar à expressão de subíndice (5), no caso de estruturas de gh=2. 
E assim sucessivamente para estruturas hiperestáticas de superiores graus de 
hiperestaticidade. 
Portanto com maior generalidade pode-se afirmar categóricamente: 
 ( ) ( )∫∫∫ ==
Estrutura
isoVhiper
F
R
virtuaisoureais
momentososcalcularparautilizado
basesistemaosejaqueQualquer
Estrutura
isoVhiperR
Estrutura
hipervirtualhiperreal dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
MM
4444 34444 21
,,,,
 
Estas considerações simples e lógicas podem ainda ser aumentadas na sua generalidade, 
atendendo à comutatividade da multiplicação de funções. Assim, face à independência do 
resultado da posição hierárquica das funções na expressão, é frequentemente mais 
conveniente aplicar o sistema complexo de acções reais (F – forças generalizadas) no 
sistema base isostático e aplicar a carga unitária virtual na estrutura hiperestática. A 
verdadeira justificação desta ‘comutatividade’ no resultado, reside no facto do trabalho 
virtual externo correspondente ser sempre o mesmo e expresso genéricamente por 
∑=
k
kkhiperext FW δδ
k
F sendo as forças exteriores aplicadas em pontos k da estrutura 
hiperestática e 
kF
δ os deslocamentos dos seus pontos de aplicação projectados na direcção 
da respectiva força. 
( )
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Com total generalidade as expressões anteriores assumem então os seguintes aspectos: 
( ) ( ) ( ) ( )
44444444444 344444444444 21
44444444444 344444444444 21
virtuaisoureaismomentososcalcularparautilizadobasesistemaosejaqueQualquer
Estrutura
iso
F
RhiperV
Estrutura
isoVhiper
F
R
virtuaisoureaismomentososcalcularparautilizadobasesistemaosejaqueQualquer
Estrutura Estrutura
isorealhipervirtualisovirtualhiperreal
Estrutura
hipervirtualhiperreal
dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
MM
dx
EI
MM
∫∫
∫ ∫∫
==
== ,,,,,,
 
O mesmo tipo de considerações, realizadas para a determinação das contribuições 
flexionais no cálculo dos deslocamentos, podem ser generalizadas para as contribuições das 
deformabilidades axiais e por esforço transverso. (Conforme referido anteriormente, tal 
facto corresponde à determinação mais rigorosa dos deslocamentos generalizados iji δδ e0 
contidos nas equações de compatibilidade). 
 
Assim, se em determinada estrutura hiperestática sob acções forças (F - forças 
generalizadas) fosse preciso calcular o deslocamento generalizado (devido a F) incluindo a 
plenitude das deformabilidades das distintas barras prismáticas constituintes da estrutura, 
utilizar-se-ia qualquer das versões da seguinte expressão mais geral: 
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{ {
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫
∫



 ++=



 ++===
Estrutura
iso
F
RhiperV
r
iso
F
RhiperViso
F
RhiperV
Estrutura
isoVhiper
F
R
r
isoVhiper
F
RisoVhiper
F
R
real
F
gen
virtual
ext
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
WxW int1 δδδ
Particularizando a expressão anterior ao cálculo do deslocamento generalizado em 
determinada direcção e ponto m duma estrutura hiperestática sujeita a acções forças (F), 
deve-se considerar a carga generalizada unitária virtual a actuar em m na direcção desejada 
e determinar o correspondente diagrama de momentos virtuais mM no sistema base 
(isostático), bem como (se necessário) mT e mN . 
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Ou alternativamente, aplicar a carga virtual unitária no ponto m da estrutura hiperestática e 
as acções F em qualquer sistema base isostático que seja possível considerar para a referida 
estrutura hiperestática. Assim: 
{ {
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫
∫



 ++=



 ++=
Estrutura
iso
F
Rhiperm
r
iso
F
Rhipermiso
F
Rhiperm
Estrutura
isomhiper
F
R
r
isomhiper
F
Risomhiper
F
R
real
F
m
virtual
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
xδ1
 
Recorde-se finalmente que a determinação dos momentos ( )hiperFRM apenas devidos às 
acções forças (cargas) - simbólicamente com superscrito F - sobre a estrutura hiperestática, 
pressupõe uma anterior formalização de gh equações de compatibilidade expressas em 
notação indicial (notação dos índices mudos ou de Einstein, segundo a qual a ocorrência de 
dois índices iguais no mesmo monómio equivale a somatório relativamente ao índice 
repetido; neste caso o índice j) por 00 =+ ijij X δδ . 
 
Como no caso actual as acções são do tipo F (forças) o termo 0iδ é efectivamente 
interpretável como iFδ , isto é, físico-mecânico-estruturalmente significa o deslocamento 
generalizado do sistema base sujeito às acções Fno ponto (e direcção) de actuação da 
incógnita hiperestática , dado por: iX
∫  ++== Estrutura i
F
iso
i
r
F
iso
i
F
iso
iFi dxNEA
N
T
GA
T
M
EI
Mδδ 0 
 
Após resolução do sistema de gh equações a gh incógnitas hiperestáticas , a 
determinação dos 
F
jX( )hiperFRM é realizada pelo Princípio de Sobreposição dos Efeitos (PSE) 
através da expressão indicial ( ) FjjhiperFR XMMM += 0 que efectivamente significa: 
( ) ∑∑ == +=+=
gh
j
F
jj
F
basesistema
gh
j
F
jj
F
isohiper
F
R XMMXMMM
11
 
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 4. Metodologia prática para o cálculo de deslocamentos devidos a acções térmicas (T) 
e a assentamentos generalizados (translações e rotações) de apoio (A) 
 
Este caso pressupõe a acção independente (e não simultânea) das acções térmicas (T) e de 
assentamentos de apoio (A) sobre a estrutura hiperestática. A estrutura hiperestática é então 
suposta sem cargas, isto é, sem acções forças ou F. 
A estrutura hiperestática com acções independentes T e A deve ser resolvida através dos 
sistemas de equações algébricas lineares expressos independentemente por 
e , nos quais 
0=+ iTTjij X δδ
0=+ iAAjij X δδ iTδ físico-mecânico-estruturalmente significa o deslocamento 
generalizado do sistema base sujeito às acções T no ponto (e direcção) de actuação da 
incógnita hiperestática , e iX iAδ físico-mecânico-estruturalmente significa o deslocamento 
generalizado do sistema base sujeito às acções A no ponto (e direcção) de actuação da 
incógnita hiperestática . iX
Estes deslocamentos generalizados iTδ e iAδ são respectivamente calculados por: 
( )∫   ∆+= Estrutura iiiT dxMhtNt ααδ 0 
( )∑ ∆−=
Apoios
RiViA Rδ 
Este último deslocamento generalizado é óbviamente obtido por aplicação do TTV à 
determinação do iAδ através de: ( ) 01 int ==∆+= ∑ WRxW
Apoios
RiViAext δδδ . Note-se que 
( )iVR é o conjunto de reacções virtuais dos apoios no sistema base, correspondente à 
actuação da carga unitária virtual de ordem i no ponto (e direcção) de actuação da incógnita 
hiperestática . iX
 
Após obtenção das soluções independentes e , com elas determinam-se os 
momentos reais finais na estrutura hiperestática devidos respectivamente às acções 
independentes T e A, aplicando a sobreposição inerente ao PSE, através de: 
T
jX
A
jX
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( )
( ) ∑∑
∑∑
==
==
=+=
=+=
gh
j
A
jj
gh
j
A
jj
A
isohiper
A
R
gh
j
T
jj
gh
j
T
jj
T
isohiper
T
R
XMXMMM
XMXMMM
11
11
 
De igual modo se obteriam os esforços tranversos ( )hiperTRT e ( )hiperART e os esforços axiais 
( )hiperTRN e ( )hiperARN instalados na estrutura hiperestática pelas acções térmicas (T) e 
assentamentos de apoio (A). 
 
Designe-se novamente por mM , mT e mN respectivamente os (diagramas de) momentos 
virtuais, esforços tranversos virtuais e esforços axiais virtuais no sistema base (isostático), 
associados à aplicação da carga generalizada unitária virtual em m na direcção desejada em 
qualquer sistema base (isostático) que seja possível considerar para a referida estrutura 
hiperestática. 
 
Finalmente a determinação da componente do deslocamento , em determinada direcção 
no ponto m da estrutura hiperestática, devido exclusivamente às acções térmicas (T) é 
obtida por: 
T
mδ
{ {
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )isomT
Estrutura
isomhiper
T
R
r
isomhiper
T
Risomhiper
T
R
páginanacomoESQUECERNÃO
memunitáriaacaapliqueseonde
isostáticobasesistemaqualquerem
mT
Estrutura
mhiper
T
R
r
mhiper
T
Rmhiper
T
R
real
T
m
virtual
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
x
δ
δδ
+


 ++=
+


 ++=
∫
∫
44444 344444 21
)10(
arg
1
 
Conforme visto anteriormente o deslocamento ( )isomTδ é calculado por: 
 
( ) ( )∫   ∆+= Estrutura mmisomT dxMhtNt ααδ 0 
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De igual modo, a determinação da componente do deslocamento , em determinada 
direcção no ponto m da estrutura hiperestática, devido exclusivamente às acções 
assentamentos de apoios (A) é obtida por: 
A
mδ
{ {
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )isomA
Estrutura
isomhiper
A
R
r
isomhiper
A
Risomhiper
A
R
páginanacomoESQUECERNÃO
memunitáriaacaapliqueseonde
isostáticobasesistemaqualquerem
mA
Estrutura
mhiper
A
R
r
mhiper
A
Rmhiper
A
R
real
A
m
virtual
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
dx
EA
NN
GA
TT
EI
MM
x
δ
δδ
+


 ++=
+


 ++=
∫
∫
44444 344444 21
)10(
arg
1
 
Conforme visto anteriormente o deslocamento ( )isomAδ é calculado por: 
 
( ) ( )∑ ∆−=
Apoios
RmVisomA Rδ 
 
Novamente estas expressões podem ser simplificadas se as deformabilidades por esforço 
axial e transverso forem consideradas desprezáveis, isto é, se as estruturas forem apenas 
consideradas flexíveis (e não axialmente e transversalmente deformáveis, por rigidez axial 
EA e transversa GAr muito maiores que rigidez flexional EI ). 
 
 
5. Deslocamentos na estrutura hiperestática devidos a acções forças generalizadas (F), 
acções térmicas (T) e assentamentos generalizados (translações, rotações) de apoio (A) 
 
Após explicitação do cálculo de deslocamentos realizada nos parágrafos anteriores para as 
diversas acções independentes (e não necessáriamente simultâneas) F T e A, o 
deslocamento generalizado num qualquer ponto m duma estrutura hiperestática com os três 
tipos de acções mencionadas é dado por: 
A
m
T
m
F
m
total
m δδδδ ++= 
 2003 – Prof. Rui Carneiro de Barros 12
Teoria de Estruturas 1 RCB 
DEC-FEUP 
6. Sistematização do cálculo de deslocamentos na estrutura hiperestática devidos a 
acções forças generalizadas (F), acções térmicas (T) e assentamentos generalizados 
(translações, rotações) de apoio (A) 
 
Conforme referido o procedimento anterior (parágrafos §3 e §4) pressupõe actuação 
independente e não simultânea dos 3 referidos tipos de acções. Todavia quando estas 
acções independentes ocorrem simultâneamente, das expressões anteriores pode-se 
observar que é válido o seguinte resultado: 
{ { {
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )isomAisomT
Estrutura isomhiper
A
R
T
R
r
isomhiper
A
R
T
Risomhiper
A
R
T
R
iso
F
Rhiperm
r
iso
F
Rhipermiso
F
Rhiperm
isomAisomT
Estrutura isomhiper
A
R
T
R
F
R
r
isomhiper
A
R
T
R
F
Risomhiper
A
R
T
R
F
R
real
A
m
T
m
F
m
virtualreal
total
m
virtual
dx
EA
NNN
GA
TTT
EI
MMM
EA
NN
GA
TT
EI
MM
dx
EA
NNNN
GA
TTTT
EI
MMMM
xx
δδ
δδ
δδδδ
++
+










++++++
+++
=
++










+++
++++++
=
=++=
∫
∫
44 344 21
11
 
 
Novamente se renova a necessidade do não-esquecimento dos termos ( ) ( )isomAisomT δδ + 
calculáveis conforme anteriormente indicado. 
 
Note-se que esta expressão não é mais do que uma simplificação de expressão equivalente 
das páginas 3/4, formulando pelo TTV a igualdade dos TV externo e interno na estrutura 
hiperestática para o complexo conjunto de acções a que está sujeita (sem qualquer perda de 
generalidade omitiu-se existência de esforços de torção). A particularização da referida 
equação, para o cálculo de determinado deslocamento generalizado em m, é: 
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{ {
( ) { ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫
∫
∑∑













 

 ∆++
+++
=

















 

 ∆++
++++
++++++
=
=∆+++=∆+
Estrutura
hiperm
hiper
hipermhiper
hipermhiperR
r
hipermhiperRhipermhiperR
Estrutura
hiperm
hiper
hipermhiper
hipermhiper
A
R
T
R
F
R
r
hipermhiper
A
R
T
R
F
Rhipermhiper
A
R
T
R
F
R
Apoios
RhipermV
real
A
m
T
m
F
m
virtualApoios
RhipermV
real
total
m
virtual
dx
M
h
t
Nt
EA
NN
GA
TT
EI
MM
dx
M
h
t
Nt
EA
NNNN
GA
TTTT
EI
MMMM
RxRx
αα
αα
δδδδ
0
0
,, 11 44 344 21
 
 
Após todas as justificações de simplificação desta expressão geral já abordadas nos 
parágrafos §3 e §4, essencialmente baseadas no anulamento dos termos que traduzem as 
equações de compatibilidade, esta expressão geral assume a forma: 
 
{ {
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
444444444 3444444444 21
4484476
mT
mA
dxM
h
t
Nt
dx
EA
NNNN
GA
TTTT
EI
MMMM
dx
M
h
t
Nt
EA
NN
GA
TT
EI
MM
Rx
Estrutura
isom
hiper
isomhiper
Estrutura isomhiper
A
R
T
R
F
R
r
isomhiper
A
R
T
R
F
Risomhiper
A
R
T
R
F
R
Estrutura
isom
hiper
isomhiper
isomhiperR
r
isomhiperRisomhiperR
Apoios
RmV
real
total
m
virtual
δ
δ
αα
αα
δ
∫
∫
∫∑



 

 ∆++
+










+++
+++++
=













 

 ∆++
+++
=∆+
−
0
0
1
 
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DEC-FEUP 
Assim desta última expressão fica provada a identidade das formulações e representações, 
sendo o deslocamento final total do ponto m devido a F+T+A expresso a partir de: 
{ {
( ) { ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )Estrutura isomhiperARTRFR r
isomhiper
A
R
T
R
F
Risomhiper
A
R
T
R
F
R
isomA
real
A
m
T
m
F
m
virtual
isomA
real
total
m
virtual
EA
NNNN
GA
TTTT
EI
MMMM
xx δδδδδδ





+++
+++++
=
=−++=−
∫
44 344 21
11
{ { {
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )isomTdx δ+




+
 
 
 
Portanto, com toda a generalidade alcançou-se coerência com expressões anteriores: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )isomAisomT
Estrutura
isomhiper
A
R
T
R
r
isomhiper
A
R
T
Risomhiper
A
R
T
R
ISOSTÁTICAARESOLVERFÁCILMAISSERPORFACÇÕESHÁSÓQUANDOOPÇÃOMELHORAÉESTA
iso
F
Rhiperm
r
iso
F
Rhipermiso
F
Rhiperm
isomAisomT
Estrutura isomhiper
A
R
T
R
F
R
r
isomhiper
A
R
T
R
F
Risomhiper
A
R
T
R
F
R
real
A
m
T
m
F
m
virtualreal
total
m
virtual
dx
EA
NNN
GA
TTT
EI
MMM
EA
NN
GA
TT
EI
MM
dx
EA
NNNN
GA
TTTT
EI
MMMM
xx
δδ
δδ
δδδδ
++










++++++
+++=
++










+++
++++++
=
=++=
∫
∫
4444444444 84444444444 76
44 344 21
,
11
 
Estas expressões também estão associadas ao procedimento alternativo expedito de calcular 
esforços finais de uma estrutura hiperestática solicitada pelos vários tipos de acções, sem 
recorrer às equações de sobreposição dos efeitos (M, T, N) associadas ao PSE. 
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Considere-se então o seguinte exemplo conceptual de uma estrutura três vezes hiperestática 
(gh=3) com acções forças (cargas) F, acções térmicas (uniformes e diferenciais) T e de 
assentamentos generalizados de apoios A, representada na figura anexa. 
p
X11∆
2X
∆2 3∆
3X
∆4
1l , 01t 1∆t, l 2, t 02 , 2∆t
 
 
 
A resolução desta estrutura hiperestática pressupõe o cálculo das 3 incógnitas hiperestáticas 
e posteriormente a obtenção dos seus esforços internos. A determinação das incógnitas 
hiperestáticas é baseada na resolução das 3 equações de compatibilidade do tipo 
iijij X δδδ =+ 0 , em que 0iδ consiste óbviamente na soma das contribuições independentes 
iAiTiF δδδ ++ . 
 
No exemplo em análise, e para a escolha realizada das 3 incógnitas hiperestáticas, as 
equações de compatibilidade serão: 
 
( )( )( )


∆==+++=+
∆==+++=+
∆==+++=+
333333303
222222202
111111101
δδδδδδδ
δδδδδδδ
δδδδδδδ
ATFjjjj
ATFjjjj
ATFjjjj
XX
XX
XX
 
 
sendo ∫  ++= Estrutura jiij dxEIMM ............δ , ( )∫  ++= Estrutura iso
F
Ri
iF dxEI
MM
............δ , 
( )∫   ∆+= Estrutura iiiT dxMhtNt ααδ 0 e ( )∑ ∆−= Apoios RiViA Rδ . [Note-se que na 
determinação dos 3 iAδ , o trabalho virtual realizado pelo(s) momento(s) virtual de 
encastramento através da rotação real 4∆ , também está incluído neste(s) somatório (s)]. 
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As incógnitas hiperestáticas { } e portanto constituem a 
solução da estrutura hiperestática para os vários tipos de acções a que está sujeita. Após a 
sua obtenção e sua substituição na estrutura (nas secções dos apoios), a estrutura já não é 
mais hiperestática mas sim isostática, pois ficou constituída pela mesma assemblagem de 
barras prismáticas com as acções a que estava sujeita mas agora ainda com as 3 reacções 
(inicialmente estáticamente indeterminadas e desconhecidas) assumindo valores únicos 
determinados pelas equações de compatibilidade dos deslocamentos generalizados 
correspondentes. 
{ AjTjFjj XXX
X
X
X
X ++=





=
3
2
1 }
 
Esta assemblagem equivalente agora isostática é utilizada para determinar universalmente 
todas as reacções e esforços internos ao longo da estrutura, apenas por considerações e 
princípios de natureza estática. Apesar dos esforços internos (M, T, N) serem determinados 
sem explícitamente aplicar as expressões universais de sobreposição, no entanto o PSE está 
implícitamente inserido nesta equivalência porque foi utilizado nas equações de 
compatibilidade que permitiram determinar os valores agora conhecidos dos { }jX . 
 
A estrutura equivalente agora isostática com os determinados { }jX pode ser também 
utilizada para realizar a determinação de quaisquer deslocamentos generalizados da 
estrutura hiperestática real, apenas com considerações e princípios da RM. (Os resultados 
satisfazem a equação geral anteriormente expressa na página 15). 
 
 
7. Resolução da Estrutura Hiperestática de uma Escada, sob acções F+T+A 
Caracterização dos deslocamentos 
Desprezando a contribuição da deformabilidade por esforços axial e transverso: 
Contribuição das acções Forças: 
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DEC-FEUP 
 
4.00 4.00 2.00
3
.0
0
A B
C
D
20kN
10kN
20kN
10kN
x2
2xx1
 
 
20kN
10kN
100/3
20
100/3
100 1/4
1/3
1/4
1/3
1
+X
1
1/4
1
1/4
2/3
+X
2
2/3
1
 
 
-10
-60
-60pl2
8
=
10x4
8
2
=20
-1 -1
-1
0M M1 M2
 
 
( ) −=−= −×××== ∫ EIEIdxEIMMF 380121420321101δ 
=20
pl 2
8
-60
-1
 
 
 2003 – Prof. Rui Carneiro de Barros 18
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DEC-FEUP 
( ) ( ) ( ) ( )
5
20
2
10173.6
10
1
3
1
2
560
1
2
1
520
3
2
1
2
1
420
3
21
−×−=−=
=

 −××−+−×××+−×××== ∫
EI
EI
dx
EI
MM
Fδ
 
( ) ( ) 62111 10230.8
3
4
1
3
2
2
411 −×==

−××−== ∫ EIEIdxEIMδ 
( ) ( ) 62112 10115.4
3
2
1
3
1
2
411 −×==

 −××−== ∫ EIEIdxEIMMδ 
( ) ( ) ( ) ( ) 52222 10852.131
3
2
2
51
1
3
2
2
411 −×==

 −××−+−××−== ∫ EIEIdxEIMδ 

 

−=
=⇒=++
=++
25.1
625.20
0
0
)(
2
)(
1
2221212
2121111
F
F
F
F
X
X
XX
XX
δδδ
δδδ
 
 
Contribuição das acções Assentamentos de Apoio: 
Os valores dos ijδ mantêm-se iguais ( )22211211 ;;; δδδδ 
20kN
10kN
0.001m
0.002m
0.001rad
 
Determinação de A1δ 
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DEC-FEUP 
1/4
1/4
1/3
1/3
1
 
( )∑ ∆+×=
apoios
RvAe RW 111 δδ 
0=iWδ
 (porque só envolve movimentos 
de corpo rígido, sem de deformações ou 
distorções internas) 
0002.0
3
1
001.0
4
1
1 1 =×+×+× Aδ 
000917.0
12
011.0
1 −=−=Aδ 
Determinação do A2δ 
1/4
1/4
1/3
2/3
11
 
 
0002.0
3
2
001.0
4
1
1 2 =×−×−× Aδ 
 
001583.0
12
019.0
2 ==Aδ 

 

−=
=⇒=++
−=++
6563.93
7031.36
0
001.0
)(
2
)(
1
2221212
2121111
A
A
A
A
X
X
XX
XX
δδδ
δδδ
 
Contribuição das acções Térmicas: 
1/3
5/12
+
+
 
Note-se que o esforço axial em BC na solicitação 11 =X vale ( )
12
5
5
3
4
1
5
4
3
1
1 =+=BCN . 
( )
{
( ) 0002083.05
12
5
1 01
0
10int1ext −=××=







 ∆+==×= ∫ tdxMhtNtWW BCT αααδδδ 
 2003 – Prof. Rui Carneiro de Barros 20
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DEC-FEUP 
41/60
2/3 −
−
 
Note-se que o esforço axial em BC na solicitação 12 =X é ( )
60
41
5
3
4
1
5
4
3
2
2 −=

 +−=BCN . 
( )
{
( ) 000342.05
60
41
1 02
0
20int2ext −=×

 −=







 ∆+==×= ∫ tdxMhtNtWW BCT αααδδδ 

 

−=
=⇒=++
=++
1036.27
8603.38
0
0
)(
2
)(
1
2221212
2121111
T
T
T
T
X
X
XX
XX
δδδ
δδδ
 
1884.968603.387031.36625.20)(1
)(
1
)(
11 =++=++= TAFfinal XXXX 
0099.1221036.276563.9325.1)(2
)(
2
)(
22 −=−−−=++= TAFfinal XXXX 
22110 XRXRRR ++= 
( ) kN07.800099.122
3
2
1884.96
3
1
3
100 =−−×+−=ABN 
( ) kN07.800099.122
3
2
1884.96
3
1
3
100 −=−+×−=BCN 
( ) kN55.740099.122
4
1
1884.96
4
1
20 =−−×+=AT 
( ) ( ) kN45.450099.122
4
1
1884.96
4
1
100 =−+×−=CDCT 
kN.m19.9601884.9610 −=+×−=AM 
60−=CM 
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DEC-FEUP 
84.79
+
80.07
+
60.79
N [kN]
 
 
−
+
74.55
34.55
20
T [kN]
-20.40
-52.40
40
+
 
 
M 
[kN.m]
96.19
122.01
-60
-60
 
 
 
8. Resolução da Estrutura Hiperestática da secção em caixão de uma ponte, sob acções 
F+T+A. Caracterização dos deslocamentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DEC-FEUP 
 
 
 
 
9. Observação final 
 
Note-se que estas considerações justificam em plenitude os procedimentos utilizados nos 
exemplos demonstrativos apresentadas nas aulas teóricas ou teórico-práticas, quer nos 
acetatos da disciplina quer principalmente nas folhas adicionais apresentadas sobre o 
método. Os alunos deverão complementar estas notas de aula e os exemplos numéricos 
apresentados com os problemas propostos nas práticas e outros extraídos de bibliografia 
e/ou de exemplos reais, numa perspectiva de obtenção do muito necessário traquejo, 
versatilidade e experiência cumulativa na abordagem da resolução exaustiva de Estruturas 
Hiperestáticas (isto é, na determinação de esforços e deslocamentos generalizados). 
 
 
10. Agradecimentos 
 
O autor estima a confiança do Prof. Raimundo Delgado em partilhar a docência e regência 
de Teoria de Estruturas 1 a partir de 2001. 
O autor agradece aos colegas Engºs Domingos Silva Matos e Filipe Magalhães a troca de 
impressões realizada e associada a observações construtivas ao presente trabalho. 
Também se agradece o interesse e empenho de alguns alunos de Teoria das Estruturas 1 dos 
últimos anos nomeadamente do actual 3º ano de Engª Civil, na resposta ao desafio lançado 
de conclusão exaustiva dos problemas de aplicação abordados neste trabalho (estrutura de 
escada; caixão de ponte). O autor agradece ainda ao Deptº de Engª Civil da PUC-RJ-Brasil 
a possibilidade de utilização de algum software para ensino melhorado do cálculo e 
desempenho de estruturas hiperestáticas nomeadamente as resolvidas no presente trabalho, 
e apresenta renovados agradecimentos ao colega Engº Filipe Magalhães pela comprovação 
dos resultados aqui apresentados e obtidos no software Robot-Millennium (com licença 
anual do DEC-FEUP). 
 2003 – Prof. Rui Carneiro de Barros 23
Teoria de Estruturas 1 RCB 
DEC-FEUP 
 
 
Bibliografia 
 
Argyris, J.H., and Kelsey, S., Modern Fuselage Analysis and the Elastic Aircraft: Basic 
Theory, Butterworths, London, 1963. 
Armenakas, A. E., Modern Structural Analysis: The Matrix Method Approach, McGraw-
Hill, New York, 1990. 
Clough, R.W., and Penzien, J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New York, 1993. 
Darkov, A. e Kouznetsov, V., Curso de Mecânica das Estruturas, Editora Lopes da Silva, 
Porto, 1982. 
Ghalli, A., and Neville, A.M., Structural Analysis: a Unified Classical and Matrix 
Approach, E & FN Spon, London, 1997. 
Kiseliov, V.A., Mecanica de Construccion, Traducción al español de la segunda edición, 
Tomos I y II, Editorial Mir, Moscú, 1976. 
 2003 – Prof. Rui Carneiro de Barros 24
	FACULDADE DE ENGENHARIA
	DETERMINAÇÃO DE DESLOCAMENTOS GENERALIZADOS DE E
	Rui Carneiro de Barros
	
	
	
	
	Prof. Associado Agregado do DEC da FEUP
	Teoria das Estruturas 1