432119350-Exercicios-Sobre-Nocoes-de-Conjuntos

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Exercícios sobre Noções de Conjuntos 
 
Enunciados dos Exercícios sobre Conjuntos 
 
1. Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações: 
(I) 1 A 
(II) 2 A 
(III) A 
(IV) {1,2} A 
Estão corretas as afirmações: 
A) I e II 
B) I e III 
C) III e IV 
D) III 
E) I 
2. Sabendo que A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar 
que o conjunto (A B) C é: 
A) {1, 4} 
B) {1, 4, 6, 7} 
C) {1, 4, 5, 6} 
D) {1, 4, 6, 7, 8, 9} 
 
3. José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer viajar nas férias de 
julho. José Carlos conseguiu tirar suas férias na fábrica do dia 2 ao dia 28. Marlene 
obteve licença no escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola vão de 1 a 25. 
Durante quantos dias a família poderá viajar sem faltar as suas obrigações? 
A) 19 
B) 20 
C) 21 
D) 
 
4. Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O 
número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é: 
A) exatamente 16 
B) exatamente 10 
C) no máximo 6 
D) no mínimo 6 
E) exatamente 18 
 
5.Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos 
produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas 
pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A 
e B? 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
 
 
Soluções dos Exercícios: A seguir apresentamos as resoluções das questões. 
Em questões de conjuntos, é muito comum o uso das palavras “apenas” e “somente”, 
bem como os conectivos “e” e “ou”, fique atento(a) quanto ao seu uso. 
 
Exercício 1. 
Um ponto importante para chegar a resposta correta desta questão é ter em mente o que 
é relação de pertinência e sobre a relação entre um subconjunto e conjunto. 
A relação de pertinência é usada somente para relacionar o elemento e seu conjunto. 
Utilizamos para isso o símbolo (lê-se: pertence). 
Para relacionar subconjunto e conjunto, usamos o símbolo (lê-se: está contido), ou 
seja, sempre que um conjunto está contido em outro, utilizamos tal símbolo. 
Claro que o contexto envolvendo a questão deve ser analisado antes, como veremos a 
seguir na resolução 
Analisaremos item por item. 
(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está 
correto, então o item I é verdadeiro. 
(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, então ele não pertence a A, logo o item 
II não está correto. Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto, chamamos a 
atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já que está entre chaves, que é um 
elemento de A. 
Há uma diferença entre 2 e {2}, espero que tenha percebido. O item IV é semelhante. 
(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o 
(vazio) está contido em qualquer conjunto. Portanto, o item III está correto. 
(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto, logo a 
afirmação não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Neste caso, o 
símbolo estaria correto se, ao invés de {1,2} tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2). 
Temos que somente os itens I e III estão corretos. 
Observação: caso você tenha dificuldade para compreender as relações que existem 
entre um conjunto, elemento e subconjunto estude um pouco mais sobre relação de 
pertinência e subconjuntos. 
Exercício 2. 
O exercício pede o conjunto (A B) C, “A interseção B união C”. 
Sendo que a relação entre parênteses (interseção) precede a que está fora (união), deve 
ser realizada antes. 
(A B), o conjunto “A interseção B” é o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A e a B, que são comuns aos dois conjuntos. 
A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}. 
(A B) = { 4 }. 
Como já obtemos o conjunto “A interseção B”, {4}. Vamos agora realizar a união com 
C. 
O conjunto união (reunião) é formado por todos os elementos que pertencem a um ou a 
outro conjunto. Todos os elementos dos conjuntos fazem para do conjunto união e não 
precisa repetir o mesmo elemento. 
(A B) = { 4 } e C = {1, 6, 7, 8, 9}. 
(A B) C = {1, 4, 6, 7, 8, 9}. 
Exercício 3. 
A resposta para a pergunta deste problema será dada pela interseção dos dias em que 
cada um poderá faltar sua obrigações. Vejamos: 
José Carlos = { 2, 3, 4, 5, …,25, 26, 27, 28 }. 
Marlene = { 5, 6, 7, …, 25, 26, 27, 28, 29, 30 }. 
Valéria = { 1, 2, 3, 4, 5, …, 25 } 
Repare que Marlene só terá licença a partir do dia 5, antes não poderá já que José Carlos 
e Valéria podem, logo os membros da família só poderão iniciar as férias juntos a partir 
do dia 5. 
Veja que as férias de Valéria terminam no dia 25, logo os membros da família só 
poderão ficar juntos até dia 25. 
Os dias em que a família poderá viajar sem faltar as obrigações vão do dia 5 ao dia 25. 
{5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, temos um total de 21 dias. 
Observação: ao realizar o cálculo da quantidade de dias, tenha atenção para não excluir 
o dia 5 realizando o seguinte cálculo: 25 – 5 = 20. Deste modo você exclui um dia (5) e 
está errado já que o dia 5 entra, ok? 
Para você calcular a quantidade de números naturais num intervalo dado basta seguir o 
seguinte método: 
(número final) – (número inicial) + 1. 
Como exemplo, vamos calcular a quantidade de (dias) números naturais de 5 a 25. 
Número final = 25, número inicial = 5. 
25 – 5 + 1 = 21. 
Exercício 4. 
Sejam n(M) e n(H) o número de alunos que gostam de Matemática e História, 
respectivamente. 
n(M U H) = número de alunos que gostam de Matemática ou História (união). 
n(M H) = número de alunos que gostam de Matemática e História (interseção). 
Do problema temos: n(M) = 16, n(H) = 20 e n(M U H) = 30. 
O número de elementos da união de dois conjuntos finitos (no caso n(M U H)) é dado 
por: 
n(M U H) = n(M) + n(H) – n(M H), fazendo a substituição dos valores. 
30 = 16 + 20 – n(M H) <=> n(M H) = 36 – 30 <=> n(M H) = 6. 
Bem, com isso chegamos ao resultado de que o número de alunos que gostam de 
Matemática e História é igual a 6. Mas, se repararmos nas alternativas, não há esta 
opção. 
E agora? 
Ficamos então em dúvida se marcamos a alternativa C) no máximo 6 ou D) no mínimo 
6. 
Repare o seguinte: 
em nossos cálculos acima, consideramos que todos os alunos (30) gostam de pelo 
menos uma matéria, ok? 
Mas, em momento algum o problema diz isso no enunciado, concorda? 
Pode haver alunos que não gostam de nenhuma das matérias :-) e isso aumentaria o 
número de alunos que gostam de ambas. 
Exemplo: suponha que 1 aluno não goste de Matemática, nem de História. 
30 – 1 = 29, isto quer dizer que 29 alunos gostam de Matemática ou História. 
Refazendo os cálculos acima para o valor 29, teremos: 36 – 29 = 7 alunos gostam de 
Matemática e História. 
Portanto, o número de alunos que gostam de Matemática ou História deve ser menor ou 
igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas. 
n(M U H) 30 <=> 
n(M) + n(H) – n(M H) 30. Fazendo as substituições. 
16 + 20 – n(M H) 30 <=> 36 – 30 n(M H) <=> 6 n(M H) ou n(M H) 6. 
Logo, o número de alunos que gostam de Matemática e História deve ser no mínimo 6. 
Exercício 5. 
Como 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B, temos o seguinte: 
10 pessoas não usam o produto B, então elas usam o produto A. 
Total de pessoas que usam só A = 10 pessoas. 
2 pessoas não usam o produto A, então elas usam o produto B. 
Total de pessoas que usam só B = 2 pessoas. 
Seja x o número de pessoas que utilizam os produtos A e B (ambos). 
Temos que o número de pessoas que usam o produto A, mais o número de pessoas que 
usam o produto B, mais o número de pessoas que usam ambos deve ser igual a 15 (já 
que pelo menos um dos produtos é utilizado). Veja: 
(nº de pessoas que usam só A) + (nº pessoas que usam só B) + x = 15 
10 + 2 + x = 15 <=> x = 3 pessoas. 
O número de pessoas que utilizam os produtos A e B é igual 3 pessoas. 
Chegamos ao final de mais uma série de exercícios resolvidos. 
Esta série de exercíciossobre noções de conjuntos não aborda toda a teoria envolvida no 
assunto, continue acompanhando o blog para ficar por dentro dos próximos artigos, pois 
estamos sempre publicando artigos relevantes sobre os temas envolvidos. 
Caso tenha interesse em mais exercícios para aprofundar e fixar os conceitos 
desenvolvidos veja o seguinte artigo, pois nele, disponibilizamos uma lista de exercícios 
para download: 
Exercícios sobre Noções de Conjuntos e Conjuntos Numéricos 
Caso tenha ficado com alguma dúvida ou deseja fazer alguma sugestão bem como 
deixar seu ponto de vista sobre o artigo, fique a vontade para comentar. 
 
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