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Matemática p/ EspCEx (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) - Com videoaulas
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AULA 14: Geometria Analítica 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 22 
3. Questões apresentadas na aula 76 
4. Gabarito 100 
 
Olá! 
Nesta aula aprenderemos os tópicos relacionados a Geometria 
analítica: Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto 
médio de um segmento, condição de alinhamento de três pontos. Estudo 
da reta: equação geral e reduzida; interseção, paralelismo e 
perpendicularismo entre retas; distância de um ponto a uma reta. Estudo 
da circunferência: equação geral e reduzida; posições relativas entre 
ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; 
tangência. Tenha uma excelente aula. 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
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1. TEORIA 
1.1 PLANO CARTESIANO 
 O plano cartesiano é formado por 2 eixos que se cruzam conforme a 
figura abaixo: 
 
 
O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou, 
simplesmente, eixo X. Já o eixo da vertical é chamado de eixo das 
ordenadas ou, simplesmente, eixo Y. O cruzamento dos dois eixos 
representa o ponto de origem, isto é, o ponto onde se localiza o zero de 
cada eixo. A partir dessa origem, os valores de cada eixo crescem no 
sentido das setas. Isto é, no eixo X, os valores crescem para a direita. 
Portanto, à direita da origem teremos os valores positivos de X, e à 
esquerda teremos os valores negativos. Já no eixo Y, os valores crescem 
para cima, de modo que na parte acima da origem teremos os valores 
positivos e, na parte abaixo da origem, os valores negativos. 
 Veja que os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes, 
numerados na figura abaixo no sentido anti-horário: 
Y
X
0
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 Podemos definir um ponto P em qualquer posição do plano 
cartesiano simplesmente dizendo qual o valor de sua abscissa X e qual o 
valor de sua ordenada Y. Normalmente escrevemos os valores da abscissa 
e da ordenada entre parenteses, sendo que o primeiro valor refere-se ao 
eixo X e o segundo ao eixo Y. Algo como P = (x, y). Por exemplo, se 
tivermos o ponto P = (4, 5), podemos entender que o valor da abscissa 
desse ponto é x = 4 e o valor da ordenada é y = 5. Podemos localizar 
esse ponto no plano cartesiano, como você vê abaixo: 
 
 
Y
X
0 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
P (4, 5)
X 0 
1
o
 
quadrante 2
o
 
quadrante 
3
o
 
quadrante 4
o
 
quadrante 
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Observe que bastou localizarmos a posição x = 4, traçarmos uma 
linha vertical (perpendicular ao eixo X), e, a seguir, localizar y = 5 e 
traçar uma linha horizontal (perpendicular ao eixo Y). O ponto P (4, 5) 
fica no cruzamento entre as duas linhas pontilhadas que traçamos. Dessa 
forma, você consegue localizar qualquer ponto no plano. 
 Observe ainda que o ponto P que desenhamos encontra-se no 1º 
quadrante. Notou que todos os pontos do primeiro quadrante terão 
valores positivos para a abscissa e também para a ordenada? 
 Já os pontos do segundo quadrante tem valores negativos de X e 
positivos de Y. Para exemplificar, localizei na figura abaixo o ponto A (-5, 
2): 
 
 Da mesma forma, os pontos do 3º quadrante tem valores negativos 
tanto na abscissa (X) quanto na ordenada (Y). E, no 4º quadrante, os 
pontos tem valores positivos na abscissa (X), porém negativos na 
ordenada (Y). Por exemplo, se uma questão disser que um determinado 
ponto A possui x > 0 e y < 0, você facilmente saberá localizar em que 
X 
0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
5 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
A (-5, 2) 
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quadrante ele se encontra: o quarto quadrante. A tabela abaixo resume 
este assunto: 
 
Quadrante Sinal da abscissa (x) Sinal da ordenada (y) 
1 + + 
2 - + 
3 - - 
4 + - 
 
 Vale ainda a pena você conhecer uma reta chamada “bissetriz dos 
quadrantes ímpares”. Trata-se de uma reta que divide ao meio tanto o 1º 
quanto o 3º quadrantes, como você vê na figura abaixo. Veja que todos 
os pontos dessa reta tem a abscissa igual à ordenada. Exemplifiquei 
mostrando 2 pontos: 
 
 
 Outra reta bem conhecida é a “bissetriz dos quadrantes pares”. 
Essa reta divide tanto o 2º quanto o 4º quadrantes ao meio. Nessa reta, 
Y 
X 
0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
5 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
A (2, 2) 
B (-4, -4) 
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todos os pontos tem a abscissa com o valor oposto da ordenada. O ponto 
C (-3, 3), por exemplo, pertence à esta reta. 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 Dados dois pontos em um plano cartesiano, é fácil calcular a 
distância entre eles utilizando o teorema de Pitágoras. Vamos visualizar 
isso através de um exemplo. Imagine dois pontos A (1, 1) e B (4, 5) cuja 
distância um do outro queremos calcular. Veja-os no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
A distância entre os pontos A e B é dada pelo tamanho do segmento 
de reta d, desenhado na figura. Para obtê-lo, podemos desenhar o 
triângulo retângulo visto abaixo: 
Y 
X 
0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
5 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
A (1, 1) 
B (4, 5) 
d 
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Observe que, ao desenhar o triângulo, encontramos o ponto C (4, 
1). No triângulo acima, o lado AC tem tamanho dx, e o lado BC tem 
tamanho dy. Veja que é fácil calcular dx: como o segmento AC é paralelo 
ao eixo X, basta vermos que ele começa na posição x = 1 e termina em x 
= 4. Portanto, dx = 4 – 1 = 3. Da mesma forma, como o segmento BC é 
paralelo ao eixo Y, basta vermos que ele começa em y = 1 e termina em 
y = 5, de forma que dy = 5 – 1 = 4. Assim, temos: 
 
 Trata-sede um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4, e 
com a hipotenusa medindo d. O teorema de Pitágoras diz que a soma dos 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, ou seja: 
2 2 23 4 d+ = 
A (1, 1) 
B (4, 5) 
d 
3 
4 
C (4, 1) 
Y 
X 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
5 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
A (1, 1) 
B (4, 5) 
d 
dx 
dy 
C (4, 1) 
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 Portanto, 
2
2
9 16
25
25 5
d
d
d
+ =
=
= =
 
 Assim, a distância entre os pontos A e B é de 5 unidades. Observe 
que, tendo os pontos A (1, 1) e B (4, 5), o que fizemos foi a seguinte 
conta: 
2 2 2
2 2 2
(4 1) (5 1)
3 4
d
d
− + − =
+ =
 
 Observe que dentro de um dos parênteses temos a subtração entre 
os valores das abscissas (x) dos pontos A e B, e no outro parênteses 
temos a substração entre os valores das ordenadas (y). 
 Logo, podemos criar a seguinte fórmula para calcular a distância (d) 
entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb): 
2 2 2( ) ( )xa xb ya yb d− + − = 
 A título de exemplo, vamos calcular a distância entre os pontos A (-
2, -7) e B (3, -5). Veja que xa = -2, ya = -7, xb = 3 e yb = -5. Portanto: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
( ) ( )
( 2 3) ( 7 ( 5))
( 5) ( 7 5)
25 ( 2)
25 4
29
xa xb ya yb d
d
d
d
d
d
− + − =
− − + − − − =
− + − + =
+ − =
+ =
=
 
 Assim, a distância entre os pontos A (-2, -7) e B (3, -5) é de 29 
unidades. 
 
PONTO MÉDIO 
 Quando temos dois pontos A(x, y) e B(z,w), podemos calcular o 
ponto médio entre eles, ou seja, o ponto que se situa à meia distância 
entre ambos. Para isto, basta obter as coordenadas do ponto médio 
PM(xm, ym) assim: 
xm = (x+z)/2 
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ym = (y+w)/2 
 
 Veja que nós simplesmente somamos as coordenadas 
correspondentes e dividimos por dois. Se temos os pontos A(3,4) e 
B(5,6), podemos obter o ponto médio fazendo: 
xm = (3+5)/2 = 4 
ym = (4+6)/3 = 5 
 
 Portanto, o ponto médio é PM (4,5). 
 
1.2 RETAS 
EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 
 Imagine que temos uma reta cujo vetor diretor é (2,3,4) e que 
passa pelo ponto A(1,0,3). Podemos calcular qualquer outro ponto (x,y,z) 
desta reta de forma simples: basta partir do ponto A e somar o vetor 
diretor (2,3,4) por “t” vezes. Isto é, 
Ponto da reta = Ponto A + t x Vetor 
P = A + t x V 
 
 Esta é a forma vetorial da equação da reta. Podemos substituir P, A 
e V obtendo: 
(x,y,z) = (1,0,3) + t.(2,3,4) 
 
 A partir da equação acima, podemos separar cada uma das 
coordenadas, obtendo a forma paramétrica da equação: 
x = 1 + 2.t 
y = 0 + 3.t 
z = 3 + 4.t 
 
 Esta é a equação paramétrica da reta. Trata-se de uma forma 
bastante útil de se escrever a equação da reta, como veremos em 
momentos posteriores. 
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 Se forem fornecidos apenas 2 pontos da reta, devemos começar 
calculando o vetor diretor. Por exemplo, suponha que temos os pontos 
A(1,2, 3) e B(0,1, 0), e queremos calcular a equação da reta que passa 
por estes pontos. Podemos começar calculando o vetor AB, que é o vetor 
diretor da reta: 
AB = B – A = (0,1,0) – (1,2,3) = (-1, -1, -3) 
 
 Tendo este vetor, e sabendo que a reta passa pelo ponto A, 
podemos escrever a equação vetorial desta reta: 
P = A + t x AB 
 
 Substituindo o que nós temos: 
(x,y,z) = (1,2,3) + t.(-1,-1,-3) 
 
 Podemos ainda separar cada coordenada, chegando na forma 
paramétrica: 
x = 1 – t 
y = 2 – t 
z = 3 – 3t 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
 Imagine que temos o ponto P(x0,y0) e a reta r cuja equação é ax + 
by + c = 0. A distância entre este ponto e a reta é dada por: 
0 0
2 2
| . |a x by c
d
a b
+ +=
+ 
 
 Portanto, se temos o ponto P(1,2) e a reta 4x + 3y – 11 = 0, a 
distância entre eles é dada por: 
0 0
2 2
| . |a x by c
d
a b
+ +=
+ 
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2 2
| 4.1 3.2 11|
4 3
d
+ −=
+
 
| 4 6 11|
16 9
d
+ −=
+
 
| 1|
25
d
−= 
1
5
d = 
 
1.3 CIRCUNFERÊNCIAS 
 A circunferência pode ser definida como sendo o lugar geométrico 
dos pontos do plano que se encontram à uma distância definida de um 
determinado ponto. Este ponto é o centro da circunferência, e todos os 
demais pontos devem estar à uma distância fixa dele, que é o Raio da 
circunferência. 
Vale lembrar que a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer 
é: 
2 2 2( ) ( )xa xb ya yb d− + − = 
 
 Assim, sendo C o ponto central da circunferência, cujas 
coordenadas podem ser designadas por C (xc, yc), e sendo P um ponto 
qualquer ao longo da circunferência, cujas coordenadas são P(x, y), 
podemos calcular a distância “d” entre esses dois pontos escrevendo: 
(x – xc)2 + (y – yc)2 = d2 
 Como queremos que a distância entre o centro e os pontos da 
circunferência seja exatamente igual ao Raio da circunferência, que 
chamaremos de R, podemos substituir “d” por “R” na expressão anterior, 
obtendo: 
(x – xc)2 + (y – yc)2 = R2 
 
 Esta é a equação da circunferência. Para trabalharmos um caso 
concreto, vamos escrever a equação da circunferência que tem centro em 
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(3,1) e raio igual a 5. Ou seja, temos xc = 3, yc = 1, e R = 5. Na 
fórmula: 
(x – xc)2 + (y – yc)2 = R2 
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 52 
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 25 
 
 Podemos ainda desenvolver essas fórmulas, retirando os 
parênteses, ficando com: 
x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 25 
x2 + y2 – 6x – 2y – 15 = 0 
 
 Sabendo a equação da circunferência, fica fácil você encontrar 
pontos que fazem parte da mesma. Por exemplo, podemos buscar pontos 
nesta circunferência que tenham coordenada x = 3. Para isto, basta 
substituirmos x = 3 na fórmula da circunferência e verificarmos os valores 
de y: 
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 25 
(3 – 3)2 + (y – 1)2 = 25 
(y – 1)2 = 25 
y – 1 = 5 ou y – 1 = -5 
y = 6 ou y = -4 
 
 Portanto, para x = 3, temos dois pontos da circunferência: 
P1: (3, 6) 
P2: (3, -4) 
 
 Dizemos que uma reta é TANGENTE à circunferência quando ela só 
tem 1 ponto em comum com a circunferência. Já uma reta é SECANTE 
quando ela tem 2 pontos em comum com a circunferência, ou seja, ela 
cruza a circunferência em 2 pontos. E pode ainda ocorrer de uma 
determinada reta não ter nenhum ponto em comum com a circunferência, 
isto é, ser externa à circunferência. 
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 Para descobrir a posição relativa entre uma reta e uma 
circunferência, basta você partir das equações de ambas. Sabendo a 
equação da reta, substitua a sua expressão na equação da circunferência, 
e verifique se você encontra alguma raiz. O número de raízes vai te dizer 
a posição relativa (1 raiz = tangente, 2 raízes = secante, nenhuma raiz = 
externa). 
 Para sabermos se um determinado ponto está DENTRO, FORA ou 
SOBRE a circunferência, basta calcular a sua distância em relação ao 
centro. Se essa distância for MENOR que o raio da circunferência, o ponto 
está DENTRO da mesma. Se a distância for IGUAL ao raio, o ponto está 
SOBRE a circunferência. E se a distância for MAIOR que o raio, o ponto 
está claramente FORA da circunferência. 
 
1.4 PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE 
 
 Duas retas são paralelas quando elas seguem o mesmo caminho 
“lado a lado”, estando sempre à mesma distância uma da outra, mas não 
se cruzam nunca. Veja essas duas: 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS PARALELAS 
 Imagine que temos duas retas paralelas no plano bidimensional. Se 
elas são paralelas, então possuem os mesmos coeficientes “a” e “b”, 
diferindo apenas no coeficiente independente. Isto é, podemos 
representa-las assim: 
r: ax + by = c 
s: ax + by = d 
 
 Por exemplo, podemos ter as retas: 
r: 3x + 4y = 7 
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s: 3x + 4y = 12 
 
 A distância entre elas é constante, afinal são retas paralelas. Essa 
distância pode ser facilmente calculada assim: 
2 2
| |
( , )
c d
d r s
a b
−=
+
 
2 2
| 7 12 |
( , )
3 4
d r s
−=
+
 
| 5 |
( , )
9 16
d r s
−=
+
 
5
( , )
25
d r s = 
5
( , ) 1
5
d r s = = 
 
 Ou seja, essas duas retas “correm” lado a lado, separadas por 
apenas 1 unidade de distância. 
 Podemos dizer que duas retas são perpendiculares quando elas se 
cruzam formando um ângulo de noventa graus. Veja as duas retas 
abaixo: 
 
 
 
Neste caso, o que você tem que saber é que dada a equação de 
uma das retas, é possível obter o coeficiente angular da outra reta. 
Suponha que a reta verde na Figura acima tenha equação y = ax + b. 
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Desta forma, podemos que a reta em vermelho tem equação do tipo y = 
(-1/a)x + c. Veja, portanto, que o coeficiente angular de umas retas é o 
inverso e oposto do coeficiente angular da outra. Já o coeficiente linear 
da reta vermelha não pode ser obtido somente com a informação da 
perpendicularidade entre as retas. 
 
1.5 PONTOS COLINEARES 
 Antes de iniciarmos este assunto, devo dizer que veremos em 
detalhes o cálculo de determinantes na aula sobre matrizes. No entanto, 
precisamos desse conhecimento agora para identificar se 3 pontos são 
colineares. 
Dizemos que 3 pontos são colineares quando fazem parte de uma 
mesma reta, ou seja, quando eles estão perfeitamente alinhados. Dados 3 
pontos, podemos rapidamente verificar se eles são ou não colineares 
calculando o determinante abaixo: 
 
X1 X2 1 
Y1 Y2 1 
 Z1 Z2 1 
 
 Neste determinante, temos os pontos de coordenadas (X1,X2), 
(Y1,Y2) e (Z1,Z2). Se o determinante for igual a zero, então os pontos 
são colineares. 
 Exemplificando, vamos verificar se os pontos a seguir são 
colineares: 
(-1,1) 
(3,5) 
(1,3) 
 
 Preparando o determinante: 
-1 1 1 
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3 5 1 
 1 3 1 
 
 Calculando-o: 
-1.5.1 + 3.3.1 + 1.1.1 – 1.5.1 – 1.3.1 – 1.3.(-1) = 
-5 + 9 + 1 – 5 – 3 + 3 = 
-13 + 13 = 
0 
 
 Portanto, como o determinante foi igual a zero, podemos afirmar 
que os 3 pontos são colineares, pertencendo à mesma reta. De fato, 
verifique que esses 3 pontos pertencem à reta y = x + 2. 
 
1.6 ESTUDO E EQUAÇÕES DA ELIPSE, DA PARÁBOLA E DA 
HIPÉRBOLE 
Elipse 
 Veja abaixo a figura de uma elipse. 
 
 
 Afinal de contas, o que realmente é uma elipse? Dados dois pontos 
F1 e F2, dizemos que a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma 
das distâncias para F1 e para F2 seja igual a um valor determinado. 
Chamamos os pontos F1 e F2 de focos da elipse. Na figura acima, os 
pontos P1 e P2 fazem parte da elipse. Isto significa que a soma dos 
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segmentos em preto (distâncias de P1 para F1 e F2) é igual à soma dos 
segmentos em vermelho (distâncias de P2 para F1 e F2). 
 Sendo P um ponto qualquer da elipse, e “2a" a soma das distâncias 
de cada ponto da elipse aos focos, podemos escrever que: 
Distância (P,F1) + Distância(P, F2) = 2a 
 
 Para simplificar as nossas expressões, vamos imaginar que o centro 
desta elipse é a origem do plano cartesiano, isto é, (0,0). Chamando de 
“2c” a distância entre F1 e F2, podemos então determinar as coordenadas 
de F1 e F2 como sendo: 
F1: (-c, 0) 
F2: (c, 0) 
 
 Vamos ainda chamar de “2a” o comprimento do eixo maior 
(horizontal) da elipse, e de “2b” o comprimento do eixo menor (vertical) 
da elipse. Veja esses comprimentos representados na figura abaixo: 
 
 Designando por P(x,y) as coordenadas de um ponto qualquer sobre 
a elipse, você deve guardar que a equação desta elipse é dada por: 
x2/a2 + y2/b2 = 1 
 
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 Com esta equação você consegue encontrar pontos sobre a elipse. 
Vale a pena você saber ainda que há uma relação entre o semi-eixo maior 
(a), o semi-eixo menor (b) e a distância semi-focal (c), que é dada por: 
a2 = b2 + c2 
 
 Por fim, saiba que a relação abaixo nos dá a excentricidade da 
elipse, isto é, o grau de “achatamento” da elipse: 
e = c / a 
 
 Quanto MENOR for o valor de c (isto é, quanto menor for a distância 
entre F1 e F2), MENOR é a excentricidade ou o achatamento, de forma 
que a elipse se aproxima do formato de uma circunferência. 
Tal qual a circunferência, quando temos uma elipse com centro 
(xc;yc) deslocado da origem a equação geral dela passa a ser do tipo: 
 
 
Hipérbole 
 Sendo F1 e F2 dois pontos no plano, chamamos de hipérbole o lugar 
geométrico dos pontos tais que a diferença absoluta entre as distâncias 
para F1 e para F2 seja um valor fixo. Veja no desenho abaixo uma 
hipérbole (em AZUL), bem como dois pontos P1 e P2 que fazem parte da 
hipérbole, e os pontos focais F1 e F2: 
( ) ( )2 2
2 2
 – – 
 1
x xc y yc
a b
+ =
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 Em uma hipérbole podemos definir um semi-eixoreal (a), que é a 
distância entre a origem do gráfico e a hipérbole, uma distância focal 
(2c), que é a distância entre os pontos F1 e F2, e um semi-eixo 
imaginário (b) que obedeça a relação: 
c2 = a2 + b2 
Veja isso na figura abaixo: 
 
 
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 Com isso em mãos, podemos escrever que a equação da hipérbole 
é: 
x2/a2 – y2/b2 = 1 
 
 Chamamos de excentricidade da hipérbole a relação e = c/a. 
 
Parábola 
 Sendo “r” uma reta qualquer e F um ponto, chamamos de parábola 
o lugar geométrico dos pontos cuja distância para a reta “r” seja igual à 
distância para o ponto F. Veja isso na figura abaixo: 
 
 
 Qualquer ponto P(x,y) que fizer parte desta parábola (curva em 
azul) terá distância idêntica entre ele e o ponto F (que é o foco da 
parábola) e entre ele e a reta r (que é chamada reta diretriz). A distância 
entre a reta r e o ponto F é chamada de “parâmetro” da parábola, sendo 
designada pela letra “p”. Sabemos também que como o vértice pertence à 
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parábola, ele também obedece à regra de ser equidistante de F e da reta 
r, de forma que o vértice está a uma distância de p/2 de ambos. 
 A depender da posição da parábola, ela terá uma equação 
ligeiramente diferente. No caso desenhado acima, temos uma parábola 
com concavidade voltada para cima. A sua equação é dada por: 
x2 = 2.p.y 
 
 Se a concavidade fosse voltada para baixo, teríamos x2 = -2.p.y. 
 
Se a concavidade fosse voltada para a direita, teríamos y2 = 2.p.x, 
e se fosse voltada para a esquerda teríamos y2 = - 2.p.x. 
 
No caso mais geral, em que a parábola não tem vértice na origem 
mas sim em (xo;yo), sua equação fica sendo do tipo: 
(x-xo)2 = 2.p.(y-yo) � reta diretriz paralela ao eixo x 
(y-yo)2 = 2.p.(x-xo) � reta diretriz paralela ao eixo y 
 
 
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1. EsSA – 2010) Seja a reta r de equação 5x – 2y – 11 = 0. A equação 
da reta s, paralela a r, que contém o ponto F = (3,–1) é: 
a) 5x – 2y + 17 = 0 
b) 2x – 5y + 17 = 0 
c) 5x + 2y + 17 = 0 
d) 5x – 2y –17 = 0 
e) 2x + 5y +17 = 0 
RESOLUÇÃO: 
 Se a reta r é paralela à s, as duas possuem o mesmo coeficiente 
angular. Trabalhando a equação da reta, temos: 
5�	– 	2�	– 	11	 � 	0 
2� � 5� 
 11 
� �
5
2
� 
11
2
 
 
 O coeficiente angular é 5/2. A reta s passa pelo ponto (3,-1). Assim, 
sendo s uma reta do tipo y = ax + b, temos: 
� �
5
2
� � � 
1 �
5
2
3 � � 
1 �
15
2
� � 
1 
15
2
� � 
� � 
2
2
15
2
� 
17
2
 
 
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 Logo, a reta s é: 
� �
5
2
� 
17
2
 
2� � 5� 
 17 
5� 
 2� 
 17 � 0 
Resposta: D 
 
2. EsSA – 2011) Para que as retas de equações 2x – ky = 3 e 3x + 4y = 
1 sejam perpendiculares, deve-se ter 
A) k= 3/2. 
B) k= 2/3. 
C) k= -1/3. 
D) k= -3/2. 
E) k= 2. 
RESOLUÇÃO: 
 Se as retas são perpendiculares entre si, então uma reta possui 
coeficiente angular igual ao inverso e oposto do coeficiente angular da 
outra reta. Trabalhando a equação 3x + 4y = 1, temos: 
3x	 � 	4y	 � 	1	 
� � 
3
4
� �
1
4
 
 
 Assim, temos que o coeficiente angular da reta perpendicular a essa 
é 4/3. Para a outra reta temos: 
2� 
 �� � 3 
�� � 2� 
 3 
� �
2
�
� 
3
�
 
 
 Assim: 
2
�
�
4
3
 
� �
3
2
 
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Resposta: A 
 
3. EsSA – 2011) Um quadrado ABCD está contido completamente no 1º 
quadrante do sistema cartesiano. Os pontos A(5,1) e B(8,3) são vértices 
consecutivos desse quadrado. A distância entre o ponto A e o vértice C, 
oposto a ele, é 
A)13. 
B) 2√13. 
C) 26. 
D) √13 . 
E) √26 . 
RESOLUÇÃO: 
 Veja abaixo o esboço da situação descrita no enunciado: 
 
 
 Ao centro temos o quadrado a que o enunciado fez menção. 
Primeiramente, conhecíamos os pontos A e B. Veja que o segmento AB é 
o lado do quadrado e corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo 
formado por catetos de medidas 2 e 3 unidades. Esse triângulo vai ser 
repetindo para formar todos os outros lados do quadrado. Veja que 
partindo do ponto B, ao andar três unidades para cima e duas para a 
esquerda chegamos ao ponto C (6, 6). Partindo do ponto C ao andar três 
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unidades para a esquerda e duas para baixo, chegamos ao ponto D (3, 
4). Assim, temos que a distância de A até C é dada por: 
��� 
 ���� � ��� 
 ���� � �� 
�5 
 6�� � �1 
 6�� � �� 
�
1�� � �
5�� � �� 
1 � 25 � �� 
� � 	√26 
Resposta: E 
 
4. EsSA – 2011) A reta y = mx+2 é tangente à circunferência de 
equação (x – 4)² + y² = 4. A soma dos possíveis valores de m é 
A) 0. 
B) 4/3 . 
C) - 4/3 . 
D) - 3/4 . 
E) 2. 
RESOLUÇÃO: 
 No ponto de tangência entre a reta e a circunferência, os valores de 
x e y se igualam. Substituindo o valor de y na reta (y = mx + 2) na 
equação da circunferência, temos: 
 (x – 4)² + y² = 4 
(x – 4)² + (mx + 2)² = 4 
x2 – 8x + 16 + m2x2 + 4mx + 4 = 4 
(1 + m2)x2 + (4m – 8)x + 16 = 0 
 
 Como só temos um ponto de tangência entre a reta e a 
circunferência, o número de soluções para x da equação de segundo grau 
acima deve ser UM. Para isso, o valor de ∆ deve ser zero. Assim: 
∆ = b2 - 4ac = 0 
∆ = (4m – 8)2 – 4(1 + m2)16 = 0 
∆ = 16m2 – 64m + 64 – 64 – 64m2 = 0 
∆ = – 64m – 48m2 = 0 
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 Daqui temos que m pode ser zero e: 
– 64 – 48m = 0 
– 64 = 48m 
m = -64/48 = -4/3 
 
 A soma dos possíveis valores de m é -4/3. 
Resposta: C 
 
5. EsSA – 2011) Seja AB um dos catetos de um triângulo retângulo e 
isósceles ABC, retângulo em A, com A(1;1) e B(5;1). Quais as 
coordenadas cartesianas do vértice C, sabendo que este vértice pertence 
ao primeiro quadrante? 
A) (5;5) 
B) (1;5) 
C) (4;4) 
D) (1;4) 
E) (4;5) 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a Figura abaixo: 
 
 
 Na Figura temos a representação do triângulo retângulo que 
caracteriza a situação descrita. O ângulo reto está em A. Os catetos AB e 
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AC têm o mesmo comprimento, sendo o triângulo retângulo e isósceles. O 
ponto C está no único lugar possível do primeiro quadrante de forma a 
respeitar as condições anteriores. Suas coordenadas são (1;5). 
Resposta: B 
 
6. EsSA – 2012) Os pontos M (– 3, 1) e P (1, – 1) são equidistantes do 
ponto S (2, b). Desta forma, pode-se afirmar que b é um número 
A) primo. 
B) múltiplo de 3. 
C) divisor de 10. 
D) irracional. 
E) maior que 7. 
RESOLUÇÃO: 
 O ponto S guarda a mesma distância dos pontos M e P, 
simultaneamente. Assim, podemos fazer: 
Distância de S a M = Distância de S a P 
(xs – xm)2 + (ys – ym)2 = (xs – xp)2 + (ys – yp)2 
(2 – (-3))2 + (b – 1)2 = (2 – 1)2 + (b – (-1))2 
52 + (b – 1)2 = 12 + (b + 1)2 
25 + b2 – 2b + 1 = 1 + b2 + 2b + 1 
25 – 2b = 1 + 2b 
4b = 24 
b = 6 
 
 Portanto, b é um múltiplo de 3. 
Resposta: B 
 
7. EsSA – 2013) Dada a equação da circunferência é: ( )² ( )² ²x a y b r− + − = , 
sendo (a,b) as coordenadas do centro e r a medida do raio ,identifique a 
equação geral da circunferência de centro (2 , 3) e raio igual a 5. 
A) x² + y² = 23 
B) x² + y² - 4xy -12 = 0 
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C) x² - 4x² = -16 
D) x² + y² - 4x - 6y -12 = 0 
E) y² - 6y = -9 
RESOLUÇÃO: 
 Substituindo as informações na equação geral, temos: 
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 52 
x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25 
x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 
Resposta: D 
 
8. EsSA – 2014) Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, 
considere os pontos O(0,0) e A(8,0). A equação do conjunto dos pontos 
P(x,y) desse plano sabendo que a distância de O a P é o triplo da 
distância de P a A, é uma 
A) circunferência de centro (9,0) e raio 3. 
B) elipse de focos (6,0) e (12,0), e eixo menor 6. 
C) hipérbole de focos (3,0) e (15,0), e eixo real 6. 
D) parábola de vértice (9,3), que intercepta o eixo das abscissas nos 
pontos (6,0) e (12,0). 
E) reta que passa pelos pontos (6,0) e (9,3). 
RESOLUÇÃO: 
distância de O a P é o triplo da distância de P a A 
distância de O a P = 3 . distância de P a A 
√[(xo – xp)2 + (yo – yp)2] = 3 . √[(xa – xp)2 + (ya – yp)2] 
(0 – x)2 + (0 – y)2 = 9 . [(8 – x)2 + (0 – y)2] 
x2 + y2 = 9 . (64 – 16x + x2 + y2) 
x2 + y2 = 576 – 144x + 9x2 + 9y2 
8x2 + 8y2 – 144x + 576 = 0 
x2 + y2 – 18x + 72 = 0 
x2 – 18x + y2 + 72 = 0 
x2 – 18x + 81 + y2 + 72 = 81 
(x – 9)2 + y2 = 81 – 72 
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(x – 9)2 + y2 = 9 = 32 
 
 A equação acima corresponde a uma circunferência de centro em 
(9;0) e raio igual a 3. 
Resposta: A 
 
9. EsSA – 2015) Dados três pontos colineares A(x, 8), B(-3, y) e M(3, 
5), determine o valor de x + y, sabendo que M é ponto médio de AB 
A) 3 
B) 11 
C) 9 
D) - 2,5 
E) 5 
RESOLUÇÃO: 
 Quando temos dois pontos A(x, 8) e B(-3, y), podemos calcular o 
ponto médio entre eles M(3, 5) assim: 
xm = 3 = (x + (-3))/2 
6 = x – 3 
x = 9 
 
ym = 5 = (8 + y)/2 
10 = 8 + y 
y = 2 
 
 Portanto, x + y = 9 + 2 = 11. 
Resposta: B 
 
10. ENEM - 2010) O gráfico mostra o número de favelas no município do 
Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse 
número entre os anos considerados é linear. 
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Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 
6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o 
número de favelas em 2016 será 
A) menor que 1 150. 
B) 218 unidades maior que em 2004. 
C) maior que 1 150 e menor que 1 200. 
D) 177 unidades maior que em 2010. 
E) maior que 1 200. 
RESOLUÇÃO: 
 Completando o gráfico com os dados informados, temos: 
 
 
 Veja que de 2004 a 2010, o crescimento foi de 968 – 750 = 218. Se 
o crescimento for o mesmo nos próximos 6 anos, em 2016 teremos 968 + 
218 = 1186, valor este maior que 1 150 e menor que 1 200. 
Resposta: C 
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11. ENEM – 2015) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma 
operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam até 
500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$ 12,00 
para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça 
mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por 
ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 
ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$ 32,00. 
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a 
relação entre o valor mensal pago nesse plano e o número de ligações 
feitas é: 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
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(D) 
 
(E) 
 
RESOLUÇÃO: 
 Do enunciado temos que será cobrado um valor fixo de R$ 12,00 
para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Logo, se o valor a 
ser cobrado é fixo em 12 reais para até 100 ligações, a primeira parte do 
gráfico deve ser uma reta paralela fixa de valor de 12 reais a ser pago 
mensalmente. 
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 Desta forma só nos sobra as opções (b) e (c). Caso o cliente faça 
mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por 
ligação, a partir da 101ª até a 300ª. Assim, entre a ligação 101 e a 300 
temos no gráfico uma função de primeiro grau do tipo em que 
x seria o número de ligações e f(x) seria o Valor mensal pago por plano 
em reais. 
 O valor cobrado por ligação, a partir da 101ª até a 300ª é de R$ 
0,10. Ou seja, a cada aumento de uma unidade no número de ligações, 
temos um acréscimo de R$ 0,10 no valor cobrado, o que nos leva a crer 
que estamos diante de uma reta ascendente da 101ª até a 300ª ligação. 
Tanto a letra (b) quanto a (c) nos mostram isso. 
 A próxima informação que o enunciado nos traz é que caso sejam 
realizadas entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de 
R$ 32,00. Como o valor volta a ser fixo, devemos ter novamente uma 
reta fixa em 32 reais a partir da ligação 300, ou seja, a terceira parte do 
gráfico deve ser uma reta paralela fixa de valor de 32 reais a ser pago 
mensalmente. 
RESPOSTA: B 
 
12. ENEM – 2015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma 
empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a 
implantação de um novo ponto deparada em uma determinada rota. A 
figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus 
nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, 
representados por P e Q. 
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Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse 
percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias 
percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q 
sejam iguais. 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são 
(A) (290 ; 20). 
(B) (410 ; 0). 
(C) (410 ; 20). 
(D) (440 ; 0). 
(E) (440 ; 20). 
RESOLUÇÃO: 
 A distância entre os pontos P e Q pela rota do ônibus é dada por 
550 – 30 = 520 na direção do eixo x e mais 320 – 20 = 300 na direção 
do eixo y. Ou seja, o total da distância entre P e Q é de 520 + 300 = 820. 
A metade dessa distância é 410. O ponto T deve estar a uma distância de 
410 do ponto P (e automaticamente já estará à distância de 410 do ponto 
Q). Assim, partindo de P pela rota do ônibus basta adicionar 410 à 
abscissa do ponto P, de forma a encontrar 410 + 30 = 440. Logo, o ponto 
T deve ter coordenadas (440 ; 20). 
Resposta: E 
 
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13. ENEM - 2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio 
r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, 
como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-
horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência. 
 
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada 
Por 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 Perceba que o ponto P percorreu uma distância D sobre a 
circunferência no sentido anti-horário. Dessa forma, ele descreveu um 
arco, que nada mais é do que uma parte da circunferência. O 
comprimento total da circunferência é dado por 2 rπ . Esse comprimento 
corresponde ao ângulo total da circunferência que são 360º ou 2π . Veja a 
Figura abaixo: 
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 Portanto, basta fazer uma regra de três para encontrar o ângulo a: 
 Ângulo Comprimento do arco 
2π ----------------------- 2 rπ 
 a ------------------------ d 
a = d/r 
 
 Repare agora no triângulo retângulo em destaque na Figura. Sua 
hipotenusa é o raio r. Vamos chamar de x o cateto adjacente ao ângulo a. 
Dessa forma, x é dado por: 
cos a = x/r 
x = r cos a 
x = r cos(d/r) 
 
 O valor percorrido pelo ponto Q no eixo x é dado por r – x: 
r – x = r - r cos(d/r) 
r – x = r (1 – cos(d/r)) 
Resposta: B 
 
14. ENEM - 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere 
aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) 
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e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, 
IV e V, como se segue: 
I — é a circunferência de equação x2 + y2 = 9; 
II — é a parábola de equação y = − x2 − 1, com x variando de −1 a 1; 
III — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e 
(−2, 2); 
IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); 
V — é o ponto (0, 0). 
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre 
uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados 
medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual 
destas figuras foi desenhada pelo professor? 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
 A circunferência de equação x2 + y2 = 9 tem raio 3. Logo, podemos 
excluir as alternativas A e B. 
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 A parábola de equação y = − x2 – 1 tem concavidade voltada para 
baixo. Logo, podemos excluir a alternativa C. 
Sobraram as alternativas D e E. Veja que os quadrados estão 
igualmente posicionados nas duas alternativas. A única diferença é a 
posição da parábola. 
Quando x = 1, essa parábola assume valor y = -1 -1 = -2. Isso 
ocorre apenas na letra E. 
Resposta: E 
 
15. ENEM - 2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma 
verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e 
interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à 
conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas 
cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar 
esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende 
construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B 
e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão 
representadas no plano cartesiano: 
 
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A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O 
local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de 
coordenadas 
A) (65 ; 35). 
B) (53 ; 30). 
C) (45 ; 35). 
D) (50 ; 20). 
E) (50 ; 30). 
RESOLUÇÃO: 
 Essa questão é mais fácil ser resolvida analisando a Figura e 
testando as alternativas do que utilizando a fórmula de distância entre 
pontos. Na Figura abaixo estão marcadas todas as alternativas. 
 
 Veja que o a alternativa que nos deu um ponto equidistante de A, B 
e C foi a letra E. 
Resposta: E 
 
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16. UNICAMP – COMVEST – 2014) No plano cartesiano, a equação |x – 
y| = |x + y| representa: 
a) um ponto. 
b) uma reta. 
c) um par de retas paralelas. 
d) um par de retas concorrentes. 
RESOLUÇÃO: 
|x – y| = |x + y| 
(x – y)2 = (x + y)2 
x2 – 2xy + y2 = x2 + 2xy + y2 
xy = 0 
 
 Veja a expressão acima. Para qualquer valor de x, o y deve ser zero 
para que a igualdade seja verdadeira. Portanto, temos uma reta sobre o 
eixo x. Ao mesmo tempo, para qualquer valor de y, o x deve ser zero 
para que a igualdade seja verdadeira. Portanto, temos uma reta sobre o 
eixoy. Logo, temos duas retas concorrentes. 
RESPOSTA: D 
 
17. UFMG – VESTIBULAR – 2009) Os pontos A = (0, 3), B = (4, 0) e C 
= (a, b) são vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano. 
Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que 
a) 
b) 
c) 
d) 
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RESOLUÇÃO: 
 Veja uma possível representação do problema na figura abaixo: 
 
 
 Como os lados do triângulo são iguais, temos que a distância entre 
A e C é igual à distância entre B e C. 
(xA – xC)2 + (yA – yC)2 = (xB – xC)2 + (yB – yC)2 
(0 – a)2 + (3 – b)2 = (4 - a)2 + (0 - b)2 
a2 + 9 - 6b + b2 = a2 – 8a + 16 + b2 
9 - 6b = – 8a + 16 
-7 - 6b = - 8a 
7 + 6b = 8a 
6b = 8a - 7 
b = (8/6)a – 7/6 
b = (4/3)a – 7/6 
RESPOSTA: B 
 
18. FGV – VESTIBULAR – 2015) No plano cartesiano, a área do 
polígono determinado pelo sistema de inequações é igual 
a 
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 a) 12. 
 b) 12,5. 
 c) 14. 
 d) 14,5. 
 e) 15. 
RESOLUÇÃO: 
 Transformando temporariamente as inequações em igualdades, 
temos: 
y = (-4/3)x + 4 � passa pelos pontos (0,4) e (3,0) 
y = 2x + 4 � passa pelos pontos (0,4) e (-2,0) 
x = 3 
 
 Vamos fazer um esboço dessas três retas para facilitar a 
visualização: 
 
 
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 O polígono formado pelo sistema de inequações é o triângulo de 
BDA. Para encontrarmos a sua área, primeiro precisamos das 
coordenadas do ponto A. Ele esta na intersecção das retas x = 3 e y = 2x 
+ 4. Temos y = 2(3) + 4 = 10. A base do triangulo BDA é 10. Sua altura 
é 3. Portanto, sua área é: 
A = bh/2 
A = 10x3/2 
A = 15 
RESPOSTA: E 
 
19. USP – FUVEST – 2011) No plano cartesiano 0xy, a circunferência C 
é tangente ao eixo 0x no ponto de abscissa 5 e contém o ponto ( 1,2 ) . 
Nessas condições, o raio de C vale 
 a) √5 
 b) 2√5 
 c) 5 
 d) 3√5 
 e) 10 
RESOLUÇÃO: 
 Uma possível representação do problema é mostrada na figura 
abaixo: 
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 Como a circunferência tangencia o eixo x no ponto (5,0), podemos 
concluir que a abscissa do centro da circunferência também é 5. Só 
precisamos encontrar o valor yc. A distância do ponto (1,2) ao centro é o 
raio e, portanto, é igual à distância do ponto (5,0) ao centro. Logo, 
temos: 
(5 – 5)2 + (yC – 0)2 = (5 – 1)2 + (yC – 2)2 
 yC2 = 16 + yC2 – 4yc + 4 
4yc = 20 
yc = 5 
 
 Logo, o centro da circunferência tem coordenadas (5,5) e está a 
uma distância de 5 unidades do ponto (5,0), ou seja, o raio é 5. 
RESPOSTA: C 
 
20. USP – FUVEST – 2012) São dados, no plano cartesiano, o ponto P 
de coordenadas ( 3, 6 ) e a circunferência C de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 
= 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a 
distância de P a Q é 
a) 15 
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b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
RESOLUÇÃO: 
 Veja uma representação do problema na Figura abaixo: 
 
 
 
 Repare no triângulo retângulo em destaque. Queremos descobrir a 
medida do cateto QP. Para isso precisamos obter a medida do outro 
cateto e da hipotenusa. 
 O outro cateto é o próprio raio da circunferência cuja equação é (x - 
1)2 + (y - 2)2 = 1. O raio é 1. 
 O centro da circunferência está em (1,2). A distância desse ponto 
ao ponto (3,6) nos dá a medida da hipotenusa: 
(1 – 3)2 + (2 – 6)2 = hipotenusa2 
(-2)2 + (-4)2 = hipotenusa2 
hipotenusa2 = 4 + 16 = 20 
 
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 Aplicando Pitágoras ao triângulo retângulo temos: 
Cateto12 + Cateto22 = hipotenusa2 
1 + Cateto22 = 20 
Cateto22 = 19 
Distância QP = 19 
RESPOSTA: D 
 
21. UNICAMP – COMVEST – 2014) No plano cartesiano, a reta de 
equação 2x - 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. 
O ponto médio do segmento AB tem coordenadas 
 a) ( 4, 4/3 ). 
 b) ( 3, 2 ). 
 c) ( 4. - 4/3 ). 
 d) ( 3, - 2 ). 
RESOLUÇÃO: 
 Quando temos dois pontos A(x, y) e B(z,w), podemos calcular o 
ponto médio entre PM(xm, ym) eles assim: 
xm = (x+z)/2 
ym = (y+w)/2 
 
 A reta 2x - 3y = 12 intercepta o eixo x quando y = 0 � 2x = 12 � 
x = 6. 
A reta 2x - 3y = 12 intercepta o eixo y quando x = 0 � -3y = 12 � 
y = -4. 
Logo, os nossos pontos são A = (6,0) e B = (0,-4). Calculando as 
coordenadas do ponto médio, temos: 
xm = (6+0)/2 = 3 
ym = (0-4)/2 = -2 
RESPOSTA: D 
 
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22. USP – FUVEST – 2012) No plano cartesiano, um círculo de centro P 
= (a,b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à 
parábola de equação y = x2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a 
 a) 2 + 2√2 
 b) 3 + 2√2 
 c) 4 + 2√2 
 d) 5 + 2√2 
 e) 6 + 2√2 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a Figura abaixo. 
 
 
 As coordenadas do ponto P são (a,b). Assim, podemos dizer que as 
coordenadas do ponto de tangência da circunferência com a reta x=0 
(que é o próprio eixo y) são (0, b). 
 Repare no triângulo retângulo em amarelo. O ângulo em destaque 
mede 22,5º visto que divide ao meio o ângulo de 45º formado entre a 
reta y = x e o eixo y. Da figura temos: 
tg (22,5º) = cateto oposto / cateto adjacente 
 
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 O cateto oposto mede “a” e o cateto adjacente mede “b”. Como o 
centro P está sobre y = x2, podemos dizer que b = a2, de onde temos que 
a = b . 
 Vamos encontrar a tg (22,5º) utilizando a relação: 
1 cos
tan
2 1 cos
45 1 cos 45
tan 22,5 tan
2 1 cos 45
a A
A
−  = ±  + 
− = = ±  + 
 
1 2 / 2
tan 22,5
1 2 / 2
1 2 / 2
1 2 / 2
b
b
−=
+
− =
+
 
 
 Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado temos: 
2
1 2 / 2 1
1 2 / 2
1 2 / 2
1 2 / 2
b
b b
b
− = =
+
+=
−
 
 
 Multiplicando por 2 no numerador e no denominador temos: 
2 1
2 1
b
+=
−
 
 
 Multiplicando por 2 1+ no numerador e no denominador temos: 
2 1 2 1 2 2 2 1
32 2
2 12 1 2 1
b
+ + + += = = +
−− +
 
RESPOSTA: B 
 
23. FGV – VESTIBULAR – 2015) No plano cartesiano, a equação da 
reta tangente ao gráfico de x2 + y2 = 25 pelo ponto (3,4) é 
 a) 4x + 3y – 25 = 0. 
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 b) 4x + 3y – 5 = 0. 
 c) 4x + 5y – 9 = 0. 
 d) 3x + 4y – 25 = 0. 
 e) 3x + 4y – 5 = 0. 
RESOLUÇÃO: 
 O gráfico de x2 + y2 = 25 é uma circunferência de centro na origem 
e raio igual a 5. Perceba que o ponto (3, 4) faz parte da circunferência, 
visto que 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Vamos encontrar a reta y = ax + b que 
passa pela origem e pelo ponto (3, 4). 
 Para (0, 0): 
y = ax + b 
0 = a0 + b 
b = 0 
 
 Para (3, 4): 
y = ax 
4 = a3 
a = 4/3 
 
 
 Seja y = cx + d a reta tangente à circunferência no ponto (3, 4). 
Como a reta y = 4x/3 é perpendicular à reta tangente à circunferência no 
ponto (3, 4) temos que, o coeficiente angular da reta tangente é o inverso 
e oposto do coeficiente angular da reta y = 4x/3. Ou seja, c = -3/4. 
 Assim, ficamos com y = -3x/4 + d. Como essa reta também passa 
pelo ponto (3, 4), temos: 
y = -3x/4 + d 
4 = -(3 . 3)/4 + d 
4 = -9/4 + d 
16 = -9 + 4d 
25 = 4d 
d = 25/4 
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 Assim, a reta tangente tem equação: 
y = -3x/4 + 25/4 
4y = -3x + 25 
3x + 4y – 25 = 0 
RESPOSTA: D 
 
24. UFMG – VESTIBULAR – 2006) Seja P = (a,b) um ponto no plano 
cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. 
 
As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o 
quadrado de vértices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regiões I, II, III e IV, 
como mostrado nesta figura: 
 
 
Considere o ponto 2 2( , )Q a b ab= + . 
Então, é CORRETO afirmar que o ponto Q está na região 
 a) I. 
 b) II. 
 c) III. 
 d) IV. 
RESOLUÇÃO: 
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 Tanto A quanto B estão entre 0 e 1. 
 
Ordenada (ab) � Sabemos que ao multiplicar dois números entre 0 
e 1, obteremos um resultado menor que o menor daqueles números. 
Assim, descartamos as regiões III e IV por apresentarem ordenadas 
maiores que b. 
 
Abscissa 2 2a b+ � um número entre 0 e 1 ao quadrado gera um 
resultado menor que ele mesmo. No entanto, a soma dos quadrados de 
dois números entre 0 e 1, nos leva a um resultado x cuja raiz quadrada 
poderá ser de dois tipos: 
1) Se x>1, a raiz quadrada de x estará entre 1 e x e, portanto, será 
maior que a. 
2) Se x<1, a raiz quadrada de x estará entre a e 1, sendo também 
maior que a. 
Logo, podemos descartar também a região I, nos sobrando apenas 
a região II. 
RESPOSTA: B 
 
25. UFMG – VESTIBULAR – 2007) Neste plano cartesiano, estão 
representados os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x) ,ambas 
definidas no intervalo aberto ]0, 6[ : 
 
 
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Seja S o subconjunto de números reais definido por 
 
 
Então, é CORRETO afirmar que S é 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
RESOLUÇÃO: 
 S é o subconjunto de números reais definido por f(x).g(x)<0, com x 
pertencente aos reais. Ora, para termos o produto de f por g negativo, 
devemos ter ou f ou g negativos, mas não os dois ao mesmo tempo, visto 
que o produto de dois negativos dá positivo. 
 
 
 
Veja que entre x = 2 e x = 3 temos f positiva e g negativa. Assim 
também temos acima de x = 5, em que f é negativa e g positiva. Nessas 
regiões, o produto das duas funções para um dado x terá valor negativo. 
Desta forma, o subconjunto S de números reais definido por f(x).g(x)<0, 
com x pertencente aos reais é dado por: 
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{ } { }| 2 3 | 5 6S x x x x= ∈ < < ∈ < <ℝ ℝ∪ 
RESPOSTA: A 
 
26. UECE – UECE/CEV – 2011) No plano cartesiano usual, a área, em 
unidade de área (u.a), do triângulo cujos três lados estão 
respectivamente sobre as retas de equações 
x + y – 5 = 0; 3x – 2y + 5 = 0 e 2x – 3y + 5 = 0 é 
 a) 2,0. 
 b) 2,5. 
 c) 3,0. 
 d) 3,5. 
RESOLUÇÃO: 
1ª reta � x + y – 5 = 0 � y = 5 – x 
2ª reta � 3x – 2y + 5 = 0 � y = (3/2)x + 5/2 
3ª reta � 2x – 3y + 5 = 0 � y = (2/3)x + 5 
 As três retas se cruzam e determinam um triângulo. Podemos achar 
os vértices desse triângulo identificando os pontos em que as retas se 
cruzam. Vejamos: 
1ª e 2ª retas 
5 – x = (3/2)x + 5/2 
5 – 5/2 = x + (3/2)x 
5/2 = 5/2 x 
x = 1 � y = 4 
2ª e 3ª retas 
(3/2)x + 5/2 = (2/3)x + 5 
(3/2 – 2/3)x = 5/2 
(5/6)x = 5/2 
x = 3 � y = 7 
1ª e 3ª retas 
5 – x = (2/3)x + 5 
(1 + 2/3)x = 0 
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x = 0 � y = 5 
 
 Vamos ver onde estão esses pontos no plano cartesiano e o 
correspondente triângulo formado por eles: 
 
 
 Podemos calcular a área do triângulo da seguinte forma: 
AtriânguloFGA = AtrapézioDBAF – AtrapézioCGAB – AretânguloDCGE - AtriânguloFGE 
(7 5)3 (7 4)2 1
1 4 1
2 2 2
1
18 11 4
2
2,5
triânguloFGA
triânguloFGA
triânguloFGA
A
A
A
+ += − − × − ×
= − − −
=
 
RESPOSTA: B 
 
27. UECE – UECE/CEV – 2011) No plano cartesiano usual, o quadrado 
PQRS tem três dos seus vértices sobre o gráfico da função f(x) = x2 sendo 
um deles o ponto (0,0). A soma de todas as coordenadas dos vértices do 
quadrado é 
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 a) 4. 
 b) 8. 
 c) 12. 
 d) 16. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que a única forma de um quadrado ter três de seus vértices 
sobre o gráfico de uma parábola é a mostrada na figura abaixo: 
 
 Veja que temos um vértice do quadrado no primeiro quadrante, um 
no segundo quadrante e dois vértices sobre o eixo y. 
 Chamamos de x1 a abscissa do vértice do primeiro quadrante. Como 
ele está sobre a parábola, a ordenada desse vértice será x12. O vértice do 
segundo quadrante compartilha da mesma ordenada. Já sua abscissa é –
x1, visto que está na parte negativa do eixo x. Já o vértice sobre o eixo y, 
sem ser o que está na origem, tem coordenadas (0,x2). 
 A distância de um vértice para o vértice oposto deve ser igual. 
Logo: 
(0 – x2)2 + (0 – 0)2 = (x1 – (-x1))2 + (x12 – x12)2 
x22 = 4x12 
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x2 = 2x1 
 
 Repare agora no triângulo retângulo em preto na Figura anterior. 
Ele tem um cateto sobre o eixo y (medindo x12) e um cateto sobre 
paralelo ao eixo x (medindo x1). Como esse triângulo retângulo tem 
ângulos de 45º, seus catetos são iguais. Logo: 
x1 = x12 
 
 Assim, ou x1 = 0, resposta que não nos interessa, ou x1 = 1. Assim, 
os vértices do quadrado tem coordenadas (0,0), (-1,1), (0,2) e (1,1), 
cuja soma é 4. 
RESPOSTA: A 
 
28. PUC/RS – VESTIBULAR – 2012) Três dardos são jogados em um 
plano cartesiano e acertam uma circunferência de equação (x – 9)2 + (y 
+ 4)2 = 25. Um quarto dardo é jogado e acerta o centro desta 
circunferência. Então, as coordenadas do último dardo são 
 a) (–3, 2) 
 b) (3, –2) 
 c) (9, –4) 
 d) (–9, 4) 
 e) (–5, 25) 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a equação da circunferência: 
(x – 9)2 + (y + 4)2 = 25 
 
 Fica fácil concluir que as coordenadas do centro são (9,-4). 
RESPOSTA: C 
 
29. USP – FUVEST – 2009) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação 
x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto ( 0 , 2 ). 
Além disso, o ponto ( 1,0 ) pertence a C. Então, o raio de C é igual a 
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 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
RESOLUÇÃO: 
 A reta tem equação x + y = 2 � y = -x + 2. Como a reta é 
tangente à circunferência no ponto (0,2), significa que esse ponto 
pertence à circunferência. O ponto (1,0) também pertence à 
circunferência. A distância do centro até cada um desses pontos é o raio. 
Portanto, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: 
(0 – xc)2 + (2 – yc)2 = (1 – xc)2 + (0 – yc)2 
xc2 + 4 – 4yc + yc2 = 1 – 2xc + xc2 + yc2 
 4 – 4yc = 1 – 2xc 
3 + 2xc = 4yc 
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 Do ponto de tangência entre a reta e a circunferência parte uma 
reta perpendicular (em azul) à que conhecemos de equação y = x + d, 
em que d é coeficiente linear que nos é desconhecido. Veja que já 
colocamos o coeficiente angular dessa reta como inverso e oposto ao da 
outra visto que elas são perpendiculares. 
Podemos afirmar que o centro da circunferência está sobre essa 
reta em azul. Note, no entanto, que o ponto de tangência está sobre o 
eixo y, de forma que o coeficiente linear desta reta também é 2. Assim, a 
reta que contém o centro da circunferência tem equação y = x + 2. 
Portanto, podemos dizer que yc = xc + 2. Substituindo essa informação 
na anterior, temos: 
3 + 2xc = 4yc 
3 + 2xc = 4(xc + 2) 
3 + 2xc = 4xc + 8 
3 = 2xc + 8 
2xc = -5 
xc = -5/2 
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 Daí temos yc = xc + 2 = -5/2 + 2 = -1/2. Calculando agora a 
distância do centro da circunferência, cujas coordenadas encontramos, 
até o ponto de tangência, temos: 
(0 – xc)2 + (2 – yc)2 = r2 
(0 + 5/2)2 + (2 + 1/2)2 = r2 
25/4 + 25/4= r2 
r2 = 50/4 
2 50 / 4
50 25 2 5
2
4 4 2
r
x
r
=
= = =
 
RESPOSTA: B 
 
30. USP – FUVEST – 2014) A equação x2 + 2x + y2 + my = n, em que 
m e n são constantes, representa uma circunferência no plano 
cartesiano. Sabe-se que a reta y = -x + 1 contém o centro da 
circunferência e a intersecta no ponto (-3, 4). Os valores de m e n são, 
respectivamente, 
 a) -4 e 3 
 b) 4 e 5 
 c) -4 e 2 
 d) -2 e 4 
 e) 2 e 3 
RESOLUÇÃO: 
 Repare na equação da circunferência: x2 + 2x + y2 + my = n. Ela 
não está no formato que geralmente conhecemos. Devemos “forçar” o 
aparecimento da equação na forma que queremos. 
 Veja que: 
x2 + 2x = (x + 1)2 – 1 
 
 Logo, nossa equação da circunferência fica: 
(x + 1)2 - 1 + y2 + my = n 
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(x + 1)2 + y2 + my = n + 1 
 
 Podemos afirmar que a abscissa do centro é x = -1. Como o centro 
está sobre a reta y = -x + 1, temos que y = -(-1) + 1 = 2, que é a 
ordenada do centro. 
 
 O raio da circunferência será dado pela distância entre o centro e o 
ponto (-3,4). Logo: 
(-3-(-1))2 + (2 – 4)2 = r2 
(-2)2 + (-2)2 = r2 
r2 = 8 
 
 A equação da circunferência é 
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 8 
 
 Anteriormente tínhamos encontrado a seguinte relação: 
(x + 1)2 + y2 + my = n + 1 
(x + 1)2 = -y2 - my + n + 1 
 
 Substituindo na equação da circunferência temos: 
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(x + 1)2 + (y – 2)2 = 8 
-y2 - my + n + 1 + (y – 2)2 = 8 
-y2 - my + n + 1 + y2 – 4y + 4 = 8 
-my + n + 1 – 4y + 4 = 8 
(-m – 4)y + n = 3 
 
 Supondo que temos um polinômio em cada lado da igualdade, basta 
compararmos os temos que multiplicam y entre si e também aqueles que 
não multiplicam y também entre si, de onde concluímos que: 
-m – 4 = 0 
m = -4 
n = 3 
RESPOSTA: A 
 
31. ENEM – 2015) A figura representa a vista superior de uma bola de 
futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma 
elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, 
respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do 
seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os 
comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento 
vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab². 
O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado por: 
a) 8b³ 
b) 6b³ 
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c) 5b³ 
d) 4b³ 
e) 2b³ 
RESOLUÇÃO: 
 Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e 
vertical é igual à metade do comprimento vertical: 
 
 
 
O volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab². 
 
RESPOSTA: B 
 
32. ENEM - 2013) A função real que expressa a parábola, no plano 
cartesiano da figura, é dada pela lei 
( ) 23 – 6 
2
f x x x C= +
 onde C é a 
medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que 
o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o 
eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em 
centímetros, é 
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A) 1. 
B) 2. 
C) 4. 
D) 5.E) 6. 
RESOLUÇÃO: 
 O ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado 
sobre o eixo x. Logo, como a parábola só toca o eixo x em um ponto, ela 
possui uma raiz dupla. Isso só é possível nos casos em que o delta (de 
Báskara) é zero. Logo: 
Delta = 0 
b2 – 4ac = 0 
(-6)2 – 4(3/2)C = 0 
36 – 6C = 0 
C = 6 
Resposta: E 
 
33. ENEM - 2004) Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os 
classificados de um jornal: 
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Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, lá chegando, 
observa um painel com a planta a seguir, onde estavam destacados os 
terrenos ainda não vendidos, numerados de I a V: 
 
Considerando as informações do jornal, é possível afirmar que o terreno 
anunciado é o 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) IV. 
(E) V. 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente, veja que o terreno tem 200 m2. Veja a escala da 
planta. Ou seja, cada espaço do tamanho desse mostrado mede 
10 m. Os únicos terrenos que poderiam ter 200 m2 são o III e o IV. 
 Repare agora no sentido do norte, mostrado na planta como sendo 
para cima. O anúncio diz que a frente é voltada para o sol no período da 
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manhã. Sabemos que o sol nasce no leste. Só o terreno IV satisfaz essa 
condição. 
Resposta: D 
 
34. ENEM - 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se 
identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de 
atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As 
raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são 
construídas do centro da pista para a extremidade e são construídas de 
segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois 
semicírculos da pista são iguais. 
 
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em 
qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? 
A) 1 
B) 4 
C) 5 
D) 7 
E) 8 
RESOLUÇÃO: 
 O corredor estaria sendo beneficiado na raia mais interna, ou seja, 
a raia de número 1. O comprimento de todas as raias é igual na parte 
retilínea do circuito. No entanto, nos semicírculos presentes em cada 
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extremidade, o comprimento percorrido na raia interna é menor que o 
das raias externas, visto que o raio da raia interna é inferior aos outros. 
Lembre-se que o perímetro do círculo é 2 Rπ , portanto, o comprimento é 
diretamente proporcional ao raio. Quanto menor o raio R, menor o 
comprimento. 
Resposta: A 
 
35. ENEM - 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para 
atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em 
apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 
150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria 
aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a 
cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o 
preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção 
idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é 
função do tempo medido em número de dias. 
 
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um 
casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal 
que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de 
A) R$ 90,00. 
B) R$ 110,00. 
C) R$ 130,00. 
D) R$ 150,00. 
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E) R$ 170,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Sete dias fora da promoção custam 7 x 150 = 1.050 reais. 
 Oito dias utilizando a promoção: 
� da primeira à terceira diária � 3 x 150 = 450 reais. 
� quarta diária � 150 – 20 = 130 reais. 
� quinta diária � 130 – 20 = 110 reais. 
� sexta diária � 110 – 20 = 90 reais. 
� sétima e oitava diárias � 2 x 90 = 180 reais. 
 Preço total: 450 + 130 + 110 + 90 + 180 = 960 reais. 
 A economia desse casal em relação ao anterior foi de 1050 – 960 = 
90 reais. 
Resposta: A 
 
36. ENEM - 2014) A figura mostra uma criança brincando em um 
balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do 
suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um 
acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a 
posição horizontal. 
 
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do 
assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte 
do balanço, o eixo X é o paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem 
orientação positiva para cima. 
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do 
gráfico da função 
A)
2( ) 2F X X= − − 
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B) 
2( ) 2F X X= − 
C) 
2( ) 2F X X= −
 
D) 
2( ) 4F X X= − − 
E)
2( ) 4F X X= − 
RESOLUÇÃO: 
 
 Repare no triângulo retângulo em destaque na Figura abaixo: 
 
 Aplicando Pitágoras, temos: 
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2
 2
 = 4 - 
 = 4
+
 - 
F x x
F x x
F x x
  
  
 ± 
=
 
 Repare, no entanto, que F(x) é negativo, visto que está abaixo do 
eixo x. Logo: 
( ) 2 = - 4 - F x x   
Resposta: D 
 
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37. ENEM - 2010) A figura a seguir é a representação de uma região por 
meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a 
altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão 
expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a 
latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita 
está associada à altitude da região. 
 
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a 
partir do ponto X = (20; 60). O helicóptero segue o percurso: 
0,8°L→0,5°N→0,2°O→0,1°S→0,4°N→0,3°L 
Ao final, desce verticalmente até pousar no solo. De acordo com as 
orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é 
A) menor ou igual a 200 m. 
B) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. 
C) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m 
D) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. 
E) maior que 800 m 
RESOLUÇÃO: 
 Veja abaixo o trajeto percorrido pelo helicóptero: 
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