Modelo-Solow-com-Tecnologia

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Aula 3
Modelos de Solow com Progresso Tecnológico Exógeno
Wilson Correa
March 20, 2020
Função de Produção e Tecnologia
Possibilidades de inclusão de tecnologia no modelo:
1 Y = AF (K , L)→Hicks-Neutra
2 Y = F (AK , L)→Aumentadora de Capital ou Solow-Neutra
3 Y = F (K ,AL)→Aumentadora de Trabalho ou Harrod-Neutra
Tecnologia
Progresso tecnológico ocorre quando A aumenta ao longo do
tempo.
Unidade de trabalho é mais produtiva quando o ńıvel de
tecnologia é mais elevado.
Surge na economia automaticamente e possui taxa de
crescimento constante.
Ȧ
A
= g ⇔ A = A0egt (1)
Onde g é a taxa de crescimento da tecnologia
Tecnologia e Estado Estacionário
Assuma a seguinte formulação para a função de produção:
Y = Kα(AL)1−α. Esta função pode ser reescrita como:
y = kαA1−α (2)
Tomando ln em ambos os lados e diferenciando fica
ẏ
y
= α
k̇
k
+ (1− α) Ȧ
A
(3)
Sabemos do modelo sem tecnologia que no estado estacionário
k̇ = 0, portanto não haverá crescimento do produto per capita
a não ser que g seja diferente de zero. De outro modo, a
tecnologia é o motor do crescimento econômico.
Crescimento e Estado Estacionário
No modelo com taxa de crescimento da tecnologia constante
há crescimento do produto per capita ininterrupto. Como
forma de viabilizar uma representação gráfica similar ao do
modelo sem tecnologia, vamos construir a razão
capital-tecnologia, tal que:
Y = Kα(AL)1−α ⇒ Y
AL
=
(
K
AL
)α
⇒ ỹ = k̃α (4)
k̃ = KAL → representa a razão capital por trabalhador e
tecnologia ou razão ”capital-tecnologia”
Crescimento e Estado Estacionário
Tomando ln e diferenciando em ambos os lados temos:
˜̇k
k̃
=
K̇
K
− Ȧ
A
− L̇
L
(5)
Isolando K̇ temos:
K̇ =
(
˜̇k
k̃
+
Ȧ
A
+
L̇
L
)
K (6)
Substituindo na equação de acumulação do capital fica:(
˜̇k
k̃
+
Ȧ
A
+
L̇
L
)
K = sY − dK (7)
Crescimento e Estado Estacionário
Resolvendo para ˜̇k resulta na seguinte equação para a
dinâmica da razão capital-tecnologia:
˜̇k = sỹ − (n + g + d)k̃ (8)
Economia cresce à uma taxa que representa uma trajetória de
crescimento equilibrado
Como a tecnologia é o motor do crescimento, no estado
estacionário o produto per capita y estará crescendo à taxa g,
enquanto que para a ”nova” variável ỹ não há crescimento.
Figura 6 - Equiĺıbrio no Estado Estacionário
Implicações do Estado Estacionário
k̃∗ =
(
s
n + g + d
) 1
1−α
(9)
ỹ∗ =
(
s
n + g + d
) α
1−α
(10)
Notem que se A = 1 e g = 0 temos
y =
(
s
n + d
) α
1−α
(11)
Portanto o modelo sem progresso tecnológico pode ser
considerado um caso particular do modelo com progresso
tecnológico.
Figura 7 - Efeitos de um Aumento em s
Estática Comparativa Aumento em s
Em k̃∗,com o novo ńıvel de investimento, o produto por
trabalhador aumenta mais velozmente do que a tecnologia
→
.
y
y
> g
Aumento temporário até que a razão produto por unidade
efetiva de trabalho atinja o seu novo estado estacionário (k̃∗∗).
Retorno ao ńıvel de crescimento de longo prazo. Existe um
efeito no ńıvel de produto que é permanente (momento do
novo ńıvel de investimento), mas não na taxa de crescimento.
Figura 8 - Efeitos de um Aumento em s sobre a Taxa de
Crescimento de y
Modelo de Solow com Progresso Tecnológico: Implicações
Modelo de Solow recorre a diferenças nas taxas de
crescimento populacional, nas taxas de investimento e na
tecnologia para explicar diferenças na renda per capita.
Páıs se torna rico se investir a uma taxa superior à do
crescimento populacional, pois acumula mais capital por
trabalhador e aumenta a produtividade da mão-de-obra.
Crescimento sustentado, no sentido de não causar
desequiĺıbrio entre produção, consumo e poupança, está
relacionado com progresso tecnológico exógeno.
Sem progresso tecnológico o rendimento marginal do capital
se manifesta e não há crescimento do produto per capita.
Com progresso tecnológico as melhoras cont́ınuas compensam
o rendimento marginal decrescente.