Modelagem de Sistemas

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Aula 04 – Modelagem
ENG 314 – Vibrações Mecânicas
Prof. Antônio Carlos Peixoto Bitencourt
30/05/2015
Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt -
ENG 314 - 2015.1
Modelo para 1 GDL, translacional, sem 
amortecimento
 1 GDL: a coordenada translacional x(t) é suficiente 
para descrever o movimento da massa rígida m
 Teoricamente, como não há amortecimento, a 
amplitude da vibração mantém-se constante
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1. Torre de televisão
Exemplos de Modelos com 1 GDL
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3. Estrutura predial
Exemplos de Modelos com 1 GDL
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Exemplos de Modelos com 1 GDL
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Métodos de modelagem
 Sistema equivalente
 Newton
 Conservação de Energia
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Método de Newton
 2a Lei de Newton
 𝐹𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝐹𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 = 𝑚𝑒𝑞 . 𝑎
 𝑀𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑀𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 = 𝐽𝑒𝑞 . 𝛼
 Movimento plano de um corpo rígido, principalmente 
com um tipo de movimento
30/05/2015
“A taxa de variação temporal da quantidade de 
movimento linear (angular) de uma massa é igual à 
força resultante (ao momento resultante) atuando 
sobre ela”.
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2a Lei de Newton
 Translação
 Rotação no plano xy:
 Em torno de um eixo passando pelo centro de massa
 Em torno de um eixo passando por um ponto fixo O que não seja o 
centro de massa
 J – momento de massa (momento de inércia)
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( )t mF x
( )t JM θ
( )O Ot JM θ
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Procedimento de modelagem a partir da 
2a Lei de Newton
1. Selecionar uma coordenada generalizada adequada: 
1. Linear  translação de um ponto da massa rígida 
(normalmente o centro de massa) ou
2. Angular  rotação de um corpo rígido
2. Definir a posição de equilíbrio estático do sistema e usá-la 
como origem da coordenada escolhida
3. Desenhar todas as forças externas que atuam sobre a 
massa – DCL 
4. Aplicar a 2a Lei de Newton
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Exemplos de Modelos com 1 GDL
1. Coordenada generalizada selecionada: x(t)
2. Origem da coordenada: posição de equilíbrio 
estático
3. DCL
4. 2a Lei de Newton (translação):
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0mx kx 
EDOL de 2a ordem, coeficientes constantes, 
homogênea
Sistema translacional Massa-Mola na 
Vertical (influência da gravidade)
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Sistema translacional Massa-Mola na 
Vertical (influência da gravidade)
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stkmgW  
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Sistema translacional Massa-Mola na 
Vertical (influência da gravidade)
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2a Lei de Newton:
Wxkxm st  )( 
como
Wk st  
0  kxxm 
Conclusão importante: EDOL é a mesma, desde que a 
origem esteja na posição de equilíbrio estático 
podemos ignorar o peso mg
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Método de Sistema Equivalente
 sistema padrão com um GDL e a EDOL correspondente 
é conhecida como forma padrão do modelo 
matemático. 
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 0eq eqm x k x 
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Princípio da Conservação da Energia
 Sistema Conservativo: não há perda de energia por 
atrito
 Logo, não existe amortecimento e a energia do sistema 
permanece constante:
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T + U = constante
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Procedimento
1. Determinar a energia cinética do sistema
2. Determinar a variação da energia potencial do 
sistema
3. Aplicar Princípio de Conservação
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2.2.
J
2
1
T ou xm
2
1
T 
2
t
2 k
2
1
U ou kx
2
1
U  mghU 
T + U = cte
0)UT(
dt
d

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Equação de Movimento Instrumento de 
Vibração
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Aplicação de Sistema de Equivalente
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RAO 1.8 – Sistema Equivalente
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RAO 1.13 – Sistema Equivalente
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Sistema equivalente em relação ao eixo de 
transmissão para a coordenada generalizada 
determinada
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