ANÁLISE DIMENSIONAL Hidrodinâmica

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
1 
 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL E TEORIA DA 
SEMELHANÇA PARA ENGENHARIAS 
NAVAL, OCEÂNICA E DE ENERGIAS 
RENOVÁVEIS EM ÁGUAS PROFUNDAS, 
MAS NÃO APENAS 
 
 
por 
 
Antonio Carlos Fernandes, PhD 
 
 
[OBRA EM PROGRESSO] 
 
Versão 4.3 
 
Rio de Janeiro, 12 de julho de 2021 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
2 
 
Sumário 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 4 
1.1. Princípio da homogeneidade dimensional (PHD) e seu corolário ..................... 5 
1.2. Uma aplicação informal ..................................................................................... 7 
Aplicação 1. 1/3: Período natural do pêndulo simples no vácuo: visão informal (A1. 
1/3) ............................................................................................................................ 8 
2. MOTIVAÇÕES ...................................................................................................... 10 
3. TIPOS DE PROPRIEDADES ................................................................................ 13 
3.1. Variáveis fundamentais ou primárias ou dimensões do problema .................. 14 
3.2. Variáveis derivadas ou secundárias ................................................................. 14 
4. OPERADOR DIMENSIONAL .............................................................................. 15 
5. PROVA DA EXISTÊNCIA DO OPERADOR DIMENSIONAL ......................... 17 
6. TRANSFORMAÇÃO DE EXPRESSÕES DIMENSIONAIS EM EXPRESSÕES 
ADIMENSIONAIS ........................................................................................................ 22 
7. TEOREMA DE BUCKINGHAM .......................................................................... 22 
8. APLICAÇÕES PRELIMINARES COM DUAS DIMENSÕES ........................... 26 
Aplicação 1. 2/3: Período natural do pêndulo simples no vácuo/visão formal 
(A1.2/3) .................................................................................................................. 26 
Aplicação 2: Corpo caindo no vácuo (A2 ) ............................................................ 33 
Aplicação 3: Relação de Dispersão em Ondas de Gravidade (A3) ........................ 42 
Aplicação 4: Flecha de viga devido à flexão. (A4) ................................................ 49 
Aplicação 5: Pressão numa bolha de sabão (A5) ................................................... 54 
9. APLICAÇÕES PRELIMINARES COM TRÊS DIMENSÕES: PÊNDULO AINDA
 57 
Aplicação 1.3/3: Tração no cabo do pêndulo simples no vácuo (A1.3/3) .............. 57 
10. TEORIA DA SEMELHANÇA ........................................................................... 61 
11. APLICAÇÕES AVANÇADAS COM TRÊS DIMENSÕES: ARRASTO E 
SUSTENTAÇÃO EM ELEMENTOS ESBELTOS E ROMBUDOS ............................ 64 
Aplicação 6: Força friccional em placa plana lisa submetida à corrente (A6) ....... 64 
Aplicação 7: Força de arrasto em corpo rombudo 2D fixo submetido à corrente 
transversal (A7) ...................................................................................................... 71 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
3 
 
Aplicação 8: Forças de sustentação (LIFT), arrasto (DRAG) e momento (BINÁRIO 
- COUPLE) em asa infinita com perfil simétrico (A8) .......................................... 79 
12. ENSAIO DE RESISTÊNCIA AO AVANÇO DE EMBARCAÇÃO ................. 86 
Aplicação 9:Forças de resistência ao avanço de embarcações (A9) ...................... 86 
Aplicação 10: Ensaios fundamentais sobre interceptadores em Canal de Correntes 
(A10) ....................................................................................................................... 94 
Aplicação 11: Corpo caindo num líquido: velocidade terminal (A11) .................. 99 
13. PREPARAÇÃO DE ENSAIOS COM AUXÍLIO DE EQUAÇÕES 
CONHECIDAS ............................................................................................................ 100 
14. APLICAÇÕES COM GERAÇÃO DE VÓRTICES: STROUHAL, KEULEGAN-
CARPENTER, VIVy, VIVxy, VIVx e VSIV .............................................................. 101 
Aplicação 12: Frequência de geração de vórtices em cilindro fixo; Número de 
Strouhal (A12) ...................................................................................................... 101 
Aplicação 13: Força de Arrasto e força de inércia do fluido (efeito de massa 
adicional) em cilindro fixo submetido a escoamento harmônico; Número de 
Keulegan-Carpenter (A13). .................................................................................. 106 
Aplicação 14:Efeito da geração de vórtices em cilindro com um grau de liberdade 
transversal: VIVy (A13) ....................................................................................... 114 
Aplicação 15:Efeito da geração de vórtices em cilindro com dois graus de liberdade: 
VIVxy (A15) ........................................................................................................ 129 
Aplicação 16:Vibração Auto Induzida por Vórtices (Vortex Self-Induced Vibration): 
VSIV (A16) .......................................................................................................... 138 
15. APLICAÇÕES COM ONDAS: ESPECTRO DE ONDA, CORPOS 
ARBITRÁRIOS ESTACIONÁRIOS EM ONDAS. .................................................... 144 
Aplicação 17:Espectro de ondas aleatórias (A17) ................................................ 144 
Aplicação 18:Ensaio em ondas (A18) ................................................................. 148 
Aplicação 19:Ensaio em ondas do caso do jogo (roll) (A19) ............................... 148 
Aplicação 21:Equação de Morison (A20) ............................................................ 149 
16. APLICAÇÃO EM MECÂNICA DOS SOLOS ................................................ 156 
Aplicação 22: Ensaio de Compactação de solo em Centrífugas (A22) ................ 156 
17. AUTORROTAÇÃO E TURBINA VAACT ..................................................... 159 
Aplicação 23:Tatalamento de Placa Plana Articulada em Eixo Vertical Submetida à 
Corrente Uniforme (A23) ..................................................................................... 159 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
4 
 
Aplicação 24: Eficiência da VAACT (Vertical Axis Autorotation Current Turbine) 
Turbina de Autorrotação de Eixo Vertical (A24) ................................................. 166 
18. APLICAÇÕES COM DISTORSÃO ................................................................. 170 
Aplicação 25 Ensaio de bacia hidráulica (A25) .................................................. 170 
Aplicação 26 Ensaio em ondas com linhas de amarração com seu amortecimento 
representado (A26) ............................................................................................... 171 
19. RASCUNHO ..................................................................................................... 172 
 
1. INTRODUÇÃO 
Esta disciplina tem base em princípio muito simples, óbvio até, envolvendo dimensões 
de variáveis relacionadas entre si através de leis. Estas leis, quando bem estabelecidas são 
expressas matematicamente de modo dimensionalmente consistente. Entretanto, quando 
um fenômeno prescinde destas expressões, mesmo assim, o princípio mencionado, quase 
magicamente - se os leitores permitirem um poucode romantismo - garante um mínimo 
de conexão consistente entre as variáveis necessárias para o entendimento de um 
determinado fenômeno. Pode-se dizer que as consequências do princípio são, digam-se, 
gratuitas, em face da enorme produtividade e racionalidade que podem proporcionar e o 
esforço despedido para tal. O mencionado princípio ao qual se dá o nome de Princípio da 
Homogeneidade Dimensional (PHD) será, portanto, imediatamente enunciado na 
sequência, permitindo assim uma bem vinda e natural fluência no restante do texto. 
Na sequência à introdução do PHD, o texto apresenta a Análise Dimensional (AD) que 
será amadurecida através de aplicações clássicas e outras contemporâneas, recém-
descobertas. 
Os cursos de AD são, em geral, abordados por algumas poucas semanas em curso de 
graduação de engenharia. Depois a AD é aplicada de modo automático em problemas 
avançados, mas já resolvidos e há muito amadurecidos. Assim, nem sempre as lições da 
AD perpetuam. O presente texto tem a pretensão de preencher esta laguna, 
instrumentalizando o leitor para fazer sua própria AD em problemas originais ou mesmo 
expandindo a visão das aplicações clássicas de seu interesse. As Engenharias Naval, 
Oceânica e de Energias Renováveis, no caso da exploração de hidrocarbonetos em águas 
profundas e no caso de Energias Renováveis do Oceano têm lidado com soluções 
inovadoras que se sucedem, motivando a existência do presente texto. 
O texto é base para um curso de pós-graduação ministrado há vários anos no Programa 
de Engenharia Oceânica da COPPE/UFRJ, Universidade Federal do Rio de Janeiro. Este 
curso é dedicado à AD e também à análise de instrumentação e, recentemente, à análise 
de incerteza. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
5 
 
A teoria da AD baseia-se no Teorema de Buckingham de 1914, que pode ser, assim, 
considerado moderno. Ele surgiu ao mesmo tempo em que muitas teorias modernas, como 
a teoria de asa, bem anterior à teoria do potencial das ondas de gravidade. Entretanto, 
talvez por erudição, vale mencionar que bem antes de Buckingham, Aimé Vaschy em 
1892 também abordou a AD, mas seu trabalho permaneceu pouco conhecido. 
A partir do que está dito acima, a estratégia aqui é construir um forte aparato através de 
leis conhecidas, que tenham solução analítica, para, em seguida, enfrentar problemas que 
só podem receber abordagens empíricas, mas que só darão resultados robustos, como se 
pretende mostrra, se submetidas à consistência o Teorema de Buckingham. 
1.1. Princípio da homogeneidade dimensional (PHD) e seu corolário. 
 
Toda expressão correspondente a uma lei da física que combina parcelas de 
propriedades de um fenômeno físico deverá ser dimensionalmente homogênea, isto 
é, cada termo aditivo deve ter a mesma dimensão. 
Por dimensão entende-se uma combinação definida de unidades de medida associadas, 
ou seja, um monômio envolvendo as dimensões primárias (M, massa, L, comprimento e 
T, tempo). O monômio será plenamente entendido quando da introdução do Operador 
Dimensional, no Item 6. Sobre propriedades primárias {M, L e T} e secundárias (o 
monômio) ver Item 5. Por puro pragmatismo este texto trata apenas de M, L e T como 
variáveis primárias. Assim, por exemplo, casos envolvendo troca de calor que requerem 
também a temperatura como quarta variável primária não são abordados aqui. 
Um exemplo clássico ilustra estas palavras que podem parecer herméticas para quem 
nunca pensou no assunto. Trata-se da conhecida Equação de Bernoulli: 
 𝑝𝑝 +
1
2
𝜌𝜌𝑉𝑉2 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐ℎ𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐⁄ (1.1) 
aplicável num fluido em movimento considerado contínuo, incompressível, podendo ser 
viscoso, mas em regime permanente. Esta lei (1.1) expressa analiticamente a 
dependência, ao longo de uma linha de corrente das seguintes propriedades: 
• 𝑝𝑝: pressão; 
• 𝜌𝜌: densidade; 
• 𝑉𝑉: velocidade; 
• 𝜌𝜌: aceleração da gravidade; e 
• 𝜌𝜌 : posição vertical da partícula ao longo da linha de corrente em relação à 
referencial arbitrário. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
6 
 
Esta equação pode ser deduzida a partir das leis de conservação de massa e de quantidade 
de movimento. Existem inúmeros livros de Hidrodinâmica Básica ou Mecânica dos 
Fluidos que, exibem a Equação de Bernoulli. A partir destas leis, que são correspondentes 
à Equação da Continuidade e a Equação de Navier-Stokes, bem como usando as (também 
mencionadas acima) hipóteses simplificadoras prova-se a Equação de Bernoulli. 
Aqui é importante instigar o leitor a dar uma explicação por que a velocidade entra ao 
quadrado, enquanto a posição vertical entra linear. Por que apenas duas parcelas 
envolvem a densidade e linearmente? Não se pergunta de onde veio a gravidade? Mas se 
pergunta por que entra na sua parcela envolve ao mesmo tempo a densidade e a posição 
vertical? Finalmente por que do fator 1
2
? 
No presente texto cabe mostrar um aspecto simples e bastante óbvio, mas, ao mesmo 
tempo, intrigante. Todas as três parcelas de (1.1) tem mesma dimensão de pressão e, como 
não poderia deixar de ser (!), a Equação de Bernoulli, obedece ao PHD. Não se pode aqui 
ser categórico quanto ao número sem dimensão1
2
, mas, sim que o PHD está sendo 
obedecido categoricamente porque todas as parcelas têm a mesma dimensão. Novamente, 
quando o texto introduzir o Operador Dimensional no Item 6, isto ficará bastante claro e, 
novamente, recomenda-se ao leitor que volte para apreciar as presentes observações. 
Corolário do PHD: Como consequência do PHD, a expressão ou lei da física ou da 
engenharia pode ser expressa em parcelas adimensionais consistentes, isto é, 
adimensionalizadas, com os mesmos parâmetros. 
Obviamente a expressão deve corresponder a um mesmo problema físico. Ou seja, 
adimensionais de problemas diferentes não podem ser combinados, embora, 
matematicamente isto seja possível. Por exemplo, sejam o número de Nusselt (Nu), 
próprio de problemas de transmissão de calor e o coeficiente de sustentação (𝐶𝐶𝐿𝐿 ), 
essencial para explicar esforços em hidrofólios em movimento. São ambos 
adimensionais, mas uma aplicação que envolva os dois são aplicações pouco usuais. 
Considerando L, comprimento de referência (por exemplo: profundidade local, diâmetro 
de tubo – externo para escoamento externo sobre cilindro; diâmetro interno para 
escoamento interno em dutos circulares; comprimento da embarcação; corda de um perfil 
hidrodinâmico, etc), densidade (𝜌𝜌), trazendo a massa e g, trazendo o tempo, uma pressão 
de referência, 𝑝𝑝0, que é dada por: 
 𝑝𝑝0 ≡ 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 (1.2) 
 
com 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
7 
 
 �̂�𝑝 ≡
𝑝𝑝
𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
 
 
 𝑉𝑉� ≡
𝑉𝑉
�𝜌𝜌𝜌𝜌
 
 
 �̂�𝜌 ≡
𝜌𝜌
𝜌𝜌
 
ou melhor, 
 𝑝𝑝 = �̂�𝑝 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 
 
 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉��𝜌𝜌𝜌𝜌 
 
 𝜌𝜌 = �̂�𝜌 𝜌𝜌 
usando (1.1), chega-se à, 
�̂�𝑝 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 +
1
2
𝜌𝜌(𝑉𝑉 ��𝜌𝜌𝜌𝜌)2 + 𝜌𝜌𝜌𝜌�̂�𝜌𝜌𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐ℎ𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐⁄ 
ou, 
�̂�𝑝 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 +
1
2
𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑉𝑉 � )2 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌�̂�𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐ℎ𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐⁄ 
 
Assim, simplificando o multiplicador comum em todas as parcelas (𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌), tem-se 
 �̂�𝑝 +
1
2
𝑉𝑉�2 + �̂�𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐ℎ𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐⁄ (1.3) 
 
Note que no termo de pressão despontou a terceira densidade. Note que o quadrado da 
velocidade acerta a dependência de �𝜌𝜌𝜌𝜌 . Como ficarão claras, estas aparentes 
coincidências são bem amarradas pelo Teorema de Buckingham. 
Por outro lado, é importante notar também que o conjunto de parâmetros dimensionais 
{𝜌𝜌 , L, g} usados na adimensionalização, repetitivamente para as várias parcelas da 
expressão ou lei, são representativas, mas são escolhido arbitrariamente. As variáveis 
como deste {𝜌𝜌, L, g} são chamados de parâmetros de escala (ou variáveis repetitivas 
- porque são usados repetitivamente nas tarefas de adimensionalizaçao). Note ainda que 
eles representam de modo indireto e unívoco as dimensões primárias presentes no 
problema original ou M, L e T. Ver Item 5. 
1.2. Uma aplicação informal 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
8 
 
O texto irá sempre discutir aplicações concretas que serão usadas para facilitar a absorção 
do material. A primeira aplicação, envolvendo pêndulo, será abordada três vezes. A 
primeira informal, a segunda formal, após a introdução do Teorema de Buckingham e na 
terceira, haverá a mudança do foco, do período natural para a tração no cabo. 
Observe a notação da Aplicação (A1.1/3) é referente ao pêndulo. Ela significa que a 
aplicação é a primeira do texto (A1) e é abordada três vezes (*/3) ao longo do texto, sendo 
1/3, a primeira. 
O leitor deve ser crítico para saber se aceita ou não as passagens abaixo. Afinal, é apenas 
uma versão informal. 
Aplicação 1. 1/3: Período natural do pêndulo simples no vácuo: visão informal 
(A1.1/3)) 
 
Figura 1.1 Pêndulo Simples 
A Figura 1.1, representa uma posição instantânea do pêndulo simples que oscila com 𝜏𝜏𝑛𝑛 
que é o período natural. A massa do ponto material é m, o comprimento do cabo é ℓ, a 
aceleração da gravidade é g, o ângulo inicial da oscilação é indicado como 𝜃𝜃0. O dito foco 
do presente problema é 𝜏𝜏𝑛𝑛 . Ou seja, nesta aplicação se quer obter de modo informal, ou 
seja, sem aplicar nenhuma lei da Mecânica, nem o Teorema de Buckingham, uma 
expressão para o período natural do pêndulo simples. 
Dados: m, ℓ, g, θ 
Foco: Período natural: τn 
Apresenta-se, como explicado, uma abordagem informal e as argumentações poderão não 
ser convincentes. Isto será reparado depois, com nova abordagem rigorosa, dita formal, 
já sob a luz do Teorema de Buckingham. 
A seguinte relação funcional pode ser escrita com as variáveis listadas: 
ℓ 
θ 
m 
g 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
9 
 
𝜏𝜏𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑, ℓ,𝜌𝜌, 𝜃𝜃0)0F1 
Como primeira observação, note que a massa não pertence ao problema porque não pode 
combinar-se com nenhuma outra das variáveis listadas. Esta argumentação é essencial. O 
leitor concorda? Assim, 
𝜏𝜏𝑛𝑛 = 𝑓𝑓1(ℓ,𝜌𝜌,𝜃𝜃0) 
O mesmo não acontece com ℓ e g. Assim, seguindo a ideia por trás do Corolário do PHD, 
isto é, expressando a formulação em termos dimensionais, tem-se: 
 𝜏𝜏𝑛𝑛�
𝜌𝜌
ℓ
= 𝑓𝑓2(𝜃𝜃0) (1.4) 
A construção do adimensional do lado esquerdo é intuitiva, envolvendo as dimensões das 
variáveis. O período é puramente tempo. Já a gravidade envolve comprimento e tempo 
ao quadrado. Para combinarmos as três variáveis o adimensional do lado esquerdo é obvio 
ou seu inverso também adimensional. Escolhe-se o primeiro poque o foco é o período 
natural. 
Agora, para pequenos ângulos, θ0 ≅ 0, então, 
𝜏𝜏𝑛𝑛�
𝜌𝜌
ℓ
≅ 𝑓𝑓2(0) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≡ 𝐶𝐶 
ou seja 
𝜏𝜏𝑛𝑛 ≅ 𝐶𝐶�
ℓ
𝜌𝜌
 
Esta expressão é muito significativa. Sem a aplicação nenhuma lei da Mecânica ela 
mostra como o comprimento ℓ deve combinar-se com g de modo inequívoco para 
obtenção do período de oscilação 𝜏𝜏𝑛𝑛. 
Esta expressão também exemplifica até onde se pode chegar através da AD, porque falta 
definir C. Para esta definição, têm-se dois caminhos: 
a) Encontrar ou desenvolver teoria aderente dentro das hipóteses do problema; 
b) Realizar experimentos, os ditos ensaios. 
 
1 No presente texto o uso da simbologia 𝑓𝑓(⋅) significa “é função de”; ela será evoluirá 
para 𝑓𝑓𝑖𝑖(⋅) (𝑑𝑑 = 1,2, … ) quando corresponderem a subsequentes funções diferentes das 
formulações subsequentes. 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
10 
 
Um bom livro de Mecânica Geral o leitor encontra a aplicação de teoria aderente para o 
caso de oscilação do pêndulo no vácuo e sem atrito na polia. O resultado exato é: C = 2π. 
Caso ensaios sejam realizados com suficiente precisão, com dois algarismos 
significativos, o resultado seria C ≅ 6,3. 
Seria instrutivo que o leitor realizasse um simples ensaio que requer um fio fino com um 
peso na extremidade (e.g. um mouse com fio), uma régua e um cronômetro. Poderá entre 
outras conclusões, notar que, de fato, o problema não depende da massa. Aumentar o peso 
(prenda um peso adicional na tomada usando um elástico, por exemplo) não muda o 
período. E ainda, que é preciso exatamente quadruplicar o comprimento do cabo para 
dobrar o período. Note que mesmo sem saber a teoria, o que se obteve da AD, mesmo 
informalmente, já permite conhecimentos úteis sobre o pêndulo. Os relojoeiros da Idade 
Média não precisavam da teoria desenvolvida por Newton no Século XVII para construir 
relógios pendulares. De fato, as bases para a teoria do Apêndice A só vieram à luz depois 
de Newton. O Principia foi publicado 5 de julho 1687. 
O texto retoma ao pêndulo através de abordagem formal após a apresentação do Teorema 
de Buckingham (na Aplicação 2/3). Finalmente revisita o problema do pêndulo simples, 
mas com o foco na tração do cabo (3/3). Neste último caso a variável primária massa 
também pertence ao problema. 
 
1.3. Motivações 
 
Qual seria a serventia da AD? Pode-se resumir que a Análise Dimensional (AD) pode ser 
usada ara 
a) Verificar consistência das expressões; 
b) Reduzir o número de variáveis do problema; 
c) Obter leis de escala (qual a relação física entre modelo e protótipo); em geral, 
requer-se mais do que semelhança geométrica (em geral, maquete não é modelo 
utilizável); 
d) Reescrever leis físicas em forma adimensional para garantir análise consistente e 
melhorar as análises; 
e) Reduzir, na medida de b) e d), generalizar programas de computador que se 
construídos com seu núcleo adimensional, podem tratar a escala do protótipo e a 
escala do modelo sem problemas numéricos. 
Por exemplo, na segunda Lei de Newton, um ponto material deve obedecer a seguinte 
equação: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Philosophi%C3%A6_Naturalis_Principia_Mathematica
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
11 
 
 𝐹𝐹 = 𝑑𝑑𝑐𝑐 
ou, 
 𝐹𝐹 −𝑑𝑑𝑐𝑐 = 0 
 
Todas as parcelas têm mesma dimensão de força. 
Por outro lado, existem fórmulas, em geral empíricas e em geral antigas, onde a 
homogeneidade adimensional não ocorre. Exemplos: 
c) Fórmula de Manning para escoamento canal aberto da Hidráulica: 
𝑉𝑉 =
1
𝑐𝑐
𝑅𝑅2/3𝑆𝑆1/2 
onde V é a velocidade, R é o raio do canal e n e S são constantes dimensionais que 
dependem do tipo de canal. Esta equação só vale para unidades britânicas. 
d) Fórmula de Hazen-Williams para vazão volumétrica de água através de tubo liso 
retilíneo: 
𝑄𝑄 = 2,6 𝐷𝐷2,63 �
𝜕𝜕𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
0,54
 
onde Q é a vazão, D é o diâmetro do tubo e 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
 é o gradiente de pressão. Esta equação 
também só vale para unidades britânicas. Observe ovalor 2,6 ou os expoentes empíricos 
(2,63 3 0,54). 
Tente imaginar as dimensões desta fórmula com aqueles expoentes. Uma pergunta cabe. 
Se as dimensões passarem do sistema métrico para o britânico os expoentes variam? E 
ainda as constantes (2,63 e 0,54) seriam as mesmas? 
e) Número de Taylor cujos valores regulam os limites para o uso de embarcações de 
planeio ao invés de embarcações de deslocamento em Engenharia Naval: 
𝑁𝑁𝑇𝑇 =
𝑉𝑉
√𝜌𝜌
 
onde V é a velocidade da embarcação em nós e L o comprimento da embarcação em pés. 
Estas fórmulas, com a definição clara das dimensões, podem evidentemente ser usadas. 
No caso do número de Taylor, seu uso tem sido abandonado e substituído pelo número 
de Froude, que é adimensional: 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
12 
 
ℱ ≡
𝑉𝑉
�𝜌𝜌𝜌𝜌
 
Aqui g é a aceleração da gravidade que, juntamente com V e L, devem ser usados em 
sistema de unidade consistente, tais com m/s2, m/s e m, respectivamente. Os valores do 
número de Froude permitem uma visão geral dos vários tipos de embarcações sejam de 
deslocamento, semideslocamento (semiplaneio) ou ainda de planeio. Será explicado na 
Sessão 12. que o valor 0,399 corresponde a uma embarcação cavalgando a sua própria 
onda! A partir daí, recomenda-se usar um casco de planeio ou semiplaneio, mas jamais 
um casco de deslocamento. É surpreendente que apenas o valor de um adimensional pode 
definir o limite de fenômeno tão complexo que é o planeio de uma embarcação! 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
13 
 
2. TIPOS DE PROPRIEDADES 
As propriedades presentes nas formulações da Física podem ser variáveis e constantes; 
dimensionais ou puras (sem dimensão). 
Constantes dimensionais 
 Exemplos: ρ, g, 𝜇𝜇, etc 
Variáveis dimensionais 
 Exemplos: t, p, V, L, Q, etc 
Constantes puras 
 Exemplos: 1
2
, e, 2, π, etc 
Variáveis puras 
 Exemplos: deformação (strain) 𝜖𝜖 = ∆ℓ
ℓ
; ângulo 𝑠𝑠
𝑟𝑟
 (s=arco; r=raio); gravidade 
específica 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚
, fator de amortecimento ς; etc 
É interessante comentar um pouco mais que o ângulo (𝜃𝜃) que é sim uma variável pura, 
ou seja, não tem dimensão. Sua definição pode ser expressa pela fórmula 
𝜃𝜃 ≡
𝑐𝑐
𝑐𝑐
 
Ela envolve a razão de dois comprimentos bem definidos, o arco de circunferência s e o 
raio r, ilustrados na Figura 4.1. A escala resultante desta razão chama-se radiano e seu 
valor numérico é obtido a partir da constatação de que o valor correspondente ao ângulo 
raso é o número irracional 𝜋𝜋. Na escala de graus este valor corresponde a 1800 . 
 
Figura 3.1 O ângulo é uma variável pura. 
Além disso, as variáveis podem ser fundamentais (primárias) ou derivadas (secundárias). 
Estas são discutidas em seguida. 
𝜃𝜃 
𝑐𝑐 
𝑐𝑐 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
14 
 
2.1. Variáveis fundamentais ou primárias ou dimensões do problema 
 
No caso da Hidrodinâmica, em todos estudos, as variáveis fundamentais (também 
chamadas de primárias) são M, L e T, ou seja, a massa M, o comprimento L e o tempo T. 
São variáveis para as quais se definem um padrão para comparação. No Sistema 
Internacional (SI) as unidades são o quilograma (kg), o metro (m) e segundo (s), 
respectivamente. São as variáveis fundamentais escolhidas porque é relativamente fácil 
estabelecer um padrão para elas através de balança, régua e relógio calibrados, por 
exemplo. 
Muitas vezes as variáveis fundamentais em determinado problema são chamadas de 
dimensões do problema. Na maioria dos casos deste texto o número k destas variáveis 
fundamentais será tal que, no máximo, k=3 ou seja as dimensões M, L e T são necessárias 
para explicar os fenômenos em estudo. Outras vezes, apenas L e T são necessárias e, neste 
caso, k= 2. Note que este é o caso do problema do pêndulo simples onde apenas L e T são 
necessárias. No caso de problemas puramente geométricos, k=1. 
2.2. Variáveis derivadas ou secundárias 
 
Todas as outras variáveis que não são fundamentais são derivadas ou secundárias e 
necessariamente envolvem uma combinação de M, L e T. Por exemplo, acima já se 
mencionaram: p, V, g, ρ, F, a e Q. 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
15 
 
3. OPERADOR DIMENSIONAL 
 
3.1. Definição 
 
É útil definir o OPERADOR DIMENSIONAL. Este operador, uma vez aplicado à 
variável (ou propriedade) física, fornece os expoentes das variáveis fundamentais 
correspondentes à citada variável (ou propriedade). 
Se M, L e T são as variáveis fundamentais, então, o operador dimensional é tal que: 
 [variável]=𝑀𝑀𝑎𝑎𝜌𝜌𝑏𝑏𝑇𝑇𝑐𝑐 (3.1) 
onde, a, b e c são (números reais) expoentes correspondentes à massa, comprimento e 
tempo, respectivamente. 
A Figura 4.1 ilustra o operador. 
 
Figura 4.1 Operador dimensional 
Exemplo de aplicação do operador: Corpo caindo no vácuo 
 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐0 + 𝑣𝑣0𝑐𝑐 +
1
2
𝜌𝜌𝑐𝑐2 (3.2) 
 
Aqui a dimensão de cada parcela é L 
ou seja, 
[s]=[𝑐𝑐0]=[𝑣𝑣0𝑐𝑐]=[
1
2
𝜌𝜌𝑐𝑐2]=L 
ou seja, 
a=0; b=1; c=0 
No caso da mencionada Equação de Bernoulli, 
variável a, b, c 
OPERADOR 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
16 
 
 𝑝𝑝 +
1
2
𝜌𝜌𝑉𝑉2 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐ℎ𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐⁄ (3.3) 
Tem-se que cada parcela é tem dimensão 𝑀𝑀𝜌𝜌−1𝑇𝑇−2 
ou seja 
[𝑝𝑝]=[1
2
𝜌𝜌𝑉𝑉2 ]=[𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌]= 𝑀𝑀𝜌𝜌−1𝑇𝑇−2 
ou seja 
a=1; b=-1; c=-2 
Observações: 
a) Um exemplo para fixar ideias: [2+2]=[5] 
De fato: [2+2]=[5]=𝑀𝑀0𝜌𝜌0𝑇𝑇0 
No caso, 
𝑀𝑀0𝜌𝜌0𝑇𝑇0=1 
b) As operações de derivada e integral apresentam em geral dimensões relacionadas 
com a variável independente. 
Exemplos: se [x]=L 
Derivada: [ 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜕𝜕
]=L-1 
Por definição 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜕𝜕
= lim
∆𝜕𝜕→0
∆A
∆𝜕𝜕
 
Aplicando o operador dimensional, 
�
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜕𝜕
� = � lim
∆𝜕𝜕→0
∆A
∆𝜕𝜕
� =
[∆𝑑𝑑]
[∆𝜕𝜕]
= [∆𝑑𝑑]𝜌𝜌−1 
Integral: [∫𝑑𝑑𝜕𝜕]=L 
𝐼𝐼 = �𝑑𝑑(𝜕𝜕)𝑑𝑑𝜕𝜕 
Se 
[𝑑𝑑] = 𝑀𝑀𝜌𝜌3 
e 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
17 
 
[𝜕𝜕] = 𝜌𝜌 
então 
[𝐼𝐼] = 𝑀𝑀𝜌𝜌3𝜌𝜌=𝑀𝑀𝜌𝜌4 
3.2. Prova da Existência do Operador Dimensional 
 
TEOREMA: 
A relação entre as unidades de medida das variáveis derivadas (secundárias) e as variáveis 
fundamentais (primárias) pode ser representada por um monômio em termos das variáveis 
fundamentais conforme antecipado na definição do operador dimensional, isto é, 
 [variável]=𝑀𝑀𝑎𝑎𝜌𝜌𝑏𝑏𝑇𝑇𝑐𝑐 (3.4) 
Prova: 
A demonstração será feita apenas para uma variável fundamental, por exemplo a 
geométrica. A extensão é óbvia. Assim, o propósito imediato é provar: 
 [𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑á𝑣𝑣𝑐𝑐𝑑𝑑 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐] = 𝜌𝜌𝑏𝑏 (3.5) 
 
Seja y uma variável geométrica qualquer derivada de outras n variáveis geométricas 
(𝜕𝜕1, 𝜕𝜕2,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛) expressas pela mesma unidade de medida (por exemplo metro)2 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝜕𝜕1, 𝜕𝜕2,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛) EXEMPLO: 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 =
𝜋𝜋
3
𝑐𝑐2ℎ; m 
Se outra unidade de medida for usada (exemplo pé), tem-se valor diferentemente, 
𝑦𝑦′ = 𝑓𝑓(𝜕𝜕1′ , 𝜕𝜕2′ ,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛′ ) EXEMPLO: 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐′ =
𝜋𝜋3
𝑐𝑐′2ℎ′; 𝑓𝑓𝑐𝑐 
y e 𝑦𝑦′ tem valores numéricos diferentes que acompanham os valores numéricos diferentes 
das variáveis fundamentais. Entretanto, a razão elas não dependem das unidades das 
variáveis fundamentais 
EXEMPLO: 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚
′
𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
= 𝑓𝑓𝑓𝑓
3
𝑚𝑚3
= 0,30483 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
Agora, assumindo 𝛼𝛼 um valor arbitrário entre a razão de duas escalas, pode-se escrever 
 
2À direita segue um EXEMPLO com a expressão do volume do cone que depende do raio 
r e altura h, ajuda a materializar as ideias 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
18 
 
no EXEMPLO, 
𝛼𝛼 =
1 𝑑𝑑
1 𝑓𝑓𝑐𝑐
=
1
0,3048
 
𝑦𝑦
𝑦𝑦′
=
𝑓𝑓(𝜕𝜕1, 𝜕𝜕2,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛)
𝑓𝑓(𝜕𝜕1′ , 𝜕𝜕2′ ,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛′ )
=
𝑓𝑓(𝛼𝛼𝜕𝜕1,𝛼𝛼𝜕𝜕2,⋯𝛼𝛼𝜕𝜕𝑛𝑛)
𝑓𝑓(𝛼𝛼𝜕𝜕1′ ,𝛼𝛼𝜕𝜕2′ ,⋯𝛼𝛼𝜕𝜕𝑛𝑛′ )
 
𝑦𝑦(1)
𝑦𝑦′(1)
=
y(α)
y′(α)
 
Rearranjando, 
 
𝑦𝑦(𝛼𝛼)
𝑦𝑦(1)
=
y′(α)
y′(1)
≡ φ(α) (3.6) 
 
que também introduz a função 𝜑𝜑(𝛼𝛼). 
Assim, a razão do valor numérico de duas variáreis geométricas depende apenas da razão 
da escala 𝛼𝛼 entre as variáveis fundamentais. 
LEMA 1: 
𝜑𝜑(𝛼𝛼1)
𝜑𝜑(𝛼𝛼2)
= 𝜑𝜑(
𝛼𝛼1
𝛼𝛼2
) 
Prova Lema 1: 
𝜑𝜑(𝛼𝛼) =
𝑦𝑦′(𝛼𝛼)
𝑦𝑦′(1)
=
𝑓𝑓(𝛼𝛼𝜕𝜕1′ ,𝛼𝛼𝜕𝜕2′ ,⋯𝛼𝛼𝜕𝜕𝑛𝑛′ )
𝑓𝑓(𝜕𝜕1′ , 𝜕𝜕2′ ,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛′ )
 
Fazendo, 
𝜕𝜕1′ = 𝛼𝛼2𝜕𝜕1 
⋯ 
𝜕𝜕𝑛𝑛′ = 𝛼𝛼2𝜕𝜕𝑛𝑛 
𝜑𝜑(𝛼𝛼) =
𝑓𝑓�𝛼𝛼𝛼𝛼2𝜕𝜕1 ,𝛼𝛼𝛼𝛼2𝜕𝜕2 ,⋯𝛼𝛼𝛼𝛼2𝜕𝜕𝑛𝑛 �
𝑓𝑓(𝛼𝛼2𝜕𝜕1 ,𝛼𝛼2𝜕𝜕2 ,⋯𝛼𝛼2𝜕𝜕𝑛𝑛 )
 
e fazendo, 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
19 
 
𝛼𝛼 =
𝛼𝛼1
𝛼𝛼2
 
𝜑𝜑(
𝛼𝛼1
𝛼𝛼2
) =
𝑓𝑓�𝛼𝛼1𝜕𝜕1 ,𝛼𝛼1𝜕𝜕2 ,⋯𝛼𝛼1𝜕𝜕𝑛𝑛 �
𝑓𝑓(𝛼𝛼2𝜕𝜕1 ,𝛼𝛼2𝜕𝜕2 ,⋯𝛼𝛼2𝜕𝜕𝑛𝑛′ )
 
Multiplicando e dividindo por 𝑓𝑓(𝜕𝜕1,𝜕𝜕2,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛), 
𝜑𝜑(
𝛼𝛼1
𝛼𝛼2
) =
𝑓𝑓�𝛼𝛼1𝜕𝜕1 ,𝛼𝛼1𝜕𝜕2 ,⋯𝛼𝛼1𝜕𝜕𝑐𝑐 �
𝑓𝑓(𝜕𝜕1,𝜕𝜕2,⋯𝜕𝜕𝑐𝑐)
𝑓𝑓(𝛼𝛼2𝜕𝜕1 ,𝛼𝛼2𝜕𝜕2 ,⋯𝛼𝛼2𝛼𝛼2𝜕𝜕𝑐𝑐′ )
𝑓𝑓(𝜕𝜕1,𝜕𝜕2,⋯𝜕𝜕𝑐𝑐)
 
ou seja, 
𝜑𝜑(
𝛼𝛼1
𝛼𝛼2
) =
𝑦𝑦(𝛼𝛼1)
𝑦𝑦(1)
𝑦𝑦(𝛼𝛼2)
𝑦𝑦(1)
 
ou ainda, 
 𝜑𝜑(
𝛼𝛼1
𝛼𝛼2
) =
𝜑𝜑(𝛼𝛼1)
𝜑𝜑(𝛼𝛼2)
 (3.7) 
o que prova o Lema 1. 
LEMA 2: 
𝜑𝜑(𝛼𝛼) = 𝛼𝛼𝑏𝑏 
Prova Lema 2: 
Derivando parcialmente (3.7) com relação à 𝛼𝛼1 
1
𝛼𝛼2
𝑑𝑑𝜑𝜑(𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝛼𝛼
|𝛼𝛼=𝛼𝛼1𝛼𝛼2
=
1
𝜑𝜑(𝛼𝛼2)
𝑑𝑑𝜑𝜑(𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝛼𝛼
|𝛼𝛼=𝛼𝛼1 
fazendo 
𝛼𝛼2 = 𝛼𝛼1 = 𝛼𝛼 
1
𝛼𝛼
𝑑𝑑𝜑𝜑(𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝛼𝛼
|𝛼𝛼=1 =
1
𝜑𝜑(𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝜑𝜑(𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝛼𝛼
 
e como de (3.6) 
 𝜑𝜑(1) = 1 (3.8) 
Agora introduzindo b tal que 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
20 
 
𝑑𝑑𝜑𝜑(𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝛼𝛼
|𝛼𝛼=1 = 𝜑𝜑′(1) ≡ 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
vem 
𝑏𝑏
𝛼𝛼
=
𝜑𝜑′(𝛼𝛼)
𝜑𝜑(𝛼𝛼)
 
ou, preparando para a integração, 
𝑑𝑑𝜑𝜑(𝛼𝛼)
𝜑𝜑(𝛼𝛼)
= 𝑏𝑏
𝑑𝑑𝛼𝛼
𝛼𝛼
 
que, integrando, leva a 
ln(𝜑𝜑) = 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
que, usando (3.8), leva exatamente que 
 𝜑𝜑(1) = 1 (3.9) 
portanto 
𝜑𝜑(𝛼𝛼) = 𝛼𝛼𝑏𝑏 
o que prova o Lema 2 
LEMA 3 
 𝑦𝑦(𝛼𝛼) = 𝛼𝛼𝑏𝑏𝑦𝑦(1) (3.10) 
 
que, é obtida usando a definição (5.3). 
Para mostrar (5.1), 
Considere: 
𝜕𝜕1 = 𝑐𝑐1𝜌𝜌 
⋯ 
𝜕𝜕𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑛𝑛𝜌𝜌 
onde 𝑐𝑐1,⋯𝑐𝑐𝑛𝑛 são valores numéricos e L é a variável primária. 
Então 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝜕𝜕1, 𝜕𝜕2,⋯𝜕𝜕𝑛𝑛) 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
21 
 
fica 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑐𝑐1𝜌𝜌,𝑐𝑐2𝜌𝜌,⋯𝑐𝑐𝑛𝑛𝜌𝜌) 
que, com (5.7), fica 
𝑦𝑦 = 𝜌𝜌𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑐𝑐1,𝑐𝑐2,⋯𝑐𝑐𝑛𝑛) 
 𝑦𝑦 = 𝜌𝜌𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (3.11) 
O Operador Dimensional pode ser aplicado em ambos os lados de (5.8), assim 
[𝑦𝑦] = [𝜌𝜌𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐] 
[𝑦𝑦] = [𝜌𝜌𝑏𝑏][𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐] 
e como 
[𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐] = 𝜌𝜌0 = 1 
vem que, 
 [𝑦𝑦] = 𝜌𝜌𝑏𝑏 (3.12) 
Como y é uma variável geométrica qualquer, pode-se escrever que 
 [variável geométrica] = 𝜌𝜌𝑏𝑏 (3.13) 
O que prova o Teorema. 
COROLÁRIO 
É obvio generalizar o teorema para: 
 [y]=𝑀𝑀
𝑎𝑎𝜌𝜌𝑏𝑏𝑇𝑇𝑐𝑐 
[variável]=𝑀𝑀𝑎𝑎𝜌𝜌𝑏𝑏𝑇𝑇𝑐𝑐 (3.14) 
lembrando que 
[constante]=𝑀𝑀0𝜌𝜌0𝑇𝑇0 = 1 
Para terminar, vale dizer que valor numérico depende do sistema de unidades, mas as leis 
da física não dependem dos sistemas de unidades. 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
22 
 
4. TEOREMA DE BUCKINGHAM 
 
4.1. Introdução 
 
A Análise Dimensional (AD) é poderosa o suficiente para ser aplicada 
a) em fenômenos conhecidos, para os quais se conhece as relações entre as 
propriedades por exemplo, por uma lei física tipo segunda Lei de Newton F=ma) 
b) casos em que o fenômeno é pouco conhecido, ou seja, para os quais não se 
conhecem tais relações (por exemplo arrasto de corpo complexo submetido à 
corrente com velocidade constante, ou mesmo a resistência ao avanço de 
embarcações navegando à velocidade constante). 
Em qualquer caso, a AD tem a tarefa de, partindo de uma expressão entre propriedades 
dimensionais, obter uma expressão equivalente entre propriedades adimensionais. Ou 
ainda, expressar uma variável adimensional de interesse sobre a qual se tem pouco 
conhecimento, em termos de outras variáveis adimensionais (ou que não se pode medir) 
sobre as quais se tem mais conhecimento (ou se pode medir). 
Esta tarefa, entretanto, não leva a um único resultado devido à liberdade (alguns chamam 
de ambiguidade) na escolha dos parâmetros de adimensionalização e porque um grupo 
adimensional continua adimensional após operações de exponenciação. Em resumo, há 
certa liberdade na escolha dos parâmetros de escala. 
4.2. Teorema de Buckingham 
 
O Teorema de Buckingham também chamado de Teorema dos Números Π s, foi 
divulgado por Buckingham em 1914. Na verdade, é um procedimento (esquema) para a 
obtenção de variáveis adimensionais. As variáveis adimensionais (monômios) são 
também chamadas de grupos adimensionais ou números adimensionais ou números Πs. 
O teorema (o procedimento) pode ser apresentado de vários modos. O modo que se 
apresenta aqui reflete muitos anos de ensino desta matéria e tem por objetivo produzir 
resultados concretos, ou seja um procedimento. São 9 passos: 
PASSO 1: Especificar a variável de interesse; listar as n variáveis da análise, definindo a 
variável que será o foco do problema, bem como as variáveis presentes no problema. 
PASSO 2: Construir a Matriz Dimensional Inicial (MDI) ou seja, a matriz (k x n), 
retangular, que indica nas suas colunas, para cada variável do Passo 1, os expoentes das 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
23 
 
variáveis fundamentais do problema, em princípio (M, L, T), assumindo inicialmente, 
portanto, k=3. 
PASSO 3: Consolidar a Matriz Dimensional Inicial retirando linhas espúrias que 
indicam parâmetros de escala que não podem formar grupos adimensionais; obviamente, 
uma linha espúria é a que contém apenas zeros ou apenas um valor diferente de zero como 
[000...0100...000]; assim, após s retirada das linhas, redefinir n para n'´e k para k'. Esta 
nova matriz será chamada de Matriz Dimensional (MD) que é a MD propriamente dita. 
PASSO 4: Achar a classe k'' da Matriz Dimensional (MD), ou seja, a maior ordem das 
matrizesmenores quadradas não-singulares. As matrizes menores são matrizes quadradas 
obtidas através da combinação de linhas e colunas da MD que, em geral, é retangular. 
Observação importante: poderá ocorrer que algumas variáveis do problema sejam 
variáveis puras; neste caso, as colunas de MD contêm apenas zero e a própria variável 
pura já é um grupo adimensional; a definição da classe k'' é feita usando-se as colunas 
restantes. 
PASSO 5: Escolher k'' parâmetros de escala (variáveis repetitivas-representativas das 
variáveis fundamentais do problema). Como dito, há liberdade na escolha destes 
parâmetros de escala que podem ser qualquer combinação de um número mínimo de 
variáveis que componha em si uma MD não-singular. Um método prático é verificar se 
as linhas envolvidas não linearmente dependentes. Devido a facilidade, recomenda-se que 
todas as combinações sejam estudadas, porque algumas podem render mais conhecimento 
do que as outras após a aplicação dos passos restantes. 
PASSO 6: Obter n'-k'' números adimensionais (ou números 𝜋𝜋) para as correspondentes 
variáveis restantes. 
PASSO 7: Expressar os números adimensionais em termos de adimensionais conhecidos 
clássicos, tais como números de Reynolds ℛ, número de Froude ℱ, coeficiente de arrasto 
𝐶𝐶𝐷𝐷, etc. Aqui, convém lembrar que produtos (o que inclui exponenciação) entre números 
adimensionais também são adimensionais; manipulações adimensionais são sempre 
possíveis (ver a seguir no subitem 4.3). 
PASSO 8: Exibir o resultado e, se for o caso, reorganizá-lo para maior clareza. 
PASSO 9: Explorar condições limites. 
Em seguida se exploram vários exemplos de aplicações preliminares do Teorema de 
Buckingham. Estas aplicações visam sedimentar o Teorema e exibir suas nuances. No 
começo tem-se as aplicações mais simples, bastante conceituais para passar ao leitor uma 
metodologia. As aplicações mais avançadas são apresentadas na sequência. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
24 
 
4.3. Manipulações Adimensionais usadas no PASSO 7 
 
Pode-se dizer que operações entre números adimensionais resultam é números também 
adimensionais. Como já mencionado, estes referidos números são monômios e não há 
sentido nas operações de soma e subtração. Entretanto, todas as outras (produto, divisão, 
radiciação, potenciação) geram outros números adimensionais. No PASSO 7 do Teorema 
de Buckingham, sugere-se expressar os números adimensionais em termos de 
adimensionais conhecidos clássicos, etc. 
De fato, o que aqui se chama manipulações adimensionais, sempre são possíveis por 
conveniência da análise. Esta ação depende de intuição física que, entretanto, podem 
ainda não estar consubstanciadas para o caso de problemas pioneiros. Por esta razão 
sugere a escolha de todos os parâmetros de escala que resultarão no PASSO 6 em números 
adimensionais diferentes. Neste caso as várias possibilidades decorrem automaticamente. 
Assim, com a introdução do PASSO 8, abre-se a possibilidade do toque final através das 
manipulações adimensionais. 
Um exemplo: se 𝜌𝜌 e 𝑉𝑉 fossem escolhidos como parâmetros de escala, quase sempre se 
usa a pressão de estagnação, isto é, usa-se 
1
2
𝜌𝜌𝑉𝑉2 
para adimesionalizar uma pressão no PASSO 8. Do PASSO 7, a combinação requerida 
seria apenas 
𝜌𝜌𝑉𝑉2 
Em problemas envolvendo ondas de comprimento de onda 𝜆𝜆 incidindo sobre uma 
estrutura de comprimento longitudinal ℓ é comum o uso do seguinte adimensional 
ℓ
𝜆𝜆
 
que indica quantas ondas existem ao longo de ℓ. Entretanto, se o parâmetro de escala 
fosse 𝑏𝑏 a largura na direção da crista da onda, o adimensional do PASSO 7 seria 
𝑏𝑏
𝜆𝜆
 
que pode não ter muito significado direto. Entretanto, se pode acertar isso fazendo uma 
manipulação adimensional multiplicando por um, ou seja 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
25 
 
𝑏𝑏
𝜆𝜆
ℓ
ℓ
 
levando a 
𝑏𝑏
ℓ
ℓ
𝜆𝜆
 
ou apenas 
𝑏𝑏
𝜆𝜆
 
porque 𝑏𝑏
ℓ
 está garantido pela semelhança geométrica. 
Um outro caso comum acontece para casos com viscosidade 𝜇𝜇 , sendo 𝜌𝜌 , 𝑉𝑉 e L os 
parâmetros de escala, o PASSO 7 resulta em 
𝜇𝜇
𝜌𝜌𝑉𝑉𝜌𝜌
 
Mas como o inverso de um adimensional ainda é adimensional, o PASSO 8 permite o uso 
do número de Reynolds (ℛ), por demais conhecido: 
𝜌𝜌𝑉𝑉𝜌𝜌 
𝜇𝜇
≡ ℛ 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
26 
 
5. APLICAÇÕES PRELIMINARES COM DUAS DIMENSÕES 
 
As aplicações desta sessão têm apenas duas dimensões. É através delas que o 
procedimento do Teorema de Buckingham será amadurecido, aplicando cuidadosamente 
o procedimento passo a passo. Como dito, começa-se com o caso do pêndulo que já se 
conhece informalmente. 
Aplicação 1. 2/3: Período natural do pêndulo simples no vácuo/visão formal 
(A1.2/3) 
 
Figura 8.1.1 Pêndulo Simples 
Dados: m, ℓ, g e θ0 
Foco: Período natural: τn 
PASSO 1: Variáveis do problema (n); foco. 
𝜏𝜏𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑, ℓ,𝜌𝜌,𝜃𝜃0) 
𝒏𝒏 = 𝟓𝟓 
PASSO 2: MDI (k x n) 
 𝜏𝜏𝑛𝑛 𝑑𝑑 ℓ 𝜌𝜌 𝜃𝜃0 
M 0 1 0 0 0 
L 0 0 1 1 0 
T 1 0 0 -2 0 
 
𝑀𝑀𝐷𝐷𝐼𝐼 = �
0 1 
0 0 
1 0
 0 0 0
 1 1 0
 0 −2 0
� 
PASSO 3: Consolidar MDI (k x n); obter MD (k' x n'). 
ℓ 
θ 
m 
g 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
27 
 
Note que a primeira linha de MDI é [0 1 0 0 0]. Assim, a MD fica 
 𝜏𝜏𝑛𝑛 ℓ 𝜌𝜌 𝜃𝜃0 
L 0 1 1 0 
T 1 0 -2 0 
 
e, portanto, 
𝒏𝒏′ = 4 
𝒌𝒌 ′ = 2 
ou ainda 
𝑀𝑀𝐷𝐷 = �0 11 0
 1 0
−2 0� isto é, 
𝑀𝑀𝐷𝐷 = �0 11 0
 1
−2� 
 
PASSO 4: Achar a classe k'' de MD (k'' x n'). 
Como as duas linhas de MD acima são linearmente independentes, não é difícil obter 
matrizes quadradas não-singulares a partir dela. Aqui, a última coluna de MD tem todos 
valores nulos e aplica-se a observação importante da descrição do Passo 4 no Item 7.0. 
Assim, 
𝒌𝒌′′ = 𝒌𝒌′ = 2 
PASSO 5: Escolher k'' parâmetros de escala 
Para tal no quadro usado para a obtenção de MD, sugere-se acrescentar mais uma coluna 
que, uma vez escolhendo ℓ e 𝜌𝜌 como parâmetro de escala resulta: 
Parâmetros 
de escala 𝜏𝜏𝑛𝑛 ℓ 𝜌𝜌 𝜃𝜃0 
ℓ L 0 1 1 0 
𝜌𝜌 T 1 0 -2 0 
Note que a escolha destes parâmetros de escala é natural. O processo precisa de 
representantes de M e a densidade 𝜌𝜌 em geral constante, bem como de T e g, também 
constante é outra escolha. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
28 
 
O foco do problema é 𝜏𝜏𝑛𝑛 e quase sempre é boa ideia não o usar na adimensionalização. 
Por outro lado, 𝜃𝜃0 já é adimensional, portanto, inútil como parâmetro de escala. Por outro 
lado, a MD dos parâmetros de escala escolhidos é tal que 
 ℓ 𝜌𝜌 
L 1 1 
T 0 -2 
 
que é claramente não-singular, ou seja 
�1 10 −2� = −2 ≠ 0 
PASSO 6: Obter n'-k'' números 𝜋𝜋. 
No caso, 
𝒏𝒏′ − 𝐤𝐤′′ = 4 − 2 = 2 
Um procedimento interessante é procurar pelos expoentes 𝑐𝑐1 e 𝑏𝑏1 de modo que para 𝝉𝝉𝒏𝒏 
obtenha-se um número: 
𝜋𝜋1 = 𝜏𝜏𝑛𝑛ℓ𝑎𝑎1𝜌𝜌𝑏𝑏1 
A vantagem deste método é que o adimensional irá conter a variável foco elevada ao 
expoente 1 o que pode facilitar análise posterior. Aplicando o operador dimensional nos 
dois membros da expressão acima, tem-se 
[𝜋𝜋1] = [𝜏𝜏𝑛𝑛ℓ𝑎𝑎1𝜌𝜌𝑏𝑏1] 
[𝜋𝜋1] = [𝜏𝜏𝑛𝑛][ℓ𝑎𝑎1][𝜌𝜌𝑏𝑏1] 
𝑀𝑀0𝜌𝜌0𝑇𝑇0 = [𝑇𝑇][𝜌𝜌𝑎𝑎1][𝜌𝜌𝑏𝑏1𝑇𝑇−2𝑏𝑏1] 
𝑀𝑀0𝜌𝜌0𝑇𝑇0 = 𝑀𝑀0𝜌𝜌𝑎𝑎1+𝑏𝑏1𝑇𝑇1−2𝑏𝑏1 
Agora igualando os correspondentes expoentes,têm-se as seguintes equações 
0 = 𝑐𝑐1 + 𝑏𝑏1 
0 = 1 − 2𝑏𝑏1 
Este é um sistema de equações lineares nas incógnitas 𝑐𝑐1 e 𝑏𝑏1. 
Reescrevendo, 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
29 
 
�1 10 2� �
𝑐𝑐1
𝑏𝑏1
� = � 0−1� 
Note que a matriz do sistema linear é a MD dos parâmetros que é não-singular graças ao 
cuidado tomado no Passo 4 e que pode, portanto, ser invertida. 
A solução é 𝑐𝑐1 = −
1
2
 e 𝑏𝑏1 =
1
2
. 
ou seja 
𝜋𝜋1 = 𝜏𝜏𝑛𝑛ℓ−1/2𝜌𝜌1/2 
ou 
𝜋𝜋1 = 𝜏𝜏𝑛𝑛�
𝜌𝜌
ℓ
 
A obtenção de 𝜋𝜋2 correspondente a 𝜃𝜃0seria totalmente análoga, ou seja, dever-se-ia obter 
𝑐𝑐2 e 𝑏𝑏2 tal que 
𝜋𝜋2 = 𝜃𝜃0ℓ𝑎𝑎2𝜌𝜌𝑏𝑏2 
Esta seria a formulação automática. Entretanto, como 𝜃𝜃0 já uma variável adimensional 
por ser ângulo, têm-se imediatamente que 𝑐𝑐2 = 0 e 𝑏𝑏2 = 0. 
ou seja, 
𝜋𝜋2 = 𝜃𝜃0 
PASSO 7: Expressar os números 𝜋𝜋 em termos de adimensionais clássicos (ℛ, ℱ, 𝐶𝐶𝐷𝐷, etc). 
Neste caso, não há adimensionais mais conhecidos do que os já obtidos. 
PASSO 8: Exibir o resultado. 
Aqui o resultado da análise dimensional é, portanto, 
𝜋𝜋1 = 𝑓𝑓1(𝜋𝜋2) 
ou seja, 
 𝜏𝜏𝑛𝑛�
𝑔𝑔
ℓ
= 𝑓𝑓1(𝜃𝜃0) (5.1) 
Um resultado alvissareiro, já que obtido apenas pela análise dimensional, sem aplicação 
de leis da Mecânica, agora com um procedimento formal. Compare a argumentação aqui 
com a da versão informal quando se chegou ao mesmo resultado (1.1). Agora não há mais 
insegurança associada à expressão final devido ao Teorema de Buckingham. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
30 
 
PASSO 9: Explorar condições limites. 
No caso do pêndulo há grande interesse em se estudar o caso linear, ou seja, no caso de 
pequenas oscilações, isto é, quando: 
 𝜃𝜃0 ≪ 1 (5.2) 
ou seja, usando (8.2) em (8.1) 
𝜏𝜏𝑛𝑛�
𝜌𝜌
ℓ
= 𝑓𝑓1(0) ≡ 𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
o que leva a: 
 𝜏𝜏𝑛𝑛 = 𝐶𝐶�
ℓ
𝑔𝑔
 (5.3) 
Como já dito, no caso informal, não há mais nada a fazer em termos da AD após o estudo 
dos limites. E assim, repetindo, para definir C têm-se duas opções: 
a) Encontrar ou desenvolver teoria aderente dentro das hipóteses do problema; 
b) Realizar ensaios. 
Repetindo a Sessão 1, no Apêndice A o leitor encontra a teoria aderente para o caso de 
oscilação no vácuo que calcula: C = 2π. Caso ensaios sejam realizados cuidadosamente, 
com dois algarismos significativos, o resultado seria C ≅ 6,3. 
O leitor ainda não montou sua experiência do mouse com fio? Vale a pena porque terá 
vivência própria da utilidade da AD. 
COMENTÁRIOS: 
Um comentário que parece aqui pertinente é notar que (8.4) corresponde à equação 
diferencial linearizada do problema de vibrações livres do pêndulo simples no limite de 
pequenos ângulos, isto é, 
 �̈�𝜃 + 
𝜌𝜌
ℓ
𝜃𝜃 = 0 58.4) 
A solução geral de (8.4) é harmônica 
 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑐𝑐 + 𝜑𝜑) (5.5) 
onde 𝜃𝜃0 e 𝜑𝜑 são obtidos das condições iniciais e tem como período natural exatamente: 
 𝜏𝜏𝑛𝑛 = 2𝜋𝜋�
ℓ
𝑔𝑔
= 2𝜋𝜋
𝜔𝜔𝑐𝑐
 (5.6) 
Por outro lado, a expressão anterior (10.4) corresponde à equação diferencial não linear 
para ângulos arbitrários: 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
31 
 
 �̈�𝜃 + 𝑔𝑔ℓ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 0 (5.7) 
A solução de (5.7) pode ser colocada em termos de integrais elípticas que tem o período 
(𝜏𝜏𝑛𝑛,𝑛𝑛ã𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟) dependente apenas do ângulo inicial 𝜃𝜃0 conforme foi antecipado por (5.1). 
A solução de (5.7) pode ser colocada em termos de integrais elípticas que tem o período 
(𝜏𝜏𝑛𝑛,𝑛𝑛ã𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟). Como pesquisado por (Castro, Rodrigo, 2019) 
𝜃𝜃(𝑐𝑐) = 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �
𝜃𝜃0
2
� 𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝐾𝐾 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝜃𝜃0
2
� − 𝜔𝜔0𝑐𝑐; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝜃𝜃0
2
�� 
onde 
𝐾𝐾(𝜕𝜕) é a função integral elíptica incompleta de primeira espécie, 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜕𝜕) é a função elíptica de Jacobi. 
E definindo 
𝜔𝜔(𝜃𝜃0) =
𝜋𝜋𝜔𝜔0
𝐾𝐾 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜃𝜃0
2
�
 
onde 𝜔𝜔0 é a frequência para o caso linear (𝜔𝜔0 = �
𝑔𝑔
ℓ
= 𝜔𝜔𝑛𝑛 ) enquanto 𝜔𝜔(𝜃𝜃0) é a 
frequência da resposta para ângulos genéricos que depende, portanto, da condição inicial. 
O movimento resultante não é harmônico, mas é periódico. 
A Tabela 1.1 mostra os períodos da equação não linear. Note que a solução linear, 
dependendo da aplicação, fornece bons resultados para ângulos mesmo para ângulos 
iniciais não tão pequenos como o de 900, que tem o período não linear cerca de 18% 
diferente do linear. Isto pode acontecer na Engenharia o que possibilita grandes retornos 
técnicos. A teoria linear das ondas do mar é outro caso em que a solução linear tem grande 
extensão como será abordado mais tarde. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
32 
 
 
 
É importante comentar que de fato o estudo de casos limites é altamente recomendável. 
Por esta razão está incluso na versão do Teorema de Buckingham do presente texto. 
Agora, para exemplificar melhor a liberdade de escolha dos parâmetros de escala usando 
manipulações adimensionais, segue a Aplicação 2. e 
Tabela 3.1 Razão entre o Período Natural Não-Linear T sobre o 
Período Linear no Problema de Vibração Livre do Pêndulo Simples 
em função da posição inicial (𝜃𝜃0). 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
33 
 
Aplicação 2: Corpo caindo no vácuo (A2 ) 
 
Figura 8.2.1. Ilustração de corpo em queda no vácuo sob ação da gravidade. 
Dados: s, 𝑐𝑐0, 𝑣𝑣0, g e t 
Foco: Dependência temporal de s, s=s(t) 
Aqui 𝑐𝑐0 e 𝑣𝑣0 são posição e velocidades iniciais, g a aceleração da gravidade, t o 
tempo, enquanto s é o espaço percorrido. Ver Figura 2.1. 
PASSO 1: Variáveis do problema (n); foco. 
𝑐𝑐 = 𝑓𝑓(𝑐𝑐0, 𝑣𝑣0,𝜌𝜌, 𝑐𝑐) 
𝑐𝑐 = 5 
PASSO 2: MDI (k x n) 
 
 s 𝑐𝑐0 𝑣𝑣0 𝜌𝜌 𝑐𝑐 
M 0 0 0 0 0 
L 1 1 1 1 0 
T 0 0 -1 -2 1 
 
PASSO 3: Consolidar MDI (kx n); obter MD (k' x n'). 
Note que a primeira linha de MDI é [0 0 0 0 0] e pode ser ignorada, significando que esta 
aplicação independe da massa. Assim, a MD fica 
 s 𝑐𝑐0 𝑣𝑣0 𝜌𝜌 𝑐𝑐 
L 1 1 1 1 0 
T 0 0 -1 -2 1 
 
𝒏𝒏′ = 5 
𝑐𝑐0 
g 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
34 
 
𝒌𝒌 ′ = 2 
PASSO 4: Achar a classe k'' de MD (k'' x n'). 
Como as duas linhas de MD acima são linearmente independentes, não é difícil obter pelo 
menos uma matriz quadradas não-singulares a partir dela. Assim, 
𝒌𝒌′′ = 𝒌𝒌′ = 2 
PASSO 5: Escolher k'' parâmetros de escala 
Para tal no quadro usado para a obtenção de MD, sugere-se acrescentar mais uma coluna. 
Mas qual são os parâmetros de escala adequados? Como mencionado, há liberdade de 
escolha. 
Primeiramente, note que não convém usar nem s nem t como parâmetros de escala já que 
elas são as variáveis de interesse. Pode-se escolher entre 𝑐𝑐0, 𝑣𝑣0 e g. Como 𝒌𝒌′′ = 𝒌𝒌′ = 2, 
dois parâmetros são suficientes. 
Se o problema não está claro, a sugestão é escolher todas opções. Pode ocorrer que uma 
opção seja mais vantajosa, como mostrado em seguida. 
Opção 1: 𝒔𝒔𝟎𝟎 e 𝒗𝒗𝟎𝟎 
É fácil ver que este conjunto forma a MD dos parâmetros não-singular, ou seja 
 
 𝑐𝑐0 𝑣𝑣0 
L 1 1 
T 0 -1 
 
que é claramente não-singular, ou seja 
�1 10 −1� = −1 ≠ 0 
Continuando, neste casoa MD toma a forma 
Parâmetros 
de escala s 𝑐𝑐0 𝑣𝑣0 𝜌𝜌 𝑐𝑐 
𝑐𝑐0 L 1 1 1 1 0 
𝑣𝑣0 T 0 0 -1 -2 1 
 
PASSO 6 (1):Obter n'-k'' números 𝜋𝜋. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
35 
 
No caso, 
𝒏𝒏′ − 𝐤𝐤′′ = 5 − 2 = 3 
Um procedimento semelhante ao anterior leva aos adimensionais através dos Passos 7 e 
8 resultando nos adimensionais: 
 �̂�𝑐 =
𝑐𝑐
𝑐𝑐0
 (8.8) 
 
 𝜌𝜌� =
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
 (8.9) 
 
 �̂�𝑐 =
𝑓𝑓𝑣𝑣0
𝑠𝑠0
 (8.10) 
 
portanto, 
 �̂�𝑐 = 𝑓𝑓1(𝜌𝜌�, �̂�𝑐) (8.11) 
PASSO 9 (1): Explorar condições limites. 
No caso pode ser de interesse o caso limite de tempo curto, ou seja, qual o comportamento 
quando se tem 
�̂�𝑐 ≪ 1 
�̂�𝑐 = 𝑓𝑓1(𝜌𝜌�, 0) 
Como 𝜌𝜌� = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, o resultado é 
�̂�𝑐 ≅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≡ 𝐶𝐶1 
o que leva a 
𝑐𝑐 ≅ 𝐶𝐶1𝑐𝑐0�̂�𝑐 ≪ 1 
que é um resultado trivial, indicando, que apesar de correta, no estudo do caso limite de 
tempo curto, a Opção 1 de escolha dos parâmetros de escala não leva a conclusões 
importantes. 
Agora considere 
Opção 2: 𝒗𝒗𝟎𝟎 e 𝒈𝒈 
É fácil ver que este conjunto forma a MD dos parâmetros não-singular. A MD fica: 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
36 
 
Parâmetros 
de escala s 𝑐𝑐0 𝑣𝑣0 𝜌𝜌 𝑐𝑐 
𝑣𝑣0 L 1 1 1 1 0 
𝜌𝜌 T 0 0 -1 -2 1 
 
PASSO 6 (2): Obter n'-k'' números 𝜋𝜋. 
No caso, 
𝒏𝒏′ − 𝐤𝐤′′ = 5 − 2 = 3 
Um procedimento semelhante ao anterior leva aos adimensionais através dos Passos 7 e 
8 resultando: 
 �̃�𝑐 =
𝑐𝑐𝜌𝜌
𝑣𝑣02
 (8.12) 
 
 �̃�𝑐0 =
𝑐𝑐0𝜌𝜌
𝑣𝑣02
 (8.13) 
 
 �̃�𝑐 =
𝑐𝑐𝜌𝜌
𝑣𝑣0
 (8.14) 
portanto, 
 �̃�𝑐 = 𝑓𝑓2(�̃�𝑐0, �̃�𝑐) (8.15) 
Note que o mesmo resultado (8.14) poderia ser obtido através de manipulações 
dimensionais que são operações com os adimensionais resultantes de rearranjo dos 
mesmos através de produtos, divisões e exponenciação o que é garantido pelo PASSO 8 
do Teorema de Buckingham. Para tal, considere-se (8.11) usando (8.8)-(8.10) 
tem-se, 
 
𝑐𝑐
𝑐𝑐0
= 𝑓𝑓1(
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
,
𝑐𝑐𝑣𝑣0
𝑐𝑐0
) (8.16) 
A opção 2 𝑣𝑣0 e 𝜌𝜌. Assim, com o objetivo de eliminar 𝑐𝑐0 do lado esquerdo, tem-se 
𝑐𝑐
𝑐𝑐0
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
= 𝑓𝑓2(
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
,
𝑐𝑐𝑣𝑣0
𝑐𝑐0
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
) 
que com os cancelamentos, fornece: 
 
𝑐𝑐𝜌𝜌
𝑣𝑣02
= 𝑓𝑓2(
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
,
𝑐𝑐𝜌𝜌
𝑣𝑣0
) (8.17) 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
37 
 
Assim ficam para o leitor duas possibilidades. O uso do procedimento matricial para todas 
as opções de combinação de parâmetros ou o uso de manipulações adimensionais a partir 
de uma das opções. 
PASSO 9 (2): Explorar condições limites. 
Novamente pode ser de interesse o caso limite de tempo curto com 
�̃�𝑐 ≪ 1 
�̃�𝑐 = 𝑓𝑓1(�̃�𝑐0, 0) 
Como �̃�𝑐0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, o resultado é 
�̃�𝑐 ≅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≡ 𝐶𝐶2 
o que leva agora a para tempo curto 
𝑐𝑐 ≅ 𝐶𝐶2
𝑣𝑣02
𝜌𝜌
�̃�𝑐 ≪ 1 
O que é bem mais informativo do que o resultado da Opção 1. Esta opção evidencia que 
a influência da velocidade inicial é quadrática em tempos curtos. 
Finalmente, considere agora 
Opção 3: 𝒔𝒔𝟎𝟎 e 𝒈𝒈 
É fácil ver que este conjunto forma a MD dos parâmetros não-singular. A MD fica 
Parâmetros 
de escala s 𝑐𝑐0 𝑣𝑣0 𝜌𝜌 𝑐𝑐 
𝑐𝑐0 L 1 1 1 1 0 
𝜌𝜌 T 0 0 -1 -2 1 
 
PASSO 6 (3):Obter n'-k'' números 𝜋𝜋. 
No caso, 
𝒏𝒏′ − 𝐤𝐤′′ = 5 − 2 = 3 
Um procedimento semelhante ao anterior leva aos adimensionais através dos Passos 7 e 
8 resultando: 
 �̅�𝑐 =
𝑐𝑐
𝑐𝑐0
 (8.18) 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
38 
 
 
 �̅�𝑣0 =
𝑣𝑣0
�𝑐𝑐0𝜌𝜌
 (8.19) 
 
 𝑐𝑐̅ = 𝑐𝑐�
𝜌𝜌
𝑐𝑐0
 (8.20) 
 
portanto, 
 �̅�𝑐 = 𝑓𝑓3(�̅�𝑣0, 𝑐𝑐̅) (8.21) 
 
Esta última equação também poderia ser obtida através de manipulações adimensionais 
a partir de (8.11) ou de (8.15). Como se quer passar para a Opção 3 envolvendo 𝑐𝑐0 e 𝜌𝜌, 
melhor partir da primeira que pode ser escrita como 
𝑐𝑐
𝑐𝑐0
= 𝑓𝑓3(�
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
�
−12
,
𝑐𝑐𝑣𝑣0
𝑐𝑐0
�
𝜌𝜌𝑐𝑐0
𝑣𝑣02
) 
o que leva a (8.16) 
 
𝑐𝑐
𝑐𝑐0
= 𝑓𝑓3(
𝑣𝑣0
�𝑐𝑐0𝜌𝜌
, 𝑐𝑐�
𝜌𝜌
𝑐𝑐0
) (8.22) 
 
Este é mais um exemplo de manipulação dimensional. 
PASSO 9 (2): Explorar condições limites. 
No caso limite de tempo curto, a conclusão é a mesma que a Opção 1, já que com 
�̃�𝑐 ≪ 1 
�̅�𝑐 = 𝑓𝑓2(�̅�𝑣0, 0) 
Como �̅�𝑣0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, o resultado é 
�̅�𝑐 ≅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≡ 𝐶𝐶3 
o que leva a agora a 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
39 
 
𝑐𝑐 ≅ 𝐶𝐶3
𝑣𝑣02
𝜌𝜌
�̃�𝑐 ≪ 1 
COMENTÁRIOS: 
Pode-se, assim, concluir que não se poderia dizer antecipadamente qual das opções de 
escolha dos parâmetros de escala seria a mais adequada. A sugestão de tentar todas as 
possíveis levou que no estudo do limite de tempo curto. A Opção 2 resultou em resultados 
interessantes, que a priori, sem a AD, seriam difíceis de intuir. 
Por outro lado, é sempre uma ótima notícia quando se tem uma teoria aderente. A 
Cinemática do ponto permite escrever a Equação (8.23) 
 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐0 + 𝑣𝑣0𝑐𝑐 +
1
2
𝜌𝜌𝑐𝑐2 (8.23) 
Trata-se de uma equação que explicita s(t) que era o foco do problema de queda livre no 
vácuo. Ela mostra a relação do que tentamos descobrir pela AD. Devido a mencionada 
aderência, ela permite a obtenção das constantes, como as constantes Cs, abordadas 
anteriormente e entender o papel de cada variável. 
Agora, aproveitando o caso, convém lembrar que outra aplicação nobre da Análise 
Dimensional é reescrever equações em forma adimensional, seja para análise seja para 
uso computacional. Em ambos os casos a forma adimensional tem mais vantagens. Uma 
variável física em muitos problemas de Engenharia nunca é grande ou pequena 
absolutamente. Por exemplo, é possível gerar ondas típicas de águas profundas em canais 
de onda com 1 m de profundidade. Basta atentar para os adimensionais que comandam o 
fenômeno, como será abordado no presente texto. 
Assim, retomando, considere a tarefa de obter a forma adimensional da Equação (2.10). 
Como se viu, há três opções de parâmetros de escala entre {𝑐𝑐0, 𝑣𝑣0 e g}. 
Opção 1:𝒔𝒔𝟎𝟎 e 𝒗𝒗𝟎𝟎 
Tomando as variáveis usando as variáveis definidas em (8.8) - (8.10) em (8.23), pode-se 
escrever: 
𝑐𝑐0�̂�𝑐 = 𝑐𝑐0 + 𝑣𝑣0
𝑐𝑐0
𝑣𝑣𝑐𝑐
�̂�𝑐 +
1
2
𝑣𝑣02
𝑐𝑐0
𝜌𝜌� �
𝑐𝑐0
𝑣𝑣𝑐𝑐
�̂�𝑐�
2
 
o que leva a 
𝑐𝑐0�̂�𝑐 = 𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐0�̂�𝑐 +
1
2
𝑐𝑐0𝜌𝜌��̂�𝑐2 
ou finalmente que 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
40 
 
 �̂�𝑐 = 1 + �̂�𝑐 +
1
2
𝜌𝜌��̂�𝑐2 (8.24) 
que é uma parábola em �̂�𝑐 com apenas um único parâmetro adimensional 𝜌𝜌� = 𝑔𝑔𝑠𝑠0
𝑣𝑣02
 já 
definido em (8.9) e que poderia receber um nome criativo como gravidade reduzida, 
parâmetro de gravidade ou outro qualquer. 
Esta expressão pode ser usada também para explorar condições limites. Para o caso de 
tempo curto, 
�̂�𝑐 ≪ 1 
�̂�𝑐 = 1 
o que leva a 
𝑐𝑐 ≅ 𝑐𝑐0�̂�𝑐 ≪ 1 
indicando que C=1 na expressão obtida da análise dimensional. 
Opção 2:𝒗𝒗𝟎𝟎 e 𝒈𝒈 
Usando o mesmo procedimento, chega-se a: 
 �̃�𝑐 = �̃�𝑐0 + �̃�𝑐 +
1
2
�̃�𝑐2 (8.25) 
Novamente,tem-se uma parábola agora �̃�𝑐 cujo único parâmetro é �̃�𝑐0 =
𝑠𝑠0𝑔𝑔
𝑣𝑣02
 já definido em 
(8.13). 
No caso limite de tempo curto 
�̃�𝑐 ≪ 1 
�̃�𝑐 ≅ �̃�𝑐0 
Se apenas retiramos os termos adimensionalizadores, chegamos novamente à conclusão 
trivial que 
𝑐𝑐 ≅ 𝑐𝑐0�̃�𝑐 ≪ 1 
Mas como �̃�𝑐0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, pode-se repetir o resultado da Análise Diemnsional que é 
�̃�𝑐 ≅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≡ 𝐶𝐶2 
o que leva agora a para tempo curto 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
41 
 
𝑐𝑐 ≅ 𝐶𝐶2
𝑣𝑣02
𝜌𝜌
 
Claro que pela expressão da Cinemática 
𝐶𝐶2 = �̃�𝑐0 =
𝑐𝑐0𝜌𝜌
𝑣𝑣02
 
o que leva ao resultado trivial 
𝑐𝑐 ≅ 𝑐𝑐0 
Contudo a Análise Dimensional alertou para a possibilidade 
𝑐𝑐 ≅ 𝐶𝐶3
𝑣𝑣02
𝑔𝑔
�̃�𝑐 ≪ 1. 
Estas possibilidades aqui parecem triviais, mas em casos ainda pouco esclarecidos 
comuns na Engenharias Naval e Oceânica, este tipo de análise é de grande valia como o 
texto mostra em seguida. 
Opção 3:𝒔𝒔𝟎𝟎 e 𝒈𝒈 
Usando mais uma vez o mesmo procedimento, chega-se a: 
 �̅�𝑐 = 1 + �̅�𝑣0𝑐𝑐̅ +
1
2
𝑐𝑐̅2 (8.26) 
Agora se tem uma parábola em �̃�𝑐 cujo único parâmetro é �̅�𝑣0 =
𝑣𝑣0
�𝑠𝑠0𝑔𝑔
 de (8.19). 
Obtém-se o mesmo caso limite para tempo curto que a Opção 1. 
Cada uma das expressões acrescenta um ponto de vista diferente, com seus diferentes 
parâmetros (𝜌𝜌�, �̃�𝑐0 e �̅�𝑣𝑐𝑐). 
As mesmas ideias e procedimentos podem ser usados em casos mais complexos. Um 
deles vem a seguir. 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
42 
 
Aplicação 3: Relação de Dispersão em Ondas de Gravidade (A3) 
 
Figura 8.3.1. Onda de Gravidade, comprimento 𝜆𝜆 e período T. 
A análise deste caso, tão importante para a Engenharia Naval e Oceânica, é aqui oportuna 
devido à forte analogia ao problema do período natural do pêndulo simples. Tanto as 
ondas quanto o pêndulo devem seu movimento oscilatório à gravidade. Ambos têm 𝒌𝒌′′ =
2, porque M não pode ser uma variável fundamental dos respectivos problemas. 
Dados: A, 𝜆𝜆, T, h, 𝜌𝜌 e g 
Foco: Interdependência entre 𝜆𝜆 e T ou relação de dispersão 
Aqui A é a amplitude da onda, 𝜆𝜆 o comprimento de onda, T o período, h a profundidade, 
𝜌𝜌 a densidade da água e g a aceleração da gravidade. No presente caso o fluido é 
considerado não viscoso e irrotacional. Assim, o coeficiente de viscosidade, 𝜇𝜇, não é uma 
das propriedades do problema. A relação de dispersão mencionada é bastante engenhosa 
e decorre do tipo de fenômeno ondulatório das ondas de gravidade. Ela amarra a relação 
entre uma variável puramente geométrica como comprimento de onda, 𝜆𝜆 e T o período da 
onda, que é uma variável temporal, ver Figura 8.3.1. A onda de gravidade, às vezes é 
chamada também de onda de superfície e ainda de onda progressiva plana. 
PASSO 1: Variáveis do problema (n); foco. 
𝜆𝜆 = 𝑓𝑓1(𝑑𝑑,𝑇𝑇,ℎ,𝜌𝜌,𝜌𝜌) 
𝑐𝑐 = 6 
Período T h 
g 𝜆𝜆 
A 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
43 
 
PASSO 2: MDI (k x n) 
 
Note que MDI é uma matriz [3x6]. 
PASSO 3: Consolidar MDI (k x n); obter MD (k' x n'). 
Note que a primeira linha de MDI é [0 0 0 0 0 1]. Assim, a MD fica 
 𝜆𝜆 𝑑𝑑 𝑇𝑇 ℎ 𝜌𝜌 
L 1 1 0 1 1 
T 0 0 1 0 -2 
e, portanto, 
𝒏𝒏′ = 5 
𝒌𝒌 ′ = 2 
PASSO 4: Achar a classe k'' de MD (k'' x n'). 
Como as duas linhas de MD acima são linearmente independentes, não é difícil obter 
matrizes quadradas não-singulares a partir dela. Assim, 
𝒌𝒌′′ = 𝒌𝒌′ = 2 
PASSO 5: Escolher k'' parâmetros de escala 
Note que não convém usar nem 𝜆𝜆 nem T como parâmetros de escala já que elas são as 
variáveis de interesse. Pode-se escolher entre 𝑑𝑑 , ℎ e g. Como 𝒌𝒌′′ = 𝒌𝒌′ = 2 , dois 
parâmetros são suficientes. 
Como já dito anteriormente, se o problema ainda não está claro, a sugestão é escolher 
todas as opções. Pode ocorrer que uma opção seja mais vantajosa, como mostrado em 
seguida. 
 
 
 
 
 𝜆𝜆 𝑑𝑑 𝑇𝑇 ℎ 𝜌𝜌 𝜌𝜌 
M 0 0 0 0 0 1 
L 1 1 0 1 1 -3 
T 0 0 1 0 -2 0 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
44 
 
Opção 1: 𝑨𝑨 e 𝒈𝒈 
No quadro usado para a obtenção de MD, usando 𝑑𝑑 e 𝜌𝜌 como parâmetro de escala resulta: 
Parâmetros 
de escala 
 𝜆𝜆 𝑑𝑑 𝑇𝑇 ℎ 𝜌𝜌 
A L 1 1 0 1 1 
g T 0 0 1 0 -2 
 
PASSO 6 (1):Obter n'-k'' números 𝜋𝜋. 
No caso, 
𝒏𝒏′ − 𝐤𝐤′′ = 5 − 2 = 3 
O leitor, usando o método sistemático apresentado acima (Passos 7 e 8), está convidado 
a mostrar que: 
 𝜆𝜆
𝑑𝑑
= 𝑓𝑓1(𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝑑𝑑
,
ℎ
𝑑𝑑
) (8.27) 
 
Note o adimensional inevitável envolvendo o período T e g. Já aconteceu no caso do 
pêndulo simples. 
PASSO 9: Explorar condições limites. 
No caso, há dois limites a serem considerados. O limite de ondas de pequenas amplitudes 
e longos períodos (que pode ser referido como limite da teoria linear de ondas) e o limite 
de águas profundas. 
O limite da teoria linear pode ser escrito como 
𝜆𝜆
𝑑𝑑
≫ ∞ 
ou equivalentemente, mais comum 
𝑑𝑑
𝜆𝜆
≪ 0 
Este limite é difícil estudar usando (8.27). Todos os adimensionais envolvem A. do, o 
melhor operar com apenas um adimensional envolvendo A. Para tal lembramos que 
manipulações adimensionais são sempre possíveis como garante o Passo 8 do Teorema 
de Buckingham. Não há nenhum empecilho na AD que nos impeça de escrever: 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
45 
 
 𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝑑𝑑
= 𝑓𝑓2(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) (3.) 
ou ainda 
�𝑑𝑑
𝜆𝜆
𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝑑𝑑
= 𝑓𝑓3(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) 
ou, cancelando, 
 𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝜆𝜆
= 𝑓𝑓3(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) (3.) 
Assim, com tranquilidade pode-se reescrever a presente condição limite do seguinte 
modo: 
𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝜆𝜆
= 𝑓𝑓3(0,
ℎ
𝜆𝜆
) 
que leva à 
1
𝑇𝑇
�
𝜆𝜆
𝜌𝜌
= 𝑓𝑓4(0,
ℎ
𝜆𝜆
) 
ou 
 𝜆𝜆 = 𝜌𝜌𝑇𝑇2𝑓𝑓5(0,
ℎ
𝜆𝜆
) (3.) 
Aqui atingimos todo o potencial da AD e já se tem um resultado surpreendente que foi 
obtido apenas pela própria AD. Ele mostra que a relação entre o comprimento da onda 
progressiva plana depende exatamente do período ao quadrado. Esta conclusão, que é 
apenas dimensional, precisa acontecer! Não há outra opção. Ela é tão forte que se pode 
dizer que se alguma teoria ou experiência concluir diferente, então elas estão erradas. 
O Apêndice B pode ser consultado para resgatar a Relação de Dispersão para águas de 
profundidade intermediária: 
 𝜆𝜆 = 𝜌𝜌𝑇𝑇2
𝑐𝑐𝜌𝜌ℎ(2𝜋𝜋ℎ
𝜆𝜆
)
2𝜋𝜋
 (3.) 
 
o que dá uma forma exata para 𝑓𝑓4 �0,
ℎ
𝜆𝜆
� de (8.30). 
Agora considerando a condição limite de águas profundas, isto é, para: 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
46 
 
ℎ
𝜆𝜆
→ ∞ 
de (8.30) vem: 
 𝜆𝜆 = 𝜌𝜌𝑇𝑇2𝑓𝑓5(0,∞) (3.32) 
ou seja: 
 𝜆𝜆 = 𝐶𝐶1𝜌𝜌𝑇𝑇2 (3.33) 
que se constitui novamente num grande resultado limite da AD. 
Note então que 𝐶𝐶1 em (8.32) é uma constante que, tento em vista o mesmo limite de (3.31) 
resulta em: 
𝐶𝐶1 =
1
2𝜋𝜋
 
ou seja, 
 𝜆𝜆 =
𝜌𝜌𝑇𝑇2
2𝜋𝜋
 (3.8) 
Finalmente, considere agora a condição limite de águas rasas, isto é, para 
ℎ
𝜆𝜆
≪ 0 
A partir novamente de (8.27), manipulações dimensionais pela multiplicação de potências 
de adimensionais independentes que constam de 𝑓𝑓1 são sempre possíveis: 
 𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝑑𝑑
�𝑑𝑑
𝜆𝜆
�ℎ
𝜆𝜆
= 𝑓𝑓3(𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) (8.35) 
Simplificando, 
𝑇𝑇
𝜆𝜆 �
𝜌𝜌ℎ = 𝑓𝑓6(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) 
ou 
 
𝜆𝜆
𝑇𝑇
1
�𝜌𝜌ℎ
= 𝑓𝑓7(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) (8.36) 
Agora, considerando o limite da teria linear ( 𝐴𝐴
𝜆𝜆
≪ 0 ) e águas rasas ( ℎ
𝜆𝜆
≪ 0 ) 
simultaneamente, vem: 
𝜆𝜆
𝑇𝑇
= �𝜌𝜌ℎ𝑓𝑓7(0, 0) 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
47 
 
levando à, 
 
𝜆𝜆
𝑇𝑇
1
�𝜌𝜌ℎ
= 𝑓𝑓7(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) (8.37) 
O Apêndice B mostra que, 
 𝜆𝜆
𝑇𝑇
= �𝜌𝜌ℎ (8.38) 
ou 
𝐶𝐶2 = 1 
Os resultados analíticos da Teoria de Onda Linear do Apêndice B são bem conhecidos. 
Sem dúvida eles inspiraram as chamadas manipulações adimensionais aqui realizadas, 
mas nenhuma ação ilícita foi cometida. Num caso sem muita clareza, ainda desconhecido, 
as combinações podem e ser tentadas exaustivamente, a qualquer momento. 
Assim, fica, naturalmente, a sugestão de se perpetuar manipulações adimensionais em 
problemas pouco conhecidos. O retorno pode ser significativo como em várias aplicações 
discutidas a seguir. 
Observe que a análise ainda está na Opção 1 e assim, para fechar o estudo, considere-se: 
Opção 2: 𝒉𝒉 e 𝒈𝒈 
No quadro usado para a obtenção de MD, usando ℎ e 𝜌𝜌 como parâmetro de escala resulta: 
Parâmetros 
de escala 
 𝜆𝜆 𝑑𝑑 𝑇𝑇 ℎ 𝜌𝜌 
h L 1 1 0 1 1 
g T 0 0 1 0 -2 
 
PASSO 6 (2):Obter n'-k'' números 𝜋𝜋. 
No caso, 
𝒏𝒏′ − 𝐤𝐤′′ = 5 − 2 = 3 
Usando o método sistemático apresentado acima (Passos 7 e 8), pode-se mostrar que: 
 𝜆𝜆
ℎ
= 𝜌𝜌1(𝑇𝑇�
𝜌𝜌
ℎ
,
𝑑𝑑
ℎ
) (8.39) 
PASSO 9 (2): Explorar condições limites. 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
48 
 
Os dois limites a serem considerados são os mesmos. O limite de ondas de pequenas 
amplitudes e longos períodos (que pode ser referido como limite da teoria linear de ondas) 
e o limite de águas profundas. 
O limite da teoria linear pode ser escrito como 
𝜆𝜆
𝑑𝑑
≫ ∞ 
ou equivalentemente, mais comum 
𝑑𝑑
𝜆𝜆
≪ 0 
Como no caso da Opção 1, este limite é também difícil estudar usando (8.37). Há 
necessidade de manipulações adimensionais. Pode-se escrever: 
𝜆𝜆
ℎ
= 𝜌𝜌1(𝑇𝑇�
𝜌𝜌
ℎ
,
𝑑𝑑
ℎ
𝜆𝜆
𝜆𝜆
) 
e, portanto, 
𝜆𝜆
ℎ
= 𝜌𝜌2(𝑇𝑇�
𝜌𝜌
ℎ
,
𝑑𝑑
𝜆𝜆
) 
O limite de pequenas amplitudes ou comprimento grande está bem posto, mas não o 
de águas profundas porque h aparece do lado esquerdo e do lado direito. Assim, novas 
manipulações adimensionais são bem vindas: 
𝜆𝜆
ℎ
𝑑𝑑
𝑑𝑑
= 𝜌𝜌2(𝑇𝑇�
𝜌𝜌
ℎ
,
𝑑𝑑
𝜆𝜆
) 
𝜆𝜆
𝑑𝑑
𝑑𝑑
ℎ
= 𝜌𝜌2(𝑇𝑇�
𝜌𝜌
ℎ
,
𝑑𝑑
𝜆𝜆
) 
𝜆𝜆
𝑑𝑑
= 𝜌𝜌3(𝑇𝑇�
𝜌𝜌
ℎ
,
𝑑𝑑
𝜆𝜆
) 
que novamente não produz resultados bons como em (8.27) e a solução é fazer uso da 
mesma manipulação adimensional que levou a (8.28), isto é: 
𝑇𝑇�
𝜌𝜌
ℎ
�𝜆𝜆
𝜆𝜆
= 𝜌𝜌4(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) 
ou ainda, 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
49 
 
�𝜆𝜆
ℎ
𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝜆𝜆
= 𝜌𝜌4(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) 
Ou, 
 𝑇𝑇�
𝜌𝜌
𝜆𝜆
= 𝜌𝜌5(
𝑑𝑑
𝜆𝜆
,
ℎ
𝜆𝜆
) (8.38) 
que vem a ser (8.29) quando 𝜌𝜌5 = 𝑓𝑓2, o que é uma possibilidade conceitual. 
O resto da análise continua a mesma a partir daqui. 
Uma conclusão é que o estudo de opções para cada conjunto de parâmetros adimensionais 
pode ser feito em conjunto com as manipulações adimensionais. 
Outra aplicação de dimensão dois vem da Resistência dos Materiais. 
 
Aplicação 4: Flecha de viga devido à flexão. (A4) 
 
Figura 8.4.1. Flecha (𝛿𝛿) de viga em balanço submetida à força 𝐹𝐹. 
Considere: F, E, I, ℓ e 𝛿𝛿 
Foco: A flecha 𝛿𝛿 devida a aplicação da força F. 
Note que, por simplicidade, a gravidade está fora deste problema. 
 
PASSO 1: Variáveis do problema (n); foco. 
Assim, 
𝛿𝛿 = 𝑓𝑓(𝐸𝐸, 𝐼𝐼, ℓ,𝐹𝐹) 
𝑐𝑐 = 5 
ℓ 
𝐹𝐹 
𝛿𝛿 
𝐸𝐸, 𝐼𝐼 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
50 
 
PASSO 2: MDI (k x n) 
 
 
 
 
Para obtenção das dimensões do módulo de Young, deve-se lembrar da forma da Lei de 
Hooke em Resistência dos Materiais: 
𝜎𝜎 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 
Aplicando o operador dimensional 
[𝜎𝜎] = [𝐸𝐸𝐸𝐸] 
[𝜎𝜎] = [𝐸𝐸][𝐸𝐸] 
[𝜎𝜎] = [𝐸𝐸] 
[𝐸𝐸] = 𝑀𝑀1𝜌𝜌−1𝑇𝑇−2 
 
PASSO 3: Consolidar MDI (k x n); obter MD (k' x n'). 
Neste caso não há modificações, com MD = MDI 
 
 
 
 
e, portanto, 
𝒏𝒏′ = 𝒏𝒏 = 5 
𝒌𝒌′ = 𝒌𝒌 = 3 
ou ainda 
 𝛿𝛿 𝐸𝐸 𝐼𝐼 ℓ 𝐹𝐹 
M 0 1 0 0 1 
L 1 -1 4 1 1 
T 0 -2 0 0 -2 
 𝛿𝛿 𝐸𝐸 𝐼𝐼 ℓ 𝐹𝐹 
M 0 1 0 0 1 
L 1 -1 4 1 1 
T 0 -2 0 0 -2 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
51 
 
𝑀𝑀𝐷𝐷 = �
0 1
1 −1
0 −2
 0 0 1
 4 1 1
 0 0 −2
� 
 
PASSO 4: Achar a classe k'' de MD (k'' x n'). 
Note que no presente caso, a terceira linha de MD é linearmente dependente da primeira 
linha! Ou seja, a massa M e o tempo T entram de modo linearmente dependente no 
problema. Assim: 
𝒌𝒌′′ = 𝒌𝒌′ = 𝒌𝒌 = 2 
PASSO 5: Escolher k'' parâmetros de escala 
Como a força e a flecha tem uma relação de causa e consequência, escolhem-se os 
parâmetros de escala entre o conjunto {𝐸𝐸, 𝐼𝐼, ℓ}. Considere 
Opção 1: 𝑰𝑰 e 𝓵𝓵 
Esta primeira opção obviamente não é válida, mas vale aqui como contraexemplo. O par 
{𝐼𝐼, ℓ} forma uma MD dos parâmetros de fato singular: 
 𝐼𝐼 ℓ 
L 4 1 
T 0 0 
ou seja, 
�1 10 0� = 0 
portanto, {𝐼𝐼, ℓ} não é um conjunto possível de parâmetros adimensionais. 
Opção 2: 𝑬𝑬 e 𝑰𝑰 
 
Claramente a MD dos parâmetros de escala é não singular. 
 
 
 
 
Parâmetros 
de escala 
 𝛿𝛿 𝐸𝐸 𝐼𝐼 ℓ 𝐹𝐹 
E M 0 1 0 0 1 
I L 1 -1 4 1 1 
E T 0 -2 0 0 -2 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
52 
 
PASSO 6 (2):PASSO 6: Obter n'-k'' números 𝜋𝜋. 
No caso, 
𝒏𝒏′ − 𝐤𝐤′′ = 𝐧𝐧 − 𝐤𝐤 = 5 − 2 = 3 
Usando os procedimentos já indicados ou por tentativa e erro, vem 
𝜋𝜋1 = 𝛿𝛿𝐼𝐼−1/4 
𝜋𝜋2 = ℓ𝐼𝐼−1/4 
𝜋𝜋3 = 𝐹𝐹𝐸𝐸−1𝐼𝐼1/2 
PASSO 7: Expressar os números 𝜋𝜋 em termos de adimensionais clássicos (ℛ, ℱ, 𝐶𝐶𝐷𝐷, etc). 
Neste caso, não há adimensionais mais conhecidos do que os já obtidos. 
PASSO 8: Exibir o resultado e, se for o caso, reorganizá-lo para maior clareza. 
Aqui o resultado da análise dimensional é, portanto, 
𝜋𝜋1 = 𝑓𝑓1(𝜋𝜋2,𝜋𝜋3) 
ou seja, 
 𝛿𝛿
𝐼𝐼1/4
= 𝑓𝑓1(
ℓ
𝐼𝐼1/4
,
𝐹𝐹
𝐸𝐸𝐼𝐼1/2
) (8.39) 
Um resultado ainda obscuro, provavelmente devido à escolha de I como parâmetro 
adimensional que trouxe muitos expoentes fracionários. 
A última alternativa é a Opção 3. 
Opção 3: 𝑬𝑬 e 𝓵𝓵 
O que leva, por um processo análogo, que: 
 𝛿𝛿
𝐼𝐼1/4
= 𝑓𝑓1(
ℓ
𝐼𝐼1/4
,
𝐹𝐹
𝐸𝐸𝐼𝐼1/2
) (8.40) 
Um resultado mais limpo para iniciar as manipulações adimensionais. 
Por conhecimento da Resistência dos Materiais, sabe-se que o produto EI comanda os 
efeitos flexionais. Por causa disso vem: 
𝛿𝛿
ℓ
= 𝑓𝑓2(
𝐼𝐼
ℓ4
,
𝐹𝐹
𝐸𝐸ℓ2
𝐼𝐼
𝐼𝐼
) 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
COPPE - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia 
Prof. Antonio Carlos Fernandes 
 
53 
 
𝛿𝛿
ℓ
= 𝑓𝑓2(
𝐼𝐼
ℓ4
,
𝐹𝐹
𝐸𝐸𝐼𝐼
𝐼𝐼
ℓ2
ℓ2
ℓ2
) 
𝛿𝛿
ℓ
= 𝑓𝑓2(
𝐼𝐼
ℓ4
,
𝐹𝐹ℓ2
𝐸𝐸𝐼𝐼
𝐼𝐼
ℓ4
) 
 𝛿𝛿
ℓ
= 𝑓𝑓3(
𝐼𝐼
ℓ4
,
𝐹𝐹ℓ2
𝐸𝐸𝐼𝐼
) (8.41) 
A partir de (8.41) não há mais nada a fazer, a não ser considerar o caso limite de vigas