solucaoAv1FisicaGeral3-2013-2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CCT-Unidade Acadêmica de F́ısica
Solução da 1a Prova de F́ısica Geral III
Disciplina:1108100 17/12/2013
Prof. Adriano de A. Batista
1)(2.0) Na figura abaixo encontre a força ~F que a carga q1 exerce sobre a carga q2. Escreva as
componentes Fx e Fy em função dos valores algébricos dados.
y
x
q1
q2d2
d1
Solução:
A força que uma carga q1 situada em ~r1 exerce sobre uma carga q2 situada em ~r2, pela lei de
Coulomb, é dada por
~F21 =
q1q2
4π�0
r̂21
|~r2 − ~r1|2
=
q1q2
4π�0
~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
,
onde r̂21 =
~r2−~r1
|~r2−~r1| é o vetor unitário de ~r1 para ~r2. Pela figura acima, ~r1 = d1̂ e ~r2 = d2 ı̂, então
podemos reescrever a força como
~F21 =
q1q2
4π�0
d2 ı̂− d1̂
(d21 + d
2
2)
3/2
.
Assim podemos escrever cada componente da força como
F21x =
q1q2
4π�0
d2
(d21 + d
2
2)
3/2
,
F21y = −
q1q2
4π�0
d1
(d21 + d
2
2)
3/2
.
2) (2.0) Uma fina barra não-condutora em formato de semićırculo de raio R possui uma carga
+q no quadrante superior e uma carga −q no quadrante inferior. Ambas as cargas estão uni-
formemente distribúıdas. Encontre o campo elétrico ~E no ponto P no centro do semićırculo.
y
x
R
P
+q
−q
Solução:
O campo elétrico gerado em um ponto qualquer ~r pelo arco superior de carga +q é dado por (de
acordo com a lei de Coulomb)
~E(~r) =
1
4π�0
∫
arco
λdl(~r − ~r′)
|~r − ~r′|3
,
tomando a densidade linear de carga λ = 2q/(πR). Tomando agora o ponto de observação na
origem, ~r = 0, obtemos
~E(0) = − 1
4π�0
∫
arco
λdl~r′
|~r′|3
,
onde ~r′ = R(cos θı̂+ senθ̂) e dl = Rdθ. Com essas substituições obtemos
~E(0) = − λ
4π�0R
∫ π
π/2
dθ(cos θı̂+ senθ̂) =
q
2π2�0R2
(̂ı− ̂).
Obtemos, então, que o campo gerado por todo o semićıculo, por simetria, é dado por
~E(0) = − q
π2�0R2
̂
3) (2.0) Uma esfera uniformemente carregada de raio R tem o módulo do campo elétrico na
distância R/2 do centro dado por E0. Qual a carga total na esfera em termos de R, E0 e �0?
Suponha que a carga é positiva.
Solução:
Pela lei de Gauss:
4πr2E(r) =
4πr3
3�0
ρ0,para r < R
E(r) =
ρ0r
3�0
Consequentemente em r = R/2 temos E(R/2) = ρ0R6�0 . Pelo enunciado, temos E(R/2) = E0.
Logo, a densidade de carga é ρ0 = 6�0E0/R e a carga total é Q = ρ04πR
3/3 = 8π�0E0R
2.�
4) (2.0) Encontre o vetor campo elétrico na região do plano xy, em que o potencial elétrico varia
de acordo com os gráficos abaixo.
V
(v
ol
t)
x (m)
0,4 0,8
1,0
2,0
-1,0
-2,0
V
(v
ol
t)
y (m)
0,4
0,8
1,0
2,0
-1,0
-2,0
Solução:
Pelo gráfico da esquerda obtemos
Ex = −
∂V (x, y)
∂x
= − [V (0, 4m, y)− V (0m, y)]
0, 4m− 0m
=
2, 0
0, 4
V/m = 5, 0V/m
Pelo gráfico da direita obtemos
Ey = −
∂V (x, y)
∂y
= − [V (0, 6m, y)− V (0m, y)]
0, 6m− 0m
=
−1, 5
0, 6
V/m = −2, 5V/m
5) (2.0) Encontre o potencial elétrico V (x) em função de x baseado nos dados fornecidos no
gráfico do campo elétrico abaixo. Assuma que V (0) = 0.
Ex(volt/m)
x (m)
-3 3
1,0
-1,0
Solução:
Como Ex = −dV/dx, podemos escrever
V (x)− V (0) = V (x) = −
∫ x
0
Ex(x
′)dx′ = −
∫ x
0
dx′ = −x V/m, se x > 0.
Também temos V (x)− V (0) = V (x) = −
∫ x
0
Ex(x
′)dx′ =
∫ x
0
dx′ = xV/m, se x < 0.
Podemos então escrever de forma compacta V (x) = −|x| V/m, onde x é dado em metros.