Eletromag P1 - Gabarito-Q1_todas

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BCJ0203–Fenômenos Eletromagnéticos
Quadrimestre suplementar de 2020
Gabarito da Prova 1
Questão 1-1
Para essa questão, considere a figura abaixo onde duas cargas Q1 e Q2 positivas estão presas a vértices
opostos de um quadrado de lado l.
(a) (2.5 pontos) Suponha que seja colocada uma carga elétrica q no ponto A, e que essa carga fique
em repouso. Nessa situação, quanto valem r1 e r2?
Solução
Como a carga q está em repouso, a força resultante sobre ela deve ser nula. Vetorialmente, a
análise é simples, já que as cargas Q1 e Q2 estão em uma mesma linha, contendo o ponto A.
Além disso, como as cargas Q1 e Q2 são ambas positivas, as forças exercidas por elas sobre q
terão sentido contrário uma a outra.Assim, basta que tenhamos o mesmo módulo da força devido
a Q1 e Q2. Da Lei de Coulomb,
Fq1q2 =
1
4π�0
q1q2
r2
,
teremos
FqQ1 = FqQ2 ⇒
1
4π�0
qQ1
r21
=
1
4π�0
qQ2
r22
⇒ r2
r1
=
√
Q2
Q1
Agora, da figura podemos perceber que (r1 + r2)
2 = 2l2, ou seja, r1 + r2 = l
√
2. Unindo as duas
equações
r1 +
√
Q2
Q1
r1 = l
√
2⇒ r1 =
l
√
2
1 +
√
Q2
Q1
r2 +
√
Q1
Q2
r2 = l
√
2⇒ r2 =
l
√
2
1 +
√
Q1
Q2
(b) (2.5 pontos) Qual o valor do campo elétrico no ponto A devido às cargas Q1 e Q2?
Solução
1
Ora, de acordo com a questão (a), a força resultante no ponto A é nula. Como podemos
representar a força elétrica sofrida por uma carga Q na presença de um campo elétrico ~E como
~F = Q~E, vemos que o campo elétrico no ponto A deve ser nulo.
(c) (2.5 pontos) Removemos agora a carga q do sistema e consideremos o ponto B. Nesse ponto,
qual o valor do módulo do campo elétrico devido à carga Q1? Solução
Pela figura, vemos que a distância entre o ponto B e a carga Q1 é igual a r1. Agora, lembrando
que o campo elétrico devido a uma carga pontual Q é dado por
~EQ(~r) =
1
4π�0
Q
|r|2
r̂,
Teremos
| ~EQ1(r1)| =
1
4π�0
Q1
r21
=
1
4π�0
Q1(
l
√
2
1+
√
Q2
Q1
)2
.
(d) (2.5 pontos) Por fim, considere o ponto C. Nesse ponto, qual o valor do módulo do campo elétrico
total?
Solução
Novamente, temos que utilizar a fórmula do campo elétrico de uma carga pontual
~EQ(~r) =
1
4π�0
Q
|r|2
r̂.
Agora, o campo devido à carga Q1 terá sentido para direita, enquanto o campo devido à carga
Q2 terá sentido para cima. Assim, o módulo do campo total será simplesmente
E =
√
E2Q1 + E
2
Q2
=
1
4π�0
√
Q21 +Q
2
2
l2
2
Questão 1-2
Considere um fio semi-infinito, que vai da posição x = a até infinito no eixo x com uma densidade de
carga linear λ = q0a
(
a
x
)n
.
Solução:
3
Questão 1-3
A molécula de água pode ser considerada aproximada como
descrito pela figura abaixo. Sendo a carga fundamental e, na
posição posição do oxigênio tem carga q = −2e e na posição
em cada um dos hidrogênio temos carga q = +e, separadas
por um ângulo de θ e a distância de ligação entre os átomos
é de r . Considere que o eixo x na direção horizontal e o eixo
y na direção vertical da figura.
Solução:
4
Questão 1-4
A figura abaixo ilustra um bloco de massa m e carga q < 0 deslizando sem atrito sobre um plano
inclinado em um local onde o módulo da aceleração da gravidade é |~g|. O plano é inclinado de um
ângulo θ em relação a uma placa “infinita” fina não-condutora paralela ao solo. Supondo que a razão
entre a densidade superficial de carga da placa e a permissividade do vácuo seja dada por σ/�0, e que
o bloco seja liberado do repouso na origem O no instante t = 0, determine:
Solução:
5
Questão 1-5
Cinco cargas com q = 3,00 µC cada são colocadas sobre a borda do
mostrador de um relógio de raio r = 10,0 cm na posição dos minutos
12, 24, 36, 48 e 60. Uma sexta carga q0 = 5,00 µC é colocada no centro
do mostrador. (use ke = 9× 109)
a) Qual será a intensidade da força resultante sobre a carga q0?
Resposta:
Por simetria, F = 0
b) Qual seria essa intensidade se anulássemos a carga dos 60 minutos?
Resposta:
Anula-se a carga dos 60 minutos colocando-se uma carga −q sobre ela. A contribuição das 5
cargas iniciais continua nula, sobrando apenas a contribuição da carga negativa adicionada. Pela
Lei de Coulomb,
F = ke
qq0
r2
c) Vamos agora voltar a carga dos 60 minutos ao seu valor original e vamos anular as cargas do
centro, dos 12 minutos e dos 24 minutos. Qual será a intensidade do campo elétrico no centro
do mostrador nessa configuração?
Resposta:
A configuração agora é simétrica em relação à carga do 48 minutos. Como o ângulo entre as
cargas é 2π/5, a intensidade do campo no centro será:
E = ke
q
r2
(1 + 2 cos(2π/5))
d) Qual seria a intensidade do campo elétrico no centro do mostrador se agora a carga q fosse
distribúıda uniformemente sobre a borda do mostrador, entre as posições 36 e 48 minutos, sendo
nula em todos os outros lugares?
Resposta:
A distribuição agora é simétrica em relação à posição 42 minutos. Tomando o sentido positivo
anti-horário, a distribuição de carga começa em um ângulo −π/5 e termina em π/5 em relação
ao eixo de simetria. A intensidade do campo no centro será:
E =
π/5∫
−π/5
ke
λrdθ
r2
cos θ com λ =
5q
2πr
E =
5keq
2πr2
π/5∫
−π/5
cos θdθ =
5keq
πr2
π/5∫
0
cos θdθ
E =
5keq
πr2
sin(π/5)
6
Questão 1-6
Considere um sistema com 4 cargas dispostas ao redor do ponto P, como mostrado na figura abaixo.
7
Questão 1-7
Duas esferas A e B, de mesma massa m, estão penduradas cada uma em um fio de massa despreźıvel
e comprimento L. Os fios estão esticados e separados por uma distância d. Quando as esferas A e
B recebem uma carga elétrica q e −q, respectivamente, os dois fios fazem um mesmo ângulo θ com a
vertical. Assuma, se for necessário, que o módulo da aceleração da gravidade é g = 9.80 m/s2.
8
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Questão 1-8
Duas cargas de igual magnitude Q estão ubicadas no eixo x em (a; 0, 0) e (−a; 0, 0), respetivamente.
Uma terceira carga de magnitude q é colocada na posição (0, 0; b).
(a) (2.5 pontos) Determine o vetor força que experimenta a carga q.
(b) (2.5 pontos) Determine o vetor força que experimenta a carga Q que se encontra no ponto
(a; 0, 0).
(c) (2.5 pontos) Determine o vetor força que experimenta a carga Q que se encontra no ponto
(−a; 0, 0).
(d) Por fim, calcule o vetor campo elétrico na origem de coordenadas
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11
Questão 1-9
Duas bolinhas carregadas com carga elétrica q1 e q2 estão pressas no chão nas posições ~r1 = (−x1, 0),
~r2 = (x2, 0), respetivamente. Colocamos a terceira bolinha que possui carga elétrica q3 na posição
~r3 = (0, y3). Percebemos que uma força de ~F é necessário para segurar essa bolinha no mesmo lugar.
[Se necessário, use a constante de Coulomb ke = 8, 9876× 109 N ·m2/C2.]
(a) (2.5 pontos) Dado o componente y da força ~F é Fy, determine a carga elétrica da bolinha 3.
[Escreva a carga elétrica em Coulomb (C) com o sinal apropriado.]
Resolução:
A força resultante na direção y deveria ser zero.
Fy + F13,y + F23,y = 0,
Fy = −F13,y − F23,y
= −ke
q1q3(
x21 + y
2
3
)3/2 y3 − ke q2q3(
x22 + y
2
3
)3/2 y3.
Resolvemos para q3, temos
q3 = −
1
key3
Fx
q1
(x21+y23)
3/2 +
q2
(x22+y23)
3/2
.
(b) (2.5 pontos) Qual é o componente x da força ~F? [Escreva o componente da força em Newton
(N) com sinal apropriado, positivo para o lado direito e negativo para o lado esquerdo.]
Resolução:
A força resultante na direção x deveria ser zero.
Fx + F13,x + F23,x = 0,
Fx = −F13,x − F23,x
= −ke
q1q3(
x21 + y
2
3
)3/2x1 − ke q2q3(
x22 + y
2
3
)3/2 (−x2)
= keq3
[
q2(
x22 + y
2
3
)3/2x2 − q1(
x21 + y
2
3
)3/2x1
]
.
(c) (2.5 pontos) Se mudarmos a posição da bolinha 3 para o origem (0, 0), qual é o módulo da força
elétrica sobre ela? [Escreva a resposta em Newton (N).]
Resolução:
A força resultante sobre a bolinha 3 na direção y é zero e a força resultante na direção x é
Fx = F13,x + F23,x
= ke
q1q3
x21
− ke
q2q3
x22
= keq3
(
q1
x21
− q2
x22
)
.
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Portanto,o módulo da força é |Fx|.
(d) (2.5 pontos) Para que a bolinha 3 fica em repouso no origem, quantos elétrons precisam ser
retirados da ou adicionados para a bolinha 2.[Cada elétron possui uma carga elétrica e = −1, 60×
10−19 C. Use o sinal negativo para indicar que os elétrons deveriam ser retirados e o sinal positivo
para indicar que os elétrons deveriam ser adicionados.]
Resolução:
Para que a bolinha 3 fica em repouso, a força resultante sobre ela deveria ser zero:
F13,x + F23,x = 0,
keq3
(
q1
x21
− q
′
2
x22
)
= 0 =⇒ q′2 =
(
x2
x1
)2
q1,
onde q′2 é a carga novo da bolinha 2. A diferença com a sua carga original deveria ser
q′2 − q2 = ne,
onde n é o número de elétrons (negativo indica retirada e positivo indica adição). Portanto,
temos
n =
q′2 − q2
e
=
1
e
[(
x2
x1
)2
q1 − q2
]
.
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