1-Fibonacci

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Cálculo II - A sequência de Fibonacci - Um pouco de história
Maria José Pacifico
Instituto de Matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro
A Sequência de Fibonacci é a sequência numérica proposta pelo matemático Leonardo Pisa, mais
conhecido como Fibonacci. Essa sequência começa normalmente por 0 e 1, na qual, cada termo
subsequente corresponde à soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o nome do matemático
italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, que descreveu, no ano de 1202, o crescimento
de uma população de coelhos, a partir desta sequência. Esta ssequência já era, no entanto, conhecida
na antiguidade.
Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, · · ·
A sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1 = 1:
Fn = Fn−1 + Fn−2, e valores iniciais F1 = 1, F2 = 1.
1 Origens
No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de
Leonardo Fibonacci, embora ela já tivesse sido descrita por gregos e indianos.
Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de
coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for
suposto que:
• no primeiro mês nasce apenas um casal;
• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida;
• não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal; e os coelhos nunca morrem.
Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) +
g(n+1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF (n)+bF (n+1) para alguns números
a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F (n) e F (n + 1)
como base.
Em particular, a sequência de Fibonacci com F (1) = 1 e F (2) = 3 é conhecida como a sequência de
Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea
para as n-ésimas potências: (
1
2
(1 +
√
5
)n
=
1
2
(L(n) + F (n)
√
5).
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Maria José Pacifico
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Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmulas:
L(n) = F (n− 1) + F (n− 2), F (2n) = F (n)L(n),
n∏
p=1
L2p = F2n+1 , L(n) =
(
1 +
√
5
2
)n
+
(
1−
√
5
2
)n
.
Observando-se que
(1 +
√
5)(1−
√
5) = −4, logo (1−
√
5) =
−4
1 +
√
5
(1−
√
5) =
−4
1 +
√
5
e que
(
1 +
√
5
2
)2
= 1 +
(
1 +
√
5
2
)
,
(
1 +
√
5
2
)2
= 1 +
(
1 +
√
5
2
)
,
pois é a solução de x2 = 1 + x e substituindo isso em L(n), obtemos a fórmula apenas em termos da
raiz positiva:
L(n) =
(
1 +
(
1+
√
5)
2
))n
+ (−1)n
(1+
√
5
2 )
n
.
Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos
foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e
1, como mostra a figura abaixo:
Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.
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1. F(6) = (F(6 - 1)) + (F(6 - 2)) = 5 e 4 → 8 (Soma do Resultado de F (5) e F (4))
2. F(5) = (F(5 - 1)) + (F(5 - 2)) = 4 e 3 → 5 (Soma do Resultado de F (4) e F (3))
3. F(4) = (F(4 - 1)) + (F(4 - 2)) = 3 e 2 → 3 (Soma do Resultado de F (3) e F (2))
4. F(3) = (F(3 - 1)) + (F(3 - 2)) = 2 e 1 → 2
5. F(2) = (F(2 - 1)) + (F(2 - 2)) = 1 e 0 → 1.
E a primeira posição 1.
Note que a sequência de Fibonacci está no resultado de cada posição: 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·
Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que é
Fn+1/Fn,
tende à Proporção áurea, denotada por
ϕ = 1+
√
5
2 ≈ 1, 61803398875.
Em outras palavras,
lim
n→∞
(
Fn+1
Fn
)
= ϕ =
1 +
√
5
2
≈ 1, 61803398875.
De um modo mais geral, tem-se
lim
n→∞
(
Fn+k
Fn
)
= ϕk =
1 +
√
5
2
≈ 1, 61803398875.
Como ϕ é a raiz positiva da equação de segundo grau x2 − x− 1 = 0 temos que
ϕ2 = ϕ+ 1 ⇒ ϕn.ϕ2 = ϕn.(ϕ+ 1) ⇒ ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn
e então a função ϕn é uma sequência de Fibonacci.
Notamos que ao desenhar um arco dentro desse Retângulo Aureo obtemos, por sua vez, a Espiral de
Fibonacci.
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Maria José Pacifico
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A verdade é que a sequência de Fibonacci pode ser percebida na natureza. São exemplos disso as
folhas das árvores, as pétalas das rosas, os frutos como o abacaxi, as conchas espiraladas dos caracóis
ou as galáxias.
Muito interessante é o fato de que através do coeficiente de um número com o seu antecessor, obtém-se
a constante com o valor aproximado de 1, 618 = ϕ.
Ela é aplicada em análises financeiras e na informática e foi utilizada por Da Vinci, que chamou a
sequência de Divina Proporção, para fazer desenhos perfeitos.
Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exem-
plo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número de
Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8).
5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator
de conversão entre milhas e quilômetros (1, 609) é próximo de ϕ ≈ 1, 618 (obviamente ele só é útil para
aproximações bem grosseiras: além do fator de conversão ser diferente de ϕ, a série converge para ϕ).
Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, deter-
minar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta
de Béla Bartók.
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