Magnetismo e Materiais Magnéticos

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DiamagnetismoDiamagnetismo e e paramagnetismoparamagnetismo
Kittel 7ª edição Cap 14
Kittel 8ª edição Cap 11
Aschcroft Cap 31
2
IntroduIntroduççãoão
Histórico
Conceitos básicos
Campo magnético
Indução magnética
Magnetização
Momento magnético
Classes de materiais magnéticos
Diamagnetos
Paramagnetos
Ferromagnetos
Antiferromagnetos
3
FATO:
Rocha Rica em magnetita (Fe3O4)
Lodestone: "lead stone“ indicar o caminho”
Rocha magnetizada por relâmpagos
(1.000.000 A)
História: (Grécia)
Tales (636-546AC) : pedra possuía “alma”
Aristóteles (384-322AC) : ação à distância.
Lenda:
Magnes: criador de ovelhas de Creta 
Pregos da botas presos a uma lodestone enquanto 
levava suas ovelhas para o Monte Ida.
Arquimedes: magnetita para soltar os pregos dos navios inimigos.
Mito:
Sob o travesseiro de uma “esposa infiel”
levaria à confissão do crime durante o sono.
Sobre a cabeça: ouvia-se a voz dos deuses!
Poder de curar e anticoncepcional
Efeito interrompido por alho ou cebola
Magnetismo: primeiros registrosMagnetismo: primeiros registros
4
Magnetismo e navegaMagnetismo e navegaççãoão
Lodestone: chineses e europeus 800AC
Chineses: direção em terra (indicador 
de SUL 100DC)
Europeus: navegação, início da ciência 
moderna do magnetismo. 
1263 Pierre de Maricourt
existência dos polos Norte e Sul.
1269 Petrus Peregrinus: 
Origem celestial polos e 
Moto contínuo 
(patentes americanas até 1970) 
1727 
As viagens de 
Gulliver 
5
De De MagneteMagnete
1600 De Magnete, de William Gilbert:
Primeiro tratado científico de magnetismo.
Observação do campo de dipolo para diferentes formas de ímã.
A terra é um grande ímã
6
RevoluRevoluçção eletromagnão eletromagnééticatica
1820 Hans Christian Oersted: efeito magnético das correntes
1820-21 André Marie Ampère: 
atribui o magnetismo da matéria a “correntes moleculares”
1831 Michael Faraday: indução eletromagnética 
campo variável induz corrente elétrica em um circuito
1864 James Clerk Maxwell cria a teoria eletromagnética:
1885-1889 Heinrich Hertz detecta ondas de radio e identifica 
seu caráter eletromagnético
1895, 1896 descoberta dos raios-x e da radioatividade
1895 Pierre Curie descobre a lei da dependência da 
magnetização com a temperatura
1897 descoberta do elétron
7
SSééculo XX: Relatividade e Mecânica Quânticaculo XX: Relatividade e Mecânica Quântica
Se correntes Amperianas de 1.76MA/m circulam
em uma barra de Ferro, por quê ela não funde?
Esta corrente persiste indefinidamente
sem dissipar calor??
1900 Max Planck introduz o quantum
1905-1910 Langevin: dependência do paramagnetismo
com a temperatura
1907 Weiss: postula o “campo molecular” para explicar o 
ferromagnetismo
1907 Pierre Weiss: propõe a existência de domínios
1913 O átomo de Bohr: correntes elétricas internas
1926 Heisenberg e Dirac: explicação o quântica para
campo molecular (interação de troca)
1926 A equação de Schrödinger
1927 Pauli: paramagnetismo de metais
1928 Paul Dirac introduz o conceito de spin
1946 Ressonância magnética
1960s Magnetismo amorfo
8
AvanAvançços Tecnolos Tecnolóógicos gicos 
9
Conceitos BConceitos Báásicos: B, H e Msicos: B, H e M
Grandezas magnéticas:
Campo Magnético ⇒ H
Indução magnética ⇒ B (campo magnético)
Magnetização ⇒ M
Como gerar um campo?
Campo Magnético: campo de forças produzido por cargas em movimento
Correntes macroscópicas em um fio condutor
Correntes microscópicas associadas a elétrons em orbitais atômicos
Duas grandezas: H, B
Vetor intensidade de campo magnético ⇒ H (corrente elétrica em um condutor)
Fio percorrido por uma corrente I gera campo dado por (Biot-Savart):
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I l
dH
rπ
×
=
d r
H independe do meio
[H]=[Am2/m3]
=[A/m]
SI CGS
[H]=[Oe]
1Oe =103/4π A/m 
10
Campo e InduCampo e Induççãoão
Vetor indução magnética ⇒ B (resposta do meio)
Diferença entre B e H
Aceleração de cargas em movimento
Torque em um dipolo magnético
Força sobre um condutor
0µ=B H
Aparecimento de campo
↓
variação de energia
↓
FORÇA
B: resposta do meio
depende do meio
µ0= 4πx10-7 Hm-1
Permeabilidade 
do vácuo
F=q v × B ���� força de Lorentz
Sempre que H for gerado por corrente
Meio responde com o aparecimento de 
uma força
SI CGS
[N]=[C][m/s][B] [B]=[G]
[B]=[N][C]-1[m/s]-1 1G=10-4T
[B]=[N][Am]=[T]
}
11
InduInduçção e Magnetizaão e Magnetizaççãoão
Meio magnético
Aumento de B (Para e Ferromagnético)
Diminuição de B (Diamagnéticos)
Momento Magnético
m=momento de dipolo magnético p=“força do polo”
φ=fluxo que emana de “um polo” λ =comprimento
Magnetização: definição
⇒
Material contribui para a indução do meio
0 0 0
B
V V A
φ φ
µ µ µ
= = = =
m
M
l l
l
0µ=B M
N
S
= ×τ m B
m p= l
0
p
φ
µ
= 0
m
φ
µ
=
l}
12
Fontes de Campo MagnFontes de Campo Magnééticotico
Fio Condutor: Biot-Savart
0
24
C
I l
r
µ
π
∧
×
= ∫
d r
B �
i
r
0B
2
I
r
µ
π
=
Fio Infinito
13
ÍÍmã Permanentemã Permanente
Barra de material magnético 
magnetizada 
Formação de polos N e S
Linhas de CAMPO B: contínuas →→→→
Linhas de CAMPO H: N →→→→ S
^^
^
^ ^
^
^ ^ ^
N
S
^ ^
Dentro do Material
µ0M µ0Hd B
d dH N M=
Fator Geométrico
Campo
Desmagnetizante
14
Material magnético pode:
Aumentar B (para e ferromagnetos)
Diminuir B (diamagnetos).
Jogando com a equação:
Substituindo:
RelaRelaçção entre B, H e Mão entre B, H e M
2 contribuições para a indução
Decorrentes do campo H
Decorrente da magnetização do meio
0 ( )µ= +B H M
0 1µ
 = + 
 
B M
H H
µ=
B
H
χ=
M
H
( )0 1µ µ χ= +
Permeabilidade
Susceptibilidade
( )
0
1r
µ
µ χ
µ
= = + Permeabilidade
relativa
15
RelaRelaçção entre B, H e Mão entre B, H e M
B
M
=χ
Susceptibilidade Magnética
χ : descreve o 
comportamento 
M x H
Usado para classificar os 
materiais magnéticos:
Diamagnéticos
Paramagnéticos
Ferromagnéticos
Duros 
Doces ou permeáveis
Intermediários
Susceptibilidade
B
M0µχ =
CGS MKS
16
SusceptibilidadeSusceptibilidade
17
Origem do Momento MagnOrigem do Momento Magnééticotico
Origem do momento magnético atômico:
movimento orbital do elétron em torno do núcleo
movimento de spin do elétron
variação do momento angular (diamagnetismo)
Clássico: µµµµ → corrente fluindo em um circuito fechado
µµµµ = I = I = I = I ···· AAAA
L : valores discretos → L = n � ħ, 
onde n = 1, 2, 3, 4, ...
Logo µ orb é quantizado
{- correntes convencionais- elétron em órbita
µ orb = h · e / 4π · me
µµµµB = 9.27 · 10−−−−24242424 Am2
magneton de Bohr
unidade fundamental do magnetismo
Modelo de Bohr
elétron em órbita circular
com momento angular orbital:
Momento magnético orbital será:
I = q. t -1 = -e·ω/2π
µ orb =I · A= -½ · e · ω · r 2 
me
L =me v x r → L = meω·r 2
A = π r2
ν = ω/2π
µµµµ orb = – (e / 2me) · L
antiparalelos
razão
giromagnética
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Movimento de spin do elétron → momento magnético de spin µµµµS
µS = -(e/m)S onde S=ħ.s e s=+1/2
Note: contribuição de spin 2X maior do que contribuição angular
Origem do Momento MagnOrigem do Momento Magnééticotico
{g = 1 somente orbitalg = 2 somente spin
Momento magnético total:
g : fator de Landé
1 < g < 2
µµµµT = -g (e/2m) J
µT = µorb + µS
µT = -(e/2m)L -(e/2m)2S
{J = momento ang. totalg = fator giromagnético
Podemos escrever:
onde j é sempre semi-inteiro
µT = -g (e/2m) J
= -g (eh/4πm)(2π/h) J
= -g µB j 
µT = -g µB j
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Origem dos momentos magnéticos
Tipo de interação entre os momentos
Magnetismo Fraco
Diamagnetos
Paramagnetos
Magnetismo Forte
Materiais Ordenados:
Ferromagnetos
Antiferromagnetos
Ferrimagnetos
ClassificaClassificaçção magnão magnéética dos materiaistica dos materiais
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ClassificaClassificaçção magnão magnéética dos materiaistica dos materiais
Diamagnéticos
Não possuem momento permanente
Origem: variação do momento orbital dos elétrons 
induzida pela ação de um campo magnético 
Resposta se opõe ao campo → (≈-10-6 MUITO PEQUENO)
(Lei de Lenz)
0
M
H
χ = <
µµµµ
Todo material apresenta diamagnetismo
Resulta do efeito de um campo VARIÁVEL 
sobre os elétrons
21
DiamagnetismoDiamagnetismo““ClCláássicossico””
Átomos camadas completas
Campo VARIÁVEL
↓
Precessão em torno 
do campo
Susceptibilidade
densidade de átomos
Distribuição esfericamente 
simétrica:
<ρ2> = 2/3 <r2>
2
eB
m
ω =
Freqüência de Larmor
Corrente total
Momento magnético (induzido)
2q
t 2 4
( ) ( )
B
Ze Ze
m
I
ω
π π
− −= = =
2
2( )
4
.
Ze B
I A
mπ
µ ρ
−
= = < >
2
20
0
6
NZeM
r
B m
µ
χ µ= = − < >
χ NÃO depende de T
<ρ2>=<x2>+<y2>
0 onde
M
M N
B V
µ
χ µ µ= = == = =
22
Valores experimentais tValores experimentais tíípicospicos
23
ParamagnetismoParamagnetismo
Possuem momento magnético permanente
Não há interação entre momentos
χ>0 porém pequena (10-5 - 10-3) (tende a alinhar com o campo)
Langevin (Clássica): momentos idênticos que não interagem e 
apontam em qualquer direção
H=0, M=0 H≠0
Temperatura
X
Campo Magnético
H
M
θ
24
ParamagnetismoParamagnetismo eletrônicoeletrônico
(contribui(contribuiçção positiva para ão positiva para χχ))
Átomos, moléculas e defeitos que possuam um número 
ímpar de elétrons: sódio, radicais orgânicos, centros F em 
alkali halides
Átomos e íons com uma camada interna parcialmente 
preenchida: metais de transição, terras raras, actinídeos
Poucos compostos com número par de elétrons:oxigênio 
molecular e bi-radicais orgâncos
Metais
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ParamagnetismoParamagnetismo
Langevin (Clássica): momentos idênticos que não interagem e 
apontam em qualquer direção
E= - µµµµ • B
= -µ cosθ B
{
Campo 
Magnético
Emin: momentos alinhados com B
Competição com agitação térmica
Projeção do momento na direção de B
Resposta magnética para uma dada temperatura T será:
(campo na 
direção z )cosz
TT
N NM µ µ θ= =
26
ParamagnetismoParamagnetismo de de LangevinLangevin: Cl: Cláássicossico
1
cothz
T
N NM x
x
µ µ= =  − 
 
com, B
g B
x
kT
µ
=
L(x)
{
O problema consiste em calcular a média térmica <cosθ>T :
M0
27
Expansão em série da Função de Langevin:
Para x pequeno: L(x) ≈ x/3
3 52
( )
3 45 945
x x x
x = − + −LL
ParamagnetismoParamagnetismo de de LangevinLangevin: Cl: Cláássicossico
2 2
.
3 3
3
B B
B
Ng g BN x
M
kT
Ng B
kT
µ µµ
µ
= =
= ⇒
C
T
χ =
Lei de
Curie
28
ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico
B=0 B≠0
B
θ contínuo
< cosθ >= 0 < cosθ >≠ 0
- µ B
+ µ B
E
B=0 B≠0
B
θ discreto
N↑
N↓
E
Campo Magnético 
X
Temperatura
N : alta densidade de mom. mag.
µ : momento orbital
momento de spin
Clássico Quântico
29
Quantização do mom. angular:
Caso particular: J=1/2 e g=2
População dos níveis:
ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico
µµµµ = -g µB J
µ
J
BE= - µµµµ • B
= g µB JZ B
- µB B
+ µB B
1
2
Jz =±1/2
E = ±µB N↑
N↓
1 1 2
1 1 / ( )
E E E
kT kT kT
Tn N N e e e
− − −
= = +
2 1 2
2 2 / ( )
E E E
kT kT kT
Tn N N e e e
− − −
= = +
1 2TN N N= +
JZ : J, 
J-1, 
J-2, 
... -J
Magnetização resultante:
tanh(x)
( )1 2 /
x x
x x
e e
M N N V N
e e
µ µ
−
−
−
= − =
+{B
x
kT
µ
=
B=0
B≠0
30
ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico
( )B JM g JNB xµ=
Função de Brillouin
� Para um átomo com momento angular J:
� 2J+1 níveis de energia
1 ( 1) 12 2
( ) coth coth
2 2 2 2
J
x xJ J
B x
J J J J
+ +   = −   
   
31
1 ( 1) 12 2
( ) coth coth
2 2 2 2
J
x xJ J
B x
J J J J
+ +   = −   
   
Para temos:
Logo:
2 2( 1)
3
BNJ J g B CM B
kT T
µ+
= =
1
B
x
kT
µ
= <<
1
coth
3
x
x
x
= + L
1
2
( 1)
( )
3
x
J
J J
B x x
J
<< +→
2 2
0 2
( 1)
3
BNg J JM
H J kT
µ
χ µ
+
= =
No limite de J muito grande:
Limite Clássico!!
( ) ( )JJB x L x
→∞→
ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico
32
NNúúmero efetivo de mero efetivo de magnetonsmagnetons de Bohrde Bohr
2 2( 1)
3
BNJ J g B CM B
kT T
µ+
= =
2 2
0 2
( 1)
3
BNg J JM
H J kT
µ
χ µ
+
= =
[ ] 2/1)1( +≡ JJgp
C �constante de Curie
33
34
Terras raras Terras raras -- eleléétrons 4ftrons 4f
Regras de Hund
Os elétrons ocuparão orbitais de modo que o estado 
fundamental fique caracterizado por:
O valor máximo do spin total S permitido pelo princípio de 
exclusão de Pauli;
O valor máximo do momento angular orbital L consistente 
com o valor de S;
O valor do momento angular total J=|L-S| quando a 
camada estiver menos do que metade completa e J=L+S 
quando a camada estiver mais do que metade completa. 
Quando a camada estiver semi-preenchida L=0 e J=S.
35
36
ParamagnetismoParamagnetismo de de VanVan VleckVleck –– Independente Independente 
da temperaturada temperatura
Átomo ou molécula que não possui momento magnético 
no estado fundamental
Estado fundamental E0 e estado excitado ES: ∆=ES-E0
Teoria de perturbação na presença de um campo B
37
∆<< kBT
∆>> kBT
Curie
Van Vleck
38
ElEléétrons de condutrons de conduççãoão
Teoria clássica: prevê paramagnetismo de Curie
FB
B
Tk
BN
M
2µ
=
Pauli: estatítisca de Fermi-Dirac
Tk
BN
M
B
B
2µ
=
39
ParamagnetismoParamagnetismo dos dos eleléétronstrons de de conduconduççãoão
Como se comportam os elétrons livres nos metais?
Deslocamento as bandas
Elétrons com spin↑: menor energia
40
( )
2 ( )
logo:
B
B F
M N N
D E B
µ
µ
↑ ↓= −
=
2
Pauli 0
2
0
Pauli
( )
( ) 3 / 2
3
2
B F
F B F
B
B F
D E
onde D E N k T
N
k T
χ µ µ
µ µ
χ
=
=
=
FB
B
Tk
BN
M
2µ
=
kBT << EF
41
ParamagnetismoParamagnetismo dos dos eleléétronstrons de de conduconduççãoão
Como se comportam os elétrons livres nos metais?
2µB B
EF
E
D(E)
2
Pauli 0
2
0
Pauli
( )
( ) 3 / 2
3
2
B F
F B F
B
B F
D E
onde D E N k T
N
k T
χ µ µ
µ µ
χ
=
=
=
{ } 1( ) exp[( ) / ] 1Ff E E E kT
−
= − +
EF
f
Independe de T
2 fatores opostos:
↑T ⇒ ↑spins promovidos
↑T ⇒ ↑ desordem térmica
Deslocamento as bandas
Elétrons com spin↑: menor energia
( )
2 ( )
logo:
B
B F
M N N
D E B
µ
µ
↑ ↓= −
=