M E XII Grupo

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Abubacar Issufo
António Ganha Mateus
Feliciano Momade Assane Amade
Isabel Jorge Licusse
Jossefa Simões Liculene
Khiven Nilton Rangel
 Tema: Cálculo diferencial
	- Definição da derivada
	- Interpretação geométrica da derivada
	- Derivação composta
	- Derivação implícita
	Licenciatura em ensino de Matemática
 Universidade Pedagógica - FCNM
 Maputo, Abril de 2020
Abubacar Issufo
António Ganha Mateus
Feliciano Momade Assane Amade
Isabel Jorge Licusse
Jossefa Simões Liculene
Khiven Nilton Rangel
 Tema: Cálculo diferencial
	- Definição da derivada
	- Interpretação geométrica da derivada
	- Derivação composta
	- Derivação implícita
Licenciatura em ensino de Matemática
	Esse trabalho foi elaborado pelos estudantes deste grupo do curso de licenciatura em ensino de matemática, e tambem para ser apresentado na FCNM.
Docente: Salomão Munguambe
 Universidade Pedagógica - FCNM
 Maputo, Abril de 2020
Índice
1.	Introdução	4
2.Objectivos	5
2.1. Objectivos Gerais:	5
2.2. Objectivos específicos:	5
3. Calculo Diferencial	6
3.1Definição	6
4. Definição da derivada	6
4.1 definição	6
4.2 notação e linguagem	6
5. Interpretação Geométrica da derivada	8
6. Derivação Composta	9
7. Derivação Implícita	10
8. Conclusão	12
9. Referencias	13
1. Introdução
Neste trabalho aborda-se temas relacionados com as derivadas, interpretação geométrica, derivações composta e implícita. Chamar atenção ao leitor que no mesmo há informações úteis que são indispensáveis no estudo da escola em particular e da matemática.
 
2.Objectivos
2.1. Objectivos Gerais:
- Definir as derivadas;
- Interpretar geometricamente a derivada;
2.2. Objectivos específicos:
- Resolver derivadas compostas e implícitas;
3. Calculo Diferencial
3.1Definição
É o ramo da matemática que se dedica ao estudo de grandezas e acumulação de quantidade. Ele foi criado como uma ferramenta auxiliar em varias áreas de conhecimento e é tido o conhecimento de análise clássica.
4. Definição da derivada
A taxa de variação instantânea de uma função nos fornece informações a respeito da variação instantânea da função em um ponto. Por um lado, o valor f(x) nos dá um “retrato” da função no ponto x; por outro, a taxa de variação instantânea nos informa sobre a “tendência” da função, a partir de f(x), como se fosse uma “velocidade” de sua variação. É possível saber, por exemplo, se a função está crescendo ou decrescendo nas proximidades daquele ponto e, mais que isso, a magnitude desse crescimento (ou decrescimento).
Por sua importância, este conceito recebe um nome especial.
4.1 definição
Sejam y = f(x) uma função com domínio D e a ∈D. A derivada da função f no ponto a é definida como sendo a taxa instantânea de variação de f em a.
4.2 notação e linguagem
Sejam y = f(x) uma função com domínio D e a ∈D. A derivada de f no ponto a é denotada por f ’(a), e lemos “f linha de a”.
Para a função y x 2 , vamos calcular f ᾿1. Para isso, escrevemos:
• o intervalo 1,1x, em que vamos considerar as taxas médias
de variação da função;
• a expressão da taxa média de variação,
chamaremos acréscimo da função f(x) no ponto x0 correspondente ao acréscimo ¢x do seu argumento x. A expressão
lim f(x0 + ¢x) ¡ f(x0)
,
¢x
	chamaremos, caso exista, derivada da função f(x) no ponto x0 . A denotação usada é f0(x0)
	
	
Seja x variável independente. Então:
Teorema 5. Se a função u(x) tem derivada no ponto x0 e a função `(u) tem derivada no ponto u(x0), então a função composta f(x) = `[u(x)] tem derivada no ponto x0 e essa derivada é
f0(x0) = `0[u(x0)]u0(x0):
Diremos que a função f(x) é diferenciável no ponto x0 se o seu acréscimo ¢f neste ponto, correspondente ao acréscimo ¢x do argumento x, admite a representação
¢f = A¢x + fi(¢x)¢x;
onde A é um certo valor, não dependente de ¢x, fi é uma função dependente de ¢x, infini-tamente pequena e contínua no ponto ¢x = 0.
Teorema 7. Para que a função f(x) seja diferenciável no ponto x0 é necessário e suficiente que exista a derivada f0(x0).
Neste caso o acréscimo é:
¢f = f0(x0)¢x + fi¢x:
A função linear homogénea chamaremos diferencial da temos que ¢f t df , isto é,
de argumento ¢x definida por df = f0(x0)¢x (f0(x0) =6 0) função f(x) no ponto x0 . Para valores de ¢x muito pequenos
f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) t f0(x0)¢x:
Seja y = y(x) uma função diferenciável que satisfaz a equação F (x; y) = 0. Então, a derivada y0(x) desta função dada na forma implícita podemos achar a partir da equação
d[F (x; y)] = 0;
dx
onde F (x; y) é considerada uma função composta de x.
5. Interpretação Geométrica da derivada
Anteriormente já mostramos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taxa `a qual a recta sobe ou desce. Para uma recta, esta taxa e a mesma em todos os seus pontos. Para outros gráficos que não rectas, a taxa a qual o gráfico sobe ou desce pode variar de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico:
Podemos observar que a parábola sobe mais rapidamente no ponto (x1, y1) do que no ponto (x2, y2). No vértice (x3, y3) o gráfico deixa de subir ou descer, e no ponto (x4, y4), o gráfico esta a descer. Para determinar a taxa `a qual um gráfico sobe ou desce num determinado ponto, podemos calcular o coeficiente angular da tangente no ponto. Em termos simples, a tangente ao gráfico duma função f num ponto P (x, y) é a recta que melhor aproxima o gráfico naquele ponto conforme podemos ver pelo gráfico anterior.
Sejam y = f(x) uma função e a um ponto de seu domínio. Já sabemos que:
1. a derivada de f em a é o limite das taxas médias de variação de f, em intervalos contendo a cujos comprimentos tendem a zero;
2. A taxa média de variação de f é a inclinação de uma recta secante a seu gráfico, passando por A a, f ae B b, f b.
Veja na Figura 2 a representação das secantes por A a, f ae B b, f b, para valores de abscissas b do ponto B cada vez mais próximos de a.
Observe a sequência de rectas secantes, que parece se estabilizar numa posição que indicamos por r. Sua inclinação, que corresponde à taxa instantânea de variação, foi definida como a derivada de y f xem x a.
Definimos a recta r como a recta tangente ao gráfico de f em x a .
A recta r que tem como inclinação o limite das inclinações das rectas secantes ao gráfico de f passando pelo ponto A, determinada como descrito acima, é denominada recta tangente ao gráfico de f em x = a.
6. Derivação Composta
Seja y= (f = g)(x) uma função composta.
Se g tem derivada finita num ponto x₀ e se f é diferenciavel no ponto correspondente a x₀ = g(x₀), então f = g é derivável em x₀ e y᾿ = (f 0 g)(x)= f ᾿ [g(x₀)] g᾿ (x₀).
Com o efeito, por definição, y᾿ = [ f = g] (x)= = 
Mas quando x tende para x₀, u tende para u₀ e como as funções são continuas em x₀ e u₀, visto serem diferenciáveis nesses pontos.
7. Derivação Implícita
As equações podem ser escritas de forma explicita, ou seja, a variável dependente y esta isolada, ou de forma implícita, onde a variável dependente y não esta isolada.
Um exemplo da função implícita é a equação da circunferência += , deste modo, apresenta como fazer a derivação implícita de uma equação.
Trabalhando primeiro com equações explicitas em que f(x)= y estava isolada de um lado da equação:
Y= + 3x – 4
Para realizar a derivação para equações implícitas ou na forma implícita, onde não temos a variável y isolada?
+ + ry = 3
A ideia é aplicar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma:
 
Pelas propriedades das derivadas.
A derivada da soma é igual a soma das derivadas, assim:
 
Para facilitar a explicação, resolve-se cada uma das derivadas separadamente e no final retorna-se a equação original substituindo cada termo.- A primeira resolve-se aplicando a derivada da potência dada por:
 
- A segunda derivada tem uma função y que é dependente de x. Deste modo, ao aplicar a regra da cadeia obtem-se:
 
- A terceira derivada tem-se o produto de duas funções, por isto aplica-se a propriedade da derivada do produto para obter:
 [x] 
Em seguida, aplica-se a regra da cadeia ao primeiro termo e a derivada da potência no segundo para ter-se:
X [y] + y 
Por fim, a derivada do termo que esta do outro lado da igualdade, que é a derivada de uma constante
 
Concluindo o cálculo de todas derivadas, deve-se substituir ao problema original
 
Portanto, tem-se:
2x + 2y 
Agrupando os termos que contém as derivadas e isolando obtem-se:
(2y + x) = -2x - y 
8. Conclusão
Neste presente trabalho sobre calculo diferencial, chegamos a concluir que numa derivada, pudemos interpretar geometricamente e também pudemos apresentar dois tipos de derivadas que foram apresentados nas páginas atrás que são: derivada composta e implícita. 
9. Referencias
PINTO, M.; ARAÚJO, J.; FERREIRA, C. Cálculo I. Belo Horizonte:
Editora UFMG, 2008. (Educação a Distância)