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1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 5 M¶odulo 5: Sistema de Part¶³culas: Momento Linear e sua Lei de Conservac»~ao, Centro de Massa e Colis~oes 1. INTRODUC» ~AO Neste m¶odulo, daremos in¶³cio µa descri»c~ao de um sistema de part¶³culas, cor- respondendo µa descri»c~ao de sistemas f¶³sicos que n~ao podem ser tratados como objetos pontuais. Come»caremos de¯nindo o momento linear de um sistema de part¶³culas e vendo como aplicar e generalizar a segunda lei de Newton para este sistema. Estudaremos em que situa»c~oes o momento linear de um sistema de part¶³culas ¶e conservado. Veremos que no estudo de um sistema de part¶³culas um conceito fundamental ¶e o de centro de massa do sistema, ao qual associaremos a for»ca externa total agindo sobre o sistema. Leituras indispens¶aveis: Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 8 (se»c~oes 8.1 a 8.4) e 9 do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mecânica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~ao | da de¯ni»c~ao de momento linear para um sistema de duas ou mais part¶³culas (se»c~oes 8.1 e 8.2); | da lei de conserva»c~ao do momento linear (se»c~ao 8.3). Atividade 2 Resolu»c~ao do problema 26 da lista de exerc¶³cios 13 (sobre Sistema de part¶³culas: momento linear, centro de massa, conserva»c~ao do momento, e colis~oes). Este problema corresponde µa primeira atividade experi- mental do M¶odulo 5, feito no laborat¶orio; pense as condi»c~oes que a F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 2 experiência deve ser realizada para que haja conserva»c~ao do momento linear. Atividades extras 1 1. Leia as se»c~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do cap¶³tulo 8 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 6 e 8 da lista de exerc¶³cios 13. 3. Demonstre (com o livro fechado) que para um sistema de part¶³culas d~P dt = ~F ext onde ~P ¶e o momento linear total e ~F ext ¶e a resultante das for»cas externas aplicadas sobre o sistema. Atividade 3 Discuss~ao (novamente) dos conceitos apresentados na aula anterior, com a resolu»c~ao dos exerc¶³cios 5 e 2 da lista 13. Atividade 4 Discuss~ao do conceito de centro de massa, obtendo a equa»c~ao que des- creve o movimento deste ponto (se»c~ao 8.3); e c¶alculos de alguns centros de massa para sistemas simples (se»c~ao 8.4). Atividades extras 2 1. Leia novamente as se»c~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do livro texto. 2. Leia a se»c~ao 8.4 do livro texto. 3. Resolva os exerc¶³cios 1,2,3,7,8,9,11,14 e 16 da lista 13. Atividade 5 Discuss~ao dos conceitos envolvidos na an¶alise de colis~oes usando o Exemplo A a seguir. Exemplo A Consideremos a colis~ao de duas bolas de borracha numa mesa sem atrito. As duas bolas têm massas m1 e m2 , e supomos conhecidas as suas velocidades iniciais ~v1i e ~v2i . Durante um F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 3 curto intervalo de tempo as duas bolas permanecem em contato, e depois se afastam com velocidades ¯nais ~v1f e ~v2f . Esquematicamente, podemos ver como se d¶a a \evolu»c~ao tem- poral" deste sistema, como na ¯gura abaixo. As duas part¶³culas antes, durante e depois da colis~ao. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ t± v©* v©¼ m1 ~v1i m2 ~v2i ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ t1 t2 vv ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ t3 v@I v @R m1 m2 ~v1f ~v2f Nosso problema fundamental ¶e encontrar as velocidades ¯nais ~v1f e ~v2f . Podemos fazer um gr¶a¯co das for»cas que agem sobre os dois corpos como fun»c~ao do tempo. Este gr¶a¯co tem a forma mostrada abaixo. - t F1(t) F2(t) t± t1 t2 t3´¦ ¦̈ ¥ E EEµ³ E E§ ¦¦¦¦ ¶ Podemos escrever a segunda lei de Newton para cada um dos dois corpos; tanto antes quanto depois da colis~ao, se ~p1 e ~p2 s~ao os momentos lineares dos corpos, d ~p1 dt = 0 ; d ~p2 d t = 0 nos intervalos de tempo t0 < t < t1 e t2 < t < t3 . Por outro lado, durante a colis~ao | isto ¶e, no intervalo de tempo t1 < t < t2 , a segunda lei de Newton nos diz que d ~p1 d t = ~F1 ; d~p2 d t = ~F2 : F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 4 Se conhecessemos estas for»cas, poder¶³amos (tentar) resolver o problema de encontrar as velocidades ¯nais dos corpos. Mas na maioria dos casos de colis~oes a forma destas for»cas nos ¶e desconhecida. Sabemos, por¶em, pela terceira lei de Newton, que elas constituem um par a»c~ao e rea»c~ao, ~F1 + ~F2 = 0 : Embora n~ao tenhamos uma solu»c~ao completa, podemos usar esta propriedade para obter informa»c~oes ¶uteis sobre o que est¶a acontecendo com o sistema considerado. Se somarmos as duas equa»c~oes, obteremos uma rela»c~ao que ser¶a v¶alida antes, durante e depois da colis~ao: d ~p1 d t + d ~p2 d t = d (~p1 + ~p2) dt = 0 Podemos de¯nir uma nova grandeza, a qual chamaremos de momento linear total do sistema, ou quantidade de movimento total do sistema, como sendo a soma do momento de cada uma das part¶³culas que comp~oem o sistema ~P = ~p1 + ~p2 e, olhando para a equa»c~ao anterior, temos d ~P d t = 0 Esta equa»c~ao signi¯ca que o momento linear total do sistema | que ¶e \isolado" | ¶e uma grandeza conservada; isto ¶e, seu valor ¶e sempre o mesmo, antes, durante e depois da colis~ao: (~p1 + ~p2)inicial = (~p1 + ~p2)final Duas quest~oes s~ao fundamentais. A primeira: o momento linear total de um sistema de part¶³culas ¶e sempre conservado? A resposta ¶e n~ao! Se tivermos for»cas F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 5 externas atuando sobre o sistema (por exemplo, atrito) n~ao te- remos o valor nulo para a soma das duas equa»c~oes anteriores. A segunda: a energia cin¶etica ¶e conservada nesta colis~ao? A resposta ¶e n~ao necessariamente! Discutiremos a seguir o porque desta a¯rma»c~ao. Um ¶ultimo coment¶ario: o que discutimos aqui se aplica em geral. N~ao ¯zemos nenhuma restri»c~ao sobre a for»ca interna que atua entre as part¶³culas durante a colis~ao (a ¶unica restri»c~ao foi exigir que ela satis¯zesse ao princ¶³pio de a»c~ao e rea»c~ao). Assim, qualquer que seja a for»ca interna, o momento linear total de um sistema isolado ¶e conservado. Atividade 6 Discuss~ao | do conceito de impulso de uma for»ca (se»c~ao 9.2), ilustrando com o exerc¶³cio 22; | e do que ocorre com o momento linear total e com a energia cin¶etica num processo de colis~ao (se»c~ao 9.3), classi¯cando as colis~oes em el¶asti- cas e inel¶asticas; | e resolu»c~ao do caso geral de uma colis~ao el¶astica unidimensional. Atividades extras 3 1. Leia as se»c~oes 9.1, 9.2 e 9.3 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 21 e 22 da lista 13. 3. Leia a se»c~ao 9.4. 4. Com o livro fechado, obtenha as equa»c~oes (9.4.11) do livro texto e aplique estas equa»c~oes ao caso particular em que as duas massas s~ao iguais. 5. Escreva um modelo te¶orico que descreva a atividade 2 da experîencia do laborat¶orio - colis~ao el¶astica entre dois corpos de mesmas massas - e compare com a observa»c~ao feita no laborat¶orio. 6. Resolva os exerc¶³cios 23 e 24 da lista 13. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 6 Atividade 7 Discuss~ao do problema das colis~oes unidimensionais n~ao el¶asticas, e em particular o caso da colis~ao totalmente inel¶astica (se»c~ao 9.5); e resolu»c~ao do exerc¶³cio 41 (pêndulo bal¶³stico). Atividade 8 Rediscuss~ao de conceitos relacionados µa lei de conserva»c~ao do momento linear de um sistema de part¶³culas e ao conceito de centro de massa usando o Exemplo B a seguir. Exemplo B Consideremos agora o caso de dois corpos (part¶³culas) de mas- sas m1 e m2. Esses dois corpos n~ao est~ao, como no caso do Exemplo A, isolados. Sobre eles, atuam tanto for»cas internas | a intera»c~ao de um com o outro, como no caso anterior, quanto for»cas externas | por exemplo, a for»ca peso, o atrito, etc. Podemos, para cada um dos dois corpos, separar a for»ca resul- tante em duas partes: uma, correspondente µas for»cas internas ao sistema, e outra correspondente µas for»cas externas. Assim, sobre os corpos 1 e 2 a resultante das for»cas ¶e escrita como ~F1 = ~F int 1 + ~F ext 1 ; ~F2 = ~F int 2 + ~F ext 2 e a segunda lei de Newton ¯ca d ~p1 d t = ~F int1 + ~F ext 1 ; d ~p2 d t = ~F int2 + ~F ext 2 : A \for»ca interna"que atua sobre o corpo 1 deve-se µa intera»c~ao deste corpo com outros corpos do sistema; no caso, o outro corpo do sistema ¶e o corpo 2. O mesmo ¶e v¶alido para o corpo 2. As for»cas ~F int1 e ~F int 2 constituem um par a»c~ao-rea»c~ao, e a terceira lei de Newton nos d¶a ~F int1 + ~F int 2 = 0 : De¯nimos o momento linear total de nosso sistema de part¶³cu- las como sendo ~P ´ ~p1 + ~p2 : F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 7 Ent~ao podemos escrever d ~P dt = d (~p1 + ~p2) d t = ³ ~F int1 + ~F int 2 ´ + ³ ~F ext1 + ~F ext 2 ´ Se ~F ext = ~F ext1 + ~F ext 2 ¶e a resultante das for»cas externas que atuam sobre as part¶³culas de nosso sistema, d ~P d t = ~F ext : Desta express~ao, podemos ver imediatamente sob que condi»c~oes o momento linear total de um sistema ¶e conservado. Todas as vezes que a resultante das for»cas externas ¶e nula, o sistema tem momento linear constante | e n~ao apenas quando o sis- tema ¶e isolado. Por este motivo, um sistema de duas part¶³culas em colis~ao sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito pode ser tratado como sendo isolado: as for»cas externas, pesos e normais, se anulam, dando uma resultante externa nula e conservando o momento total. A equa»c~ao que de¯ne o momento linear total do sistema nos inspira para uma outra observa»c~ao. Como ~p1 = m1 ~v1 e ~p2 = m2 ~v2, o momento total ¶e dado por ~P = (m1 ~v1 +m2~v2) Esta express~ao nos faz pensar que talvez fosse conveniente de- ¯nir um ponto especial de nosso sistema. Este ponto mover- se-ia com uma velocidade que ¶e uma \m¶edia ponderada" das velocidades dos corpos ~V = m1 m1 +m2 ~v1 + m2 m1 +m2 ~v2 : Os pesos nesta m¶edia s~ao as massas dos corpos envolvidos. A este ponto damos o nome de centro de massa do sistema de part¶³culas. Este ponto especial tem algumas propriedades interessantes e que se tornam bastante ¶uteis para a discuss~ao de sistemas de F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 8 part¶³culas. Sua posi»c~ao ¶e de¯nida como um ponto do espa»co que tem coordenadas dadas por ~Rcm ´ m1 m1 +m2 ~r1 + m2 m1 +m2 ~r2 : Se escrevemos para a massa total do sistema M = m1 +m2, temos das de¯ni»c~oes acima ~Rcm = m1 M ~r1 + m2 M ~r2 ~Vcm = m1 M ~v1 + m2 M ~v2 e observamos (primeira propriedade interessante!) que ~P = M ~Vcm : Este ponto especial tem uma velocidade que corresponde ao momento total do sistema dividido pela massa total do sistema | ou seja, tem a velocidade que teria um corpo de massa M que possu¶³sse um momento linear ~P . Tamb¶em a equa»c~ao que escrevemos acima para a conserva»c~ao do momento linear pode ser reescrita. A acelera»c~ao do centro de massa ¶e ~Acm = m1 M ~a1 + m2 M ~a2 : Temos que d ~P d t = d ~p1 d t + d ~p2 dt = m1~a1 +m2~a2 ; ou seja, ~F ext =M ~Acm : A¶³ temos mais uma propriedade interessante do centro de massa: sua acelera»c~ao corresponde µa raz~ao entre a for»ca externa resul- tante sobre o sistema e a massa total do sistema | a acelera»c~ao de uma part¶³cula de massaM sobre a qual agisse uma for»ca ~F ext. Com esta discuss~ao, podemos ver que o centro de massa ¶e um ponto bastante ¶util na discuss~ao do movimento de um sis- tema de part¶³culas, ou de um corpo constitu¶³do de mais de uma F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 9 \part¶³cula". Este ponto nos permite fazer uma an¶alise global do movimento do sistema, independente do movimento interno das componentes do sistema em rela»c~ao umas µas outras. Este ponto ¶e tal que tudo se passa como se sobre ele estivesse concentrada toda a massa do sistema e agissem todas as for»cas externas ao sistema. Ele ¶e um auxiliar bastante ¶util na discuss~ao de cor- pos mais complexos, dos quais n~ao temos muitas indica»c~oes (ou temos e s~ao complicadas) de como s~ao as intera»c~oes dentro do sistema, como num corpo r¶³gido, etc. Ele nos permite de uma primeira maneira intuitiva entender porque colocamos a for»ca peso agindo sobre o \centro" dos corpos, e a for»ca gravitacional de um objeto sobre a Terra agindo sobre o centro da Terra, etc, resultados que ser~ao formalizados com mais clareza e exatid~ao posteriormente em nosso curso. Atividade 9 Discuss~ao | de como a descri»c~ao de uma colis~ao pode ser feita usando tanto o referencial do laborat¶orio quanto o referencial do centro de massa do sistema, usando as transforma»c~oes galileanas de velocidade para passar de um sistema de referência inercial para o outro; e | e aplica»c~ao ao Exemplo C a seguir. Exemplo C Duas bolas de bilhar de massas m1 e m2 movendo-se com velocidades ~v1 e ~v2 no referencial do laborat¶orio colidem. A colis~ao ¶e totalmente inel¶astica, isto ¶e, as duas bolas saem juntas ap¶os a colis~ao. 1. Calcule a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois da colis~ao no referencial do laborat¶orio. 2. Calcule as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema no referencial do laborat¶orio. 3. Calcule as velocidades ~u1 e ~u2 de cada uma das duas bolas antes da colis~ao no referencial do centro de massa do sistema. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 10 4. Descreva a colis~ao para um observador que anda junto com o centro de massa. 5. Calcule as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema no referencial do centro de massa. Atividades extras 4 1. Leia as se»c~oes 9.1 a 9.4 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 27, 28, 29 da lista 13. 3. Resolva os exerc¶³cios 30, 31 e 32 da lista 13. Atividade 10 Discuss~ao sobre colis~oes no caso geral, bidimensional (se»c~oes 9.6 e 9.7) tanto el¶asticas quanto inel¶asticas, exempli¯cando com o problema 36 da lista 13. Atividade 11 Discuss~ao de um processo de colis~ao do ponto de vista do referencial do laborat¶orio e do ponto de vista do referencial do centro de massa do sistema, resolvendo com o problema 39 da lista 13. Atividades extras 5 1. Leia as se»c~oes 9.6 a 9.7 do livro texto. 2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto (transforma»c~oes de Galileu). 3. Refa»ca exerc¶³cios da lista 8, sobre mudan»ca de sistema de referência. 4. Resolva os exerc¶³cios 37, 38, 39 da lista 13. Atividade 12 Demonstra»c~ao de que podemos escrever a energia cin¶etica de um sis- tema de duas part¶³culas como sendo Ec = 1 2 M V 2cm + 1 2 m1m2 m1 +m2 (~v1 ¡ ~v2)2 e discuss~ao do exerc¶³cio 28 em vista desta equa»c~ao. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 11 Atividades extras 6 1. Releia todo o guia, e todo o cap¶³tulo 9. 2. Fa»ca tudo que você ainda n~ao fez. Atividade 13 Resolu»c~ao de problemas da lista 13 e dos cap¶³tulos 8 e 9 do livro texto, a crit¶erio do professor. 3. ATIVIDADES FINAIS DO M¶ODULO 5 1. Releia os cap¶³tulos 8 e 9 do livro texto. 2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto. 3. Refa»ca todos os exemplos deste guia e do livro texto. 4. Fa»ca todos os exerc¶³cios da lista 13 que você ainda n~ao fez. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 12 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 13 Sistema de Part¶³culas: Momento Linear, Centro de Massa, Conservac»~ao do Momento, Colis~oes 1. Um corpo de massa m1 est¶a sobre o eixo x no ponto x1. Outro corpo de massa m2 est¶a sobre o eixo x no ponto x2. Determine o valor da distância entre o centro de massa do sistema constitu¶³do pelos dois corpos e o corpo de massa m1. Aplique este resultado aos casos em que m2 =m1 e m2 = 2m1. 2. Um sistema de part¶³culas ¶e composto de dois objetos de massas m1 e m2. Demonstre que o centro de massa est¶a deste sistema est¶a sobre a linha que une os dois, entre os dois, e a raz~ao entre a distâncias d1 e d2 de cada um dos dois corpos ao centro de massa ¶e inversamente proporcional µa raz~ao entre as massas: d1=d2 =m2=m1. w1 u2-cm d1 d2 3. Obtenha a posi»c~ao do centro de massa de um sistema de duas part¶³cu- las, de massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg, em repouso nas posi»c~oes ~r1 = 5 ³̂ + 2^́ e ~r2 = ³̂¡ 3^́. Calcule a distância de cada uma das massas ao centro de massa do sistema. As posi»c~oes est~ao dadas em metros. 4. Um n¶ucleo de r¶adio 226 (com 88 pr¶otons e 128 nêutrons, 22688 Ra) sofre decaimento radioativo, emitindo uma part¶³cula ® (que corresponde ao n¶ucleo do¶atomo de h¶elio, com 2 pr¶otons e 2 nêutrons, 42He). As mas- sas do pr¶oton e do nêutron s~ao aproximadamente iguais. Se o n¶ucleo original estiver inicialmente em repouso, a part¶³cula ® ¶e emitida com velocidade de 1; 5£ 107 m/s. Qual ¶e a velocidade do n¶ucleo residual? F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 13 5. Um proj¶etil ¶e lan»cado com velocidade inicial de 400 m/s numa dire»c~ao que faz um ângulo de 60± com a horizontal. No ponto mais alto de sua trajet¶oria, ele explode em dois fragmentos iguais, um dos quais cai verticalmente, levando 20 s para chocar-se com o solo. A que distância do ponto de queda do primeiro cai o outro fragmento, supondo-se o solo horizontal? 6. Um n¶ucleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se, emitindo um el¶etron e um neutrino em dire»c~oes perpendiculares entre si. O m¶odulo do momento linear do el¶etron ¶e 1; 2 £ 10¡22 kg m/s e o do neutrino 6; 4£ 10¡23 kg m/s. (a) Ache a dire»c~ao e o m¶odulo do momento adquirido pelo n¶ucleo ao recuar. (b) A massa do n¶ucleo residual ¶e de 5; 8£10¡26 kg. Qual a sua energia cin¶etica de recuo? 7. Um corpo de massa igual a 8,0 kg desloca-se com velocidade de 2,0 m/s sem in°uência de qualquer for»ca externa. Num certo instante, ocorre uma explos~ao interna e o corpo divide-se em dois fragmentos, de 4,0 kg cada. Com a explos~ao, uma energia cin¶etica de transla»c~ao de 36 J ¶e transmitida ao sistema formado pelos dois fragmentos. Nenhum dos dois deixa a linha do movimento inicial. Determine a velocidade e o sentido do movimento de cada fragmento depois da explos~ao. 8. Duas part¶³culas P e Q est~ao inicialmente em repouso, separadas por uma distância de 1 m. A part¶³cula P tem massa m1 = 3; 0 kg, e Q tem massa m2 = 5; 0 kg. Elas atraem-se mutuamente com uma for»ca constante de m¶odulo 0,35 N. Nenhuma for»ca externa atua sobre este sistema. (a) Descreva o movimento do centro de massa do sistema. (b) A que distância da posi»c~ao original de P as part¶³culas v~ao colidir? 9. Um homem de massa m est¶a pendurado numa escada de corda, sus- pensa por um bal~ao de massa M. O bal~ao est¶a estacion¶ario em rela»c~ao ao solo. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 14 (a) Se o homem come»car a subir pela escada com velocidade de m¶o- dulo v (em rela»c~ao µa escada), em que dire»c~ao e com que velocidade (em rela»c~ao µa Terra) o bal~ao mover-se-¶a? (b) Como se mover¶a o bal~ao depois que o homem parar de subir? 10. Um avi~ao, cuja massa total ¶e M, em vôo horizontal planado (com motor desligado) com velocidade de m¶odulo v0 dispara para frente um foguete de massa m. O foguete sai com velocidade horizontal de m¶odulo vc em rela»c~ao ao avi~ao (medida pelo piloto ap¶os o lan»camento). Calcule as velocidades do avi~ao e do foguete em rela»c~ao µa Terra imediatamente ap¶os o disparo. 11. Um cachorro de 5,0 kg est¶a de p¶e, parado dentro de um barco cujo extremo encontra-se a 6 m da margem, como mostrado na ¯gura. Ele anda 2,4 m sobre o barco em dire»c~ao µa margem, e depois p¶ara. O barco tem uma massa de 20 kg, e sup~oe-se n~ao haver atrito entre ele e a ¶agua. A que distância da margem estar¶a o barco no ¯nal da caminhada do cachorro? 12. Um casal passeia num bote a remo de 100 kg e 3 m de comprimento em uma lagoa de ¶aguas calmas. Em um dado momento, o homem cai fora do barco, perdendo o remo, e ¯ca a uma distância de 1,5 m da popa do barco na dire»c~ao de seu comprimento. Como nenhum dos dois sabe nadar, a mulher, de 50 kg, resolve andar em dire»c~ao µa proa do barco, a ¯m de salvar seu companheiro. Desconsiderando o atrito entre o barco e a ¶agua, determine se a mulher ser¶a ou n~ao bem sucedida. Suponha que o centro de massa do barco est¶a em seu centro geom¶etrico. 13. Um homem de massa M , em repouso, de p¶e com patins sobre uma superf¶³cie supostamente sem atrito, atira uma bola de massa m ho- rizontalmente, com velocidade de m¶odulo v, para outro patinador de mesma massa, em repouso, que a apanha e a devolve com a mesma velocidade v. (A velocidade dada corresponde µa velocidade em rela»c~ao ao patinador antes dele lan»car a bola.) F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 15 (a) Calcule a velocidade do primeiro patinador logo ap¶os lan»car a bola. (b) Calcule a velocidade do segundo patinador logo ap¶os receber a bola. (c) Calcule a velocidade do segundo patinador ap¶os lan»car a bola de volta. 14. Determine o centro de massa de um sistema composto por três part¶³- culas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos v¶ertices de um triângulo equil¶atero de 2 m de lado. 15. Num instante particular, três part¶³culas move-se como mostrado na ¯gura. Elas est~ao sujeitas apenas µas suas intera»c~oes m¶utuas. Ap¶os um certo tempo, elas s~ao novamente observadas; vê-se que m1 move-se como mostrado na ¯gura, enquanto m2 est¶a parada. Ache a velocidade de m3. Considere m1 = 2 kg, m2 = 0; 5 kg, m3 = 1 kg, v1 = 1 m/s, v2 = 2 m/s, v3 = 4 m/s e v01 = 3 m/s. x y I N Í C I O 1v r 2v r1 2 030 33v r x yF I M 'v1 r 2 ? 1 3 16. Um conjunto de part¶³culas possui massa total M = 2 kg. O momento linear do sistema ¶e dado por ~P = b t ³̂ + c t2^́, onde b = 2 kg m/s2, c = 4 kg m/s3 e t ¶e dado em segundos. Todas as massas permanecem constantes. (a) Determine a velocidade do centro de massa em fun»c~ao do tempo. (b) Obtenha uma express~ao para a for»ca que atua sobre o sistema como fun»c~ao do tempo. (c) Calcule o m¶odulo da for»ca externa para t = 1 s. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 16 17. A posi»c~ao do centro de massa de um sistema constitu¶³do de 4 part¶³culas de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg e m4 = 4 kg ¶e dada por XCM = ¡0; 4 m e YCM = ¡0; 1 m. Sabendo que as tr̂es primeiras part¶³culas est~ao localizadas nas posi»c~oes (1; 0), (¡1;¡1) e (¡1; 1), onde as coordenadas est~ao dadas em metros, determine a posi»c~ao da quarta part¶³cula. 18. Um observador mede as velocidades de duas part¶³culas de massas m1 e m2 e obt¶em os valores ~v1 e ~v2. Determine: (a) a velocidade do centro de massa das duas part¶³culas; (b) a velocidade de cada uma das part¶³culas em rela»c~ao ao centro de massa do sistema; (c) o momento linear de cada part¶³cula em rela»c~ao ao centro de massa do sistema. 19. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg ligadas por uma haste r¶³gida de massa desprez¶³vel e comprimento igual a 20 cm est¶a em repouso na posi»c~ao indicada na ¯gura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as for»cas ~F1 = 3^́ e ~F2 = ¡4 ³̂ (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2. Despreze o atrito com a mesa. - x (cm) -5 5 10 15 6 y (cm) w y (a) Encontre a acelera»c~ao do centro de massa do sistema. (b) Calcule a posi»c~ao do centro de massa do sistema como fun»c~ao do tempo. (c) Que tipo de trajet¶oria descrever¶a o centro de massa? (d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste r¶³gida for substitu¶³da por uma mola de comprimento natural 20 cm e cons- tante el¶astica k = 0; 1 N/cm. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 17 20. Considere uma chapa homogênea de massa M , na forma de um triân- gulo equil¶atero de lado a, sobre uma mesa horizontal sem atrito. De- termine o vetor posi»c~ao do centro de massa da chapa como fun»c~ao do tempo, sabendo que as for»cas constantes ~F1 e ~F2 mostradas na ¯gura s~ao aplicadas na chapa e que esta parte do repouso na posi»c~ao indicada na ¯gura. Dê sua resposta em fun»c~ao dos parâmetros M , a e F , onde F = j~F1j= j ~F2j : - x 6 y ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A A A A A A A A A A 6~F1 HH HY ~F2 21. Um taco atinge uma bola de bilhar, exercendo sobre ela uma for»ca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0,010 s. Se a massa da bola ¶e de 0,20 kg, que velocidade ela ter¶a ap¶os o impacto? 22. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidade de 25 m/s. Ela ¶e rebatida para cima e volta com uma velocidade de 10 m/s. (a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo? (b) Se a bola ¯cou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a for»ca m¶ediaexercida sobre o solo? 23. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesa plana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontal- mente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque ¶e per- feitamente el¶astico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois do choque? 24. Uma massa m1, com velocidade de m¶odulo v , choca-se frontalmente com uma massa m2. Ap¶os a colis~ao, m2 possui velocidade de m¶odulo u2. A massa m1, chocando-se com a mesma velocidade de m¶odulo v com a massa m3, faz com que esta adquira uma velocidade de m¶odulo F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 18 u3. Os choques s~ao el¶asticos e as massas m2 e m3 est~ao inicialmente em repouso. (a) Calcule m1 e v em termos de m2, m3, u2 e u3. (b) Em 1932, num hist¶orico trabalho de pesquisa, James Chadwick obteve um valor para a massa do nêutron, estudando colis~oes el¶asticas de nêutrons r¶apidos com n¶ucleos de hidrogênio e de ni- trogênio. Ele encontrou que a m¶axima velocidade ¯nal do n¶ucleo de hidrogênio inicialmente em repouso era 3; 3 £ 107 m/s e que a m¶axima velocidade ¯nal do n¶ucleo de nitrogênio 14 era 4; 7 £ 106 m/s. A massa do n¶ucleo de hidrogênio ¶e uma unidade de massa atômica (u.m.a.) e a do n¶ucleo de nitrogênio 14 ¶e de 14 u.m.a.. Queremos saber, em u.m.a., qual a massa do nêutron, e a velocidade inicial dos nêutrons utilizados na rea»c~ao. 25. Num reator de ¯ss~ao nuclear, os nêutrons produzidos pela ¯ss~ao de um n¶ucleo de urânio devem ser freados, de forma que possam ser absorvidos por outros n¶ucleos e produzam mais ¯ss~oes. Esta frenagem ¶e obtida por meio de colis~oes el¶asticas com n¶ucleos, na regi~ao de modera»c~ao do reator. Se desejarmos frear os nêutrons com o m¶³nimo de colis~oes poss¶³vel, que elementos devem ser usados como material moderador? Por quê? 26. Considere dois blocos A e B, de massas iguais a 1 kg e 2 kg, respectiva- mente, colocados sobre uma mesa sem atrito. Uma mola de constante el¶astica k = 3 N/cm e de massa desprez¶³vel est¶a presa ao bloco B. Prende-se o bloco A ao bloco B por meio de um ¯o, e neste processo comprime-se a mola de 10 cm. Num dado momento o ¯o se rompe. Determine a velocidade de cada bloco ap¶os a separa»c~ao. A A γγγγγγγγ γγγγγγγγ γγγγγγγγγγγγγγγγ B B a n t e s depo i s F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 19 27. Considere um choque el¶astico unidimensional de um corpo A que se aproxima de um corpo B inicialmente em repouso. Como você escolhe- ria a massa de B, em rela»c~ao µa massa de A, para que ap¶os o choque B tenha: (a) a m¶axima velocidade poss¶³vel; (b) o maior momento linear poss¶³vel; (c) a m¶axima energia cin¶etica? 28. Uma part¶³cula de massa m1 e energia cin¶etica inicial T1 colide elastica- mente com uma part¶³cula de massa m2 inicialmente em repouso. Qual ¶e a energia m¶axima que a primeira part¶³cula pode perder durante esta colis~ao? (Sugest~ao: use o referencial do centro de massa do sistema.) 29. Dois corpos de massas m1 = 4 kg e m2 = 2 kg, com velocidades de m¶odulos v1 = 5 m/s e v2 = 2 m/s, como indicado na ¯gura, colidem e permanecem juntas ap¶os o choque. m1 m2 v2 v1 (a) Calcule a velocidade das part¶³culas ap¶os o choque e a varia»c~ao na energia cin¶etica total durante o choque. (b) Calcule as velocidades iniciais e ¯nais dos corpos num referencial ligado ao centro de massa do sistema. Fa»ca o esquema da colis~ao neste referencial. (c) Calcule a varia»c~ao da energia cin¶etica no referencial do centro de massa do sistema. 30. Como mostrado na ¯gura, observa-se um bloco de madeira com massa M = 0; 49 kg em repouso num plano horizontal. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e o plano ¶e ¹ = 0; 25. Uma bala de massa m = 0; 01 kg ¶e atirada contra o bloco, atingindo-o horizontalmente com velocidade de 500 m/s, ¯cando nele engastada. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 20 (a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente ap¶os o impacto. (b) Ache a distância que o conjunto percorre at¶e parar. M-m ~v0 31. Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superf¶³cie hori- zontal, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶³cie ¶e ¹. Uma extremidade de uma mola, de constante el¶astica k, est¶a ligada ao bloco, e a outra extremidade est¶a presa a uma parede. Inicialmente a mola n~ao est¶a distendida. Uma bala de massa m1 atinge o bloco e ¯ca grudada nele. Se a de°ex~ao m¶axima da mola for x, obtenha a velocidade da bala em fun»c~ao de m1, m2, k, ¹, g e x. °°°°°°° m2 t¾ m1 32. Um vag~ao de massa m desce uma colina de altura h. Ao ¯nal da colina o solo ¶e horizontal, e o vag~ao colide com um vag~ao igual inicialmente em repouso. Os dois se engatam e come»cam a subir uma outra colina. Que altura eles alcan»cam? Considere o atrito desprez¶³vel. h 33. Considere o sistema da ¯gura, formado por um conjunto de n massas suspensas por ¯os de massas desprez¶³veis de forma a n~ao existir contato entre elas. A primeira massa tem um valor f m0, a segunda f2m0, a terceira f3m0 e assim sucessivamente at¶e a n-¶esima, f nm0. Uma part¶³cula de massa m0 e velocidade ~v0 choca-se com a primeira massa. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 21 k fm0 k k k¢ ¢ ¢ k fnm0 { -~v0 m0 (a) Supondo todas as colis~oes entre as massas perfeitamente el¶asticas, mostre que a ¶ultima massa ¶e ejetada com velocidade ~vn = " 2 1 + f #n ~v0 : (b) Mostre que, para valores de f pr¶oximos da unidade (f = 1 + », » ¿ 1), este sistema pode ser usado para transferir praticamente toda a energia cin¶etica da part¶³cula incidente para a ¶ultima massa suspensa, mesmo para grandes valores de n. (c) Calcule, para f = 0; 9 e n = 20, a massa, a velocidade e a energia cin¶etica da ¶ultima massa suspensa em fun»c~ao de m0 e de ~v0 da part¶³cula incidente. Compare com o resultado que seria obtido numa colis~ao direta entre a part¶³cula incidente e a ¶ultima part¶³cula suspensa. 34. Um ¶atomo de deut¶erio (cujo n¶ucleo, o dêuteron, cont¶em um pr¶oton e um nêutron) com energia cin¶etica de 0; 81 £ 10¡13 J colide com um ¶atomo similar em repouso. Ocorre uma rea»c~ao nuclear, e ¶e emitido um nêutron cuja velocidade faz um ângulo reto com a dire»c~ao da velocidade do primeiro ¶atomo. Nesta rea»c~ao, ¶e liberada uma energia de 5; 31 £ 10¡13 J, que ¶e transformada em energia cin¶etica das part¶³culas emitidas. Determine a energia cin¶etica do nêutron, dado que o outro produto ¶e um ¶atomo de H¶elio 3 e que as massas do nêutron, do deut¶erio e do 3He s~ao respectivamente 1,67 , 3,34 e 5,00 em unidades de 10¡27 kg. 35. Uma part¶³cula de massa m0 com velocidade de m¶odulo v0 atinge uma part¶³cula estacion¶aria de massa 2m0. Como resultado, a part¶³cula de massa m0 tem a dire»c~ao de seu movimento de°etida de um ângulo de 45± e o m¶odulo de sua velocidade passa a ser v0=2. Ache o vetor ve- locidade da part¶³cula de massa 2m0 ap¶os a colis~ao. Houve conserva»c~ao da energia cin¶etica do sistema? F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 22 36. Mostre que em uma colis~ao el¶astica n~ao frontal de duas esferas idênti- cas, em que uma delas est¶a inicialmente em repouso, o ângulo formado pelas dire»c~oes das velocidades ¯nais das duas esferas ¶e sempre ¼=2. 37. Uma part¶³cula de massa m1 e velocidade u1 atinge uma part¶³cula em repouso de massa m2. O choque ¶e perfeitamente el¶astico. Observa-se que depois do choque as part¶³culas têm velocidades iguais e opostas. Ache: (a) a rela»c~ao m2 m1 ; (b) a velocidade do centro de massa do sistema; (c) a energia cin¶etica total das part¶³culas no referencial do centro de massa do sistema, em fun»c~ao da energia cin¶etica inicial de m1, T1 = 1 2 m1 u 2 1 ; (d) a energia cin¶etica ¯nal de m1 no sistema de laborat¶orio. 38. Uma part¶³cula de massa m movendo-se com velocidade v sobre uma mesa plana sem atrito incide sobre outra part¶³cula de massa 2m, em repouso. Ap¶os o choque, observa-se que a massa m tem velocidade de m¶odulo 2v=3 fazendo um ângulo de 60± com a dire»c~ao original do movimento, do ponto de vista de um observador no laborat¶orio. (a)Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois do choque? (b) Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa do sistema, da part¶³cula de massa 2m ap¶os o choque? 39. Uma part¶³cula de massa m, que move-se com velocidade de m¶odulo v, choca-se com uma part¶³cula em repouso de massa 2m. Em consequência disto, a part¶³cula de massa m ¶e desviada de 30± da sua dire»c~ao de incidência, e ¯ca com uma velocidade ¯nal de m¶odulo v=2. Obtenha a velocidade ¯nal da part¶³cula de massa 2m (em m¶odulo, dire»c~ao e sentido) depois desta colis~ao. A energia cin¶etica se conserva durante a colis~ao? Resolva este mesmo problema no referencial do centro de massa do sistema. Observe que ângulos medidos em referenciais que se movem um em rela»c~ao ao outro n~ao s~ao necessariamente iguais. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 23 40. Uma bola de a»co de massa 0,5 kg est¶a presa a um cord~ao de 70 cm de comprimento e ¶e abandonada quando o cord~ao est¶a na horizontal. Na parte mais baixa de sua trajet¶oria, a bola atinge um bloco de a»co de massa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre uma superf¶³cie lisa, como mostrado na ¯gura. A colis~ao ¶e el¶astica. Determine as velocidades da bola e do bloco ap¶os a colis~ao.pw p w 41. O arranjo da ¯gura ¶e chamado de pêndulo bal¶³stico. Ele ¶e usado para determinar a velocidade de um proj¶etil, atrav¶es da medida da altura h que o bloco sobe ap¶os ter sido atingido pelo proj¶etil. Mtm - ~v A A A A M h (a) Prove que a velocidade do proj¶etil ¶e dada por v = q 2 g h m+M m ; onde m ¶e a massa da bala e M a massa do bloco. (b) Calcule a energia gasta pelo proj¶etil para penetrar no bloco. 42. Uma bala de massa m e velocidade v passa atrav¶es do bulbo de um pêndulo de massa M e emerge com velocidade v=2. O ¯o que suporta o bulbo tem comprimento `. Qual ¶e o menor valor de v para que o bulbo do pêndulo gire uma volta completa? m v v /2 M F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 24 43. Demonstre que, para um sistema de part¶³culas, a varia»c~ao da energia cin¶etica total ¶e igual µa soma do trabalho total das for»cas internas e do trabalho total das for»cas externas. 44. Considere duas part¶³culas de massas m1 e m2 sujeitas apenas µa in- tera»c~ao m¶utua do tipo newtoniano (satisfazendo µa terceira lei de New- ton). Escreva a segunda lei de Newton para cada uma das part¶³culas. Subtraia uma das equa»c~oes da outra e mostre ent~ao que \o movimento relativo de duas part¶³culas, sujeitas apenas µas suas intera»c~oes m¶utuas, ¶e equivalente, em rela»c~ao a um observador inercial, ao movimento de uma part¶³cula de massa ¹ = m1m2=(m1 +m2) | a massa reduzida do sistema | sob a a»c~ao de uma for»ca igual µa for»ca de intera»c~ao". 45. Seja um sistema de duas part¶³culas de massas m1 e m2 e velocidades ~v1 e ~v2. (a) Mostre que para um observador que se move com o centro de massa do sistema a energia cin¶etica vale Tcm = 1 2 ¹v02 ; onde ¹ = m1m2=(m1 + m2) ¶e a massa reduzida do sistema e ~v0 = ~v1 ¡ ~v2 ¶e a velocidade relativa das duas part¶³culas. (b) Mostre que para um observador num sistema de refer̂encia qual- quer a energia cin¶etica do sistema ¶e T = Tcm + 1 2 M V 2cm ; onde M = m1+m2 ¶e a massa total do sistema e ~Vcm ¶e a velocidade de seu centro de massa. (c) Qual ¶e o maior valor da energia que pode ser perdida atrav¶es de colis~oes das duas part¶³culas? Suponha o sistema isolado. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 25 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Respostas { Lista de exerc¶³cios 13 Sistema de Part¶³culas: Momento Linear, Centro de Massa, Conservac»~ao do Momento, Colis~oes 1. d1 = m2 m1+m2 (x2 ¡ x1); se m1 = m2, d1 = 12 (x2 ¡ x1). w1 u2-cm d1 d2 2. Se d = j~r1 ¡ ~r2j ¶e a distância entre os dois objetos, d1 = m2m1+m2 d, d2 = m1 m1+m2 d, e portanto d1=d2 =m2=m1. 3. ~R = 2 ³̂¡ 74 ^́; d1 = 4; 8 m, d2 = 1; 6 m. 4. 0; 66£ 105 m/s. 5. 60 m. 6. (a) Fazendo um ângulo de 118± com a dire»c~ao do momento do el¶etron, com m¶odulo 1; 36£ 10¡22 kg.m/s. (b) 1; 6£ 10¡19 kg. 7. Um dos fragmentos tem velocidade igual a 5 m/s com a mesma dire»c~ao e o mesmo sentido da velocidade inicial do corpo; o segundo fragmento tem velocidade de 1 m/s, com a mesma dire»c~ao e sentido oposto ao sentido da velocidade inicial do corpo. 8. (a) O centro de massa est¶a em repouso inicialmente, e permanece em repouso. (b) A 0,75 m de P (sobre o centro de massa do sistema). F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 26 9. (a) A velocidade do homem em rela»c~ao µa Terra vale u = v + V (em m¶odulo), e V ¶e o m¶odulo da velocidade do bal~ao em rela»c~ao µa Terra; ent~ao V = mv= (M ¡m) { o bal~ao sobe em rela»c~ao µa Terra se sua massa for maior do que a massa do homem, e desce se sua massa for menor. (b) Ficar¶a em repouso. 10. Avi~ao: (M ¡m)v±=(M ¡ 2m); foguete: mv±=(2m ¡M ), onde o sinal positivo corresponde ao movimento no mesmo sentido original do avi~ao. 11. A 6,6 m da margem. 12. N~ao (supondo que o bra»co do homem mede menos de 0,5 m). 13. (a) u1 = mv=M , com sentido oposto ao da bola. (b) u2 = mv=(M +m), com o mesmo sentido da velocidade da bola. (c) u4 = (m=M)m v=(M +m), com sentido oposto ao da velocidade da bola. 14. Usando um sistema de eixos coordenados onde a dire»c~ao x ¶e de¯nida pelas posi»c~oes das massas de 1,0 kg e de 3,0 kg, com a origem colocada sobre a posi»c~ao da massa de 1,0 kg, e com a posi»c~ao da massa de 6,0 kg com coordenadas positivas, ~R = 1; 2 ³̂ + 1; 0^́ (em metros). 15. ~v 03 = 4; 5 ³̂¡ ^́ (em m/s). 16. (a) ~V = t ³̂ + 2 t2 ^́ (em m/s). (b) ~FEXTRES = 2 ³̂ + 8 t ^́ (em N). (c) F (t = 1) = 8; 2 N. 17. (0;¡0; 5). 18. (a) ~V = (m1~v1 +m2~v2)=(m1 +m2). (b) ~v¤1 = m2 (~v1 ¡ ~v2) =M e ~v¤2 = ¡m1 (~v1 ¡ ~v2)=M , onde M = m1 +m2 (c) ~p¤1 = ¡~p¤2 =m1m2 (~v1 ¡ ~v2)=M 19. (a) ~A = ¡ ³̂ + 0; 75^́. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 27 (b) Considerando a massa 1 como sendo a que est¶a em x1 = ¡5 cm, ~R(t) = (0; 1 ¡ 0; 5 t2) ³̂ + 0; 38 t2^́. (c) Uma reta; a equa»c~ao da trajet¶oria ¶e X = 0; 1 ¡ (4=3) Y , ou Y = 3=4 (0; 1 ¡X). (d) Todas as respostas anteriores ¯cam iguais, pois o movimento do centro de massa n~ao depende de for»cas internas ao sistema. 20. ~R(t) = ³ a 2 ¡ p 3 4 F M t 2 ´ ³̂ + ³ a 2 p 3 + 34 F M t 2 ´ ^́ 21. 2; 5 m/s. 22. (a) 35 N.s. (b) 1; 75 £ 103 N. 23. vbola = 4=101 = 0; 04 m/s; vbloco = ¡99=101 = ¡0; 98 m/s. 24. (a) m1 = (m3u3 ¡m2 u2) = (u2 ¡ u3); v = 0; 5 [(m3 ¡ 2m2) u3 +m2 u2] = (m3 u3 ¡m2 u2). (b) m = 1; 16 u.m.a., v = 0; 8£ 106 m/s. 25. 26. v1 = 1; 4 m/s, v2 = 0; 7 m/s, na mesma dire»c~ao e em sentidos opostos. 27. (a) mB >>> mA, ou mA=mB ! 0 (e nesse caso, vB = 2v±, com v± a velocidade inicial do corpo A). (b) mB <<mA, ou mB=mA ! 0 (e nesse caso, pB = 2mBv±). (c) 28. 29. (a) ~vf = 8=3 v̂1 (em m/s); ¢T = ¡ 98=3 J.
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