Lista-Revisao-Reta-Plano-Superficie

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Cálculo II-Lista Revisão Retas, Planos e Superfíceis
Maria José Pacifico
Instituto de Matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro
Retas e planos
Questão 1. Para uma reta C dado por uma equação cartesiana, ache uma parametrização de C, um
vetor normal e o ponto mais próximo à origem. Além disso, represente C como gráfico de uma função.
a) 3x−5y = 7 b) 3x = 7 c) −2y = 0 d) x =−y
Questão 2. Para uma reta C dado por uma parametrização de C, ache uma equação cartesiana defi-
nindo C e um vetor normal.
a) σ ∶R→R2, t↦ (3,0)− t(5,7) b) σ ∶R→R2, t↦ (3,0)+ t(3,0)
Questão 3. Para uma plano P dado por uma parametrização de C, ache uma equação cartesiana
definindo C, um vetor normal, e o ponto mais próximo à origem.
a) τ ∶R2→R3,(s, t)↦ (3,0,1)− t(5,7,1)+ s(2,4,0)
b) σ ∶R2→R3,(s, t)↦ t(1,0,0)+ s(1,0,1)
Questão 4. Para uma plano P dado por uma uma equação cartesiana, ache uma parametrização e o
ponto mais próximo à origem.
a) 2x+ z = 2
b) x− y+ z = 0
c) x = 1
d) ⟨(x, y, z),(2,0,1)⟩ = 3.
Funções vetoriais
Questão 5. Encontre os os vetores tangencias, os vetores normais principais e a curvatura das curvas
σ ∶ [a,b]→R3.
a) σ(t) = (cos(t), t,sin(t)), t ∈ [a,b] = [−π,π].
b) σ(t) = (2t, t2, t3/3), 0 ≤ t ≤ 2.
c) σ(t) = (
√
2t, et, e−t), 0 ≤ t ≤ 2.
d) σ(t) = (1, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1.
e) σ(t) = (1, et cos t, et sin t), 0 ≤ t ≤ 1.
Questão 6. Suponha que a posição de uma partícula é dada por σ(t). Determine a velocidade e a
aceleração para as trajetórias da questão ??.
Questão 7. Um projetil é disparado da origem em direção (1,1,1) com velocidade inicial de 20 m/s.
Encontre a altura máxima da trajetória e o ponto onde o projetil toca no plano {v ∈R3 ∶ ⟨v,(1,0,2)⟩ = 0}.
Dica. v = ∫ a, r = ∫ v, e F =ma =−mgj.
Questão 8. Uma bola rola de uma mesa com velocidade de 2 m/s e a mesa tenha 1 m de altura.
Encontre a posição, a velocidade (escalar) e o ângula do impacto no chão. Dica. Parametrização da
trajetória no problema ??.
Questão 9. Ache uma parametrização (ou seja, as equações paramétricas) σ ∶ I→R2 de 2x2− y2 =−4 e
mostre que
{(x, y) ∈R2 ∶ 2x2− y2 =−4} = {σ(t) ∶ t ∈ I}.
Em quais pontos a curva é tangencial a uma reta vertical?
Dica: cosh2 t−sinh2 t = 1.
Questão 10. Ache uma parametrização (ou seja, as equações paramétricas) σ ∶ I → R2 de (x2 + y2)2 =
x2− y2 e mostre que
{(x, y) ∈R2 ∶ (x2+ y2)2 = x2− y2} = {σ(t) ∶ t ∈ I}.
Em quais pontos a curva é tangencial a uma reta de inclinação (1,1)?
Dica: 1−2sin2 t = cos2t.
Questão 11. Ache uma parametrização (ou seja, as equações paramétricas) σ ∶ I → R2 de (x2 + y2 +
3x)(x2+ y2) = 4x3 e mostre que
{(x, y) ∈R2 ∶ (x2+ y2+3x)(x2+ y2) = 4x3} = {σ(t) ∶ t ∈ I}.
Em quais pontos as curvas são tangenciais a uma reta vertical?
Dica: cos3t = 4cos3 t−3cos t.
Questão 12. Ache uma parametrização (em R2) das equações cônicas
a) x2−2y = 1
b) x2− y2 = 4
c) x2+2y2 = 4
d) y2−8y = 6x−16
e) x2+ y2+2y−2x = 2
Dica: Completamento de quadrados.
Questão 13. Ache uma parametrização (em R3) da interseção do cone x2 + y2 = z2 com os planos
{v ∶ ⟨v,n⟩ = 1}, para
a) n = (
√
2/2,0,
√
2/2)
b) n = (2,0,1)
c) n = (0,1,2)
d) n = (1,
√
3,−2)
e) n = (1,2,−2)
f) n = (1,2,4)
Dica: Completamento de quadrados. As ultimas 3 questões precisam de cálculo extenso!
Questão 14. Ache uma parametrização da interseção da esfera x2+y2+z2 = 1 com o plano {v ∶ ⟨v,n⟩ = 2},
para n = (1,1/2,1/3).
Questão 15. Verifique se as funções vetoriais são contínuas (i.e. curvas) e se eles são da classe C1.
a) σ ∶ [−2,2]→R2, t↦ (∣t∣, t)
b) σ ∶ [−2,2]→R2, t↦ (∣t∣, ∣t∣)
c) σ ∶ [0,2π]→R2, t↦ (θ cosθ,θ sinθ)
d) σ ∶ [0,2π]→R2, t↦{(cos1/θ,sin1/θ) ∶ θ ≠ 0
0 ∶ θ = 0
e) σ ∶ (0,4]→R2, t↦ (t2 cosh1/t, tsinh1/t)
Questão 16. Para quais α ≥ 0, a função vetorial
σ ∶ [0,2π]→R2, t↦={
(θα cos1/θ,θα sin1/θ) ∶ θ ≠ 0
0 ∶ θ = 0
é contínua e para quais α ≥ 0 as curvas são de classe C1?
Superfícies
Questão 17. Identifique o tipo das superfícies quádricas e determine uma representação por equações
paramétricas.
a) 9x2+9y2+ z2 = 36
b) x2+2xy+ z2 = 1
c) x2−2xy+2x−2y+2yz = 0
d) x2+2y+2xy− z = 0
Questão 18. Seja f ∶ [0,1]→ (0,∞) contínua. Determine equações paramétricas e cartesianas da su-
perfície de revolução da curva σ ∶ [0,1]→R3, t↦ (t,0, f (t)) em torno do eixo x. O que muda-se no caso
de uma superfície de revolução obtida pela rotação em torno do eixo z (ou ainda em torno do eixo y)?
Questão 19. Ache uma representação por equações paramétricas das interseções
a) x2+ y2−4z2 = 1, y+2z = 0
b) −x2+ y2−4z2 = 1, x = 1
c) −x2+ y2−4z2 = 1, x+ y/2 = 0
d) −x2+ y2−4z2 = 1, y+3z = 0
e) x2+ y2−4z2 = 1, −x2+ y2−4z2 = 1
Garbarito (parcial)
Solução 1. (a) Vetor normal: (3,−5). Como (7/3,0) está na reta e (3,−5)⊥ (5,3),
σ ∶R→R2, t↦ (7/3,0)+ t(5,3).
(d) Vetor normal: (1,1). Como (0,0) está na reta e (1,1)⊥ (1,−1),
σ ∶R→R2, t↦ t(1,−1).
Solução 2. (a) (−7,5) é um vetor normal e (3,0) está na reta . Daí,
−7x+5y = ⟨(−7,5),(x, y)⟩ = ⟨(−7,5),(3,0)⟩ =−21
Solução 3. (a) (5,7,1)×(2,4,0) = (−4,2,6). Daí, a eq. cartesiana é
−4x+2y+6z = ⟨(−4,2,6),(x, y, z)⟩ = ⟨(−4,2,6),(3,0,1)⟩ =−11.
O ponto mais perto a 0 é o múltiplo λ(−4,2,6) de (−4,2,6) tal que λ(−4,2,6) está no plano. Isto
é,
−11 = ⟨λ(−4,2,6),(−4,2,6)⟩ =λ⟨(−4,2,6),(−4,2,6)⟩ =λ56.
Daí, ponto mais perto a 0 é − 1156(−4,2,6).
(b) (−1,0,0)×(1,0,1) = (0,1,0). Como 0 está na reta, a eq. cartesiana é
y = ⟨(0,1,0),(x, y, z)⟩ = 0,
e o ponto mais perto é 0.
Solução 4. (d) Determinando 3 pontos no plano ⟨(x, y, z),(2,0,1)⟩ = 3: Se x = y = 0, então z = 3. Se
y = z = 0, então x = 3/2. Se x = 0 e z = 3, então y = 1 satisfaz a eq. cartesiana. Daí, temos três
pontos u = (0,0,3), v = (3/2,0,0) e w = (0,1,3) no plano. Como v−u e w−u não são paralelos,
τ ∶R2→R3,(s, t)↦ u+ s(v−u)+ t(w−u) = (0,0,3)+ s(3/2,0,−3)+ t(0,1,0)
é uma eq. parametrica da reta. O ponto mais perto a 0 é o múltiplo λ(2,0,1) de (2,0,1) tal que
λ(2,0,1) está no plano. Isto é,
3 = ⟨λ(2,0,1),(2,0,1)⟩ =λ5.
Daí, ponto mais perto a 0 é 35(2,0,1).
Solução 5. (c) Veja gabarito do primeiro teste.
Solução 6. Facil.
Solução 7. Definindo a aceleração de gravidade como (0,0,−10), obtém se que A(t) = (0,0,−10) para
qualquer t ≥ 0. Note que V(0) = 20
√
3
3 (1,1,1) e σ(0) = (0,0,0). Daí,
V(t) =∫
t
0
(0,0,−10)ds+V(0) = t(0,0,−10)+ 20
√
3
3
(1,1,1)
σ(t) =∫
t
0
V(s)ds+σ(0) = t
2
2
(0,0,−10)+ t 20
√
3
3
(1,1,1)
O ponto de altura máxima encontra se no ponto σ(t0) tal que a coordenada z de V(t0) =σ′(t0) é igual
a 0. Daí, t0 é dado por 10t0 = 20
√
3
3 , ou seja t0 =
2
√
3
3 e σ(t0) = (40/3,40/3,20/3). Para achar o ponto
σ(t1) do impacto no plano, tem-se que intersectar a trajetória dado por σ com o plano. Ou seja, achar
a raiz de ⟨(1,0,2),σ(t)⟩ = 0:
⟨(1,0,2),σ(t)⟩ = 0 ⇐⇒ −5t2+ t 20
√
3
3
= 5t(4
√
3
3
− t) = 0.
Então, o ponto de impacto é σ( 4
√
3
3 ) e o ângulo do impacto com o vetor normal do plano é dado por
cosα = ⟨(1,0,2),σ′( 4
√
3
3 )⟩/(
√
5∥σ′( 4
√
3
3 )∥).
Solução 8. Ver a solução anterior.
Solução 9. As eq. paramétricas são
σ+ ∶R→R2, t↦ (
√
2sinh t,2cosh t), σ− ∶R→R2, t↦ (
√
2sinh t,−cosh t)
Como σ′± = (
√
2cosh t,±2sinh t), e cosh t ≠ 0 para qualquer t, a curva é tangencial a uma reta vertical
em nenhum ponto.
Solução 10. Ver a próxima solução
Solução 11. Ver aula (substituir x = r cosθ e y = rsinθ )
Solução 12. (a) σ ∶R→R2, t↦ (t,(x2−1)/2)
(b) σ± ∶R→R2, t↦ (±2cosh t,2sinh t)
(c) σ ∶ [0,2π]→R2,θ↦ (2cosθ,
√
2sinθ)
(d) σ ∶R→R2, t↦ ((t2−32)/6, t+4)
(e) σ ∶ [0,2π]→R2,θ↦ (2cosθ+1,2sinθ−1)
Solução 13. (a) Ver aula
(e) Completar quadrados: (3x+1−2y)2−(2y−4)2 =−15. Daí, substituindo 3x+1−2y =
√
15sinh t e ou
2y−4 =
√
15cosh t ou 2y−4 =−
√
15cosh t, obtém-se
x = 1
3
(
√
15sinh t−1+2y) = 1
3
(
√
15sinh t+3±
√
15cosh t) = 1+
√
15
3
(sinh t±cosh t)
y = 1±
√
15
2
cosh t
z = x
2
+ y− 1
2
=
√
15
6
(sinh t±cosh t)+1±
√
15
2
cosh t.
Solução 14. Metodo de completar quadrados.
Solução 15. (a) sim/não
(b) sim/não
(c) sim/sim
(d) não/não
(e) sim/sim
Solução 16. σ é contínua sim e somente sim α > 0. σ é de classe C1 sim e somente sim α > 2
Solução 17. (b) x2+2xy+ z2 = 1 ⇐⇒ (x+y)2− y2+ z2 = 1
(c) x2−2xy+2x−2y+2yz = 0 ⇐⇒ (x− y+1)2−(y− z)2+ z2 = 1
(d) x2+2y+2xy− z = 0 ⇐⇒ (x+ y+1)2− y2 = z+2x+1
Solução 18. y2+ z2 = f (x)2.