AtividadeFinal_G02

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Introdução à Química Quântica 2022/2 - Avaliação Final 
Grupo 2 
Nome DRE 
Camila de Barros Lima Carreira 116193642 
Lucas Oliveira Amim 115173217 
Thayná Vicente Alves 116143582 
 
1. Supondo a função de onda em um estado não estacionário oscilador harmônico 
unidimensional: 
 
𝜓(𝑥) = 𝑎𝜓0(𝑥) + 𝑏𝜓2(𝑥) 
 
Sendo 𝜓0(𝑥) o estado fundamental e 𝜓2(𝑥) o segundo estado excitado. Obtenha 
 
a) O valor esperado da posição. 
b) O valor esperado da energia. 
 
Seja as funções de onda 𝜓0 e 𝜓2 definidas separadamente através da 
interpretação quântica do oscilador harmônico, onde o Hamiltoniano: 
 
𝐻 = −
ℎ2
2𝑚
 
𝑑2
𝑑𝑥2
+ 
1
2
𝑘𝑥2 
Podemos chegar à de Schrödinger: 
−
ℎ2
2𝑚
 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ 
1
2
𝑘𝑥2𝜓 = 𝐸𝜓 
 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ (
2𝑚𝐸
ℎ2
− 𝑎2𝑥2) 𝜓 = 0 
𝑎2 = 
𝑚𝑘
ℎ2
 
 
 Para esse problema, colocando as condições de contorno, substituição na 
equação de Hermite, temos as funções no estado fundamental e segundo estado 
excitado respectivamente: 
 
𝜓0 = (
𝑎
𝜋
)
1/4
𝑒− 
𝑎𝑥2
2 
𝜓2 = (
𝑎
4𝜋
)
1
4
(2𝑎𝑥2 − 1) 𝑒− 
𝑎𝑥2
2 
 Logo, podemos montar a função de onda 𝜓(𝑥) proposta, sem as constantes de 
normalização: 
𝜓(𝑥) = 𝑎 ∗ (𝑒−
𝛼𝑥2
2 ) + 𝑏 ∗ ((2𝛼𝑥2 − 1)𝑒−
𝛼𝑥2
2 ) 
 
Sabendo que: 
< 𝑥 > = 
∫ 𝜓∗. [𝑥𝜓]𝑑𝑥
∫ 𝜓∗ 𝜓 𝑑𝑥
 , 𝑑𝑒 − ꝏ 𝑎 + ꝏ 
< 𝑥 > = 0 
c) Qual a relação entre as constantes “a” e “b” para a função ser normalizada? 
Para que a função seja normalizada, ∫ 𝜓∗ . 𝜓 𝑑𝑥 = 1. Atualmente, sem a 
constante de normalização, temos: 
∫ 𝜓∗. 𝜓 𝑑𝑥 = 
√𝜋(𝑎2 + 2𝑏2)
|𝛼|
 
√𝜋(𝑎2 + 2𝑏2)
|𝛼|
= 1 
(𝑎2 + 2𝑏2) =
|𝛼|
√𝜋
 
Resolvendo para B, ficamos com: 
𝑏 = √
𝑎 − √𝜋𝑎2
2√𝜋
 
 
 
 
 
2. A série de Lyman para o Li2+ apresenta as primeiras linhas com o valor de número de 
onda (cm-1) igual a: 
2 1 740,747 
3 1 877,924 
4 1 925,933 
 
a) Ache o valor da constante de Rydberg. 
A constante de Rydberg (R) é um valor utilizado no cálculo de série de linhas e 
está relacionada com a intensidade da energia liberada por elétrons e ao espectro 
gerado pelos elementos. 
 Essa constante aparece na Equação de Rydberg e relaciona o comprimento de 
onda emitido por um elétron com os níveis de energia da transição do elétron. A 
Equação de Rydberg está demonstrada abaixo: 
1
𝜆
= 𝑅 . (
1
𝑛1
2 − 
1
𝑛2
2) 
Onde: 
• λ é o comprimento de onda emitido; 
• n1 é o nível de energia mais interno, para qual o elétron foi; 
• n2 é o nível de energia mais externo, no qual o elétron saiu e, 
• R é a constante de Rydberg. 
Essa constante é muito importante pois cada elemento químico emite uma 
radiação e essa emissão está associada à transição do elétron de um nível mais 
energético para um nível de menor energia. Os espectros são únicos para cada elemento 
e é possível identificar um elemento desconhecido observando o seu espectro. 
Então, para calcular essa constante, partimos da série de Lyman, dada acima. 
Pela tabela, sabemos que: 
Série de Lyman 
n1 n2 λ (cm-1) 
1 2 740,747 
1 3 877,924 
1 4 925,933 
 
Da tabela acima, podemos ver que n2 > n1, que atende os critérios da série de 
Lyman. Com isso, podemos substituir na Equação de Rydberg, ficando com: 
 
1
740,747
= 𝑅 . (
1
12
− 
1
22
) 
 
1
877,924
= 𝑅 . (
1
12
− 
1
32
) 
 
1
925,933
= 𝑅 . (
1
12
− 
1
42
) 
Temos, então, o seguinte resultado: 
Série de Lyman (nf = 1) 
n1 λ (cm-1) R 
2 740,747 0,0018 
3 877,924 0,001281 
4 925,933 0,001152 
 
b) Estime a energia de ionização desse íon. 
Para estimar o potencial de ionização, podemos aproximar ele como sendo igual 
a energia do orbital do elétron em questão, ou seja, PI ~ - ε. Essa aproximação é chamada 
de Teorema de Koopman. Esse teorema é aproximado porque supõem que os orbitais 
Hartree-Fock para o estado ionizado são iguais aos orbitais do estado neutro. 
Com isso, podemos dizer que a energia de um dado orbital é o valor esperado 
do operador de Fock: 
𝜀𝑎 = ℎ𝑎𝑎 + ∑[2𝐽𝑎𝑏 − 𝐾𝑎𝑏]
𝑁
2
𝑏=1
 
Sendo as seguintes propriedades das integrais: 
𝐽𝑎𝑎 = 𝐾𝑎𝑎 
𝐽𝑎𝑏 = 𝐽𝑏𝑎 
𝐾𝑎𝑏 = 𝐾𝑏𝑎 
Então, para o Li2+, teremos que, o resultado Hartree-Fock para o íon, ordena os 
orbitais nas ordens 1s1. Com isso, pela expressão da energia de camada fechada, temos: 
𝜀𝑎 = ℎ1𝑠 + 𝐽1𝑠1𝑠