Sequência Generalizada de Fibonacci: aspectos matemáticos evolutivos

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Sequência Generalizada de Fibonacci – SGF: aspectos 
matemáticos evolutivos de um modelo 
 
Francisco Regis Vieira Alves 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará - 
Departamento de Matemática 
60.050-150, Campus Fortaleza, Fortaleza, CE 
E-mail: fregis@ifce.edu.br 
 
Público-alvo: licenciados e bacharéis em Matemática 
Infra-estrutura: O texto completo e outros artigos explorados devem ser 
disponibilizados e acessados na internet pelo Dropbox 
Vagas: Não há restrições 
 
RESUMO 
 
Recorrentemente, os estudantes de graduação em Matemática adquirem uma 
cultura, no âmbito da História da Matemática – HM, de modo lacônico, ilustrativo, 
episódico e sobretudo pontual, posto que são informados sobre o estado do nascedouro 
de determinados conceitos científicos matemáticos, conquanto desconhecem o estádio 
atual evolutivo de um modelo matemático e, além disso, não são informados sobre as 
pesquisas recentes e avanços sistemáticos sobre determinado assunto matemático 
particular. 
Isso posto, nossa atual proposta de minicurso discute um modelo de recorrência 
homogênea linear, de segunda ordem, historicamente originado a partir do labor exigido 
no comércio de medição na Índia, cerca de 600 a 800 A. D. mas, que, recebeu notoriedade 
e papel emblemático, a partir do discurso adotado pelos autores de compêndios de HM 
na graduação, ao ser nominado como Sequência de Fibonacci. Dessa forma, na primeira 
parte do minicurso, apresentaremos o modelo recursivo discutido em 1202, por Leonardo 
Pisano. Em seguida, discutiremos a extensão do modelo para índices inteiros, inclusive 
outras especializações para a generalização da fórmula de Binnet. A partir disso, 
apresentaremos as noções de Sequências Recursivas Homogêneas de ordem ‘n’, com 
ênfase para as sequências tribonacci, tetranacci, pentanacci, hexanacci. 
Na segunda parte do curso, abordaremos a noção de funções geradoras, a noção 
de k-sequencias de Fibonacci e, inclusive, o modelo hiperbólico das funções de 
Fibonacci, propuganado pelo matemático ucraniano Alexey Stakhov. Ademais, 
analisamos os problemas das matrizes áureas e, sobretudo, representações matriciais para 
diversas fórmulas e identidades famosas (identidade de Cassini, D´Ocagne, Identidade de 
Simson, Generalizada de Catalan, Fórmula de convolução, etc). 
Na terceira parte do mini-curso, com origem em artigos atuais, abordaremos a 
noção de funções polinomiais de Fibonacci, em uma e duas variáveis. De modo particular, 
mailto:fregis@ifce.edu.br
 
estudaremos as sequências p-polinomiais de Fibonacci e (p,q)-polinomiais de Fibonacci, 
inclusive, sus forma bivariada complexa afim de determinar determinadas identidades 
generalizadas. Tal fato deve estimular o estudo das funções bivariadas complexas de 
Fibonacci, sem desconsiderar a classe das funções (p,q) polinomiais de Fibonacci. Para 
concluir, abordaremos a generalização progressiva do modelo, desde sua representação 
no plano complexo, seguindo pela discussão dos Quaternions, dos Quaternions 
Generalizados de Fibonacci, do Octônios de Fibonacci, inclusive, sua versão dual, 
relativamente a uma determinada Àlgebra particular. Por fim, a atual proposta enseja 
apresentar um modelo irrefreável evolutivo que, a despeito de sua abordagem anacrônica, 
por parte dos livros de História da Matemática, permite vislumbrarmos o estado atual de 
desenvolvimento do conhecimento matemático. 
Finalizaremos com a discussão de formas invariantes obtidas pelo uso do software 
CAS MAPLE, a fim de constatar o comportamento numérico de identidades envolvendo 
os polinômios bivariados de Fibonacci, inclusive com a introdução da unidade 
imaginária. Tal discussão deverá indicar o “estado de arte” envolvendo a especialização 
de determinadas propriedades estudadas em vários países. 
REFERÊNCIAS 
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de investigação histórica: o caso da sequência generalizada de Fibonacci. BOLETIM 
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[13] Hoggat, Jr. V. E. & Marjorie, Bicknell. (1973). Generalized Fibonacci 
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[14] Horadan, A. F. (1963). Complex Fibonacci numbers and Fibonacci Quaternions. 
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