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Computação Científica - Tópicos Computação Científica
Computação Científica - Tópicos
- Definição
- Modelo genérico
- Modelo matemático
- Tipos de modelos matemáticos
- Modelação matemática
- Definição do problema
- Construção do Modelo matemático
- Determinação da Solução do modelo
- Validação do Modelo e Análise da solução
- Implementação da Solução
- Elaboração de algoritmos
Capítulo 1. Computação Científica 1/38
1. Definição Computação Científica
1. Definição
- A Computação Científica é uma área de estudo que, utilizando computadores, se interessa
- pela construção de modelos matemáticos e
- pelas técnicas para determinar soluções numéricas
na análise e resolução de problemas reais (científicos e da engenharia).
- A Computação Científica consiste, em termos práticos, na aplicação
- da simulação computacional e 
- de outras formas de computação, 
na análise e resolução de problemas reais em várias áreas científicas e tecnológicas.
- As aplicações computacionais desenvolvidas para modelar sistemas reais, requerem
- grandes quantidades de dados iniciais e de parâmetros de entrada,
- uma grande quantidade de cálculos,
fazendo com que a relação entre Computação Científica e Computação Numérica seja muito forte.
- A Computação Numérica define-se como a utilização de computadores na manipulação de números.
Capítulo 1. Computação Científica 2/38
1. Definição Computação Científica
- Em algumas áreas do conhecimento, 
- a experimentação em laboratório é extremamente cara ou até mesmo impossível,
- o que faz com que a Computação Científica tenha um papel de grande importância,
- configurando uma terceira vertente da ciência (complemento à experimentação/observação e à teoria).
- Considere-se o seguinte exemplo: 
- tendo em conta a grande aproximação da antena do telemóvel com a cabeça humana, essencialmente
aquando da realização de chamadas, os utilizadores são expostos a campos eletromagnéticos de níveis
consideráveis em períodos de tempo cada vez maiores.
- Devido à impossibilidade técnica e ética de efetuar medições dos níveis destes campos em seres humanos
ou animais, as simulações numéricas são de crucial importância nestes estudos.
- Com a Computação Científica é possível identificar as áreas e os tecidos mais afetados (normalmente são
aqueles mais próximos da antena) e os pontos de concentração de ondas eletromagnéticas.
- A construção de Modelos Matemáticos é possivelmente a vertente da Computação Científica
- em que os investigadores têm ocupado mais tempo no seu estudo,
- há um aumento da quantidade de modelos para resolver problemas (cada vez mais complexos),
- o desenvolvimento de modelos já existentes.
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2. Modelo genérico Computação Científica
2. Modelo genérico
- De uma maneira geral, um modelo é uma estrutura (abstrata ou física) construída para exibir funções e
características (consideradas) fundamentais de um dado sistema “real”.
- Segundo diferentes perspetivas, a mesma “realidade” dá origem a diferentes modelos.
- É importante que o comportamento do modelo
- seja fiel à realidade (ou, melhor, à simplificação da realidade que se idealizou),
- seja de fácil manipulação!
- Os modelos permitem 
- a experimentação sem interferência com a realidade,
- explicitar relações que não eram claras até ao momento da sua construção e análise.
- O termo "modelo" é habitualmente usado por uma estrutura construída propositadamente, para expor
aspetos e características de alguns objetos entre si.
- É suposto que um modelo 
- seja uma representação suficientemente precisa das características essenciais da situação a analisar,
- de modo que as conclusões (soluções) obtidas a partir dele sejam também válidas para o problema real.
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2. Modelo genérico Computação Científica
- O modelo é um esquema simplificado para a interpretação da realidade
- a complexidade do mundo real  a necessidade de formular modelos simplificadores;
- a mera acumulação de observações não fornece explicação satisfatória do fenómeno 
 necessidade de sistematizar e racionalizar os factos conhecidos:
 - selecionando os aspetos mais importantes e
 - desprezando os que considera irrelevantes.
- De uma maneira geral, pode-se considerar que existem três tipos de modelos:
- modelos icónicos
- são representações reduzidas de estados, objetos ou acontecimentos;
- representam o fenómeno real apenas com uma transformação de escala;
- por exemplo, os mapas.
- modelos analógicos,
- empregam uma propriedade para representar outra;
 - por exemplo, utilizar gráficos a cores e com legendas.
- modelos simbólicos
- as propriedades do fenómeno real são expressas simbolicamente;
 - por exemplo, os modelos matemáticos.
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3. Modelo matemático Computação Científica
3. Modelo matemático
- Uma das tarefas mais importantes dos Matemáticos é:
- analisar situações da vida real e
- identificar modelos matemáticos que permitam a sua interpretação.
- Existem, na literatura, muitas definições de modelo matemático.
- Edwards e Hamsom (1990): "um modelo matemático é o produto da transferência de um conjunto de
elementos matemáticos (como sejam, funções ou equações), com vista à obtenção de uma
representação matemática de uma parcela do mundo real".
- Swetz e Hartzler (1991): "modelo matemático de um objeto ou de um fenómeno real é um conjunto de
regras ou leis, de natureza matemática, que representam adequadamente o objeto ou o fenómeno na
mente de um observador".
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3. Modelo matemático Computação Científica
- Os modelos matemáticos 
- São representações idealizadas, mas expressas em termos de símbolos e expressões matemáticas.
- Consistem num sistema de equações e de expressões matemáticas relacionadas, que descrevem os aspetos
essenciais do problema.
- Podem ter diversas formas como uma única equação, um sistema de equações, um sistema de inequações
ou, para casos mais complexos, um conjunto de equações diferenciais.
- O modo como a teoria e as aplicações da Matemática se relacionam designa-se por:
- matematização ou
- modelação matemática. 
- Isto significa, para Ian Stwart (matemático inglês), que "Qualquer descrição matemática do mundo real é
um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade. E já não perguntamos se
o modelo é verdadeiro, perguntamos unicamente se as suas implicações podem ser verificadas
experimentalmente".
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4. Tipos de modelos matemáticos Computação Científica
4. Tipos de modelos matemáticos
- Os modelos matemáticos podem ser, pela sua natureza, de dois tipos: 
- modelos prescritivos, e 
- modelos descritivos.
- Os modelos matemáticos prescritivos têm como característica principal, o facto de o resultado de uma
operação ser prescrita para solucionar um problema do sistema real. 
- Os modelos prescritivos 
- baseiam-se na representação dos objetivos e das restrições de um processo para o qual se deseja descobrir
soluções ótimas; 
- ou seja, o modelo é elaborado segundo uma técnica que permite encontrar a melhor solução, ou política
de ação, para os condicionamentos representados.
- Exemplos de modelos prescritivos:
- modelos de otimização;
- modelos que usam métodos numéricos.
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4. Tipos de modelos matemáticos Computação Científica
- Os modelos que usam métodos numéricos 
- são expressos apenas por uma equação matemática;
- a sua resolução consiste em determinar as soluções que anulam aquela equação (ou seja, os seus zeros).
- Os modelos de otimização podem ser resolvidos usando dois tipos diferentes de métodos:
- exatos, e
- aproximados.
- Nos métodos exatos, a solução obtida
- é a melhor, dentre todas as possíveis, dados os condicionamentos do modelo;
- otimiza (maximiza ou minimiza) uma função de mérito (por ex., o custototal de produção); e 
- respeita (não viola), em simultâneo, todas as restrições do problema (por ex:, satisfazer a procura).
- Pode ser extremamente caro, em termos computacionais, resolver um problema com métodos exatos. 
- Neste caso, pode decidir-se por resolver o problema de forma aproximada (heuristicamente).
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4. Tipos de modelos matemáticos Computação Científica
- Resolver o problema usando um método aproximado (heurístico) 
- significa que não se pode garantir que se obtenha a solução ótima em todos cenários analisados;
- mas pode-se garantir a obtenção de uma solução de “boa qualidade” com baixo custo computacional. 
- Uma abordagem heurística tenta utilizar um método racional para encontrar uma boa (próxima do
ótimo) solução. 
- Geralmente a heurística apresenta uma maneira mais rápida e fácil de resolver um problema, em
relação ao método matemático prescritivo “puro”. 
- Exemplos de métodos heurísticos são 
- Algoritmos Evolutivos (Algoritmos Genéticos, Pesquisa Tabu, ...), 
- Redes Neuronais e 
- Busca Local. 
- Mas isto não significa que se deve resolver todos os problemas de grande dimensão e caros, em termos
computacionais, usando métodos aproximados.
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4. Tipos de modelos matemáticos Computação Científica
- Por exemplo: 
- Suponha-se que existam 3 trabalhos para serem realizados e 3 máquinas disponíveis para os realizar. 
- O custo de cada máquina para cada trabalho está na seguinte tabela:
Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3
Trabalho 1 10 25 11
Trabalho 2 13 5 6
Trabalho 3 8 6 25
- Heurística 1: Alocação do menor custo dos trabalhos. Qual o custo total?
- Heurística 2: Alocação do menor custo das máquinas. Qual o custo total?
- Usando a Heurística 1 e afetando por ordem os Trabalhos:
custo total é 40 (10 + 5 + 25), 
pares de afetação: (Trabalho 1, Máquina 1), (Trabalho 2, Máquina 2) e (Trabalho 3, Máquina 3).
- Usando a Heurística 2 e afetando por ordem as Máquinas: 
o custo total é 24 (8 + 5 + 11), 
pares de afetação: (Máquina 1, Trabalho 3), (Máquina 2, Trabalho 2) e (Máquina 3, Trabalho 1).
- Solução ótima: (T1, M1), (T2, M3) e (T3, M2) é um pouco melhor (22) que a solução da heurística 2 (24).
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4. Tipos de modelos matemáticos Computação Científica
- Os modelos matemáticos descritivos 
- são utilizados para acompanhar o comportamento de um sistema. 
- As suas conclusões são obtidas através da perceção do modelador. 
- Os modelos deste tipo mais usuais são os modelos de simulação.
- Os modelos descritivos são utilizados
- na representação de sistemas reais (ou propostos) e 
- na experimentação de diferentes cenários e políticas de ação nos mesmos. 
- As grandes motivações para o uso destas técnicas são
- a flexibilidade na representação de modelos complexos e 
- a facilidade de aplicação, 
o que possibilita prever o comportamento do sistema modelado no horizonte de planeamento escolhido. 
- Os resultados dos testes apresentam uma visão futura do sistema, auxiliando no processo de tomada de
decisões no momento. 
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4. Tipos de modelos matemáticos Computação Científica
- Ao contrário dos métodos prescritivos, os modelos descritivos são utilizados para comparar políticas de
ação já escolhidas pelo decisor, não esperando que o modelo indique a melhor solução possível. 
- Por exemplo, supor que se pretende testar duas políticas de filas de espera numa Agência Bancária:
Política 1 - cada caixa tem a sua própria fila; 
Política 2 - uma fila única para todas as caixas. 
Objetivo: Simular as duas políticas para verificar qual delas é a melhor (segundo certo objetivo).
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5. Modelação matemática Computação Científica
5. Modelação matemática
- O processo de resolução de um problema 
- pode ser visto como uma sequência de etapas que devem ser realizadas e melhoradas, 
- até que o modelo matemático construído para representar o problema forneça resultados satisfatórios. 
- A construção de um bom modelo matemático exige 
- alto nível de abstração e 
- de conhecimentos académicos (teoria) e/ou empíricos (prática) sobre o problema em análise.
- Notar que,
- não é possível o controlo sobre a maioria dos sistemas reais (complexos), 
- mas é possível controlar a complexidade dos modelos matemáticos que se constroem.
- Os sistemas reais complexos 
- podem ser aproximados por modelos matemáticos simples, 
- que usam equações matemáticas que podem ser resolvidas analiticamente (obtendo soluções exatas).
- No entanto, estes modelos simples oferecem, provavelmente, 
- uma descrição muito distante do comportamento dos sistemas reais. 
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5. Modelação matemática Computação Científica
- Uma descrição mais precisa do sistema real pode ser conseguida 
- com a introdução de mais características do sistema no modelo matemático, 
- o que implica a utilização de equações matemáticas mais complexas e mais difíceis de resolver. 
- Para estes casos, 
- podem não existir soluções analíticas (exatas) para o modelo;
- havendo necessidade de se recorrer à determinação de soluções “aproximadas”, obtidas através de
 - métodos numéricos ou 
 - métodos heurísticos.
- Existem, na literatura, vários diagramas para descrever o processo de resolução de um problema
(modelação matemática). 
- Assim, pode-se considerar que este processo é composto por cinco etapas (ver diagrama em baixo):
1ª) Definição (Formulação) do Problema,
2ª) Construção do Modelo (Matemático),
3ª) Determinação da Solução (do Modelo),
4ª) Validação do Modelo e Análise da Solução,
5ª) Implementação da Solução.
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5. Modelação matemática Computação Científica
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5. Modelação matemática Computação Científica
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5.1. Modelação matemática - Definição do Problema Computação Científica
5.1. Modelação matemática - Definição do Problema
- Elabora-se a definição (formulação) matemática do problema real a ser resolvido. 
- Normalmente, 
- começa-se com um diagnóstico da situação e 
- termina-se com uma descrição formal do problema. 
- Uma definição cuidadosa do problema é crucial, 
- pois caso contrário pode-se estar, mais tarde, a resolver o problema errado;
- ou seja, deve-se evitar extrair a resposta certa do problema errado!
- Envolve a "Perceção do Problema" e a "Recolha de Dados".
- Deve-se identificar as entidades associadas ao problema, que são as seguintes: 
- os dados (o que é conhecido), 
- o objetivo (que é desconhecido e pretende-se determinar) e 
- as restrições (as condições do problema apresentadas).
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5.2. Modelação matemática - Construção do Modelo Matemático Computação Científica
5.2. Modelação matemática - Construção do Modelo Matemático
- Consiste na transformação do problema real num problema matemático através de uma formulação
matemática, a qual deve ser tratável em termos computacionais. 
- Deve-se começar por 
- tentar selecionar um modelo, entre os vários já conhecidos e que possam ser aplicados ao problema
(é frequente ser possível aplicar diferentes modelos ao mesmo problema real).
- Geralmente o modelo matemático possui mais soluções que o problema real.
- Também deve haver uma grande comunicação com a fase da “Recolha de Dados”, pois o modelo pode
necessitar de algo mais do que foi feito na etapa anterior, 
- quer em termos dos dados recolhidos 
- quer na forma como são apresentados.
- Nesta etapa deve-se reproduzir as relações entre os componentes do problema (objetivos, variáveis de
decisão, parâmetros, restrições, ...).
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5.3. Modelação matemática - Determinação da Solução do Modelo Computação Científica
5.3. Modelação matemática - Determinação da Solução do Modelo- Faz-se a escolha do método numérico mais apropriado para resolver o modelo matemático, obtido na
construção do modelo matemático.
- Na escolha do método mais eficiente deve-se ter em conta os seguintes aspetos:
- precisão desejada para os resultados;
- capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergência);
- esforço computacional despendido (tempo de processamento e economia de memória).
- Depois de feita a escolha do método, 
- este é descrito através de um algoritmo, 
- o qual é posteriormente implementado num computador através de uma linguagem de programação;
- por fim, a execução daquele programa tem em vista a obtenção dos resultados numéricos (soluções). 
- Esta etapa pode, então, ser subdividida nas 3 fases seguintes (depois de escolhido o método):
- elaboração do algoritmo,
- implementação do algoritmo (codificação do programa),
- processamento (execução) do programa.
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5.4. Modelação matemática - Validação do Modelo e Análise da Solução Computação Científica
5.4. Modelação matemática - Validação do Modelo e Análise da Solução
- Verifica-se 
- a consistência da solução obtida para o modelo (validação do modelo) e 
- a sua adequação ao problema real (análise da solução).
- Se a solução não se mostrar satisfatória (modelo não válido) deve-se 
- construir um novo modelo matemático, através de uma nova formulação matemática, e 
- determinar uma nova solução numérica.
- Alguns modelos matemáticos podem 
- produzir várias soluções (e não apenas uma) e 
- algumas delas (ou todas) não terem sentido físico ou químico 
- por exemplo: tempo negativo, concentração complexa, etc.
- Um dos objetivos desta etapa é justamente discernir qual a solução válida para o problema real dentre
as várias fornecidas pelo modelo matemático (se existirem algumas). 
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5.5. Modelação matemática - Implementação da Solução Computação Científica
5.5. Modelação matemática - Implementação da Solução
- Nesta etapa deve-se ter em atenção os seguintes aspetos:
- garantir que, do “papel” para o sistema real, não se desvirtua a solução;
- ter abertura para readaptações (modelo e/ou solução) causadas pelas dificuldades de implementação;
- verificar a existência de problemas:
- técnicos,
- associados ao comportamento individual dos elementos da organização,
- relacionados com o ambiente organizacional;
- dar importância aos aspetos comportamentais;
- verificar se a “realidade” ainda é a mesma do início do estudo.
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5.6. Modelação matemática - Exemplo Computação Científica
5.6. Modelação matemática - Exemplo
- Definição do Problema
- Um fabricante de plásticos produz 2 tipos de plástico: 
- Especial e 
- Normal.
- Cada tonelada de plástico Especial exige 
- 2 horas na máquina A e 
- 5 horas na máquina B; 
- Cada tonelada de plástico Normal exige 
- 2 horas na máquina A e 
- 3 horas na máquina B.
- Como 
- a máquina A está disponível 8 horas por dia e 
- a máquina B está disponível 15 horas por dia, 
quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente de maneira que as duas
máquinas se mantenham totalmente ocupadas?
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5.6. Modelação matemática - Exemplo Computação Científica
- Construção do Modelo Matemático
plástico Especial = variável X
plástico Normal = variável Y}  {
2X + 2Y = 8 (Máquina A)
5X + 3Y = 15 (MáquinaB)
em que,
- X corresponde à quantidade (em toneladas) de plástico Especial a produzir, e
- Y corresponde à quantidade (em toneladas) de plástico Normal a produzir.
- Determinação da Solução do Modelo
- O processo consiste na resolução de um sistema de duas equações com duas incógnitas, usando o método
de substituição de variáveis.
{2X + 2Y = 85X + 3Y = 15  {
X = 4 −Y
20 −5Y + 3Y = 15
 {X = 4 −YY = 5/2  {
X = 3/2 = 1.5
Y = 5/2 = 2.5
- Validação do Modelo e Análise da Solução
- Devem ser produzidas: 
1,5 toneladas de plástico Especial (variável X) e 
2,5 toneladas de plástico Normal (variável Y).
- Implementação da Solução:
- Indicar a produção dos 2 tipos de plásticos nas fábricas
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6. Elaboração de algoritmos Computação Científica
6. Elaboração de algoritmos
- Uma das fases mais importantes na resolução de um problema é a elaboração de um algoritmo que
traduza o método associado ao modelo matemático construído.
- Selecionado o método associado ao modelo matemático construído (definido através de expressões
aritméticas e lógicas), o passo seguinte é realizar uma descrição do método através de um algoritmo. 
- A descrição do algoritmo, através de uma notação algorítmica, melhora o seu entendimento, pois
- apenas os aspetos do raciocínio matemático são realçados, 
- não é necessário levar em consideração os detalhes de implementação das linguagens de programação.
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6.1. Elaboração de algoritmos - Estrutura do algoritmo Computação Científica
6.1. Elaboração de algoritmos - Estrutura do algoritmo
- Um algoritmo 
deve iniciar-se com
Algoritmo <nome-do-algoritmo>
e terminar com
fim_algoritmo
- Para descrever a finalidade do algoritmo, deve ser utilizado
{ Objetivo: <objetivo-do-algoritmo> }
- Os dados necessários para a execução de um algoritmo são requisitados pelo comando
parâmetros de entrada: <lista-de-variáveis>
onde <lista-de-variáveis> são os nomes das variáveis contendo os valores fornecidos. 
- Não é necessário descrever exatamente como os valores são fornecidas ao algoritmo.
- Os valores calculados pelo algoritmo são disponibilizados pelo comando
parâmetros de saída: <lista-de-variáveis>
podendo a <lista-de-variáveis> ser ampliada ou reduzida pelo programador.
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6.2. Elaboração de algoritmos - Variáveis e comentários Computação Científica
6.2. Elaboração de algoritmos - Variáveis e comentários
- Uma variável corresponde a uma posição de memória do computador onde está, ou poderá estar,
armazenado um determinado valor. 
- As variáveis são representadas por identificadores, podendo os elementos de vetores e matrizes serem
referenciados por subscritos ou índices (por exemplo, vi ou v(i) e mij ou m(i,j)).
- Um comentário é 
- um texto inserido em qualquer parte o algoritmo para aumentar a sua clareza.;
- deve ser delimitado por chavetas ({ <texto> });
- por exemplo, { cálculo da raiz }.
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6.3. Elaboração de algoritmos - Expressões e comando de atribuição Computação Científica
6.3. Elaboração de algoritmos - Expressões e comando de atribuição
- Existem três tipos de expressões, dependendo dos tipos dos operadores e das variáveis envolvidas:
- aritméticas, 
- lógicas e 
- literais.
- O símbolo  é usado para atribuir o resultado de uma expressão a uma variável, 
<variável>  <expressão>
- Por exemplo, 
velocidade  deslocamento/tempo
mensagem  “matriz singular”
- Na elaboração dos algoritmos, podem ser usadas
- operadores aritméticos, relacionais e lógicos
- funções matemáticas predefinidas: trigonométricas e numéricas.
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6.4. Elaboração de algoritmos - Comandos de entrada e saída Computação Científica
6.4. Elaboração de algoritmos - Comandos de entrada e saída
- O comando 
leia: <lista-de-variáveis>
indica que a <lista-de-variáveis> está disponível para leitura nalgum dispositivo externo. 
- Por sua vez, o comando
escreva: <lista-de-variáveis>
deve ser utilizado para indicar onde certos valores de interesse 
- estão disponíveis no programa e 
- devem ser escritos nalgum dispositivo externo.
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6.5. Elaboração de algoritmos - Estruturas condicionais Computação Científica
6.5. Elaboração de algoritmos - Estruturas condicionais
- Uma estrutura condicional torna possível a escolha dos comandos a serem executados quandocerta
condição for satisfeita ou não. 
- Podem ser simples ou compostas.
- Estrutura condicional simples
se <condição> então
<comandos>
fim_se
- Estrutura condicional composta
se <condição> então
<comandos_1>
senão
<comandos_2>
fim_se
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6.6. Elaboração de algoritmos - Estruturas de repetição Computação Científica
6.6. Elaboração de algoritmos - Estruturas de repetição
- Número indefinido de repetições
repita
<comandos_1>
se <condição> então
interrompa
fim_se
<comandos_2>
fim_repita
<comandos_3>
- Número definido de repetições
para <controle>  <valor-inicial> até <valor-final> passo <delta> faça
<comandos>
fim_para
Capítulo 1. Computação Científica 31/38
6.7. Elaboração de algoritmos - Falha no algoritmo Computação Científica
6.7. Elaboração de algoritmos - Falha no algoritmo
- Para indicar que haverá uma falha evidente na execução do algoritmo, usar o comando
abandone
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6.8. Elaboração de algoritmos - Exemplos de algoritmos Computação Científica
6.8. Elaboração de algoritmos - Exemplos de algoritmos
- Problema 1: 
Dado um vetor x com n componentes (elementos), elaborar um algoritmo para determinar 
- a média aritmética x̄ e 
- o desvio padrão s dos seus elementos, 
sabendo que
x̄ =
1
n
∑
i=1
n
xi, 
e
s = √ 1n −1(∑i=1n xi2 − 1n (∑i=1n xi)
2
).
Capítulo 1. Computação Científica 33/38
6.8. Elaboração de algoritmos - Exemplos de algoritmos Computação Científica
- Algoritmo:
Algoritmo Média_desvio
{ Objetivos: Calcular média aritmética e desvio padrão }
parâmetros de entrada: n, x { tamanho e elementos do vetor }
parâmetros de saída: Média, DesvioPadrão
Soma  0
Soma2  0
para i  1 até n faça
Soma  Soma + x(i)
Soma2  Soma2 + x(i)2
fim_para
Média  Soma / n
DesvioPadrão  raiz2 ((Soma2 – (Soma
2 / n)) / (n-1))
escreva: Média, DesvioPadrão
fim_algoritmo
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Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional Computação Científica
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional
- É usual definir-se uma função de complexidade para medir o custo de execução de um algoritmo. 
- Esta função tanto pode ser uma medida do
- tempo necessário para executar o algoritmo que resolve um problema de tamanho n,
- espaço de memória requerido para esta execução.
A complexidade computacional de um algoritmo 
- refere-se à estimativa do esforço computacional despendido para resolver o problema, 
- é medido pelo número de operações aritméticas e lógicas efetuadas para resolver um sistema linear de
ordem n.
- Os problemas têm complexidade computacional e podem-se enquadrar em dois grupos:
- o composto pelos algoritmos polinomiais, sendo a função de complexidade da forma:
O(cn pn + cn-1 pn-1 + ... + c1 p1 + c0)
- o formado pelos algoritmos exponenciais, sendo a função de complexidade da forma:
O(cn), c > 1.
- Exemplo: 
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Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional Computação Científica
- Considere-se o polinómio de Lagrange de grau n definido da seguinte forma:
Ln(x ) = ∑
i=0
n
yi ∏
j=0
j≠i
n x−x j
xi−xj
- Expandindo aquela expressão, resulta a Expressão 1:
Ln(x ) = y0 ×
x −x1
x0 −x1
×
x −x2
x0 −x2
× ... ×
x −xn
x0 −xn
 +
 + y1 ×
x −x0
x1 −x0
×
x −x2
x1 −x2
× ... ×
x −xn
x1 −xn
 +
+ . . . +
 + yn ×
x −x0
xn −x0
×
x −x1
xn −x1
× ... ×
x −xn−1
xn −xn−1
Capítulo 1. Computação Científica 36/38
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional Computação Científica
- Considerando que o número de pontos m usados na interpolação é igual a n+1, onde n é o grau do
polinómio, então a complexidade computacional do algoritmo é:
Adições: ∑
i=1
m
2(m −1) + 1 = 2(m2 −2m + m) = 2(n + 1)2 −(n + 1) = 2n2 + 3n + 1
Multiplicações: ∑
i=1
m
(m −1) = m2 −m = (n + 1)2 −(n + 1) = n2 + n
Divisões: ∑
i=1
m
(m −1) = (m2 −m) = (n + 1)2 −(n + 1) = n2 + n
Estes resultados são resumidos na tabela seguinte:
Operações Complexidade
Adições 2n2 + 3n + 1
Multiplicações n2 + n
Divisões n2 + n
Capítulo 1. Computação Científica 37/38
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional Computação Científica
- O polinómio de Lagrange também pode ser expandido de modo a resultar a Expressão 2:
Ln(x ) = y0 ×
(x −x1) × (x −x2) × ... × (x −xn)
(x0 −x1) × (x0 −x2) × ... ×(x0 −xn)
 +
 + y1 ×
(x −x0) × (x −x2) × ... × (x −xn)
(x1 −x0) × (x1 −x2) × ... × (x1 −xn)
 +
+ . . . +
 + yn ×
(x −x0)× (x −x1) × ... ×(x −xn−1)
(xn −x0) × (xn −x1) × ... × (xn −xn−1)
- Analisando a complexidade computacional do algoritmo desta expressão, verifica-se que
- o número de adições é o mesmo (2n2 + 3n + 1),
- o de multiplicações é da mesma ordem (n2),
- o número de divisões utilizadas na Expressão 2 é de uma ordem grandeza menor (n).
- O polinómio de Lagrange serve para exemplificar que
- uma mesma notação matemática pode resultar em algoritmos de diferentes complexidades. 
- Isto deve estar presente ao elaborar-se um algoritmo.
Capítulo 1. Computação Científica 38/38
	Computação Científica - Tópicos
	- Definição
	- Modelo genérico
	- Modelo matemático
	- Tipos de modelos matemáticos
	- Modelação matemática
	- Definição do problema
	- Construção do Modelo matemático
	- Determinação da Solução do modelo
	- Validação do Modelo e Análise da solução
	- Implementação da Solução
	- Elaboração de algoritmos
	1. Definição
	- A Computação Científica é uma área de estudo que, utilizando computadores, se interessa
	- pela construção de modelos matemáticos e
	- pelas técnicas para determinar soluções numéricas
	na análise e resolução de problemas reais (científicos e da engenharia).
	- A Computação Científica consiste, em termos práticos, na aplicação
	- da simulação computacional e
	- de outras formas de computação,
	na análise e resolução de problemas reais em várias áreas científicas e tecnológicas.
	- As aplicações computacionais desenvolvidas para modelar sistemas reais, requerem
	- grandes quantidades de dados iniciais e de parâmetros de entrada,
	- uma grande quantidade de cálculos,
	fazendo com que a relação entre Computação Científica e Computação Numérica seja muito forte.
	- A Computação Numérica define-se como a utilização de computadores na manipulação de números.
	- Em algumas áreas do conhecimento,
	- a experimentação em laboratório é extremamente cara ou até mesmo impossível,
	- o que faz com que a Computação Científica tenha um papel de grande importância,
	- configurando uma terceira vertente da ciência (complemento à experimentação/observação e à teoria).
	- Considere-se o seguinte exemplo:
	- tendo em conta a grande aproximação da antena do telemóvel com a cabeça humana, essencialmente aquando da realização de chamadas, os utilizadores são expostos a campos eletromagnéticos de níveis consideráveis em períodos de tempo cada vez maiores.
	- Devido à impossibilidade técnica e ética de efetuar medições dos níveis destes campos em seres humanos ou animais, as simulações numéricas são de crucial importância nestes estudos.
	- Com a Computação Científica é possível identificar as áreas e os tecidos mais afetados (normalmente são aqueles mais próximos da antena) e os pontos de concentração de ondas eletromagnéticas.
	- A construção de Modelos Matemáticos é possivelmente a vertente da Computação Científica
	- em que os investigadores têm ocupado mais tempo no seu estudo,
	- há um aumento da quantidade de modelos para resolver problemas (cada vez mais complexos),
	- o desenvolvimento de modelos já existentes.
	2. Modelo genérico
	- De uma maneira geral, um modelo é uma estrutura (abstrata ou física) construída para exibir funções e características (consideradas) fundamentais de um dado sistema “real”.
	- Segundo diferentes perspetivas, a mesma “realidade” dá origem a diferentes modelos.
	- É importante que o comportamento do modelo
	- seja fiel à realidade (ou, melhor, à simplificação da realidade que se idealizou),
	- seja de fácil manipulação!- Os modelos permitem
	- a experimentação sem interferência com a realidade,
	- explicitar relações que não eram claras até ao momento da sua construção e análise.
	- O termo "modelo" é habitualmente usado por uma estrutura construída propositadamente, para expor aspetos e características de alguns objetos entre si.
	- É suposto que um modelo
	- seja uma representação suficientemente precisa das características essenciais da situação a analisar,
	- de modo que as conclusões (soluções) obtidas a partir dele sejam também válidas para o problema real.
	- O modelo é um esquema simplificado para a interpretação da realidade
	- a complexidade do mundo real  a necessidade de formular modelos simplificadores;
	- a mera acumulação de observações não fornece explicação satisfatória do fenómeno 
	 necessidade de sistematizar e racionalizar os factos conhecidos:
	- selecionando os aspetos mais importantes e
	- desprezando os que considera irrelevantes.
	- De uma maneira geral, pode-se considerar que existem três tipos de modelos:
	- modelos icónicos
	- são representações reduzidas de estados, objetos ou acontecimentos;
	- representam o fenómeno real apenas com uma transformação de escala;
	- por exemplo, os mapas.
	- modelos analógicos,
	- empregam uma propriedade para representar outra;
	- por exemplo, utilizar gráficos a cores e com legendas.
	- modelos simbólicos
	- as propriedades do fenómeno real são expressas simbolicamente;
	- por exemplo, os modelos matemáticos.
	3. Modelo matemático
	- Uma das tarefas mais importantes dos Matemáticos é:
	- analisar situações da vida real e
	- identificar modelos matemáticos que permitam a sua interpretação.
	- Existem, na literatura, muitas definições de modelo matemático.
	- Edwards e Hamsom (1990): "um modelo matemático é o produto da transferência de um conjunto de elementos matemáticos (como sejam, funções ou equações), com vista à obtenção de uma representação matemática de uma parcela do mundo real".
	- Swetz e Hartzler (1991): "modelo matemático de um objeto ou de um fenómeno real é um conjunto de regras ou leis, de natureza matemática, que representam adequadamente o objeto ou o fenómeno na mente de um observador".
	- Os modelos matemáticos
	- São representações idealizadas, mas expressas em termos de símbolos e expressões matemáticas.
	- Consistem num sistema de equações e de expressões matemáticas relacionadas, que descrevem os aspetos essenciais do problema.
	- Podem ter diversas formas como uma única equação, um sistema de equações, um sistema de inequações ou, para casos mais complexos, um conjunto de equações diferenciais.
	- O modo como a teoria e as aplicações da Matemática se relacionam designa-se por:
	- matematização ou
	- modelação matemática.
	- Isto significa, para Ian Stwart (matemático inglês), que "Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade. E já não perguntamos se o modelo é verdadeiro, perguntamos unicamente se as suas implicações podem ser verificadas experimentalmente".
	4. Tipos de modelos matemáticos
	- Os modelos matemáticos podem ser, pela sua natureza, de dois tipos:
	- modelos prescritivos, e
	- modelos descritivos.
	- Os modelos matemáticos prescritivos têm como característica principal, o facto de o resultado de uma operação ser prescrita para solucionar um problema do sistema real.
	- Os modelos prescritivos
	- baseiam-se na representação dos objetivos e das restrições de um processo para o qual se deseja descobrir soluções ótimas;
	- ou seja, o modelo é elaborado segundo uma técnica que permite encontrar a melhor solução, ou política de ação, para os condicionamentos representados.
	- Exemplos de modelos prescritivos:
	- modelos de otimização;
	- modelos que usam métodos numéricos.
	- Os modelos que usam métodos numéricos
	- são expressos apenas por uma equação matemática;
	- a sua resolução consiste em determinar as soluções que anulam aquela equação (ou seja, os seus zeros).
	- Os modelos de otimização podem ser resolvidos usando dois tipos diferentes de métodos:
	- exatos, e
	- aproximados.
	- Nos métodos exatos, a solução obtida
	- é a melhor, dentre todas as possíveis, dados os condicionamentos do modelo;
	- otimiza (maximiza ou minimiza) uma função de mérito (por ex., o custo total de produção); e
	- respeita (não viola), em simultâneo, todas as restrições do problema (por ex:, satisfazer a procura).
	- Pode ser extremamente caro, em termos computacionais, resolver um problema com métodos exatos.
	- Neste caso, pode decidir-se por resolver o problema de forma aproximada (heuristicamente).
	- Resolver o problema usando um método aproximado (heurístico)
	- significa que não se pode garantir que se obtenha a solução ótima em todos cenários analisados;
	- mas pode-se garantir a obtenção de uma solução de “boa qualidade” com baixo custo computacional.
	- Uma abordagem heurística tenta utilizar um método racional para encontrar uma boa (próxima do ótimo) solução.
	- Geralmente a heurística apresenta uma maneira mais rápida e fácil de resolver um problema, em relação ao método matemático prescritivo “puro”.
	- Exemplos de métodos heurísticos são
	- Algoritmos Evolutivos (Algoritmos Genéticos, Pesquisa Tabu, ...),
	- Redes Neuronais e
	- Busca Local.
	- Mas isto não significa que se deve resolver todos os problemas de grande dimensão e caros, em termos computacionais, usando métodos aproximados.
	- Por exemplo:
	- Suponha-se que existam 3 trabalhos para serem realizados e 3 máquinas disponíveis para os realizar.
	- O custo de cada máquina para cada trabalho está na seguinte tabela:
	- Heurística 1: Alocação do menor custo dos trabalhos. Qual o custo total?
	- Heurística 2: Alocação do menor custo das máquinas. Qual o custo total?
	- Usando a Heurística 1 e afetando por ordem os Trabalhos:
	custo total é 40 (10 + 5 + 25),
	pares de afetação: (Trabalho 1, Máquina 1), (Trabalho 2, Máquina 2) e (Trabalho 3, Máquina 3).
	- Usando a Heurística 2 e afetando por ordem as Máquinas:
	o custo total é 24 (8 + 5 + 11),
	pares de afetação: (Máquina 1, Trabalho 3), (Máquina 2, Trabalho 2) e (Máquina 3, Trabalho 1).
	- Solução ótima: (T1, M1), (T2, M3) e (T3, M2) é um pouco melhor (22) que a solução da heurística 2 (24).
	- Os modelos matemáticos descritivos
	- são utilizados para acompanhar o comportamento de um sistema.
	- As suas conclusões são obtidas através da perceção do modelador.
	- Os modelos deste tipo mais usuais são os modelos de simulação.
	- Os modelos descritivos são utilizados
	- na representação de sistemas reais (ou propostos) e
	- na experimentação de diferentes cenários e políticas de ação nos mesmos.
	- As grandes motivações para o uso destas técnicas são
	- a flexibilidade na representação de modelos complexos e
	- a facilidade de aplicação,
	o que possibilita prever o comportamento do sistema modelado no horizonte de planeamento escolhido.
	- Os resultados dos testes apresentam uma visão futura do sistema, auxiliando no processo de tomada de decisões no momento.
	- Ao contrário dos métodos prescritivos, os modelos descritivos são utilizados para comparar políticas de ação já escolhidas pelo decisor, não esperando que o modelo indique a melhor solução possível.
	- Por exemplo, supor que se pretende testar duas políticas de filas de espera numa Agência Bancária:
	Política 1 - cada caixa tem a sua própria fila;
	Política 2 - uma fila única para todas as caixas.
	Objetivo: Simular as duas políticas para verificar qual delas é a melhor (segundo certo objetivo).
	5. Modelação matemática
	- O processo de resolução de um problema
	- pode ser visto como uma sequência de etapas que devem ser realizadas e melhoradas,
	- até que o modelo matemático construído para representar o problema forneça resultados satisfatórios.
	- A construção de um bom modelo matemático exige
	- alto nível de abstração e
	- de conhecimentos académicos (teoria) e/ou empíricos (prática) sobre o problema em análise.
	- Notar que,
	- não é possível o controlosobre a maioria dos sistemas reais (complexos),
	- mas é possível controlar a complexidade dos modelos matemáticos que se constroem.
	- Os sistemas reais complexos
	- podem ser aproximados por modelos matemáticos simples,
	- que usam equações matemáticas que podem ser resolvidas analiticamente (obtendo soluções exatas).
	- No entanto, estes modelos simples oferecem, provavelmente,
	- uma descrição muito distante do comportamento dos sistemas reais.
	- Uma descrição mais precisa do sistema real pode ser conseguida
	- com a introdução de mais características do sistema no modelo matemático,
	- o que implica a utilização de equações matemáticas mais complexas e mais difíceis de resolver.
	- Para estes casos,
	- podem não existir soluções analíticas (exatas) para o modelo;
	- havendo necessidade de se recorrer à determinação de soluções “aproximadas”, obtidas através de
	- métodos numéricos ou
	- métodos heurísticos.
	- Existem, na literatura, vários diagramas para descrever o processo de resolução de um problema (modelação matemática).
	- Assim, pode-se considerar que este processo é composto por cinco etapas (ver diagrama em baixo):
	1ª) Definição (Formulação) do Problema,
	2ª) Construção do Modelo (Matemático),
	3ª) Determinação da Solução (do Modelo),
	4ª) Validação do Modelo e Análise da Solução,
	5ª) Implementação da Solução.
	5.1. Modelação matemática - Definição do Problema
	- Elabora-se a definição (formulação) matemática do problema real a ser resolvido.
	- Normalmente,
	- começa-se com um diagnóstico da situação e
	- termina-se com uma descrição formal do problema.
	- Uma definição cuidadosa do problema é crucial,
	- pois caso contrário pode-se estar, mais tarde, a resolver o problema errado;
	- ou seja, deve-se evitar extrair a resposta certa do problema errado!
	- Envolve a "Perceção do Problema" e a "Recolha de Dados".
	- Deve-se identificar as entidades associadas ao problema, que são as seguintes:
	- os dados (o que é conhecido),
	- o objetivo (que é desconhecido e pretende-se determinar) e
	- as restrições (as condições do problema apresentadas).
	5.2. Modelação matemática - Construção do Modelo Matemático
	- Consiste na transformação do problema real num problema matemático através de uma formulação matemática, a qual deve ser tratável em termos computacionais.
	- Deve-se começar por
	- tentar selecionar um modelo, entre os vários já conhecidos e que possam ser aplicados ao problema
	(é frequente ser possível aplicar diferentes modelos ao mesmo problema real).
	- Geralmente o modelo matemático possui mais soluções que o problema real.
	- Também deve haver uma grande comunicação com a fase da “Recolha de Dados”, pois o modelo pode necessitar de algo mais do que foi feito na etapa anterior,
	- quer em termos dos dados recolhidos
	- quer na forma como são apresentados.
	- Nesta etapa deve-se reproduzir as relações entre os componentes do problema (objetivos, variáveis de decisão, parâmetros, restrições, ...).
	5.3. Modelação matemática - Determinação da Solução do Modelo
	- Faz-se a escolha do método numérico mais apropriado para resolver o modelo matemático, obtido na construção do modelo matemático.
	- Na escolha do método mais eficiente deve-se ter em conta os seguintes aspetos:
	- precisão desejada para os resultados;
	- capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergência);
	- esforço computacional despendido (tempo de processamento e economia de memória).
	- Depois de feita a escolha do método,
	- este é descrito através de um algoritmo,
	- o qual é posteriormente implementado num computador através de uma linguagem de programação;
	- por fim, a execução daquele programa tem em vista a obtenção dos resultados numéricos (soluções).
	- Esta etapa pode, então, ser subdividida nas 3 fases seguintes (depois de escolhido o método):
	- elaboração do algoritmo,
	- implementação do algoritmo (codificação do programa),
	- processamento (execução) do programa.
	5.4. Modelação matemática - Validação do Modelo e Análise da Solução
	- Verifica-se
	- a consistência da solução obtida para o modelo (validação do modelo) e
	- a sua adequação ao problema real (análise da solução).
	- Se a solução não se mostrar satisfatória (modelo não válido) deve-se
	- construir um novo modelo matemático, através de uma nova formulação matemática, e
	- determinar uma nova solução numérica.
	- Alguns modelos matemáticos podem
	- produzir várias soluções (e não apenas uma) e
	- algumas delas (ou todas) não terem sentido físico ou químico
	- por exemplo: tempo negativo, concentração complexa, etc.
	- Um dos objetivos desta etapa é justamente discernir qual a solução válida para o problema real dentre as várias fornecidas pelo modelo matemático (se existirem algumas).
	5.5. Modelação matemática - Implementação da Solução
	- Nesta etapa deve-se ter em atenção os seguintes aspetos:
	- garantir que, do “papel” para o sistema real, não se desvirtua a solução;
	- ter abertura para readaptações (modelo e/ou solução) causadas pelas dificuldades de implementação;
	- verificar a existência de problemas:
	- técnicos,
	- associados ao comportamento individual dos elementos da organização,
	- relacionados com o ambiente organizacional;
	- dar importância aos aspetos comportamentais;
	- verificar se a “realidade” ainda é a mesma do início do estudo.
	5.6. Modelação matemática - Exemplo
	- Definição do Problema
	- Um fabricante de plásticos produz 2 tipos de plástico:
	- Especial e
	- Normal.
	- Cada tonelada de plástico Especial exige
	- 2 horas na máquina A e
	- 5 horas na máquina B;
	- Cada tonelada de plástico Normal exige
	- 2 horas na máquina A e
	- 3 horas na máquina B.
	- Como
	- a máquina A está disponível 8 horas por dia e
	- a máquina B está disponível 15 horas por dia,
	quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente de maneira que as duas máquinas se mantenham totalmente ocupadas?
	- Construção do Modelo Matemático
	- Determinação da Solução do Modelo
	- O processo consiste na resolução de um sistema de duas equações com duas incógnitas, usando o método de substituição de variáveis.
	- Validação do Modelo e Análise da Solução
	- Devem ser produzidas:
	1,5 toneladas de plástico Especial (variável X) e
	2,5 toneladas de plástico Normal (variável Y).
	- Implementação da Solução:
	- Indicar a produção dos 2 tipos de plásticos nas fábricas
	6. Elaboração de algoritmos
	- Uma das fases mais importantes na resolução de um problema é a elaboração de um algoritmo que traduza o método associado ao modelo matemático construído.
	- Selecionado o método associado ao modelo matemático construído (definido através de expressões aritméticas e lógicas), o passo seguinte é realizar uma descrição do método através de um algoritmo.
	- A descrição do algoritmo, através de uma notação algorítmica, melhora o seu entendimento, pois
	- apenas os aspetos do raciocínio matemático são realçados,
	- não é necessário levar em consideração os detalhes de implementação das linguagens de programação.
	6.1. Elaboração de algoritmos - Estrutura do algoritmo
	- Um algoritmo
	deve iniciar-se com
	Algoritmo <nome-do-algoritmo>
	e terminar com
	fim_algoritmo
	- Para descrever a finalidade do algoritmo, deve ser utilizado
	{ Objetivo: <objetivo-do-algoritmo> }
	- Os dados necessários para a execução de um algoritmo são requisitados pelo comando
	parâmetros de entrada: <lista-de-variáveis>
	onde <lista-de-variáveis> são os nomes das variáveis contendo os valores fornecidos.
	- Não é necessário descrever exatamente como os valores são fornecidas ao algoritmo.
	- Os valores calculados pelo algoritmo são disponibilizados pelo comando
	parâmetros de saída: <lista-de-variáveis>
	podendo a <lista-de-variáveis> ser ampliada ou reduzida pelo programador.
	6.2. Elaboração de algoritmos - Variáveis e comentários
	- Uma variável corresponde a uma posição de memória do computador onde está, ou poderá estar, armazenado um determinado valor.
	- As variáveis são representadaspor identificadores, podendo os elementos de vetores e matrizes serem referenciados por subscritos ou índices (por exemplo, vi ou v(i) e mij ou m(i,j)).
	- Um comentário é
	- um texto inserido em qualquer parte o algoritmo para aumentar a sua clareza.;
	- deve ser delimitado por chavetas ({ <texto> });
	- por exemplo, { cálculo da raiz }.
	6.3. Elaboração de algoritmos - Expressões e comando de atribuição
	- Existem três tipos de expressões, dependendo dos tipos dos operadores e das variáveis envolvidas:
	- aritméticas,
	- lógicas e
	- literais.
	- O símbolo  é usado para atribuir o resultado de uma expressão a uma variável,
	<variável>  <expressão>
	- Por exemplo,
	velocidade  deslocamento/tempo
	mensagem  “matriz singular”
	- Na elaboração dos algoritmos, podem ser usadas
	- operadores aritméticos, relacionais e lógicos
	- funções matemáticas predefinidas: trigonométricas e numéricas.
	6.4. Elaboração de algoritmos - Comandos de entrada e saída
	- O comando
	leia: <lista-de-variáveis>
	indica que a <lista-de-variáveis> está disponível para leitura nalgum dispositivo externo.
	- Por sua vez, o comando
	escreva: <lista-de-variáveis>
	deve ser utilizado para indicar onde certos valores de interesse
	- estão disponíveis no programa e
	- devem ser escritos nalgum dispositivo externo.
	6.5. Elaboração de algoritmos - Estruturas condicionais
	- Uma estrutura condicional torna possível a escolha dos comandos a serem executados quando certa condição for satisfeita ou não.
	- Podem ser simples ou compostas.
	- Estrutura condicional simples
	se <condição> então
	<comandos>
	fim_se
	- Estrutura condicional composta
	se <condição> então
	<comandos_1>
	senão
	<comandos_2>
	fim_se
	6.6. Elaboração de algoritmos - Estruturas de repetição
	- Número indefinido de repetições
	repita
	<comandos_1>
	se <condição> então
	interrompa
	fim_se
	<comandos_2>
	fim_repita
	<comandos_3>
	- Número definido de repetições
	para <controle>  <valor-inicial> até <valor-final> passo <delta> faça
	<comandos>
	fim_para
	6.7. Elaboração de algoritmos - Falha no algoritmo
	- Para indicar que haverá uma falha evidente na execução do algoritmo, usar o comando
	abandone
	6.8. Elaboração de algoritmos - Exemplos de algoritmos
	- Problema 1:
	Dado um vetor x com n componentes (elementos), elaborar um algoritmo para determinar
	- a média aritmética e
	- o desvio padrão s dos seus elementos,
	sabendo que
	,
	e
	.
	- Algoritmo:
	Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional
	- É usual definir-se uma função de complexidade para medir o custo de execução de um algoritmo.
	- Esta função tanto pode ser uma medida do
	- tempo necessário para executar o algoritmo que resolve um problema de tamanho n,
	- espaço de memória requerido para esta execução.
	A complexidade computacional de um algoritmo
	- refere-se à estimativa do esforço computacional despendido para resolver o problema,
	- é medido pelo número de operações aritméticas e lógicas efetuadas para resolver um sistema linear de ordem n.
	- Os problemas têm complexidade computacional e podem-se enquadrar em dois grupos:
	- o composto pelos algoritmos polinomiais, sendo a função de complexidade da forma:
	O(cn pn + cn-1 pn-1 + ... + c1 p1 + c0)
	- o formado pelos algoritmos exponenciais, sendo a função de complexidade da forma:
	O(cn), c > 1.
	- Exemplo:
	- Considere-se o polinómio de Lagrange de grau n definido da seguinte forma:
	
	- Expandindo aquela expressão, resulta a Expressão 1:
	+
	+
	+ . . . +
	
	- Considerando que o número de pontos m usados na interpolação é igual a n+1, onde n é o grau do polinómio, então a complexidade computacional do algoritmo é:
	Adições:
	Multiplicações:
	Divisões:
	Estes resultados são resumidos na tabela seguinte:
	- O polinómio de Lagrange também pode ser expandido de modo a resultar a Expressão 2:
	+
	+
	+ . . . +
	
	- Analisando a complexidade computacional do algoritmo desta expressão, verifica-se que
	- o número de adições é o mesmo (2n2 + 3n + 1),
	- o de multiplicações é da mesma ordem (n2),
	- o número de divisões utilizadas na Expressão 2 é de uma ordem grandeza menor (n).
	- O polinómio de Lagrange serve para exemplificar que
	- uma mesma notação matemática pode resultar em algoritmos de diferentes complexidades.
	- Isto deve estar presente ao elaborar-se um algoritmo.