Otimização de Portfólios de Investimento

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UFRJ

Artigos e Atualidades
18/01/2023
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Otimização de portfólios de investimento baseada em aprendizado
não-supervisionado
Nicholas Quagliani Morgado da Silva
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Eletrônica e de Computação
da Escola Politécnica, Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do t́ıtulo de Enge-
nheiro.
Orientadores:
Luiz Pereira Calôba
Natanael Nunes de Moura Junior
Rio de Janeiro
Março de 2019
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Escola Politécnica - Departamento de Eletrônica e de Computação
Centro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade Universitária
Rio de Janeiro - RJ CEP 21949-900
Este exemplar é de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que
poderá inclúı-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar
qualquer forma de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibli-
otecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja
ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que
sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es).
iv
AGRADECIMENTO
Primeiramente, agradeço a Deus. Dele e por Ele são todas as coisas, e nele pude
depositar minha fé e esperança.
Agradeço aos meus pais, Fátima e Marco, que sempre me incentivaram e re-
forçaram em minha vida a importância do estudo e do trabalho. Por todo o amor
e carinho recebidos, todos os ensinamentos e por todas as experiências que me per-
mitiram e que compartilharam comigo, sou extremamente grato.
Agradeço também à minha namorada Thamiles, por todo o amor e carinho rece-
bido, por estar sempre ao meu lado e por todos os momentos felizes vividos ao seu.
Agradeço também por todas as experiências e crescimento que vivemos juntos.
Também agradeço aos meus amigos, aqueles que trouxe de fora da universidade e
também aqueles que nela conheci. Sou grato por todos os momentos de ajuda, risa-
das, companheirismo e apoio. Especialmente a Vińıcius, Krishynan, Renata, Yuri e
Bruno, que cumpriram papéis importantes na minha vida durante a graduação.
Agradeço à minha famı́lia, que sempre cumpriu seu papel de forma exemplar
e carinhosa. Agradeço também especialmente aos meus avós Albertino, Jorge e
Gabriela, que nunca mediram esforços para me ajudar da forma que podiam e me
impulsionaram nos estudos para que pudessem ver seu neto formado.
Agradeço aos meus orientadores, Luiz Pereira Calôba e Natanael Moura Junior,
que com toda sua orientação e paciência permitiram que eu pudesse concluir esse
trabalho, me ajudando a completar essa etapa da minha vida acadêmica. Agradeço
profundamente a confiança e o apoio em mim depositados.
Também gostaria de agradecer ao professores que tive durante o curso de Enge-
nharia Eletrônica e de Computação, que durante esses anos puderam deixar em mim
suas marcas e ensinamentos e que levarei comigo a partir daqui.
v
RESUMO
No mercado financeiro, o estudo de como melhor alocar recursos em ativos para
compor carteiras de investimento é conhecido como otimização de portfólio, e é um
desafio frequente a ser resolvido. Harry Markowitz foi um dos primeiros a criar
e estabelecer um modelo amplamente aceito para resolver esse problema, com sua
técnica conhecida como otimização de média-variância. Fischer Black e Robert Lit-
terman também propuseram um modelo para otimização de portfólios com algumas
melhorias em relação ao proposto por Markowitz. Em tempos recentes, os cons-
tantes avanços da tecnologia computacional impulsionaram a utilização de novas
técnicas aplicando aprendizado de máquina para desenvolver novas soluções para o
problema. Dentre estas técnicas, uma das mais frequentemente utilizadas é a cluste-
rização, uma forma de aprendizagem de máquina não supervisionada que apresenta
resultados promissores na tarefa de alocação de ativos e otimização de portfólios.
Este trabalho consiste em simular e analisar o desempenho de portfólios gerados pelo
modelo de Black e Litterman comparados aos gerados pelo modelo de Markowitz,
utilizar o algoritmo de clusterização KMeans aliado aos modelos de otimização para
potencializar o processo de alocação de ativos e otimização de carteiras, simular e
analisar seu desempenho, comparando-os a um ı́ndice de mercado. Os resultados
obtidos mostram que o modelo de Black e Litterman obteve resultados positivos
na tarefa de gerar portfólios otimizados com bom desempenho na janela histórica
considerada. Indicam também que o uso da clusterização para alocação de ativos
impacta significativamente no desempenho dos portfólios gerados utilizando os dois
modelos.
Palavras-Chave: Otimização de Portfólio, Mercado Financeiro, Aprendizado de
Máquina Não-Supervisionado, KMeans, Black-Litterman, Markowitz.
vi
ABSTRACT
In the financial market, the study of allocating resources in assets to create succes-
sful portfolios is acknowledged as portfolio optimization and is a recurrent challenge
to be resolved. Harry Markowitz was one of the first to propose and establish an
openly accepted model for this problem, with a technic known as Mean-Variance
Optimization. Fischer Black and Robert Litterman also proposed a model for port-
folio optimization with several improvements upon the one proposed by Markowitz.
In recent times, the constant developments in computational capabilities have sti-
mulated the use of other tools utilizing machine learning to develop new solutions
to the portfolio problem. Among these technics, one of the most used is Cluster
Analysis, an Unsupervised Learning approach that exhibits promising results in the
task of allocating assets and portfolio optimization. This work consists of simulating
and analyzing the performance of portfolios generated by the Black and Litterman
model comparing to one generated by the Markowitz approach. Also studies the
use of the KMeans Clustering algorithm associated with the optimization models
to improve the process of asset allocation and portfolio optimization, by simula-
ting and analyzing its performance to a market index. The results show that the
Black and Litterman model was successful in generating optimized portfolios with
a good performance in the historic window of analysis. It also shows that the use of
cluster analysis upon the asset allocation problem has a significative impact on the
performance of portfolios generated by both methods.
Key-Words: Portfolio Optimization, Financial Market, Unsupervised Machine
Learning, KMeans, Black-Litterman, Markowitz.
vii
SIGLAS
NYSE - New York Stock Exchange; Bolsa de valores de Nova Iorque.
NASDAQ - National Association of Securities Dealers Automated Quotations ;
Bolsa de valores eletrônica americana.
S&P500 - Standard & Poor’s 500, ı́ndice do mercado americano de ações.
viii
Conteúdo
1 Introdução 1
1.1 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Delimitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Descrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Teoria de Portfólio e Alocação de Ativos 5
2.1 Carteiras de Investimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Ações e Bolsa de Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Alocação de ativos em carteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Descrição dos Modelos 8
3.1 Teoria Moderna de Portfólio e Markowitz . . . . . . . . . . .. . . . . 8
3.1.1 Retorno Esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.2 Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.3 Diversificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.4 Fronteira Eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.5 Definição dos Parâmetros do Modelo de Markowitz . . . . . . 11
3.1.6 Otimização de Média-Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.7 Problemas com a teoria de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 O Modelo de Black-Litterman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Equiĺıbrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Definindo Opiniões do Investidor . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ix
3.2.3 A fórmula de Black-Litterman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.4 Definição dos Parâmetros do Modelo de Black-Litterman . . . 17
3.2.5 Definido as Opiniões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.6 Nova Fronteira Eficiente e Escolha do Portfólio Otimizado . . 21
3.3 Uso de Clusterização na Alocação de Ativos . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Trabalhos Anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 O Algoritmo de Clusterização Escolhido: KMeans . . . . . . . 22
3.3.3 Definição das métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Aplicação dos Modelos 23
4.1 Aplicação dos Modelos Sem Clusterização . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Aplicação dos Modelos Com Clusterização . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Simulação de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.1 Portfólios Calculados em uma Única Data . . . . . . . . . . . 26
4.3.2 Portfólios Recalculados de 2 em 2 Meses . . . . . . . . . . . . 26
5 Resultados 28
5.1 Parâmetros para Simulação de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.1 Janela Temporal Considerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.2 Taxa Livre de Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Simulação sem Clusterização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Geração das Fronteiras Eficientes e Portfólios Otimizados . . . 29
5.2.2 Simulação de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Simulações com Clusterização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.1 Os Resultados da Clusterização . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.2 Resultados das Simulações com Clusterização por Retorno
Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.3 Resultados das Simulações com Clusterização por Taxa Sharpe 41
5.4 Resumo dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.1 Potfólios Calculados em Data Espećıfica . . . . . . . . . . . . 46
5.4.2 Potfólios Recalculados a Cada 2 Meses . . . . . . . . . . . . . 47
6 Conclusão 50
x
Bibliografia 52
xi
Lista de Figuras
3.1 Exemplo de Fronteira Eficiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Exemplo de Fronteira Eficiente com portfólio escolhido. . . . . . . . . . . 14
3.3 Diagrama de combinação do modelo de Black-Litterman. . . . . . . . . . 20
4.1 Diagrama de blocos da aplicação dos modelos sem clusterização. . . . . . 25
5.1 Fronteiras Eficientes calculadas para a primeira simulação sem Clusterização. 30
5.2 Pesos dados a cada ação dos portfólios otimizados escolhidos. . . . . . 30
5.3 Retornos diários dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018 . . . . . . 32
5.4 Retornos totais dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018 . . . . . . . 32
5.5 Volatilidades dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018 . . . . . . . . 33
5.6 Retornos diários dos portfólios com recálculo dos pesos. . . . . . . . . . . 34
5.7 Retornos totais dos portfólios com recálculo dos pesos. . . . . . . . . . . 34
5.8 Volatilidades dos portfólios com recálculo dos pesos. . . . . . . . . . . . . 35
5.9 “Elbow Curve” para a clusterização usando retornos históricos das ações. . 36
5.10 Resultado da clusterização KMeans para valores de retorno histórico. . . . 37
5.11 Elbow Curve para a clusterização usando taxa Sharpe das ações. . . . . . 38
5.12 Resultado da clusterização KMeans para taxa Sharpe. . . . . . . . . . . . 38
5.13 Fronteiras Eficientes calculadas após Clusterização de retornos históricos. . 39
5.14 Retornos totais dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018 após Clus-
terização de retornos históricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.15 Volatilidades dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018 após Cluste-
rização de retornos históricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.16 Retornos totais dos portfólios com recálculo dos pesos após clusterização
de retornos históricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
xii
5.17 Volatilidades dos portfólios com recálculo dos pesos após clusterização de
retornos históricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.18 Fronteiras Eficientes calculadas após Clusterização por taxa Sharpe. . . . 43
5.19 Retornos totais dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018 após clus-
terização por taxa Sharpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.20 Volatilidades dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018 após cluste-
rização por taxa Sharpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.21 Retornos totais dos portfólios com recálculo dos pesos após clusterização
por taxa Sharpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.22 Volatilidades dos portfólios com recálculo dos pesos após clusterização por
taxa Sharpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
xiii
Lista de Tabelas
5.1 Tabela de Ações Escolhidas para Simulação sem Clusterização . . . . 29
5.2 Retornos totais obtidos pelos portfólios calculados no dia 01/06/2018
utilizando cada técnica de alocação de ativos. . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Volatilidades calculadas para cada portfólio calculado no dia 01/06/2018
utilizando cada uma das técnicas de seleção de ativos. . . . . . . . . . 47
5.4 Retornos totais obtidos pelos portfólios recalculados a cada 2 meses
utilizando cada técnica de seleção de ativos. . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5 Volatilidades calculadas para cada portfólio recalculados a cada 2
meses, utilizando cada uma das técnicas de seleção de ativos. . . . . . 49
xiv
Caṕıtulo 1
Introdução
1.1 Tema
No mundo financeiro, o processo de alocação de riqueza em ativos que compõem
carteiras de investimento é um desafio frequente a ser resolvido. Diversos modelos
e técnicas foram propostos para resolver esse problema, como a proposta por Harry
Markowitz [1] de otimização de média-variância, e outra proposta por Fischer Black
e Robert Litterman [2] que utiliza conceitos de equiĺıbrio de mercado para resolver
problemas da otimização de Markowitz.
Com o avanço da tecnologia computacional, novas técnicas foram propostas, apli-
cando conceitos de aprendizado de máquina para desenvolver novas soluções para o
problema. O tema deste trabalho é: estudar o desempenho de portfólios gerados pelo
modelo de Black e Litterman comparados aos gerados pelo modelo de Markowitz,
e utilizar a técnica de Clusterização aliada ao modelo de Black e Litterman para
potencializar o processo de alocação de ativos e otimização de carteiras, estudando
seu desempenho e comparando a um ı́ndice de mercado e ao desempenho do modelo
de Markowitz com Clusterização.
1.2 Delimitação
O estudo consiste em construir, simular resultados e medir o desempenho de
carteiras de investimento compostas por ações listadas nas bolsas NYSE e NASDAQ
1
dos Estados Unidos, que compõem o ı́ndice Standard & Poor’s 500 (S&P500). Os
dados financeiros utilizados foramobtidos através da plataforma da Yahoo! Finance,
plataforma de divulgação gratuita de informações e cotações de ı́ndices financeiros
da Yahoo!.
As técnicas de alocação de ativos e otimização de portfólio propostas por Mar-
kowitz e Black e Litterman serão utilizadas para gerar carteiras de investimento
teóricas, que terão seus valores de retorno diário simulados com os dados financeiros
obtidos. Com os dois modelos, será comparada o desempenho pré e pós inclusão
da etapa de Clusterização para pré-seleção de ativos assim como os desempenhos
dos modelos entre si para as mesmas janelas temporais, sob as mesmas condições.
Também será comparado e avaliado o desempenho dos modelos com o desempenho
do ı́ndice de mercado S&P500.
Os algoritmos desenvolvidos para esse trabalho para obtenção de dados históricos,
geração de carteiras e simulações de desempenho utilizaram a linguagem de pro-
gramação Python [3], e o algoritmo de clusterização utilizado foi obtido da biblioteca
Scikit-Learn [4] para Python.
1.3 Motivação
Diversas teorias e modelos foram propostos para resolver o problema de otimizar
a alocação de riqueza em ativos de um portfólio, sendo uma das teorias mais co-
nhecidas e referenciadas a proposta por Harry Markowitz[1], que introduz com seu
trabalho em 1952 os conceitos principais para a Teoria Moderna de Portfólio.
Após a teoria desenvolvida por Markowitz, diversos outros pesquisadores e eco-
nomistas propuseram técnicas para adequar o processo de alocação de ativos aos
seus próprios requisitos e demandas, procurando também melhorar o processo de
otimização de carteiras. Uma dessas técnicas foi a proposta por Fischer Black e
Robert Litterman [2], que descrevem em seu artigo uma estrutura desenvolvida por
eles derivada da estrutura de Markowitz para construir portfólios de uma forma mais
flex́ıvel para o utilizador da técnica.
2
Recentemente, novas técnicas de alocação de ativos e otimização de carteiras
começaram a surgir. Soluções envolvendo Redes Neurais [5, 6] e Clusterização [7, 8,
9, 10] são exemplos de soluções que mostram resultados promissores e ganham cada
vez mais atenção.
O modelo de otimização proposto por Markowitz continua sendo um dos mais
conhecidos e referenciados pela bibliografia. No entanto, este possui algumas falhas
e cŕıticas que dificultam sua implementação prática. Ainda assim, grande parte dos
estudos das novas técnicas utiliza este modelo como ponto de partida, com grande
parte dos trabalhos procurando utilizar novas ferramentas para resolver os problemas
já conhecidos do modelo tradicional. Alguns estudos realizados [7, 8] indicam que a
técnica de Clusterização aplicada ao modelo de Markowitz consegue atacar alguns
destes problemas e tem um impacto positivo no desempenho dos portfólios gerados.
Sendo o modelo de Black-Litterman uma das técnicas que já procurou solucionar
alguns dos problemas da alocação de Markowitz e tendo relevância teórica e prática
considerável, a motivação do trabalho foi aplicar a técnica de Clusterização nos dois
modelos e estudar seu impacto nos desempenhos, buscando uma nova abordagem
aplicada a um modelo mais recente e que tem recebido destaque [11].
1.4 Objetivos
O Objetivo principal do trabalho é analisar o impacto gerado pela aplicação de
técnicas de Clusterização no modelo de Black-Litterman e de Markowitz. Também
é objetivo do trabalho estudar o desempenho do modelo de Black-Litterman em
relação ao de Markowitz, justificando sua relevância como uma técnica para alocação
de ativos.
1.5 Metodologia
Para que os objetivos sejam atendidos foi realizado: (1) Geração de portfólios de
ações das bolsas americanas NYSE e NASDAQ utilizando as duas técnicas sem a
aplicação de nenhuma técnica de Clusterização; (2) Seus desempenhos foram simu-
3
lados através de dados históricos reais de mercado dos valores de fechamento das
ações em caráter diário; (3) Novos portfólios foram gerados para as duas técnicas
com a aplicação de Clusterização, e seus resultados simulados como no item 2; (4)
Os desempenhos dos portfólios foram apresentados na mesma janela temporal para
que os modelos pudessem ter suas caracteŕısticas comparadas.
1.6 Descrição
No Caṕıtulo 2 será descrito um breve histórico do mercado de ações e das bolsas
de valores americanas e o problema de alocação de ativos no mercado financeiro.
O Caṕıtulo 3 apresenta as bases teóricas utilizadas por Markowitz e Black-Litterman
para a elaboração de seus modelos e a fundamentação teórica dos modelos em si,
assim como e aplicação dos modelos de Markowitz e Black-Litterman. Também é
explicitada a técnica de Clusterização escolhida e como os critérios de seleção de
ativos foram determinados.
O Caṕıtulo 4 detalha o método utilizado para gerar os portfólios iniciais a serem
simulados, como os resultados da clusterização foram aplicados para a geração de
novos portfólios e como as simulações foram realizadas.
O Caṕıtulo 5 apresenta e faz comentários sobre os resultados obtidos através dos
diferentes métodos utilizados.
O Caṕıtulo 6 faz uma conclusão tomada a partir dos resultados obtidos e comenta
sobre posśıveis trabalhos futuros.
4
Caṕıtulo 2
Teoria de Portfólio e Alocação de
Ativos
Este caṕıtulo busca fornecer uma visão geral da tarefa de se escolher uma carteira
de ativos de investimento, como ações são negociadas em bolsas de valores e como
é o processo de alocação de ativos em uma carteira.
2.1 Carteiras de Investimento
Quando um ind́ıviduo deseja investir seu dinheiro no mercado financeiro, umas
das técnicas mais comuns é montar uma carteira de investimento ou comprar parti-
cipações em fundos que possuem suas próprias carteiras. Carteiras de investimento,
também chamadas de portfólios, são conjuntos de ativos financeiros que pertencem
a um investidor. Podem ser constitúıdas de diversos tipos de ativos, como ações,
t́ıtulos públicos, fundos, opções, entre outros.
Ativo financeiro é um termo utilizado para descrever algo em que se investe di-
nheiro com esperança de que irá trazer uma riqueza futura. As carteiras de investi-
mento permitem que o investidor possa diversificar a aplicação do seu dinheiro, com
o objetivo de diminuir o seu risco, trazendo menos volatilidade ao portfólio.
5
2.1.1 Ações e Bolsa de Valores
Uma ação é um tipo de ativo que representa a menor fração do capital de uma
empresa, e é, mais comumente, negociada em bolsas de valores ao redor do mundo.
Uma empresa emite ações na bolsa de valores com o objetivo de arrecadar capital, e
os compradores dessas ações passam a ser sócios daquela empresa durante o intervalo
de tempo em que possuem estes ativos.
Os mercados de ações são por definição uma agregação de compradores e ven-
dedores, não entidades ou construções f́ısicas. As bolsas de valores são mercados
organizados onde se negociam ativos financeiros, dentre eles, ações. Ações também
podem ser negociadas de forma privada, ou seja, fora do ambiente das bolsas de
valores.
O mercado de ações é uma das principais formas empregadas por empresas e
outras organizações para levantar fundos e arrecadar capital. A usual liquidez das
ações, a facilidade com que se pode comprá-las ou vendê-las, é uma das maiores
facilidades que atrai investidores interessados em ingressar no mercado de ações.
Investidores compram ações em bolsa com o objetivo principal de acumular ri-
queza, seja através de participações nos lucros da empresa ou através de especulação
sobre o valor de face da ação, buscando comprá-la por um valor mais baixo e ven-
der quando seu valor se elevar. Um comprador de ações obtém riqueza a partir
do crescimento no valor da ação detida. Conforme o valor das ações que compõem
sua carteira de investimentocresce, a sua carteira e consequentemente sua riqueza
passam a ter um valor maior.
A bolsa de valores de Nova Iorque, a NYSE, foi uma das primeiras bolsas a se-
rem criadas no mundo em 1792, e se tornou desde cedo a maior bolsa de valores
do continente americano. Possui mais de 2.400 ativos listados e uma capitalização
de mercado de mais de 21.3 trilhões de dólares.[12]. Já a bolsa de NASDAQ sur-
giu em 1971 e não é uma bolsa f́ısica, sendo um mercado de ações completamente
eletrônico. A NASDAQ possui mais de 3058 companhias listadas e tem um valor
de capitalização de mercado de 6.8 trilhões de dólares [12]. Enquanto a NYSE é
6
famosa por listar companhias maiores e mais tradicionais no mercado, a NASDAQ
é conhecida por listar companhias relacionadas à tecnologia, e também por listar
companhias geralmente mais voláteis.
O ı́ndice de mercado S&P500 é um ı́ndice do mercado americano composto por
ações das 500 maiores empresas listadas nas bolsas de NYSE e NASDAQ. Ele é in-
dexado utilizando capitalizações de mercado de cada uma das ações listadas, sendo
recalculado continuamente. É também considerado por muitos como um dos melho-
res indicadores da economia e do mercado de ações americanos [13].
O ano de 2018 foi o pior para o mercado de ações americano em 10 anos [14],
com os ı́ndices Dow Jones caindo 5.6%, o ı́ndice S&P500 caindo 6.2% e o ı́ndice da
NASDAQ 4%. “2018 será um ano a ser lembrado por sua volatilidade extrema” [14].
Com isso, a preocupação dos investidores em manterem seus portfólios cada vez mais
robustos e eficientes é um assunto de grande importância no cenário atual.
2.1.2 Alocação de ativos em carteiras
Dado que um investidor deseja comprar ativos para compor sua carteira, começa
a surgir o problema de selecionar quais ativos deseja-se alocar capital para que este
tenha mais chances em satisfazer seus desejos de crescimento de riqueza.
A gestão dos ativos em uma carteira tem como um dos prinćıpios básicos a relação
entre retorno e risco. Esses conceitos começaram a ser tratados a partir das teorias
que estudaram a construção de portfólios e como defini-los, notoriamente a partir
da Teoria Moderna de Portfólio, iniciada por Harry Markowitz.
7
Caṕıtulo 3
Descrição dos Modelos
3.1 Teoria Moderna de Portfólio e Markowitz
Markowitz definiu as bases para a Teoria Moderna de Portfólio em 1952 com seu
artigo Portfolio Selection [1]. O problema de alocação de ativos em um portfólio
foi tratado por Markowitz como uma escolha entre retorno esperado e variância do
portfólio.
Markowitz parte do prinćıpio de que investidores costumam buscar maximizar a
taxa retorno versus risco de seu portfólio, considerando retorno esperado um fator
desejado e a variância do portfólio (a medida de risco) um fator indesejado. A
partir deste prinćıpio, investidores buscam sempre portfólios que possuem um maior
retorno esperado para o mesmo valor de risco, e vice-versa.
Dessa forma, o “portfólio otimizado” seria aquele que ofereceria o maior retorno
esperado para um determinado risco associado, definido por Markowitz como a
variância entre os ativos que constituem o portfólio.
3.1.1 Retorno Esperado
Dado um portfólio constituido por N ativos, definimos wi = [w1, w2, w3, . . . , wN ]
como sendo o valor que representa a porcentagem de riqueza investida em cada ativo.
A teoria de Markowitz adota por simplificação que não são consideradas vendas a
descoberto (onde investidores “alugam”ações, por exemplo), então a soma de todos
8
os pesos é:
∑N
i=1wi = 1
Definindo o retorno de um ativo como Ri e seu valor esperado como E(Ri), o
retorno total do portfólio considerado será:
Rp =
N∑
i=1
wiRi (3.1)
E seu retorno esperado:
E(R) =
N∑
i=1
wi.E(Ri) (3.2)
Como estimar valores de retorno para ativos no mercado financeiro é uma tarefa
trabalhosa e com muitas incertezas, uma das alternativas práticas mais adotadas
como valor de retorno esperado é a da média histórica dos valores de uma ação.
Esse conceito parte do prinćıpio que o preço de um ativo corresponde a uma variável
aleatória e que sua distribuição se assemelha à uma distribuição normal.
3.1.2 Risco
Markowitz define a medida de risco de um portfólio como o desvio padrão dos
retornos de cada ativo, que por sua vez é calculado da seguinte forma:
Dados os retornos Ri dos ativos que constituem um portfólio e seus valores espe-
rados E(Ri), a covariância entre dois ativos i e j é definida como:
σij = E([Ri − E(Ri)][Rj − E(Rj)]) (3.3)
A variância total dos retornos portfólio é expressa da forma:
σ2p =
∑
i
∑
j
wiwjσij (3.4)
E a volatilidade dos retornos do portfólio é o desvio padrão:
σp =
√
σ2p (3.5)
9
3.1.3 Diversificação
A teoria moderna de portfólio diz que um investidor pode reduzir o ńıvel de risco
de seu portfólio ao selecionar ativos para sua carteira que não sejam perfeitamente
correlacionados [1]. Isso é conhecido como diversificação do portfólio.
Dessa forma, a teoria diz que é posśıvel aumentar o valor de retorno esperado de
um portfólio sem necessariamente aumentar seu risco, através da diversificação dos
ativos escolhidos.
Porém a contribuição dessa diversificação possui um limite prático, onde não se
consegue diminuir o risco para um determinado valor de retorno. Esse limite é
determinado pela “fronteira eficiente”.
3.1.4 Fronteira Eficiente
A fronteira eficiente é um conjunto de portfólios que oferece o maior ńıvel de
retorno esperado para um determinado ńıvel de risco e vice-versa.
A fronteira eficiente é obtida através do cálculo de retorno e risco de cada com-
binação posśıvel de ativos considerados no momento da alocação. Os portfólios que
apresentam o maior valor de retorno para o mesmo ńıvel de risco constituem a cha-
mada “fronteira eficiente”e são considerados portfólios ótimos para cada ńıvel de
volatilidade.
Um exemplo de fronteira eficiente pode ser vista na Figura 3.1. O que constitui
a fronteira é a parte superior da hipérbole, e cada ponto da hipérbole constitui um
portfólio ótimo segundo a teoria de Markowitz, onde o retorno esperado é maximo
para aquele ńıvel de volatilidade, dado o universo de ativos considerado.
Ainda de acordo com a teoria de Markowitz, investidores estariam sempre procu-
rando por portfólios pertencentes à fronteira, que maximizam o retorno para o risco
que estariam dispostos a tomar.
10
Figura 3.1: Exemplo de Fronteira Eficiente. O eixo vertical corresponde ao
retorno esperado e o eixo horizontal à volatilidade do portfólio da curva.
A otimização de média-variância, nome pelo qual ficou conhecida a técnica pro-
posta por Markowitz para encontrar um portfólio otimizado, consiste então em apli-
car o modelo de Markowitz para traçar a Fronteira Eficiente de carteiras posśıveis.
A partir dáı deve-se escolher a carteira que maximize a função utilidade do inves-
tidor, ou seja, deve-se escolher a carteira da fronteira que satisfaz aos requisitos de
retorno versus risco espećıficados pelo investidor.
3.1.5 Definição dos Parâmetros do Modelo de Markowitz
Primeiramente, é definido o universo de ativos a serem selecionados para a com-
posição da carteira. Dado um númeroN de ativos selecionados, o primeiro parâmetro
a ser especificado para a aplicação do modelo é o vetor de retornos esperados E(R),
um vetor coluna de tamanho N .
Como estimar valores de retorno para cada ativo é uma tarefa não-trivial, o proce-
dimento assume que o valor do retorno de um ativo se aproxima de uma distribuição
normal e que a média de retornos históricos de cada ativo seja utilizada.
11
Neste trabalho, ações são utilizadas por sua simplicidade em determinação do valor
financeiro. O valor histórico utilizado é o de fechamento da ação em um determinado
dia, e sua média é calculada a partir da média dos valores de fechamentodo peŕıodo
de análise para utilização do modelo.
Assim, agrupando os valores de fechamento de uma ação i escolhida dentro do
conjunto N em um vetor Pi = [p0, p1, p2, . . . , pd], onde pd corresponde ao valor de
fechamento da ação no último dia do peŕıodo de análise. Podemos definir o vetor
de retornos diários:
Ri = [r1, r2, r3, . . . , rd]; (3.6)
onde
rj =
(pj − pj−1)
pj−1
; j = [1, 2, 3, . . . , d]; (3.7)
E o vetor de retornos médios (esperados) é:
E(R) =

R1
R2
...
RN
 (3.8)
Uma vez determinado o vetor de retornos médios, utiliza-se a Equação 3.3 para
calcular a matriz de covariância dos retornos:
C =

σ11 σ12 . . . σ1N
σ12 σ22 . . . σ2N
...
...
. . .
...
σ1N σ2N . . . σNN
 (3.9)
3.1.6 Otimização de Média-Variância
Após os parâmetros E(R) e C terem sido calculados, deve-se traçar a fronteira
eficiente dos portfólios constitúıdos pelos ativos escolhidos. Isso é feito através da
combinação dos ativos em carteiras de teste e do cálculo da variância. As carteiras
que possúırem a menor variância para cada retorno espećıfico são então escolhidas
e constituem pontos na fronteira.
12
Após os parâmetros terem sido calculados, para que o portfólio otimizado seja
calculado, deve-se escolher uma Função Utilidade a ser maximizada. Uma Função
Utilidade descreve a preferência do investidor na relação retorno versus risco.
Grande parte dos estudos utiliza uma função utilidade quadrática ou a “Taxa
Sharpe”[15]. Neste trabalho, o critério definido para determinar o portfólio otimi-
zado foi utilizar a Taxa Sharpe como função utilidade devido ao seu uso frequente
em outros estudos similares.
A Taxa Sharpe (SR) é definida como:
SR =
Rp − rf
σp
(3.10)
Onde:
Rp - Retorno do portfólio (Eq. 3.1).
rf - Taxa Livre de Risco
σp - Desvio padrão do portfólio (Eq. 3.5).
Assim, a carteira otimizada escolhida é a de maior taxa Sharpe dentro do conjunto
de carteiras eficientes. A Figura 3.2 mostra um exemplo de fronteira eficiente, com
o portfólio de maior taxa Sharpe escolhido.
3.1.7 Problemas com a teoria de Markowitz
Markowitz recebeu diversos prêmios e é considerado por alguns como “Pai da
Teoria Moderna de Portfólio” [16], mas seu modelo de alocação de ativos e otimização
foi criticado por depender fortemente do conjunto de retornos esperados dos ativos
a serem selecionados, e de gerar portfólios com uma diversificação relativamente
pequena.
Seu modelo também assume que o utilizador forneça estimativas dos valores de
retorno esperado e de variâncias e covariâncias para um intervalo definido de tempo.
13
Figura 3.2: Exemplo de Fronteira Eficiente com portfólio escolhido indicado
pelo ponto preto da curva.
Com isso, diversos trabalhos foram realizados que utilizam os conceitos principais
de Markowitz, mas que procuram resolver seus problemas. Um deles é o proposto
por Fischer Black e Robert Litterman
3.2 O Modelo de Black-Litterman
Fischer Black e Robert Litterman publicaram em seu artigo [2] um modelo de
alocação de ativos que trouxe duas grandes contribuições à solução do problema de
alocar ativos em carteiras.
Primeiramente, ele não exige que investidores especifiquem os retornos espera-
dos para cada ativo, gerando esses dados a partir de um conceito de equiĺıbrio de
mercado.
Ele também permite que investidores expressem suas opiniões de uma forma
clara sobre quaisquer ativos quiserem, com diferentes graus de confiança e também
forneçam opiniões sobre um ativo relativas a outros ativos financeiros.
14
3.2.1 Equiĺıbrio de Mercado
A primeira contribuição do modelo de Black-Litterman, como ficou conhecido,
é a possibilidade dada aos investidores de utilizar retornos do “equiĺıbrio” como
um ponto neutro de partida para a definição dos retornos esperados exigida pela
otimização de média-variância de Markowitz.
O modelo se baseia na teoria pós-moderna de portfólio para afirmar que os mer-
cados financeiros são eficientes e que portfólios otimizados seriam os “portfólios de
mercado”, portfólios constitúıdos por todos os ativos constituintes do mercado pon-
derados por sua capitalização. De acordo com seu artigo [2], Black e Litterman
afirmam que “é de se esperar que as forças do mercado levem os preços de ativos a
ńıveis onde os retornos esperados se aproximam dos portfólios indexados pelos pesos
de capitalização do mercado”, segundo o modelo de CAPM (Capital Asset Pricing
Model). Dessa forma, os retornos esperados a serem utilizados se aproximam dos
retornos do “equiĺıbrio”.
Em seu trabalho A step-by-step guide to the Black-Litterman model: Incorpora-
ting user-specified confidence levels [17], Idzorek simplifica a aplicação do modelo
explicando como definir o vetor de retornos do “equiĺıbrio”, utilizando um método
de otimização reversa em que o “vetor de retornos de excesso do equiĺıbrio”(Π) é
extráıdo de informações de mercado já conhecidas:
Π = λCwm (3.11)
Onde a fórmula acima corresponde à formula (1) de [17]. Assumimos que o uni-
verso de ativos a serem alocados possui n ativos, cada termo da fórmula corresponde
a:
λ - Coeficiente de aversão ao risco.
C - Matriz de covariâncias dos retornos (n × n).
Wm - Vetor de pesos de cada ativo de acordo com a sua capitalização de
mercado (n × 1).
O coeficiente de aversão ao risco representa a taxa sob a qual um investidor está
disposto a aceitar mais risco dado um retorno maior, ou disposto a abdicar de retorno
15
para ter um portfólio com menos risco associado.
3.2.2 Definindo Opiniões do Investidor
Mesmo que os mercados sejam considerados eficientes, um investidor pode consi-
derar ter informações ou opiniões que possam trazer alguma vantagem e desejar que
elas tenham influência no seu processo de alocação de ativos. O modelo permite que
essas opiniões (chamadas por Black e Litterman em seu modelo de “views”) sejam
integradas diretamente.
Este é outro ponto de grande relevância no modelo de Black-Litterman, a pos-
sibilidade do investidor transmitir suas próprias opiniões sobre o retorno de um
ativo espećıfico, diferente do modelo de Markowitz onde cada retorno deveria ser
especificado. Caso o investidor não tenha o desejo de especificar valores para ne-
nhum ativo, o portfólio otimizado gerado pelo modelo será o gerado pelo modelo do
equiĺıbrio [17, 18].
Um investidor explicita suas opiniões da forma “O ativo A irá valorizar 2% com
um ńıvel de confiança de 50%”ou “O ativo B irá valorizar 3% a mais do que o ativo
C”, por exemplo. Essas opiniões são então traduzidas através da construção de
matrizes a serem introduzidas no modelo.
Essas matrizes, chamadas de P , Q e Ω são definidas a partir de:
Pn×m =

p11 p12 ... p1n
... ... ... ...
pm1 pm2 ... pmn
 ; Q =

q1
q2
...
qm
 ; Ω =

ω1 0 ... 0
0 ω2 ... 0
0 0 ... ωm
 (3.12)
Onde:
m - Número de opiniões do investidor.
n - Número de ativos a serem considerados no processo de alocação.
pij - Valor correspondente a (-1,0,1) dependendo da relação entre um ativo i valorizar
mais (1) ou menos (-1) que o ativo j, sendo 0 para os outros ativos.
qi - Valor absoluto (em porcentagem) de quando um ativo i valoriza em relação ao
16
ativo j.
ωi - Valor que corresponde ao ńıvel de confiança do investidor naquela opinião. Pode
ser especificado de diferentes formas, sendo uma delas a utilizada por Idzorek [17],
que foi a utilizada neste trabalho.
No exemplo mencionado acima, as matrizes ficariam:
Pn×m =
1 0 0
0 1 −1
 ;Q =
2
3
 ; Ω =
0.5 0
0 1
 ;
3.2.3 A fórmula de Black-Litterman
Após a construção do vetor de retornos do equiĺıbrio e da especificação das
opiniões, o modelo de Black-Litterman consiste em combinar as duas etapas para
gerar a fórmula do novo vetor de retornos [17]:
Π′ = [(τC)−1 + P TΩ−1P ]−1 · [(τC)−1Π + P TΩ−1Q](3.13)
Onde:
Π′ - É o novo vetor de retornos. (n × 1).
τ - É uma constante de proporcionalidade [19].
C - Matriz de covariância de retornos (n × n).
Π - Vetor de retornos do equiĺıbrio.
Esse novo vetor de retornos será então a nova entrada para a otimização de média-
variância.
3.2.4 Definição dos Parâmetros do Modelo de Black-Litterman
Assim como no modelo de Markowitz, o vetor de retornos é o primeiro parâmetro
a ser calculado. Para o cálculo do vetor de retornos do equiĺıbrio, sem a integração
de opiniões do investidor, devemos primeiro calcular o portfólio de mercado, de onde
são derivados os parâmetros usados no modelo de Black-Litterman.
17
Utilizando o mesmo universo de ativos definido na Seção 3.1.5, temos um conjunto
de N ativos a serem alocados na carteira. O portfólio de mercado é calculado:
Para cada ativo i em N , definimos o vetor Cp = [cp1, cp2, . . . , cpN ] , onde cpi
corresponde ao valor de capitalização de mercado de cada ativo considerado, obtidos
no momento do cálculo do portfólio.
Assim, o portfólio de mercado será caracterizado por possuir seus pesos propor-
cionais à capitalização do ativo em relação a capitalização total considerada:
wmi =
cpi∑N
i=1 cpi
(3.14)
WM =

wm1
wm2
...
wmN
 (3.15)
Após a caracterização dos pesos portfólio de mercado, seu vetor de retornos es-
perados E(R) e matriz de covariâncias C são calculados utilizando as Equações 3.8
e 3.9. Porém, antes que o vetor de retornos a ser utilizado pelo modelo possa ser
calculado, deve-se definir o fator λ.
Conforme cita Walters, J. em [19], alguns autores calibram o valor de λ conforme
suas necessidades. Neste trabalho, o cálculo para estimar é o mesmo utilizado por
Walters, J. [19] e Idzorek, T [17]:
λ =
Rp − rf
σ2
; (3.16)
Onde:
Rp - Retorno esperado do portfólio de mercado.
rf - Taxa Livre de Risco.
σ2 = W TMCWM - Variância do portfólio de mercado.
18
Uma vez definido λ, utilizamos a fórmula 3.11 para calcular o vetor Π de retornos
de excesso do equiĺıbrio.
3.2.5 Definido as Opiniões
Após o vetor de retornos ter sido definido, deve-se traduzir as opiniões do inves-
tidor nas matrizes Q, P e Ω definidas na Seção 3.2.2. Uma vez que as matrizes
foram formadas, o único fator a ser determinado para que o novo vetor de retornos
do modelo seja calculado é a constante τ .
Conforme descreve Walters, J. [19] em seu trabalho, “a constante τ costuma ser
motivo de dúvida para muitos utilizadores do modelo de Black-Litterman”. Walters
descreve algumas formas de se calcular o valor de τ utilizadas por pesquisadores do
modelo de Black-Litterman, e nota que muitos dos trabalhos utilizam consistente-
mente um valor de τ no intervalo (0.025, 0.05). O cálculo utilizado neste trabalho
foi o sugerido por Walters, J. de aproximar o valor de τ de acordo com a quantidade
de amostras de dados históricos utilizados.
τ =
1
T
; ou τ =
1
T −N
; (3.17)
Onde:
T - Número de amostras utilizadas.
N - Número de ativos considerados.
Uma vez definido o valor de τ , calculamos o novo vetor de retornos, conforme
Equação 3.13. A Figura 3.3 dispõe um diagrama obtido do trabalho de Idzorek,
T. [17] que ilustra o processo de combinação das etapas das Seções 3.2.4 e 3.2.5.
19
Figura 3.3: Diagrama que ilustra a combinação do vetor de retornos do
equiĺıbrio com as opiniões do investidor, para gerar o novo vetor de retornos
do modelo de Black-Litterman. Fonte: “A step-by-step guide to the Black-
Litterman model: Incorporating user-specified confidence levels”[17]
20
3.2.6 Nova Fronteira Eficiente e Escolha do Portfólio Oti-
mizado
Depois que o novo vetor de retornos do modelo de Black-Litterman foi definido,
o mesmo procedimento da Seção 3.1.6 é utilizado para traçar a Fronteira Eficiente.
O cálculo do portfólio otimizado também é feito como na Seção 3.1.6, buscando o
portfólio da fronteira eficiente que maximiza a taxa Sharpe.
3.3 Uso de Clusterização na Alocação de Ativos
3.3.1 Trabalhos Anteriores
A alocação de ativos e otimização de carteiras de investimento também tem sido
objeto de estudo na área de aprendizado de máquina. Alguns trabalhos foram feitos
para estudar posśıveis formas de se melhorar os resultados obtidos pelo modelo de
Markowitz.
Em seu trabalho Tola, V. et al. [20] utilizaram algoritmos de clusterização para
otimização de portfólio e compararam seus resultados à otimização de Markowitz
e a portfólios obtidos através do uso de técnica de filtragem RMT. Seus resultados
mostraram que os métodos envolvendo clusterização conseguem entregar portfólios
mais confiáveis em relação aos resultados prometidos e os obtidos de fato.
León, D. et al. [7] também utilizam a clusterização para alocar ativos em portfólios
em seu trabalho. Eles utilizam sete tipos de clusterização para construir portfólios e
medem seus desempenhos, comparando cada um entre si e com um portfólio gerado
pelo modelo de Markowitz. Eles fazem análises de desempenho utilizando janelas
de 1, 2 e 4 horas e conseguem obter resultados positivos em relação ao modelo
tradicional de Markowitz.
Zhang, J. e Maringer, D. [8] também propõem um método utilizando Clusterização
Hierárquica otimizando a taxa Sharpe para alocar ativos que também consegue
superar o desempenho obtido através de técnicas convencionais de otimização de
portfólio.
21
3.3.2 O Algoritmo de Clusterização Escolhido: KMeans
O algoritmo KMeans tem como objetivo agrupar um conjunto de n dados não
classificados em grupos ou “clusters” de similaridade, através da minimização da
distância euclidiana entre cada dado e o centróide de cada grupo. É um dos algorit-
mos mais rápidos e de simples implementação, mas também um dos mais utilizados
em análises. O algoritmo de KMeans também foi utilizado por outros estudos que
tinham como objetivo utilizar a clusterização para alocação de ativos [7, 9] , com
resultados positivos.
3.3.3 Definição das métricas
Neste trabalho, o objetivo da clusterização é agrupar as ações do ı́ndice S&P500
em grupos para posterior alocação através dos modelos de Markowitz e de Black-
Litterman. Para isso foram realizadas clusterizações em duas métricas: Retornos
históricos dos ativos e a taxa Sharpe.
De forma parecida à alocação de ativos usando a otimização de média-variância,
o processo consiste em obter dados históricos de todas as ações listadas no ı́ndice
S&P500, calcular o vetor de retornos históricos como na Equação 3.8 e calcular o
desvio padrão (volatilidade) para cada ativo. A primeira clusterização utilizada irá
agrupar ativos de acordo com o retorno médio histórico.
Após determinados os valores de retorno médio e desvio padrão de cada ativo,
é calculada a taxa Sharpe de cada ativo, usando a Equação 3.10. Os ativos serão
também agrupados em relação à sua taxa Sharpe e utilizados no processo de alocação
de carteiras.
Após as ações terem sido selecionadas, elas serão utilizadas como o universo de
ações (conjunto N de ativos das Subseções 3.1.5 3.2.4). Esses ativos então serão
selecionados pelos dois modelos e utilizados para construir carteiras eficientes.
O objetivo desta etapa é estudar o impacto no desempenho da pré-seleção utili-
zando clusterização, assim como feito em outros estudos [7, 8] e analisar o impacto
para o modelo de Markowitz e para o modelo de Black-Litterman.
22
Caṕıtulo 4
Aplicação dos Modelos
Este caṕıtulo descreve como os modelos descritos no Caṕıtulo 3 foram utilizados
no trabalho. Primeiramente, detalha como foram feitas as alocações de ativos e
otimizações com um conjunto de ativos pré-selecionados. Depois descreve como a
Clusterização foi aplicada para realizar a pré-seleção de ativos. Por fim, descreve o
processo de simulação de desempenho dos portfólios.
4.1 Aplicaçãodos Modelos Sem Clusterização
Primeiramente, foi determinado que os modelos de Markowitz e Black-Litterman
deveriam ser comparados entre si e com o ı́ndice de mercado escolhido, o ı́ndice
S&P500. Para isso, foram selecionadas ações de 10 empresas com ı́ndices de capi-
talização relativamente altos, e também com grande volume de negociações diárias,
garantindo ações de alta liquidez.
A fim de ilustrar também o impacto das opiniões no modelo de Black-Litterman
foram definidas opiniões de exemplo a respeito de algumas das ações dentro do
conjunto de dados escolhido, e foram gerados um portfólio para o modelo de Black-
Litterman sem opiniões acrescentadas, e outro com as opiniões acrescentadas ao
modelo. As opiniões adicionadas ao modelo foram consideradas utilizando dados de
mercado anteriores às datas de cálculo dos portfólios e foram geradas com o objetivo
de apenas indicar que a inclusão ou não de opiniões gera alteração nos resultados
obtidos por cada portfólio de Black-Litterman, não tendo sido geradas com objetivo
23
de melhorar o desempenho do portfólio com opiniões inclúıdas.
Uma vez definidos o conjunto de ações a serem alocados, o conjunto de dados
históricos das ações foi dividido em um conjunto de treino e outro de testes, para
posterior simulação de resultados. Sobre o conjunto de dados de treino, foram apli-
cados os modelos de Markowitz e Black-Litterman para traçar as fronteiras eficientes
de cada modelo, e para escolher o portfólio ótimo a ser simulado. Um diagrama deste
processo pode ser visto na Figura 4.1.
Após os 3 portfólios ótimos terem sido gerados e definidos (um através do modelo
de Markowitz, um do modelo de Black-Litterman sem opiniões e um do modelo
de Black-Litterman com opiniões), o conjunto de dados de teste foi utilizado para
cálcular o desempenho de cada portfólio.
4.2 Aplicação dos Modelos Com Clusterização
Depois que os resultados dos modelos sem aplicação da Clusterização foram obti-
dos, a próxima etapa do trabalho foi utilizar a Clusterização para definir o conjunto
de ativos a serem alocados.
Os ativos foram agrupados de duas formas diferentes: considerando seu retorno
médio e volatilidade para o conjunto de dados de teste, e considerando sua taxa
Sharpe e volatilidade para o conjunto de teste. No primeiro caso, foi selecionado
o conjunto de ativos pertencentes ao cluster de maior retorno médio, e no segundo
foram selecionados os pertencentes ao cluster de maior taxa Sharpe.
A partir da definição dos dois conjuntos de ações, o procedimento descrito na Seção
4.1 foi repetido para cada conjunto resultante, gerando novas fronteiras eficientes e
novos portfólios otimizados. Depois, foram feitas simulações considerando a mesma
janela histórica para que os desempenhos dos portfólios pudessem ser comparados
entre si.
24
Figura 4.1: Diagrama de blocos que ilustra o caminho dos dados financei-
ros até a geração dos portfólios otimizados. Os caminhos tracejados indicam
quando foi utilizado uma das métricas de clusterização para a seleção dos
ativos.
25
4.3 Simulação de Desempenho
A partir do conjunto de dados de teste e dos portfólios gerados, foram feitos dois
tipos de simulação: Com cálculo em uma única data e com recálculo dos portfólios
de 2 em 2 meses até a data de fim da simulação.
4.3.1 Portfólios Calculados em uma Única Data
Para esta simulação, os portfólios foram calculados em uma data espećıfica de-
finida previamente. Esta data separa o conjunto de dados em conjunto de treino,
definida até a data de cálculo do portfólio; e em conjunto de teste, definida a partir
da data de cálculo até o último dia de simulação.
A partir da data de ińıcio das simulações, foi calculado o retorno diário de cada
portfólio para cada dia do conjunto de teste, utilizando as Equações 3.7 e 3.1. Estes
retornos diários foram somados para calcular o crescimento em valor do portfólio
até a última data de avaliação.
A ńıvel de comparação com o indicador de mercado financeiro, o mesmo procedi-
mento foi aplicado para o ı́ndice S&P500, com o retorno diário do ı́ndice calculado e
somado para avaliar o crescimento de riqueza de um investidor que tivesse escolhido
investir apenas no ı́ndice.
4.3.2 Portfólios Recalculados de 2 em 2 Meses
Na outra simulação realizada, os portfólios foram calculados em datas espećıficas
definidas previamente, com um intervalo entre elas de 2 meses. Cada portfólio foi
calculado em uma data inicial, teve seus valores de retorno diário calculados até a
próxima data de recálculo e otimização.
Quando a próxima data de recálculo era atingida, o conjunto de dados de teste
passava a contemplar desde a data inicial de obtenção dos dados até a data de
recálculo, visto que esses valores já teriam sido observados por um investidor que
estivesse interessado em otimizar o portfólio para aquela determinada data.
26
Após a geração de novos portfólios otimizados na data de recálculo, os novos
retornos passavam a ser calculados novamente e acrescentados ao desempenho total
de cada carteira. Esses desempenhos também foram comparados ao desempenho
do indicador S&P500, como tentativa de observar qual poderia ser uma melhor
estratégia.
27
Caṕıtulo 5
Resultados
Este caṕıtulo descreve os parâmetros utilizados para a realização das simulações,
apresenta os resultados obtidos por cada tipo de simulação e compara os resultados
dos portfólios gerados pelos modelos de Markowitz e de Black-Litterman entre si e
com o ı́ndice de mercado S&P500.
5.1 Parâmetros para Simulação de Resultados
Esta seção descreve os parâmetros utilizados para a realização da simulação. Ex-
plicita a janela temporal e a taxa livre de risco utilizadas.
5.1.1 Janela Temporal Considerada
O peŕıodo considerado para análise histórica foi do dia 1 de Fevereiro de 2017
ao dia 1 de Fevereiro de 2019, considerando dados diários das bolsas de valores
americanas. A escolha dessas datas foi baseada na intenção de simular resultados
recentes no trabalho, e estudar a performance dos modelos mesmo com uma janela
temporal relativamente pequena, analisando também o desempenho dos portfólios
em um peŕıodo de grande volatilidade no mercado de ações americano [14].
5.1.2 Taxa Livre de Risco
Como os dados de mercado, o ı́ndice financeiro para comparação (S&P500) e as
simulações foram feitas utilizando dados históricos do mercado americano, a taxa
28
livre de risco escolhida foi o valor das Treasury Bills americanas de 3 meses, corres-
pondendo ao padrão mais utilizado por investidores.
5.2 Simulação sem Clusterização
Esta seção apresenta os resultados obtidos para as simulações realizadas sem o
uso da clusterização para a pré-seleção de ações. São apresentados e analisados
os resultados da simulação com cálculo em apenas uma data e a simulação com
recálculo dos portfólios.
5.2.1 Geração das Fronteiras Eficientes e Portfólios Otimi-
zados
A primeira simulação realizada foi a explicada na Seção 4.3.1. Os portfólios fo-
ram calculados para a data 01/06/2018 , e seu desempenho medido a partir de
04/06/2018 até 02/01/2019.
Primeiramente foram calculadas as fronteiras eficientes para cada portfólio. Elas
podem ser vistas na Figura 5.1, com os portfólios otimizados escolhidos para cada
modelo utilizado. As ações selecionadas para esta etapa do trabalho, assim como a
caracterização de cada portfólio escolhido pode ser vista na Tabela 5.1.
Tabela 5.1: Tabela de Ações Escolhidas para Simulação sem Clusterização
Ação Empresa Segmento de Atuação Pesos Markowitz Pesos BL Equiĺıbrio Pesos BL com opiniões
AAPL Apple Inc. Tecnologia 9.52% 18.00% 10.80%
AMZN Amazon.com, Inc. Comércio Eletrônico 57.38% 17.24% 17.27%
CVX Chevron Corporation Energia 5.41% 4.92% 15.44%
GOOG Alphabet Inc.Tecnologia 0.00% 16.96% 14.54%
JNJ Johnson & Johnson Farmacêutica 0.00% 7.57% 14.81%
MGP MGM Growth Properties LLC Hotelaria 18.47% 0.19% 0.15%
MSFT Microsoft Corporation Tecnologia 9.21% 18.24% 7.69%
PG The Procter & Gamble Company Bens de consumo 0.00% 5.30% 5.22%
WFC Wells Fargo & Company Financeiro 0.00% 4.69% 4.71%
XOM Exxon Mobil Corporation Energia 0.00% 6.90% 9.36%
29
Figura 5.1: Fronteiras Eficientes calculadas para o dia 01/06/2018. Cada
modelo utilizado é representado por uma cor, e as caracteŕısticas dos portfólios
escolhidos estão ilustradas nos pontos pretos de cada curva.
(a) (b)
(c)
Figura 5.2: Pesos dados a cada ação dos portfólios otimizados escolhidos.
30
Observando a Tabela 5.1 e a Figura 5.2, pode-se observar que a diversificação
do portfólio de Markowitz foi a pior entre as três, e que os portfólios gerados pelo
modelo de Black-Litterman tiveram maior sucesso na diversificação, justificado pelo
modelo utilizar o conceito de equiĺıbrio de mercado.
5.2.2 Simulação de Resultados
Após os cálculos dos portfólios, os retornos diários e os retornos totais foram
simulados para o conjunto de dados de teste. Os resultados podem ser vistos nas
Figuras 5.3 e 5.4 e todos representam a porcentagem de crescimento em relação do
valor inicial do portfólio.
Dados os resultados obtidos nessa primeira simulação, pode ser observado pela
Figura 5.4 que todos os portfólios simulados tiveram desempenho superior ao ı́ndice
de mercado S&P500, a menos do portfólio gerado pelo modelo de Markowitz (em
vermelho) que entre os meses de Outubro e Dezembro teve uma queda abrupta de
performance. Esta queda foi posteriormente compensada por um crescimento em
seu valor, que levou a ter o maior retorno total ao final da simulação. Os portfólios
gerados pelo modelo de Black-Litterman (em azul e em verde) apresentaram uma
estabilidade considerável em relação ao ı́ndice de mercado usado como comparação,
tendo desempenho superior na quase totalidade da janela de simulação.
Essas observações podem ser confirmadas ao se analisar as volatilidades calculadas
sobre o retorno de cada portfólio, ilustradas no gráfico da Figura 5.5. O porftólio de
Markowitz foi o que apresentou maior volatilidade, justificando as variações brus-
cas de desempenho deste portfólio observadas no gráfico de retornos totais. Vale
observar também que as volatilidades dos portfólios de Black-Litterman foram con-
sideravelmente menores, se aproximando da volatilidade do ı́ndice de mercado, que
já se era esperado ter a menor volatilidade entre os portfólios considerados.
Também vale observar que os retornos alcançados e as volatilidades reais obtidas
foram diferentes das “prometidas”quando os portfólios foram calculados, vistos na
Figura 5.1. Esse fenômeno já havia sido descrito por outros trabalhos. Em [20],
31
Figura 5.3: Retornos diários dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018
Figura 5.4: Retornos totais dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018
32
Figura 5.5: Volatilidades dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018
o autor observa que os valores de retorno e risco previstos e efetivos do portfólio
gerado usando o modelo de Markowitz possuem uma diferença significativa entre si.
Para a simulação dos portfólios com recálculo dos pesos, foi considerada a mesma
janela de testes, com os portfólios sendo recalculados a cada dois meses. Os retornos
diários de cada portfólio e os retornos totais podem ser vistos nas Figuras 5.6 e 5.7.
Ao observar o gráfico da simulação realizada com o recálculo dos pesos (Figura 5.7,
pode se observar que o portfólio gerado pelo modelo de Markowitz ganhou relativa
estabilidade, ao preço de ter um retorno ao final da simulação menor do que para
o portfólio calculado em uma única data. Como o portfólio gerado pelo modelo de
Markowitz possui uma diversificação menor e o vetor de retornos históricos tem um
grande impacto na definição dos pesos, a data de cálculo é cŕıtica para o desempenho
do portfólio.
Já os portfólios gerados pelo modelo de Black-Litterman apresentaram uma esta-
bilidade muito parecida com a da simulação de cálculo em uma única data. Isso pode
ser justificado pelo equiĺıbrio proposto pelo próprio modelo, que utiliza principal-
33
Figura 5.6: Retornos diários dos portfólios com recálculo dos pesos.
Figura 5.7: Retornos totais dos portfólios com recálculo dos pesos.
34
Figura 5.8: Volatilidades dos portfólios com recálculo dos pesos.
mente as capitalizações de mercado para definir os pesos do portfólio. Como a janela
temporal utilizada foi relativamente curta, as variações nas capitalizações de mer-
cado das ações escolhidas não foi tão impactante e os portfólios de Black-Litterman
variaram pouco. Pode-se observar no entanto, que para esse tipo de simulação com
recálculo dos portfólios, o modelo de Black-Litterman com especificação de opiniões
foi beneficiado, conseguindo um desempenho melhor do que os outros portfólios e
do que o ı́ndice de mercado.
Analisando as novas volatilidades realizadas dos portfólios na Figura 5.8, pode-se
observar que a volatilidade do portfólio gerado com o modelo de Markowitz sofreu
uma redução, justificando a observação de que o portfólio apresentou maior estabi-
lidade em relação ao gerado na simulação anterior. Para os portfólios gerados pelo
modelo de Black-Litterman, as volatilidades sofreram poucas alterações, justificando
o comportamento visto ao se analisar as Figuras 5.4 e 5.7
35
Figura 5.9: Elbow Curve para a clusterização usando retornos históricos das
ações.
5.3 Simulações com Clusterização
Nesta seção são apresentados os resultados dos tipos de clusterização realiza-
dos e das simulações realizadas após utilizar o conjunto de ações selecionadas por
cada clusterização para gerar os portfólios. Primeiramente, discute-se a escolha do
número de clusters e os critérios utilizados para selecionar os ativos após os resul-
tados da clusterização. Posteriormente, são ilustrados e analisados os resultados
obtidos por cada portfólio gerado após a utilização das ações alocadas por cada
etapa de clusterização para os dois tipos de simulação considerados.
5.3.1 Os Resultados da Clusterização
O primeiro tipo de clusterização feito foi considerado utilizando o retorno histórico
de cada ação listada na S&P500 como definidor dos grupos. A fim de definir um
número adequado para a quantidade de grupos a ser definida, foi traçada uma curva
do tipo Elbow Curve, que expressa a soma de erros ao quadrado (SSE ) em relação
ao número de grupos para o conjunto de dados utilizados. A partir do gráfico, foi
escolhido utilizar 5 clusters para a definição dos ativos selecionados.
O resultado da clusterização pode ser visto na Figura 5.10. A partir do resultado
da clusterização, as ações do grupo de maior retorno (visto em verde na Figura 5.10)
foram escolhidas para compor o conjunto de ações a serem alocados.
36
Figura 5.10: Resultado da clusterização KMeans para valores de retorno
histórico. O conjunto de ações escolhido foi o grupo de cor verde.
A segunda clusterização utilizou os ativos agrupados por maior taxa Sharpe para
constituirem o conjunto a ser alocado. A Figura 5.11 exibe a Elbow Curve traçada
considerando essa dimensão, e ilustra que o número de 5 clusters também se mos-
trou adequado para realizar a clusterização. Os resultados da clusterização podem
ser vistos na Figura 5.12 e o grupo de ações escolhidas foi o grupo ilustrado na
cor vermelha. Como esse tipo de clusterização resultou em mais ativos do que a
clusterização anterior baseada em retornos históricos, foi feita uma outra seleção
de ações dentro do grupo escolhido para utilizar apenas ações que apresentaram
volatilidade menor do que 30%.
5.3.2 Resultadosdas Simulações com Clusterização por Re-
torno Histórico
Uma vez definidos os conjuntos de ações a serem alocadas, o processo das si-
mulações foi repetido para os novos conjuntos de ativos. Os primeiros resultados a
serem discutidos são os relativos à clusterização baseada em retornos históricos.
37
Figura 5.11: Elbow Curve para a clusterização usando taxa Sharpe das ações.
Figura 5.12: Resultado da clusterização KMeans para taxa Sharpe. O con-
junto de ações foi escolhido a partir das pertencentes ao grupo de cor vermelha,
que possuissem volatilidade menor do que 30%.
38
Figura 5.13: Fronteiras Eficientes calculadas para o dia 01/06/2018 para os
ativos selecionados por Clusterização de retornos históricos. Cada modelo uti-
lizado é representado por uma cor, e as caracteŕısticas dos portfólios escolhidos
estão ilustradas nos pontos pretos de cada curva.
39
Figura 5.14: Retornos totais dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018
após Clusterização por retornos históricos.
A Figura 5.13 exibe as fronteiras eficientes traçadas pelos portfólios calculados
para o dia 01/06/2018 e os portfólios escolhidos para cada modelo, assim como
ilustrado pela Figura 5.1.
Os resultados históricos dos portfólios gerados pós clusterização estão exibidos
na Figura 5.14. Pode-se observar que o retorno final dos portfólios gerados com
os modelos de Black-Litterman tiveram uma melhora de desempenho considerável
em relação ao observado na simulação da Figura 5.4. Também é posśıvel perceber
que o uso do conjunto de ativos selecionado pela clusterização impactou de forma
diferente o desempenho dos portfólios gerados pelo modelo de Markowitz e pelo
modelo de Black-Litterman. Ainda que o portfólio de Markowitz tenha conseguido
alcançar um valor próximo ao do ı́ndice de comparação, pode-se observar que a
maior parte do tempo o seu desempenho foi inferior ao do ı́ndice. Já os portfólios de
Black-Litterman mantiveram sua estabilidade com desempenho acima do indicador,
com a observação de que os modelo de Black-Litterman do equiĺıbrio (sem opiniões)
apresentou mudanças mais bruscas. Isso pode ser observado também no gráfico das
volatilidades realizadas dos portfólios, vide Figura 5.15.
40
Figura 5.15: Volatilidades dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018
após Clusterização de retornos históricos.
Vale também observar que ainda que os retornos do modelo de Black-Litterman
tenham sido relativamente maiores do que os observados anteriormente, os valores
de retorno esperado e volatilidade projetados no momento de cálculo não correspon-
deram ao que se foi efetivamente observado.
Os resultados da simulação com recálculo das datas após clusterização podem
ser visto na Figura 5.16. De forma similar ao que aconteceu nas simulações sem
clusterização, os retornos totais finais dos portfólios foram menores. Ainda assim,
retornos do modelo de Black-Litterman continuaram bem acima do ı́ndice de mer-
cado enquanto o portfólio de Markowitz não conseguiu superar o desempenho baixo
que teve próximo ao mês de Dezembro.
5.3.3 Resultados das Simulações com Clusterização por Taxa
Sharpe
De forma análoga ao que foi feito com a clusterização de retornos históricos, foi
definido o conjunto de ações a serem alocadas pelos dois modelos, e seus resultados
41
Figura 5.16: Retornos totais dos portfólios com recálculo dos pesos após
clusterização de retornos históricos.
Figura 5.17: Volatilidades dos portfólios com recálculo dos pesos após clus-
terização de retornos históricos.
42
Figura 5.18: Fronteiras Eficientes calculadas para o dia 01/06/2018 para os
ativos selecionados por Clusterização por taxa Sharpe. Cada modelo utilizado
é representado por uma cor, e as caracteŕısticas dos portfólios escolhidos estão
ilustradas nos pontos pretos de cada curva.
simulados para portfólios calculados em uma única data, e para portfólios recalcu-
lados a cada 2 meses.
As novas fronteiras eficientes são exibidas na Figura 5.18, e os resultados e vola-
tilidades para a primeira simulação nas Figuras 5.19 e 5.20, respectivamente.
Analisando os resultados da Figura 5.19, podemos observar que todos os portfólios
gerados sofreram impacto positivo do uso desse tipo de clusterização. Isso é compa-
tivel com os resultados de Jhang, Z. et al. [8] e León, D. et al. [7], que escolheram
a taxa Sharpe para otimização das clusterizações utilizadas, e obtiveram resultados
positivos em suas simulações de desempenho.
Ainda assim, vale observar que os portfólios gerados pelo modelo de Black-Litterman
obtiveram resultados ainda melhores do que os obtidos utilizando a clusterização de
retornos históricos. Os resultados dos 3 portfólios ainda mostraram uma boa esta-
43
Figura 5.19: Retornos totais dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018
após clusterização por taxa Sharpe.
Figura 5.20: Volatilidades dos portfólios calculados até o dia 01/06/2018
após clusterização por taxa Sharpe.
44
Figura 5.21: Retornos totais dos portfólios com recálculo dos pesos após
clusterização por taxa Sharpe.
bilidade em seus desempenhos, passando a maior parte do tempo considerado com
desempenho superior ao do ı́ndice S&P500.
A simulação com recálculo dos portfólios apresentou resultados parecidos com
os obtidos anteriormente. Os retornos totais finais dos portfólios foram menores,
mas ainda assim as simulações após clusterização por taxa Sharpe apresentaram
resultados melhores do que os observados com a clusterização por retornos históricos
para os 3 portfólios. Nota-se que o portfólio de Markowitz, o mais prejudicado pelo
recálculo, apresentou uma redução em sua volatilidade, tendo comportamento muito
parecido com o ı́ndice de mercado.
5.4 Resumo dos Resultados
Nesta seção, são exibidos os resultados obtidos por cada portfólio gerado, utili-
zando cada uma das técnicas de seleção de ativos: sem clusterização, com cluste-
rização por retornos históricos e com clusterização por taxa Sharpe. Foram com-
parados os resultados de retorno total obtido ao fim da janela de simulação e das
45
Figura 5.22: Volatilidades dos portfólios com recálculo dos pesos após clus-
terização por taxa Sharpe.
volatilidades calculadas para cada portfólio. Em cada subseção, foram comparados
os resultados obtidos a partir de cada tipo de cálculo de portfólio, para os calculados
em uma data espećıfica e para os recalculados a cada 2 meses. Todos os resultados
são comparados com o ı́ndice de mercado S&P500.
5.4.1 Potfólios Calculados em Data Espećıfica
Na Tabela 5.2 são exibidos os retornos totais obtidos pelos portfólios gerados por
cada modelo de otimização (especificado nas linhas da tabela) combinado com cada
técnica de seleção de ativos (especificado nas colunas da tabela), calculados para
o dia 01/06/2018 e analisados até o dia 01/02/2019. As células em verde da Ta-
bela 5.2 indicam quando o retorno do portfólio para o modelo e técnica especificados
apresentou um resultado superior ao de retorno total obtido pelo ı́ndice de mercado
S&P500, e a célula em vermelho quando o retorno obtido foi inferior ao do ı́ndice
S&P500. As células com texto em negrito indicam qual técnica de alocação de ativos
obteve os melhores valores de retorno total obtido, com a técnica de clusterização por
taxa Sharpe obtendo os melhores resultados para todos os modelos de otimização
46
Modelo Utilizado Sem Clusterização Clusterização por Retornos Históricos Clusterização por taxa Sharpe
Markowitz 4,03% -0,21% 6,72%
BL Sem Opiniões 1,78% 8,69% 11,94%
BL Com Opiniões 2,67% 10,52% 14,51%
S&P500 -0,08% -0,08% -0,08%
Tabela 5.2: Retornos totais obtidos pelos portfólios calculados no dia 01/06/2018
utilizando cada técnica de alocação de ativos.
Modelo Utilizado Sem ClusterizaçãoClusterização por Retornos Históricos Clusterização por taxa Sharpe
Markowitz 30,30% 22,70% 18,40%
BL Sem Opiniões 23,90% 31,50% 20,50%
BL Com Opiniões 21,10% 28,60% 16,50%
S&P500 17,00% 17,00% 17,00%
Tabela 5.3: Volatilidades calculadas para cada portfólio calculado no dia 01/06/2018
utilizando cada uma das técnicas de seleção de ativos.
utilizados.
Na Tabela 5.3 são exibidas as volatilidades calculadas para cada portfólio gerado
por cada modelo de otimização (especificado nas linhas da tabela) combinado com
cada técnica de seleção de ativos (especificado nas colunas da tabela), calculados
para o dia 01/06/2018 e analisados até o dia 01/02/2019. As células em verde
da Tabela 5.3 indicam as duas melhores volatilidades obtidas considerando todas
as combinações de modelo de otimização e técnica especificadas, e as células em
vermelho indicam as duas piores volatilidades obtidas. As células com texto em
negrito indicam qual técnica de alocação de ativos obteve os melhores valores para
volatilidade calculada, com a técnica de clusterização por taxa Sharpe obtendo as
melhores volatilidades para todos os modelos de otimização utilizados.
5.4.2 Potfólios Recalculados a Cada 2 Meses
Na Tabela 5.4 são exibidos os retornos totais obtidos pelos portfólios gerados por
cada modelo de otimização (especificado nas linhas da tabela) combinado com cada
técnica de seleção de ativos (especificado nas colunas da tabela), recalculados a cada
2 meses. Da mesma forma que feito na Subseção 5.4.1, as células em verde da Ta-
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Modelo Utilizado Sem Clusterização Clusterização por Retornos Históricos Clusterização por taxa Sharpe
Markowitz -0,87% -7,29% -0,77%
BL Sem Opiniões 1,33% 8,28% 11,56%
BL Com Opiniões 3,35% 9,97% 14,23%
S&P500 -0,08% -0,08% -0,08%
Tabela 5.4: Retornos totais obtidos pelos portfólios recalculados a cada 2 meses
utilizando cada técnica de seleção de ativos.
bela 5.4 indicam quando o retorno do portfólio para o modelo e técnica especificados
apresentou um resultado superior ao de retorno total obtido pelo ı́ndice de mercado
S&P500, e a célula em vermelho quando o retorno obtido foi inferior ao do ı́ndice
S&P500. As células com texto em negrito indicam qual técnica de alocação de ativos
obteve os melhores valores de retorno total obtido, com a técnica de clusterização por
taxa Sharpe obtendo os melhores resultados para todos os modelos de otimização
utilizados.
Na Tabela 5.5 são exibidas as volatilidades calculadas para cada portfólio gerado
por cada modelo de otimização (especificado nas linhas da tabela) combinado com
cada técnica de seleção de ativos (especificado nas colunas da tabela), recalculados
a cada 2 meses. As células em verde indicam as duas melhores volatilidades obtidas
considerando todas as combinações de modelo de otimização e técnica especificadas,
e as células em vermelho indicam as duas piores volatilidades obtidas (como as
volatilidades para o modelo de Markowitz sem clusterização e para o modelo de
Black-Litterman com opiniões com clusterização por retornos históricos obtiveram
os mesmos valores de volatilidade, os dois valores foram indicados). As células com
texto em negrito indicam qual técnica de alocação de ativos obteve os melhores
valores para volatilidade calculada, com a técnica de clusterização por taxa Sharpe
obtendo os melhores resultados para todos os modelos de otimização utilizados.
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Modelo Utilizado Sem Clusterização Clusterização por Retornos Históricos Clusterização por taxa Sharpe
Markowitz 28,30% 21,50% 17,00%
BL Sem Opiniões 24,00% 31,60% 20,40%
BL Com Opiniões 21,00% 28,30% 16,40%
S&P500 17,00% 17,00% 17,00%
Tabela 5.5: Volatilidades calculadas para cada portfólio recalculados a cada 2 meses,
utilizando cada uma das técnicas de seleção de ativos.
49
Caṕıtulo 6
Conclusão
Neste trabalho, foi proposta a utilização e avaliação de desempenho de um algo-
ritmo de clusterização, KMeans, para a pré-seleção de ativos a serem alocados pelos
modelos de otimização de portfólio propostos por Markowitz e por Black e Litter-
man. Para isso foram gerados portfólios com ativos selecionados sem nenhum uso de
clusterização, seus resultados foram simulados para dois casos diferentes: utilizando
portfólios calculados em uma data espećıfica e utilizando portfólios recalculados a
cada 2 meses. Seus desempenhos foram analisados e comparados com o ı́ndice de
mercado S&P500.
Após a análise inicial dos desempenhos dos portfólios, foram utilizados dois critérios
para realizar a clusterização com o algoritmo de KMeans: agrupando por retornos
médios históricos e agrupando pela taxa Sharpe. A partir desses dois métodos de
clusterização, foram gerados dois conjuntos de ações a serem alocadas pelo modelo
de Markowitz e pelo modelo de Black-Litterman. Assim como para as primeiras
análises, dois casos diferentes de simulação foram considerados, e os resultados fo-
ram analisados e comparados entre si e entre os resultados iniciais obtidos.
Primeiramente, foi posśıvel observar que o modelo de alocação de Black-Litterman
realmente possui sucesso em diversificar o portfólio com mais ações, compensando
um dos defeitos apontados no modelo de Markowitz. Como consequência, os mo-
delos de Black-Litterman sem utilizar clusterização obtiveram volatilidades sempre
menores do que o modelo de Markowitz, possuindo maior estabilidade em seu de-
sempenho.
50
A respeito do impacto da pre-seleção de ações através da clusterização, pôde-se
observar que a clusterização utilizando a taxa Sharpe das ações resultou em desem-
penhos superiores à que utilizou retornos históricos médios. Também foi posśıvel
observar que os portfólios gerados pelo modelo de Black-Litterman foram os mais
beneficiados pelo uso da clusterização na seleção de ativos, conseguindo um bom
desempenho em relação ao ı́ndice S&P500.
Podem ser observadas propostas para posśıveis trabalhos futuros, como o estudo
de desempenho para janelas temporais menores, com dias ou até horas de análise
como feito por León, D. et al. [7]. Também similar ao trabalho de León, D. et al.,
pode-se estudar o impacto de outros algoritmos de clusterização no desempenho dos
portfólios gerados pelo modelo de Black-Litterman.
Também é interessante o estudo de como a inclusão de um minerador de dados
de opiniões de mercado como utilizado por Creamer, G. [11] pode potencializar
ainda mais o modelo de Black-Litterman e como a combinação da clusterização e
da alimentação cont́ınua de opiniões de mercado pode impactar no desempenho do
portfólio gerado.
Em resumo, mostrou-se que o modelo de Black-Litterman é um modelo relevante
entre as técnicas para otimização de portfólio, e que a aplicação da a clusterização,
uma técnica de aprendizado não supervisionado, impactou significativamente o de-
sempenho dos modelos de alocação de portfólio.
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Bibliografia
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puter Sciences and Convergence Information Technology, ICCIT 2010, pp. 338–
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Risk-Adjusted Portfolio Construction”. In: Procedia Computer Science, 2017.
[8] ZHANG, J., MARINGER, D., “Asset Allocation under Hierarchical Cluste-
ring”, Working Papers, , n. June,