prova-pf-gab-geom-2015-1-mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da prova final de Geometria I - Matema´tica - Monica
29/06/2015
1a Questa˜o: (5,5 pontos) (soluc¸a˜o na folha 1) Um losango e´ um paralelogramo com todos os
lados congruentes. Deˆ uma prova ou um contra-exemplo:
1. Um retaˆngulo e´ um trape´zio.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro.
Um trape´zio e´ um quadrila´tero em que dois lados opostos sa˜o paralelos.
Um retaˆngulo e´ um quadrila´tero que tem todos seus aˆngulos retos e cujos lados opos-
tos sa˜o paralelos.
Portanto, um retaˆngulo e´ um trape´zio.
2. Um losango e´ um quadrado.
Soluc¸a˜o
Falso, pois no quadrado, ale´m de todos os lados congruentes, todos seus aˆngulos sa˜o
retos.
Contra-exemplo:
E´ poss´ıvel construir um quadrila´tero ABCD satisfazendo AD ‖ BC e AB ‖ CD,
com AD = AB = BC = DC e BAˆD 6= 90◦. Temos que ABCD e´ um losango e na˜o
e´ um quadrado.
3. As diagonais de um losango se cortam ao meio.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro, pois um losango e´ um paralelogramo e num paralelogramo as diagonais
se cortam no ponto me´dio.
4. Todo quadrado e´ um losango.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro, pois um quadrado e´ um paralelogramo com todos os lados congruentes
e todos seus aˆngulos retos. Em particular, e´ um paralelogramo com todos os lados
congruentes, isto e´, um losango.
5. As diagonais de um retaˆngulo sa˜o perpendiculares entre si.
Soluc¸a˜o
Falso.
Contra-exemplo:
A partir de um triaˆngulo retaˆngulo ABD, com aˆngulos internos iguais a 30◦ e 60◦,
conseguimos construir um retaˆngulo cujas perpendiculares na˜o sera˜o perpendiculares.
6. Se as diagonais de um quadrila´tero sa˜o perpendiculares entre si enta˜o o quadrila´tero
e´ um losango.
Soluc¸a˜o
Falso. Contra-exemplo:
7. Se as diagonais de um quadrila´tero sa˜o perpendiculares entre si e se cortam ao meio,
enta˜o o quadrila´tero e´ um losango.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro.
Dado um quadrila´tero ABCD, como as diagonais BD e AC, que se intersectam no
ponto M , sa˜o perpendiculares entre si e se cortam ao meio, pela congrueˆncia LAL,
obtemos que DMC = BMC, DMA = BMA e CMB = AMB.
Em particular, DC = BC, DA = BA e CB = AB.
Logo, todos os lados sa˜o congruentes.
E, provamos que, se os lados opostos de um quadrila´tero sa˜o congruentes, enta˜o ele
e´ uum paralelogramo. Portanto ABCD e´ um losango.
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2a Questa˜o: (1,5 ponto) (soluc¸a˜o na folha 2) Na figura, O e´ o centro do c´ırculo e POˆR = 28◦.
Calcule θ.
Soluc¸a˜o
Sabemos que θ = 180◦ −BOˆC.
Como RC = RQ = PQ = PB, OB = OQ = OC e OQˆR = OQˆP = OBˆP = OCˆR = 90◦,
pela congrueˆncia LAL, OQR = OQP = OCR = OBP . Em particular,
QOˆR = QOˆP = BOˆP = COˆR = 14◦,
e BOˆC = 56◦.
Logo θ = 124◦.
3a Questa˜o: (3 pontos) (soluc¸a˜o na folha 3) Sejam A, B, C, e D quatro pontos do espac¸o.
Deˆ uma prova ou um contra-exemplo e fac¸a um desenho em cada situac¸a˜o:
a) Se AB e CD na˜o possuem pontos em comum enta˜o na˜o sa˜o coplanares.
Soluc¸a˜o
Falso. Podem ser coplanares, por exemplo, se estiverem contidos em duas retas
paralelas, portanto, coplanares.
Suponha que A, B e C sa˜o na˜o colineares. Seja α o plano determinado por estes pontos.
b) Se D /∈ α, enta˜o os segmentos DA, DB e DC na˜o intersectam nenhum dos interiores
dos lados do triaˆngulo ABC.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro.
Se um segmento, digamos DA, intersectar o interior de um lado no ponto P , teremos
que a intersec¸a˜o de DA e o plano α conte´m pelo menos 2 pontos, A e P , e portanto, a
reta determinada por A e P esta´ contida em α. Em particular, D ∈ α, que contraria
a hipo´tese.
c) Se D ∈ α, enta˜o pelo menos um dos segmentos DA, DB e DC intersecta o interior de
um dos lados do triaˆngulo ABC.
Soluc¸a˜o
Falso.
Se D pertence ao interior do triaˆngulo, todos os segmentos DA, DB e DC esta˜o no
interior do mesmo, pois provamos que o interior e´ um conjunto convexo.
d) Se um dos segmentos DA, DB e DC intersecta o interior de algum lado do triaˆngulo
ABC enta˜o D ∈ α.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro.
A prova ja´ foi dada no item b).
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