Equilíbrio dos Corpos na Física

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA
Rannyer dos Santos Soares
Equilibrando
Orientadora Ligia de Farias Moreira
Banca
Ligia de Farias Moreira
Francisco Artur Brawn Chaves
José Eduardo Ramalho Dantas [CEFET, Friburgo]
João José Fernandes de Sousa
Fevereiro de 2012
I. F. U. F. R. J.
B I B L I O T E C A
REGíSTR. DATA
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho primeiramente às duas pessoas mais importantes da
minha vida não somente por terem me dado o dom da vida, mas também
por terem desde criança me ensinado, com a sabedoria que sempre lhes
foram abundante, a importância da educação. Por isso agradeço aos meus
pais por terem me apoiado e acreditado em mim em todos os momentos,
sobretudo nos mais críticos. Não posso também deixar de dedicar à
pessoa que esteve comigo em boa parte desta caminhada, que com seu
amor, paciência e incentivo me ajudou a enfrentar todos os percalços
ocorridos até aqui. Minha esposa querida, obrigado.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a professora Lígia de Farias Moreira por sua dedicação à
formação de professores do curso de Licenciatura em Física desta
instituição e por ter pacientemente me ajudado neste trabalho. Ao
professor Roberto Pimentel por me fazer enxergar que é possível um
ensino de física interessante. Agradeço também ao professor Josevan,
pois sem ele este sonho talvez não fosse possível.
IV
PENSAMENTO
"Saber ensinar não é transmitir
conhecimento, mas criar possibilidades para a
sua própria produção ou a sua construção.
Quando entro em sala de aula devo estar
sendo um ser aberto a indagações, á
curiosidade, às perguntas dos alunos, a suas
inibições; um ser crítico e inqueridor, inquieto
em face da tarefa que tenho - a de ensinar e
não a de transferir conhecimento."
Paulo Freire
RESUMO
O estudo do equilíbrio dos corpos é um dos assuntos mais abordados em
física no âmbito do Ensino Fundamental (9° ano) e Ensino Médio, e seu
valor se compreende não somente devido à sua grande aplicação no
cotidiano (em todos os objetos que estão em repouso e em casos restritos
de movimento), mas também por que a discussão dos conceitos
abordados aqui permite um entendimento sobre as demais situações em
que o equilíbrio não se verifica, pois conhecendo as condições para um
corpo estar em equilíbrio fica-se munido de diversos conceitos físicos
como força e momento que estarão também relacionados aos demais
casos (desequilíbrio). Inclusive outros ramos da física abordam o assunto
"equilíbrio" de forma indireta.
Pretende-se fazer com que os alunos compreendam o equilíbrio mecânico
e consigam enxergá-lo no dia-a-dia, e que tenha condições de perceber as
forças e os torques envolvidos e tirar conclusões a respeito destes. Ao
final, de posse dos conceitos de: força, centro de gravidade e momento,
deseja-se que os educandos compreendam o princípio da alavanca,
reconhecendo sua aplicação nos diversos instrumentos (máquinas
simples), assim como também os aspectos históricos de sua aplicação com
Arquimedes.
Diante das inúmeras dificuldades encontradas no ensino de Física
procurou-se privilegiar uma prática mais atraente aos alunos, não baseada
na memorização de fórmulas, mas sim atenta a discussão dos conceitos,
onde o aluno é inserido em situações em que ele reflita e formule
explicações a cerca do fenômeno observado, e, portanto, construa seu
próprio conhecimento. E para facilitar a aprendizagem permitindo tudo
isso que se acabou de dizer foram pensados diversos mini-experimentos
com materiais de baixo custo.
VI
SUMARIO
INTRODUÇÃO l
CAPITULO l - METODOLOGIA E MATERIAIS 5
1.1 VYGOSTKY 5
1.2 DAVIDAUSUBEL 6
1.3 MATERIAIS 7
13 LEI DE NEWTON: EQUILÍBRIO ESTÁTICO 7
1̂ LEI DE NEWTON: EQUILÍBRIO DINÂMICO 7
CENTRO DE GRAVIDADE: CORPOS HOMOGÊNEOS 8
CENTRO DE GRAVIDADE:CORPOS NÃO-HOMOGÊNEOS 8
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO CENTRO DE GRAVIDADE DE
ALGUMAS FIGURAS 8
APOIO E CENTRO DE GRAVIDADE: EXEMPLO l 9
APOIO E CENTRO DE GRAVIDADE: EXEMPLO 2 9
APOIO E CENTRO DE GRAVIDADE: EXEMPLO 3 9
EQUILÍBRIO ESTÁVEL: NA CORDA BAMBA 9
EQUILÍBRIO ESTÁVEL: EQUILIBRANDO GARFOS 10
EQUILÍBRIO ESTÁVEL: SAPO QUILIBRISTA 10
EQUILÍBRIO INSTÁVEL: PIRÂMIDE INVERTIDA 10
EQUILÍBRIO INSTÁVEL: "NO CUME DA MONTANHA" 11
EQUILÍBRIO INSTÁVEL: "DESCENDO A ESCADA" 11
ESTABILIDADE E ALTURA DO CENTRO DE GRAVIDADE 11
EQUILÍBRIO DE ROTAÇÃO 11
VII
MOMENTO DE FORÇA 12
ALAVANCA: EXEMPLO l 12
ALAVANCA: EXEMPLO 2 13
CAPITULO 2-NOÇÃO DE FORÇA E INÉRCIA 13
1.l CONHECIMENTOS PRÉVIOS 14
2.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 15
2.2.1 NOÇÃO DE FORÇA 15
2.2.2 LEI DA INÉRCIA E A 1§ LEI DE NEWTON 19
2.2.3 FORÇA PESO E FORÇA DE APOIO 25
CAPÍTULO 3 - CENTRO DE GRAVIDADE E NOÇÕES DE EQUILÍBRIO 27
1.l CONHECIMENTOS PRÉVIOS 27
3.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 31
3.2.1 CENTRO DE GRAVIDADE. DEFINIÇÃO E COMO ENCONTRÁ-LO 31
3.2.2 NOÇÕES DE EQUILÍBRIO 37
CAPITULO 4 - EQUILÍBRIO DE TRANSLAÇÃO X EQUILÍBRIO DE ROTAÇÃO..47
4.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 47
4.1.1 IORQUE OU MOMENTO DE UMA FORÇA 47
4.1.2 CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO 54
4.2.3 EXPLICANDO OS CASOS DE EQUILÍBRIO ANTERIORES 57
4.2.4 APLICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO. PRINCÍPIO DA
ALAVANCA 59
VIII
CAPÍTULO 5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS 62
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS........ .................64
INTRODUÇÃO
O nosso cotidiano está rodeado de situações onde ocorre equilíbrio
mecânico. Podemos percebê-lo desde brinquedos simples, como o que
veremos neste trabalho, até em grandes construções civis, como pontes e
edifícios.
Olhando ao seu redor, você seria capaz de identificar situações onde
há Equilíbrio Mecânico? Com atenção é possível identificar.
O Equilíbrio mecânico de uma partícula ocorre sempre que a
resultante das forças atuantes sobre a mesma for nula, fazendo com que
a partícula esteja em repouso (Equilíbrio Estático) ou em MRU (Equilíbrio
Dinâmico). (É importante que se entenda que Equilíbrio (Mecânico) não é
sinônimo de repouso). Em se tratando de corpos extensos esta condição
passa a ser insuficiente, ou seja, mesmo a resultante das forças sendo
nula o corpo extenso pode não estar em equilíbrio, portanto, para garanti-
lo nesses casos, o momento resultante também deve ser nulo, evitando,
por exemplo, que um corpo extenso que esteja parado inicie um
movimento de rotação.
O Equilíbrio estático está presente nas prateleiras dos armários, na
mesa, em sua cama, nas apresentações de circo, nos esportes em geral
etc. Nas construções civis, de grande ou pequeno porte, engenheiros
prezam por ele; nos esportes temos: o Surf, onde o surfista busca-o
incessantemente.
Nós quando criança, a partir de dois anos de idade somos instigados
por nossos pais a caminhar; e manter o equilíbrio torna-se uma das
primeiras necessidades do processo de aprendizagem humana.
Você já deve ter percebido que ao escorregarmos buscamos o
equilíbrio deslocando a parte mais pesada do nosso corpo para baixo
fazendo-a ficar mais próxima do chão ou notado que alguns caminhões
transportadores de cargas pesadas têm um formato diferenciado, ou
ainda percebido a adição de pesos junto à base de andaimes de ferro.
Quem não fica impressionado ao olhar para um canteiro de obras e
perceber um guindaste suspender cargas pesadas e ainda permanecer
em equilíbrio ou "sentir" como fica muito mais fácil carregar um saco de
cimento de 50 kg num carrinho de mão do que nas costas.
Enfim, poderíamos citar aqui uma enorme quantidade de exemplos
do cotidiano onde o equilíbrio se verifica, o que por sua vez, justificam o
seu estudo.
Este trabalho está direcionando aos alunos do Ensino Fundamental
(9° ano) ou 1° ano do Ensino Médio. Apesar de normalmente o conceito
de momento não ser visto no ensino fundamental, seu estudo pode ser
implementado, pois a abordagem que será feita está mais preocupada
com a aprendizagem do conceito do que com a resolução de exercícios
mais complexos.
Os alunos de uma maneira geral têm seu primeiro contato com a
Física no nono ano do ensino fundamental, e infelizmente, alguns
professores optam por uma física poucoatraente, carregada de fórmulas,
com ênfase na resolução de problemas, envolvendo muito mais
matemática do que a discussão de conceitos físicos não promovendo,
portanto o desenvolvimento cognitivo do aluno a cerca da Física.
Esta constatação foi verificada pelas pesquisadoras Flávia Resende
e Fernanda Ostermann, no artigo A prática do professor e a pesquisa em
ensino de Física: novos elementos para repensar essa relação (2004),
como nota-se no trecho a seguir:
"Os professores estão conscientes de que ensinam de forma
tradicional, seja pela falta de tempo para planejamento, por não saberem
como mudar ou por se sentirem inseguros para tal e demonstram
insatisfação com seus métodos de ensino e sua prática pedagógica. O
ensino tradicional (de Física) é freqüentemente associado ao excessivo
formalismo matemático". (Ostermann e Rezende 2004)
Nesse paradigma, o aluno considerado ideal é aquele que não
questiona o método de seu professor, mas em silêncio resolve, ou pelo
menos tenta resolver todos os problemas que lhe são propostos. Nesta
prática educacional, os conhecimentos prévios dos alunos são
completamente ignorados, assim como aquele grau de curiosidade que
lhe são próprios.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais, PCNs [Brasil,1999]
direcionam o ensino da Física para um caminho que procura romper com
o tradicionalismo, buscando a reflexão, introduzindo o conceito de
competências e habilidades. As competências são conhecimentos
importantes ao homem moderno, que visam uma formação ampla do
indivíduo, onde a Física aparece como um instrumento de compreensão
do mundo.
As competências em Física são:
1. Reconhecer e utilizar adequadamente na forma oral e escrita
símbolos, códigos e nomenclatura da linguagem científica.
2. Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes
linguagens e representações: sentenças, equações, esquemas,
diagramas, tabelas, gráficos e representações geométricas.
3. Consultar, analisar e interpretar textos e comunicações de C&T
veiculados através de diferentes meios.
4. Elaborar comunicações orais ou escritas para relatar, analisar e
sistematizar eventos, fenômenos, experimentos, questões, entrevistas,
visitas, correspondências.
5. Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a
temas de C&T.
6. Identificar em dada situação-problema as informações ou
variáveis relevantes e possíveis estratégias para resolvê-la.
7. Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do
conhecimento científico, estabelecer relações; identificar regularidades,
invariantes e transformações.
8. Selecionar e utilizar instrumentos de medição e de cálculo,
representar dados e utilizar escalas, fazer estimativas, elaborar hipóteses
e interpretar resultados.
9. Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos explicativos
para fenômenos ou sistemas naturais ou tecnológicos.
10. Articular, integrar e sistematizar fenômenos e teorias dentro de
uma ciência, entre as várias ciências e áreas de conhecimento.
11. Compreender o conhecimento científico e o tecnológico como
resultados de uma construção humana, inseridos em um processo
histórico e social.
12. Compreender a ciência e a tecnologia como partes integrantes
da cultura humana Contemporânea.
13. Reconhecer e avaliar o desenvolvimento tecnológico
contemporâneo, suas relações com as ciências, seu papel na vida
humana, sua presença no mundo cotidiano e seus impactos na vida
social.
14. Reconhecer e avaliar o caráter ético do conhecimento científico e
tecnológico e utilizar esses conhecimentos no exercício da cidadania.
Como se pode averiguar as competências contidas nos PCNs visam
a formação de um indivíduo consciente e crítico, apto a participar das
decisões ética e moral da sociedade.
Um bom exemplo de inovação da prática do ensino de Física a ser
citado é o professor Barry Parker. Em seu livro "À Boleia com Isaac
Newton - O automóvel e a Física" ele comenta o enorme sucesso de
suas aulas ao fazer os seus alunos aprenderem Física utilizando o
automóvel como elemento motivador:
"Sempre que usava exemplos tirados do «mundo automóvel» para
ilustrar um princípio da física, a atenção deles parecia subir em flecha.
Continuei, portanto, a utilizar esse truque sempre que possível".
[Parker,2003]
O objetivo deste trabalho consiste em propor uma maneira de
abordar equilíbrio dos corpos através de experimentos simples com
materiais de baixo custo, como por exemplo: madeira, papel, brinquedos
etc. Pode-se com experimentos ou materiais simples realizar um ensino
eficaz.
A adoção de experimentos em sala de aula tem como objetivo
resgatar a motivação dos alunos escapando daquelas aulas meramente
expositivas e tradicionais fazendo-os perceber a Física presente em seu
dia-a-dia.
Com isso, também apresentamos ao professor de Física, uma forma
de se abordar esse tema utilizando alguns experimentos simples, mas
eficazes. Para isto, foi feito um intenso trabalho de pesquisa em livros
didáticos, na internet e artigos científicos.
Espera-se do aluno a percepção deste tema frente ao cotidiano, e a
compreensão dos conceitos físicos de: força, centro de gravidade,
ponto de suporte (ou de apoio), e torque, e que saiba a relação
existente entre estes conceitos e o equilíbrio mecânico dos corpos,
principalmente no que diz respeito às condições de equilíbrio. O
Princípio da Alavanca será abordado fazendo-os perceber que este é
apenas uma conseqüência direta do equilíbrio de rotação.
Sugeri-se a criação de ambientes de interação onde o aluno aprenda
interagindo, brincando e/ou manuseando os materiais, formulando suas
explicações a cerca do fenômeno, tudo isso sob a supervisão do
professor, indispensável ao processo de aprendizagem.
O professor aparece como um tutor ou orientador. Ele deverá estar
atento aos comentários dos alunos, a qualquer indagação, e de maneira
oportuna fazer questionamentos ao educando a cerca daquilo que se
observa, com a finalidade de que este reflita sobre alguma situação-
problema.
CAPITULO 1: METODOLOGIA E MATERIAIS
1.1 VYGOTSKY
Para Vygotsky o ambiente social no qual o indivíduo está inserido
molda-o de tal maneira que não se pode estudar o desenvolvimento da
criança sem prestar atenção ao meio social em que ela vive. A criança
nasce num mundo social, e vai formando sua visão deste mundo por meio
da interação com os outros integrantes. Neste paradigma a construção
acontece do social para o individual, antes de ser internalizada pela
criança. Esta foi uma das grandes contribuições de Vygotsky.
A interação social deve ser algo almejado pelos professores, e deve
promover espaço livre para a discussão e reflexão permitindo que na
convivência social a apropriação do patrimônio cultural da humanidade
seja adquirida pelos educandos.
Entende-se como patrimônio cultural da humanidade os
conhecimentos adquiridos pelo Homem ao longo dos séculos.
Outro grande feito de Vygotsky refere-se à formação dos conceitos.
Ele elaborou a distinção entre significado e sentido, definindo significado
como aquilo que é estabelecido pelo social, e sentido como a
interpretação do sujeito histórico, situado em um tempo, espaço e
contexto social. O significado refere-se ao conceito científico, enquanto
que o sentido caracteriza-se pelos conceitos cotidianos elaborados pelos
indivíduos, ou seja, o senso comum.
Daí a importância do professor ou de um orientador experiente
conduzindo o processo de aprendizagem. A grande tarefa do professor (e
talvez esse seja o maior desafio) de acordo com Martins (1997) é
enriquecer esses conceitos cotidianos dos alunos através do
conhecimento científico, desenvolvido historicamente.
"Cabe a ele promover a articulação dos conceitos espontâneos da
criança com os científicos veiculados na escola, de tal forma que, de um
lado, os conceitos espontâneos possam inserir-se em uma visão mais
abrangente do real, própria do conceito científico, e, de outro lado, os
conceitos científicos tornem-se mais concretos, apoiando-se nos
conceitos espontâneos gerados na própria vivência da criança.Criam-se,
assim, novas condições para que os alunos compreendam de forma mais
ampla a realidade." [Martins, 1997]
Na perspectiva Vygotskiana o aluno é um ser dinâmico e como tal
participa de sua própria construção do conhecimento, pois ele se
posiciona, levanta hipóteses, questiona os demais colegas naquele
ambiente interacionista. Para Vygotsky a aprendizagem de determinado
conceito somente se consolida quando a criança é capaz de internalizar e
pensar sobre ele; a criança deve reconstruir internamente aquilo que foi
visto na atividade externa.
1.2 DAVIDAUSUBEL
Este trabalho está em concordância com a teoria de David Ausubel
sobre aprendizagem significativa. A aprendizagem significativa tem como
característica principal a interação entre novo conhecimento e
conhecimento prévio dos alunos, conhecidos como subsunçores. Para
Ausubel o sucesso da aprendizagem está em justamente ensinar partindo
daquilo que os alunos já carregam como bagagem, isto fica evidenciado
no trecho a seguir:
"...o fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é
aquilo que o aprendiz já sabe. Averigue isso e ensine-o de acordo"
É bem verdade que normalmente estes conhecimentos prévios são
muitas vezes simplistas, sem muitos detalhes, porém o novo
conhecimento ancorado a eles trazem significados ao aprendiz como
afirma Moreira [1982] a seguir:
"Sabemos que a aprendizagem significativa caracteriza-se pela
interação cognitiva entre o novo conhecimento e o conhecimento prévio.
Nesse processo, que é não-literal e não-arbitrário, o novo conhecimento
adquire significados para o aprendiz e o conhecimento prévio fica mais
rico, mais diferenciado, mais elaborado em termos de significados, e
adquire mais estabilidade".
Pode-se dizer então que o processo de ensino-aprendizagem é
dinâmico, pois os conhecimentos dos alunos sofrem intensa
transformação, seja através da modificação dos conceitos subsunçores
velhos ou da construção de novos conceitos. O papel do professor é de
crucial importância, interagindo com os alunos ajudando-os. À medida
que estes novos conceitos vão sendo recebidos, um intenso processo de
assimilação vai ocorrendo nos alunos (Diferenciação progressiva).
Para que a aprendizagem ocorra de maneira significativa duas
condições precisam ser satisfeitas. Primeiro deve haver disposição do
aprendiz em aprender, pois sem isso nada ocorre. E pensando nisso
procurou-se então fazer a parte que cabe ao professor, que consiste em
buscar materiais que permitem a construção dos conceitos de maneira
mais agradável e democrática possível, fazendo com que o aluno tenha
condições de chegar à resposta e não ficar somente esperando ela vir do
professor como ocorre nas aulas tradicionais (aprendizagem mecânica).
Diversos experimentos simples de baixo custo potencialmente
significativos podem ser levados para sala de aula, para que os alunos
pensem e reflitam sobre os conceitos, o que faz vir à tona os conceitos
subsunçores existentes na estrutura cognitiva do educando e com isso o
professor tenha capacidade de ajudá-lo na aquisição dos novos conceitos
a serem assimilados sem imposição. A idéia é criar o ambiente apropriado
para que os alunos possam aprender e construir seu conhecimento de
forma eficaz.
1.3 MATERIAIS
Levaremos para a sala de aula inúmeras pequenas experiências que
podem ser feitas na hora, com material disponível em sala de aula, E de
preferência elas serão feitas em grupo. Descreveremos, a seguir, apenas
aquelas que necessitaram de maiores cuidados.
1a LEI DE NEWTON: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Materiais:
- 3 dinamômetros.
- 1 argola.
A idéia consiste em prender os ganchos dos dinamômetros na
argola; um dinamômetro puxa a argola para direita e os outros dois
puxam-na para a esquerda, todos na mesma direção. Toma-se nota das
indicações destes instrumentos diante de uma situação de equilíbrio da
argola.
1a LEI DE NEWTON: EQUILÍBRIO DINÂMICO
Materiais:
- 1 bexiga
- 1 seringa 5 ml (sem agulha e embolo)
- Massa de modelar
-1 CD
A bexiga cheia de ar é posta na extremidade no bico da seringa sem
necessidade de qualquer tipo de vedação, pois o material adere bem ao
diâmetro da seringa que tem a outra extremidade (abertura de maior área)
presa com massa de modelar sob a superfície do CD, exatamente em
cima do orifício central deste. O aparato é posto em movimento e
observado.
CENTRO DE GRAVIDADE: CORPOS HOMOGÊNEOS
Material:
- Régua
- Papelão
Apóia-se a régua em cima do cavalete feito de papelão até que esta
fique em equilíbrio.
CENTRO DE GRAVIDADE: CORPOS NÃO - HOMOGÊNEOS
Material:
- martelo
- tábua fina de madeira.
Busca-se o equilíbrio do martelo ao apoiá-lo na fina tábua, quanto
mais fina for esta superfície mais difícil fica equilibrá-la, porém melhor
será o ponto onde se localiza exatamente o ponto de equilíbrio.
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO CENTRO DE GRAVIDADE
DE ALGUMAS FIGURAS
Material:
- Papel cartão em diversos formatos (Quadrilátero, triângulo, meia-
lua).
- Rolha de cortica
- Alfinete.
- Linha de costura
- Espeto de madeira
- Massa de modelar
Para montar o suporte fixa-se o espeto na massa de modelar (base)
com a parte pontiaguda voltada para cima, onde será posto a rolha de
cortica. Faz-se um furo na figura (papel-cartão) por onde passará o
alfinete que será preso à rolha. No alfinete é posto o fio de costura por
onde pende na outra extremidade um peso também feito com massa de
modelar, o que funcionará como fio de prumo.
APOIO E CENTRO DE GRAVIDADE: EXEMPLO 1
Materiais:
- Livros
Os livros são colocados um sobre outro com uma pequena
defasagem até o momento que a pilha esteja prestes a tombar (Iminência
de tombamento)
APOIO E CENTRO DE GRAVIDADE: EXEMPLO 2
Material:
- Caixa retangular
- Superfície plana horizontal
A caixa vai sendo levemente empurrada para fora da superfície até
que o centro de gravidade localize-se no ponto de apoio e fora da base de
apoio.
APOIO E CENTRO DE GRAVIDADE: EXEMPLO 3
Materiais:
- Uma caixa de papelão
- Objeto pesado que caiba no interior da caixa (utilizou-se uma pedra
de amolar facas).
O peso serve para alterar a posição do centro de gravidade do
conjunto e dessa maneira permitir o equilíbrio.
EQUILÍBRIO ESTÁVEL: NA CORDA BAMBA
Material:
- Boneco Lego.
- Massa de modelar.
-Roldana de ferro pintado.
(http ://www.royalmaq uinas.com. br/loja/website/89/784//roldana-de-
ferro-pintado-6cm-fbm.html)
- Arame Galvanizado n° 24.
10
- Barbante.
-Pilha
- Esparadrapo
O boneco lego é posto em um banco de "massinha" que por sua vez
é fixado no parafuso da roldana que se equilibra no barbante. O arame
enrolado na roldana sai da mesma em formato circular onde na outra
extremidade é posto um peso (pilha) preso com esparadrapo.
EQUILÍBRIO ESTÁVEL: EQUILIBRANDO GARFOS
Material:
- Garrafa de vidro
- Rolha de cortiça
- Dois garfos idênticos
- palito
O palito é espetado na rolha de cortiça que também receberá os dois
garfos penetrados nela simetricamente e na lateral. O palito é apoiado em
uma superfície qualquer.
EQUILÍBRIO ESTÁVEL: SAPO EQUILIBRISTA
Material:
- Desenho do Sapo em papel cartão
- Fita adesiva
- Duas moedas de 5 ou 10 centavos.
Propõe-se aos alunos tentarem equilibrar o sapo na ponta do dedo.
Obviamente que isto somente será possível com a adição de duas
moedas presas as fitas adesivas que estão coladas nas patas do sapo.
EQUILÍBRIO INSTÁVEL: PIRÂMIDE INVERTIDA
Material:
- Pirâmide de acrílico
11
A mesma pode ser substituída por uma pirâmide de papel cartão ou
um chapéu de palhaço. A idéia é tentar manter este objeto em equilíbrio
apoiado pela parte pontiaguda.
EQUILÍBRIO INSTÁVEL: "NO CUME DA MONTANHA"
Material:
- Superfície Convexa.
- Massa de modelar.
A bolinha de massa de modelar é abandonada no ponto mais alto da
superfície curva e levemente deslocada desta posição de equilíbrio.
EQUILÍBRIO INSTÁVEL: "DESCENDO A ESCADA"
Material:
- Brinquedo de madeira.
- Escada feita com duas madeiras finas
-Cola de madeira.
- Palitos de sorvete.
Os palitos de sorvetesconstituirão os degraus da escada. Estes
deverão ser colados e igualmente dispostos ao longo do comprimento das
duas madeiras tendo o cuidado de mantê-los na horizontal. O brinquedo
de madeira é posto no degrau mais alto da escada e solto em seguida.
ESTABILIDADE E ALTURA DO CENTRO DE GRAVIDADE
Material:
- 1 caixa de papelão de dimensões 7,9 cm x 7,9 cm x 27 cm.
- blocos de madeira de dimensões 1,5 cm x 7,5 x 1,5 cm.
- 2 Livros
- 1 Régua
A caixa de papelão vazia é posta em cima da superfície do livro cujo
ângulo com a horizontal vai aumentando até o ângulo crítico. Feito isso,
repete-se o procedimento adicionando alguns blocos de madeira no fundo
da caixa.
EQUILÍBRIO DE ROTAÇÃO
12
Material:
- Suporte de madeira (Formato de T invertido) constituído por duas
madeiras: Base (20 cm x 8 cm x 2,3 cm) e haste vertical (3,7 cm x 1,2 cm
x 28,5 cm)
- Furadeira.
- Parafuso
- Régua milimetrada de espessura não muito fina de comprimento 40
cm.
- Pesos iguais (2 Clipes idênticos e 2 Rolhas idênticas)
O suporte de madeira em formato de T invertido é constituído por
duas madeiras e possui um furo central na parte superior da haste vertical
onde será posto um parafuso no qual a régua estará apoiada. Por isso
deve-se utilizar a mesma broca para fazer a perfuração na régua, que não
pode ter espessura muito fina, pois desse modo a mesma poderá
quebrar-se facilmente.
MOMENTO DE FORÇA
Material:
- Cabo de vassoura
- Sacola plástica contendo peso conhecido (utilizou-se um alimento
não perecível de 1kg)
Tenta-se equilibrar o peso de 1kg segurando o cabo de vassoura
pela extremidade oposta àquela onde está o peso.
ALAVANCA: EXEMPLO 1
Material:
- Duas varetas (aquelas utilizadas na construção de pipas)
- Barbante
- Massa de modelar em formato cilíndrico
- Estilete
- Lápis
Os pesos foram feitos com massa de modelar no formato cilíndrico;
para termos a proporção exata entre os pesos utilizados foram medidos
13
seus comprimentos, dessa maneira pode-se garantir que a massa de
modelar de comprimento duas vezes maior terá duas vezes mais peso.
Primeiro deve-se amarrar o barbante à vareta (aquela que receberá
os pesos) exatamente sobre o seu centro de gravidade. Com um lápis
fez-se marcações igualmente espaçadas sobre a vareta. Os pesos
deverão ser colocados nestas marcações convenientemente de modo a
conseguir o equilíbrio.
ALAVANCA: EXEMPLO 2
Material:
- Cabo de vassoura
- Como peso utilizou-se muitos livros colocados dentro de uma
bolsa.
- Apoio (improvisou-se com bancos e madeira)
Primeiro deve-se sustentar o peso utilizando diretamente as mãos, e
somente depois utilizar o cabo de vassoura da forma como se vê na
figura.
14
CAPÍTULO 2: NOÇÃO DE FORÇA E INÉRCIA
2.1 CONHECIMENTOS PRÉVIOS
Antes de começarmos a aprender sobre equilíbrio é fundamental,
segundo a teoria de aprendizagem de David Ausubel, termos uma idéia
do que os alunos entendem, no seu senso comum, por equilíbrio e as
questões envolventes. Para tanto, faremos um questionário, que
dependendo do tempo pode ser uma conversa informal, no início de cada
aula.
Selecionamos algumas
7- O que é necessário para um corpo parado se movimentar?
Deseja-se com a pergunta 1 saber o que os alunos acham
necessário para algo que esteja parado se movimente. Espera-se que os
alunos digam algo como um empurrão um puxão ou algo parecido.
2- O que é necessário para manter um movimento?
A pergunta 2 tem por objetivo averiguar se os alunos apontam como
necessário um agente empurrando ou puxando para que algo permaneça
em movimento.
3- Como você explica uma bola de futebol após ter sido chutada
continuar seu movimento mesmo após perder contato com os pés do
jogador?
A pergunta 3 é interessante pois se os alunos apontam na pergunta
2 a necessidade de um agente eles se deparariam com uma situação
onde este agente não se verifica, o que poderia gerar respostas
contraditórias e um conflito no aluno.
4- Como a lua consegue permanecer movendo-se ao redor da terra?
Dificilmente um aluno que nunca teve contato com a física responda
de forma satisfatória a esta pergunta de número 4, pois exige um nível de
abstração elevado.
15
5- O que é necessário para um veículo realizar uma curva de forma
segura?
O mesmo talvez ocorra com a pergunta número 5. Em ambos os
casos os alunos costumam não citar a resultante centrípeta como
responsável pelo movimento curvilíneo.
6- Como uma toalha de mesa pode ser puxada para que uma
garrafa situada em cima dela não caia?
Pretende-se saber se o aluno conhece algo sobre inércia, e sabe
justificar corretamente o fenômeno ocorrido.
7- Se uma nave viajando no espaço distante de tudo tivesse seu
sistema de propulsão desligado o que ocorreria com seu movimento?
Esta questão exige um poder de abstração muito grande dos alunos,
pois ela procura identificar se eles têm conhecimento sobre a inércia dos
corpos em movimento.
8- Quando você considera que alguma coisa está em equilíbrio?
Esta questão pretende verificar se os alunos entendem em equilíbrio
apenas como sendo repouso de um corpo.
9- Quais são as condições para um corpo estar em equilíbrio?
Deseja-se saber se os alunos sabem a relação íntima entre força,
momento e o equilíbrio.
2.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Em nosso cotidiano existem inúmeras situações envolvendo o
Equilíbrio. Para a compreensão de todas elas faz-se necessário o estudo
de alguns conceitos primordiais como: força, ponto de apoio (ou suporte),
centro de massa, torque (ou Momento).
2,2.1 NOÇÃO DE FORÇA
Utilizando a idéia de Ausubel sobre aprendizagem significativa é
interessante saber os que os alunos pensam (ou não) sobre este conceito
16
de força, averiguar se utilizam esta palavra para explicar as situações
propostas no questionário, e se em caso positivo, ainda o fazem de
maneira correta. O objetivo consiste em chegarmos ao conceito científico
partindo de suas concepções prévias, corrigindo-as, aperfeiçoando-as,
levando-os a refletirem sobre alguns detalhes. Por isso o levantamento
sob a forma de questionário, entregue aos alunos no início da aula.
No cotidiano é comum vermos a conceituação de força em termos
da capacidade de uma pessoa em erguer ou empurrar (ou puxar) algum
objeto. Uma das interpretações que as pessoas costumam fazer de
alguém que seja "forte" é de que tal indivíduo consiga através de esforço
muscular puxar ou erguer objetos pesados. No desenho animado "He-
Man" o personagem principal ao tomar a espada na mão dizia: "Pelos
Poderes Greyskul, eu tenho a força!". Será mesmo? A definição de força
como vigor físico é encontrada no dicionário; é compreensível, porém, a
noção de força vista acima não corresponde à forma como definimos do
ponto de vista científico.
Hewitt admite que, de maneira simples, um corpo está sob ação de
alguma força quando recebe um empurrão ou um puxão (Hewitt, 2000
p.49). Imagens como as vistas nas figuras 1.a e 1.b a seguir podem ser
entregues aos alunos para ajudá-los na construção do conceito de força.
O objetivo a princípio seria fazê-los perceber a idéia de força como
empurrão ou puxão.
17
FiGURA 1 a - Uma pessoa
exercendo uma Força sobre
um carro.
Figura 1b - Uma pessoa
exercendo uma Força sobre
outra.
Na figura 2 a seguir vê-se o exemplo de força como um puxão, onde
as cordas de aço que se engancham em um cabo de aço preso ao avião
fazem-no frear.
Figura 2
Um cabo de aço
retardam o avião, ajudando-o
na aterrissagem. Veja mais
fotos no porta-aviões (Foto:
Alicia Uchoa /G1)
Como podemos notar, onde há força há interação entre corpos, o
que sugere a presença de pelo menos dois corpos (interagindo). Por isso
o problema com a fala do personagem "He-Man". Quando ele levanta sua
espada e grita "... eu tenho a força", esta ainda não se manifestou, pois
até então não houve interação dele com algo, por enquanto, temos
apenas uma capacidade em fazer algo, a força feita por ele para erguer a
18
espada não requer um esforço sobre-humano, e definitivamentenão é
desta força que o personagem trata. O problema de sua frase é que
ninguém pode afirmar que possui força, pois esta é fruto de interação; a
peculiaridade de He-Man consiste, entre outras coisas, a de conseguir
realizar grandes proezas como erguer um rochedo de muitas toneladas e
lançá-lo a grandes distâncias ou coisas do gênero, ou seja, o personagem
consegue exercer força de grande intensidade sobre os corpos.
Aprofundando um pouco mais: Na figura 1.b, o homem que foi
empurrado passa a se movimentar saindo do repouso; e na figura 2 a
frenagem do avião é conseguida graças aos cabos de aço que exercem
uma força contrária ao sentido do movimento da aeronave. Em ambos os
casos vemos uma interação entre os corpos causando a modificação na
rapidez dos corpos. A partir disso podemos evoluir para uma
conceituação mais elegante. Vejamos algumas definições vistas em
alguns livros de ensino médio:
"Força, para Newton, é a ação que produz aceleração, isto é
variação de velocidade". (CALÇADA, 1998)
"Força é o agente físico que provoca variação de velocidade, ou
seja, aceleração". (PENTEADO, 1998)
É importante perceber que quando se fala em força modificando
velocidade deve-se pensar não somente na variação do valor da
velocidade, como ocorrido nos casos das figuras 1 e 2, mas também na
alteração de sua direção, o que explica todos os movimentos curvilíneos;
desde uma simples curva realizada por um carro, até o movimento de
translação dos planetas em torno do Sol ocorrem devido uma força. Neste
último caso, a tendência do planeta a cada instante seria seguir em linha
reta saindo pela tangente, porém, a força gravitacional exercida pela
estrela puxa-o, impedindo-o de sair nessa direção, fazendo com que a
velocidade (sua direção) se modifique a cada instante mantendo o planeta
em órbita em torno do Sol. No caso do carro ao realizar uma curva, se
não fosse o atrito contribuindo com uma força de direção radial atuando
nos pneus, seria impossível realizá-la, pois o carro sairia pela tangente.
19
Nestes dois últimos casos, vemos a força agindo a cada instante
exclusivamente na modificação da velocidade no que diz respeito à
direção.
Dificilmente sobre um corpo qualquer atua apenas uma única força.
Por isso é necessário prever o efeito criado por um conjunto delas. A ação
resultante de duas ou mais forças é chamada de força resultante (ou
Resultante das forças). Quando as forças de mesma direção atuam no
mesmo sentido elas se somam produzindo, portanto, uma força ainda
maior; e quando atuam em sentidos opostos se subtraem, e ainda neste
caso, se tiverem mesma intensidade, se aniquilam (a força resultante será
nula). Mas as forças podem possuir direções distintas e nestes casos
podemos aplicar algumas regras para obtermos a resultante.
A força resultante por definição, como o próprio nome sugere, é a
ação ou efeito de todas as forças atuantes em um corpo; sua discussão e
entendimento possibilitarão o aluno compreender a relação existente
entre a força (resultante) e o equilíbrio.
2.2.2 LEI DA INÉRCIA E A PRIMEIRA LEI DE NEWTON.
O que acontecerá a um corpo em repouso se a força resultante
sobre ele for nula? Nas duas situações a seguir vemos a disposição de
forças sobre a argola que permanece em repouso, sem transladar.
Figura 3: Uma força de intensidade 5 unidades puxa a argola
pra direita cujo efeito é compensado pelas duas forças, de mesma
20
direção e sentidos opostos, de intensidades 2 e 3 unidades. Note que
2+3=5.
Como se pode ver a força resultante é nula, o que implica no
equilíbrio de translação da argola.
Vem da observação do cotidiano de que se o resultado da ação de
todas as forças atuantes em um corpo for nulo, estando ele em repouso,
continuará em repouso, pois sem a interação desse corpo com algo, não
haverá motivos para o mesmo se movimentar (transladar). Portanto, está
claro que para um corpo permanecer parado a força resultante deve ser
nula, concepção bastante intuitiva.
Em se tratando de um corpo que seja levado a mover-se, o que
acontecerá com seu movimento se a força (resultante) deixar de existir?
Para entendermos isso podemos recorrer a diversas situações do
cotidiano.
Quando se empurra uma caixa sobre uma superfície comum, vemos
que seu movimento cessa quando a força que era aplicada deixa de atuar
levando-nos a uma idéia bastante aceita, porém, equivocada de que sem
força não há movimento e cujo principal defensor foi Aristóteles.
De acordo com a concepção aristotélica movimentos como de uma
pedra lançada para cima ou de uma caixa ao ser arrastada somente eram
possíveis devido a um agente externo (força). Essa noção é
compartilhada por muitos alunos e leigos de maneira geral. Aristóteles
agrupava os movimentos terrestres* em duas categorias: movimento
natural - que não necessitava de um agente externo para ocorrer, pois
era espontâneo e de acordo com a natureza do material (a pedra cai, pois
sendo formada pelo elemento terra tende a ir para o seu lugar natural), e
o movimento violento - que ao contrário do anterior, dependia de forças
externas para ocorrer (uma caixa somente se movimenta se houver uma
força).
"Aristóteles pensava que todos os movimentos ocorressem ou
devido à natureza do objeto movido ou devido a empurrões ou puxões
mantidos. Uma vez que o objeto se encontra em seu lugar apropriado, ele
não mais se moverá a não se que seja obrigado por uma força. Com
21
exceção dos corpos celestes, o estado normal é o de repouso." Hewitt
(2002, p.45).
As idéias aristotélicas perduraram por vinte séculos; elas
conseguiam explicar a maioria dos movimentos, mas Galileu mostrou-nos
uma nova maneira e mais abrangente de ver as coisas. De fato uma caixa
em cima de uma superfície apenas se movimenta se for empurrada, o
problema é que Aristóteles ignorava o atrito. Para Galileu, não era o fato
da força deixar de existir que fazia a caixa parar, mas sim o atrito
existente provocando uma força contrária ao seu movimento que diminuía
sua rapidez. Por meio de uma experiência de pensamento, ele deduziu
que se pudéssemos eliminar todo atrito resistente ao movimento em linha
reta de um corpo, o mesmo permaneceria assim indefinidamente, sem
qualquer alteração em sua velocidade e sem a necessidade de uma força
atuando constantemente. (Talvez seja interessante discutir estas idéias
com bolinhas de vidro abandonadas e lançadas por sobre uma rampa
(superfície inclinada) de madeira ou simplesmente superfície de um livro).
Para compreender o que se acabou de dizer sobre força e
movimento constrói-se em aula o objeto visto na figura a seguir que será
impulsionando em cima de uma superfície horizontal comum.
22
Figura 4
O objeto da figura ao ser impulsionado contraria a idéia
de que para haver movimento precisamos de força.
O interessante é perceber como o conjunto move-se deslizando
praticamente sem resistência após a impulsão. Pode-se repetir o
procedimento impulsionando o objeto sem o balão e nada disso
acontecerá.
A explicação para o balão após ser empurrado seguir
movimentando-se é a mesma para entender o porque uma pessoa
cavalgando sente-se lançada para frente no sentido do movimento após o
cavalo frear abruptamente. Isto acontece porque mesmo sem ação de
força (resultante) corpos em movimento possuem uma tendência natural
de movimento!
Foi assim que Galileu Galilei (1554-1642) explicou os movimentos
rompendo com a visão aristotélica. Segundo Galileu, o movimento de um
corpo a velocidade constante é tão natural quanto o estado de repouso.
Essa tendência dos corpos em permanecer como se encontram foi
denominada de Inércia. De acordo com este princípio um corpo que
esteja em repouso tende a ficar parado, assim como um que esteja em
movimento tende a permanecer em movimento sem qualquer alteração
de velocidade, ou seja, em MRU (Movimento Retilíneo Uniforme).
O termo "tendência" é apropriado uma vez que isso somente
ocorrerá se não existirem agentes externos (força resultante)pra mudar
23
isso. Aqui está o grande mérito de Isaac Newton: explicar por meio de
forças o princípio da inércia. O que ficou conhecida como Primeira Lei de
Newton.
Todo objeto permanece em seu estado de repouso ou de movimento
uniforme em uma linha reta, a menos que seja obrigado a mudar aquele
estado por forças imprimidas sobre ele. (Gonzatti, 2008)
Com isso podemos dizer que a inércia é uma propriedade dos
corpos no qual eles por si só não podem alterar de seu estado de repouso
ou de movimento.
Toda vez que a velocidade de um corpo se modifica existe
aceleração. Define-se aceleração como a rapidez com que a velocidade
de um corpo varia (para mais ou para menos). Por exemplo, um corpo
que varia sua velocidade em 2 m/s a cada segundo possui uma
aceleração dada por
Av 2 m / s 2a = — = = 2 m / s .
At l s
A fim de se compreender a relação existente entre aceleração e
massa pode-se realizar uma atividade com uma cédula posta entre os
gargalos de duas garrafas de vidro e de plástico. O objetivo é tentar retirar
a cédula sem derrubar as garrafas e identificar os princípios físicos
envolvidos e diferenciar as dificuldades de realizar a tarefa com a massa
das garrafas.
A inércia é proporcional a massa de um corpo, de tal modo que,
quanto maior for a sua massa maior será a inércia, ou seja, a resistência
a variação de seu estado de movimento ou de repouso será maior. No
caso do experimento com a cédula ao substituir a garrafa de vidro pela de
plástico estamos diminuindo a massa, e com isso a resistência ao
movimento e por isso é mais fácil movimentar, acelerar a garrafa mais
leve. Portanto, a relação entre aceleração e massa é inversamente
proporcional ( a o c — )
m
É fácil perceber que quanto maior for a intensidade da força
resultante sobre um mesmo corpo, maior será a aceleração adquirida pelo
mesmo, o que se reflete em um aumento da rapidez com que a
24
velocidade variará. Logo, esta relação é diretamente proporcional (accFR),
pois ao dobramos a força resultante a aceleração ficará duas vezes
maior, e assim sucessivamente.
Essas duas importantes conclusões estão contidas na Segunda Lei
de Newton, que pode ser resumida na forma matemática por:
P
a = — , ou FR = m - a
m
No sistema Internacional de Pesos e Medidas (SI) a unidade de
medida para a massa é o quilograma (símbolo: kg), e para a aceleração é
o metro por segundo ao quadrado (símbolo: m/s2). Utilizando a relação
acima, nota-se que para acelerar em 1 m/s2 uma massa de 1 kg é
necessário aplicar uma força resultante de FR = 1 (kg) x 1(m/s2) = 1
newton (N) (Esta é a unidade de força no SI).
É importante perceber que a Segunda Lei de Newton está em plena
consonância com a Primeira, uma vez que se a força resultante for nula,
isso implicará em uma aceleração nula, e não havendo aceleração a
velocidade não irá variar.
Existe algo importante e que está presente em todos os momentos
em que vemos a ação de forças sobre algo. Por exemplo, quando
empurramos a traseira de um carro, aplica-se uma força sobre ela da
mesma maneira que a traseira do carro aplica em nós uma força. Quando
esmurramos uma parede com o punho exercemos força sobre ela da
mesma maneira que ela exerce sobre nossos punhos uma força; isso
explica porque é doloroso fazer isso. De acordo com a Terceira Lei de
Newton: "Toda ação está sujeita a uma reação de mesma intensidade,
mesma direção e sentidos opostos. Mas há algo mais por trás deste
princípio que pouco se comenta e precisa ser discutido.
A primeira informação que precisa ser bem trabalhada é aquela
sobre a ação e reação. Realmente a ação tem mesmo valor da reação,
porém nem tudo (força) que se faz é transformada em ação. Vejamos
uma situação cotidiana em que um boxeador golpeia um saco de areia
com a mesma força que golpeia uma folha de papel.
É notório que ao golpear o saco de areia o impacto sofrido pelo
punho do boxeador é muito superior aquele sofrido sobre a folha de
25
papel. Isto ocorre porque o tamanho da ação que se consegue transferir a
um corpo só pode ter o mesmo tamanho da reação que este é capaz de
oferecer. Em outras palavras, sendo a reação exercida pela folha de
papel inferior a reação exercida pelo saco de areia então ação sobre
estes dois corpos não será a mesma. Tudo isto nos remete a idéia de que
nem tudo que se faz transforma-se em ação. Em ambos os casos aplicou-
se a mesma força, porém a ação (ou reação) foi maior sobre o saco de
areia. Ao esmurrar uma parede e um saco de areia com a mesma força,
machuca-se mais os punhos no primeiro caso do que no segundo. Isto
ocorre porque no segundo caso diferentemente do primeiro, parte da
força feita é aproveitada para deformar e movimentar o saco, fazendo
com que apenas uma parte, virasse "ação" sobre o mesmo.
Outro detalhe consiste no fato de a força ser fruto da interação entre
corpos. Ao mesmo tempo que um homem esbofeteia o saco de areia, ele
sofre a reação deste sobre seus punhos. Punho e saco interagem entre si
simultaneamente. O mesmo ocorre quando andamos - nossos pés
empurram o chão para trás, e de forma simultânea estes nos empurram
para frente provocando nosso movimento, (é claro que sem o atrito entre
os nossos pés e o chão, nada disso seria possível!). Vemos aqui a
interação entre chão e pés.
Os foguetes também estão baseados neste princípio. Para
ascender, o foguete expeli os gases da combustão para baixo, e com isso
recebe simultaneamente uma força de mesmo valor no sentido oposto, ou
seja, para cima. Um erro muito comum aqui adotado é atribuir ao
movimento do foguete o fato deste empurrar o ar em sua volta para baixo
e este empurrá-lo para cima. Se isto fosse verdade não se poderia
movimentar foguetes no espaço, uma vez que lá não existe matéria.
Neste caso, a interação está acontecendo entre as partes internas do
foguete e o combustível arremessado. Esses exemplos são melhores
entendidos nas aulas sobre conservação de quantidade de movimento,
pois o aluno tem a tendência de ver apenas um corpo: o foguete. Isso
significa que na natureza as forças aparecem sempre aos pares, pois ela
é fruto da interação entre corpos e que neste par (ação e reação) uma
força não existe sem a outra.
26
2.2.3 FORÇA PESO E A FORÇA DE APOIO
A terra atrai os corpos com uma força gravitacional chamada
comumente de força Peso. Sua intensidade é dada, de acordo com a
segunda lei de Newton, por: P = m.g, onde g é aceleração da gravidade
naquele local. A direção da força peso é vertical e seu sentido está
sempre orientado para o centro da terra.
A força de apoio ocorre quando há um contato entre superfícies, e
atua sempre na direção perpendicular às mesmas, num sentido
apontando para fora do objeto. Vejamos uma situação corriqueira de um
livro apoiado em cima de uma mesa horizontal. O livro encontra-se
amparado pela superfície da mesa, exercendo sobre ela uma força de
compressão com sentido de cima para baixo; de acordo com a 3a Lei de
Newton, a mesa fará sobre o livro uma força de mesma intensidade,
direção, mas sentido oposto; esta última é chamada Força Normal (N).
Estas duas forças (N e -N) formam o que chamamos de par ação e
reação.
Além da força Normal, atua sobre o livro a força peso P. Como o
livro encontra-se em repouso, através das leis de Newton podemos
concluir que a força resultante atuante sobre ele deve ser nula implicando
emÍNl=i PL
27
CAPÍTULO 3: CENTRO DE GRAVIDADE E NOÇÕES DE
EQUILÍBRIO.
3.1 CONHECIMENTOS PRÉVIOS
Pretende-se ao final desta aula que os alunos tenham condições de
responder as seguintes perguntas sobre equilíbrio:
1- Onde atua a força Peso definida como a força gravitacional com
que a Terra exerce em um corpo?
2- Um garçom está carregando uma bandeja. Como ele costuma
equilibrá-la ?
As questões 1 e 2 tratam da mesma coisa, mas mesmo assim na
maioria dos casos o aluno não vê ligação entre elas; se o garçom procura
equilibrar a bandeja apoiando-na no centro é porque a força gravitacional
atua exatamentenaquele ponto, conhecido como centro de gravidade,
pois de acordo com a condição de equilíbrio apresentada na aula 1 a
força de apoio deve "anular" a força peso,
3- Porque uma caixa comum tomba quando mais da metade de seu
comprimento pende para fora da base de apoio?
Base de apoio
Figura 5: Caixa homogênea tombando.
Com esta pergunta deseja-se saber se o aluno conhece o motivo do
porque a caixa tomba. É interessante saber o que eles dizem aqui,
sobretudo por ser essa uma pergunta de resposta pouco trivial.
4- Uma caixa encontra-se em repouso, apoiada em menos da
metade de sua superfície. Como isso é possível?
28
Figura 6.a: visão lateral
da caixa de papelão em
equilíbrio.
Figura 6.b: visão de
cima da caixa de papelão em
equilíbrio.
Este experimento pretende causar um impacto nos alunos, pois é de
se esperar que uma caixa com sua massa uniformemente distribuída não
fique em equilíbrio como se viu na questão anterior. Mas esta é a
questão! O equilíbrio somente foi possível porque a caixa não é simétrica
do ponto de vista da massa, isto é, em seu interior foi colocado um peso
que desloca o centro de gravidade do conjunto. A expectaiva quanto a
respostas corretas dos alunos é pequena.
5- Se formos colocando livros na borda da mesa, o de cima sempre
um pouco deslocado, até que ponto pode-se adicionar mais livros?
Figura 7 - Livros idênticos são empilhados um sobre os outros com
certa defasagem e de forma gradual até quando o conjunto estiver
prestes a tombar.
29
6- Explique por que uma pessoa que consegue curvar-se para tocar
seus pés como na figura abaixo, não consegue ao tentar fazê-lo
encostada em uma parede?
Figura 8: http://www.seara.ufc.br/sugestoes/fisica/grav3.gif
7- Por que é mais fácil manter-se equilibrado em pé dentro de um
veículo com os dois pés distanciados do que juntos?
8- Por que é praticamente impossível equilibrar um objeto em
formato piramidal apoiado pela parte pontiaguda como se vê na tentativa
da figura 11?
Figura 9: Objeto em formato em pirâmide numa tentativa de
equilíbrio apoiada pela parte pontiaguda.
Com as questões de 5 a 8 pretende-se discutir a mesma idéia: De
que um corpo para estar em equilíbrio precisa ter o seu centro de
gravidade apoiado por uma base de apoio. É por este motivo que a pilha
de livros da figura 7 tomba quando se adiciona mais livros do que o
30
máximo possível, e que é impossível uma pessoa tocar seus pés sem
tombar para frente quando tenta fazer isto com seu corpo de costas rente
à parede (ver figura 8 da questão 6); assim como também ser
praticamente impossível manter a pirâmide da figura 9 equilibrada
apoiando-na pela parte pontiaguda.
9- Por que no carro de fórmula 1 a carroceria fica bem rente ao
chão?
Esta questão envolve o conhecimento sobre a estabilidade de um
corpo. Quanto mais próximo o centro de gravidade estiver da base de
apoio mais estável aquele corpo está. Isto é muito desejado nos veículos
de alta velocidade. Pode-se discutir o perigo nos transportes alternativos
(vans e kombis) que ao superlotarem seus veículos (muitas pessoas em
pé) provocam uma instabilidade com aumento da altura do centro de
gravidade.
10- Como é possível manter o sapo da figura em equilíbrio?
Figura 10: Sapo apresenta-se em equilíbrio apoiado pela boca.
Esta questão refere-se a uma situação de equilíbrio estável com o
centro de gravidade abaixo do ponto de apoio. Propõe-se aos alunos a
explicação do fenômeno e se eles identificam o que torna isso possível.
31
Antes de se discutir todas essas questões, constata-se como
fundamental a compreensão de alguns conceitos.
3.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
3.2.1 CENTRO DE GRAVIDADE. DEFINIÇÃO E COMO
ENCONTRÁ-LO?
O conceito de centro de gravidade é bastante antigo e foi discutido
principalmente por Arquimedes. Sua importância é tamanha, pois o
entendimento a cerca do equilíbrio dos corpos não pode ser atingida, de
forma plena, sem seu domínio.
Este conceito tal qual fora definido por Arquimedes pode ser
facilmente compreendido ao se realizar diversos experimentos simples
como, por exemplo, equilibrar um corpo rígido em cima de um suporte.
(Corpo rígido é aquele que possui todas as suas partes (partículas) à
mesma distância entre si em qualquer instante de tempo).
Nos três experimentos a seguir apoiou-se uma régua, um martelo, e
um objeto em formato triangular num suporte de tal maneira que os
corpos ficassem em equilíbrio. Vale ressaltar que ambos encontravam-se
livres para girar.
Figura 11.a: A régua de 20
cm somente permanece em
equilíbrio quando apoiada sobre
um ponto situado a 10 cm das
extremidades.
Figura 11.b: Régua em
equilíbrio vista de cima.
32
Figura 12.a: Martelo em
equilíbrio.
Figura 12.b: o martelo fica
em equilíbrio quando
suportado por um ponto mais
próximo da cabeça (a esquerda
do ponto médio)
Figura 13: o triângulo também possui um ponto específico no
qual o equilíbrio persiste.
Percebe-se que estes corpos somente ficam em repouso quando
apoiados em pontos específicos. Se em ambos os casos deslocarmos os
corpos Qá equilibrados) pra qualquer lado, estes cairão em direção a
terra. Portanto, este ponto no qual os corpos equilibram-se é chamado de
centro de gravidade.
Outra maneira possível de identificar o centro de gravidade dos
corpos consiste em suspendê-los por um ponto deixando-os livres para
oscilar em torno do mesmo. Ao se fazer isto os corpos tendem ao
equilíbrio, com o centro de gravidade e o ponto de suspensão, alinhados
verticalmente. Deve-se notar também que neste instante as forças de
sustentação (força de apoio) e gravitacional estão verticalmente
alinhadas.
33
Utilizando este conhecimento podemos determinar o centro de
gravidade dos corpos dos mais variados formatos possíveis.
Determinaremos o C.G de apenas três figuras. São elas: o quadrilátero,
triângulo e a meia-lua. O procedimento para sua obtenção será o mesmo.
O objeto é suspenso por um alfinete horizontal que passa por um
orifício feito no objeto previamente e cujo tamanho seja ligeiramente maior
do que a área do alfinete para com isso diminuir o atrito. Um fio de prumo
será posto no mesmo alfinete citado anteriormente a fim de que tenhamos
a indicação da direção vertical. Observa-se que ao soltar o objeto, este
gira em torno do ponto de suspensão parando após algum tempo -
quando o centro de gravidade e o ponto de suspensão estão alinhados
verticalmente. Nesse momento traça-se a reta vertical dada pelo fio de
prumo; tal reta contém o ponto de suspensão e o centro de gravidade.
O procedimento deve ser repetido para outro ponto de suspensão
distinto e que não esteja sobre a reta anteriormente traçada. Nas figuras
abaixo estão as imagens do experimento:
Quadrilátero
Figura 14 a figura 14 b
Na figura 15a o quadrilátero foi suspenso por um ponto
qualquer. Após o equilíbrio traçou-se a reta vertical dada pelo fio de
prumo, e posteriormente suspendeu-se o mesmo objeto por outro
ponto (figura 14b).
34
Repetiu-se o procedimento
para um terceiro ponto de
suspensão, onde foi obtido a figura
14c e 14d (ampliação da anterior).
Meia-lua
Figura 15b:
Figura 15a
Na figura 15.a suspendeu-se a
meia-lua por um ponto qualquer e
traçou-se, no equilíbrio, a reta vertical
dada pelo fio de prumo. Na figura 15.b, repetiu-se o procedimento para
outro ponto da figura.
35
Figura 15c: Ampliação da
figura 15b. Note que a interseção
das retas que contém o centro de
gravidade está fora do corpo.
Como já foi dito, no equilíbrio, o
centro de gravidade e o ponto de
suspensão estão alinhados na
vertical, portanto, ao traçamos a reta
dada pelo fio de prumo estaremos
restringindo a localização do centro
de gravidade, que deverá estar
posicionado em algum lugar da reta obtida; ao repetirmos o procedimento
para outros pontos de suspensão serão obtidas outras retas. Como o
centro de gravidade deve pertencer a todas estas retas, então tal ponto
deve estar situação exatamente sobre a interseção das mesmas.
Percebe-se no casodo quadrilátero que o centro de gravidade
coincide com o centro geométrico* do corpo, cuja localização é obtida
pelo encontro das diagonais. Este procedimento constitui uma importante
ferramenta de obtenção do centro de gravidade de figuras simétricas e
homogêneas como: paralelepípedos e cubos.
Outro detalhe importante aqui é mostrar que existem corpos onde o
centro de gravidade está situado fora de si, no vazio. É exatamente por
isso, que há controversas sobre a definição do centro gravidade como o
local onde se concentra o peso do corpo. É o que ocorre com a meia lua.
Ao traçarmos as duas retas a fim de obtermos a interseção entre elas, e
consequentemente o centro de gravidade, nota-se que este encontro
ocorre fora da superfície do objeto. O mesmo ocorre com objetos em
formato anelar ou ocos.
[*Centro geométrico de uma figura é o ponto no qual a reta que
liga este e qualquer outro ponto do objeto, divide o objeto em parte
iguais].
36
Depois de compreendido o conceito de centro de gravidade o aluno
poderá explicar como foram possíveis as situações de equilíbrio das
figuras 5, 6 e 7 das perguntas de 3 a 5. Tanto a caixa quanto a pilha de
livros permaneceram em equilíbrio porque o centro de gravidade
encontrava-se amparado por uma base de apoio. Obviamente, a caixa da
figura 6 não se encontrava vazia, pois se assim estivesse seu centro de
gravidade estaria na metade de seu comprimento, e consequentemente
fora da base de apoio, fazendo com que a mesma viesse a tombar. Para
que o centro de gravidade ficasse mais próximo da extremidade esquerda
foi posto no interior da caixa um objeto pesado fazendo com que assim o
centro de gravidade do sistema caixa+pedra estivesse dentro da base de
apoio. À medida que caixa for sendo empurrada para fora da mesa, o
equilíbrio persistirá até o momento em que o centro de gravidade do
sistema estiver exatamente sobre a quina da mesa, onde novamente
nota-se o alinhamento entre força de apoio e força peso.
O mesmo ocorre à pilha de livros da figura 7. À medida que os livros
vão sendo colocados uns sobre os outros com certa defasagem entre eles
o centro de gravidade vai sendo deslocado também, para fora do apoio.
Dessa maneira, a quantidade máxima de livros que pode ser adicionada
para que o conjunto não tombe deve ser tal que o centro de gravidade
ainda permaneça dentro da região de apoio limitada pela área do livro que
está em contato com o solo.
Com relação à pessoa da figura 8, a mesma consegue realizar o
feito de tocar seus pés com as mãos apenas se tiver condições de ajeitar-
se para que o centro de gravidade de seu corpo fique convenientemente
dentro da região de seus pés, sua base de apoio, o que é impossível de
se conseguir quando encostada na parede. Pelo mesmo motivo é mais
difícil manter-se em pé no interior de um ônibus em movimento com os
pés juntos do que com os pés separados, pois pequenas inclinações
poderiam fazer com que o centro de gravidade ficasse fora da base de
apoio.
37
3.2.2 NOÇÕES DE EQUILÍBRIO
Dentro de uma situação de equilíbrio podemos ainda diferenciar três
tipos. São eles: o equilíbrio Estável, Instável, e o Indiferente. Uma
maneira simples para reconhecer o tipo de equilíbrio que estamos lidando
seria deslocar o corpo daquela posição.
Na imagem a seguir vemos um boneco equilibrando-se em cima de
um barbante. É interessante ver como o boneco mesmo quando
empurrado levemente, oscila, mas não cai.
Figura 16: arranjo em equilíbrio em cima de um barbante.
O mesmo acontece com o pássaro de decoração a seguir:
38
Figura 17: Pássaro mantém-se equilibrado apoiado através do
bico.
http://www.pet.dfi.uem.br/index.php?frame=ludofisica&paqe=passaro
equilibrista.html
Nesta outra montagem abaixo, vemos a mesma situação intrigante.
A disposição do garfo é determinante para haver equilíbrio. Mesmo
quando se provoca uma leve oscilação, o sistema permanece equilibrado.
Figura 18a: arranjo em equilíbrio apoiado na "boca" da garrafa.
39
Figura 18b: arranjo em equilíbrio estável apoiado na Figura 18c: arranjo em equilíbrio na ponta do dedo.
ponta de um palito.
Como explicar todas essas
situações? Perceba que quando tais objetos são levemente deslocados
desta posição de equilíbrio, estes tendem a retornar a tal posição.
Quando isto ocorre é porque estamos diante de um equilíbrio do tipo
Estável.
Talvez você não tenha percebido, mas existe algo em comum nos
três exemplos acima citados e que está relacionado com a posição do
centro de gravidade do conjunto. Em todos os exemplos o centro de
gravidade do sistema encontrava-se abaixo do ponto de apoio. No
primeiro caso, utilizou-se uma pilha presa ao arame o que abaixou o
centro de gravidade; no segundo caso, as duas asas do pássaro
"equilibrista" continham pesos adicionais escondidos em seu interior o que
provocava o abaixamento do centro de gravidade; e no terceiro e último
caso, a maior parte da massa do garfo (Cabo do garfo) encontrava-se
abaixo do centro de suporte ocasionando a mesma situação. Além desses
exemplos temos o sapo "equilibrista" da questão 10 figura 10, que fica em
repouso apoiado pela cabeça somente quando se adiciona pesos
(moedas) em suas patas.
Sempre quando o centro de gravidade estiver abaixo do ponto de
apoio o equilíbrio daquele corpo será Estável. Mas, seria possível um
equilíbrio estável com o centro de gravidade acima do ponto de apoio?
Considere um objeto em formato piramidal como o da figura abaixo:
40
Figura 19: Pirâmide apoiada pela base.
Ao se tentar equilibrar este objeto pela base circular (figura 19)
apoiando-o em uma superfície retilínea horizontal, não encontraremos
dificuldade; o que não se verifica quando se deseja fazer o mesmo numa
posição invertida, apoiando-o pela parte pontiaguda. A explicação disso
está novamente no conceito de centro de gravidade e base de apoio.
Quando o objeto em formato piramidal é posto em uma superfície,
apoiado pela base maior o centro de gravidade encontrar-se-á amparado
pela base de apoio. Veja a projeção do centro de gravidade na figura a
seguir:
Base de apoio
Figura 20: A o centro de gravidade da pirâmide encontra-se
amparada pela base de apoio.
41
Ainda que o objeto fosse
levemente inclinado para
qualquer lado (mantendo-se em
contato com a superfície) este, ao
ser solto, retornaria a posição (de
equilíbrio) denotando assim um
Equilíbrio Estável. Para que este
tipo de equilíbrio Sempre OCOrra Figura 21: Ao deslocar levemente a pirâmide de
sua posição de equilíbrio ela tende a retornar pra
em situações com centro de tai configuração.
gravidade acima da região de
suporte, o centro de gravidade, ou melhor, sua projeção necessariamente
deverá estar compreendida pela base de apoio.
A estabilidade de um corpo pode ser aumentada. No automobilismo,
por exemplo, devido as altas velocidades e os conseqüentes riscos de
tombamento, é interessante aumentar a estabilidade dos veículos. Para
entendermos como isso pode ser conseguido, precisamos compreender a
relação entre altura do centro de gravidade e base de apoio.
Façamos uma experiência simples utilizando uma caixa de papelão,
que devido a sua simetria seu centro de gravidade deverá localizar-se no
centro geométrico do sólido.
Figura 22a: Centro de
gravidade da caixa encontra-se no
interior da caixa em algum lugar
da reta horizontal que passa pela
interseção das diagonais.
42
Na figura 22b, observa-se a caixa em equilíbrio, inclinada sob
um dado ângulo. Ângulo este que vai sendo aumentado até a
situação da figura 22c, quando o centro de gravidade está prestes a
sair da base de apoio.
Esta caixa é posta em cima de uma superfície cuja inclinação vai
sendo aumentada gradativamente até o momento em que a caixa estiver
prestes a tombar (Figura 22c); neste momento o ângulo de inclinação da
superfície com respeito a horizontal é dito ângulo crítico.
Se, a partir da situação da figura 22c, aumentarmos a inclinação da
superfície com a horizontal a caixa tomba, pois ocentro de gravidade
estaria fora da base de apoio. Isto pode ser evitado se adicionarmos mais
"peso" ao fundo da caixa abaixando com isso o centro de gravidade do
conjunto que volta a estar dentro da base de apoio fazendo com que o
equilíbrio seja restabelecido.
43
k*,:,-
Nas figuras 23a e 23b a caixa não tomba, pois foi adicionado em
seu interior pesos a fim de que seu centro de gravidade abaixasse
ficando novamente dentro da base de apoio. Sem a adição desses
pesos o centro de gravidade estaria fora da base de apoio
ocasionando a rotação da caixa.
Situação 1:
Centro de gravidade elevado
Situação 2:
Centro de gravidade bem rente a base de apoio
os Estável MHifc Eslave'
Figura 24: O centro gravidade do corpo na situação 2 está mais
baixo do que na situação 1, o que proporciona mais estabilidade.
De acordo com a noção de equilíbrio estudada anteriormente, o
objeto cujo centro de gravidade está amparado pela base (ou ponto) de
apoio está em equilíbrio. Vimos que ao abaixar o centro de gravidade
aumentamos ainda mais estabilidade dos corpos. Com o C.G mais baixo
o corpo pode sofrer uma inclinação máxima para não tombar maior do
que em situações com CG elevado; na figura 24 o risco de tombamento
será menor na situação 2 do que na situação 1.
44
A aplicação deste conceito pode ser visto nos automóveis
transportadores de cargas, cujo formato deixa o centro de gravidade mais
baixo do que nos modelos tradicionais. Esta medida também pode ser
vista nos carros de fórmula 1, onde a carroceria fica rente ao chão, e nas
construções civis quando adiciona-se pesos (sacos com areia) na base
dos andaimes de ferro de passarelas provisórias.
Retomando o caso da tentativa de equilíbrio da pirâmide, mas agora
em uma posição invertida; para que seja possível equilibrar a pirâmide
vimos que a projeção de seu centro de gravidade deverá estar dentro de
uma base de apoio. Como neste caso o apoio está restrito a um único
ponto apenas, o centro de gravidade deverá estar alinhado verticalmente
com este ponto. Acontece que isto na prática é extremante difícil de ser
conseguido, pois um desvio, ainda que mínimo, faz com que o centro de
gravidade fique fora do centro de apoio, provocando, portanto, a rotação
(Desequilíbrio). Então ao imaginar o equilíbrio da pirâmide invertida, este
será instável, pois ao ser levemente deslocada a pirâmide não retornaria
a posição de equilíbrio. O mesmo ocorre a uma esfera colocada
cuidadosamente em cima de uma superfície convexa. Ao deslocá-la
levemente para qualquer um dos lados, a esfera não tenderá a voltar para
posição de equilíbrio anterior, pelo contrário, se afastará daquele ponto de
forma indefinida. Portanto, naquele momento em que se encontrava
imóvel no ponto mais alto, tínhamos uma situação de Equilíbrio Instável.
Figura 25a: Esfera em equilíbrio instável no alto de uma superfície
convexa.
45
Figura 25b: Esfera sendo levemente deslocada da posição de equilíbrio.
Figura 25c: Esfera em movimento acelerado.
Outro exemplo consiste em um boneco que é disposto de cabeça
para baixo numa escada feita de palitos de sorvete. O centro de
gravidade do mesmo encontra-se acima do ponto de apoio e qualquer
desvio faz com que o boneco gire em torno do ponto de apoio indo para o
degrau inferior, onde a mesma situação é verificada.
Figura 26.a: Figura 26.b
Boneco de madeira (Vista Frontal) Boneco de madeira (Vista
Lateral)
46
Figura 26.c: Figura 26.d
Boneco no momento do abandono. Boneco descendo a escada.
47
CAPITULO 4 - EQUILÍBRIO DE TRANSLAÇÃO X
EQUILÍBRIO DE ROTAÇÃO
O fato da força resultante atuante em um corpo ser nula é condição
suficiente para ocorrer equilíbrio? Para termos condições de responder a
esta pergunta precisamos entender o conceito que estudaremos a seguir.
4.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
4.1.1 TORQUE OU MOMENTO DE UMA FORÇA
Vimos até aqui que corpos suspensos por um único ponto ficam em
equilíbrio com o centro de gravidade e o ponto de suspensão, alinhados
verticalmente. Portanto, para manter em repouso na horizontal a régua,
devemos suspendê-la pelo seu centro de gravidade.
Figura 27: Régua em equilíbrio suspensa pelo centro de
gravidade
48
Utilizando este experimento poderemos evoluir no que diz respeito
as condições de equilíbrio dos corpos. É importante perceber que neste
caso existem duas forças atuantes. São elas: a força peso, atuante no
centro de gravidade; e a força de sustentação (força de apoio), aplicada
no ponto de suspensão. De acordo com a Primeira Lei de Newton, para
haver equilíbrio a força resultante sobre ela deve ser nula; a força de
apoio naquele ponto contrabalanceará a força peso. Dois "pesos"
idênticos são colocados em ambos os lados do ponto de suspensão e à
mesma distância do mesmo.
Figura 28: Sistema em equilíbrio quando os pesos idênticos
estão situados a distâncias iguais.
49
Figura 29: note que o ponto de suspensão está na posição 15
cm da régua, o peso da esquerda na posição 5 cm e o da direita na
posição 25 cm.
Verificando a persistência do equilíbrio da régua, somos tentados a
pensar que isto ocorre pelo fato da força resultante continuar sendo nula.
Mas, seria essa condição suficiente para garantir o equilíbrio? Para testar
isso podemos mudar a posição de um dos pesos adicionados. Ao afastar
o peso da direita do ponto de apoio a régua entrará em rotação no sentido
horário (ver figura 30.b).
Figura 30a: Peso da direita foi deslocado.
50
Figura 30b: Registrou-se a rotação da régua. Mas se a força
resultante é nula, porque o sistema tomba?
Porque o sistema tomba? Note que ao deslocarmos o peso acima,
não se alterou a força sobre o sistema, ou seja, a força resultante
continuou sendo nula, mas mesmo assim a régua pendeu para um dos
lados. Acabou-se de mostrar empiricamente que o fato da força resultante
ser nula não é uma condição suficiente para a ocorrência do equilíbrio. O
que podemos tirar disso tudo é que para haver equilíbrio outra condição
deve ser necessária; outro conceito deve ser importante nesta discussão.
Tal conceito é chamado de momento ou torque de uma força e está por
trás de qualquer máquina simples, que estudaremos mais adiante.
Quando desejamos produzir a rotação de algo ou até mesmo evitá-
la, devemos aplicar um torque (ou momento) - e por traz disso está a
força. Uma força poderá ou não gerar um torque e isso é claro, irá
depender da maneira como a mesma for aplicada ao corpo. Por exemplo,
ao tentar abrir uma porta, não adianta exercer força de maneira paralela à
porta como se vê na imagem abaixo. Tal força não será capaz de realizar
rotação, significando que seu torque é nulo.
51
Figura 31: Força sendo aplicada paralelamente à porta
De maneira geral, uma força aplicada em um ponto cuja direção
contém o ponto de apoio (no caso da porta, onde se encontra a
dobradiça) não causará rotação em torno do mesmo (seu momento será
nulo).
Mantendo-se fixo o valor da força aplicada e o ponto de aplicação, o
método mais eficiente para produzir rotação da porta seria exercer uma
força perpendicular à mesma. Isto pode ser verificado ao se girar uma
porta puxando-a por um barbante preso à maçaneta. Ao realizar esta
simples tarefa você perceberá que quando o barbante estiver esticado
perpendicularmente à superfície da porta, o esforço despendido para girá-
la será menor do que para outros ângulos; levando a crer que se a
intensidade da força fosse mantida constante (ao variar apenas a direção
do barbante) seu giro seria mais fácil à medida que o ângulo entre o
barbante e a superfície da porta fosse aumentando até 90°.
Isto se explica quando se decompõe a força F nas direções paralela
(direção x) e perpendicular à porta (direção y).
52
NI
O
Figura 32: Aplicação de uma força F na porta (visão de cima)
formando um ângulo a com a mesma. Vê-se também a
decomposição de F em termos das componentes Fx e Fy.
Como já se discutiu anteriormente, a componente Fx não causa
rotação, que ficará ao encargo da componenteFy. Em outras palavras, o
torque ou momento, depende apenas da componente da força que é
perpendicular à porta, por isso quando se aumenta o ângulo 6, a
intensidade de Fy também aumenta, o mesmo ocorrendo com o torque.
Podemos resumir tudo isso na seguinte frase: torque é proporcional a
intensidade da força perpendicular (M « F ).
Mas não é somente da intensidade da força que depende o torque.
A distância de aplicação da força ao ponto de apoio também tem
importância. A relação entre torque e distância esta presente em diversas
ferramentas que minimizam o nosso esforço na realização de algumas
tarefas como, torcer uma porca, abrir uma lata, girar um parafuso de
Figura 33: Abrindo uma lata
com ajuda de uma ferramenta
de comprimento longo.
Figura 34: Torção em um parafuso fica
extremamente facilitada com o auxílio da
chave de roda.
http://blogdodudesoares.blogspot.com/20
10 04 01 archive.html
53
Para poder perceber a relação existente entre torque e distância,
pode-se desafiar os alunos e escolher uma pessoa para manter suspenso
uma sacola de 1kg de massa que será posta num cabo de vassoura a
uma distância de suas mãos igual ao comprimento do cabo da vassoura.
Figura 35a: Figura 35b:
A sacola da figura 35a está mantida em equilíbrio com a ajuda
do apoio. Ao ser retirado o sistema inicia a rotação no sentido
horário (Figura 35b).
Esta experiência causa bastante impacto. Os alunos normalmente
desprezam a distância do peso para o ponto de apoio. Quando eles
percebem o grande esforço que a pessoa tenta fazer para manter o
equilíbrio fica bem clara a relação direta entre torque e distância.
Algumas ferramentas têm em comum o fato de possuírem um
comprimento longo, proporcionando grande vantagem mecânica, que
pode ser percebida na facilidade com que o objetivo (torção) é atingido. O
torque também é proporcional a distância entre linha de ação da força e o
ponto de apoio ou ponto que se toma como referência, isto é, quanto mais
distante a reta que contém a força F estiver do ponto de apoio maior será
o torque causado por ela (Mocd). Foi por isso que a pessoa da figura 35
não conseguiu manter o peso de 1kgf em equilíbrio. Costuma-se chamar
essa distância d como sendo o braço da força e o ponto de apoio como
fulcro.
Diante disso, podemos então deduzir a relação para o torque
realizado por uma força de intensidade F aplicada a um ponto situado a
uma distância d do ponto de apoio O como sendo o produto entre a força
54
que causa rotação (Fy) e a distância d, ou seja, M"=Fy.do que se
desdobra em F.d.sena=F.J,, onde dL é definida como a distância do
ponto de apoio à direção da reta suporte de F. (O símbolo l indica a
distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto de apoio).
Figura 36: O momento da força F
é causado essencialmente pela
componente Fy, e poderá ser
calculado pelo produto Fy.d
d_L\ - r-vy F
d
Figura 37: O momento da
força F também pode dado
pelo produtoFd±
d \ X r- "
É por isso que o modo mais eficiente de abrir uma porta é aplicando
uma força perpendicular na maçaneta, pois para outros ângulos, o braço
da força é menor. Em outras palavras, do ponto de vista de uma força,
seu momento será maior quanto maior for a distância da linha de ação da
força até o ponto de apoio. A aplicação deste conceito (Momento de uma
força) está presente em nosso cotidiano nas ferramentas como: martelo,
chave inglesa, chave de roda, etc.
4.1.2 CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO
Retomando o caso na figura 28, é importante ressaltar que os pesos
adicionados eram idênticos (P}=P2=P), e eles estavam à mesma
distância do fulcro. Note que a força peso do objeto situado à direita do
ponto de apoio tende a fazer com que a vareta gire no sentido horário,
enquanto que o outro tende a fazer à mesma girar no sentido anti-horário,
ou seja, cada força cria um torque que tende a promover rotação em
sentidos contrários. Considerando o primeiro como negativo e o segundo
55
como positivo, e denotando os momentos causados pelas forças PI e P2
como MPI e Mp2, temos:
Sendo o momento resultante (M^em/taate) a soma algébrica de
todos os momentos existentes, então o momento resultante nesta
situação será nulo. Veja:
.,,,,lan,, n
Agora temos subsídios para explicar porque na situação da figura
30a e 30b apesar da força resultante continuar sendo nula ocorreu
desequilíbrio do sistema quando se deslocou o peso 2. O que aconteceu
foi que as distâncias não eram mais as mesmas (d'>d), e
consequentemente, a intensidade do momento da força da direita (P - d ' )
será superior ao momento da força da esquerda (P - d ) , fazendo com que
agora o momento resultante não seja mais nulo.
M FAPOIO
d'
Centro de apoio
I
ou , -
Fulcro
P í]
Figura 38: O fato da força resultante ser nula não garante o
equilíbrio estático, é necessário que o momento resultante também
seja.
Uma força tende a produzir torque, o que tende a produzir rotação.
Se tais torques não forem compensados inevitavelmente o corpo deixará
o equilíbrio estático.
Vejamos um problema que poderá ser proposto aos alunos e que
constitui uma aplicação direta da condição de equilíbrio:
56
"Um guindaste como aquele encontrado em canteiro de obras pode
ser dividido em duas partes: a longa de comprimento máximo 70 m onde
se localiza a carga que por meio de um sistema de polias pode variar a
posição x da carga, e a curta onde se localiza o contrapeso de 20
toneladas situado uma distância fixa y = 15 metros do mastro (centro de
apoio). Sabendo-se que sem o contrapeso e a carga a haste encontra-se
equilibrada, para uma distância da carga de 30 m do apoio, qual o
máximo valor da carga que pode ser suspensa? Se quiséssemos
sustentar uma carga maior do que esta, devemos aproximá-la do mastro
ou afastá-la?"
Apoio
Contra-peso
Figura 39: Guindaste em equilíbrio
http://ciencia.hsw.uol.com.br/quindastes-de-torre.htm
Para que haja equilíbrio do guindaste, de acordo com a condição
vista anteriormente, ã carga erguida deve produzir um torque de mesmo
valor daquele produzido pelo contra-peso. Então,
Carga.x = contra-peso.y
Do enunciado temos: x=30m, Contrapeso=20t e y=15m, logo
O valor para carga será de 10t.
57
Como o contra-peso é fixo o torque produzido por ele no sentido
horário também será constante, então
carga.x=constante
Isto significa que se o desejo é aumentar a carga deve-se diminuir a
distância dela para o mastro.
4.2.3 EXPLICANDO OS CASOS DE EQUILÍBRIO ANTERIORES
À luz da condição de equilíbrio dos corpos pode-se retomar os casos
estudados anteriormente e entendê-los de maneira mais abrangente. A
pilha de livros da figura 7 tomba quando a partir daquela situação crítica
(iminência de tombamento) adiciona-se mais um livro, pois a força peso
do conjunto passa a criar um momento (torque) em relação ao ponto de
apoio que não é compensado, o que é claro está ligado ao fato do centro
de gravidade do corpo estar fora da base de apoio.
58
Risco de Tombar = Zero Iminência do Tombar Tombando
CM CM
Superfície /p- Superfície
Figura 40: Uma caixa sendo arrastada para fora da superfície
atinge a iminência de tombamento quando a força peso P e de apoio
f estão alinhadas verticalmente. A partir disso ocorre desequilíbrio,
pois o torque resultante deixa de ser nulo.
Pelo mesmo motivo a pessoa da figura 8 não consegue ficar de pé
quando tenta tocar seus com o corpo encostado na parede pois dessa
maneira o centro de gravidade ficaria fora da base de apoio (área
encoberta pelos seus pés).
59
4.2.4 APLICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO. PRINCÍPIO
DA ALAVANCA.
Através do princípio da alavanca pode-se ampliar o efeito de uma
força, o que permite realizar grandes feitos com pouco esforço. Este
princípio pode ser visto em diversas situações do cotidiano, como por
exemplo: uma criança que consegue erguer um adulto do outro lado da
gangorra, um carro de 0,5 tonelada que pode ser erguido por uma pessoa
com a simples força de seus músculos por meio, obviamente, de uma
máquina simples conhecida