Representações do Grupo Simétrico

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REPRESENTAÇÕES DO GRUPO SIMÉTRICO E APLICAÇÕES
Aluno: João Fernando Schwarz Orientador: Prof. Dr. Plamen Emilov Kochloukov
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
Apoio:CNPq
Palavras-Chave: Representações de Grupos, Grupo Simétrico, Teoria de Young
Introdução
Em todas as nossas discussões, K será um corpo.
Definição 1 Seja X um conjunto qualquer e seja K〈X〉 a álgebra dos polinômios não-
comutativos (mas associativos) nas variáveis em X . Ou seja, K〈X〉 é a álgebra tensorial
do espaçoo vetorial livremente gerado por X . Definimos os conceitos de monômios, graus
de monômios e polinômios da mesma maneira que para polinômios usuais (comutativos). O
polinômio multilinear de grau n se cada um dos seus monômios for uma palavra de compri-
mento n contendo exatamente uma das variáveis x1, . . . , xn.
Fixemos X um conjunto enumerável.
Definição 2 Seja R uma álgebra associativa sobre K. Dizemos que R é uma PI-álgebra se
existe um f (x1, . . . , xn)¬0 ∈ K〈X〉 tal que f (r1, . . . , rn) = 0∀r1, . . . , rn ∈ R.
O estudo de álgebras ( ou anéis) com identidades polinomiais, as PI-Álgebras(Anéis) há
um bom tempo se firmou como uma das áreas mais importantes e ricas da ’álgebra não-
comutativa’. Nas últimas décadas, a área passou por varias transformações, e ganhou des-
taque o uso de métodos combinatoriais, assintóticos e usando teoria de representações de
grupos. Essas tendências recentes são o foco de nossos estudos.
Teorema de Shirshov
Definição 3 Seja R uma álgebra gerada por r1, . . . , rm. Seja H um conjunto finito de pa-
lavras em r1, . . . , rm. Dizemos que R é de comprimento h em relação as palavras de H se
h é o menor inteiro com a propriedade que R é gerado, como espaço vetorial, por todos os
produtos da forma uk1i1 . . . u
kt
it
, ui1, . . . , uit ∈ H , e t ≤ h.
Teorema 1 Teorema de Shirshov
Seja R uma PI-Álgebra gerada por m elementos r1, . . . , rm e satisfazendo uma identidade
polinomial de grau d > 1. Então R tem peso finito em relação ao conjunto de todas as
palavras ri1, . . . , ri2 de comprimento s < d.
O Teorema de Shirshov nos permite aplicar a teoria combinatória de palavras para o estudo
de PI-Álgebras finitamente geradas. Existe uma versão do famoso Problema de Burnside
para álgebras, conhecido como o Problema de Kurosch: seja R uma álgebra associativa fini-
tamente gerada, tal que todo elemento de R é algébrico.(1) É R de dimensão finita? (2) Se
todo elemento de R é algébrico de grau limitado, R é de dimensão finita?
A resposta para (1) é negativa, em função de contra-exemplos dados primeiramente por Go-
lod e Shafarevich. Quanto a (2), temos que um resultado de Jacobson que diz que se todo
elemento de R é algébrico de grau limitado, então R é uma PI-Álgebra.
Para PI-Álgebras algébricas, o problema de Kurosch foi resolvido positivamente por Ka-
plansky, usando teoria estrutura de anéis. Dentro do espírito recente de aplicar métodos
combinatoriais para a teoria das PI-Álgebras, o Teorema de Shirshov nos permite redemons-
trar o resultado positivo obtido por Kaplansky de maneira inteiramente nova; na verdade, se
prova um resultado mais forte: ao invés de precisarmos que todo elemento seja algébrico,
se R satisfaz uma identidade polinomial de grau d e é gerada por m elementos, precisamos
apenas que as palavras de comprimento menor do que d desses geradores sejam algébricos.
Representações do Grupo Simétrico
Definição 4 Seja G um grupo finito e CG a álgebra do grupo. Uma representação linear de
G é um homomorfismo de grupo φ : G → Gl(V ), onde V é um espaço vetorial. Podemos
transformar V num CG-módulo definindo (
∑
g∈Gαgg)v =
∑
g∈Gαgφ(g)v, α
′s ∈ C, v ∈
V . Se V não tiver nenhum sub(CG)módulo além dos triviais, a representação é chamada
irredutível. Se V for uma soma direta de submódulos irredutíveis, então a representação
é chamada completamente redutível. O caracter associado à representação é a função χ :
G→ C, χ(g) = tr(φ(g)); o carácter é constante em cada classe de conjugação. Finalmente,
duas representações de G, em Gl(V ) e Gl(W ), são isomórficas, se existir um isomorfismo de
CG-módulo entre V e W .
A teoria de representações do grupo simétrico é uma área de fértil encontro de álgebra e com-
binatória, e além de sua beleza intrínseca, tem tido várias aplicações para identidades polino-
miais. Uma observação importante: em todas as considerações envolvendo representações„
assumiremos que estamos trabalhando num corpo algebricamente fechado e de característica
0. Uma boa parte dos nossos resultados valem para casos mais gerais, mas vamos assumir
isso por simplicidade.
Definição 5 Seja n ≥ 1 qualquer, e seja λ uma partição de n. Escrevemos λ = (λ1, . . . , λr),
com os λi decrescentes (com possíveis repetições), não negativos e
∑
λi = n para designá-
la. Dada a partição, o diagrama de Férrer de λ é uma malha que tem λ1 nós na linha 1,
λ2 nós na linha 2, e assim sucessivamente até a linha r, onde tem λr nós. Chamamos de
λ′j o comprimento da sua j-ésima coluna. Usamos a notação (1
n) para a partição de n
λ = (1, . . . , 1).
Também podemos visualizar os diagramas de Férrer como constituídos por quadrados e não
por nós, então ao invés de escrever os números nos nós, teremos de escrevê-los dentro dos
quadrados. Neste caso por tradição usa-se o nome de tabelas, diagramas de Young.
Definição 6 Para uma partição λ = (λ1, . . . , λk) de n, nós chamamos de λ-tableau t de
conteúdo α = (α1, . . . , αm), onde
∑
iαi = n, o diagrama de Young cujos quadrados são
preenchidos com αi números 1, α2 números 2, ..., e assim por diante.. Um tableau é semis-
tandard se as suas entradas não decrescem da esquerda para a direita nas linhas e se elas
aumentam de cima para baixo nas colunas. Um tableau é standard se ele é semistandard e
de conteúdo (1, . . . , 1).
Definição 7 Dados dois λ-tableaux t e s, definimos t ≡ s no caso eles terem exatamente os
mesmos números nas mesmas linhas (mas não necessariamente na mesma ordem). É fácil
ver que≡ e uma relação de equivalência. Denotamos a classe de equivalência de um tableau
t por {t}. Tais classes de equivalência são chamadas de λ-tablóides.
Existe uma ação natural de Sn no conjunto dos λ-tablóides (λ uma permutação de n). Sendo
π um elemento do grupo e {t} um tablóides, definimos π{t} como sendo o tablóide que tem
na linha i a imagem por π dos números na linha i de {t}. Sendo M(λ) o espaço vetorial
constituído pelas combinações lineares formais dos λ-tablóides, podemos estender a ação de
Sn por linearidade e assim obter um Sn-módulo. Os M(λ) são chamados de módulos de
permutação.
Definição 8 Seja t um λ-tableau. Chamamos Rt e Ct os subgrupos de Sn que mantém os
elementos de t nas mesmas linhas e colunas, respectivamente. Seja H um subgrupo qualquer
de Sn. Definimos H+ =
∑
π∈H π e H
− =
∑
π∈H(sgnπ)π. kt = C
−
t e et = kt{t}. Os
elementos et de CSn com t percorrendo todos os λ-tableau constituem os politablóides, e
os sub-módulos de M(λ) gerados pelos politablóides são chamados de módulos de Specht e
denotados por S(λ).
Definição 9 O gancho (i, j) de um diagrama de uma partição λ = (λ1, . . . , λk) consiste do j-
ésimo quadrado (ou nó) da i-ésima linha do diagrama, juntamente com os λ1−j quadrados a
sua direita e os λ′j−i quadrados abaixo. O comprimento do gancho é igual a λi+λ
′
j−i−j+1.
Teorema 2 A dimensão dλ do Sn-módulo irredutivel M(λ) é igual ao número de λ-tableaux
standards. Temos também a fórmula do gancho:
dλ =
n!∏
(λi + λ
′
j − i− j + 1)
,
onde o produto percorre todas as posições (i,j) isto é, dλ e igual a n! dividido pelo produto
de todos os comprimentos de gancho.
Aplicações
Para poder aplicar os resultados anteriores no contexto de identidades polinomiais, precisa-
mos que o grupo Sn haja de alguma forma nos polinômios de K〈X〉, X um conjunto. Temos
uma ação em Pn, o conjunto dos polinômios multilineares de grau n, que é um sub-espaço
de K〈x1, . . . , xn〉: σ(
∑
aixi1 . . . xin) =
∑
aixσ(i1) . . . xσ(in), σ ∈ Sn. Mais: identificando
σ com xσ(i1) . . . xσ(in), temos um isomorfismo de Sn-módulosentre KSn e Pn. Denotamos
ι : KSn → Pn tal isomorfismo. Uma observação simples mais extremamente importante
para o que segue é que, se U for um T-ideal de K〈x1, x2 . . .〉, então U ∩Pn é um sub-módulo
de Pn, e U ∩ (K〈Vm〉), U ∩ (K〈Vm〉)n são sub-módulos de (K〈Vm〉). Um dos primeiros
teoremas provados usando as técnicas das representações de grupos foi o Teorema de Regev
sobre o produto tensorial de duas PI-álgebras:
Teorema 3 Se A e B são duas algébras sobre um corpo K e satisfazem uma identidade
polinomial não-trivial, então A⊗B também satisfaz uma identidade polinomial não-trivial.
O ponto central na demonstração desse teorema, de natureza qualitativa à respeito das PI-
álgebras, é um resultado quantitativo e combinatorial, que é por onde entra o grupo simétrico:
Teorema 4 Regev Se uma álgebra satisfaz uma identidade de grau d, então temos a seguinde
desigualdade para a sua sequência de codimensões: cm ≤ (d− 1)2n.
Um outro resultado importante que tem uma demonstração conceitualmente bastante clara
usando essas idéias (inclusive o resultado acima sobre codimensões) é o teorema de Amitsur
que diz que toda PI-álgebra satisfaz uma potência de uma identidade standard. A prova origi-
nal de Amitsur usava idéias de teoria de anéis; a prova que estudamos, devida a Regev, é mais
um exemplo da tendência atual de aplicar métodos combinatoriais (no caso, representações
do grupo simétrico) e assintóticos no estudo de identidades polinomiais.
Teorema 5 Toda PI-álgebra satisfaz a identidade smk para algum k,m ≥ 1.
Referências
[1] V. Drensky, Springer, Free Algebras and PI-Algebras.
[2] B. E. Sagan, Springer, The Symmetric Group: Repre-
sentations, Combinatorial Algorihms, and Symmetric
Functions, 2a edição.
[3] G. James e A. Kerber, Cambridge University Press,
The Representation Theory of the Symmetric Group,
Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 16.