Apostilas-de-Apoio-Cronometro-inteligente

Prévia do material em texto

Física	
  Experimental	
  I	
  –	
  F	
  129	
  
	
  
Apostilas	
  de	
  Apoio	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  rev.1102.2013	
  
Índice	
  
	
  
	
  
	
  
1. Introdução	
  à	
  teoria	
  de	
  erros	
  e	
  medidas......................................................................1	
  
	
  
2. Tabelas	
  e	
  gráficos..................................................................................................................5	
  
	
  
3. Lei	
  de	
  escala..........................................................................................................................11	
  
	
  
4. Mínimos	
  quadrados...........................................................................................................15	
  
	
  
5. Propagação	
  de	
  erros.........................................................................................................18	
  
	
  
6. Cronômetro	
  inteligente	
  e	
  photogate..........................................................................22	
  
	
  
7. Medidas	
  de	
  comprimento...............................................................................................26	
  
	
  
8. Estrutura	
  do	
  relatório......................................................................................................29	
  
Introdução à teoria de erros e medidas
Jorge Diego Marconi
Em F́ısica, a idéia de medida está subjacente a tudo. É através de experiências
que se pode obter valores quantitativos consistentes para certas propriedades da matéria,
sejam elas propriedades das chamadas part́ıculas elementares - os constituintes últimos da
matéria, sejam elas as grandezas que nos permitem entender um pouco as galáxias e outros
objetos estelares. No dia a dia, medimos grandezas normais, aquelas que estão dentro de
nossos conceitos antropomórficos de descrição da natureza. Mas a natureza não é só o
que vemos ao nosso redor. Quando estudamos o microcosmo, há outras propriedades da
natureza que não têm correspondência na nossa vida do dia a dia. Quando nos afastamos
de nosso sistema planetário e estudamos a nossa galáxia ou outras estrelas, também
são encontrados estranhos mundos onde não valem as grandezas com as quais estamos
acostumados. Para descrever essas novas propriedades, são atribúıdos nomes a elas e são
feitas medidas sistemáticas. Tanto nesses campos avançados da f́ısica quanto em nossas
experiências no laboratório de IF129, os resultados das medidas são sempre expressos por
números que indicam quantas vezes uma propriedade f́ısica de um certo corpo é maior
ou menor que um determinado padrão, definido de forma arbitrária, mas conhecido por
todos. Esse padrão é a unidade daquela propriedade f́ısica particular.
Um assunto que aparece imediatamente em f́ısica experimental é que qualquer medida
que fizermos será sempre afetada por algum tipo de erro. Como explicaremos a seguir,
esses erros podem ser causados pela qualidade (ou falta de) dos instrumentos, pela falta
de cuidado do observador, ou podem ser erros estat́ısticos. Os principais tipos de erros
são:
Erros sistemáticos
Erros sistemáticos são aqueles causados por defeitos dos instrumentos, por exemplo, falta
de calibração. Se um termômetro marca sistematicamente 1 ◦C a mais, porque está descal-
ibrado, nunca será posśıvel eliminar esse erro, por mais cuidado que se tome. Deve-se
recalibrar o termômetro. Para identificar e calcular esses erros, deve-se mudar o instru-
mento de medida. No caso de erros sistemáticos, as medidas serão afetadas em conjunto,
sempre para mais ou para menos.
Erros casuais
Erros acidentais, casuais ou aleatórios, são aqueles causados em geral por variações nas
condições em que as medidas foram feitas: temperatura, pressão, umidade e por erros
de leitura por parte do observador. Em geral, nesse tipo de erro, há igual probabilidade
de que as medidas sejam afetadas para mais ou para menos; efetuando-se uma série de
medidas e calculando-se a média, consegue-se compensar de certa maneira o efeito desse
tipo de erro, obtendo-se uma melhor estimativa da grandeza f́ısica que se quer medir.
Assim, todas as medidas de uma propriedade f́ısica estão afetadas por uma incerteza,
que vamos chamar em geral de erro, desvio ou imprecisão da medida. Deste modo, os
resultados das medidas devem ser expressos de tal modo que se possa avaliar a precisão
com que elas foram feitas (ou calculadas).
1
Para poder apresentar melhor alguns conceitos, vamos considerar a seguinte situação:
suponha que você mediu uma determinada magnitude x, por exemplo 50 vezes (ou N
vezes), sempre nas mesmas condições e com o mesmo instrumento. Em geral, esses 50
valores vão ser diferentes entre eles, similares mas diferentes. Neste caso, qual é o valor
que eu devo dar como resultado final e com que erro? Para isso vamos começar definindo
o valor médio das medições como,
x =
50
∑
i=1
xi
50
(1)
para o caso em que N = 50.
A teoria de erros mostra que, com um conjunto finito de medidas, não é posśıvel obter
o valor exato da grandeza que se está medindo, e demonstra que essa média, calculada
com base nos valores experimentais, é o melhor estimador dessa grandeza. Então, até
agora temos o valor que vamos dar como resultado das 50 medições, ou seja a média, mas
ainda não sabemos quantos d́ıgitos vão ficar nem qual é o erro associado. Se o leitor for
perspicaz, talvez pense, “se esses 50 valores deram esta média, e essa média representa
o valor mais provável da minha medição, então o erro deveria estar, de alguma maneira,
associado á dispersão de todos os valores ao redor da média”. Vamos então definir o
desvio quadrático médio ou desvio padrão como:
σ =
√
√
√
√
√
∑
50
i=1
(x− xi)2
(50− 1)
(2)
A teoria dos erros vai associar, a uma certa medida, não o erro que se comete, mas
sim um intervalo de valores ao redor da média, dentro do qual o valor verdadeiro tem
uma alta probabilidade de ser encontrado. E o número que melhor estima esse intervalo
é dado por:
σx = ∆xestatistico =
σ√
50
(3)
A este erro, que mede de alguma forma a dispersão dos dados ao redor da média, vamos
chamar de erro estat́ıstico. Agora finalmente, com o conjunto de 50 dados experimentais,
podemos determinar um resultado final e um erro associado. É importante mencionar
que o número 50, que aqui representa o número total de dados, pode ser obviamente
generalizado para N dados, ficando então as equações para o caso geral como:
x =
N
∑
i=1
xi
N
(4)
σ =
√
√
√
√
√
∑
N
i=1
(x− xi)2
(N − 1)
(5)
2
σx = ∆xestatistico =
σ√
N
(6)
O leitor atento, porém, terá percebido que o instrumento de medição tem um erro
associado, o que não foi considerado até agora. Não levar em conta o erro do instrumento
seria como dizer que medir, por exemplo, a largura de uma mesa com uma régua graduada
em cm a medi-lá com outra graduada em mm não faz diferença, e isso não parece razoável.
Assim, ainda falta um passo para obtermos o erro que vamos chamar de total, para colocá-
lo como erro associado da média. O erro total vai estar dado pela seguinte equação:
∆xtotal =
√
(∆xestatistico)2 + (∆xinstrumental)2 (7)
A pergunta agora vai ser: qual é o erro instrumental? Vamos explicar isto com ex-
emplos. Suponha que temos que medir o comprimento de uma folha de papel com uma
régua que tem divisões até miĺımetros. Vamos supor que o canto da folha caia entre as
divisões correspondentes de 233 e 234 mm. O resultado dessa medida simples pode se
escrever assim:
L = (233,5± 0,5) mm
Desta forma, você está escrevendo exatamente o máximo que você pode dizer da
medida com o instrumento que você tem, neste caso a régua com divisões até miĺımetros.
Isto é, que o valor está entre 233 e 234 mm. É posśıvel que as divisões da régua estejam
ruins, e que você não esteja muito seguro de que a medidaesteja entre 233 e 234 mm,
mas sim que está entre 232 e 234 mm. Nesse caso escrevemos:
L = (233± 1) mm
Estes dois casos representam os critérios geralmente aceitos para colocar o erro instru-
mental de uma medida: colocar a metade da mı́nima divisão do instrumento de medida ou
colocar diretamente a mı́nima divisão do instrumento, em nosso exemplo seriam 0,5 mm
ou 1 mm. Qual é o mais correto? Como é um critério, não é posśıvel dizer qual é o
mais ou o menos correto. Vai depender da medição, do bom senso e da experiência do
experimentador. Mas estes dois critérios são, sem dúvida, os mais usados.
Suponha que você tenha medido uma magnitude f́ısica 100 vezes, sempre com o mesmo
instrumento e sempre com as mesmas condições, e vamos supor que o instrumento tenha
uma incerteza ∆instrumental. Quais são os valores da medida e o erro associado que vamos
apresentar? O valor é simplesmente a média dada pela equação (4). Vamos supor que voce
mediu 100 vezes um tempo de algum fenômeno f́ısico; o resultado da média pode ser, por
exemplo, 1,235464 s, que é um número com muitos d́ıgitos. Vamos calcular agora o erro
estat́ıstico com as equações (5) e (6), e vamos supor que o resultado seja 0,0234556778 s,
outro número com muitos d́ıgitos. Supomos também que ∆instrumental = 0,01 s. O erro
total, usando a equação (7) é 0,025498.... s. O que você acha que deveria ser escrito como
resultado final? Com o que temos até aqui seria (1,235464 ± 0,025498) s. Mas as coisas
não são tão simples, e vamos ao último passo do processo. Analisemos o seguinte: o
erro está informando quão precisa foi a medição. Neste caso, o tempo foi medido até, no
máximo, o centésimo de segundo, indicado em nosso exemplo com o primeiro número 2
3
depois dos zeros á esquerda. Resulta então que o número 5 que vem depois do 2 não está,
essencialmente, dando muita mais informação, pois o 2 anterior é um ordem de magnitude
maior. Assim, para que o resultado fique mais claro, vamos fazer o arredondamento.
Como? A idéia é que fique só a informação essencial, assim vamos chamar de primeiro
d́ıgito significativo ao primeiro d́ıgito do valor do erro que seja diferente de zero. Neste
caso seria o 2. Mas vamos dar também certa importância ao que vem depois, o segundo
d́ıgito significativo, em nosso caso o 5. Como vale 5, então o 2 vai virar 3, com o qual
o erro vai ficar como 0,03 s. O critério que usamos foi o seguinte: se o segundo d́ıgito
significativo está entre 0 e 4, então o primeiro fica como está; mas se o segundo d́ıgito está
entre 5 e 9, o primeiro se incrementa em uma unidade. Como no exemplo considerado,
o segundo d́ıgito é 5, então o 2 vira 3. Agora quase terminamos; o que falta é acomodar
o valor da média, para que fique com o mesmo número de decimais que o erro. Como
este ficou valendo 0,03 s, que tem dois decimais, então do valor de 1,235464 s, que tem
6 decimais, deve passar a ter somente dois números decimais. Como? Usamos o critério
de arredondar que usamos com o erro. O segundo decimal é 3, o terceiro é 5, então o
segundo vira 4. Assim, o resultado final da medição pode ser expresso como:
(1,24± 0,03) s
Os conceitos até aqui servem só para as chamadas medições diretas, ou seja para
magnitudes que você mede diretamente com algum instrumento, como por exemplo um
tempo ou um comprimento. Tudo isto deverá ficar claro ao longo dos diferentes experi-
mentos. Trataremos posteriormente o caso das chamadas medições indiretas, onde o valor
da magnitude procurada é obtido depois de algum cálculo. Por exemplo, se quisermos
obter o volume de um cubo, o que vamos medir em forma direta vão ser os lados do cubo,
e para achar o volume temos que fazer uma conta, V = L1.L2.L3. Neste caso, qual vai
ser o erro do volume? A resposta não é complicada mas requer conhecimentos de cálculo,
especificamente de derivadas. Trataremos deste assunto ao longo do curso.
Referências
1 - José Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, Editora Edgard Blücher Ltda
(1992).
2 - Curt Egon Hennies et al, Problemas Experimentais em F́ısica, Editora da Universidade
Estadual de Campinas (1989).
Estes livros podem ser encontrados na Biblioteca da F́ısica e recomendamos
fortemente que sejam consultados.
4
Tabelas e Gráficos
J. D. Marconi/V. Rodrigues/L. E. E. de Araujo
Tabelas
Usualmente os resultados de um experimento são apresentados em tabelas ou gráficos. Quando
a escolha for uma tabela, ela deve apresentar um resumo, com o máximo de informações, de
uma série de medidas. Ela precisa apresentar:
1. O título, com uma breve descrição do que trata a tabela;
2. O cabeçalho da tabela deve apresentar o que tem em cada coluna, com a grandeza medida
(ou sua abreviação), a unidade usada e, se for necessário, a potência de 10 pela qual os
valores da coluna devem ser multiplicados;
3. Se forem usadas abreviações na tabela, elas devem ser explicadas na própria tabela ou
em algum lugar do texto;
4. Os valores das medidas deverão aparecer com os algarismos significativos adequados e
com o seu erro total;
5. No exemplo da tabela abaixo, as medidas foram realizadas para uma determinada mola.
Por isso, é interessante colocar suas características. Assim poderemos apreciar mais fa-
cilmente os dados da tabela;
6. Quando a ordem em que foram feitas as medidas for importante, ela deve ser indicada.
Tabela 1: Lei de Hooke
N m (103 g) ∆x (cm)
1 0,030 ± 0,002 0,9 ± 0,1
2 0,052 ± 0,003 1,4 ± 0,1
3 0,080 ± 0,002 2,2 ± 0,1
4 0,103 ± 0,004 2,7 ± 0,1
5 0,135 ± 0,001 3,6 ± 0,1
m = massa colocada na extremidade da mola;
∆x = variação do comprimento da mola;
N = número de ordem das medidas.
Mola presa por uma de suas extremidades
na vertical e sujeita à esforços por massas
colocadas na outra extremidade.
Características da mola:
massa = (27 ± 1) g
diâmetro = (16 ± 1) mm
diâmetro do fio= (1,0 ± 0,1) mm
número de espiras = 100
Gráficos
Quando a escolha for um gráfico, ele precisa apresentar:
1. O título, com uma breve descrição do que trata o gráfico;
2. Uma legenda para cada eixo indicando que valores estão sendo ali colocados, qual a sua
unidade e se for necessário, a potência de 10 pela qual os valores da escala devem ser
multiplicados;
3. Uma escala para cada eixo:
5
(a) usando valores com intervalos regulares entre si;
(b) com valores fáceis de serem lidos, como múltiplos inteiros por exemplo;
(c) os dois eixos não precisam ter a mesma origem e nem tão pouco a mesma escala
numérica;
4. Evite “ligar os pontos”. Somente deverá ser usada uma curva entre os pontos quando for
útil apresentar um guia para os olhos ou quando um modelo for comparado ou ajustado
aos pontos experimentais. Em ambos os casos, o procedimento, modelo ou utilidade da
curva deve ser mostrada no texto e a curva claramente identificada.
5. Se forem usadas abreviações no gráfico, elas devem ser explicadas na própria gráfico ou
em algum lugar do texto;
6. Os valores dos pontos nunca devem ser colocados no gráfico. Para isto exitem as tabelas.
Salvo quando for um ponto especial e que mereça destaque. Neste caso, evite carregar de
informações o gráfico, somente indicando o ponto e deixando as explicações para o texto.
7. Os pontos das medidas deverão aparecer com suas respectivas barras de erro. A posição
central do ponto é a média da medida (x, y). A barra de erro da abscissa começa em
x−∆xtotal e vai até x+∆xtotal. O mesmo para a ordenada. Na figura a seguir temos um
exemplo de como fazer uma barra de erro.
(a) (b)
Figura 1: (a) Procedimento para fazer a barra de erro de uma medida. As linhas tracejadas
só foram feitas para ilustrar como o tamanho da barra de erro é definido. (b) Exemplo de um
gráfico simples.
Histogramas
Foi Gauss quem desenvolveu a teoria matemática dos erros. Essa teoria se baseia nos cálculos de
probabilidade e tem por finalidade conhecer melhor o grau de precisão de uma série particular
de medidas.
Nunca se consegue reproduzir uma medida exatamente. Intuitivamente, podemosperceber
que, realizando-se uma série muito grande de medidas, elas deverão se distribuir simetricamente
6
Figura 2: Distribuição gaussiana.
em torno de um certo valor, que por razões óbvias é chamado de valor médio. Se fosse possível
fazer infinitas medições, a distribuição das medidas teria uma forma bem definida, a chamada
distribuição gaussiana, mostrada na Figura 2.
Mas, como nunca é possível fazer infinitas medições, vamos apresentar uma maneira útil de
apresentar os resultados em forma gráfica, o chamado histograma. Para isso vamos considerar
um experimento no qual foram medidos 100 valores medidos de um certo tempo. Entre todos
os valores vamos identificar o menor e o maior, e os chamamos de A e B. Todos os demais
valores vão estar dentro do intervalo de tempos determinado por estes dois valores. Vamos
separar este intervalo em 7, 8, 9, ou até 10 intervalos iguais, cada um de largura ∆. Então, o
primeiro intervalo vai estar entre A e A+∆, o segundo intervalo entre A+∆ e A+2∆, e assim
até chegar a B.
Agora vamos contar quantas das 100 medições estão dentro do primeiro intervalo, quantas
no segundo, e assim por diante. A este número de vezes chamamos de frequência (pode-se usar
como alternativa a frequência normalizada, que é a frequência de cada intervalo dividido pelo
número total de valores medidos). Representando graficamente a frequência (ou a frequência
normalizada) no eixo Y e os intervalos no eixo X, vamos obter o histograma tal como mostra
a Figura 3.
Vemos imediatamente que:
i. os intervalos correspondentes a pequenos desvios em relação ao valor médio são mais
populados,
ii. a figura é simétrica em relação ao valor médio da série de medidas. No caso limite
quando ∆ → 0 e o número de medições tende a infinito, vamos obter uma curva contínua, a
distribuição gaussiana. Essa curva é característica de uma vastíssima gama de medidas físicas.
Mas como determinar a largura ∆ dos intervalos mais apropriada para se confeccionar o
histograma? A melhor largura para os intervalos depende muito da distribuição dos valores e
geralmente faz-se necessário testar vários valores até se encontrar o mais apropriado. Em geral,
um bom ponto de partida para se estimar ∆ é:
∆ =
xmax − xmin√
N
, (1)
onde xmax,min é o valor máximo (mínimo) da distribuição e N é a quantidade de medições feitas.
A partir do histograma podemos estimar o valor médio e o desvio padrão da distribuição.
Em um histograma, a média é o ponto, no eixo das abscissas, que passa pelo centro de gravidade
da figura. Em uma curva simétrica do tipo gaussiana, o valor médio corresponde ao ponto mais
alto da curva - Figura 4. O desvio padrão coincide com metade da largura do histograma a
7
Figura 3: Exemplo de histograma, onde no eixo Y colocamos a frequência normalizada
aproximadamente 60% da altura máxima.
Gráficos logarítmicos
Em ciência é comum existirem medidas com variações muito grandes. Dizemos então que os
dados variam em várias ordens de grandeza. Se ao tentarmos marcar esses os valores em um
gráfico linear, perceberemos que muitos dos dados ficarão “acumulados” em uma região do
gráfico, dificultando muito a leitura dos dados, pois os pontos ficam “embaralhados”.
Uma das formas para resolver o problema de apresentação gráfica de resultados com grandes
variações é aplicar o logaritmo aos valores que estão sendo utilizados. O logarítmo reduz os
valores a serem colocados no gráfico à mesma ordem de grandeza. A função logarítmica foi
desenvolvida para facilitar alguns cálculos que eram muito difíceis, antes do surgimento das
calculadoras e computadores. Por exemplo, a medida de pH é −Log10(CH+), ou seja, as medidas
de pH variam várias ordens de grandeza na concentração de H+.
Se a grandeza medida obedece a uma lei de escala do tipo:
f(z) = kzn, (2)
então, aplicando logaritmo base 10 na equação acima, temos
Log10f = Log10k + nLog10z. (3)
Redefinimos assim a Equação (1) na forma de uma equação linear de uma reta!! Medindo o
coeficiente angular da reta passamos a ter o valor do expoente n.
O papel log-log é desenhado de forma a simplificar a necessidade de realizar os cálculos
necessários para obtenção dos logaritmos, pois ele já está em escala logarítmica - Figura 5.
8
n
u
m
e
ro
 d
e
 o
c
o
rr
e
n
c
ia
s
tempo (s)1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
2
4
6
8
10
12 altura do valor medio
60% da altura
do valor medio
x
valor medio
desvio padrao
Figura 4: Determinando o valor médio e o desvio padrão a partir do histograma.
9
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
2
10
3
10
4
10
5
10
1
Figura 5: Exemplo de papel gráfico em escala logarítmica
10
	
  11	
  
Lei de Escala 
 
Luís Eduardo E. de Araujo 
 
O trabalho experimental em ciência freqüentemente envolve o estudo da relação entre 
duas variáveis. Um exemplo seria como a distância s percorrida por uma esfera em 
queda livre varia com o tempo t de queda. Em um experimento deste tipo, a variável 
dependente (distância) é medida para vários valores da variável independente (tempo). 
Os dados de tal experimento podem ser registrados no formato de uma tabela: 
 
Tabela 1 – Distância percorrida durante a queda livre em função do tempo. 
 
Tempo (s) Distância (m) 
0,89 4 
1,26 8 
1,55 12 
1,79 16 
2,00 20 
2,19 24 
2,37 28 
2,53 32 
 
Entretanto, números em uma tabela como a acima não transmitem facilmente a relação 
entre as variáveis. Para facilitar a visualização dessa relação, lançamos os dados da 
tabela em um gráfico. Vemos na Figura 1 que a relação entre distância e tempo não é 
linear. 
 
 
Figura 1 – Distância percorrida por uma esfera em queda livre 
em função do tempo de queda em um gráfico de escala linear. 
 
Quando uma das grandezas medidas (s) depende da outra (t) elevada a certa potência 
(n), dizemos que s segue uma lei de escala (ou lei de potência): 
 
! = !!!. (1) 
 
É muito difícil olhar para uma curva como a da Figura 1 e dizer com confiança se a 
dependência é quadrática, cúbica, etc. Entretanto, uma simples transformação de 
	
  12	
  
variáveis pode converter a relação entre as grandezas para uma dependência linear. 
Tirando o logaritmo da Equação (1) nos dois lados, obtemos: 
 
log ! = log ! + !  log  (!). (2) 
 
Podemos identificar a Equação (2) com a equação de uma reta: y = A + B x se fizermos 
y = log(s) e x = log(t). O coeficiente angular 
 
! = !!!!!
!!!!!
= !"# !! !!"#  (!!)
!"# !! !!"#  (!!)
 (3) 
 
fornece o expoente n da lei de escala: n = B. O coeficiente linear A dá a constante de 
proporcionalidade k da lei de escala: log(k) = A, ou k = 10A. O coeficiente linear 
corresponde ao valor de y quando x = 0. 
 
Tirando o logaritmo dos dados da Tabela 1 encontramos: 
 
Tabela 2 – Logaritmo da distância percorrida s durante a 
queda livre em função do logaritmo do tempo t. 
 
Tempo (s) Distância (m) 
-0,05 0,60 
0,10 0,90 
0,19 1,08 
0,25 1,20 
0,30 1,30 
0,34 1,38 
0,37 1,45 
0,40 1,51 
 
Se fizermos um gráfico de log(s) em função de log(t) em um papel milimetrado (de 
escala linear) com os dados da Tabela 2, obteremos a reta mostrada na Figura 2. O 
coeficiente angular B é calculado a partir de dois pontos quaisquer da reta que melhor se 
ajusta aos pontos experimentais; por exemplo, os pontos (0,10;0,90) e (0,40;1,51) 
indicados pelas setas azuis. Substituindo esses valores na Equação (3): 
 
! = !,!"!!,!"
!,!"!!,!"
∴ ! = 2,0. (4) 
 
Para encontrarmos o coeficiente linear A, no gráfico, procuramos pelo valor de log(s) 
para log(t) = 0; nesse caso, ! = 0,70 ∴ ! = 10!,!" = 5,0  m/s2. 
 
 
	
  13	
  
 
 
Figura 2 – Logaritmo da distância s percorrida por uma esfera em queda livre em 
função do logaritmo do tempo de queda t em um gráfico de escala linear. Distância 
é medida em metros e tempo em segundos. As linhas tracejadas indicam como 
encontrar o coeficiente linear da reta. 
 
Alternativamente, podemos trabalhar com um papel em escala logarítmica. Nesse caso, 
não é necessário tirar o logaritmo dos valores da Tabela 1. O próprio papel se encarrega 
de fazer isso. A Figura 3 mostraum gráfico log-log dos dados da Tabela 1. Aqui, o 
coeficiente angular pode ser calculado a partir da Equação (3), novamente escolhendo-
se dois pontos da reta (e não necessariamente dois pontos da tabela); ou com uma régua 
medindo-se os catetos do triângulo retângulo. 
 
Da Figura 3, 
! = !,!  cm
!,!  cm
∴ ! = 2,0. (5) 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Distância s percorrida por uma esfera em queda livre em 
função do tempo de queda t em gráfico de escala logarítmica. As 
linhas tracejadas indicam como encontrar o coeficiente linear da reta. 
 
4,4 cm 
2,2 cm 
	
  14	
  
 
Já a constante de proporcionalidade k é encontrada no gráfico log-log pelo valor 
numérico de s para t = 1 (pois log 1 = 0), mas com a unidade apropriada. Da Figura 3, 
para t = 1,0, temos s = 5,0; logo, k = 5,0 m/s2. 
 
Quando já conhecemos o expoente n da lei de escala, a transformação de variáveis que 
lineariza a equação (1) é mais simples. Nesse caso, fazemos y = s e x = tn, de modo que 
a constante k será agora o coeficiente angular da reta ! = !". Ainda em relação ao 
experimento de queda livre, para n = 2, se fizermos y = s e x = t2, então um gráfico 
linear de y vs. x deverá mostrar os pontos experimentais dispostos ao longo de uma reta, 
como mostrado na Figura 4. O coeficiente angular da reta é: 
 
! = !!!!!
!!!!!
= !"!!
!,!"!!,!"
= 5,1  m/!!. 
 
 
Resumindo, para encontrar graficamente o expoente n da lei de escala ! = !!! há duas 
maneiras: 
 
1. calcular o coeficiente angular da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear ou 
2. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. t em um gráfico log-log. 
 
Para encontrar graficamente a constante de proporcionalidade k há três maneiras: 
 
1. calcular o coeficiente linear da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear 
determinando o valor de log(s) para log(t) = 0, ou 
2. determinar na reta em um gráfico log-log de s vs. t o valor de s para t = 1, ou 
3. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. tn em um gráfico linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 – Distância s percorrida por uma esfera em queda livre 
em função do quadrado do tempo de queda t. 
 
 
Mı́nimos Quadrados
Jorge Diego Marconi e Varlei Rodrigues
Vamos supor que temos um conjunto de N dados (xi, yi), onde cada valor yi tem um erro
associado que chamamos de σi, ou seja (yi ± σi) (os σi não têm que ser iguais entre si).
Vamos supor que os dados representam certo fenômeno f́ısico que segue uma lei descrita
por uma função f .
Usando a descrição gaussiana de erros, a probabilidade Pi de ocorrer a medida (xi, yi, σi)
é dada por:
Pi =
C
σi
exp
[
−
1
2
(
(yi − yi)
σi
)2
]
(1)
onde yi é o valor médio de yi e C é uma constante de normalização. Portanto, a proba-
bilidade P de ocorrer o conjunto das N medidas será:
P = P1 P2 ... PN
=
C
σ1
exp
[
−
1
2
(
(y1 − y1)
σ1
)2
]
...
C
σN
exp
[
−
1
2
(
(yN − yN)
σN
)2
]
=
CN
σ1 σ2 ... σN
exp
[
−
1
2
N
∑
i=1
(
(yi − yi)
σi
)2
]
(2)
Como yi seria o valor que se aproxima do valor ”verdadeiro” de yi e supondo um modelo
f́ısico para nossas medidas que segue uma lei descrita por uma função f , podemos escrever
que:
yi = f(xi, a1, a2, ..., an) (3)
onde a1, a2, ... an são os parâmetros do modelo. Definindo:
χ2 =
n
∑
i=1
(
(yi − f(xi, a1, a2, ..., an))
σi
)2
(4)
podemos reescrever a equação (2) como:
P =
Cn
∏
n
i=1
σi
exp
[
−
1
2
χ2
]
(5)
Neste caso, para que a função f seja a mais adequada para nossas medidas, ou seja, para
que P seja máximo, χ2 deve ser mı́nimo.
15
O método dos mı́nimos quadrados consiste em ajustar os parâmetros a1, a2, ... an de tal
forma que χ2 seja mı́nimo, ou seja, procuramos resolver o sistema abaixo:
∂χ2
∂a1
= 0
∂χ2
∂a2
= 0 ...
∂χ2
∂an
= 0 (6)
Ajuste de uma função linear: Regressão Linear
Supondo um conjunto de dados e que a função que descreve o nosso sistema seja linear.
f(xi) = axi + b (7)
A sua representação gráfica t́ıpica seria:
Figura 1: Gráfico obtido com dados experimentais no caso particular em que o ajuste é
linear.
Definindo wi = 1/σ
2
i
, podemos escrever χ2 como:
χ2 =
n
∑
i=1
wi(yi − axi − b)2 (8)
Aplicando o método dos mı́nimos quadrados para obter os parâmetros a e b:
∂χ2
∂a
= 2
n
∑
i=1
wi(yi − axi − b)(−xi) = 0 (9)
∂χ2
∂b
= 2
n
∑
i=1
wi(yi − axi − b)(−1) = 0 (10)
16
Obtemos então um sistema de duas equações e duas incógnitas. Para simplificar a escrita
vamos omitir os ı́ndices nas somatórias.
(
∑
wx2 ) a + (
∑
wx ) b = (
∑
wyx ) (11)
(
∑
wx ) a + (
∑
w ) b = (
∑
wy ) (12)
Resolvendo o sistema, os valores de a e b são:
a =
(
∑
w ) (
∑
wyx ) − (
∑
wy ) (
∑
wx )
∆
(13)
b =
(
∑
wy ) (
∑
wx2 ) − (
∑
wyx ) (
∑
wx )
∆
(14)
E os erros associados:
σ2
a
=
(
∑
w )
∆
σ2
b
=
(
∑
wx2 )
∆
(15)
onde
∆ = (
∑
w ) (
∑
wx2 ) − (
∑
wx )2 (16)
As equações (13), (14), (15) e (16) são gerais e valem para o caso onde cada σi seja
diferente dos outros. No caso de termos σi = constante = σ (ou seja o mesmo valor
para todo i) as expressões de a, b, σ2
a
e σ2
b
podem ser simplificadas:
a =
N (
∑
yx ) − (
∑
x ) (
∑
y )
∆
(17)
b =
(
∑
y ) (
∑
x2 ) − (
∑
yx ) (
∑
x )
∆
(18)
σ2
a
=
N
∆
σ2 σ2
b
=
(
∑
x2 )
∆
σ2 (19)
∆ = N (
∑
x2 ) − (
∑
x )2 (20)
Estas equações são exatas e em prinćıpio são as que usam os programas comerciais. Porém,
sempre é recomendável verificar que as equações sejam as dadas nesta apostila, especial-
mente quando temos um conjunto de dados onde os erros são diferentes em cada ponto.
Referência Bibliográfica: José Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros (Edi-
tora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1992).
17
Propagação de Erros
Varlei Rodrigues
Vamos supor que em um experimento nós tenhamos medido os parâmetros x, y, ..., z n vezes.
x1, y1, ..., z1
x2, y2, ..., z2
...
...
xn, yn, ..., zn









medidas
Devido aos erros experimentais, instrumentais e estat́ısticos, não é posśıvel saber qual o valor
”verdadeiro” destes parâmetros. Mas sabemos que os valores médios x, y, ..., z são aqueles
que melhor se aproximam desses, dentro de uma faixa de confiança σx, σy, ..., σz :
x =
1
n
n
∑
i=1
xi σ
2
x =
1
n
n
∑
i=1
(xi − x)2
y =
1
n
n
∑
i=1
yi σ
2
y =
1
n
n
∑
i=1
(yi − y)2 (1)
...
...
z =
1
n
n
∑
i=1
zi σ
2
y =
1
n
n
∑
i=1
(yi − y)2
Mas como achar o valor que se aproxima do ”verdadeiro” e a sua faixa de confiabilidade quando
a propriedade no qual estamos interessados não puder ser medido diretamente, mas sim através
de um modelo matemático? Por exemplo, se quizermos achar uma velocidade baseados em
medidas de distância e tempo.
Vamos supor que queremos achar w em função de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (2)
Uma opção seria calcular todos os wi para todos os conjuntos xi, yi, ..., zi de medidas e em
seguida a média w e σ2w
w1 = w(x1, y1, ..., z1)
w2 = w(x2, y2, ..., z2)
...
...
wn = w(xn, yn, ..., zn)









medidas
w =
1
n
n
∑
i=1
wi σ
2
w =
1
n
n
∑
i=1
(wi − w)2 (3)
Como devemos calcular todos os valores de wi, esta operação passa a ser bastante trabalhosa,
principalmente para um grande número de medidas. Uma pergunta que podemos fazer é se
podemos obter w diretamennte da média dos parâmetros medidos no experimento:
18
w = w(x, y, ..., z)? (4)
Para responder a esta pergunta, vamos expandir o valor de wi em séries de potências dos desvios
em torno dos valores médios de x, y, ..., z:
wi = w(x, y, ..., z) +
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
)
(zi − z) + (5)
+
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 +
1
2
(
∂2w
∂y2
)
(yi − y)2 + ... +
1
2
(
∂2w
∂z2
)
(zi − z)2 +
+ ...
Se a função w varia lentamente, nós podemos considerar que os termos de segunda ordem e
superiores são despreśıveis, ou seja:
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 ∼ 0 (6)
Calculando a média e w usando os valores de wi obtidos na expansão (5) teremos:
w =
1
n
n
∑
i=1
wi=
1
n
[
n
∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (7)
+
n
∑
i=1
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
n
∑
i=1
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
n
∑
i=1
(
∂w
∂z
)
(zi − z)
]
Rearranjando os termos da equação (7):
w =
1
n
[
n
∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (8)
+
(
∂w
∂x
) n
∑
i=1
(xi − x) +
(
∂w
∂y
) n
∑
i=1
(yi − y) + ... +
(
∂w
∂z
) n
∑
i=1
(zi − z)
]
Nesta expressão os termos à direita da igualdade são nulos, com exceção do primeiro, pois:
1
n
n
∑
i=1
(xi − x) =
1
n
n
∑
i=1
xi −
1
n
n
∑
i=1
x = x−
1
n
nx = 0 (9)
Desta forma, em primeira aproximação, w pode ser obtido usando os valores médios de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (10)
19
Agora, vamos usar o mesmo racioćınio para calcular o desvio padrão de w:
σ2w =
1
n
n
∑
i=1
(wi − w)2 (11)
Usando wi obtido em (5) até primeira ordem teremos:
(wi − w)2 = [w(x, y, ..., z)+ (12)
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ... +
(
∂w
∂z
)
(zi − z) +
− w]2 =
=
(
∂w
∂x
)2
(xi − x)2 +
(
∂w
∂y
)2
(yi − y)2 + ... +
+ 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
)
(xi − x)(yi − y) + 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂z
)
(xi − x)(zi − z) +
+ ...
Entretanto,
2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
) n
∑
i=1
(xi − x)(yi − y) = 0 (13)
Por isso, podemos ignorar os termos cruzados na expressão (12) e escrever σ2w como:
σ2w =
1
n






(
∂w
∂x
)2 n
∑
i=1
(xi − x)2
︸ ︷︷ ︸
nσ2
x
+
(
∂w
∂y
)2 n
∑
i=1
(yi − y)2
︸ ︷︷ ︸
nσ2
y
+...






(14)
Desta forma, podemos calcular σ2w a partir das derivadas primeiras da função w e dos σ
2 de
cada valor medido:
σ2w =
(
∂w
∂x
)2
σ2x +
(
∂w
∂y
)2
σ2y + ...+
(
∂w
∂z
)2
σ2z (15)
Referência Bibliográfica: José Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros (Editora
Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1992).
20
Exemplo:Incerteza no volume de um cilindro:
V = πLR2 R σ2R
L σ2L
}
médias das medidas
Usando a expressão (15) para encontrar σ2V :
σ2V =
(
∂V
∂R
)2
σ2R +
(
∂V
∂L
)2
σ2L
σ2V =
(
2π L R
)2
σ2R +
(
π R
2
)2
σ2L (16)
Podemos ainda dividir os dois lados da igualdade por V 2:
(σV
V
)2
=
(
2π L R
π L R2
)2
σ2R +
(
π R2
π L R2
)2
σ2L (17)
(σV
V
)2
=
(
2σR
R
)2
+
(σL
L
)2
(18)
21
APOSTILA PARA USO DO CRONÔMETRO DO
INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”
Varlei Rodrigues
O cronômetro é um sistema eletrônico, baseado em um microcontrolador, desenvol-
vido para ser controlado usando sensores ópticos. Para seu funcionamento precisamos de
uma fonte de alimentação externa de 9 V e um ou dois sensores fotoelétricos chamados
photogates, figura 1(a).
Os photogates possuem um emissor e um receptor de luz tal como mostra a figura 1(b).
Quando um objeto bloqueia o caminho entre o emissor e o receptor, o sinal monitorado
pelo cronômetro muda de estado, iniciando ou parando a medida de tempo.
(a) (b)
Figura 1: (a) Cronômetro do IFGW, fonte de alimentação externa de 9 V e 2 photogates.
(b) Detalhe do feixe de luz entre emissor e receptor no photogate.
Para ligar o cronômetro, conecte primeiro a fonte externa de 9 V no conector que
aparece na figura 2(a) e depois na rede elétrica. Em seguida ligue o botão liga-desliga
que está no lado esquerdo do cronômetro, ao lado do conector de alimentação. Aparecerá
a mensagem ”IFGW/UNICAMP” e a pergunta MODE? no monitor (figura 2(b)).
Caso esta mensagem não apareça em 1 s (quatro piscados do cursor do monitor), aperte
o botão que fica do lado direito do cronômetro para reinicializá-lo.
O cronômetro possui atualmente cinco modos de operação, selecionados no botão
esquerdo denominado MODE, ver figura 2(b). Os modos são Two Gates, One Gate,
Pendulum, Time Range e Gates Test.
Modo Two Gates: neste modo são necessários dois photogates conectados nas entradas
A e B do cronômetro. O cronômetro vai medir simplesmente o tempo entre o instante
22
(a) (b)
Figura 2: (a) Lado esquerdo do cronômetro. (b) Mensagem do monitor quando o
cronômetro é ligado.
quando o photogate A é bloqueado e o momento no qual o photogate B é bloqueado. Assim,
para obter uma medição correta é muito importante observar a ordem dos photogates : o
primeiro photogate deve ir na entrada A e o segundo na entrada B.
Modo One gate: neste modo de funcionamento é medido o tempo no qual o photogate
A fica obstrúıdo.
Para os modos Two Gates, One Gate, o procedimento de medida é o seguinte:
1. selecione o modo desejado;
2. pressione o botão central, denominado START (figura 2(b));
3. aparecerá a mensagem Ready! no monitor, indicando que o cronômetro está
pronto para executar a medida (figura 3(a));
4. após feita a medida, o monitor mostrará o tempo medido no modo escolhido,
em segundos (figura 3(b));
5. o tempo não será apagado até que um botão seja pressionado;
6. para realizar uma nova medida aperte novamente o botão START. Recomece
no passo 3 deste roteiro.
Modo Pendulum: neste modo de funcionamento são medidos 20 tempos nos quais
o photogate A fica obstrúıdo duas vezes consecutivas. Com este procedimento podemos
medir o peŕıodo de um pêndulo por exemplo.
23
(a) (b)
Figura 3: (a) Mensagem indicando que o crômetro está pronto para medir. (b) Tempo
medido em segundos no modo Two Gates.
1. selecione o modo Pendulum;
2. pressione o botão START;
3. aparecerá a mensagem Ready! no monitor, indicando que o cronômetro está
pronto para executar a medida;
4. a primeira obstrução inicia a medida;
5. cada duas obstruções do photogate A significa um peŕıodo completo, sendo o
tempo decorrido armazenado e um novo ciclo inicializado. Serão armazenados
20 peŕıodos;
6. após feitas as 20 medidas, o monitor mostrará o tempo medido para o primeiro
ciclo;
7. para ver o tempo dos outros peŕıodos pressione o botão direito denominado
MEASUREMENT (figura 4);
8. para realizar uma nova medida aperte novamente o botão START. Recomece
no passo 3 deste roteiro.
Modo Time Range: este modo permite selecionarmos a faixa de valores de medida
de tempo. Quando o cronômetro é ligado, a faixa de tempo de cada medida é de
0.0000 s - 6.5536 s. O instrumento também permite trabalharmos na faixa de valores
entre 0.000 s - 65.536 s. Para selecionarmos a faixa desejada, selecionamos o modo Time
Range e em seguida precionamos o botão START.
Modo Gates Test: este modo só deve ser utilizado para testar o funcionamento correto
dos photogates. Selecionando o modo Gates Test e conectando o photogate em alguma
das duas entradas (A ou B), o monitor vai mostrar uma barra horizontal ( - ) caso o
mesmo esteja sem obstrução e uma linha vertical quando estiver bloqueado ( / ). Se
24
Figura 4: Tempo medido em segundos no modo Pendulum para o ciclo 6.
existe alguma dúvida a respeito do correto funcionamento de algum dos photogates, esta
é a maneira mais simples e direta de testá-lo.
Figura 5: Imagem do cronômetro no modo de teste. Neste exemplo o photogate A (1)
está bloqueado e o photogate B (2) não está bloqueado.
25
 26 
Medidas de Comprimento 
 
Carlos Henrique Brito Cruz/Hugo Luis Fragnito 
 
 O instrumento de medida mais simples que usamos em um laboratório é a 
régua, no entanto, com ela podemos demonstrar aspectos importantes em medidas 
feitas com outros instrumentos. Uma boa régua milimetrada permite que façamos 
medidas com precisão de 0,05 cm, o que nos fornece uma regra geral para 
equipamentos científicos: A precisão de um equipamento 
pode ser tomada como a metade da menor escala. 
Obviamente, a aplicação desta regra exigirá que você use o 
bom senso, pois existem vários casos em que ela não é 
válida. Por exemplo, uma régua barata de plástico cuja 
marcação dos milímetros nem sempre é bem feita, pode ter 
uma precisão muito pior, que você poderá avaliar 
comparando com uma régua de boa qualidade. 
 Ao fazer uma medida com uma régua milimetrada, 
você deverá anotar os centímetros e milímetros 
correspondentes, assim como os décimos de milímetro, que 
você irá estimar visualmente, como na Figura 1, que podecorresponder a uma leitura de (1,32 ± 0,05) cm. Observe a notação ± 0,05, que 
significa que a precisão da régua fez com que possa haver um erro de 0,05 cm para 
mais ou para menos no valor medido. 
 Na realidade, a questão dos erros experimentais depende em grande parte do 
bom senso, que você deverá desenvolver durante os cursos de Física Experimental. 
Por exemplo, se você tiver que medir a posição de uma mancha de forma pouco 
definida e com cerca de 2 cm de diâmetro, não tem sentido afirmar que a sua medida 
tem uma precisão de 0,05 cm, mesmo que a sua régua atinja esta precisão. Talvez um 
valor de 0,2 cm para o erro experimental diga mais a respeito da precisão com que 
você pode determinar a posição do centro da mancha. 
 
Figura 1: Leitura da régua 
 
Figura 2: Paralaxe. 
 
 27 
 A paralaxe é um fenômeno importante ao fazermos a leitura de qualquer 
escala, em particular uma régua. Ele está representado na Figura 2, na qual vemos 
um ponteiro (de um velocímetro de automóvel, por exemplo) cujo valor deve ser lido 
na escala. Conforme o observador move sua cabeça para a esquerda ou para a 
direita, mede um valor respectivamente maior ou menor que o valor correto, que deve 
ser lido com o observador posicionado perpendicularmente à escala. Portanto, sempre 
que você tiver que fazer a leitura de uma escala ou 
régua, posicione-se o mais perpendicularmente 
possível à esta. Procure também posicionar a régua 
o mais próximo possível do objeto a ser medido para 
minimizar o erro devido à paralaxe. 
 Outro cuidado que você deve tomar é evitar 
usar as extremidades da régua para medidas, pois é 
comum que elas estejam danificadas devido ao uso, 
ou ao próprio processo de fabricação. O melhor é 
que você posicione as extremidades do objeto como 
mostrado na Figura 3, e subtraia os valores obtidos. 
 Quando é necessário mais precisão, podemos usar um paquímetro, como o 
mostrado na 
Figura 4. Para 
medirmos 
diâmetros 
externos, 
colocamos a peça 
entre as esperas 
(a), no caso de 
medidas internas 
usamos as 
esperas (b), e 
para medir a 
profundidade de 
um orifício usamos a haste (c). O cursor é uma 
peça que move as três partes ao mesmo tempo, 
e deve ser deslizado até que se acomode ao 
corpo que está sendo medido. Em geral ele 
possui um trava como a marcada pela letra (d), 
que deve ser pressionada para que o cursor 
possa ser deslocado. Às vezes ela é substituída 
por um parafuso que deve ser apertado ou 
afrouxado. 
 Para fazer a leitura do comprimento, 
usamos uma escala chamada vernier, que vemos em detalhe na Figura 5. Pela 
posição do zero vemos qual será aproximadamente o valor da medida, na figura, 1,2 
cm mais alguns centésimos de centímetro que iremos descobrir quanto valem 
verificando quais dos riscos do vernier coincide com um dos riscos da escala. Vemos 
que este é o caso do sétimo risco, portanto a leitura é (1,27±0,01) cm. A precisão do 
paquímetro é a mesma com que ele permite determinar o comprimento. Alguns 
paquímetros possuem 20 traços no vernier, usando um deles a medida acima seria 
talvez (1,275±0,005) cm. 
 
 Figura 3: Medida com a régua. 
 
 Figura 4: Paquímetro. 
 
 Figura 5: Leitura do Vernier 
 28 
 Caso o paquímetro também não seja adequado pode-se usar um micrômetro, 
como o mostrado na Figura 6, que possui precisão de 0,001 cm. Para operá-lo 
colocamos o objeto a ser 
medido entre as esperas 
(a) e rodamos o tambor 
(b) até que seja 
alcançado o diâmetro do 
corpo. Para que não 
ocorra que a cada 
medida seja aplicada 
uma força diferente, o 
que ocasionaria um erro 
devido à elasticidade do 
corpo, devemos usar a 
catraca (c) para encostar 
as esperas no objeto. Na Figura 7 vemos na escala linear de um micrômetro uma 
medida que é maior que 4,5 mm, pois foi ultrapassada a marca central entre o 4 e o 5. 
Olhando a escala de centésimos de mm, vemos que ela marca 32, número que deve 
ser somado à medida da escala linear, resultando em (4,82 ± 0,01) mm. 
Tanto no caso do paquímetro como do micrômetro, a calibração pode ser 
verificada levando-se as esperas às posições correspondentes a um corpo de 
dimensões nulas e lendo-se o valor medido. Caso este valor seja diferente de zero o 
equipamento está descalibrado, mas pode ser 
utilizado, desde que este valor seja subtraído de 
cada medida feita. 
 
 
Figura 6: Micrômetro. 
 
Figura 7: Leitura do micrômetro 
Prof. R. Urbano 
Estrutura do Relatório 
 
1. Título 
Nome do Experimento. 
2. Nome Completo e RA dos integrantes do Grupo 
 
3. Resumo 
O resumo deve dar ao leitor uma idéia geral do que foi realizado no 
experimento. Deve conter uma breve descrição do problema estudado, a 
motivacão, o método empregado, o resultados mais importantes (citar os 
valores se for o caso) e as principais conclusões do trabalho. (6 a 8 linhas) 
 
4. Metodologia Experimental, Resultados e Análises 
Inicialmente, deve-se apresentar todos os materiais e instrumentos 
utilizados além de uma descrição dos métodos empregados, sempre que 
possível apresentando um esquema da montagem experimental. 
Na sequência, deve-se apresentar os resultados experimentais descrevendo 
detalhadamente como foram obtidos. Deve-se apresentá-los em forma de 
Tabelas e Gráficos. Deve-se também explicitar claramente todas as etapas 
seguidas durante os cálculos (valores médios, desvio padrão, erros totais, 
propagação de erros, etc.) e descrever a análise dos dados, dando um 
destaque especial para o resultado final. 
 
5. Discussão e Conclusão 
Nesta seção, deve-se comentar a qualidade e confiabilidade dos resultados 
obtidos, justificando eventuais discrepâncias observadas ao longo do 
experimento. 
Cabe também apontar sugestões para se obter um conjunto de dados com 
melhor qualidade ou ainda um método experimental mais apropriado. 
Por fim, descreva as principais conclusões decorrentes diretamente do 
experimento e, se possível, relacione-as com as de outros trabalhos 
verificando se todos os objetivos do experimento proposto inicialmente 
foram alcançados.