O Código de Pascal: Sequências e Coeficientes

Prévia do material em texto

O Código de Pascal 
Série Matemática na Escola 
Objetivos 
1. Introduzir sequência de números naturais; 
2. Mostrar os coeficientes do Binômio de 
Newton; 
3. Motivar algumas propriedades aritméticas 
dos números naturais; 
4. Apresentar o famoso Triângulo de Pascal. 
 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 2/10 
O Código de 
Pascal 
Série 
Matemática na Escola 
Conteúdos 
Conjuntos dos números naturais, 
Sequências numéricas. 
Duração 
Aprox. 10 minutos. 
Objetivos 
1. Introduzir sequência de 
números naturais; 
2. Mostrar os coeficientes do 
binômio de Newton; 
3. Motivar algumas propriedades 
aritméticas dos números 
naturais; 
4. Apresentar o famoso 
Triângulo de Pascal. 
Sinopse 
Um jovem encontra um 
manuscrito com vários números 
quem parece código. Ao tentar 
decifrar o código, o grande 
matemático Pascal aparece para 
ajudá-lo. A ajuda é mútua em 
algum sentido. 
Material relacionado 
Áudios: Triângulo Ímpar; 
Experimentos: Geometria do 
Taxi; Quadrado de Koch; 
Softwares: Corrida ao cem; 
Vídeos: Uma dinâmica de grupos; 
Naturalmente. 
Introdução
Sobre a série 
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do 
ensino médio através de situações, ficções e contextualizações.
programas desta série usual
um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os 
programas são ricos em representações gráficas para dar sup
conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem 
informações interdisciplinares
 
Sobre o programa
O programa vai abordar o triângulo
Na ficção, um surfista descobre um velho manuscrito com muitos 
números naturais distribuídos em uma forma triangular. O surfista fica 
curioso e, com o auxílio da imaginação, conversa com o próprio 
Pascal, que fica satisfeito
encontrado o seu código.
 
Os números que aparecem no triângulo 
propriedades interessantes. O vídeo apresenta de maneira gráfica 
O Código de Pascal
Introdução 
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do 
ensino médio através de situações, ficções e contextualizações.
programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de 
um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os 
programas são ricos em representações gráficas para dar sup
conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem 
informações interdisciplinares. 
Sobre o programa 
O programa vai abordar o triângulo conhecido como sendo
Na ficção, um surfista descobre um velho manuscrito com muitos 
urais distribuídos em uma forma triangular. O surfista fica 
curioso e, com o auxílio da imaginação, conversa com o próprio 
Pascal, que fica satisfeito com alguém que finalmente tenha 
encontrado o seu código. 
Os números que aparecem no triângulo aritmético 
propriedades interessantes. O vídeo apresenta de maneira gráfica 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 3/10 
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do 
ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os 
mente são informativos e introdutórios de 
um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os 
programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao 
conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem 
conhecido como sendo de Pascal. 
Na ficção, um surfista descobre um velho manuscrito com muitos 
urais distribuídos em uma forma triangular. O surfista fica 
curioso e, com o auxílio da imaginação, conversa com o próprio 
finalmente tenha 
 têm muitas 
propriedades interessantes. O vídeo apresenta de maneira gráfica 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 4/10 
algumas destas propriedades. 
É bem provável que a disposição dos números no Triângulo de Pascal 
tenha sido apenas para facilitar a consulta para o cálculo da expressão 
expandida de potências de binômios. Isto é 
�� + ��� =� 	!�! �	 − ��! �
�
���
�
���
 
Os números que aparecem nas linhas do Triângulo são os coeficientes 
binomiais, a saber: 
	!
�! �	 − ��! 
Onde n estará associado à linha e p varia de 1 a n em cada linha. Por 
exemplo: 
Tabela 1 Triângulo de Pascal até n=6 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
O famoso divulgador de matemática Martin Gardner cita o também 
famoso pesquisador em algoritmos computacionais Donald Knuth com 
a seguinte frase: 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 5/10 
Existem tantas relações [matemáticas] no Triângulo de Pascal que 
ninguém mais se admira quando alguém descobre uma nova relação, 
exceto o próprio descobridor. 
Pascal tinha um encanto especial e religioso pela matemática. O 
programa mostra um pouco desta característica de Pascal. 
O professor pode enfatizar o aspecto algorítmico associado à 
construção do triângulo aritmético e sequência de Fibonacci. 
Nem tudo que parece um fractal é um fractal 
O vídeo menciona a conexão entre o Triângulo de Pascal e o fractal de 
Sierpinski. Os fractais, do ponto de vista matemático, têm várias 
propriedades e uma delas é chamada de autossimilaridade - a forma 
(ou aparência, ou outra característica) do todo é semelhante à de uma 
parte do fractal. Em simples palavras, se você olhar de perto, com 
alguma lupa ou de longe vai ver a mesma forma. Todos estes 
conceitos têm definições precisas e são bem elaborados, mas não é 
propósito deste vídeo nem desse guia o aprofundamento no assunto. 
No entanto, vale ressalvar os exemplos que o vídeo mostra como 
fractais da natureza: Ondas do mar, flocos de neves e esqueleto de 
moluscos (Figura 1). Estes exemplos exibem estruturas autossimilares 
em algumas escalas, mas não são matematicamente fractais. 
Figura 1 Este exemplo dado no vídeo não é um fractal, mas tem algumas 
características em comum. 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 6/10 
Apesar de não serem rigorosamente fractais, os exemplos da natureza 
dados no vídeo e outros que os alunos podem pesquisar revelam 
estruturas que lembram algumas propriedades dos fractais. 
Os computadores modernos conseguem gerar fractais belíssimos a 
partir de algoritmos de fórmulas matemáticas recursivas, como da 
Figura 2. 
Sugestões de atividades 
Antes da execução 
Desenvolver explicitamente algumas as seguintes expressões: 
Figura 2 Imagem fractal criada por KaCey97007 disponível sob licença CC (2008). 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 7/10 
�� + ��� = �� + ���� + �� = �� + 2�� + �� 
�� + ��� = �� + ����� + �� = �� + 3��� + 3��� + �� 
�� + ��� = �� + ����� + �� =? 
E chamar a atenção para os coeficientes numéricos que multiplicam os 
vários termos. 
 
Depois da execução 
Desafiar os alunos a apresentarem a expansão explícita dos seguintes 
binômios: �� + ��� =?, �� + ��� =? , �� + ��� =? 
Calcular com a ajuda de uma calculadora, ou não, os seguintes 
números: 112, 113, 114 
Mostre aos alunos a correspondência com as linhas do Triângulo de 
Pascal. A expansão do binômio: 
�1 + 10�� =� 	!�! �	 − ��! 10
�
�
���
 
Isto é, os números do Triângulo de Pascal correspondem aos valores 
da unidade, dezena, centena, milhar e dezena de milhar. 
Por que o número 115 não é associado à linha n=5 do triângulo de 
Pascal como são os casos de 110, 111, 112, 113, 114? 
Desafios Algébricos 
O vídeo menciona também os números de Fibonacci que formam uma 
sequência recursiva. 
Definição A sequência de Fibonacci {u
n
 , n=0,1,2,3...}, é tal que u
0
=0, 
u
1
 =1 e 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 8/10 
���� = �� + ��
� 
para 	 ≥ 1. 
O professor pode propor o seguinte teorema. 
Teorema. Considerando a sequência de Fibonacci para 	 ≥ 1 temos 
que 
��� − ��
����� = �−1���� 
Isto é, a diferença entre o quadrado de um número da sequência de 
Fibonacci e o produto de seus dois vizinhos é um, se n for ímpar e 
menos um se n for par. 
Professor. Desafie os alunos com qualquer número de Fibonacci e 
verifique com eles a veracidade do teorema. A demonstração é simples 
e deve-se enfatizar a metodologia que empregamos, isto é, usamos 
apenas as definições, as hipóteses, a lógica e a álgebra,para 
demonstrarmos a tese do teorema. 
Demonstração. Os principais passos para a demonstração são os 
seguintes. Vamos definir a função auxiliar 
��	� ≡ ��� − ��
����� 
Pela definição da sequência de Fibonacci calculamos imediatamente 
f(1)=1 e f(2)=-1. Vamos usar então a indução, assumindo que vale 
para n qualquer, então mostrar que vale para n+1. 
��	� = �−1���� 
��	 + 1� ≡ ����� − ������ 
= ����� − ������� + ��� 
= ����� − ������ − ��� 
= ��������� − ��� − ��� 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 9/10 
= �������
�� − ��� 
= −��	� 
Nos passos do desenvolvimento acima, a relação de recorrência foi 
usada duas vezes ���� = ����� + ��� e ����� − ��� = ���
��. Concluímos 
então que ��	 + 1� = �−1���� como era de se esperar pela hipótese de 
indução. CQD. 
Combinatória 
O professor pode usar este vídeo quando tratar de combinatória, mais 
especificamente de combinação. Os números do triângulo aritmético 
são exatamente a quantidade de combinações que podemos fazer 
considerando n objetos em grupos de p objetos, que é o número 
!�� = �!�!��
��!. 
Sugestões de leitura 
J.F. Porto da Silveira, O triângulo de Pascal é de Pascal? 
http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2.html (2001). Página 
visualizada em 11/Abril/2010. 
AZEVEDO, A.. Sequencias de Fibonacci. Revista do Professor de 
Matematica, 45, p. 44-47, (2001). 
Élvia Mureb Sallum, Fractais no ensino médio. Revista do Professor de 
Matematica 57, p. 1-8, (2005). 
KaCey97007, Fractal for Kaleidospheres & Kaleifractals 
http://www.flickr.com/photos/kacey/2569739192/ (2008) . Página 
visualizada em 21/Abril/2010. 
 
Ficha técnica 
Autor: Samuel Rocha de Oliveira 
Revisora: Laura L.R. Rifo 
Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva 
Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira 
Universidade Estadual de Campinas 
Reitor Fernando Ferreira Costa 
 
VÍDEO 
O Código de Pascal 10/10 
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca 
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Diretor Jayme Vaz Jr. 
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira