EA513-NotasAula-02

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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 
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Esta aula: 
! Circuito elétrico: nó, laço 
! Leis de Kirchhoff das correntes e das 
tensões 
! Associação de bipolos resistivos: serie e 
paralelo 
 
 
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Circuitos elétricos 
Conjunto de bipolos conectados de uma forma 
particular. 
 
Análise de um circuito: determinação das 
correntes e tensões em cada bipolo do circuito, 
usando: 
! Relações entre tensão e corrente dos 
bipolos, 
! Leis de Kirchhoff. 
 
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
 
 
Conhecido: )(te , 1R , 2R , L e C 
Desconhecido: )(1 ti , )(2 tv , )(2 ti , )(3 tv , )(3 ti , 
)(4 tv , )(4 ti , )(5 tv e )(5 ti . 
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Dos modelos de funcionamento dos bipolos, 
sabemos que: 
 
! )()(1 tetv = 
 
! v2 (t) = −R1 i2 (t) 
 
! v3(t) = −L
di3(t)
dt
 
 
! 
dt
tdvCti )()( 44 = 
 
! )()( 525 tiRtv = 
 
Outras equações são necessárias para resolver o 
problema: 
 
• Lei de Kirchhoff das correntes, 
• Lei de Kirchhoff das tensões. 
 
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Lei de Kirchhoff das correntes: 
 
Nó: ponto de ligação entre dois ou mais bipolos 
 
• A soma algébrica das correntes que saem de 
um nó é nula, ou 
• A soma das correntes que chegam a um nó é 
igual à soma das correntes que saem daquele 
nó. 
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
Nó A
Nó B
Nó C
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
Nó A
Nó B
Nó C
 
 
Nó A: 0)()( 21 =− titi 
Nó B: 0)()( 32 =− titi 
Nó C: 0)()()( 542 =−− tititi 
 
Para um circuito com n nós, podemos escrever 
(n – 1) equações independentes de corrente. 
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Lei de Kirchhoff das tensões: 
 
Laço: percurso fechado formado por bipolos e 
que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo 
bipolo. 
Circuito Plano: Um circuito é dito plano se 
pudermos desenhá-los em um plano sem 
cruzamento de bipolos. 
Malhas: laços em um circuito plano que não 
contém bipolos em seu interior. 
 
A soma algébrica das tensões 
ao longo de um laço é nula. 
 
Para um circuito de b bipolos e n nós, podemos 
escrever b – (n – 1) equações independentes 
relacionando as tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Considerando novamente o circuito anterior: 
 
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
C
2R
1R L
)(5 tv)(te
Laço II
Laço I Laço III
 
 
2)14(54,5 =−−→== nb 
 
• Laço I: 0)()()()( 432 =−++ tvtvtvte 
 
• Laço II: 0)()()()( 532 =−++ tvtvtvte , 
desnecessária, pois é redundante. 
 
• Laço III: 0)()( 54 =− tvtv 
 
 
 
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Associação de bipolos resistivos 
 
Consideremos o circuito resistivo: 
2R
1R
1i
2i
2v
1v
E
i
2R
1R
1i
2i
2v
1v
E
i
 
 
São n = 3 nós, b = 3 bipolos: 
• b – (n – 1) = 1 equação de tensões, 
• n – 1 = 2 equações de correntes. 
 
021 =−− vvE , 1ii = e 2ii = 
 
Equações dos bipolos: 111 Riv = e 222 Riv = 
Resolvendo para i: 
→−= iRiRE 21
21 RR
Ei
+
= 
 
Portanto: 
21
1
1 RR
REv
+
= e 
21
2
2 RR
REv
+
= 
 
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Note que: 
! Os resistores 1R e 2R podem ser 
representados por um resistor equivalente 
21 RRRT += : Associação em série de 
resistores. 
! Os resistores 1R e 2R podem ser vistos como 
um divisor de tensão. 
 
1R
1R
nR
∑
=
=
n
i
iT RR
1
1R
1R
nR
∑
=
=
n
i
iT RR
1
 
Consideremos agora o circuito: 
 
2i
2v
1i
1v
i
I v 1R 2R
2i
2v
1i
1v
i
I v 1R 2R
 
 
b = 3, n = 2: 
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! Uma equações de corrente: 21 iii += 
! Duas equações de tensão: 1vv = e 2vv = 
 
Bipolos: 111 Riv = , 222 Riv = e Ii = 
 
Então, !!
"
#
$$
%
&
+=+=
212
2
1
1 11
RR
v
R
v
R
vI 
 
Ou, 
21
11
1
RR
Iv
+
×= 
 
21
21
21
11
1
RR
RR
RR
RT +
=
+
= 
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Portanto: 
21
2
1 RR
RIi
+
= e 
21
1
2 RR
RIi
+
= 
 
Note-se que: 
! A combinação dos resistores 1R e 2R pode ser 
substituída por 
21
21
RR
RRRT +
= : Associação em 
paralelo. 
! A combinação dos resistores pode ser vista 
como um divisor de corrente 
 
1R 1R nR TR1R 1R nR TR
 
 
nT RRRR
1111
21
+++= … 
 
RG
1= é a condutância. Então, para 
associação em paralelo de resistores, temos 
 
nT GGGG +++= …21