Exercícios de Matemática

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20/08 : Na sua calculadora, qual é o maior número positivo � que verifica 1 + � = 0 ?
25/08 : Resolva o seguinte sistema linear
−x1 + 2X2 + 3x3 = 6
x2 + x3 = 9
27/08 : Use a eliminação gaussiana com pivotamento parcial para achar a solução de 1.32 −5.23 0.4320.27 0.82 −3.21
1.59 −4.41 −2.779

 x1x2
x3
 =
 −2.456.21
2.94
 .
Opere com 4 d́ıgitos significativos.
01/09: Use a eliminação gaussiana com pivotamento parcial para achar a solução de

1 2 −12 8
5 4 7 −2
−3 7 9 5
6 −12 −8 3


w
x
y
z
 =

27
4
11
49
 .
Opere com 6 d́ıgitos significativos.
03/09 : Obtenha a fatoração LU da seguinte matriz
6 −12 −8 3
5 4 7 −2
1 2 −12 8
−3 7 9 5

Considere o sistema linear com a matriz acima e o termo independente dado pelo seguinte vetor
2
3
6
9

Resolva o sistema através da resolução dos sistemas triangulares associados à fatoração obtida. Opere
com 4 d́ıgitos significativos.
08/09 : Considere a matriz
1 2 −12 8
5 4 7 −2
−3 7 9 5
6 −12 −8 3

Calcule a fatoração LU desta matriz, com pivotamento parcial. Especifique o vetor ou matriz P
que determina as permutações realizadas e resolva os sistemas triangulares correspondentes, para o
lado direito dado por

9
3
2
6

Opere com 4 d́ıgitos significativos.
10/09: Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Jacobi. Pare quando se verifique que
‖xk+1i − xki ‖ ≤ 0.1, i = 1, 2, 3, ou ao completar a quinta iteração. Opere com 4 d́ıgitos significativos. 3 2 14 6 3
1 2 −4

 x1x2
x3
 =
 21
5
 ,
x0 =
 .9722.3472
−1
 .
15/09 Repita o exerćıcio anterior usando o método de Gauss-eidel.
17/09: Dados f(3) = 6, f ′(3) = 8, f”(3) = 11 e f (n)(3) = 0,∀n > 3. Assumimos que todas as
derivadas de f existem e são cont́ınuas no domı́nio de f . Calcule f(7). (Taylor).
22/09: Calcule a derivada aproximada de f(x) = arctan(x) em x =
√
2 usando as três fórmulas
conhecidas, para diferentes valores de h. Come ce com h = 1 e divida sucessivamente h por 2. Para
que valores de h comea̧ a falhar este cálculo?. Faça um programa para responder este exerćıcio.
24/09 : Considere f(x) = sin(x)− x. Determine um intervalo [a, b] que contenha uma raiz difer-
ente de zero de f(x). Realize quatro iterações do método de bisecção. Calcule um limitante para o
erro absoluto na última iteração.
29/09:
Aplique o método Newton-Raphson para encontrar uma aproximaçãão do zero de f(x) = x+ exp(x).
Pare quando |f(x)| < 10−4.
01/10:
Aplique o método da secante ao problema do exerćıcio anterior. Pare com o mesmo critério.
06/10:Dado o sistema não linear:
−x1(x1 + 1) + 2x2) = 18
(x1 − 1)2 + (x2 − 6)2 = 25
(a) Resolva graficamente.
(b)Faça duas iterações do método de Newton-Raphson para achar o valor aproximado de uma das
raizes encontradas no gráfico de (a).
15/10 : Marque em uma folha dez pontos não alineados e desenhe a reta que você acha que
melhor ajusta esses pontos. Ache a equação dessa reta. Feito isso, calcule agora os parâmetros da
reta, resolvendo o sistema linear obtido através de quadrados mı́nimos. Que tal a sua intuição?.
Exerćıcio computacional dado no 15/10.
Um empresário quer calcular quanto óleo restou em um depósito. O depósito é esférico de 180 cm
de diámetro. Lhe foi sugerido que usá-se uma régua de aço milimetrada de 240 cm de comprimento.
Lendo a marca de óleo na régua se sabe a altura h do óleo no depósito. O volume V que corresponde
à altura h é
V =
πh2(3r − h)
3
Queremos desenhar uma régua de aço cujas marcas forneçam diretamente o volume de óleo so-
brante. Resolva o problema que envolve este desenho atraves de um programa computacional que
use o método de Newton-Raphson. Imprima os valores de volume V correspondentes a 20 alturas
diferentes h. Faça um desenho que ilustre o problema planteado.
20/10 Escolha 15 pontos no plano (IR2). Dadas as seguintes funções
g1(x) = ex, g2(x) = sen(x), g3(x) = x, g4(x) = x3,
(a) Ajuste usando quadrados mı́nimos os pontos escolhidos para y(x) =
∑4
i=1 aigi(x).
(b) Calcule o reśıduo.
22/10 Dada a seguinte tabela
x −8 −6 −4 −2 0 2 4
y 30 10 9 6 5 4 4
(a) Ajuste estes dados à curva y(x) = 1a0+a1x . Faça o gráfico de z(x) =
1
y(x) . Comente o que observa.
(b) Repita (a) com a curva abx.
(c) Qual das duas curvas ajusta melhor os dados? Justifique.
27/10 Ache o polinômio de grau 3 que verifica
p(0) = 1, p(2) = 2, p′(0) = −1, p′(2) = 1.
03/11 Usando a fórmula de interpolação baricêntrica e os dados da tabela chute o número de
estudantes por professor em 2011.
Ano 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
al/prof 5, 75 6 6, 5 6, 75 7 8 10 11, 8 12, 5 12, 5 14
05/11 Deduza as fórmulas de Simpson (simples e repetida).
10/11 Dada F (x) = 2√
(π)
∫ x
0 e
−t2dt, calcule F (2) usando primeiro a regra dos trapézios e depois
a de Simpson.
12/11 Calcule (sem resolver analiticamente) os valores de y(x) em [0, 1], para x = hi com
i = 1, 2 . . . sabendo que y(0) = 0.5 e que y′(x) = y(x).
Exerćıcio computacional dado no 17/11.
Problema de equações diferenciais ordinárias
Área: Engenharia Qúımica
O sabão é preparado através de uma reação denominada saponificação. Na saponificação, as gor-
duras animais ou vegetais reagem com hidróxido de sódio ou de potássio produzindo glicerol e um sal
de ácido graxo conhecido como sabão. O sabão é separado do glicerol por precipitação induzida pela
adição de cloreto de sódio. A parte superior da mistura, que consiste em uma capa de água contendo
cloreto de sódio dissolvido, é eliminada. Esta técnica para fabricar sabão ainda é usada em muitos
vilarejos de páıses em desenvolvimento, onde o preçõdo sabão produzido em massa é muito alto para
a média dos habitantes desses vilarejos.
Dois estudantes de engenharia qúımica usaram seus conhecimentos de saponificação adquiridos no
curso de qúımica orgânica para organizar uma fábrica de sabão caseiro. A legislação local exige que
o ńıvel mı́nimo de concentração de reśıduos de cloreto de sódio presente em qualquer ĺıquido jogado
no ambiente não exceda os 11g/l. A água contendo cloreto de sódio é o principal reśıduo do processo.
A fábrica possui um único tanque de 15 litros para acumular o reśıduo. Uma vez enchido o tanque,
há nele 15 litros de água e 750 gramas de cloreto de sódio. Para continuar a produção e cumprir
com a exigência local, se deseja bombear 2 litros de água fresca por minuto no tanque (corrente A)
enquanto água residual com uma concentração de 25 gramas de sal por litro é jogada no tanque a
1.5 litros por minuto (corrente B). Para manter o ńıvel do tanque em 15 litros, 3.5 litros de reśıduo
são vazados por minuto (corrente C). Assumimos que enquanto as correntes A e B entram no tanque,
instantaneamente a concentração de cloreto no tanque muda para a concentração de sáıda, x1. O
desenho do processo está na página original do problema (veja a referência do curso).
O balanço de material ( cloreto de sódio) no sistema dado pelo tanque pode ser descrito como
Acumulação = entrada − sáıda + retirada pela reação.
Notando que não há reação qúımica no tanque ( o terceiro termo do membro direito acima é nulo),
podemos escrever a equação acima como
x′1(t) = (25g/l)(1.5l/min) + (0g/l)(2l/min)− (x1(t)g/l)(3.5l/min) + 0g/min
ou
x′1(t) + 3.5x1(t) = 37.5.
Para t = 0, a concentração de sal no tanque era 750g/15l, ou seja, x1(0) = 50g/l.
• Usando as equações e os dados acima, determine numericamente como varia no tempo a con-
centração de sal vazada.
• Grafique a solução obtida.
• Quanto tempo demorou para atingir a exigência legal? Quando chega ao estado estacionário,
qual é a concentração de sal vazada no ambiente por esta fábrica?
19/11 Complete a tabela do exemplo 8.3.1 do livro texto para h=0.1.
24/11 Considere o PVI: y′(x) = f(x, y(x)), y(x0) = y0. Definimos a seguir duasvariações
do método de Euler com passo h. Em ambos métodos verifique que os valores yj+1 são as orde-
nadas correspondentes a xj+1 nas retas que passam por (xj , yj) e cujas inclinações estão dadas por
m1 =? e m2 =?. Interprete os valores m1 e m2. Grafique um passo de cada método de modo que
esteja clara a interpretação geométrica em cada um deles.
(1) yj+1 = yj + h(f(xj , yj) + f(xj+1, yj + hy′j))/2
(2) yj+1 = yj + h(f(xj + h2 , yj +
h
2y
′
j))