F-107-20162S-16-09-30-Primeiro-MAdulo-MecAónica

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F-107 Física para Biologia
Mecânica – Conceitos Gerais
Prof. Dr. Edmilson Manganote
• Quando se deseja medir algo, como por exemplo o 
comprimento de um objeto, está-se medindo uma quantidade 
ou grandeza física.
• A medida de uma grandeza física é expressa pelo número de 
vezes que a unidade padrão, tomada como referência, está 
contida na grandeza a ser medida.
• O valor de uma medida é composto por duas partes 
inseparáveis: o número e a unidade padrão em que a 
grandeza foi expressa.
• Claramente, a informação de que uma pessoa saltou “15” de 
distância está incompleta, porque se foram 15 cm, 15 
polegadas ou até 15 m, estamos falando de distâncias que são 
completamente diferentes.
Grandezas Físicas
• No sentido de normalizar as unidades de medida, foi criado o 
Sistema Internacional de Unidades (SI), que determina quais 
são as unidades padrões a serem utilizadas.
Sistema de Unidades
Principais unidades de medida do Sistema Internacional de Unidade
a) Paramecium
b) Alvéolo
c) Célula Cardíaca
d) Hemácias
e) Bactéria Escherichia Coli
a) Vírus HIV
b) Hemoglobina
c) Membrana Celular
d) Molécula de DNA
e) Moléculas de Glucose
Nosso pequeno mundo...
Tipos de grandezas físicas
• Escalar: Uma quantidade caracterizada somente 
por sua magnitude. 
Exemplos: massa, comprimento, tempo e 
energia.
• Vetor: Uma quantidade caracterizada por sua 
magnitude e direção.
Exemplos: força, posição e velocidade.
Vetores e Escalares
Algarismos Significativos
Qual é o comprimento afinal? 4,3?4,32
Algarismo 
duvidoso
4,32  0,005
Erro: metade 
da menor 
divisão
Scolopendra heros
Quais são os algarismos significativos?
Qualquer algarismo à direita, no sentido usual de 
leitura, do primeiro algarismo não nulo
Exemplos:
0,02  1 algarismo significativo
0,2  1 algarismo significativo
2  1 algarismo significativo
2,0  2 algarismos significativos
2,00  3 algarismos significativos
2000  4 algarismos significativos
2,0 x 103  2 algarismos significativos
Aproximações
N = 3,87XY
N = 3,88 se X>5
N = 3,87 se X<5
Se X=5 
se Y  5 depois de X  N = 3,88
se Y< 5 depois de X  N = 3,87
Operações
Soma:
135 + 2,73 - 10,57 - 4,3 + 0,8  135 + 3 - 11 - 4 +1 = 124
Multiplicação e divisão:
24,63 x 12,3 = 302 n. de algs. significativos = ao que tem menos
Regra prática:
135,xx+
2,73 -
10,57 -
4,3x+
0,8x 
124,xx
Regra prática:
24,63
12,3x
xxxx
7389
4926
2463
302
Em operações tipo senN, cosN, 
exp(N), log (N) , o problema é bem 
mais complicado.
Por exemplo:
exp(0,455) = 1,576
sen(0,45) = 1,568 1,570,1
sen(0,445) = 1,560
Valor médio e desvio médio
Valor médio X = <X> = ( X1 + X2 + X3 + ... + XN) / N
Desvio médio: <d> = (<X> - X1+ <X> - X2+ ... + <X> - XN) / N
Exemplo :
Xi: 20,34 20,32 20,38 20,30 20,35 20,37 20,35 20,35
<X> = (20,34 + 20,32 + 20,38 + 20,30 + 20,35 + 20,37 + 20,35 + 20,35) / 8
<X> = 20,34
<d> = (20,34-20,34+20,34-20,32+20,34-20,38+ 20,34-20,30+
...+ 20,34-20,35+ 20,34-20,37+ 20,34-20,35+ 20,34-20,35) / 8
<d> = 0,02
A medida se expressa por : 20,34  0,02
Algumas Relação Trigonométricas
A
C
B
senB =AC/BC cosecB = 1/senB
cosB = AB/BC secB = 1/cosB
tgB = AC/AB
tgB= senB/cosB
(AB)2 +(AC)2 = (BC)2
sen2B+cos2B = 1
tg2B+1 = sec2B
sen(A ± B) = senA.cosB ± senB.cosA
cos(A ± B) = cosA.cosB senA.senB
±
Gráficos
(1,4)
(2,-5)
(-3,-3)
(-4,2)
y = (x2 - 4)
x y
-3 5
-2 0
-1 -3
0 -4
1 -3
2 0
3 5
Derivada
X1 X2
y2
y1
a
Dy
Dx
a
x
y
tg
D
D
=a
Fixando x1 e fazendo x2 x1 ,
A secante se transforma em 
tangente à curva em (x1,y1) e
dx
dy
x
y

D
D
que é a derivada da curva em (x1,y1).
Portanto, a derivada num ponto dá a 
tangente trigonométrica (tga) do 
ângulo que a tangente geométrica, no 
ponto considerado, forma com o eixo 
dos X.
y
x
Máximos e mínimos:
Derivada nula
Curva crescente:
Derivada positiva
Curva decrescente:
Derivada negativa
Unidade da derivada:
u(y) / u(x)
Derivada
Função Derivada
0 0
ax+b a
exp(x) exp(x)
sen(x) cos(x)
arcsen(x) [1/(1-x2)]1/2
tg(x) sec²(x)
sec(x) sec(x).tg(x)
arctg(x) 1/(1+x²)
Função Derivada
1 0
xn n xn-1
log(x) 1/x
cos(x) -sen(x)
arccos(x) -[1/(1-x²)]1/2
cot(x) -csc²(x)
csc(x) -csc(x).cot(x)
arccot(x) -1/(1+x²)
Derivadas de algumas funções:
Derivada
Integral
Definição:
ou seja, a Integral da função f(x) é uma outra função, F(x), tal 
que a derivada de F(x) é a própria função f(x).
Portanto, pode-se dizer que a Integral é a operação inversa da 
Derivada. É a Antiderivada.
Integral
Vetores
direção
sentido
A
A também pode ser representado por A
O módulo de é representado por  
ou simplesmente por A
A A 
Se dois vetores têm o mesmo módulo,
direção e sentido, eles são iguais 
B
B = A
Algumas propriedades e operações dos vetores
A
A
A
B
B
B
C
C
C
A+B+C = B+C+A = C+A+B = ...
A
k1A
k2A
k3A
k1>1
0<k2<1
k3<0 A + (-B)
A
-B
A+B
A
B
Soma de vetores:
Multiplicação por um escalar:
“Subtração” de vetores:
Projeções
A
Ax
Ay
q
A2 = Ax
2 + Ay
2
Ax = A.cosq
Ay= A.senq
xA
yAtg =q
Soma de vetores
C
B
A
y
xab
g
Ry
Rx
R
q
Seixo x = Rx
Seixo y = Ry
R2x+R
2
y= R
2
xR
yRtg =q
Mecânica - Subdivisões
• Ramo da Física que trata do movimento (ou repouso) 
dos corpos
• Subdivisões:
– Mecânica dos corpos rígidos:
- Estática (corpos em repouso)
- Cinemática (corpos em movimento)
- Dinâmica (forças: alteram o estado dos corpos)
– Mecânica dos Fluidos
– Mecânica dos Corpos Deformáveis 
Grandezas - Mecânica
• Grandezas fundamentais da Mecânica:
– Posição  vetorial 
– Velocidade  vetorial 
– Aceleração  vetorial 
– Massa  escalar  m
– Tempo  escalar  t
• Relações entre as grandezas:
Mecânica
Mecânica
Mecânica
Mecânica
Mecânica
Movimento retilíneo:
1) v = vo + a.t
Se não há aceleração, S = So + vo.t
Se não há aceleração v = vo , i.é, v é constante.
2) S = So + vo.t + (1/2).a.t
2
3) v2 = vo
2 + 2.a.DS
Movimento circular uniforme de raio R e velocidade 
angular w :
v
ac1) v = w.R
2) ac = w
2R = v2/R
ac é aceleração normal ou centrípeta 
Obs: A velocidade é sempre tangencial à trajetória 
A aceleração centrípeta é normal à trajetória
Leis de Newton
1ª Lei – Um corpo permanece em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme se nenhuma força 
resultante atua sobre ele.
Leis de Newton
Leis de Newton
2ª Lei – A taxa de variação do momento de uma partícula 
é a força resultante que atua sobre ela, isto é: 
onde é o momento da partícula
Se a massa é constante, então:
Leis de Newton
3ª Lei – À toda ação de um corpo A sobre um corpo B, 
corresponde uma reação igual e de sentido oposto do 
corpo B sobre A.
Atenção: Ação e reação atuam em corpos diferentes
Leis de Newton
Tipos de forças: Força peso (gravitacional)
Leis de Newton
Tipos de forças: Tração (ou compressão)
Tração / compressão: Força característica de 
cabos (tração) e barras. Tração e 
compressão se transmitem integralmente 
em cabos e barras ideais (sem massa)
T
T
Leis de Newton
Tipos de forças: Contato (Normal)
Normal: Reação de contato. É normal às 
superfícies em contato.
Horizontal:
P = N = 50 x 9,8 = 490 N
Leis de Newton
Tipos de forças: Atrito (Normal)
Atrito: Força contrária ao movimento (ou à
tendência de movimento)
F
Fa
Enquanto não há movimento Fa
é sempre igual a F.
No limite do deslizamento: F = Fa = mN
onde m é o coeficiente de atrito estático
Após o deslizamento: Fa = mN
onde m é o coeficiente de atrito cinético
Leis de Newton
Tipos de forças: Centrais (gravidade; cargas elétricas)
Força de atração gravitacional e atração / repulsão elétrica: 
Forças centrais (agem entre os centros de massa ou de carga) e 
dependentes do inverso do quadrado da distância.
F F
Massa ou 
carga
Massa ou 
carga
Leis de Newton
Torques (): Quando uma força atua num corpo, o módulo do 
torque em relação a um ponto éo produto da força pela sua 
distância ao ponto de aplicação.
d3
O
d2
d1
d4
F1
F2
F3
F4
Condições de equilíbrio: Um corpo está em repouso quando 
nenhuma força ou torque atua sobre ele: 
Torques (): Momento de uma força
FR
FB FP
Equilíbrio:
FR = FB + FP
FR = FB + FP
dR.FR = dB.FB + dP.FP
Leis de Newton
Força no Tendão de Aquiles
Força nos Quadris
O uso de uma bengala...
Energia
• Energia Mecânica: Capacidade de realizar trabalho. Se apresenta em 
duas formas: cinética e potencial.
• Energia: Grandeza física envolvida (causa e/ou efeito) nas alterações 
dos estados das substâncias e dos sistemas.
Obs.:
• a energia é uma grandeza única e bem definida;
• adjetiva-se a energia para se expressar a natureza de diferentes 
sistemas envolvidos nas mudanças de estado (sistemas mecânicos, 
eletromagnéticos, químicos, nucleares, etc.)
Trabalho
• Trabalho Mecânico: É o produto da força pelo deslocamento de 
seu ponto de aplicação na direção da força.
F
Dx
F
F
a
Se F(r) é um vetor constante, então
W = F.Dx
W = 0
W = 
F.Dx.cosa
Teorema Trabalho-Energia
F
vo
F
Dx
v
v2 = vo
2 + 2a.Δx [multiplicando por (1/2)m]
(1/2)m.v2 = (1/2)m.vo
2 + ma.Δx
Ecf = Eci + F.Δx
ΔEc = W
Obs.: Se houver atrito entre o bloco e o piso:
W = Wfa+ DEc
Sendo F uma força constante (módulo, direção e sentido), então
Energia Potencial
W = mgh é o trabalho da força peso e, pelo Teorema Trabalho-Energia: ΔEc = W
O trabalho da força peso não depende do caminho, ou seja, o campo gravitacional
é conservativo!
Energia Potencial
Whorz = 0
Wvert = S(m.g.Dy)
Wvert = mgh
Então, se a diferença de alturas entre dois 
pontos nas proximidades da Terra é h, a 
energia potencial de uma massa m no 
ponto que está mais alto em relação ao 
ponto que está mais baixo é mgh.
A
B
EPA,B= 
mgh
Observe que: EcB-EcA = mg(hA- hB)
Ou seja: EcA+ EPA = EcB+EPB
EcA+ EPA é a energia inicial da massa m, 
portanto um valor constante Portanto 
EcB+EPB também é constante. Se Ec 
aumenta, EP diminui e vice-versa de tal 
forma a manter Ec+ EP constante. Em 
campos de forças conservativos, sempre:
Ec+Ep = E (constante)
Conservação da Energia
1- A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas 
modificada de uma forma a outra.
2- Em um sistema fechado a quantidade total de energia se 
conserva.
Isolamento
E1
E2
E3
E4 En
Não há troca 
de massa e 
energia com o 
exterior
 Lei da Conservação da Energia:
Conservação da Energia
Energia do sistema (existem diferentes formas de energia):
ET = E1 + E2 + E3 + ... + En
ou
DET = DE1 + DE2 + DE3 + ... + DEn
dET /dt = 0 ou DET = 0
Sistema aberto: troca de energia (Q) com a vizinhança:
dET /dt = Q ou DET = Q 
"A energia total de um sistema isolado é sempre constante”
 Lei da Conservação da Energia:
Conservação da Energia
"A energia total de um sistema isolado é sempre constante”
Ecossistema (sistema aberto)
A dinâmica de um ecossistema:
1) ciclo dos nutrientes;
2) fluxo de energia da luz solar 
para os produtores e consumidores. 
Produtores são as plantas e outros 
organismos (convertem a luz em 
energia química) e consumidores são 
organismos como os animais que 
alimentam-se dos produtores
ou consumidores.
Fotossíntese
Energia e seres vivos
Energia nos seres vivos
Taxa Metabólica (metabolic rate) – É a taxa de consumo energético 
total do organismo em suas atividades vitais
Taxa metabólica basal – TMB - (basal metabolic rate - BMR) – É a taxa 
metabólica de uma pessoa em repouso.
Alimentos
Oxigênio
Oxidação Energia
Metabolismo
Calor
Trabalho
Corpo Humano
Respiração
Energia e seres vivos
Se você ingeriu 2500 kcal em um dia,
em repouso, quanto desse consumo se
transformou em gordura?
1g de gordura = 9kcal
Energia e seres vivos
Energia e seres vivos
Energia e seres vivos
Energia e seres vivos
Energia e seres vivos
Eficiência – É a fração útil da energia total utilizada. A tabela abaixo dá a
eficiência energética (em %) de algumas atividades do corpo humano e
de algumas máquinas. Por definição,
Eficiência energética média em % de algumas 
atividades e de algumas máquinas
Corpo
Andar de bicicleta 20
Nadar na superfície 2
Nadar submerso 4
Empurrando alguma coisa 3
Motor a vapor 17
Motor a gasolina 38
Usina nuclear 35
Usina a carvão 42
Qual a eficiência de um atleta que 
ingere 3000 kcal em alimentos e 
realiza 2,5 x 106J de trabalho útil?
1 cal = 4,186 J
Energia e seres vivos
Energia Mecânica 
• Energia cinética
• Energia Potencial
Maior massa
Maior altura
Maior energia potencial 
Maior massa
Maior velocidade
Maior energia cinética
v2
Fluido – Definição:
Mecânica dos fluidos
De uma maneira geral, o fluido é caracterizado pela relativa mobilidade 
de suas moléculas que, além de apresentarem os movimentos de rotação e 
vibração, possuem movimento de translação e portanto não apresentam 
uma posição média fixa no corpo do fluido.
Mecânica dos Fluidos – Definição:
Ciência que trata do comportamento dos fluidos em repouso 
(Hidrostática) e em movimento (Hidrodinâmica). Estuda o transporte de 
quantidade de movimento nos fluidos.
Quais as diferenças fundamentais entre fluido e sólido?
Mecânica dos fluidos
• Fluido é mole e deformável
• Sólido é duro e muito pouco deformável
Em linguagem mais técnica: a diferença fundamental entre sólido e 
fluido está relacionada com a estrutura molecular:
Sólido: as moléculas sofrem forte força de atração (estão muito 
próximas umas das outras) e é isto que garante que o sólido tem 
um formato próprio;
Fluido: apresenta as moléculas com um certo grau de liberdade de 
movimento (força de atração pequena) e não apresentam um 
formato próprio. 
Quais as diferenças fundamentais entre líquidos e gases?
Mecânica dos fluidos
A principal distinção entre sólido e fluido, é pelo comportamento 
que apresentam em face às forças externas.
Se uma força de compressão fosse
usada para distinguir um sólido de
um fluido, este último seria
inicialmente comprimido, e a partir
de um certo ponto ele se
comportaria exatamente como se
fosse um sólido, isto é, seria
incompressível.
Quais as diferenças fundamentais entre líquidos e gases?
Mecânica dos fluidos
Líquidos:
• Assumem a forma dos recipientes que os contém;
• Apresentam um volume próprio (constante);
• Podem apresentar uma superfície livre;
Gases e vapores:
• apresentam forças de atração intermoleculares desprezíveis;
• não apresentam nem um formato próprio e nem um volume próprio;
• ocupam todo o volume do recipiente que os contém.
Grandezas fundamentais da Mecânica dos Fluidos
Mecânica dos fluidos
Força (F): responsável 
pela alteração do 
movimento dos corpos
Massa (m): inércia dos 
corpos
Forma: fixa; define o 
Centro de Massa
Mecânica dos sólidos
Pressão (P=F/A): responsável 
pela alteração do movimento 
dos fluidos
Densidade ( = m/V): inércia 
dos fluidos, sendo V o volume
Forma: variável, depende do 
reservatório
Mecânica dos fluidos
Estática dos fluidos
Pressão: P = F/A
onde F é a força normal à superfície de área A
Unidade: u(P)= u(F)/u(A) = N/m2 = Pascal (Pa)
Outras unidades não SI:
Torr, atm, bar, mm de Hg, kgf/cm2, pound/sq.inch (psi), etc.
P1
P2
+DP
P1+DP
P2+ DP
Princípio de Pascal: A pressão aplicada a um fluido confinado 
se transmite integralmente a todos os pontos do fluido.
Estática dos fluidos
Princípio de Pascal: A pressão aplicada a um 
fluido confinado se transmite integralmente a 
todos os pontos do fluido.
F1
F2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
F
A
A
F
A
F
A
F
A
F
P
A
F
P
==








=
=
Portanto, se A2 > A1 então F2 > F1
Estática dos fluidos
Pressão devido a uma coluna de fluido
No fundo, a força será: F = mg = 
.V.g = .A.h.g, onde  = m/V é a 
densidade do fluido.
A pressão será portanto:
P = F/A = = .h.g
h
Paradoxo hidrostático
Estática dos fluidos
PressãoAtmosférica Normal
• Para uniformizar estudos que dependem das condições 
atmosféricas, adota-se um valor padrão para as condições normais 
de temperatura e pressão;
• Os valores da atmosfera padrão, no nível do mar são:
– p = 760,0 mmHg = 101,325 kPa
– T = 15oC = 288K
– ρ = 1,2232 kg/m3
– γ = 11,9 N/m3
– μ = 1,777 x 10-5 N.s/m2
Estática dos fluidos
É a pressão equivalente à exercida 
por uma coluna de mercúrio de 760 
mm de altura, exatamente a 0°C, sob 
gravidade normal
(gn= 980,665 cm/s
2 = 9,806 65 m/s2)
Pressão Atmosférica Normal
Estática dos fluidos
Pressão Atmosférica Normal
• Frequentemente se especificam as pressões dando a altura da coluna de 
mercúrio que a 0°C exerce a mesma pressão;
• Assim, é costume expressar a pressão em milímetros de mercúrio
(mmHg), unidade de pressão que recebe, também, o nome de Torr em 
homenagem a Torricelli:
1 mmHg = 1 Torr = 13,5955 g/cm3 x 980,665 cm/s2 x 0,1 cm = 133,326 Pa
1 cmHg = 10 Torr = 1333 Pa
Estática dos fluidos
Medidas da pressão:
• As medidas de pressão são realizadas em relação a uma 
determinada pressão de referência;
• Adota-se como referência a pressão nula existente no vácuo 
absoluto ou a pressão atmosférica local;
pabs= patm + pefetiva
patm = patmosférica local
pefetiva
p=0 (vácuo absoluto)
p= pabs
Estática dos fluidos
Medidas da pressão:
• Manômetros: Indicam a diferença entre a pressão medida e a 
pressão atmosférica local;
Os Manômetros medem a pressão
efetiva que pode ser positiva ou negativa
(pressões de vácuo – menores que a
pressão atmosférica);
• Barômetros: medem a pressão atmosférica local;
O Barômetro de mercúrio (mais simples) consiste em um tubo de 
vidro cheio de mercúrio com sua extremidade aberta imersa em um 
recipiente com mercúrio
Manômetro
Bourdon
Estática dos fluidos
 Medidas da pressão:
Estática dos fluidos
EMPUXO
F1
F2
h
E = F1 – F2 = P1.A– P2.A 
= DP.A f.h.g.A 
Pois DP = fhg
Mas A.h = Vi
Ou seja: E =f.Vi.g
Teorema de Arquimedes: Todo corpo imerso
num fluido sofre a ação de uma força de baixo
para cima igual ao peso de fluido deslocado
Peso Aparente: Pap = Preal - E
p
E
Fluidos:
Dinâmica dos Fluidos
De uma maneira geral, o fluido é caracterizado pela relativa 
mobilidade de suas moléculas que, além de apresentarem os 
movimentos de rotação e vibração, possuem movimento de 
translação e portanto não apresentam uma posição média fixa no 
corpo do fluido.
Ciência que trata do comportamento dos fluidos em repouso e em 
movimento. Estuda o transporte de quantidade de movimento nos 
fluidos.
Mecânica dos Fluidos:
Fluidos estáticos (Hidrostática):
Dinâmica dos Fluidos
A Hidrostática trata dos fluidos em repouso, caracterizando e 
quantificando suas propriedades, como pressão, volume, 
densidade, envolvendo leis como os Princípios de Pascal e de 
Arquimedes (empuxo).
A Hidrodinâmica trata dos fluidos em movimento, envolvendo 
leis de conservação de massa (equação da continuidade) e energia 
(Bernouille).
Fluidos em movimento (Hidrodinâmica):
Dinâmica dos fluidos
Fluxo: Φ = ΔV/Δt
Unidade: m3/s, l/s, etc
Tipos de fluxo: Laminar e Turbulento
turbulento
laminar
Nova variável: tempo (t)
Dinâmica dos fluidos
• Escoamento Laminar:
As partículas descrevem trajetórias paralelas.
• Escoamento Turbulento:
As trajetórias são errantes e cuja previsão é impossível;
• Escoamento de Transição:
Representa a passagem do escoamento laminar para o turbulento 
ou vice-versa. 
Dinâmica dos fluidos
Número de Reynolds: transição entre o regime laminar e o turbulento
Exemplo: Sangue na aorta
R = 1 cm;
v = 0, 3 m/s;
 = 1.060 kg/m3;
 = 4 mPas  NR = 1.590 
 Laminar
Dinâmica dos fluidos
Equação de Continuidade: 
V1 = A1.x1 = A1.v1.Dt
V2 = A2.x2 = A2.v2.Dt
Vazão:  = V/Dt
1 = V1/Dt
2 = V2/Dt
Conservação da massa: 1 = 2
A1.v1 = A2.v2 ou A.v = cte.
Dinâmica dos fluidos
Relação entre fluxo e diferença de pressão:
F1
P1
Patm F2
P2
Patm
P1<P2
Lei de Poiseuille:
4r
L8
R


=
η - viscosidade do fluido
L- comprimento do tubo
r - raio da seção reta do tubo
Unidade de R: u(R) =u(P)/u(f) = Pa.s/m3 no SI (também usado: torr.s/l)
Unidade de : u() = u(R).u4(r)/u(r) = Pa.s = N.s/m2 no SI (também muito usada: 
Poise (Pi) = 0,1 Pa.s
DP = R  
Semelhante à 
resistência 
elétrica: DV=R.i
Dinâmica dos fluidos
Aplicação da Lei de Poiseuille: DP = R  
Dinâmica dos fluidos
Viscosidade:
Dinâmica dos fluidos
Viscosidade: perfil de velocidades
baixa viscosidade alta viscosidade
v = 0 na superfície
Dinâmica dos fluidos
Viscosidade: fluidos ideais e reais
Escoamento de um fluido 
ideal (viscosidade nula)
Escoamento de um fluido 
real (viscosidade não nula)
Dinâmica dos fluidos
Aparelho circulatório
(sob o aspecto da 
dinâmica de fluidos)
Dinâmica dos fluidos
Aparelho circulatório
(sob o aspecto da 
dinâmica de fluidos)
Dinâmica dos fluidos
Equação de Bernoulli (Conservação da energia):
A1
y1
A2
y2v1
v2
2
222
2
111 v
2
1
gypv
2
1
gyp ++=++
Para um tubo horizontal, y1 = y2 e:
2
22
2
11 v
2
1
pv
2
1
p +=+
Dinâmica dos fluidos
Equação de Bernoulli (Aplicações):
222111 vAvA  = cteghvp =++ 
2
2
1
e
Dinâmica dos fluidos
Equação de Bernoulli (Aplicações):
Tubo Venturi
Dinâmica dos fluidos
Equação de Bernoulli (Aplicações):
cteghvp =++  2
2
1
Dinâmica dos fluidos
cteghvp =++  2
2
1
Equação de Bernoulli (Aplicações): Sustentação
Dinâmica dos fluidos
Equação de Bernoulli (Aplicações): Efeito Magnus
+ =
Força resultante: bola com efeito
Bernoulli outra vez!!!!
Dinâmica dos fluidos
Tensão superficial: resultante das forças de atração que as 
moléculas internas do líquido exercem junto às da superfície.
Força total não nula
Força total nula
superfície
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:2006-01-15_coin_on_water.jpg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:2006-01-15_coin_on_water.jpg
Dinâmica dos fluidos
Tensão superficial:
Líquido
Tensão 
superficial
(N/m)
Plasma 
sanguíneo
0,073
Sangue 0,058
Etanol 0,023
Mercúrio 0,436
Água
0oC
20oC
100oC
0,076
0,072
0,059
Água com sabão 0,037
F
L L
F
=g
g: Tensão superficial
Unidade: N/m
A força total na perna do 
mosquito é:
FT = g.2rcosq
Dinâmica dos fluidos
Tensão superficial:
Considerações importantes:
1. g está ligado a propriedades moleculares do líquido. Depende, portanto 
do material;
2. O fator 2 que multiplica g vem da existência de duas superfícies. No 
caso de uma única superfície, não tem o fator 2. 
F = g.L = g.2r
FT = F.cosq
r
F Fq
F.cosq
FT
Dinâmica dos fluidos
Capilaridade: propriedade dos fluidos de subir ou descer em tubos muito finos
CAPILARIDADE
Fa
FcF
q
FT
h
r
FT = mg
2rgcosq = Vg
2rgcosq =r2hg
gr
cos2
h

qg
=
Fa
Fc
F
q
h
Dinâmica dos fluidos
Osmose: movimento da água entre meios com concentrações diferentes de 
solutos separados por uma membrana semipermeável
DP
F
Pressão Osmótica