Matematica Bernoulli Volume-4-6

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Volume 04
MATEMÁTICA
2 Coleção Estudo
Su
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ár
io
 -
 M
at
em
át
ic
a
Frente A
 07 3 Princípio fundamental da contagem e arranjos Autores: Paulo Vinícius Ribeiro
 Luiz Paulo
 08 9 Permutações Autor: Luiz Paulo
Frente B
 07 13 Prismas Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 08 19 Pirâmides Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente C
 07 25 Inequações Autor: Luiz Paulo
 08 31 Função modular Autor: Luiz Paulo
Frente D
 07 39 Triângulo retângulo Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 08 45 Lei dos senos e lei dos cossenos Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente E
 13 51 Cônicas Autor: Frederico Reis
 14 61 Números complexos: forma algébrica Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 15 65 Números complexos: forma trigonométrica Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 16 73 Estatística Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
FRENTE
3Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
A análise combinatória é a parte da Matemática que se 
preocupa em contar as possibilidades. Alguns problemas 
bem simples podem ser resolvidos enumerando-se todas 
as possibilidades. Por exemplo:
Quantos são os números ímpares entre 10 e 20? 
Em outras situações, entretanto, a enumeração torna-se 
muito trabalhosa. Nesses casos, é necessária a utilização de 
algumas técnicas de contagem. Por exemplo:
Quantas são as placas de carros que podem ser formadas 
com 3 letras e 4 algarismos?
O princípio fundamental da contagem nos dá a resposta.
COMO CONTAR, SEM CONTAR?
Se dispomos de 3 bermudas e 2 camisas, todas distintas, 
de quantas formas podemos vesti-las para ir a um churrasco?
Vamos, inic ialmente, escolher a bermuda. Há 
3 possibilidades. Para cada uma delas, independentemente 
de qual escolhemos, teremos sempre 2 opções de camisa. 
Vejamos:
Bermuda 1 
 Camisa 1
 Camisa 2
Bermuda 2 
 Camisa 1
 Camisa 2
Bermuda 3 
 Camisa 1
 Camisa 2
O número de maneiras de vestir-se é, portanto, 3 x 2 = 6.
Nesse exemplo, aplicamos, de maneira intuitiva, 
o princípio fundamental da contagem (P.F.C.), que podemos 
enunciar assim:
Se um determinado evento pode ocorrer de x 
maneiras, e um outro evento pode ocorrer de y maneiras 
(independentemente do resultado do primeiro evento), então 
os dois juntos podem ocorrer de x.y maneiras.
OBSERVAÇÃO
Esse princípio multiplicativo pode ser estendido para três 
ou mais eventos independentes.
Exemplos
1º) Quantos são os resultados possíveis para o 
lançamento de uma moeda três vezes?
 Resolução: 
 Para cada vez que lançarmos a moeda, temos duas 
possibilidades: cara (K) ou coroa (C)
K
1ª vez 2ª vez 3ª vez Resultado
K
K
C
C
C
K
C
K
C
K
C
K
C
(K, K, K)
(K, K, C)
(K, C, K)
(K, C, C)
(C, K, K)
(C, K, C)
(C, C, K)
(C, C, C)
	 Pela	árvore	anterior,	verificamos	que	são	8	resultados	
possíveis. Pelo P.F.C., temos:
2 2 2 8
1 2 3ª ª ª
. .
vez vez vez
  
=
2º) Quantos são os números de três algarismos distintos 
que podemos formar com os algarismos do sistema 
decimal?
 Resolução:
 Temos três posições para preencher. Como não 
podemos começar com zero e os algarismos devem 
ser distintos, pelo P.F.C., temos:
=9 9 8 648
possibilidades
. .
Princípio fundamental 
da contagem e arranjos
07 A
4 Coleção Estudo
3º) De quantas maneiras dois casais podem se sentar em 
dois	degraus	de	uma	escada	para	tirar	uma	fotografia,	
se	em	cada	degrau	deve	ficar	um	casal?
 Resolução:
 Temos quatro posições a serem preenchidas na escada.
3ª
1ª
4ª
2ª
 Na 1ª posição, podemos colocar qualquer pessoa 
(4 possibil idades). Depois de preenchida a 
1ª posição, para o 2º lugar, temos sempre uma única 
possibilidade	(pois	o	casal	é	definido).
 Para a 3ª posição, temos duas possibilidades e, para 
a 4ª posição, temos uma possibilidade.
	 Assim,	pelo	P.F.C.,	temos,	então,		4.1.2.1	=	8	formas	
diferentes de os dois casais se sentarem na escada.
2
4
1
1
4º) Quantos são os números pares com três algarismos 
distintos que podemos formar com algarismos do 
sistema decimal?
 Resolução:
 Temos de preencher 3 posições: 1ª 2ª 3ª.
 Se escolhermos os algarismos 2 e 3, por exemplo, 
para as duas primeiras posições, teremos 
4 possibilidades para o 3º algarismo, que deve ser 
par	(0,	4,	6,	8).
 Porém, se escolhermos inicialmente os algarismos 
2 e 6, teremos 3 possibilidades para o 3º algarismo 
(0,	4,	8).
 Isso, como vemos, cria um problema que pode ser 
resolvido iniciando o preenchimento das posições pela 
casa que possui a maior restrição. Assim, devemos 
separar o problema em dois casos:
1º caso: Pares terminados em zero.
0
1
$ $
possibilidade
Logo, pelo P.F.C., teremos:
=9 8 1 72
Todos, menos {0} Todos, menos os dois já utilizados
. .
2º caso: Pares não terminados em zero.
4
{2, 4, 6, 8}
possibilidades
Logo, pelo P.F.C., teremos:
=8 8 4 256
Todos, menos os 
dois números já utilizados
Todos, menos o zero
e o número par utilizado
. .
Somando-se as quantidades de pares, teremos o total:
Total	=	72	+	256	=	328
NOTAÇÃO FATORIAL
No estudo de problemas de análise combinatória, 
frequentemente nos deparamos com produtos em que os 
termos são números naturais consecutivos. Para facilitar a 
representação desses produtos, foi criada a notação fatorial.
Assim,	define-se:
n! = n(n – 1)(n – 2) ... 3.2.1
0! = 1
Exemplos
1º) Simplificação	de	frações.
A) 
6
5 3
6 5
5 3 2
6
6
1
!
!. !
. !
!. .
= = =
B) 
4 9
10 7
4 9
10 9 7 6 5 4
1
2 100
!. !
!. !
!. !
. !. . . . !
= =
C) 
10 10
10 10
10 10 9
10 9 1
.( )!
!.( )
.( ).( )!
. !.(
n
n
n n
n
+
+
= + +
+ 00
9
9)
( )!
!
= +n
2º) Calcular o valor de n.
( )!
( )!
n
n
+
+
=10
8
110
Resolução:
( ).( ).( )!
( )!
n n n
n
+ + +
+
=10 9 8
8
110 ⇒ n2 + 19n + 90 = 110
n2 + 19n – 20 = 0 ⇒ n = –20 ou n = 1
n = –20 (matematicamente inconsistente)
Portanto, n = 1.
Frente A Módulo 07
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C
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5Editora Bernoulli
ARRANJOS SIMPLES
Considere o seguinte problema:
Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser 
formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Observe que, em um número de três algarismos distintos, 
a ordem ocupada por um determinado algarismo é 
importante, pois, ao trocarmos esse algarismo de posição, 
o número como um todo se altera. Pelo princípio fundamental 
da contagem, temos:
6 5. . 4 = 120 números
Centena Dezena Unidade
Observe que 6.5.4 = 
6 5 4 3 2 1
3 2 1
6
3
. . . . .
. .
!
!
= .
É	interessante	verificar	que	há	6	elementos	à	disposição,	 
e que cada grupo formado terá 3 elementos cada. 
Dizemos que cada grupo formado é um arranjo simples de 
6 elementos, tomados 3 a 3.
De maneira geral, seja um conjunto A = {a1, a2, a3, ..., an} 
com n elementos distintos. Queremos formar grupos com 
p elementos cada (n > p), de modo que a ordem dos 
elementos em cada grupo seja importante. 
Assim, temos:
n n – 1 n – 2
Posição 1 Posição 2 Posição 3
... n – (p – 1)
... Posição p
Observe que há p posições a serem preenchidas. 
Temos que
• a primeira posição pode ser preenchida de n modos.
• a segunda posição pode ser preenchida de n – 1 modos.
• a terceira posição pode ser preenchida de n – 2 modos.

•	 a p-ésima posição pode ser preenchida de n – (p – 1) 
modos.
Pelo princípio fundamental da contagem, temos que o total 
de grupos formados é igual a:
n.(n – 1).(n – 2). … .[n – (p – 1)] =
n.(n – 1).(n – 2). … .[n – p + 1] =
n n n n p n p
n p
.( ).( ). .( )( )!
( )!
− − − + −
−
…1 2 1
 =
 
n
n p
!
( )!−
Esse resultado corresponde ao número de arranjos simples 
de n elementos, tomados p a p, que indicamos por An, p.
An, p= 
n
n p
!
( )!−
Exemplo
Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser 
formados com os elementos do conjunto 
A	=	{2,	3,	5,	6,	7,	8,	9}?
Temos A7, 4 = 
7
7 4
7
3
!
( )!
!
!−
= 	=	7.6.5.4	=	840	números.
OBSERVAÇÃO
As permutações simples de n elementos de um conjunto 
podem ser consideradas arranjos simples, nos quais n = p. 
Assim, temos:
Pn = An, n = 
n
n n
n n!
( )!
!
!
!
−
= =
0 1
 = n!
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO01. (FGV-SP) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa 
eletrônico de um banco, mas, na hora de digitar a 
senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número 
tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos 
repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. 
O número MÁXIMO de tentativas para acertar a senha é
A)	 1	680	 	 	 	 	 D)	 224
B) 1 344 E) 136
C) 720
02. (UFMG) Numa cidade A, os números de telefones têm 
sete algarismos, sendo que os três primeiros constituem 
o	 prefixo	 da	 cidade.	 Os	 telefones	 que	 terminam	 em	
10 são reservados para as farmácias e os que têm 
os dois últimos algarismos iguais, para os médicos e 
hospitais. A quantidade dos demais números de telefones 
disponíveis na cidade A é
A)	 1	650	 	 	 	 	 D)	 8	900
B) 2 100 E) 9 000
C)	 4	800
03. (UFMG) Observe o diagrama.
R
Y Z
S
X
O número de ligações distintas entre X e Z é
A) 41 B) 45 C) 35 D) 39
Princípio fundamental da contagem e arranjos
6 Coleção Estudo
04. (UFMG) O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 
100 e 9 999 e com todos os algarismos distintos, é
A) 250 B) 321 C) 504 D) 576
05. (UECE–2007) Utilizando apenas os algarismos 2 e 3, 
a quantidade de números inteiros positivos e menores que 
1 000 000 (incluindo-se aqueles com algarismos 
repetidos) que podem ser escritos no sistema decimal é
A)	 125	 	 B)	 126	 	 C)	 127	 	 D)	 128
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFJF-MG) Temos sete cores distintas e queremos pintar 
um painel com quatro listras, cada listra de uma cor 
diferente. O número de maneiras com que isso pode ser 
feito é
A) 35 C) 2 401 
B)	 840	 	 	 	 	 D)	 16	384
02. (VUNESP) DETERMINE quantos são os números de três 
algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas 
pertencem a {1, 2, 3, 4}, e os demais algarismos, 
a	{0,	5,	6,	7,	8,	9}.
03. (Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada 
por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam 
palpites sobre os países que se classificariam nos 
três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 
2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada 
tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas 
diferentes poderiam existir?
A) 69 D) 12 144
B)	 2	024	 	 	 	 	 E)	 13	824
C) 9 562
04. (UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo 
é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos 
quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação 
que	escolhera	como	segredo,	mas	sabe	que	atende	às	
condições:
A) Se o primeiro algarismo é ímpar, então o último 
algarismo também é ímpar.
B) Se o primeiro algarismo é par, então o último 
algarismo é igual ao primeiro.
C) A soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.
Quantas	combinações	diferentes	atendem	às	condições	
estabelecidas pelo Dr. Z?
05. (UFRGS) O número de múltiplos de três, com quatro 
algarismos	distintos,	escolhidos	entre	3,	4,	6,	8	e	9,	é
A)	 24	 	 B)	 36	 	 C)	 48	 	 D)	 72	 	 E)	 96
06. (UFU-MG) Considere uma teia de aranha com 
7	fios,	sendo	3	deles	ligando	A até B e 4 ligando B até C, 
conforme	 a	 figura	 a	 seguir.	 Uma	 aranha	 posicionada	
em A deseja realizar um passeio pela teia saindo de A, 
caminhando até B, posteriormente até C, regressando a 
B	e,	finalmente,	retornando	a	A. De quantas maneiras 
diferentes esse passeio poderá ser realizado sem que a 
aranha	passe	duas	vezes	pelo	mesmo	fio	da	teia?
A
B
C
A)	 24	 	 	 B)	 36	 	 	 C)	 18	 	 	 D)	 72
07. (Mackenzie-SP) Uma prova de atletismo é disputada 
por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. 
Os resultados POSSÍVEIS para a prova, de modo que 
pelo	menos	um	brasileiro	fique	numa	das	três	primeiras	
colocações, são em número de
A)	 426	 B)	 444		 C)	 468	 D)	 480	 E)	 504
08. (UNITAU-SP) Na área de Ciências Humanas, existem 
treze opções no Vestibular da UNITAU. Um candidato 
tem	certeza	quanto	à	1ª	opção,	mas,	quanto	à	segunda,	
está em dúvida, por isso resolve escolher aleatoriamente 
qualquer uma nessa área. De quantas maneiras ele 
poderá preencher sua ficha de inscrição, sendo a 
2ª necessariamente diferente da 1ª?
A) 156 D) 169
B) 144 E) 12
C) 13
09. (UFRJ) Um construtor dispõe de quatro cores (verde, 
amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas 
lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com 
apenas uma cor e que duas casas consecutivas não 
possuam a mesma cor. Por exemplo, duas possibilidades 
diferentes de pintura seriam: 
verde begeamarelo cinzaverde
verde verdecinza cinzabege
Primeira:
Segunda:
DETERMINE o número de possibilidades diferentes de 
pintura.
Frente A Módulo 07
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7Editora Bernoulli
10. (UNIRIO-RJ) Com os algarismos de 1 a 9, o total de 
números de 4 algarismos diferentes, formados por 
2 algarismos pares e 2 ímpares, é igual a
A) 126 D) 1 440
B) 504 E) 5 760
C) 720
11. (UFCE) Considere os números inteiros maiores que 64 000 
que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que não 
contêm	os	dígitos	3	e	8.	A	quantidade	desses	números	é
A)	 2	160	 	 	 	 	 D)	 2	280
B) 1 320 E) 2 400
C) 1 440 
12. (UFRRJ) Para diminuir o emplacamento de carros 
roubados, um determinado país resolveu fazer um 
cadastro nacional, no qual as placas são formadas com 
3 letras e 4 algarismos, sendo que a 1ª letra da placa 
determina um estado desse país. Considerando o alfabeto 
com 26 letras, o número MÁXIMO de carros que cada 
estado poderá emplacar será de
A) 175 760 D) 6 760 000
B) 409 500 E) 175 760 000
C) 6 500 000
13. (FUVEST-SP) Os números de 3 algarismos, todos distintos, 
que existem no nosso sistema de numeração são
A) 650 D) 640
B)	 648	 	 	 	 	 E)	 N.d.a
C) 649
14.	 (UFSCar-SP)	Considere	a	figura	a	seguir.	O	número	de	
caminhos mais curtos, ao longo das arestas dos cubos, 
ligando os pontos A e B é
A
O
B
A)	 2	 	 B)	 4	 	 C)	 12	 	 D)	 18	 	 E)	 36
15. (PUC-Campinas-SP) Com os elementos do conjunto 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} são formados números de três 
algarismos distintos. A quantidade de números formados 
cuja soma dos algarismos é um número par é
A) 30 D) 60
B) 36 E) 72
C) 52 
16. (PUC-SP) Uma jarra cilíndrica deve ser pintada com três 
faixas de cores diferentes, usando-se as tintas disponíveis 
verde, vermelha, amarela, azul e preta. O número de jarras 
que se pode pintar, com padronagens diferentes, é
A) 120 D) 70
B) 100 E) 60
C) 90 
17. (UFU-MG–2006) Para gerar a sua senha de acesso, 
o usuário de uma biblioteca deve selecionar cinco 
algarismos de 0 a 9, permitindo-se repetições e 
importando a ordem em que eles foram escolhidos. 
Por questões de segurança, senhas que não tenham 
nenhum algarismo repetido são consideradas inválidas. 
Por exemplo, as senhas 09391 e 90391 são válidas e 
diferentes,	enquanto	a	senha	90381	é	inválida.	O	número	
total de senhas válidas que podem ser geradas é igual a
A) 69 760 C) 50 000
B) 30 240 D) 19 760
18. (PUC Rio) A partir de outubro, os telefones do Rio de 
Janeiro irão gradualmente adotar oito algarismos, em 
vez de sete, por causa da necessidade de oferta de novas 
linhas. O algarismo a ser acrescentado será o primeiro e 
será	necessariamente	3	ou	8.	Supondo-se	que,	no	sistema	
em vigor, qualquer combinação de sete algarismos é um 
número de linha possível, o número de possíveis novas 
linhas é
A) 710 D) 3 x 107
B) 107 E) 108
C) 2 x 107
19. (UFTM-MG) Um cartógrafo, para fazer o mapa do Sudeste 
brasileiro	mostrado	na	figura,	deverá	colorir	cada	estado	
com uma cor, tendo disponíveis 4 cores e podendo repeti-las 
no mapa. Estados que fazem divisa entre si devem ter 
cores distintas. Sabendo que somente SP e ES não fazem 
divisa entre si, o número de formas distintas de colorir 
o mapa é
MG
ES
RJ
SP
A)	 12	 	 B)	 24	 	 C)	 36	 	 D)	 48	 	 E)	 60
Princípio fundamental da contagem e arranjos
8 Coleção Estudo
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2004) No Nordeste brasileiro, é comum 
encontrarmos peças de artesanato constituídas por 
garrafaspreenchidas com areia de diferentes cores, 
formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com 
areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo 
o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem 
(casa,	palmeira	e	fundo),	conforme	a	figura.
Fund
o
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; 
a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, 
nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a 
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma 
questão de contraste, então o número de variações que 
podem ser obtidas para a paisagem é
A)	 6	 	 B)	 7	 	 C)	 8	 	 D)	 9	 	 E)	 10
02. (Enem–2002) O código de barras, contido na maior parte 
dos produtos industrializados, consiste num conjunto 
de várias barras que podem estar preenchidas com cor 
escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre 
essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida 
no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. 
Observe	a	seguir	um	exemplo	simplificado	de	um	código	
em um sistema de código com 20 barras.
Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita 
irá ler: 01011010111010110001
Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda 
irá ler: 10001101011101011010
No sistema de código de barras, para se organizar o 
processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar 
em consideração que alguns códigos podem ter leitura da 
esquerda	para	a	direita	igual	à	da	direita	para	a	esquerda,	
como o código 00000000111100000000, no sistema 
descrito anteriormente. Em um sistema de códigos que 
utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com 
leitura	da	esquerda	para	a	direita	igual	à	da	direita	para	
a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras 
ou todas as escuras, é
A)	 14	 	 B)	 12	 	 C)	 8	 	 D)	 6	 	 E)	 4
03. (Enem–2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies 
de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir:
Grupos taxonômicos Número de espécies
Artiodáctilos 4
Carnívoros 18
Cetáceos 2
Quirópteros 103
Lagomorfos 1
Marsupiais 16
Perissodáctilos 1
Primatas 20
Roedores 33
Sirênios 1
Edentados 10
Total 209
T&C AMAZÔNIA, ano 1, nº 3, dez. 2003.
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três 
dessas espécies de mamíferos — uma do grupo cetáceos, 
outra do grupo primatas e a terceira do grupo roedores. 
O número de conjuntos distintos que podem ser formados 
com essas espécies para esse estudo é igual a
A) 1 320 D) 6 600
B) 2 090 E) 7 245
C)	 5	845
GABARITO
Fixação
01. B 02. D 03. A 04. D 05. B
Propostos
01.	 B	 	 	 08.	 E	 	 	 15.	 D
02.	 48	 	 	 09.	 324	 	 	 16.	 E
03. D 10. D 17. A
04.	 1	800		 	 11.	 A	 	 	 18.	 C
05. D 12. D 19. D
06. D 13. B 
07. B 14. E
Seção Enem
01. B 02. D 03. A
Frente A Módulo 07
FRENTE
9Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Considere o seguinte problema:
Quantos números de três algarismos distintos podemos 
formar com os dígitos 1, 3 e 7?
Observe	 que	 o	 total	 de	 dígitos	 à	 disposição	 é	 igual	 à	
quantidade de elementos (algarismos) de cada número 
formado. Os números formados são 137, 173, 317, 371, 713 
e 731. Tais números diferem entre si somente pela ordem 
na qual os elementos estão dispostos.
Esses agrupamentos são chamados permutações 
simples dos dígitos 1, 3 e 7.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Considere um conjunto A = {a1, a2, a3, ..., an} com 
n elementos distintos. Vamos considerar o problema de 
formar grupos com n elementos distintos, de modo que 
a ordem dos elementos dentro de cada um desses grupos 
seja importante.
Posição 1 Posição 2 Posição 3 ...
...
Posição n
n n – 1 n – 2 1
Observe que há n posições a serem preenchidas. 
Assim, temos:
A primeira posição pode ser preenchida de n modos.
A segunda posição pode ser preenchida de n – 1 modos.
A terceira posição pode ser preenchida de n – 2 modos.
 
A n-ésima posição pode ser preenchida de 1 modo.
Pelo princípio fundamental da contagem, temos que o 
número de grupos é igual a:
n.(n – 1).(n – 2).(n – 3). ... .1, ou seja, n!
Esses grupos formados são chamados permutações 
simples dos n elementos, e são indicados por Pn.
Pn = n!
Exemplo
Determinar o número de anagramas obtidos a partir das 
letras da palavra DOCE.
Cada anagrama é obtido mediante a troca da posição das 
letras fornecidas. Portanto, trata-se de um problema de 
permutações simples. Assim, temos: 
P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 anagramas
PERMUTAÇÕES COM 
ELEMENTOS REPETIDOS
Considere o seguinte problema: 
Quantos são os anagramas da palavra AMANHECE?
Devemos,	inicialmente,	distribuir	as	8	letras	em	8	posições.
i) A distribuição das letras A e A pode ser feita de 
A
8 2
2
,
!
 modos. Observe que dividimos o resultado 
por 2!, porque as permutações das letras A e A são 
idênticas.
ii)	 Após	definirmos	as	posições	das	letras	A e A, restam 
6 posições. A distribuição das letras E e E pode ser 
feita de 
A
6 2
2
,
!
 modos.
iii) Após distribuirmos as letras A, A, E e E, restam 
4 posições. As letras restantes podem ser distribuídas 
de 4! modos. 
O número de anagramas é dado por:
A A
8 2 6 2
2 2
4
8
6 2
6
4 2
4
8
2 2
, ,
!
.
!
. !
!
!. !
.
!
!. !
. !
!
!. !
= =
Permutações 08 A
10 Coleção Estudo
Generalizando, temos:
P
n
n
α β θ
α β θ
, , ..., !
!. !. ... . !
=
Em que α, b, ..., q indicam o número de repetições de 
cada elemento do conjunto.
No exemplo, temos P
8
2 2 8
2 2
, !
!. !
= 	=	10	080	anagramas.
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Chamamos de permutações circulares as permutações 
de elementos dispostos em torno de um círculo. Duas 
distribuições são consideradas idênticas quando uma delas 
pode ser obtida a partir da outra, mediante uma rotação 
simples. Observe o problema a seguir:
De quantos modos podemos distribuir três objetos 
a, b e c em torno de um círculo?
Considere	as	seguintes	configurações:	
a
c b
abc
b
a c
bca
c
b a
cab
a
b c
acb
c
a b
cba
b
c a
bac
A princípio, podemos pensar que temos P3 = 3! = 6 modos 
de distribuir a, b e c. No entanto, em cada uma das linhas 
do	esquema	anterior	há	três	configurações	idênticas.	Cada	
uma	das	figuras	de	uma	linha	pode	ser	obtida	a	partir	das	
demais	figuras	da	mesma	linha	com	uma	rotação	simples.	
Porém,	cada	configuração	em	uma	linha	não	pode	ser	obtida	
a	partir	de	uma	rotação	simples	de	uma	configuração	da	
outra linha.
Desse modo, temos apenas 
P
3
3
3
3
6
3
= =! = 2 permutações 
circulares. Observe que dividimos o total de permutações 
por 3, pois cada uma das permutações consideradas gera 
3	configurações	idênticas,	que	devem	contar	como	uma.
De maneira geral, podemos considerar que, ao permutar 
circularmente n objetos distintos, cada uma das n! 
permutações gera n	 configurações	 idênticas,	 que	 devem	
ser “descontadas” do total. Fazemos isso dividindo n! por n. 
PCn = 
n
n
n n n
n
! .( ).( ). ... . .= − −1 2 2 1 ⇒
PCn = (n – 1).(n – 2). … . 2.1 ⇒
PCn = (n – 1)!
Em que PCn é o número de permutações circulares de 
n objetos distintos.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFSM-RS) Para efetuar suas compras, o usuário 
que necessita sacar dinheiro no caixa eletrônico deve 
realizar duas operações: digitar uma senha composta de 
6 algarismos distintos e outra composta de 3 letras, 
escolhidas num alfabeto de 26 letras. Se essa pessoa 
esqueceu	a	senha,	mas	lembra	que	8,	6	e	4	fazem	parte	dos	
três primeiros algarismos, e que as letras são todas vogais 
distintas, sendo E a primeira delas, o número MÁXIMO de 
tentativas necessárias para acessar sua conta será
A) 210 B) 230 C) 2 520 D) 3 360 E) 15 120
02. (UNIFESP–2006) As permutações das letras da palavra 
PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se 
fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª 
palavra nessa lista é
A) PROVA. D) ROVAP.
B) VAPOR. E) RAOPV.
C) RAPOV.
03. (UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco 
vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas 
vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se 
formar	uma	fila	com	essas	pessoas	de	forma	queas	três	
primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as 
seguintes mantenham a sequência de cores dada pelas 
três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras 
distintas	se	pode	fazer	tal	fila?
A) 3.(5!)3 C) (5!)3.(3!)
B) (5!)3 D) 
15
3 5
!
!. !
04. (UFES) De quantas maneiras 10 clientes de um banco 
podem	se	posicionar	na	fila	única	dos	caixas	de	modo	
que	as	4	mulheres	do	grupo	fiquem	juntas?
A) 4!.7! D) 10.6!
B) 5!.6! E) 4! + 10!
C) 6.6!
05. (UFSM-RS) De quantas maneiras distintas podem-se 
alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e 
uma branca?
A) 12 B) 30 C) 42 D) 240 E) 5 040
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFJF-MG) Podemos ordenar as pessoas que estão numa 
certa	fila	de	24	maneiras	diferentes.	Então,	nessa	fila	estão
A) 4 pessoas. D) 12 pessoas.
B) 5 pessoas. E) 24 pessoas .
C) 6 pessoas.
02.	 (Mackenzie-SP)	O	número	de	filas	diferentes	que	podem	
ser formadas com 2 homens e 3 mulheres, de modo que 
os	homens	não	fiquem	juntos,	é
A)	 96	 	 B)	 72	 	 C)	 48	 	 D)	 84	 	 E)	 120
Frente A Módulo 08
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
11Editora Bernoulli
03. (VUNESP) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão 
ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na 
mesma	fila.	O	número	de	maneiras	em	que	os	quatro	
podem	ficar	dispostos	de	modo	que	Pedro	e	Luísa	fiquem	
sempre	juntos,	e	João	e	Rita	fiquem	sempre	juntos	é
A)	 2	 	 B)	 4	 	 C)	 8	 	 D)	 16	 	 E)	 24
04. (UEL-PR) Usando uma vez a letra A, uma vez a letra B 
e n – 2 vezes a letra C, podemos formar 20 anagramas 
diferentes com n letras em cada anagrama. O valor de n é
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
05. (ITA-SP) Quantos anagramas da palavra CADERNO 
apresentam as vogais na ordem alfabética?
A)	 2	520	 	 	 	 	 D)	 840
B)	 5	040	 	 	 	 	 E)	 680
C) 1 625
06. (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. 
Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, 
que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a 
programação, eles decidem que três desses filmes, 
que	 são	 de	 ficção	 científica,	 devem	 ser	 exibidos	 em	
dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras 
diferentes de se fazer a programação dessa semana é
A) 144 B) 576 C) 720 D) 1 040
07. (UNESP) O número de maneiras que 3 pessoas podem 
sentar-se	em	uma	fileira	de	6	cadeiras	vazias	de	modo	
que, entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre 
tenha exatamente uma cadeira vazia é
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15
08. (FGV-SP) De quantas formas podemos permutar as letras 
da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R	fiquem	
juntas em qualquer ordem?
A) 360 D) 1 440
B)	 720	 	 	 	 	 E)	 1	800
C)	 1	080
09. (UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de segunda 
a sexta-feira, estas cinco atividades:
I.	 Leva	seu	neto	Pedrinho,	às	13	horas,	para	a	escola;
II. Pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
III. Passeia com o cachorro da família;
IV.	 Pega	seu	neto	Pedrinho,	às	17	horas,	na	escola;
V. Rega as plantas do jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na 
mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las 
em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de 
maneiras POSSÍVEIS de ele realizar essas cinco 
atividades, em ordem diferente, é
A) 24 B) 60 C) 72 D) 120
10. (ITA-SP) Quantos números de seis algarismos distintos 
podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, 
nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, 
mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?
A)	 144	 B)	 180	 C)	 240	 D)	 288	 E)	 360
11. (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem 
crescente todos os números que se obtêm permutando 
os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 75 391 ocupa, 
nessa disposição, o lugar
A)	 21º		 B)	 64º		 C)	 88º		 D)	 92º		 E)	 120º
12. (UFOP-MG) De quantas maneiras diferentes, oito crianças 
podem ser dispostas ao redor de um círculo em uma 
brincadeira de roda?
A)	 8!	 	 B)	 7!	 	 C)	 8	 	 D)	 7	 	 E)	 16
13. (UnB-DF) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado 
na	figura	I,	deseja-se	ir	do	quadrado	esquerdo	superior	
(ES) ao quadrado direito inferior (DI). Somente são 
permitidos os movimentos horizontal (H), vertical (V) e 
diagonal (D),	conforme	ilustrado	na	figura	II.
ES
DI
(H)
(V)
Figura I Figura II
(D)
Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios 
de análise combinatória, julgue os itens que se seguem.
( ) Se forem utilizados somente movimentos horizontais 
e verticais, então o número de percursos possíveis 
será igual a 70.
( ) Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais 
e apenas um movimento diagonal, o número de 
percursos possíveis será igual a 140.
( ) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três 
movimentos diagonais, o número de percursos 
possíveis é igual a 10.
14. (UFJF-MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de 
Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de 
maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros 
em uma estante, de forma que os livros de mesmo 
assunto permaneçam juntos, é
A)	 288	 	 	 	 	 C)	 864	
B)	 296	 	 	 	 	 D)	 1	728
15. (UFRJ–2007) Um sítio da Internet gera uma senha de 
6 caracteres para cada usuário, alternando letras e 
algarismos. A senha é gerada de acordo com as seguintes 
regras:
i) Não há repetição de caracteres;
ii) Começa-se sempre por uma letra;
iii) O algarismo que segue uma vogal corresponde a um 
número primo;
iv) O algarismo que segue uma consoante corresponde 
a um número par.
Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três 
letras sejam A, M e R, em qualquer ordem?
Permutações
12 Coleção Estudo
16.	 (UFJF-MG)	Um	vagão	de	metrô	tem	8	bancos	individuais,	
sendo	 4	 de	 frente	 e	 4	 de	 costas.	 De	 8	 passageiros,	
3 preferem sentar de frente, 2 preferem sentar de 
costas e os demais não têm preferência. De quantos 
modos	8	passageiros	podem	se	sentar,	 respeitando-se	
as preferências?
17.	 (UFMG)	Observe	a	figura.
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
C
Considere os caminhos ligando A a C, passando por B, 
traçados a partir de A, deslocando-se sempre, ou 
1 unidade para a direita, na horizontal, ou 1 unidade 
para cima, na vertical. DETERMINE o número total de 
caminhos distintos obtidos dessa forma.
SEÇÃO ENEM
01. O cerimonial de um evento deve acomodar quatro 
delegações participantes em um auditório. Sabe-se 
que o evento contará com a part ic ipação de 
5 representantes de Minas Gerais, 4 representantes 
de São Paulo, 7 representantes do Rio de Janeiro 
e 6 representantes do Ceará. Para acomodar os 
participantes, o cerimonial separou 22 poltronas em uma 
das	fileiras	do	auditório,	cada	uma	marcada	com	o	nome	
do respectivo participante. Porém, os representantes 
do Ceará e de São Paulo desejam sentar-se juntos, 
enquanto as demais delegações não fizeram tal 
exigência. O total de maneiras de o cerimonial posicionar 
os	 participantes	 na	 fileira,	 atendendo	 às	 condições	
apresentadas, é dado por
A) 14!.6!.4! 
B) 22!.6!.4! 
C) 5!.7!.6!.4!
D) 10!.6!.4!
E) 15!.12!.4!
02.	 A	 fim	 de	 aumentar	 a	 competitividade,	 as	 empresas	
necessitam aprimorar suas técnicas de gerenciamento 
de recursos, equipamentos e informações. Tais técnicas 
são chamadas de Logística e são fundamentais para 
operações de carga e descarga em larga escala, como 
no	porto	ilustrado	na	figura	a	seguir:
Disponível em: <http://g1.globo.com/Noticias/Vestibular/
foto/0,,15366097>. Acesso em: 10 set. 2010.
Considere	que	a	administração	do	porto	da	figura	pretende	
alocar 5 contêiners contendo minério de ferro (tipo A), 
3 contêiners contendo produtos eletrônicos (tipo B) 
e 4 contêiners contendo peças automotivas (tipo C). 
Cada contêiner possui um número de identificação 
diferente. Um determinado setor do navio tem capacidade 
para 6 contêiners, e deve ser preenchido, obrigatoriamente, 
com dois contêiners de cada tipo. O total de maneiras de 
se	colocar	os	contêiners	nesse	setor,	em	fila,	de	modo	que	
contêiners do mesmo tipo permaneçam juntos, é iguala
A)	 8	640	 	 	 	 	 D)	 5	320
B) 7 240 E) 4 600
C)	 6	280
GABARITO
Fixação
01. E 02. E 03. C 04. A 05. C
Propostos
01. A 10. A
02. B 11. C
03. C 12. B
04. C 13. V V F
05. D 14. D
06. C 15. 432
07.	 D	 	 	 16.	 1	728
08.	 D	 	 	 17.	 2	025
09. B
Seção Enem
01. A 02. A
Frente A Módulo 08
FRENTE
13Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
DEFINIÇÃO
Prisma é todo poliedro convexo construído tomando-se 
dois polígonos congruentes situados em planos paralelos e 
unindo-se os pontos desses polígonos através de segmentos 
paralelos.
Na	figura	a	seguir,	temos	um	prisma	cujas	bases	são	os	
pentágonos congruentes ABCDE e FGHIJ. Os paralelogramos 
que unem as duas bases do prisma são denominados faces 
laterais.
Base
A
B
C
DE
F
G
H
IJ
Aresta lateral
Aresta da base
Face lateral
Vértice
Podemos, então, identificar no prisma mostrado os 
seguintes elementos:
i) Bases: faces ABCDE e FGHIJ
ii) Arestas da base: (AB, BC, CD, DE, EA) e (FG, GH, 
HI, IJ, JF)
iii) Faces laterais: paralelogramos BCHG, CDIH, DEJI, 
EAFJ, ABGF
iv) Arestas laterais: CH, DI, EJ, AF, BG
A altura de um prisma é a distância h entre os planos 
das bases.
h
α
NOMENCLATURA
Um prisma será chamado triangular, quadrangular, 
pentagonal, etc., conforme sua base seja um triângulo, um 
quadrilátero, um pentágono, etc.
CLASSIFICAÇÃO
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são 
perpendiculares aos planos das bases. Num prisma reto, 
as faces laterais são retângulos.
Prisma pentagonal reto
Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos 
planos das bases.
Prisma pentagonal oblíquo
Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos 
regulares.
SECÇÕES
Secção de um prisma é a interseção do prisma com um 
plano que intercepta todas as arestas laterais. Notemos 
que a secção de um prisma é um polígono com vértice em 
cada aresta lateral.
Secção reta ou secção normal é uma secção cujo plano é 
perpendicular	às	arestas	laterais.
Secção reta
Prismas 07 B
14 Coleção Estudo
Secção transversal é uma secção cujo plano é paralelo 
às	bases.
Secção
transversal
ÁREAS
Área lateral (A
l
) é a soma das áreas das faces laterais.
Área total é a soma da área lateral com as áreas das bases. 
AT = Al + 2.AB
VOLUME
O volume de um prisma é o produto da área da base pela 
medida da altura.
V = AB.h
Pode-se demonstrar também que o volume de um prisma 
é o produto da área da secção reta pela medida da aresta.
V = S.a
S
a
h
PARALELEPÍPEDOS
Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. 
A superfície total de um paralelepípedo é a reunião de seis 
paralelogramos.
Paralelepípedo (oblíquo)
Paralelepípedo reto é um prisma reto cujas bases são 
paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo reto 
é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) e de dois 
paralelogramos (bases).
Paralelogramo
Paralelepípedo (reto)
Retângulo
Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo, 
ou ortoedro, é um prisma reto cujas bases são retângulos. 
A superfície total de um paralelepípedo retângulo é a reunião 
de seis retângulos.
A’
D’ C’
BA
A
base (face)
D
B C f
d
ca
b B D
D’
f
a
b
B’
C
D
f
ad
c c
A) Cálculo da diagonal d
No triângulo BCD, temos f2 = a2 + b2.
No triângulo BDD’, temos d2 = f 
2 + c2 ⇒ d2 = a2 + b2 + c2 ⇒
d = ¹a2 + b2 + c2
B) Cálculo da área total S
A área total do paralelepípedo é a soma das áreas de 
seis retângulos: dois deles (ABCD, A’B’C’D’) com dimensões 
a e b, outros dois (ABB’A’, DCC’D’) com dimensões a e c 
e os últimos dois (ADD’A’, BCC’B’) com dimensões b e c.
Logo:
 S = 2ab + 2ac + 2bc ⇒
S = 2(ab + ac + bc)
C) Cálculo do volume V
O volume de um prisma, como sabemos, é o produto da 
área da base pela altura, ou seja, V = AB.h.
Assim, para o paralelepípedo retângulo, temos:
AB = a.b e h = c
Então:
V = a.b.c
Frente B Módulo 07
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
15Editora Bernoulli
CUBO
Cubo é um paralelepípedo retângulo cujas arestas 
são congruentes.
A’ B’
D’
D’
C’
C
BA
D
D
base (face)
C
A B D f
d
aa
a B
f
f
a
a
a
a
d
a
Dado um cubo de aresta a, calculemos sua diagonal d, 
sua área total S e seu volume V.
A) Cálculo da diagonal d
Inicialmente, calculemos a medida f de uma diagonal de face.
No triângulo BAD, temos f2 = a2 + a2 ⇒ f2 = 2a2 ⇒ f = a¹2.
No triângulo BDD’, temos d2 = a2 + f2 ⇒ d2 = a2 + 2a2 ⇒ 
d2 = 3a2 ⇒
d = a¹3
B) Cálculo da área total S
A superfície total de um cubo é a reunião de seis quadrados 
congruentes de lado a. A área de cada um é a2. Então, a área 
total do cubo é:
a
a
a
 
S = 6a2
C) Cálculo do volume V
No cubo de aresta a, temos:
 AB = a.a e h = a
Então:
V = a3
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFRGS–2006)	 Na	 figura	 a	 seguir,	 está	 representada	 a	
planificação	de	um	prisma	hexagonal	regular	de	altura	igual	
à	aresta	da	base.	Se	a	altura	do	prisma	é	2,	seu	volume	é
 
A) 4¹3 D) 10¹3
B) 6¹3 E) 12¹3
C)	 8¹3
02. (UFOP-MG–2009) Maíra adora brincar na piscina da 
casa de Jean. A piscina tem 3 m de largura por 4 m de 
comprimento. A parte rasa tem 0,5 m de profundidade, 
e a parte funda, 1 m de profundidade. O piso da piscina 
é o usual: uma rampa plana. A quantidade de litros de 
água necessária para enchê-la é
A) 6 000 C) 9 000
B)	 8	000	 	 	 	 	 D)	 10	000
03. (FUVEST-SP–2007) O cubo de vértices ABCDEFGH, 
indicado	na	figura,	tem	arestas	de	comprimento	a.
H G
C
E
F
D
M
A B
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então 
a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é 
igual a
A) 
a 3
5
 D) a¹3
B) 
a 3
3
 E) 2a¹3
C) 
a 3
2
04. (UFMG) Um reservatório cúbico de 50 cm de profundidade 
está com água até a metade e precisa ser totalmente 
esvaziado. O volume de água a ser retirado desse 
reservatório é de
A) 62,5 litros. C) 250 litros. 
B) 125 litros. D) 25 litros.
Prismas
16 Coleção Estudo
05. (VUNESP) As arestas do cubo ABCDEFGH, representado 
pela	figura,	medem	1	cm.	Se	M, N, P e Q são os pontos 
médios das arestas a que pertencem, então o volume do 
prisma DMNCHPQG é
G
Q
H
D
A M B
F
P
NC
E
A) 0,625 cm3.		 	 	 D)	 0,825	cm3.
B) 0,725 cm3.		 	 	 E)	 0,845	cm3.
C) 0,745 cm3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01.	 (UFMG–2008)	Considere	um	reservatório,	em	forma	de	
paralelepípedo	 retângulo,	 cujas	medidas	 são	 8	m	 de	
comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade. 
Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente 
vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Com base nessas 
informações, é CORRETO	afirmar	que,	para	se	encher	
completamente esse reservatório, serão necessários
A) 40 min. C) 400 min. 
B)	 240	min.	 	 	 	 D)	 480	min.
02. (UFMG) A capacidade de um reservatório em forma de 
um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões são 50 cm, 
2 m e 3 m, é, em litros,
A) 3 D) 3 000
B) 30 E) 30 000
C) 300
03. (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, 
com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos 
à	fusão	e,	em	seguida,	o	alumínio	líquido	é	moldado	como	
um	paralelepípedo	reto	de	arestas	8	cm,	8	cm	e	x cm. 
O valor de x é
A)	 16	 	 B)	 17	 	 C)	 18	 	 D)	 19	 	 E)	 20
04. (UFV-MG) Um recipiente, contendo água, tem a forma 
de um paralelepípedo retangular e mede 1,20 m de 
comprimento, 0,50 m de largura e 2,00 m de altura. 
Uma pedra de forma irregular é colocada no recipiente, 
ficando	totalmente	coberta	pela	água.	Observa-se,	então,	
que o nível da água sobe 1 m. Assim, é CORRETO concluir 
que o volume da pedra, em m3, é
A) 0,06 B) 0,6 C) 6 D) 60 E) 600
05. (PUC Minas–2006) Em um reservatório cúbico, enquanto 
o	nível	de	água	varia	de	8,0	cm	para	10,4	cm,	o	volume	
de água aumenta de 143,2 litros para 179,0 litros. Com 
base nesses dados, é CORRETO	afirmar	que,	com	um	
acréscimo de 2,4 cm no nível da água, o volume de água 
tem um aumento percentual igual a
A)	 18%.	 	 	 	 	
B)	 20%.	 	 	 	 	
C)	 25%.
D)	 30%.
06. (UFMG) Dona Margarida comprou terra adubada 
para sua nova jardineira, que tem a formade um 
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas 
são: 1 m de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de 
altura. Sabe-se que 1 kg de terra ocupa um volume de 
1,7 dm3. Nesse caso, para encher totalmente a jardineira, 
a quantidade de terra que Dona Margarida deverá 
utilizar é, aproximadamente,
A)	 85,0	kg.	 	 	 	
B)	 8,50	kg.	 	 	 	
C) 29,4 kg. 
D) 294,1 kg.
07. (UFJF-MG) Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo 
retângulo. O volume da caixa será duplicado se
A) dobrarmos todas as suas dimensões.
B) triplicarmos todas as suas dimensões.
C) dobrarmos duas das suas dimensões, mantendo-se 
a terceira dimensão inalterada.
D) triplicarmos sua altura, mantendo-se as duas outras 
dimensões inalteradas.
E) dobrarmos uma de suas dimensões, mantendo-se as 
outras duas dimensões inalteradas.
08. (Cesgranrio)	Na	figura,	cada	aresta	do	cubo	mede	3	cm.	
Prolongando-se uma delas de 5 cm, obtemos o ponto M. 
A distância, em centímetros, de M ao vértice A é
3 cm
A
M
5 cm
A) 2¹21 
B) ¹82 
C)	 8¹3
D)	 8¹2
E) 9
Frente B Módulo 07
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
17Editora Bernoulli
09. (VUNESP) As faces de um paralelepípedo retangular 
têm por área 6 cm2, 9 cm2 e 24 cm2. O volume desse 
paralelepípedo é
A) 1 296 cm3. 
B)	 48	cm3. 
C) 39 cm3.
D) 36 cm3.
E) 6¹6 cm3.
10. (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de 
um	prisma,	cuja	base	é	um	trapézio	isósceles.	Na	figura	
a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma.
5
5
2
8
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é
A) 50 
B) 60 
C)		80	 	
D) 100 
E) 120
11. (Unicamp-SP)	Ao	 serem	 tirados	128	 litros	de	água	de	
uma caixa-d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 
20 centímetros.
A) CALCULE o comprimento das arestas da referida caixa.
B) CALCULE sua capacidade em litros (1 litro equivale a 
1 decímetro cúbico).
12. (UFU-MG) Considere uma cruz formada por 6 cubos 
idênticos	e	justapostos,	como	na	figura	adiante.	Sabendo-se 
que a área total da cruz é de 416 cm2,	pode-se	afirmar								
que o volume de cada cubo é igual a
A) 16 cm3. 
B) 64 cm3. 
C) 69 cm3. 
D) 26 cm3.
13. (FUVEST-SP)	Na	figura	a	seguir,	I e J são os centros das 
faces EFGH e BCGF do cubo ABCDEFGH de aresta a. 
Os comprimentos dos segmentos AI e IJ são, 
respectivamente,
H G
C
BA
E
D
F
I
J
A) 
a 6
2
, a¹6 D) a¹6, a¹2
B) 
a 6
2
, 
a 2
2
 E) 2a, 
a
2
C) a¹6, a 2
2
14. (VUNESP) Uma caixa-d’água, com a forma de um 
paralelepípedo reto de 1 m x 1 m de base e 
3
2
 m 
de altura, está sobre uma laje horizontal com água 
até a altura h. Suponhamos que a caixa fosse erguida 
lateralmente, apoiada sobre uma das arestas da base 
(que	é	mantida	fixa),	sem	agitar	a	água.	Assim,	a	água	
começaria a transbordar exatamente quando o ângulo da 
base da caixa com a laje medisse 30°. CALCULE a altura h.
15.	 (Unicamp-SP)	A	figura	a	seguir	é	a	planificação	de	uma	
caixa sem tampa.
2x
x
x
5
x
5
A) ENCONTRE o valor de x, em centímetros, de modo 
que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.
B) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro 
quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 
50 litros, considerando-se apenas o custo da folha 
retangular plana?
16. (FGV-SP–2006) Antes que fosse reparado um vazamento 
em uma piscina retangular, com 20 m de comprimento e 
10 m de largura, ocorreu uma perda de 20 000 litros de 
água, fazendo com que o nível de água baixasse em
A) 1 m. D) 0,2 m.
B) 0,5 m. E) 0,01 m.
C) 0,1 m.
Prismas
18 Coleção Estudo
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2003) Prevenindo-se contra o período anual de 
seca, um agricultor pretende construir um reservatório 
fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva 
que cair no telhado de sua casa, ao longo de um período 
anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as 
dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva 
na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser 
construído.
(mm)
300
200
4 m 2 m
Reservatório
2 m x 4 m x p m
p m
8 m
10 m
100
Ja
n
Fe
v
M
ar
A
b
r
M
ai
Ju
n
Ju
l
A
g
o
S
et
O
u
t
N
ov
D
ez
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana 
horizontal de um metro quadrado, a profundidade p do 
reservatório deverá medir
A)	 4	m.	 B)	 5	m.	 C)	 6	m.	 D)	 7	m.	 E)	 8	m.
02. (Enem–2006) Eclusa é um canal que, construído em 
águas de um rio com grande desnível, possibilita a 
navegabilidade, subida ou descida de embarcações. 
No esquema a seguir, está representada a descida de 
uma embarcação, pela eclusa do Porto Primavera, do nível 
mais alto do Rio Paraná até o nível da jusante.
20 m
Válvula de dreno
Nível da
jusante
Válvula de enchimento
6 m
Câmara
Câmara
P
O
R
T
A
1
P
O
R
T
A
2
Enquanto a válvula de enchimento 
está fechada e a de dreno, aberta, 
o fluxo de água ocorre no sentido 
indicado pelas setas, esvaziando a 
câmara até o nível da jusante. 
Quando, no interior da câmara, 
a água atinge o nível da jusante, 
a porta 2 é aberta, e a embarcação 
pode continuar navegando rio 
abaixo.
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 
200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da 
água durante o esvaziamento da câmara é de 4 200 m3 
por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o 
nível da jusante, uma embarcação leva cerca de
A) 2 minutos. D) 16 minutos.
B) 5 minutos. E) 21 minutos.
C) 11 minutos.
03. (Enem–2010) Uma fábrica produz barras de chocolates 
no formato de paralelepípedos e de cubos, com o 
mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no 
formato	de	paralelepípedo	medem	3	cm	de	largura,	18	
cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando 
as	 características	 das	 figuras	 geométricas	 descritas,	 a	
medida das arestas dos chocolates que têm o formato 
de cubo é igual a
A) 5 cm. D) 24 cm. 
B) 6 cm. E) 25 cm.
C) 12 cm.
04. (Enem–2010) Um porta-lápis de madeira foi construído 
no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. 
O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 
12	cm	e	a	do	cubo	menor,	que	é	interno,	mede	8	cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto 
foi de
A) 12 cm3. D) 1 216 cm3. 
B) 64 cm3.		 	 	 	 	 E)	 1	728	cm3.
C) 96 cm3.
GABARITO
Fixação
01. E 02. C 03. C 04. A 05. A
Propostos
01. C 10. D
02.	 D	 	 	 	 11.	 A)	a	=	8	dm
03. D B) V = 512 litros
04. B 12. B
05. C 13. B
06. C 14. 3
3
 metros
07. E 15. A) 50 cm
08.	 B	 	 	 	 		 B)	R$	8,40
09. D 16. C
Seção Enem
01. D 02. D 03. B 04. D
Frente B Módulo 07
FRENTE
19Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
DEFINIÇÃO
Pirâmide é todo poliedro convexo construído unindo-se os 
vértices de um polígono qualquer (base da pirâmide) a um 
mesmo ponto (vértice da pirâmide) situado fora do plano 
desse polígono.
Na	figura	a	seguir,	temos	uma	pirâmide	de	base	ABCDEF	
e vértice V. Com exceção da base, as demais faces são 
formadas por um lado da base e pelo vértice da pirâmide. 
São sempre triângulos e denominadas faces laterais.
face lateralaresta lateral
aresta da base
vértice da pirâmideV
A B
CF
E D
Podemos, então, identificar, na pirâmide mostrada, 
os seguintes elementos:
i) Base: face ABCDEF
ii) Arestas da base: AB, BC, CD, DE, EF e FA
iii) Faces laterais: os triângulos BCV, CDV, DEV, EFV, FAV 
e ABV
iv) Arestas laterais: CV, DV, EV, FV, AV e BV
A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice 
e o plano da base.
h
α
NOMENCLATURA
Uma pirâmide será triangular, quadrangular, pentagonal, 
etc., conforme sua base seja um triângulo, um quadrilátero, 
um pentágono, etc.
PIRÂMIDE REGULAR
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono 
regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da 
base é o centro da base. Numa pirâmide regular, as arestas 
laterais são congruentes, e as faces laterais são triângulos 
isósceles congruentes.
Chama-se apótema de uma pirâmide regular a altura 
(relativa ao lado da base) de uma face lateral.Pirâmide regular hexagonal
(apótema da pirâmide)
h
TETRAEDRO
Tetraedro é uma pirâmide triangular.
Tetraedro regular é um tetraedro que possui as seis arestas 
congruentes entre si.
Tetraedro
Pirâmides 08 B
20 Coleção Estudo
RELAÇÕES NUMA PIRÂMIDE 
REGULAR
Considere a pirâmide quadrangular regular VABCD:
V
L
A
R
B M
C
D
h
O aB
ap
Em que:
VM = ap é o apótema da pirâmide regular (altura da face 
lateral);
OM = aB é o apótema da base;
OA = R	é	o	raio	da	circunferência	circunscrita	à	base;
VA = L é a aresta lateral da pirâmide;
VO = h é a altura da pirâmide.
Dos	 triângulos	 sombreados	 na	 figura	 anterior,	 tiramos	
as seguintes relações, válidas para toda pirâmide regular:
V
h
O aB
ap
M
V
h
OR
L
A
 
ap
2 = h2 + aB
2
 
L2 = h2 + R2
ÁREAS LATERAL E TOTAL
Para	uma	pirâmide	qualquer,	a	área	lateral	corresponde	à	
soma das áreas de todas as faces laterais. 
Como em uma pirâmide regular as faces laterais são 
triângulos isósceles congruentes, para calcularmos a área 
lateral, fazemos a área de uma face lateral multiplicada pelo 
número de faces laterais.
A	área	total	de	uma	pirâmide	corresponde	à	soma	da	área	
lateral com a área da base:
A T = Al + AB
VOLUME
Sejam AB a área da base e h a altura de uma pirâmide 
qualquer. O volume V dessa pirâmide é dado por:
AB
h
 
V = 
1
3
.AB.h
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. De um tetraedro regular de aresta a, calcular
A) a área total A T.
B) a medida h da altura.
C) o seu volume V.
Resolução:
C
G
C
a
a
B
.
D
B
A
D G
=
h
a
Tetraedro Base do tetraedro
a¹3
2a¹3
2
a¹3
3
2
3
A) Área total:
 A T = 4AB ⇒ A T = 4
1
2
3
2
. .a
a




 ⇒ A T = a
2¹3
B) Cálculo da altura:
 Do triângulo AGB, temos:
 h2 = a2 – (BG)2 ⇒ h2 = a2 – a 3
3
2





 ⇒ 
 h2 = 6
9
2a ⇒ h = a 6
3
C) Volume:
 V = 1
3
.AB.h, em que AB = 
a2 3
4
 e h = 
a 6
3
. Então:
 V = 1
3
. a
2 3
4
. a 6
3
 ⇒ V = a
3 2
12
Frente B Módulo 08
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
21Editora Bernoulli
SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE POR 
UM PLANO PARALELO À BASE
Quando seccionamos uma pirâmide por um plano paralelo 
à	base,	separamos	essa	pirâmide	em	dois	sólidos.
O sólido que contém o vértice é uma nova pirâmide, 
e o sólido que contém a base da pirâmide é um tronco de 
pirâmide de bases paralelas.
V
A
A’
C
C’
D
D’
B
B’
V
A
A’
C
C’
D
D’
B
B’
A nova pirâmide e a pirâmide primitiva têm bases 
semelhantes, e os elementos lineares homólogos (arestas 
das bases, arestas laterais, alturas, etc.) são proporcionais. 
Assim, dizemos que elas são semelhantes.
Razão de semelhança
Dadas duas pirâmides semelhantes, a razão entre dois 
elementos lineares homólogos é denominada razão de 
semelhança. Essa razão será representada por k.
AB
aB
h
L
�
H
 
H
h
L
k= =
l
Para razões entre áreas homólogas, temos:
A
a
L L
kB
B
= =





 =
2
2
2
2
l l
Para razões entre volumes das pirâmides semelhantes, 
em que V e v são os volumes das pirâmides grande e 
pequena, respectivamente, temos:
V
v
A H
a h
A
a
H
h
k k k
B
B
B
B
= = = =
1
3
1
3
2 3
. .
. .
. .
Podemos, então, generalizar da seguinte maneira:
i) A razão entre áreas homólogas de quaisquer dois 
sólidos semelhantes é igual ao quadrado da razão 
de semelhança.
ii) A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes 
é igual ao cubo da razão de semelhança.
VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE
Dadas a área AB da base maior, a área aB da base menor 
e h a medida da altura do tronco, o volume do tronco da 
pirâmide pode ser obtido por meio da fórmula:
h
AB
aB
VT
 
VT = 
h
3
A + A .a + a
B B B B




EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 
de área. A 4 m do vértice, traça-se um plano paralelo 
à	base,	e	a	secção	assim	feita	tem	64	m2 de área. Qual a 
altura da pirâmide?
Resolução:
A
A’
V
B’
C’D’
B
CD
4 m
AB
AB = 144 m
2
aB = 64 m
2
aB H
Fazendo semelhança entre as pirâmides VABCD e 
VA’B’C’D’, temos:
A
a
H
h
H H
H mB
B
=





 ⇔ =





 ⇔ = ⇒ =
2 2
144
64 4
12
8 4
6
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01.	 (UFMG)	Observe	a	figura.
A
C
B
E
F
D
Essa	figura	representa	um	prisma	reto	de	base	triangular.	
O plano que contém os vértices B, D e F divide esse 
prisma em dois sólidos: DACFB, de volume V1, e DEFB, 
de volume V2 . Assim, a razão 
V
V
1
2
 é
A) 1 B) 
3
2
 C) 2 D) 
5
2
Pirâmides
22 Coleção Estudo
02. (UFSCar-SP) As bases ABCD e ADGF das pirâmides 
ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos 
perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma 
pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm, 
e	que	ADE	é	a	face	lateral	comum	às	duas	pirâmides.
F
G
E
D C
BA
Se a aresta AF	é	5%	maior	que	a	aresta	AD, então o 
volume da pirâmide ADGFE, em cm3, é
A)	 67,2	 B)	 80	 C)	 89,6	 D)	 92,8	 E)	 96
03. (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base 
quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao 
plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos 
obtidos sejam iguais. A altura do tronco de pirâmide 
obtido é, em centímetros,
A) 1 D) 4 – ¹2
B) 4 – 2 43 E) 4 – 24
C) 2 
04. (UFOP-MG–2009) Considere um prisma cuja base é um 
hexágono regular de lado l, e uma pirâmide cuja base é 
um triângulo equilátero com lados medindo o triplo de l. 
Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, 
a altura da pirâmide é
A) o quádruplo da altura do prisma.
B) o triplo da altura do prisma.
C) o dobro da altura do prisma.
D)	 igual	à	altura	do	prisma.
05. (FUVEST-SP)	A	figura	a	seguir	representa	uma	pirâmide	
de base triângular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e 
ABV são triângulos equiláteros de lado l, e que M é o 
ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo 
VMC é 60º, então o volume da pirâmide é
A C
V
B
M
60º
A) 
3
4
l
3 B) 
3
8
l
3 C) 
3
12
l
3 D) 
3
16
l
3 E) 
3
18
l
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral 
de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da 
base	mede	8	m,	e	a	altura	da	pirâmide,	3	m.	As	telhas	
para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que 
cobrem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas 
desperdiçadas (quebras e emendas), o número MÍNIMO 
de lotes de telhas a ser comprado é
A) 90 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130
02. (UFES) Considere um cubo de aresta igual a 1 cm. 
Sejam ABCD e A’B’C’D’ duas faces opostas desse cubo. 
Podemos obter uma pirâmide tomando o quadrado 
ABCD como base e A’ como vértice. A área lateral dessa 
pirâmide mede
A) (1 + ¹2) cm2. D) 2(2 + ¹2) cm2.
B) 2(1 + ¹2) cm2. E) (2 + ¹2) cm2.
C) (3 + ¹2) cm2.
03. (Cesgranrio) Em um tetraedro OABC, os ângulos entre 
as arestas que concorrem em O são todos iguais a 90º. 
Se OA = 3, OB = 5 e OC = 12, o comprimento da maior 
aresta do tetraedro é
A) 20 B) 15 C) 13 D) 
25
2
 E) 12
04. (VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de 
madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que 
M, N e P são os pontos médios das arestas, como se 
mostra	na	figura.	Se	V é o volume do cubo, o volume do 
poliedro	que	resta,	ao	retirar	as	8	pirâmides,	é	igual	a
M A
N
P
A) 
1
2
V B) 
3
4
V C) 
2
3
V D) 
5
6
V E) 
3
8
V
05. (VUNESP)	A	figura	a	seguir	mostra	uma	pirâmide	regular	
de base quadrada cuja altura tem a mesma medida que 
as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura OQ, 
traça-se o segmento MN	perpendicular	à	aresta	OA.
O
D
CB
N
M
A
a
Q
Se a expressa a medida de MN, DETERMINE o volume 
da pirâmide em função de a.
Frente B Módulo 08
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
23Editora Bernoulli
06.	 (UFG–2008)	A	figura	a	seguir	representa	uma	torre,	na	
forma de uma pirâmide regular de base quadrada na qual 
foi construída uma plataforma, a 60 metros de altura, 
paralela	à	base.	Se	os	 lados	da	base	e	da	plataforma	
medem,	respectivamente,	18	e	10	metros,	a	altura	da	
torre, em metros, é
Plataforma
A) 75 B) 90 C) 120 D) 135 E) 145
07. (UFSCar-SP) Os segmentos de reta que unem os pontos 
centrais das faces adjacentesde um cubo determinam 
um	octaedro	(ver	figura	a	seguir).
Se a aresta do cubo mede l cm, então o volume do 
octaedro é igual a
A) 
l
3
8
 cm3. D) 
l
3
7
 cm3.
B) 
l
3
4
 cm3. E) 
l
3
6
 cm3.
C) 
l
3
5
 cm3. 
08. (UFF-RJ–2006) Considere ABCDEFGH um cubo cuja aresta 
mede 1 cm e I um ponto no prolongamento da aresta 
AB, de tal modo que o volume do tetraedro ADFI tenha 
o mesmo volume do cubo ABCDEFGH.
F
E H
G
A B
D C
I
DETERMINE a medida do segmento BI.
09. (Cesgranrio) Em um cubo de aresta 3 ¹6, considere-se 
o	tetraedro	VABC,	como	indicado	na	figura.	O	volume	do	
tetraedro é
A) 2 V
C B
A
B) ¹2 
C) 3 ¹3 
D) 
6
3
 
E) 1
10. (UFMG)	Sabe-se	que,	no	tetraedro	da	figura,	AB	=	5	m,	 
BD = 4 m, AD = 3 m e DAC = 60°. Se CD é perpendicular 
ao plano de ABD, então o volume do tetraedro, em m3, é
C
D
BA
60º
A) 6¹3	 	 	 	 	 D)	 18¹3 
B) 3¹3 E) 4¹3
C) 2¹3 
11. (FUVEST-SP) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular 
que tem as oito arestas iguais a ¹2?
A) 1 B) ¹1,5 C) ¹2 D) ¹2,5 E) ¹3
12. (UFSM-RS) Assinale a alternativa que apresenta a razão 
entre os volumes de um tetraedro regular e de um cubo 
cujas arestas são iguais.
A) 
4
3
 B) 
3
4
 C) 
1
2
 D) 
2
6
 E) 
2
12
13.	 (UFMG)	Nesta	figura,	estão	representados	um	cubo,	cujas	
arestas medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC, que 
possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M 
situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. 
Os segmentos MA e MC interceptam as arestas desse 
cubo, respectivamente, nos pontos N e P, e o segmento 
ND mede 1 cm.
B
C
DN
P
M
A
Considerando-se essas informações, é CORRETO	afirmar	
que o volume da pirâmide MNPD é, em cm3,
A) 
1
6
 B) 
1
4
 C) 
1
2
 D) 
1
8
14. (UEL-PR) Considere uma pirâmide regular, de altura 25 m 
e base quadrada de lado 10 m. Seccionando essa pirâmide 
por	um	plano	paralelo	à	base,	à	distância	de	5	m	desta,	
obtém-se um tronco cujo volume, em m3, é
A) 
200
3
 B) 500 C) 
1 220
3
 
 D) 
1 280
3
 
 E) 1 220
15. (UFRJ) Uma pirâmide regular tem base quadrada de 
área	4.	Ela	é	seccionada	por	um	plano	paralelo	à	base	de	
modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de 
base superior de área 1. DETERMINE o valor da aresta 
lateral do tronco da pirâmide.
Pirâmides
24 Coleção Estudo
SEÇÃO ENEM
01.	 (Enem–2009)	Uma	fábrica	produz	velas	de	parafina	em	
forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de 
altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas 
por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide 
de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, 
espaçados 1 cm entre eles, sendo que a base superior 
de	cada	bloco	é	igual	à	base	inferior	do	bloco	sobreposto,	
com uma haste de ferro passando pelo centro de cada 
bloco,	unindo-os,	conforme	a	figura.
6 m
6 m
Se	 o	 dono	 da	 fábrica	 resolver	 diversificar	 o	modelo,	
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de 
aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto 
ele	passará	a	gastar	com	parafina	para	fabricar	uma	vela?
A) 156 cm3 D) 216 cm3
B)	 189	cm3 E) 540 cm3
C) 192 cm3
02. (Enem–2009) Um artesão construiu peças de artesanato 
interceptando uma pirâmide de base quadrada com um 
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que 
poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter 
uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir 
justifica	a	conclusão	do	artesão?
A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais 
e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta 
suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um 
polígono de 4 lados.
B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces 
triangulares e, quando um plano intercepta essa 
pirâmide, divide cada face em um triângulo e um 
trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a 
interseção de uma face com um plano é um segmento 
de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, 
o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
D) O número de lados de qualquer polígono obtido como 
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao 
número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 
5 faces, o polígono tem 5 lados.
E) O número de lados de qualquer polígono obtido 
interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual 
ao número de arestas laterais da pirâmide. Como 
a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 
4 lados.
03. (Enem–2010) Devido aos fortes ventos, uma empresa 
exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança 
de suas plataformas marítimas, colocando cabos de 
aço	 para	melhor	 afixar	 a	 torre	 central.	 Considere	 que	
os	 cabos	 ficarão	 perfeitamente	 esticados	 e	 terão	 uma	
extremidade no ponto médio das arestas laterais da 
torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra 
no vértice da base da plataforma (que é um quadrado 
de lados paralelos aos lados da base da torre central e 
centro coincidente com o centro da base da pirâmide), 
como sugere a ilustração. 
Torre central
Base da plataforma
Se a altura e a aresta da base da torre central medem, 
respectivamente, 24 m e 6¹2 m e o lado da base da 
plataforma mede 19¹2 m, então a medida, em metros, 
de cada cabo será igual a
A) ¹288
B) ¹313
C) ¹328
D) ¹400
E) ¹505
GABARITO
Fixação
01. C 02. C 03. B 04. D 05. D
Propostos
01. A 09. E 
02. A 10. A 
03. C 11. A 
04. D 12. E 
05.	 8¹3a3 13. B
06. D 14. C
07. E 15. 3 2
2
08.	 5	cm 
Seção Enem
01. B 02. C 03. D
Frente B Módulo 08
FRENTE
25Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Sabemos que uma inequação é uma relação caracterizada 
pela presença dos seguintes sinais de desigualdade: >, <, 
≥	ou	≤.	Vejamos	alguns	exemplos:
1º) Resolver, em ,	a	inequação	x	–	3	>	18.
 Resolução:
	 x	–	3	>	18	⇒ x > 21
 S = {x ∈  | x > 21}
2º) Resolver, em ,	a	inequação	–2	≤	
x + 4
3
	<	8.
 Resolução:
 Multiplicando-se todos os termos da inequação por 
3, temos:
	 –6	≤	x	+	4	<	24
 Subtraindo-se –4 de todos os termos, temos:
	 –10	≤	x	<	20
 S = {x ∈ 	|	–10	≤	x	<	20}
3º) Resolver, em , a inequação x2 – 5x + 6 > 0.
 Resolução:
 Inicialmente, vamos calcular as raízes da função:
 x2 – 5x + 6 = 0
 Δ = 25 – 4.1.6 = 1
 x = 
5 1
2
±
 ⇒ x1 = 2 ou x2 = 3
	 Representando	o	gráfico,	temos:
Sinal
y > 0 ⇔ x < 2 ou x > 3
y < 0 ⇔ 2 < x < 3
x32
++
–
 Portanto, o conjunto solução é dado por:
 S = {x ∈  | x < 2 ou x > 3}
INEQUAÇÃO PRODUTO
Chamamos de inequação produto a toda inequação na qual 
o primeiro membro é formado por um produto de funções do 
primeiro grau e / ou funções do segundo grau, e o segundo 
membro é nulo.
Exemplos
1º)	 (x	–	2).(x	–	3)	≥	0
2º) (x – 1).(x2	–	4x	+	3)	≥	0
3º) (2x2 – 5x).(2 + x – x2) < 0
Para resolvermos uma inequação produto, devemos 
estudar o sinal de cada uma das funções que estão sendo 
multiplicadas. Em seguida, obtemos o resultado, analisando 
os sinais obtidos e utilizando o chamado quadro de sinais.
Exemplos
1º) Resolver, em ,	a	inequação	(x	–	2).(x	–	3)	≥	0.
 Resolução:
 Vamos denotar cada função por y1 e y2 e estudar o 
sinal de cada uma delas.
( ).( )x x
y y
− −2 3 0
1 2��� �� ��� ��
≥
 Estudo do sinal
 y1 = x – 2
 Raiz: x = 2
x
+
– 2
 y2 = x – 3
 Raiz: x = 3
x
+
– 3
Inequações 07 C
26 Coleção Estudo
 Quadro de sinais
y1
– + +
– – +
x
2 3
y2
y1.y2
+ – +
 Como queremos saber em quais intervalos o 
produto é positivo ou igual a zero, temos:
 S = {x ∈ 	|	x	≤	2	ou	x	≥	3}
 OBSERVAÇÃO
 As inequações do 2º grau que possuam raízes reais 
podem ser fatoradas e, portanto, transformadas 
em inequações produto. Nesse caso, podem ser 
resolvidas como descrito anteriormente. Por exemplo, 
a inequação x2	–	5x	+	6	≥	0	pode	ser	escrita	na	forma	
(x	–	2)(x	–	3)	≥	0	e	resolvida	com	o	uso	do	quadro	
de sinais.
2º) Resolver, em , a inequação (x – 1).(x2	–	4x	+	3)	≥	0.
 Resolução:
 ( ).( )x x x
y y
− − +1 4 3 0
1 2
2
��� �� � ��� ���
≥
Estudo do sinal
y1 = x – 1
Raiz: x = 1
x
+
– 1
 y2 = x
2 – 4x + 3
 Raiz: x1 = 1 e x2= 3
x31
++
–
 Quadro de sinais
y1
– + +
+ – +
x
1 3
y2
y1.y2
– – +
 Portanto, S = {x ∈ 	|	x	=	1	ou	x	≥	3}.
3º) Resolver, em , a inequação (2x2 – 5x).(2 + x – x2) < 0.
Resolução:
( ).( )2 5 2 02 2
1 2
x x x x
y y
− + − <
� �� �� � ��� ���
y1 = 2x
2 – 5x
Suas raízes são 0 e 5
2
.
Estudo do sinal
Sinal
y1 > 0 ⇔ x < 0 ou x > 
5
2
y1 < 0 ⇔ 0 < x < 
5
2
x0
++
– 5
2
y2 = 2 + x – x
2
Suas raízes são –1 e 2.
Estudo do sinal
Sinal
y2 > 0 ⇔ –1 < x < 2
y2 < 0 ⇔ x < –1 ou x > 2
x
2–1
––
+
Estudo do sinal do produto y1.y2
y1
+ – +
+ + –
x
–1 2
y2
y1.y2
+
+
–
– – –
–
–
+
0
5
2
Queremos saber para que valores de x temos y1.y2 < 0.
Portanto, S = x x ou x ou x∈ < − < < >






 | 1 0 2
5
2
.
Frente C Módulo 07
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
27Editora Bernoulli
INEQUAÇÃO QUOCIENTE
Chamamos de inequação quociente a toda inequação na qual 
o primeiro membro é formado por uma divisão envolvendo 
funções do primeiro grau e / ou funções do segundo grau, 
e o segundo membro é nulo. Convém ressaltar que, como 
se	trata	de	uma	divisão,	devemos	verificar	suas	condições	
de existência, ou seja, o denominador não pode ser nulo.
Exemplos
1º) 
x x
x
2 2 1
3
− +
−
	≤	0	 	 2º) 
x x
x x
2
2
2 8
6 9
− −
− +
	≥	0
O procedimento para resolução é análogo ao adotado nas 
inequações produto.
Exemplos
1º) Resolver, em , a inequação 
x x
x
2 2 1
3
− +
−
	≤	0.
Condição	de	existência:	x	≠	3
x x
x
y
y
2 2 1
3
1
2
− +
−
� �� ��
�
	≤	0
Estudo do sinal
y1 = x
2 – 2x + 1
Possui uma raiz dupla igual a 1.
x1
++
y2 = x – 3
Sua raiz é igual a 3.
x
+
– 3
Quadro de sinais
y1
+ + +
– – +
x
1 3
y2
– – +y1
y2
Portanto, S = {x ∈  | x < 3}.
2º) Resolver, em , a inequação 
x x
x x
2
2
2 8
6 9
− −
− +
	≥	0.
Resolução:
x x
x x
y
y
2
2
2 8
6 9
1
2
− −
− +
� ��� ���
� ��� ���
	≥	0
Temos:
y1 = x
2	–	2x	–	8,	com	raízes	–2	e	4
y2 = x
2 – 6x + 9, com raiz dupla 3
Condição	de	existência:	x	≠	3
Estudo do sinal de y1
Sinal
y1 > 0 ⇔ x < –2 ou x > 4
y1 < 0 ⇔ –2 < x < 4
x4–2
++
–
Estudo do sinal de y2
Sinal
y2 > 0 ⇔	x	≠	3
x3
++
Quadro de sinais
y1
– – +
+ + +
x
–2 4
y2
–
+
+
+ – +
3
y1
y2
Queremos saber para que valores de x temos 
y
y
1
2
	≥	0.
S = {x ∈ 	|	x	≤	–2	ou	x	≥	4}
Inequações
28 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFMG) Considere a função f(x) = 2 2
3
x
x
+
−
.
O conjunto dos valores de x para os quais 
f(x) ∈ {y ∈ :	0	<	y	≤	4}	é
A) {x ∈ 	|	x	≥	7}
B) {x ∈ 	|	x	<	–1	ou	x	≥	7}
C) {x ∈ 	|	–1	<	x	≤	7}
D) {x ∈  | x < –1}
02. (UFG–2006) Duas empresas A e B comercializam o 
mesmo produto. A relação entre o patrimônio y e o tempo 
de atividade em anos x de cada empresa é representada, 
respectivamente, por:
A: x – 2y + 6 = 0 e B: x – 3y + 15 = 0
Considerando essas relações, o patrimônio da empresa A 
será superior ao patrimônio da empresa B a partir de 
quantos anos?
A) 3 D) 12
B) 5 E) 15
C) 9
03. (UFPI) O conjunto solução da inequação ( )
( )
− + −
−
x x
x x
2 3
2 5
20
1
 < 0 
é o intervalo
A) (1, ∞) 
B) (–∞, -1] 
C) (–∞, 1)
D) [0, ∞)
E) (–∞, 0)
04. (UFJF-MG–2006) Os valores de x que satisfazem a 
inequação 
x x
x
2 2 3
2
0
− −
−
≥ pertencem a
A) [–1, 2) ∪	[3,	∞)
B) (–1, 2] ∪	(3,	∞)
C) [1, 3]
D) [–3, 2)
E) [–3, –2] ∪	(2,	∞)
05. (Umesp) A função f(x)= 
3
4
4 2
x
x
x
+
−
 tem como domínio, no 
campo dos reais, os valores de x que se encontram na 
alternativa
A)  – {4} 
B)	 x	<	–4	ou	x	≥	0	 	
C)	 0	≤	x	<	4
D)	 0	≤	x	<	2
E) 0 < x < 2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (PUC Rio–2006) Quantos números inteiros satisfazem 
simultaneamente as desigualdades:
2x	+	3	≤	x	+	7	≤	3x	+	1
A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) 5
02. (UFMG) O conjunto solução da inequação –3x + a > 7 é 
{x ∈  | x < 2}. Então, o valor de a é
A) 1 D) 10
B) 2 E) 13
C) 7
03. (UFOP–MG) O conjunto solução da inequação 2 1 1x
x
− > é
A) {x ∈  | 0 < x < 1}
B) {x ∈  | x < 0 ou x > 1}
C) {x ∈  | x > 1}
D) {x ∈ 	|	x	≠	0}
E) {x ∈ 	|	x	<	0	ou	x	≥	1}
04. (FUVEST-SP) Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela 
primeira hora de uso, R$ 3,00 por hora adicional e tem 
uma despesa diária de R$ 320,00. Considere um dia em 
que	sejam	cobradas,	no	total,	80	horas	de	estacionamento.	
O número MÍNIMO de usuários necessário para que o 
estacionamento obtenha lucro nesse dia é
A)	 25	 	 	 	 	 	 D)	 28
B) 26 E) 29
C) 27 
05. (UFMG) O número real x satisfaz 4 3
1
x
x
−
+
 > 2. Assinale a 
alternativa em que estão incluídas todas as possibilidades 
para x.
A) –1 < x < 
5
2
 C) x > 
5
2
B) x < –1 ou x > 
5
2
 D) x < –1
06. (UFV-MG) Seja p um número real positivo menor que a 
sua raiz quadrada. Sobre a inequação (p – 1)x < p – 1, 
em , é CORRETO	afirmar	que
A) 0 < x < p D) x > 1
B)	 p	<	x	<	1	 	 	 	 E)	 0	≤	x	≤	1
C) x < 1
07. (UFSM-RS) O conjunto solução da inequação x x
x x
2
2
1
9
1
3
+ −
− −
≥ 
é dado por
A) [–3, 3[ D) [–2, 2]
B)	 ]–∞,	–2]	∪	[2,	∞[		 E)	 [2,	∞[
C) ]–3, –2] ∪ [2, 3[
Frente C Módulo 07
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
29Editora Bernoulli
08. (PUC Minas) O polinômio p(x) = (m + 2)x2 + 2(m – 3)x + m2 
é negativo para x = 1. Nesse caso, o MAIOR valor inteiro 
de m é
A) 0 
B) –1 
C) –2 
D) –3
09. (PUC Minas) O conjunto dos valores de x para os quais 
os	pontos	do	gráfico	de	f(x)	=	x3 – 4x2 – 5x estão acima 
do eixo das abscissas é
A) {x ∈  | x < –1 ou 0 < x < 5}
B) {x ∈  | –1 < x < 0 ou x > 5}
C) {x ∈  | –1 < x < 5}
D) {x ∈  | x < –1 ou x > 5}
10. (UNESP) Todos os POSSÍVEIS valores de m que 
satisfazem a desigualdade 2x2 – 20x + 2m > 0, para todo 
x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por
A) m > 10
B) m > 25
C) m > 30
D) m < 5
E) m < 30
11. (UFV-MG) Sejam as funções reais f e g dadas por 
f(x) = ¹x e g(x) = 
4
3 1
8
3 2( ) ( )x x−
+
+
; o domínio da função 
composta f o g é
A) {x ∈ 	|	–2	≤	x	≤	0	ou	x	≥	1}
B) {x ∈ 	|	–2	<	x	≤	0	ou	x	>	1}
C) {x ∈ 	|	x	≤	–2	ou	0	≤	x	≤	1}	
D) {x ∈ 	|	x	≥	0}	
E) {x ∈ 	|	–2	<	x	<	0	ou	x	≥	1}
12. (UFF-RJ) No triângulo retângulo representado a seguir, 
cada um dos catetos mede 3 cm.
FA
B
E
C
Dx
Considere um ponto C da hipotenusa e o retângulo ABCD, 
sendo x a medida de AD. DETERMINE
A) a área S do retângulo ABCD em função de x.
B) para que valor(es) de x	se	tem	S	≤	1,25	cm2.
13. (UFRGS) Os gráf icos seguintes representam, 
respectivamente, as funções y = f(x) e y = g(x). 
Essas funções se anulam somente nos pontos indicados 
nas	figuras.
y
xO–3 2
y
xO–3 2
A solução da inequação f(x).g(x) > 0 é
A)	 (–∞,	0)	 	 	 	 D)	 (–∞,	–3)	∪	(2,	+∞)
B)	 (0,	+∞)	 	 	 	 E)	 (–3,	0)	∪ (0, 2)
C) (–3, 2)
14. (UERJ) Sabe-se que o polinômio p(x) = –2x3 – x2 + 4x + 2 
pode ser decomposto na forma p(x) = (2x + 1)(–x2 + 2). 
Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = –x2 + 2, 
num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se 
o	gráfico	a	seguir:
y
f
g
xO
¹2–¹2
1
2
Tendo	por	base	apenas	o	gráfico,	é	possível	resolver	a	
inequação –2x3 – x2 + 4x + 2 < 0. Todos os valores de x 
que satisfazem a essa inequação estão indicados na 
seguinte alternativa:
A) x < –¹2 ou x > – 1
2
 C) x < –¹2 ou – 1
2
 < x < ¹2
B) x < –¹2 ou x > ¹2 D) –¹2 < x < – 1
2
 ou x > ¹2
15. (UFRJ–2006) Uma operadora de celular oferece dois 
planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma 
assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais 
custa R$ 0,25. No plano B,	 paga-se	 um	valor	 fixo	 de	
R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e,a partir 
de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais 
é de R$ 1,50.
A) CALCULE o valor da conta em cada plano para um 
consumo mensal de 30 minutos em ligações locais.
B) DETERMINE a partir de quantos minutos, em ligações 
locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que 
o plano A.
Inequações
30 Coleção Estudo
16. (FEI-SP) DETERMINE o domínio da função f tal que 
f(x) = 
x
x x
−
+ −
2
62
.
17. (CEFET-MG) O número de soluçõesinteiras e estritamente 
positivas da inequação 
1
3 1
1
1x x− +
≥ é
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2 
18. (UFOP-MG) O conjunto solução da inequação x
x
2 4
3
0
−
+
≥ é
A)	 ]–∞,	–2]	 	 	 	
B)	 ]–3,	+∞[	 	 	 	
C) [–2, 2]
D) ]–3, –2] ∪	[2,	+∞[
E)	 ]–∞,	–2]	∪	[2,	+∞[
19. (UFTM-MG) O intervalo que satisfaz a inequação 
x2	+	bx	+	8	≤	0	tem	comprimento	2.	Portanto,	o	módulo	
de b é
A) 4 D) 7
B)	 5	 	 	 	 	 	 E)	 8
C) 6 
20. (FGV-SP–2006) O conjunto solução da inequação 
ax2 – (a2	+	1)x	+	a	≤	0,	sendo	a um número real positivo 
e menor do que 1, é
A) a
a
,
1




 
B) −






1
a
a, 
C) ]0, a]
D) [–a, 0[
E) 0
1
,
a








21. (UFLA-MG) Os valores de a para os quais a inequação 
x
x
x a
x2 24 1+
> +
+
 seja verdadeira para todo x são
A) a < –
3
4
 ou a > 
3
4
 
B) –
3
4
 < a < 
3
4
 
C) a < –
3
4
D) –
4
3
 < a < 
4
3
E) a > 
4
3
SEÇÃO ENEM
01. A tabela apresenta parte da planilha de custos de uma 
fábrica:
Descrição Custo por unidade produzida (R$)
Matéria-prima 0,8
Mão de obra / Impostos 3
Transporte 0,3
Armazenagem 0,1
Energia 1,8
Além dos custos por unidade produzida, indicados na 
tabela	anterior,	essa	fábrica	possui	um	custo	fixo	mensal	
igual	a	R$	46	000,00	devido	à	 locação	de	máquinas	e	
equipamentos. Devido a limitações da linha de montagem, 
o número mínimo de peças que podem ser produzidas é 
igual a 3 000. Sabendo-se que cada unidade é revendida 
por	R$	11,00,	pode-se	afirmar	que	o	número	de	unidades	
que devem ser produzidas em um mês, para que o lucro 
líquido mensal da fábrica seja superior a R$ 94 000,00, é
A)	 28	000		 	 	 	 D)	 38	000
B) 31 000 E) 40 000
C) 35 000
GABARITO
Fixação
01. B 02. D 03. A 04. A 05. D
Propostos
01. D 03. B 05. B 07. C 09. B
02.	 E	 04.	 C	 06.	 D	 08.	 A	 10.	 B
11. B
12. A) S = 3x – x2, 0 < x < 3
	 B)	 0	<	x	≤	
1
2
 ou 
5
2
	≤	x	<	3
13. D
14. D
15. A) Plano A: 57, 50; Plano B: R$ 40,00
	 B)	 A	partir	de	68	minutos	em	ligações	locais.
16. D(f) = {x ∈ 	|	x	>	–3	e	x	≠	2}
17.	 B	 18.	 D	 19.	 C	 20.	 A	 21.	 C
Seção Enem
01. B
Frente C Módulo 07
FRENTE
31Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 
DE UM NÚMERO REAL
O módulo de um número real a é representado por |a|.
Em que |a| = a se a
a se a
,
,
≥ 0
0− <




Exemplos
1º) |3| = 3
2º) |–4| = –(–4) = 4
Geometricamente, o módulo de um 
número real representa a distância do 
ponto a até a origem da reta real.
Propriedades do módulo
i) |x| ≥ 0, ∀ x ∈ 
ii) |x| = 0 ⇔ x = 0
iii) |x|.|y| = |x.y|, ∀ x, y ∈ 
iv) |x|2 = x2, ∀ x ∈ 
v) |x| = x2 , ∀ x ∈  
vi) x
y
x
y
= , ∀ y ≠ 0
EQUAÇÃO MODULAR
É toda equação na qual a incógnita se encontra na forma 
de módulo.
Exemplos
1º)	 Resolver	a	equação	|x|	=	8.
Resolução:
Há dois valores que satisfazem a equação: 
x	=	–8	ou	x	=	8
Portanto,	S	=	{–8,	8}.
2º) Resolver a equação |x – 4| = 10.
 Resolução: 
 Se um número possui módulo 10, esse número pode 
ser igual a –10 ou 10. Portanto, temos:
 
x
ou
x
x
ou
x
− =
− = −





⇔
=
= −





4 10
4 10
14
6
Portanto, S = {–6, 14}.
3º) Resolver a equação |2x + |x – 1|| = 5.
Resolução:
Resolvendo a equação anterior, temos:
2 1 5
2 1 5
1 2 5
1
x x
ou
x x
x x
ou
x
+ =
+ = −





⇔
= − + 
 
 
 
–
–
–
– == − −





⇔
2 5x
x x
x x
ou
x x
ou
x
 
 
–
–
1 2 5
1 2 5
1 2 5
1
= − + ⇔
− = − +
− = −






⇔
= −− − ⇔
− = − −
− = +






⇔2 5
1 2 5
1 2 5
x
x x
ou
x x
 
x
ou
x
x
ou
x
=
=






= −
= −







2
4
4
3
6
 Substituindo cada um dos resultados na equação 
original,	verificamos	que	x	=	–6	ou	x	=	2	são	soluções	
da equação.
 Portanto, S = {–6, 2}.
4º) Resolva a equação |x – 1| + |x + 3| = 14
Resolução:
 Inicialmente, vamos calcular as raízes das expressões 
dentro dos módulos.
x – 1 = 0 ⇒ x = 1 e x + 3 = 0 ⇒ x = –3
Função modular 08 C
32 Coleção Estudo
Observe que,
i) para valores de x menores do que –3, os termos x – 1 
e x + 3 são negativos.
ii) para valores de x entre –3 e 1, o termo x – 1 é negativo, 
e o termo x + 3 é positivo.
iii) para valores de x maiores do que 1, os termos x – 1 
e x + 3 são positivos. 
Assim, podemos representar esse fato no esquema a seguir:
 x < –3 –3 –3 < x < 1 1 x > 1
–(x – 1) – (x + 3) = 14
–x + 1 – x – 3 = 14
–2x = 16
x	=	–8
(convém)
–(x – 1) + (x + 3) = 14
–x + 1 + x + 3 = 14
4 = 14
(absurdo)
x – 1 + x + 3 = 14
2x = 12
x = 6
(convém)
Devemos	verificar	também	se	as	raízes	–3	e	1	são	soluções	
da equação:
i) Para x = –3, temos 4 = 14. (absurdo)
ii) Para x = 1, temos 4 = 14. (absurdo)
Assim,	as	soluções	são	x	=	–8	ou	x	=	6.
Portanto,	S	=	{–8,	6}.
INEQUAÇÃO MODULAR
Uma inequação é dita modular quando a incógnita 
se encontra na forma de módulo.
Exemplos
1º) Resolver a inequação |x| > 7.
 Resolução:
 Observe que há dois intervalos reais que satisfazem 
a essa condição: x < –7 ou x > 7
 Portanto, S = {x ∈  | x < –7 ou x > 7}.
2º) Resolver a inequação |x| < 7.
 Resolução:
 Observe que há apenas um intervalo que satisfaz a 
essa condição: –7 < x < 7
 Portanto, S = {x ∈  | –7 < x < 7}.
Generalizando:
Seja a um número real positivo. Há dois casos possíveis:
1º caso: |x| > a ⇔ x < –a ou x > a
2º caso: |x| < a ⇔ –a < x < a
3º) Resolver a inequação |3x – 2| ≤ 7.
Resolução:
–7 ≤ 3x – 2 ≤ 7 ⇒ –7 + 2 ≤ 3x – 2 + 2 ≤ 7 + 2 ⇒
–5 ≤ 3x ≤ 9 ⇒ − 5
3
 ≤ x ≤ 3
Portanto, S = x x∈ −






 |
5
3
3≤ ≤ .
FUNÇÃO MODULAR
É uma função f:  → 	definida	por	f(x)	=	|x|.
Essa	função,	de	acordo	com	a	definição	de	módulo,	pode	
ser escrita da seguinte forma:
f(x) = |x| ⇔ f(x) = x se x
x se x
,
,
≥0
0− <




y
O x
O gráfico da função modular é a reunião de duas 
semirretas de mesma origem. Observe que:
Para x ≥	0,	temos	o	gráfico	da	reta	y	=	x.
Para	x	<	0,	temos	o	gráfico	da	função	y	=	–x.
A imagem da função modular é o conjunto 
Im = {y ∈  | y ≥ 0}.
GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
MODULARES
Gráficos de funções da forma 
y = |f(x)|
Esse tipo de gráfico é obtido pela “reflexão” ou 
“rebatimento”, em relação ao eixo x,	das	partes	do	gráfico		
nas quais f(x) < 0.
Frente C Módulo 08
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
33Editora Bernoulli
Exemplos
1º)	 Esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	|x	–	2|.
Resolução:
Inicialmente, vamos desconsiderar o módulo e 
esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	x	–	2.
y
O
–2
2 x
Agora,	basta	efetuarmos	uma	reflexão,	em	torno	do	eixo	x, 
da	parte	do	gráfico	que	possui	ordenada	negativa.
y
O
–2
2
2
x
OBSERVAÇÃO
O	gráfico	da	função	básica	y	=	|x|	também	pode	ser	
obtido por esse processo.
2º)	 Esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	|x2 – 4x + 3|.
Resolução:
Inicialmente, vamos desconsiderar o módulo e 
esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	x2 – 4x + 3.
y
O 31
2
–1
3
x
Efetuando	a	reflexão	em	torno	do	eixo	x, temos o seguinte 
gráfico:
y
O 31 2
3
1
x
Outros gráficos
Exemplos
1º)	 Esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	|x|	+	3.
Resolução:
Basta	 esboçarmos	 o	 gráfico	 da	 função	 y	=	 |x|	 e,	
em	 seguida,	 deslocarmos	 esse	 gráfico	 3	 unidades	
para cima.
y = |x|
y = |x| + 3
O
3
x
y
2º)	 Esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	|x	–	1|	–	2.
 Resolução:
	 Basta	esboçarmos	o	gráfico	da	função	y	=	|x	–	1|	e, 
em	 seguida,	 deslocarmos	 esse	 gráfico	 2	 unidades	
para baixo.
1º passo:	Esboço	do	gráfico	da	função	y	=	|x	–	1|:
Nesse caso, podemos utilizar o “rebatimento” em 
relação ao eixo x, descrito anteriormente.
Inicialmente, desconsideramos o módulo e esboçamos 
o	gráfico	de	y	=	x	–	1.
O
–1
1 x
y
Função modular
34 Coleção Estudo
Agora,	 basta	 efetuarmos	 uma	 reflexão	 em	 torno	
do eixo x,	da	parte	do	gráfico	que	possui	ordenada	
negativa.
y = |x – 1|
O
1
–1
1 x
y
2º passo:	A	partir	do	gráfico	da	função	y	=	|x	–	1|	
construído anteriormente, promoveremos uma 
translação do mesmo 2 unidades para baixo. 
Para isso, é necessário encontraros pontos de 
interseção de y = |x – 1| – 2 com os eixos ordenados:
• Interseção com o eixo Oy
 Fazendo x = 0 ⇒ y = |0 – 1| – 2 ⇒
 y = 1 – 2 ⇒ y = –1
• Interseção com o eixo Ox
 Fazendo y = 0 ⇒ 0 = |x – 1| – 2 ⇒
 |x – 1| = 2 ⇒
 
x
ou
x
x
ou
x
− =
− = −





⇔
=
= −





1 2
1 2
3
1
y = |x – 1|
y = |x – 1| – 2
O
1
–1
–1 1 2 3
–2
x
y
3º)	 Esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	|x	–	1|	+	|x	+	2|.
Resolução:
 Vamos calcular as raízes das expressões dentro dos 
módulos:
x – 1 = 0 ⇒ x = 1 ou x + 2 = 0 ⇒ x = –2
Logo, podemos usar o seguinte esquema:
 x ≤ –2 –2 –2 < x < 1 1 x ≥ 1
y = –(x – 1) – (x + 2)
y = –x + 1 – x – 2
y = –2x – 1
(função I)
y = –(x – 1) + x + 2
y = –x + 1 + x + 2
y = 3
(função II)
y = x – 1 + x + 2
y = 2x + 1
(função III)
Daí, observe que há três funções, uma para cada intervalo 
de x. Representando tais funções em um mesmo sistema 
de coordenadas cartesianas, temos:
Função I
Função II
Função III
O
1
3
–1
–2 1 x
y
1
2
–
4º)	 Esboçar	o	gráfico	da	função	y	=	||x|	–	1|.
 Resolução:
	 Inicialmente,	esboçamos	o	gráfico	da	função	y	=	|x|. 
Em	 seguida,	 deslocamos	 esse	 gráfico	 1	 unidade	
para	baixo,	obtendo	o	gráfico	da	função	y	=	|x|	–	1. 
Finalmente, “rebatemos”, em relação ao eixo x, 
a	parte	do	gráfico	com	ordenada	negativa,	obtendo	
o	gráfico	da	função	y	=	||x|	–	1|.
y = |x|
y
O x
y = |x| – 1
y
O x
–1
–1 1
y = ||x| – 1|
y
O x
–1
–1 1
1
Frente C Módulo 08
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
35Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UECE) Se f(x) = x
2
2
 – 2, então as raízes irracionais da 
equação	|f(x)	–	6|	=	8	são
A) 2¹2 e –2¹2 C) 4¹2 e –4¹2
B) 3¹2 e –3¹2 D) 5¹2 e –5¹2
02. (UFLA-MG–2009) Se y = |x|2	–	5|x|	+	6,	a	afirmativa	
CORRETA é
A) y se anula somente para quatro valores de x.
B) y possui apenas um ponto de mínimo.
C) y se anula somente para dois valores de x.
D) y não é uma função par.
03. (Cesgranrio)	 No	 gráfico	 a	 seguir,	 está	 representada	 a	
função do 1º grau f(x).
f(x)
5
xO 3
O	gráfico	que	MELHOR representa g(x) = |f(x)| – 1 é
A) g(x)
5
xO 3
 
B) g(x)
5
–1 x
O 4
 
C) g(x)
4
1
xO 3
D) g(x)
4
xO 2,4
E) g(x)
4
–1 x
O 3
04. O conjunto imagem da função f(x) = |x2	–	4x	+	8|	+	1	é	
o intervalo
A)	 [5,	+∞[	 	 	 	
B)	 [4,	+∞[	 	 	 	
C)	 [3,	+∞[
D)	 [1,	+∞[
E)	 [0,	+∞[
05. (FGV-SP) A soma dos valores inteiros de x que 
satisfazem, simultaneamente, as desigualdades 
|x – 5| < 3 e |x – 4| ≥ 1 é
A) 25 
B) 13 
C) 16
D)	 18
E) 21
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFTM-MG–2007) Dada a desigualdade 1 < |x + 3| < 4, 
então a quantidade de valores inteiros não nulos de x 
que satisfaz é
A) 7 
B) 6 
C) 5
D) 4
E) 3
02. (UEMS) Considerando as funções reais de variável real 
f(x) = ¹x e g(x) = x2 – 2x + 1, tem-se que
A) (f o g)(x) = x – 1
B) (f o g)(x) = |x – 1|
C) (f o g)(x) = x
D) (f o g)(x) = x + 1
E) (f o g)(x) = |x + 1|
03. (UFF-RJ) Com relação aos conjuntos P = {x ∈  |	|x|	≤	¹7} 
e Q = {x ∈  | x2	≤	0,333...},	afirma-se:
I. P ∪ Q = P
II. Q – P = {0}
III. P ⊂ Q
IV. P ∩ Q = Q
Somente são VERDADEIRAS	as	afirmativas
A) I e III. 
B) I e IV. 
C) II e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
Função modular
36 Coleção Estudo
04. (UFJF-MG) Sobre os elementos do conjunto solução da 
equação |x2| – 4|x| – 5 = 0, podemos dizer que
A) são um número natural e um número inteiro.
B) são números naturais.
C) o único elemento é um número natural.
D) um deles é um número racional, o outro é um número 
irracional.
E) não existem, isto é, o conjunto solução é vazio.
05. (UEL-PR) Seja f :  →  dada por f(x) = |x2|	+	|x|.	O	gráfico	
da função g:  → ,	definida	por	g(x)	=	–f(x	+	1),	é
A) y
xO
–1 1 2
–1
–2
–3
–2
 
B) y
xO–1 1
3
2
1
2–2
 
C) y
xO–1 1
3
2
1
2–2
D) y
xO
–1 1
2
1
–1
–2
2–2
E) y
xO–1–2 1
–1
–2
–3
2
06. (UECE) Dados os conjuntos A = {x ∈  | |x – 5| < 3} e 
B = {x ∈  | |x – 4| ≥ 1}, a soma dos elementos de A ∩ B 
é igual a
A) 19 
B) 20 
C) 21 
D) 22 
E)	 18
07. (UFMG) Seja f :  →  uma função ta l que 
f(x) = y = |2x2	–	8|.	O	gráfico	de	y	=	f(x)	é
A) y
x2
8
–2 O
 
B) y
x2O
8
–2
 
C) y
x2
8
–2 O
D) y
xO
2
–8
–2
E) y
x
2
–8
–2
O
08. (UFRGS) Para –1 < x < 1
2
, o gráfico da função 
y	=	|x	+	1|	+	|2x	–	1|	coincide	com	o	gráfico	da	função	
y = ax + b. Os valores de a e b são, respectivamente,
A) –1 e –1
B) 2 e –1
C) –1 e 2
D) 
1
2
 e –1
E) –
1
2
 e 1
Frente C Módulo 08
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TI
C
A
37Editora Bernoulli
09.	 (UFLA-MG)	O	gráfico	da	expressão	|x|	+	|y|	=	4	é	dado	por
A) 
4
O
–4
–4
x
y
4
 D) 
O–4 x
y
4
B) 
O–4
–4
x
y
4
 E) 
O
4
–4
x
y
4
C) 
O
4
–4
–4
x
y
4
10. (UFMG–2010) Considere a função f(x) = x|1 – x|. 
Assinale	 a	 alternativa	 em	 que	 o	 gráfico	 dessa	 função	
está CORRETO.
A) y
x
O
1
 
B) y
x
O
1
 
C) y
x
O 1
D) y
xO 1
11. (UFCE) Seja f	uma	função	real	de	variável	real	cujo	gráfico	
está representado a seguir. Se g(x) = 2.f(x) – 1, assinale 
a	alternativa	cujo	gráfico	MELHOR representa |g(x)|.
f(x)
1O
2
3 4 x
1
–1
A) 
1
|g(x)|
2 4 xO 1
2
7
2
–1
 
B) |g(x)|
2
4
x
1
3
–1
1
2
7
2
O
 
C) |g(x)|
1 2 3 4 x
1
3
O
D) |g(x)|
1 2 3 4 x
1
O
E) 
1
2
7
2
|g(x)|
2 4 x
1
3
O
12. (UFC–2008)	 Dadas	 as	 funções	 f:	 →  e g:  →  
definidas	por	f(x)	=	|1	–	x2| e g(x) = |x|, o número de 
pontos	na	interseção	do	gráfico	de	f	com	o	gráfico	de	g 
é igual a
A) 5 D) 2
B) 4 E) 1
C) 3
13. (ITA-SP) Sabendo-se que as soluções da equação 
|x|2 – |x| – 6 = 0 são raízes da equação x2 – ax + b = 0, 
podemos	afirmar	que
A) a = 1 e b = 6
B) a = 0 e b = –6
C) a = 1 e b = –6
D) a = 0 e b = –9
E) não existem a e b a menos que x2 – ax + b = 0 
contenha todas as raízes da equação dada.
Função modular
38 Coleção Estudo
14.	 (UFMG)	Observe	a	figura.
y
xO 1
1
–1
2
3
r
2
A reta r	é	o	gráfico	de	uma	função	g. Seja f a função 
dada	por	f(x)	=	|x	–	1|.	Pode-se	afirmar	que	f(x)	≤ g(x) 
tem como conjunto solução
A) {x ∈  | x ≤ 3} D) ∅
B) {x ∈  | x ≥ 3} E) 
C) {x ∈  | x ≤ 2}
15. (UFRJ) Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx + c, 
com a > 0. DETERMINE a, b e c, sabendo que as raízes 
da equação |f(x)| = 12 são –2, 1, 2 e 5. JUSTIFIQUE 
sua resposta.
16. (UFES)
y
xO 1
1
2–1–2
O	gráfico	anterior	representa	a	função
A) f(x) = ||x| – 1|
B) f(x) = |x – 1| + |x + 1| – 2
C) f(x) = ||x| + 2| – 3
D) f(x) = |x – 1|
E) f(x) = ||x| + 1| – 2
SEÇÃO ENEM
01. Em uma gincana escolar, uma das etapas consistia 
na	 resolução	 de	 um	 desafio	matemático.	 O	 professor	
forneceu uma série de informações acerca de um 
número Y. A primeira equipe que conseguisse determinar 
esse número venceria a prova.
As informações eram as seguintes:
•	 O	número	Y é natural.
•	 O	número	|Y	–	2|	+	4	encontra-se	a	10	unidades	da	
origem da reta real.
Acerca do número Y, podemos concluir que
A) é um número primo.
B) possui 6 divisores naturais.
C) é divisor de 56.
D) é um número ímpar.
E) é múltiplo de 3. 
GABARITO
Fixação
01. C 02. A 03. E 04. A 05. E
Propostos
01. E 10. B
02. B 11. E
03. B 12. B
04. A 13. D
05. A 14. B
06. C 15. a = 2
07. B b = –6
08.	 C	 	 	 	 	 c	=	–8
09. A 16. A
Seção Enem
01. C 02. B
02. A elaboração de um programa de computadores consiste 
em fornecer uma série de comandos ao computador 
para que o mesmo execute uma determinada tarefa. 
Tais comandos devem ser dados em uma linguagem 
apropriada, chamada linguagem de programação. 
É comum que um programador, antes de digitar o 
programa propriamente dito, crie um algoritmo, ou 
seja, uma espécie de rascunho que contém a sequência 
de operações que o futuro programa deverá executar. 
Um programador escreveu em um papel o seguinte 
algoritmo: 
Passo 1) Dados iniciais
 x0: valor de entrada
Passo 2) Faça x0 – 1.
Passo 3) Se |x0	−	1|	=	6,	então	FIM.
Passo 4) Se |x0	−1|	≠	6,	então	VOLTE	AO	PASSO	2,	
UTILIZANDO|x0	−	1|	COMO	DADO	DE	ENTRADA.
Após a implementação do programa, foram feitos vários 
testes.	Em	um	desses	testes,	verificou-se	que	o	passo	2	
foi repetido uma única vez, antes de o programa terminar. 
O número de valores reais possíveis para o dado de 
entrada x0, nessas condições, é igual a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Frente C Módulo 08
FRENTE
39Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Considere o triângulo retângulo ABC a seguir:
a
HB
A
C
c b
m n
h
Em que:
•	b e c são as medidas dos catetos;
•	a é a medida da hipotenusa;
•	h	é	a	medida	da	altura	relativa	à	hipotenusa;
•	m é a medida da projeção ortogonal do cateto AB sobre 
a hipotenusa.
•	n é a medida da projeção ortogonal do cateto AC sobre 
a hipotenusa.
Pela	altura	relativa	à	hipotenusa,	separamos	o	triângulo	
retângulo em dois outros triângulos semelhantes a ele, como 
mostrado a seguir:
a
m n
h h
B
A
A A
C
B CH H
c
c
b
b
Pela semelhança entre esses triângulos, temos:
Δ ABC ~ Δ HBA ⇔ 
a
c
b
h
c
m
= = ⇔ 
ah bc
c am
ch bm
=
=
=





2
Δ ABC ~ Δ HAC ⇔ 
a
b
b
n
c
h
= = ⇔ 
b an2 =




ah = bc
bh = cn
Δ HBA ~ Δ HAC ⇔ 
c
b
h
n
m
h
= = ⇔ 
bh = cn
ch = bm
h = mn2





Para demonstrar o Teorema de Pitágoras, basta 
adicionar, membro a membro, as relações b2 = an e 
c2 = am, obtendo:
b2 + c2 = an + am ⇒ b2 + c2 = a(n + m)
Como n + m = a, concluímos que:
b2 + c2 = a2
OBSERVAÇÃO
O recíproco Teorema de Pitágoras também é válido, ou seja, 
se	em	um	triângulo	o	quadrado	de	um	lado	for	igual	à	soma	dos	
quadrados dos outros dois, então o triângulo será retângulo.
Resumindo as relações encontradas e excluindo as 
repetidas, vale a pena memorizar as seguintes: 
i) b2 = an iv) ah = bc
ii) c2 = am v) a2 = b2 + c2
iii) h2 = mn
MEDIDA DA MEDIANA RELATIVA 
À HIPOTENUSA
“Em	 todo	 triângulo	 retângulo,	 a	 mediana	 relativa	 à	
hipotenusa mede metade da hipotenusa.”
B
A C
M (Ponto médio)
AM = 
BC
2
Para provar essa propriedade, construa o retângulo ABDC e 
suas diagonais. As diagonais de um retângulo são congruentes 
e	o	ponto	comum	às	duas	é	o	ponto	médio	de	cada	uma. 
Triângulo retângulo 07 D
40 Coleção Estudo
Logo, este é o ponto médio, M, da hipotenusa do triângulo ABC:
B
A
D
C
M
Como AD = BC e AM = 
AD
2
, concluímos que AM = 
BC
2
.
Outra	maneira	de	verificar	tal	propriedade	é	através	da	
circunferência circunscrita ao triângulo retângulo.
B
A C
M
Como o ângulo inscrito na circunferência é reto, o arco B¹C 
que	ele	“enxerga”	mede	180º.	Portanto,	o	segmento	BC é 
o diâmetro, e o ponto médio M é o centro da circunferência. 
Logo, a medida AM é igual ao raio da circunferência, de onde 
conclui-se que AM = 
BC
2
.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01.	 (UFMG–2006)	 Nesta	 figura,	 estão	 representadas	 três	
circunferências, tangentes duas a duas, e uma reta 
tangente	às	três	circunferências.
Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências 
maiores mede 1 cm. Então, é CORRETO	afirmar	que	a	
medida do raio da circunferência menor é
A) 
1
3
 cm. 
B) 
1
4
 cm. 
C) 
2
2
 cm. 
D) 
2
4
 cm.
02. (UFRGS) O lampião, representado na figura, está 
suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. 
Sabendo que essas cordas medem 
1
2
 e 
6
5
, a distância 
do lampião ao teto é
A) 1,69 
B) 1,3 
C) 0,6 
D) 
1
2
 
E) 
6
13
03. (UFTM-MG–2009) Uma praça tem a forma de um 
pentágono	 convexo,	mostrado	 na	 figura,	 em	 que	 as	
dimensões estão indicadas em metros.
B C
D
(figura fora de escala)
A E
120
80
60
Existem duas opções para ir do ponto A até o ponto C, 
contornando a praça. São elas:
I. Saindo de A, pode-se seguir em linha reta até E, 
depois até D	e,	finalmente,	encaminhar-se	até	C.
II. Saindo de A, pode-se seguir em linha reta até B e 
depois dirigir-se até C.
Se, nas duas opções, a distância total a ser percorrida 
é a mesma e, sendo DE > DC, então a distância entre 
D e E, em metros, é igual a
A) 70 
B)	 80	 	
C) 90 
D) 100 
E) 110
Frente D Módulo 07
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
41Editora Bernoulli
04. (FUVEST-SP) Os lados de um triângulo medem ¹5, ¹10 e 5. 
Qual o comprimento da altura relativa ao lado maior?
05.	 (FUVEST-SP–2006)	Na	figura	a	seguir,	tem-se	AC	=	3,	
AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é
A
DC B
A) 
17
12
 
B) 
19
12
 
C) 
23
12
 
D) 
25
12
 
E) 
29
12
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01.	 (UFMG)	Observe	a	figura.
D C
A
S
B
Q
R
P
Nessa	figura,	ABCD	representa	um	quadrado	de	lado	11	e	
AP = AS = CR = CQ. O perímetro do quadrilátero PQRS é
A) 11¹3 
B) 22¹3 
C) 11¹2
D) 22¹2
02. (PUC Minas) Constrói-se um triângulo retângulo de catetos 
AB e AC = 
1
2
AB. O seno do maior ângulo agudo desse 
triângulo é igual a
A) 
2 5
5
 
B) 
3 5
5
 
C) 
4 5
5
 
D) ¹5 
E) 
6 5
5
03. (PUC Minas) A interseção de duas retas perpendiculares, 
r e s, é um ponto A. Um ponto B, de r, está a 3 m de A e um 
ponto C, de s, está a 4 m de A. A distância de A	à	reta	BC, 
em metros, mede
A) 2,5 
B) 2,4 
C) 2,3 
D) 2,0 
E) 1,5
04. (UFU-MG) Num triângulo ABC, o ângulo  é reto. 
A altura hA divide a hipotenusa a em dois segmentos 
m e n (m > n). Sabendo-se que o cateto b é o dobro do 
cateto c,	podemos	afirmar	que	
m
n
 é
A) 4 D) 
7
2
 
B) 3 E) 5
C) 2 
05. (UFG) O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de 
altura	é	18	cm.	Os	lados	deste	triângulo,	em	cm,	são
A) 7, 7, 4 D) 4, 4, 10
B)	 5,	5,	8		 	 	 	 E)	 3,	3,	12
C) 6, 6, 6
06. (Cesgranrio)	No	quadrado	ABCD	da	figura,	tem-se	AB	=	4,	
AH = CI = 1 e AG = 2. Então, HI mede
A
H
G B
D C
I
A) ¹5 B) 5 C) 16
3
 D) 3¹3 E) 2¹5
07. (UEPA) No quadrilátero ABCD a seguir, tem-se AB = 4 cm, 
BC = 5 cm, CD = 6 cm e AC perpendicular a BD. 
A medida do lado AD vale
A B
C
D
A) 7 cm. D) 3¹5 cm.
B) 3 cm. E) 3¹3 cm.
C) ¹2 cm.
Triângulo retângulo
42 Coleção Estudo
08. (USS-RJ) Em um triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é o dobro do produto dos catetos. Então, um 
dos ângulos agudos do triângulo vale
A) 30° B) 60° C) 45° D) 15° E) 10°
09. (Mackenzie-SP) A circunferência de raio a	é	tangente	às	
duas	semicircunferências	menores	e	à	semicircunferência	
maior. Se MN = NP = R, então a é igual a
a
M N P
A) R
2
2
 D) 
R
3
B) R
3
2
 E) 
R
2
C) 
R
4
10. (FUVEST-SP) A secção transversal de um maço de cigarros 
é um retângulo que acomoda exatamente os cigarros 
como	na	figura.	Se	o	raio	dos	cigarros	é	r, as dimensões 
do retângulo são
A) 15r e 2r(1 + ¹3) D) 15r e 3r
B) 7r e 3r E) (2 + 3¹3)r e 2r¹3
C) 15r e 6r
11. (UNESP) Uma gangorra é formada por uma haste rígida 
AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, 
como	na	figura.	Quando	a	extremidade	B da haste toca o 
chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é
DC = CE = DE = 1 m
A
B
1,2
 m
D E
C
1,8
 m
A) ¹3 m. D) 5 3
6
 m.
B) 
3
3
 m. E) 2¹2 m.
C) 
6 3
5
 m.
12. (UFRJ)	Na	figura,	o	triângulo	AEC	é	equilátero,	e	ABCD	é	
um quadrado de lado 2 cm. CALCULE a distância BE.
A
D
B
E
C
13.	 (UFF-RJ)	 Na	 figura	 a	 seguir,	 os	 triângulos	 ABC	 e	DEF	
são equiláteros. Sabendo que AB, CD e DE medem, 
respectivamente, 6 m, 4 m e 4 m, CALCULE a medida 
de BE.
B
E
FDCA
14. (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira 
num	 caminhão	 de	 largura	 2,5	m,	 conforme	 a	 figura	 a	
seguir. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base 
mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é
h
2,5 m
A) 
1 7
2
+
 
B) 
1 7
3
+
 
C) 
1 7
4
+
 
D) 1 + 
7
3
 
E) 1 + 
7
4
15. (FUVEST-SP) Em um triângulo retângulo OAB, retângulo 
em O, com OA = a e OB = b, são dados os pontos P em 
OA e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = x. 
Nessas condições, o valor de x é
A B
O
Q
P
A) ¹ab – a – b D) a + b + ¹2ab
B) a + b – ¹2ab E) ¹ab + a + b
C) ab
Frente D Módulo 07
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
43Editora Bernoulli
16. (FCMSC-SP) Seja um triângulo ABC, retângulo em A, tal 
que AB = 30 cm e BC = 50 cm. Se um ponto D émarcado 
no lado AC, de modo que BD = DC, então o segmento 
DC mede
A) 31,25 cm. 
B) 32,5 cm. 
C) 31,75 cm.
D) 32 cm.
E) 32,25 cm.
17. (FUVEST-SP) Em uma semicircunferência de centro C e 
raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D 
o ponto em que a bissetriz do ângulo BCA intercepta a 
semicircunferência. O comprimento da corda AD é
B
D
A
C
R
A) R 2 3− 
B) R 3 2− 
C) R 2 1−
D) R 3 1−
E) R 3 2−
SEÇÃO ENEM
01. Antônio adora soltar pipas. Para confeccionar uma pipa 
nova, ele faz uma armação com dois quadrados iguais 
ABCD e EFGH, ambos com lado a e centro O, conforme 
a	figura.	Se	EP	=	2	cm,	então	podemos	afirmar	que	o	
lado a do quadrado é, em cm,
F
B
G
C
H
D
E
A
2
P O
A) 4(¹3 + 1) 
B) 4 + ¹2 
C) ¹3 + 2
D) 2¹2
E) 4(¹2 + 1)
02. (Enem–2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de 
iluminação de ambiente e necessita saber a altura que 
deverá	instalar	a	luminária	ilustrada	na	figura.
Luminária
g = 5 m
h
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área 
circular	de	28,26	m2, considerando p ≅ 3,14, a altura h 
será igual a 
A) 3 m. D) 9 m.
B) 4 m. E) 16 m.
C) 5 m.
03. Uma torre de transmissão vertical possui vários cabos de 
sustentação, conforme ilustração a seguir:
α
O
A
B
C
Torre
Cabo de sustentação
Pontos de apoio
 do cabo
O local de instalação da torre será representado pelo 
plano α, os pontos de apoio dos cabos serão colocados 
em pontos das circunferências l1, l2, l3, concêntricas e 
de centro O, sendo as medidas dos raios 30 m, 50 m e 
90 m, respectivamente. Os pontos de apoio dos cabos 
serão vértices de um triângulo equilátero, inscrito em cada 
circunferência. Sabendo-se que OA = AB = BC = 60 m, 
e que os pontos de apoio que estão sobre uma mesma 
circunferência são equidistantes um do outro, o valor 
mínimo de cabo com apoio na circunferência de raio 30 m, 
em metros, usada na sustentação da torre é
A) 30¹5 D) 90¹5
B) 55¹5 E) 120¹5
C) 70¹5
Triângulo retângulo
44 Coleção Estudo
04. O cálculo da vela de uma asa-delta é importante para a 
segurança dos praticantes desse esporte. Um dos modelos 
de asa-delta consiste em dois triângulos isósceles, 
ΔABC de base AC e ΔAOC de base AC, ligados ao longo da 
quilha, formando um ângulo de 90º no nariz, conforme 
a	figura	a	seguir:
A
B
C
O Nariz
Quilha
Sabendo que OA = OB = OC = a, então o valor do 
segmento AB é
A) a. 2 2− D) a. 2 3+
B) a. 2 2+ E) 
a
2
C) a. 2 3−
05. Na confecção do número de dentes e da profundidade dos 
sulcos (fresas) das engrenagens, é importante determinar 
as	medidas	do	triângulo	imaginário	ABC,	como	na	figura	
a seguir. Para regulagem das máquinas, é necessário 
calcular a altura BD do triângulo ABC. 
Processo de usinagem para confecção de 
engrenagens cônicas
D
A
C
Roda
B
Pi
n
h
ão
S
eç
ão
 a
p
ro
xi
m
ad
a
d
as
 e
n
g
re
n
ag
en
s
Se, nessa engrenagem, AB = 12 cm e BC = 16 cm, 
a altura BD do triângulo ABC é
A) 9,2 cm. D) 9,5 cm.
B) 9,3 cm. E) 9,6 cm.
C) 9,4 cm.
GABARITO
Fixação
01. B 
02. E 
03. B 
04. 1 
05. E
Propostos
01. D 
02. A 
03. B 
04. A 
05. B 
06. E 
07. E 
08.	 C
09. D
10. A
11. D 
12. BE = ¹6 – ¹2
13. BE = 2¹21
14. E
15. B
16. A
17. A
Seção Enem
01. E
02. B
03. D
04. A
05. E
Frente D Módulo 07
FRENTE
45Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
LEI DOS SENOS
Considere um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma 
circunferência l de raio R. Traçando o diâmetro BD, temos 
que o triângulo BCD é retângulo em C, pois o ângulo BCD 
“enxerga”	um	arco	de	180º.
O ângulo D é congruente ao ângulo A, pois ambos são 
inscritos na circunferência e “enxergam” o mesmo arco B²C.
A
D
CB
O
a
R
c
b
R
A
B C
A
λ
Do triângulo BCD, temos que:
sen A = a
R2
 ⇒ a
sen A
 = 2R
Analogamente, conclui-se que 
b
sen
R e
c
sen
R
B C
= =2 2 .
A Lei dos Senos pode, então, ser enunciada da seguinte 
maneira:
Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos dos 
ângulos opostos a eles, e a constante de proporcionalidade 
é o dobro do raio da circunferência circunscrita a esse 
triângulo, ou seja:
a b c
sen sen senA B C
= = = 2R
OBSERVAÇÃO
Os valores dos senos de dois ângulos suplementares são 
iguais, isto é:
sen	(180°	–	x)	=	sen	x
Por exemplo, sendo x = 60°, temos:
sen x = sen 60° = 
3
2
 e
sen	(180º	–	x)	=	sen	120°	=	sen	60°	=	
3
2
LEI DOS COSSENOS
Considere um triângulo ABC qualquer e sua altura AD.
B
m a – m
B C
A
c b
D
h
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos 
retângulos formados, temos:
c h m
b h a m
h c m I
b h a m
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
= +
= + −




⇒ = −
= + −( )
( )
( )) ( )2 II




Substituindo (I) em (II):
b2 = c2 – m2 + (a – m)2 ⇒ b2 = c2 + a2 – 2.am (III)
Mas, no triângulo ABD, cos B = m
c
 ⇒ m = c.cos B. (IV)
Substituindo (IV) em (III):
b2 = a2 + c2 – 2.ac.cos B
Analogamente, conclui-se que a b c bc
c a b ab
2 2 2
2 2 2
2
2
= + −
= + −




. .cos
. .cos
A
C
.
Lei dos senos e lei dos cossenos 08 D
46 Coleção Estudo
A Lei dos Cossenos pode, então, ser enunciada da seguinte 
maneira:
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados 
é	igual	à	soma	dos	quadrados	dos	outros	dois,	diminuída	do	
dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por 
eles formado, ou seja:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
OBSERVAÇÃO
Os valores dos cossenos de dois ângulos suplementares 
diferem apenas no sinal, ou seja:
cos	(180°	–	x)	=	–cos	x
Por exemplo, sendo x = 45°, temos:
cos x = cos 45° = 
2
2
 e
cos	(180°	–	x)	=	cos	135°	=	–cos	45°	=	–
2
2
NATUREZA DE UM TRIÂNGULO
Um	triângulo,	quanto	aos	seus	ângulos,	é	classificado	em	
acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Sabe-se que, num triângulo, ao maior lado opõe-se o 
maior ângulo, e vice-versa. Assim, conhecendo as medidas 
dos três lados, podemos determinar as medidas dos três 
ângulos	 pela	 Lei	 dos	 Cossenos	 e,	 portanto,	 classificar	
o triângulo.
Seja o triângulo ABC, com lados medindo a, b e c, em 
que a ≥ b ≥ c.
Tem-se	três	possibilidades	quanto	à	natureza	do	triângulo 
ABC:
i) O Δ ABC é acutângulo se, e somente se, a2 < b2 + c2.
ii) O Δ ABC é retângulo se, e somente se, a2 = b2 + c2.
iii) O Δ ABC é obtusângulo se, e somente se, a2 > b2 + c2.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01.	 (UFMG–2006)	Esta	figura	representa	o	quadrilátero	ABCD.
A D
B
120º
C
Sabe-se que AB = 1 cm e AD = 2 cm; o ângulo ABC mede 
120°; e o segmento CD é perpendicular aos segmentos 
AD e BC. Então, é CORRETO	afirmar	que	o	comprimento	
do segmento BD é
A) ¹3 cm. C) 6
2
 cm.
B) 
5
2
 cm. D) ¹2 cm.
02. (PUC Minas) A Lei dos Cossenos diz o seguinte: o quadrado 
do	lado	de	um	triângulo	é	igual	à	soma	dos	quadrados	
dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois 
lados pelo cosseno do ângulo entre eles. O cosseno do 
ângulo q,	do	triângulo	da	figura,	é	igual	a
4
23
θ
A) –
1
2
 D) –
1
5
 
B) –
1
3
 E) –
1
6
 
C) –
1
4
 
03.	 (FUVEST-SP)	Na	figura	a	seguir,	AD	=	2	cm,	AB	=	¹3 cm, 
a medida do ângulo BAC é 30° e BD = DC, em que D é 
ponto do lado AC. A medida do lado BC, em cm, é
A CD
B
A) ¹3 D) ¹6 
B) 2 E) ¹7
C) ¹5 
Frente D Módulo 08
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
47Editora Bernoulli
04. (UFU-MG) Considere o triângulo retângulo a seguir:
C
A B
D
α
Sabendo-se que α = 120º, AB = AC = 1 cm, então AD 
é igual a
A) 
2
3
 cm. 
B) 
2
3
 cm. 
C) 
2
3
 cm. 
D) 
3
2
 cm.
05.	 (UFJF-MG)	Dois	 lados	 de	 um	 triângulo	medem	8	m	 e	 
10 m, e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse 
triângulo mede
A) 2¹21 
B) 2¹31 
C) 2¹41
D) 2¹51
E) 2¹61
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. 
O cosseno do maior ângulo de T é
A) 
5
6
 
B) 
4
5
 
C) 
3
4
 
D) 
2
3
 
E) 
1
8
02.	 (PUC-SP–2008)	Leia	com	atenção	o	problema	proposto	
a Calvin na tira seguinte:
OS MORTOS-VIVOS NÃO
PRECISAMRESOLVER JOGOS
DE PALAVRAS.
O ponto A é duas vezes mais 
distante do ponto C do que o 
ponto B é de A. Se a distância de 
B a C é de 5 cm, qual é a distância 
do ponto A ao ponto C?
O	ESTADO	DE	S.	PAULO,	28	abr.	2007.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um 
triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60º, então a 
resposta CORRETA que Calvin deveria encontrar para o 
problema é, em centímetros,
A) 
5 3
3
 D) 5¹3 
B) 
8 3
3
 E) 10¹3
C) 
10 3
3
 
03. (EESC-SP) Dado o triângulo ABC, tal que AC = 2, 
BC = ¹3, C = π
6
, temos
A) AB = 3 D) AB= ¹2
B) AB = ¹3 E) N.d.a.
C) AB = 2 
04. (PUC-SP) Sejam a, b e c as medidas dos lados de um 
triângulo ABC. Então, se
A) a2 < b2 + c2, o triângulo ABC é retângulo.
B) a2 = b2 + c2, o lado a mede a soma das medidas de 
b e c.
C) a2 > b2 + c2, o ângulo oposto ao lado que mede a é 
obtuso.
D) b2 = a2 + c2, a é a hipotenusa, e b e c são catetos.
E) Nenhuma das anteriores é correta.
Lei dos senos e lei dos cossenos
48 Coleção Estudo
05. (UNESP–2009) Paulo e Marta estão brincando de jogar 
dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo 
joga um dardo, que atinge o alvo num ponto que vamos 
denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que 
atinge um ponto denotado por M,	conforme	figura.
P
OM
14 cm
10 cm
Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O 
do alvo é PO = 10 cm, que a distância de P a M é 
PM = 14 cm e que o ângulo POM mede 120º, a distância, 
em centímetros, do ponto M ao centro O é
A) 12 D) 6 
B) 9 E) 5
C)	 8	 	
06. (FUVEST-SP) ABC é equilátero de lado 4; AM = MC = 2, 
AP = 3 e PB = 1. O perímetro do triângulo APM é
A
B C
P
M
A) 5 + ¹7 
B) 5 + ¹10 
C) 5 + ¹19
D) 5 + 13 6 3−
E) 5 + 13 6 3+
07.	 (UFBA)	Na	 figura	 a	 seguir,	 AB	=	 3	 cm,	 BC	=	 4	 cm	 e	 
B = 60°. AD é, aproximadamente, igual a
A
D
CB
α
α
A)	 1,2	cm.	 	 	 	 D)	 1,8	cm.
B) 1,4 cm. E) 2,04 cm.
C) 1,54 cm.
08. (UFJF-MG–2007) Os lados AB e AC de um triângulo ABC 
formam um ângulo α, tal que cos α = 
1
3
. Sabe-se que 
a medida do lado BC é igual a ¹32 cm e que a medida do 
lado AC é o triplo da medida do lado AB. Sendo b o ângulo 
formado entre os lados AC e BC,	podemos	afirmar	que
A) b < 30°, e a medida do lado AB é um inteiro par.
B) b < 30°, e a medida do lado AB é um inteiro ímpar.
C)	 30°	≤	b < 45°, e a medida do lado AB é um inteiro par.
D)	 30°	≤	b < 45°, e a medida do lado AB é um inteiro ímpar.
E)	 45°	≤	b < 60°, e a medida do lado AB é um inteiro par.
09. (Cesesp-PE) “Com três segmentos de comprimentos 
iguais a 10 cm, 12 cm e 23 cm,
A) é possível formar apenas um triângulo retângulo.”
B) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo.”
C) é possível formar apenas um triângulo acutângulo.”
D) não é possível formar um triângulo.”
E) é possível formar qualquer um dos triângulos: 
retângulo, acutângulo ou obtusângulo.”
10. (PUC-SP) A diagonal de um paralelogramo divide um 
dos ângulos internos em dois outros, um de 60º e 
outro de 45º. A razão entre os lados menor e maior do 
paralelogramo é
A) 
3
6
 
B) 
2
2
 
C) 
2 3
9
 
D) 
6
3
 
E) 
3
3
11. (Cesgranrio) Se 4 cm, 5 cm e 6 cm são as medidas dos 
lados de um triângulo, então o cosseno do seu menor 
ângulo vale
A) 
5
6
 
B) 
4
5
 
C) 
3
4
 
D) 
2
3
 
E) 
1
2
Frente D Módulo 08
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
49Editora Bernoulli
12. (UFG) No triângulo a seguir, os valores de x e y, nessa 
ordem, são
15º
135º
x
y
¹2
A) 2 e ¹3 
B) ¹3 – 1 e 2 
C) 
2 3
3
6 2
3
e
−
D) 
6 2
3
2 3
3
−
e
E) 2 e ¹3 – 1
13.	 (FESP-PR)	Na	figura	a	seguir,	ABC	e	BDE	são	triângulos	
equiláteros de lados 2a e a, respectivamente. Podemos 
afirmar,	então,	que	o	segmento	CD mede
A E
D
C
B
A) 
5
2
a
 D) a¹2
B) 
3
2
a
 E) a¹3
C) 2a 
14. (UFC) Os lados AC e CD dos triângulos equiláteros ABC e 
CED medem, respectivamente, 6 m e 3 m. Os segmentos AC 
e CD estão numa reta r, são consecutivos e AD mede 9 m. 
Se os vértices B e E estão no mesmo semiplano 
determinado por r, então o perímetro, em metros, do 
quadrilátero ABED é igual a
A) 3(6 + ¹3) 
B) 3 6
5
3
+








 
C) 3 7
2
2
+








D) 3 8
2
4
−








E) 3 7
3
2
+








15. (FEI-SP) Assinale a alternativa FALSA quanto ao tipo de 
triângulo, dados os lados a, b e c.
A) Se a = 13, b = 5, c = 12, o triângulo é retângulo.
B)	 Se	a	=	18,	b	=	5,	c	=	12,	é	um	triângulo.
C) Se a = 5, b = 5, c = 5, o triângulo é equilátero.
D) Se a = 5, b = 7, c = 7, o triângulo é isósceles.
E) Se a = 1, b = 2, c = 3, não é triângulo.
16. (ITA-SP) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, 
tem um lado medindo 
20
π
 cm, cujo ângulo oposto é de 15º. 
O comprimento da circunferência, em cm, é
A) 20¹2(1 + ¹3) 
B) 40(2 + ¹3) 
C)	 80(1 + ¹3)
D) 10(2¹3 + 5)
E) 20(1 + ¹3)
17. (Mackenzie-SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa, 
em	escala	1:10	000,	como	na	figura.	Das	alternativas,	a	
que MELHOR se aproxima de distância entre as ilhas A e 
B é
B
A
105º
30º
C12 cm
A) 2,3 km. 
B) 2,1 km. 
C) 1,9 km. 
D) 1,4 km.
E) 1,7 km.
18. (UFPE–2007) Na ilustração a seguir, ABCD e ABEF são 
retângulos, e o ângulo DAF mede 60°. Se AB mede 
2¹30, BE mede 6 e BC mede 10, qual a distância entre 
os vértices C e F?
A
60º
D
C B
E
F
Lei dos senos e lei dos cossenos
50 Coleção Estudo
19. (ITA-SP) Num triângulo ABC, BC = 4 cm, o ângulo C mede 
30° e a projeção do lado AB sobre BC mede 2,5 cm. 
O comprimento da mediana que sai do vértice A mede
A) 1 cm. 
B) ¹2 cm. 
C) 0,9 cm.
D) ¹3 cm.
E) 2 cm.
20. (Unifor-CE) Um terreno de forma triangular tem frentes 
de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um 
ângulo de 120º. A medida do terceiro lado do terreno, 
em metros, é
A) 10¹5 
B) 10¹6 
C) 10¹7
D) 26
E) 20¹2
SEÇÃO ENEM
01. Em escolas infantis, é comum encontrar um brinquedo, 
chamado escorregador, constituído de uma superfície 
plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças 
deslizam, e de uma escada. No pátio da escolinha Casa 
Feliz, há um escorregador, apoiado em um piso plano 
e	horizontal,	cuja	escada	tem	8	degraus	espaçados	de	
25 cm e forma um ângulo de 60º com o piso.
60º 45º
O comprimento da rampa, sabendo-se que ela forma com 
o chão um ângulo de 45º, é de
A) ¹3 m. 
B) ¹6 m. 
C) 2¹2 m.
D) 2¹3 m.
E) 2¹6 m.
02. Uma empresa ao construir uma linha férrea acaba por 
deparar-se com uma nascente de água e seu curso será 
alterado para garantir um custo menor de construção, 
figuras	 1	 e	 2.	 Sabe-se	 que	 o	 aumento	 do	 custo	 de	
construção depende da diferença entre a distância efetiva 
de construção (soma das distâncias dos segmentos AC 
e BC) e a distância inicialmente planejada (medida do 
segmento AB). O valor encontrado pela construtora nessa 
diferença de percurso, em km, é
A
60°
10 km
Figura 2
Figura 1
20 kmC
B
A) 5 3 1−( )
B) 5 2 3−( )
C) 10 3 1−( )
D) 10 2 3−( )
E) 10 3 3−( )
GABARITO
Fixação
01. A 02. C 03. A 04. A 05. A
Propostos
01. E 11. C
02. C 12. E
03. E 13. E
04. C 14. A
05. D 15. B
06. A 16. A
07. C 17. E
08.	 A	 	 	 18.	 14
09. D 19. A
10. D 20. C
Seção Enem
01. B 02. E
Frente D Módulo 08
FRENTE
51Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
ELIPSE
Considerem-se, num plano α,	dois	pontos	fixos	e	distintos	
F1 e F2, e seja 2c a distância entre eles. Uma elipse E é o 
conjunto dos pontos de α, cuja soma das distâncias a F1 e F2 
é uma constante 2a maior que 2c.
F1
2c
PE
F2
F1 e F2: focos da elipse;
F1F2 = 2c: distância focal;
Em símbolos: P ∈ E ⇔ PF1 + PF2 = 2a
ELEMENTOS DA ELIPSE
i) A elipse possui dois eixos de simetria A1A2 e B1B2 
perpendiculares em C, ponto médio de A1A2 e B1B2.
 A1A2 é chamado eixo maior.
 B1B2 é chamado eixo menor. 
 C é chamado centro da elipse.
A1 C
A2
B2
B1
E
ii) O eixo maior A1A2 tem medida 2a. De fato:
 A1 ∈ E ⇒ A1F1 + A1F2 = 2a (1)
 Mas, A1F1 = A2F2 (simetria). (2)
 Substituindo(2) em (1), temos:
 A2F2 + A1F2 = 2a ⇒ A1A2 = 2a
F1
2a
E
F2
A1 A2C
iii) Os segmentos B1F1 e B1F2 têm medida a. De fato:
 B1F1 + B1F2 = 2a ⇒ B1F1 = B1F2 = a
F1
E
a a
F2
B1
B2
C
iv) Relação fundamental:
 Sendo B1B2 = 2b, então B1C = b.
F1
E
a b
B1
B2
Cc
 Do triângulo CB1F1, tem-se:
a2 = b2 + c2
v) Chama-se excentricidade da elipse o número e, tal que:
e = c
a
 (0 < e < 1)
Cônicas 13 E
52 Coleção Estudo
EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE
Serão estudadas as equações das elipses que possuem 
eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. Haverá 
dois casos:
1º caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x.
F1 F2
P(x, y)
C
c c
y
xx0
y0
O
Sendo C(x0, y0) o centro da elipse, tem-se:
F1(x0 – c, y0) e F2(x0 + c, y0)
Se P(x, y) é um ponto genérico da elipse, pode-se escrever:
PF1 + PF2 = 2a ⇒
¹(x – x0 + c)2 + (y – y0)2 + ¹(x – x0 – c)2 + (y – y0)2 = 2a
Fazendo-se x – x0 = X e y – y0	=	Y,	vem:
¹(X + c)2 + Y2 + ¹(X – c)2 + Y2 = 2a ⇒
¹(X + c)2 + Y2 = 2a – ¹(X – c)2 + Y2
Elevando-se ao quadrado, tem-se:
X2 + 2Xc + c2	+	Y2 = 4a2 – 4a¹(X – c)2 + Y2 + X2 – 2Xc + c2	+	Y2
Simplificando-se	e	isolando-se	o	radical,	tem-se:
4a¹(X – c)2 + Y2 = 4a2 – 4Xc
Dividindo-se por 4 e elevando-se ao quadrado, tem-se:
a2X2 – 2Xa2c + a2c2 + a2Y2 = a4 – 2Xa2c + X2c2
Agrupando-se, tem-se:
(a2 – c2)X2 + a2Y2 = a2(a2 – c2)
Como a2 – c2 = b2,	a	equação	fica:
b2X2 + a2Y2 = a2b2
Dividindo-se ambos os membros por a2b2:
X
a
Y
b
2
2
2
2
+ = 1
Como X = x – x0	e	Y	=	y	–	y0, tem-se:
( ) ( )x x
a
y y
b
−
+
−
0
2
2
0
2
2
 = 1
Caso particular: C(0, 0) ⇒ 
x
a
y
b
2
2
2
2
+ = 1
2º caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
F1
F2
P(x, y)
C
c
c
y
xx0
y0
O
Sendo C(x0, y0) o centro da elipse, tem-se:
F1(x0, y0 + c) e F2(x0, y0 – c)
Se P(x, y) é um ponto genérico da elipse, pode-se escrever:
PF1 + PF2 = 2a
E, com procedimento análogo ao anterior, chega-se a:
( ) ( )x x
b
y y
a
−
+
−
0
2
2
0
2
2
 = 1
Caso particular: C(0, 0) ⇒ 
x
b
y
a
2
2
2
2
+ = 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01.	 Na	figura	a	seguir,	o	ponto	P	pertence	à	elipse	de	focos	
F1 e F2. Dar a equação reduzida da elipse.
F1(–3, 0) F2(3, 0)
y
xO
2
5


P 4,
1


Resolução:
O centro C da elipse é o ponto médio de F1F2.
Logo, C(0, 0).
F1 F2
y
x
P
C
2a
Frente E Módulo 13
M
A
TE
M
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TI
C
A
53Editora Bernoulli
Sendo 2a a medida do eixo maior, então 2a = PF1 + PF2, 
ou seja:
2a = ( ) ( )4 3
12
5
0 4 3
12
5
02
2
2
2
+ + −





 + − + −





 ⇒
2a = 49
144
25
1
144
25
+ + + ⇒ 2a = 37
5
13
5
+ ⇒ 
2a = 10 ⇒ a = 5
Sendo b a medida do semieixo menor, tem-se:
F1 F2
y
x
5b
C 3
b2 + c2 = a2 ⇒ b2 + 32 = 52 ⇒ b = 4
Portanto, a equação da elipse é 
x y2 2
25 16
+ = 1.
HIPÉRBOLE
Considerem-se num plano α,	dois	pontos	fixos	e	distintos	
F1 e F2, e seja 2c a distância entre eles. Uma hipérbole 
H é o conjunto dos pontos de α cuja diferença, em valor 
absoluto, das distâncias a F1 e F2 é uma constante 2a 
menor que 2c.
F1 F2
P
2c
H
F1 e F2: focos da hipérbole.
F1F2 = 2c: distância focal.
Em símbolos: P ∈ H ⇔ |PF1 – PF2| = 2a
ELEMENTOS DA HIPÉRBOLE
i) A hipérbole possui dois eixos de simetria A1A2 e B1B2 
perpendiculares em C, ponto médio de A1A2 e B1B2.
 A1A2 é chamado eixo real (ou transverso).
 B1B2 é chamado eixo imaginário.
 C é chamado centro da hipérbole.
F1
B1
A1 A2
B2
C
F2
H
ii) O eixo real A1A2 tem medida 2a. De fato:
 A1 ∈ H ⇔ A1F2 – A1F1 = 2a (1)
 Mas, A1F1 = A2F2 (simetria). (2)
 Substituindo (2) em (1), temos:
A1F2 – A2F2 = 2a ⇒ A1A2 = 2a
 
F1 A1 A2
F2
H
2a
iii) O ponto B1 é tal que os segmentos B1A1 e B1A2 têm 
medida c.
iv) Relação fundamental:
 Sendo B1B2 = 2b, então B1C = b.
B1
A1 A2a
b
c
C
H
 Do triângulo CB1A2, tem-se:
c2 = a2 + b2
Cônicas
54 Coleção Estudo
v) Chama-se excentricidade da hipérbole o número e, 
tal que:
e = c
a
 (e > 1)
 OBSERVAÇÃO
 Hipérbole equilátera é aquela em que a = b. Sua 
excentricidade é ¹2.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA 
HIPÉRBOLE
Serão estudadas as equações das hipérboles que possuem 
eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. Haverá 
dois casos:
1º caso: O eixo real é paralelo ao eixo x.
Sendo C(x0, y0) o centro da hipérbole, tem-se:
F1(x0 – c, y0) e F2(x0 + c, y0)
F1 c
C
F2
P(x, y)
Hy
xx0
y0
O
� ���� ���
c
� ���� ���
Se P(x, y) é um ponto genérico da hipérbole, pode-se escrever:
|PF1 – PF2| = 2a ⇒
( ) ( ) ( ) ( )x x c y y x x c y y a− + + − − − − + − =
0
2
0
2
0
2
0
2 2
Fazendo-se x – x0 = X e y – y0	=	Y,	vem:
( ) ( )X c Y X c Y a+ + − − + =2 2 2 2 2
Eliminando-se o módulo, tem-se:
( ) ( )X c Y X c Y a+ + = − + ±2 2 2 2 2
Elevando-se ao quadrado, tem-se:
X2 + 2Xc + c2	+	Y2 = X2 – 2Xc + c2	+	Y2 ± 4a ( )X c Y− +2 2 + 4a2
Simplificando-se	e	isolando-se	o	radical:
± 4a ( )X c Y− +2 2 = 4a2 – 4Xc
Dividindo-se por 4 e elevando-se ao quadrado, tem-se:
a2X2 – 2Xa2c + a2c2 + a2Y2 = a4 – 2Xa2c + X2c2
Agrupando-se, tem-se:
(c2 – a2)X2 – a2Y2 = a2(c2 – a2)
Substituindo c2 – a2 = b2, tem-se a equação:
b2X2 – a2Y2 = a2b2
Dividindo-se ambos os membros por a2b2:
X
a
Y
b
2
2
2
2
− = 1
Como X = x – x0	e	Y	=	y	–	y0, tem-se:
( ) ( )x x
a
y y
b
−
−
−
0
2
2
0
2
2
 = 1
Caso particular: C(0, 0) ⇒ 
x
a
y
b
2
2
2
2
− = 1
2º caso: O eixo real é paralelo ao eixo y.
Sendo C(x0, y0) o centro da hipérbole, tem-se:
F1(x0, y0 + c) e F2(x0, y0 – c)
F1
C
F2
P(x, y)
y
xx0
y0
O
Se P(x, y) é um ponto genérico da hipérbole, pode-se escrever:
|PF1 – PF2| = 2a
E, com procedimento análogo ao anterior, chega-se a:
( ) ( )y y
a
x x
b
−
−
−
0
2
2
0
2
2
 = 1
Caso particular: C(0, 0) ⇒ 
y
a
x
b
2
2
2
2
− = 1
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TI
C
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55Editora Bernoulli
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. Na	figura	a	seguir,	o	ponto	P	pertence	à	hipérbole	de	
focos F1 e F2. Dar a equação reduzida da hipérbole.
F1(–¹5, 0) F2(¹5, 0)
P(¹5, 4)
H
y
xC
Resolução:
O centro C da hipérbole é o ponto médio de F1F2.
Logo, C(0, 0).
Sendo 2a a medida do eixo real, tem-se 2a = |PF1 – PF2|, 
ou seja:
2a = 5 5 4 0 5 5 4 0
2 2 2 2
+( ) + −( ) − −( ) + −( ) ⇒
2a = 2 5 4 0 4
2
2 2 2( ) + − + ⇒ 2a = 36 16– ⇒
2a = |6 – 4| ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1
Sendo b a medida do semieixo imaginário, tem-se:
H
b
1
¹5
c2 = a2 + b2 ⇒ b2 = c2 – a2 ⇒
b2 =(¹5)2 – 1 ⇒ b2 = 4 ⇒ b = 2
Portanto, a equação da hipérbole é x
y2
2
4
− = 1.
PARÁBOLA
Considerem-se, num plano α, uma reta d	e	um	ponto	fixo	F 
não pertencente a d. Uma parábola P é o conjunto dos 
pontos de α que equidistam de F e d.
P
P’
d
p
P
FVF’ e
F: foco da parábola.
d: diretriz da parábola.
Em símbolos: P ∈ P ⇔ PF = PP’
ELEMENTOS DA PARÁBOLA
A parábola possui um eixo de simetria e, passando por F 
e	perpendicular	à	diretriz	d.
V é chamado vértice da parábola.
FF’ = p é chamado parâmetro da parábola.
FV = VF’ = p
2
 (pois V equidista de F e d).
EQUAÇÃO REDUZIDA DA 
PARÁBOLA
Serão estudadas as equações das parábolas que possuem 
eixos de simetria paralelos a um dos eixos coordenados. 
Haverá dois casos:
1º caso: O eixo de simetria é paralelo ao eixo x.
i) Concavidade para a direita:
P
P’
F’
V
d
P(x, y)
F
e
y
xx0
y0
O
� ��� ��
p
2
� ��� ��
p
2
 Sendo V(x0, y0) o vértice da parábola e p o parâmetro, 
tem-se: 
 F x
p
y
0 02
+



, e (d) x = x0 – 
p
2
Cônicas
56 Coleção Estudo
 Se P(x, y) é um ponto genérico da parábola, pode-se 
escrever:
 PF = PP’, em que P’ x
p
y
0 2
−



, , ou seja:
 x x
p
y y x x
p
y y− −





 + −( ) = − +




 + −( )0
2
0
2
0
2
2
2 2
 Fazendo-se x – x0 = X e y – y0	=	Y,	vem:
X
p
Y X
p−





 + = +





 +
2 2
0
2
2
2
2
 Elevando-se ao quadrado, tem-se:
X2 – 2.p
2
X + 
p2
4
	+	Y2 = X2 + 2.p
2
X + 
p2
4
	 Simplificando,	fica:
Y2 = 2pX
 Como X = x – x0		e		Y	=	y	–	y0, tem-se:
(y – y0)
2 = 2p(x – x0)
Caso particular: V(0, 0) ⇒ y2 = 2px
ii) Concavidade para a esquerda:
P
P’
F’
V
d
P(x, y)
Fe
y
xx0
y0
O
������
p
2
������
p
2
 Sendo V(x0, y0) o vértice da parábola e p o parâmetro, 
tem-se:
 F x
p
y
0 02
−





, e (d) x = x0 + 
p
2
 Se P(x, y) é um ponto genérico da parábola, pode-se 
escrever:
PF = PP’, em que P’ x
p
y
0 2
+



,
 E, com procedimento análogo ao anterior, chega-se a:
(y – y0)
2 = –2p(x – x0)
Caso particular: V(0, 0) ⇒ y2 = –2px
EXERCÍCIO RESOLVIDO
03. Dar a equação reduzida da parábola com vértice (0, 0) e 
foco (1, 0).
Resolução:
p
2
 = d(F, V) = 1 ⇒ p = 2
Como a concavidade é para a direita, temos:
y2 = 2.2x ⇒ y2 = 4x
2º caso: O eixo de simetria é paralelo ao eixo y.
i) Concavidade para cima:
P
P’F’
V
d
P(x, y)
F
ey
xx0
y0
O
�
�
��
��p
2
�
�
��
��p
2
 Sendo V(x0, y0) o vértice da parábola e p o parâmetro, 
tem-se:
F x y
p
0 0 2
, +





 e (d) y = y0 – 
p
2
 Se P(x, y) é um ponto genérico da parábola, pode-se 
escrever:
PF = PP’, em que P’ x y
p
,
0 2
−






 E, com procedimento análogo ao inicial, chega-se a:
(x – x0)
2 = 2p(y – y0)
 Caso particular: V(0, 0) ⇒ x2 = 2py
ii) Concavidade para baixo:
P
P’F’
V
d
P(x, y)
F
ey
xx0
y0
O
�
�
��
��
p
2
�
�
��
��
p
2
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 Sendo V(x0, y0) o vértice da parábola e p o parâmetro, 
tem-se:
F x y
p
0 0 2
, −





 e (d) y = y0 + 
p
2
 Se P(x, y) é um ponto genérico da parábola, pode-se 
escrever:
PF = PP’, em que P’ x y
p
,
0 2
+






 E, com procedimento análogo ao anterior, chega-se a:
(x – x0)
2 = –2p(y – y0)
Caso particular: V(0, 0) ⇒ x2 = –2py
04. Dar a equação reduzida da parábola com vértice (0, 0) e 
foco (0, –2).
Resolução:
p
2
 = d(F, V) = 2 ⇒ p = 4
Como a concavidade é para baixo, temos:
x2 = –2.4y ⇒ x2	=	–8y
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFTM-MG–2007) Considere um corpo celeste (hipotético) 
que descreve uma órbita elíptica ao redor do Sol, e que 
o Sol esteja num foco da elipse. Quando o corpo celeste 
encontra-se no vértice A2	da	elipse	da	figura,	sua	distância	
ao	Sol	é	de	0,808.	Sabendo-se	que	F1 e F2 são os focos da 
elipse, e que a excentricidade de sua órbita é e = 0,01, 
então a distância x ao Sol, quando o corpo encontra-se 
no vértice A1, é igual a
2a
Sol
c c
aa
b
F1
A1 A2
F2
A) 2,203 
B) 0,792 
C)	 0,808
D) 1,616
E) 0,533
02. (UNIRIO-RJ) A área do triângulo PF1F2,	em	que	P(2,	–8)	
e F1 e F2 são os focos da elipse de equação 
x y2 2
25 9
+ = 1, 
é igual a
A)	 8	 	 	 	 	
B) 20 
C) 64 
D) 16
E) 32
03. ( C e s e s p - P E ) D a d a a e l i p s e d e e q u a ç ã o 
25x2 + 9y2 – 90y = 0, assinale a alternativa que nos 
indica CORRETAMENTE as coordenadas do centro, dos 
focos, as medidas do eixo maior e menor e a distância 
focal, respectivamente.
A) C(0, 0), F1(0, –4), F2(0,	4),	10,	6,	8
B) C(0, 5), F1(0, 1), F2(0,	5),	4,	8,	6
C) C(3, 0), F1(1, 0), F2(5, 0), 10, 6, 3
D) C(5, 0), F1(1, 0), F2(9,	0),	6,	8,	10
E) C(0, 5), F1(0, 1), F2(0,	9),	10,	6,	8
04.	 (UFJF-MG)	Considere	as	afirmativas:
I. As retas de equações 3x – 2y – 5 = 0 e 3x – 2y = 0 
são paralelas;
II. A equação 
x y2 2
5 2
+ = 1 representa uma hipérbole;
III. A equação 4y = x2 representa uma parábola.
Assinale a alternativa CORRETA.
A) Todas são verdadeiras. 
B) Apenas II é falsa. 
C) I e II são falsas.
D) II e III são verdadeiras.
E) Todas são falsas.
05. (FUVEST-SP) O lugar geométrico dos pontos equidistantes 
da reta y = 0 e da circunferência x2 + (y – 2)2 = 1 é
A) uma reta. 
B) uma semirreta. 
C) uma circunferência.
D) uma elipse.
E) uma parábola.
Cônicas
58 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UNESP) A equação da elipse de focos F1 = (–2, 0), F2 = (2, 0) 
e eixo maior igual a 6 é dada por
A) 
x y2 2
10 20
+ = 1
B) 
x y2 2
9 5
+ = 1
C) 
x y2 2
9 15
+ = 1
D) 
x y2 2
6 15
+ = 1
E) 
x y2 2
4 25
+ = 1
02. (Unicamp-SP) Os valores de k ∈ , para que o ponto 
A(–2,	k)	pertença	à	elipse	9x2 + 4y2	+	18x	–	8y	–	23	=	0	são
A) k = 1 ± 
3 3
2
 
B) k = 2 ± 
3 3
2
 
C) k = 3 ± 
3 3
2
D) k = 4 ± 
3 3
2
E) k = –1 ± 
3 3
2
03. (UFPE) Considere:
 S = ( , ) | ( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y∈ − + − + − + − ={ }2 2 2 2 21 2 2 4 5
Assinale a ÚNICA alternativa que, no plano xy, 
corresponde ao	gráfico	de	S.
A) Uma circunferência de centro em (1, 2).
B) Duas retas perpendiculares.
C) Uma elipse.
D) Uma parábola.
E) Um segmento de reta.
04. (UFC) O número de pontos de interseção das curvas 
x2 + y2 = 4 e 
 x2
15
 + 
 y2
2
 = 1 é igual a
A) 0 
B) 3 
C) 4
D) 5
E) 6
05. (AFA-SP) A distância focal da elipse x2 + 16y2 = 4 é
A) 1 
B) 3 
C) ¹15
D) ¹20
06. (AFA-SP) Se A(10, 0) e B(–5, y) são pontos de uma elipse 
cujos focos são F1(–8,	0)	e	F2(8,	0),	então	o	perímetro	do	
triângulo BF1F2 mede
A) 24 
B) 26 
C) 36
D)	 38
07. (UFPE) Considere, no sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, as elipses
x
a
y
b
e
x
b
y
a
2
2
2
2
2
2
2
2
1+ = + = 1
Assinale a alternativa que completa CORRETAMENTE 
a	sentença:	“Os	pontos	comuns	às	duas	elipses	dadas
A) determinam apenas as retas y = x ou y = –x.”
B) estão sobre a reta y = x.”
C) estão sobre a circunferência x2 + y2 = a2.”
D) satisfazem a equação y2 – x2 = 0.”
E) determinam um quadrado de lados não paralelos aos 
eixos coordenados.”
08. (AFA-SP) A equação reduzida da cônica, representada no 
gráfico	a	seguir,	é
y
9
xO 2–1
1
A) 
( ) ( )x y− + −4
9
3
16
2 2
 = 1
B) 
( ) ( )x y− + +5
9
1
16
2 2
 = 1
C) 
( ) ( )x y+ + −1
16
5
9
2 2
 = 1
D) 
( ) ( )x y+ + −1
9
5
16
2 2
 = 1
Frente E Módulo 13
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C
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59Editora Bernoulli
09. (UFRN) A equação 9x2 + 4y2	 –	 18x	 –	 8y	 –	 23	 =	 0	
representa uma
A) circunferência. 
B) hipérbole. 
C) parábola.
D) elipse.
E) reta.
10. (UFV-MG–2007) Um satélite descreve uma órbita 
elíptica em torno da Terra. Considerando a Terra como 
um ponto na origem do sistema de coordenadas, 
a equação da órb i ta do saté l i te é dada por 
9x2 + 25y2	 –	 288x	–	1	296	=	0,	 em	que	x e y são 
medidos em milhares de quilômetros. Nessas condições, 
é CORRETO	afirmar	que
A)	 a	menor	distância	do	satélite	à	Terra	é	16	000	km.
B)	 a	distância	do	ponto	(16,	12)	da	órbita	do	satélite	à	
Terra	é	28	000	km.
C)	 a	maior	distância	do	satélite	à	Terra	é	36	000	km.
D) a órbita do satélite passa pelo ponto de coordenadas 
(0, 36).
E) a excentricidade da órbita do satélite é 
3
4
.
11. (Unimontes-MG–2006) É um fato bem conhecido que, 
em um espelho parabólico convexo, todo raio incidente, 
paralelo	ao	eixo	de	simetria,	é	refletido,	passando	pelo	
foco. Um raio incide em uma parábola de equação 
x2 = 4y, paralelamente ao eixo dos y, conforme 
o desenho.
raio refletido
F
y
x2 = 4y
raio incidente
xO 1
A	equação	da	reta	suporte	do	raio	refletido	é
A) –3y + 4x + 4 = 0 
B) 4x – 3y – 4 = 0 
C) 3x + 4y – 4 = 0
D) –4x – 3y – 4 = 0
12. (AFA-SP–2007) Considere as curvas, dadas pelas 
equações
(I) 16x2 + 4y2	+	128x	–	24y	+	228	=	0
(II) y = 7 – |x|
(III) y2 – 6y – x + 5 = 0
Analise	 cada	 afirmação	 a	 seguir,	 classificando-a	 em	
verdadeira ou falsa.
(01)	O	gráfico	de	(I)	é	representado	por	uma	elipse,	de	
(II), por duas retas e de (III), por uma parábola.
(02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com 
o vértice de (III).
(04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um 
número menor que –1.
(08)	A	excentricidade	de	(I)	é	igual	a	cos	
π
6
. 
A soma dos itens VERDADEIROS é um número do 
intervalo
A)	 [8,	11]		
B) [4, 7] 
C) [12, 15] 
D) [1, 3]
13. (Unicamp-SP) Assinale a ÚNICA alternativa que 
corresponde	à	equação	da	parábola	que	tem	por	foco	o	
ponto F(3, 0) e por diretriz a reta x + 3 = 0.
A) y – 12x2 = 0 
B) y2 – 12x = 0 
C) y2 – 9x = 0
D) y – 9x2 = 0
E) y2 + 12x = 0
14.	 (UFPE)	Um	determinado	fio	é	constituído	de	um	material	
que, quando preso a dois pontos distantes um do outro 
de 20 m e ambos a 13 m dosolo, toma a forma de uma 
parábola,	estando	o	ponto	mais	baixo	do	fio	a	3	m	do	solo. 
Assinale	 a	 alternativa	 que	 corresponde	 à	 parábola	 no	
sistema de coordenadas cartesianas xOy, em que o eixo 
Oy	contém	o	ponto	mais	baixo	do	fio	e	o	eixo	Ox	está	
sobre o solo.
A) y = x2 + x + 3 
B) 10y = –x2 + 30 
C) y = x2 + 30 
D) 5y = x2 + 15
E) 10y = x2 + 30
Cônicas
60 Coleção Estudo
15. (UFF-RJ) Na parede retangular de um palácio renascentista, 
há um vitral circular e, acima dele, na mesma parede, 
uma	estreita	faixa	reta,	conforme	a	figura.
vitral
faixa
Essa parede foi ornamentada com um elemento 
decorativo em forma de uma curva, que tem a seguinte 
característica: cada ponto da curva está situado a igual 
distância	do	centro	do	vitral	e	da	faixa.	Pode-se	afirmar	
que o elemento decorativo tem a forma de um arco
A) de elipse. 
B) de hipérbole. 
C) de parábola.
D) de circunferência.
E) de senoide.
16. (Cesgranrio) Uma montagem comum em laboratórios 
escolares de Ciências é constituída por um plano 
inclinado, de altura aproximadamente igual a 40 cm, 
com 4 canaletas paralelas e apoiado em uma mesa, 
forrada de feltro, cuja borda é curvilínea. Sobre a mesa, 
há um ponto marcado no qual se coloca uma bola de 
gude. A experiência consiste em largar, do alto do plano 
inclinado, outra bola de gude, a qual, depois de rolar por 
uma das canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente 
com a borda da mesa e com a primeira bola. A borda da 
mesa tem a forma de um arco de
A) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos.
B) parábola, e o ponto marcado é seu foco.
C) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus focos.
D) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro.
E) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.
17. (Cesesp-PE) Considere a parábola
2y – x2 – 10x + 2 = 0
Assinale a ÚNICA alternativa que representa as 
coordenadas do foco e a equação da reta diretriz.
A) − −





5
27
2
, e y = 12 
B) (–5, –13) e y = –14 
C) (–2, 4) e y = 14
D) (–5, –13) e y = 12
E) (–5, –13) e y = –12
18. (EN-RJ) A equação da parábola, cujo foco é o ponto (1, 4) 
e cuja diretriz é a reta y = 3, é
A) y = x2 – 2x + 4 
B) y = –x2	+	x	–	8	
C) y = 
x2
2
 – x + 4
D) y = 
x x2
2 2
− + 2
E) x = y2 – y + 4
19. (AFA-SP) O parâmetro da parábola que passa pelo ponto 
P(6, 2) e cujo vértice V(3, 0) é o seu ponto de tangência 
com o eixo das abscissas é
A) 
9
5
 
B) 
9
4
 
C) 3
D) 
9
2
20. (UFF-RJ) Uma reta r é paralela ao eixo x e contém a 
interseção das parábolas y = (x – 1)2 e y = (x – 5)2. 
A equação de r é
A) x = 3 
B) y = 4 
C) y = 3x
D) x = 4y
E) y = 
x
3
GABARITO
Fixação
01. B 02. E 03. E 04. B 05. E
Propostos
01. B 06. C 11. C 16. B
02. A 07. D 12. A 17. B
03.	 C	 08.	 D	 13.	 B	 18.	 C
04. C 09. D 14. E 19. B
05. C 10. C 15. C 20. B
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FRENTE
61Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Ao resolvermos a equação x2 – 4x + 5 =0, encontramos 
x = 2 ± ¹–1, que não são soluções reais. Euler, em 1777, 
chamou ¹–1 de i	(unidade	imaginária),	e	Gauss,	em	1800,	
associou a cada símbolo a + bi o par ordenado (a, b). Esse par 
recebe o nome de número complexo e é representado por 
um ponto no plano.
Im
b
Re
P(a, b)
aO
O número complexo (0, 1) é chamado unidade imaginária 
e será indicado por i, ou seja, (0, 1) = i.
Propriedade fundamental
i2 = –1
FORMA ALGÉBRICA DE UM 
NÚMERO COMPLEXO
Todo número complexo z = (a, b), com a e b reais, pode 
ser escrito na forma z = a + bi, chamada de forma algébrica.
O número real a é chamado de parte real de z e é indicado 
por Re (z). O número real b é chamado de parte imaginária 
de z e é indicado por Im (z).
Se a parte imaginária de z é igual a zero, então z é um 
número real. 
z é real ⇔ Im (z) = 0
Se a parte real de z é igual a zero e a parte imaginária é 
não nula, então z é um número imaginário puro.
z é imaginário puro ⇔ Re (z) = 0 e Im (z) ≠ 0
POTÊNCIAS DE i COM 
EXPOENTE NATURAL
Define-se	potência	de	i com expoente natural da mesma 
maneira	que	se	define	potência	de	um	número	real.
Assim:
i0 = 1 i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1 i8 = (i4)2 = 12 = 1
i1 = i i5 = i4.i = 1.i = i i9 = i8.i = 1.i = i
i2 = i.i = –1 i6 = (i2)3 = (–1)3 = –1 i10 = (i5)2 = i2 = –1
i3 = i2.i = –1.i = –i i7 = i6.i = –1.i = –i i11 = i10.i = –1.i = –i
No	quadro	anterior,	verificamos	que	toda	potência	de	i, 
com expoente natural n, é igual a um dos quatro valores: 
1, i, –1, –i.
Como esse ciclo se repete de quatro em quatro termos, 
para calcularmos uma potência in, procedemos da seguinte 
maneira: dividimos n por 4 e tomamos o resto r, fazendo 
in = ir.
Exemplo
Calcular i70.
70 4
 2 17
Assim, i70 = i2 = –1.
Números complexos:
forma algébrica
14 E
62 Coleção Estudo
IGUALDADE ENTRE NÚMEROS 
COMPLEXOS
Definição
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
∀ {a, b, c, d} ⊂ 
Exemplo
Determinar a e b reais, de modo que
(a – b) + 3i = 2 + ai.
Resolução:
Pela	definição	de	igualdade,	tem-se	que:
a b
a
− =
=




2
3
 ⇒ b = 1
NÚMEROS COMPLEXOS 
OPOSTOS E CONJUGADOS
Definição de opostos
O oposto de um número complexo z = a + bi é 
o número indicado por –z, tal que –z = –a – bi, 
∀ {a, b} ⊂ .
Assim:
i) O oposto de z = 1 – i é –z = –1 + i.
ii) O oposto de z = –2i é –z = 2i.
Definição de conjugados
Chama-se conjugado do número complexo 
z = a + bi, {a, b} ⊂ , o número indicado por z, tal 
que z = a – bi.
Assim:
i) O conjugado de z = 1 – i é z = 1 + i.
ii) O conjugado de z = –2i é z = 2i.
iii) O conjugado de z = 3 é z = 3.
Propriedades
i) z 
=
 = z v) z1 + z2 = z1 + z2
ii) z = z ⇔ z ∈  vi) z1.z2 = z1.z2
iii) z + z = 2 Re (z) vii) 
z
z
z
z
z1
2
1
2
2
0








= ( )≠,
iv) z – z = 2i Im (z) viii) (z)n =( )nz , n ∈ 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
E PROPRIEDADES
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Subtração
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Exemplo
Dados os números
z1 = 3 + i, z2 = –1 + 4i, calcular
A) z1 + z2. B) z1 – z2.
Resolução:
A) z1 + z2 = (3 + i) + (–1 + 4i) = (3 – 1) + (1 + 4)i ⇒ 
 z1 + z2 = 2 + 5i
B) z1 – z2 = z1 + (–z2) = (3 + i) + (1 – 4i) ⇒
 z1 – z2 = (3 + 1) + (1 – 4)i ⇒
 z1 – z2 = 4 – 3i
Multiplicação
Sejam z1 = a + bi e z2 = c + di, aplicando a propriedade 
distributiva, determinamos z1.z2.
z1.z2 = (a + bi).(c + di) = ac +adi + bci + bdi
2
Como i2 = –1, temos:
z1.z2 = (a + bi).(c + di) = ac +adi + bci – bd ⇒
z1.z2 = (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Frente E Módulo 14
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
63Editora Bernoulli
Exemplo
Dados os números complexos
z1 = 3 + i e z2 = –1 + 4i, calcular z1.z2.
Resolução:
z1.z2 = (3 + i).(–1 + 4i) = 3.(–1) + 3.(4i) + i.(–1) + i.(4i) ⇒
z1.z2 = –3 + 12i – i – 4 ⇒
z1.z2 = –7 + 11i
Divisão
Sejam os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di 
e a divisão 
z
z
1
2
, o número z, tal que z = 
z
z
1
2
 é chamado 
quociente de z1 por z2.
Obtém-se a forma algébrica de z do seguinte modo:
i) Toma-se o conjugado de z2, isto é, z2 = c – di.
ii) Multiplicam-se o numerador e o denominador de 
z
z
1
2
 
por z2.
Assim:
z = 
a bi
c di
a bi
c di
c di
c di
ac adi bci bdi
c d
+
+
= +
+
⋅ −
−
= − + −
−
2
2 2ii2
 ⇒
z = a bi
c di
ac bd
c d
bc ad
c d
i
+
+
= +
+
+ −
+2 2 2 2
( )
Exemplo
Dados os números complexos
z1 = 3 + i e z2 = –1 + 4i, calcular 
z
z
1
2
.
Resolução:
z
z
i
i
i
i
i
i
i i i1
2
23
1 4
3
1 4
1 4
1 4
3 12 4= +
− +
= +
− +
⋅ − −
− −
= − − − −
(−− −1 42 2 2) i
 ⇒
z
z
i i1
2
3 13 4
1 16
1 13
17
= − − +
+
= − ⇒
z
z
i1
2
1
17
13
17
= −
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFV-MG) Seja o número complexo z = 1
1
+
−
i
i
, então z725 
é igual a
A) –1 B) 1 C) 2i D) –i E) i
02. (UFU-MG) Se S = i + i2 + i3 + ... + i2 003, em que 
i2 = –1, então S é igual a
A) 0 B) –1 C) i D) i – 1
03. (UFLA-MG–2006) Determine os valores de x, de modo que 
o número complexo z = 2 + (x – 4i)(2 + xi) seja real.
A) ± 2¹2 D) ± ¹2
B) ± 
1
3E) ± ¹3
C) ± 2
04. (UFRGS) (1 + i)15 é igual a
A) 64(1 + i) D) 256(–1 + i)
B)	 128(1	–	i)	 	 	 	 E)	 256(1	+	i)
C)	 128(–1	–	i)
05. (UNIRIO-RJ) Se 2
1
+
+
i
i
 = a + bi, em que i = −1, então 
o valor de a + b é
A) 1 B) 
1
2
 C) 2 D) –1 E) 
3
2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UEL-PR) Sejam os números complexos w = (x – 1) + 2i e 
v = 2x + (y – 3)i, em que x, y ∈ . Se w = v, então
A) x + y = 4 D) x = 2y
B) xy = 5 E) y = 2x
C) x – y = –4
02. (Mackenzie-SP) Se u = 4 + 3i e v = 5 – 2i, então uv é
A) 20 – 6i D) 14 – 7i
B) 14 + 7i E) 26 + 7i
C) 26 – 23i
03. (UFPA) Qual o valor de m para que o produto (2 + mi)(3 + i) 
seja um imaginário puro?
A)	 5	 	 B)	 6	 	 C)	 7	 	 D)	 8	 	 E)	 10
04. (PUC-SP) Se f(z) = z2 – z + 1, então f(1 – i) é igual a
A) i D) i + 1
B) –i + 1 E) –i
C) i – 1
Números complexos: forma algébrica
64 Coleção Estudo
05. (UFRN) Se z = 4 + 2i, então z – 3z vale
A) 6 + i D) 1 – 8i
B) 1 + 8i E) 12 + 6i
C) –8 + 8i
06. (UFS) Se o número complexo z é tal que z = 3 – 2i, então 
(z)2 é igual a
A) 5 D) 9 + 4i
B) 5 – 6i E) 13 + 12i
C) 5 + 12i
07. (UFSM-RS) Sabendo que x é um número real e que a parte 
imaginária do número complexo 
2
2
+
+
i
x i
 é zero, então x é
A) –1 B) 1 C) 2 D) –2 E) 4
08. (PUC-SP) Quantos são os números complexos z que 
satisfazem as condições z2 = 1 e z – z = 0?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
09. (PUC-SP) O número complexo z que verifica a equação 
iz + 2z + i – 1 = 0 é
A) –1 + 2i D) 1 + i
B) –1 + i E) 
1
5
3
5
− i
C) 1 – i
10. (UFBA) Sendo z = 2 – i, o inverso de z2 é
A) 
5 4
41
+ i
 D) 
3
25
4
25
+ i
B) 
2
5
+ i
 E) 
3
25
4
25
− i
C) 
4
25
3
25
− i
11. (PUC Rio) Considere os números complexos z = 2 – i e 
w = 
5
2 + i
. Então,
A) z = –w D) z = 2w
B) z = w E) z = w
C) z = –w
12. (PUC-SP) O conjugado do número complexo 1 3
2
+
−
i
i
 é
A) 
− −1 7
5
i
 D) 
− +1 7
5
i
B) 
1
5
− i
 E) 
1
5
+ i
C) 
1 2
7
+ i
13. (UFPR) Dados os números complexos z1 = 4 + ¹3i e 
z2 = 1 + 3i, efetuando 
z
z
1
2
, obtemos
A) − +8 3
7
2
7
i 
B) 5 + ¹3i 
C) 
2 3
5
7 3
5
+ + −
( )
i
D) 4 3 3
10
3 12
10
+ + −
( )
i
E) 
3
8
5 3
8
+ i
14. (Mackenzie-SP) Seja o número complexo z = 1
1
−
+
i
i
, então 
z1 980 vale
A) 1 B) –1 C) i D) –i E) –2i
15. (UNESP) Se z = (2 + i)(1 + i)i, então o conjugado de z 
será dado por
A) –3 – i 
B) 1 – 3i 
C) 3 – i
D) –3 + i
E) 3 + i
GABARITO
Fixação
01. E 02. B 03. A 04. B 05. A
Propostos
01. A 09. E
02. E 10. D
03. B 11. E
04. E 12. A
05. C 13. D
06. C 14. A
07. E 15. A
08. C
Frente E Módulo 14
FRENTE
65Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
PLANO DE ARGAND-GAUSS
Considere o plano determinado por um sistema de eixos 
retangulares xOy.
y
P(a, b)
xO
Seja a correspondência biunívoca que associa a cada ponto 
P(a, b) desse plano o número complexo z = a + bi, com 
a e b reais, em que a abscissa a representa a parte real e 
a ordenada b, a parte imaginária de z.
Nessas condições, o ponto P	é	chamado	afixo	do	número	
complexo z. Os eixos Ox e Oy são chamados de eixo real (Re) 
e de eixo imaginário (Im), respectivamente.
Ox = eixo real (Re);
Oy = eixo imaginário (Im);
P	=	afixo	de	z.
Assim,	o	número	complexo	z	=	3	+	2i	tem	afixo	(3,	2).
Im
2
z = 3 + 2i
Re3O
MÓDULO DE UM NÚMERO 
COMPLEXO
Considere,	no	plano	de	Argand-Gauss,	o	afixo	P(a,	b)	do	
número complexo z = a + bi, e seja ρ a distância do ponto P 
à	origem	O do sistema.
Im
ρ
b P = z
ReaO
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo sombreado, 
tem-se: 
ρ = ¹a2 + b2
Essa distância ρ é chamada módulo de um número 
complexo e é representada por |z|. Assim, ρ = |z| = ¹a2 + b2.
Exemplos
1º) Calcular o módulo de z = –5 + 12i.
 Resolução:
 Parte real: a = –5 e parte imaginária: b = 12.
 Então, |z| = a b2 2 2 25 12 169+ = − + =( ) = 13.
 Portanto, |z| = 13.
2º) Calcular o módulo de z = 3 – 2i.
 Resolução:
 |z| = a b2 2 2 23 2 13+ = + − =( )
Propriedades
Dados os números complexos z, z1 e z2, tem-se que:
i) |z| ≥ 0, ∀ z ∈  iv) |z1.z2| = |z1|.|z2|
ii) |z| = 0 ⇔ z = 0 + 0i v) 
z
z
z
z
1
2
1
2
= , (z2 ≠ 0)
iii) z.z = |z|2 vi) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
Exemplo
Calcular |(3 + 4i)(5 – 12i)|.
Resolução:
Pela propriedade iv, tem-se
|(3 + 4i)(5 – 12i)| = |3 + 4i|.|5 – 12i| ⇒
|(3 + 4i)(5 – 12i)| = 3 4 5 122 2 2 2+ + −. ( ) ⇒
|(3 + 4i)(5 – 12i)| = 5.13 ⇒
|(3 + 4i)(5 – 12i)| = 65
Números complexos:
forma trigonométrica
15 E
66 Coleção Estudo
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Dar	o	lugar	geométrico	dos	afixos	dos	números	complexos	z 
tais que |z – 1 + i| ≤ 2.
Resolução:
Seja z = a + bi, com a, b ∈ .
|z – 1 + i| ≤ 2 ⇔ |a + bi – 1 + i| ≤ 2 ⇔
|a – 1 + (b + 1)i| ≤ 2 ⇔ ¹(a – 1)2 + (b + 1)2 ≤ 2
Elevando-se os dois membros ao quadrado, tem-se:
(a – 1)2 + (b + 1)2 ≤ 4
Resposta: 
O lugar geométrico é um círculo de centro (1, –1) e raio 2.
Im
1
2
–1
O Re
ARGUMENTO DE UM NÚMERO 
COMPLEXO
Seja z = a + bi, com a e b reais, um número complexo 
não nulo de módulo ρ, e seja P	 seu	 afixo	 no	 plano	 de	
Argand-Gauss.
Im
ρ
ϕ
b P(a, b)
ReaO
O ângulo de medida ϕ determinado por OP e pelo semieixo 
positivo Ox é chamado argumento principal do número 
complexo z. Tem-se, ainda: 
i) cos ϕ = 
a
ρ
 e ii) sen ϕ = b
ρ
As igualdades (i) e (ii) garantem a unicidade do argumento 
principal, pois determinam o quadrante do ângulo ϕ.
Exemplos
1º) Determinar o argumento principal do número 
complexo z = 1 + ¹3i.
 Resolução:
 No complexo z = 1 + ¹3i, tem-se:
 parte real a = 1 e parte imaginária b = ¹3
Im
2
P2
P1ϕ
¹3 P(1, ¹3)
Re1O
 Assim:
 ρ = |z| = ¹a2 + b2 = 1 32
2
+ ( ) = 2
 No triângulo retângulo sombreado, tem-se:
 
cos
sen
ϕ
ϕ
=
=







1
2
3
2
 ⇒ ϕ = 
π
3
 + 2kp, k ∈ 
 Portanto, o argumento principal de z é ϕ = 
π
3
 ou 
ϕ = 60º.
2º) Determinar o argumento principal do número 
complexo z = –1 – i.
Im
ϕ
Re
P(–1, –1)
O
–1
–1
 Resolução:
 O argumento principal de z = –1 – i é ϕ = 
5
4
π
 ou 
ϕ = 225º.
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE 
UM NÚMERO COMPLEXO
Seja um número complexo na forma algébrica z = a + bi, 
z ≠ 0, de módulo ρ e argumento ϕ.
Tem-se:
Im
ρ
ϕ
b z = a + bi
ReaO
cos ϕ = a
ρ
 ⇒ a = ρ cos ϕ 
e
sen ϕ = b
ρ
 ⇒ b = ρ sen ϕ
Frente E Módulo 15
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
67Editora Bernoulli
Então: z = a + bi = ρ cos ϕ + iρ sen ϕ ⇒
 z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ)
A forma
z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ)
é chamada forma trigonométrica ou forma polar do número 
complexo z.
Exemplo
Escrever sob a forma trigonométrica o número complexo 
z = 2¹3 + 2i.
Resolução:
A parte real de z é a = 2¹3, e a parte imaginária é 
b = 2. Assim:
ρ = |z| = a + b 2 3 + 22 2 2= ( )2 = 4, e
cos
sen
ϕ
ρ
ϕ
ρ
= = =
= = =







a
b
2 3
4
3
2
2
4
1
2
 ⇒ ϕ = 
π
6
Portanto, a forma trigonométrica de z é:
z = 4
6 6
cos sen
π π+





i
MULTIPLICAÇÃO
Dados dois números complexos não nulos z1 e z2, tais que
z1 = ρ1(cos ϕ1 + i sen ϕ1) e z2 = ρ2(cos ϕ2 + i sen ϕ2).
Tem-se:
z1.z2 = ρ1.ρ2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)]
Demonstração:
z1.z2 = ρ1(cos ϕ1 + i sen ϕ1).ρ2(cos ϕ2 + i sen ϕ2) =
ρ1.ρ2(cos
 ϕ1cos
 ϕ2 + i sen
 ϕ2cos
 ϕ1 + i sen
 ϕ1cos
 ϕ2 – sen
 ϕ1sen
 ϕ2) = 
ρ1.ρ2[cos
 ϕ1cos
 ϕ2 – sen
 ϕ1sen
 ϕ2 + i(sen
 ϕ1cos
 ϕ2 + sen
 ϕ2cos
 ϕ1)] = 
ρ1.ρ2[cos (ϕ1 + ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)]
Exemplo
Sendo z1 = 3 cos sen
π π
3 3
+





i e z2 = 2 cos sen
2
3
2
3
π π+





i , 
calcular z1.z2.
Resolução:
z1.z2 = 3.2 cos sen
π π π π
3
2
3 3
2
3
+





 + +











i ⇒
z1.z2 = 6(cos p + i sen p) ⇒
z1.z2 = 6(–1 + i.0) ⇒
z1.z2 = –6
DIVISÃO
Dados dois números complexos não nulos z1 e z2, tais que
z1 = ρ1(cos ϕ1 + i sen ϕ1) e z2 = ρ2(cos ϕ2 + i sen ϕ2).
Tem-se:
z
z
1
2
1
2
=
ρ
ρ
[cos (ϕ1 – ϕ2) + i sen (ϕ1 – ϕ2)]
Demonstração:
z
z
i
i
1
2
1 1 1
2 2 2
=
+
+
ρ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ
(cos sen )
(cos sen )
 =
ρϕ ϕ
ρ ϕ ϕ
ϕ ϕ
1 1 1
2 2 2
2 2
(cos sen )
(cos sen )
.
(cos sen )+
+
−i
i
i
((cos sen )ϕ ϕ
2 2
− i
 =
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
1 1 2 1 2 1 2 1
(cos cos cos sen sen cos sen sen− + +i i
22
2
2
2
2
2
)
(cos sen )ρ ϕ ϕ+
 =
z
z
1
2
1
2
=
ρ
ρ [cos
 ϕ1cos
 ϕ2 + sen
 ϕ1sen
 ϕ2 + i(sen
 ϕ1cos
 ϕ2 – sen
 ϕ2cos
 ϕ1)] =
z
z
1
2
1
2
=
ρ
ρ
[cos (ϕ1 – ϕ2) + i sen (ϕ1 – ϕ2)] 
POTENCIAÇÃO 
(1ª FÓRMULA DE MOIVRE)
Considere o número complexo não nulo z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ). 
Calculando-se algumas potências de z, com expoentes 
naturais, tem-se:
z0 = 1 = ρ0(cos 0 + i sen 0)
z1 = z = ρ1(cos ϕ + i sen ϕ)
z2 = z.z = ρ2(cos 2ϕ + i sen 2ϕ)
z3 = z2.z = ρ3(cos 3ϕ + i sen 3ϕ)
z4 = z3.z = ρ4(cos 4ϕ + i sen 4ϕ)
Números complexos: forma trigonométrica
68 Coleção Estudo
Pode-se generalizar os resultados anteriores através do 
seguinte teorema.
Sendo z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ) um número complexo não 
nulo e n um número inteiro qualquer, tem-se:
zn = ρn[cos (nϕ) + i sen (nϕ)]
Exemplo
Dado z = 2 cos sen
π π
6 6
+





i , calcular z4.
Resolução:
z4 = 24 cos sen
4
6
4
6
π π+





i ⇒
z4 = 16 cos sen
2
3
2
3
π π+





i ⇒
z4 = 16 − +








1
2
3
2
i ⇒
z4 =	–8	+	8¹3i
RADICIAÇÃO
Sejam z um número complexo e n um número natural 
não nulo. Um número complexo ϕ é uma raiz enésima de z 
se, e somente se, ϕn = z.
Exemplos
1º) − +1
2
3
2
i é uma raiz cúbica de 1, pois − +






1
2
3
2
3
i = 1.
2º) − −1
2
3
2
i é uma raiz cúbica de 1, pois − −






1
2
3
2
3
i = 1.
OBSERVAÇÕES
i) Um número complexo não nulo admite como raízes 
enésimas n números distintos. Por exemplo, o número 1 
admite como raízes cúbicas os três números:
 − −1
2
3
2
i e − +1
2
3
2
i, 1
ii) Só se usa o símbolo n¹ para indicar raiz real de um 
número real. Para indicar as raízes enésimas de um 
número complexo z, deve-se escrever por extenso 
“raízes enésimas de z”.
Exemplo
Determinar as raízes quadradas de –9.
Resolução:
Seja a + bi, com a e b reais, uma raiz quadrada de –9.
Assim,	por	definição,	deve-se	ter:
(a + bi)2 = –9 ⇒ a2 + 2abi – b2 = –9 ⇒ (a2 – b2) + 2abi = –9 ⇒
a b
ab
a b I
ab II
2 2 2 29
2 0
9
0
− = −
=




⇔ − = −
=




( )
( )
De (II), temos a = 0 ou b = 0.
Substituindo b = 0 em (I), obtemos a2 = –9.
Como, por hipótese, a é real, concluímos que não existe a, 
tal que a2 = –9.
Substituindo a = 0 em (I), obtemos:
–b2 = –9 ⇒ b = ±3
Logo, as raízes quadradas de –9 são números da forma 
a + bi com a = 0 e b = ±3, isto é, são os números 
3i e –3i.
Resposta: –3i, 3i
2ª FÓRMULA DE MOIVRE
Dado o número complexo z = ρ(cos q + i sen q), não nulo, 
e	o	número	natural	n	≥	2,	existem	n raízes enésimas de z.
Uma das raízes enésimas de z é z0 = ρ
n
 cos sen
θ θ
n
i
n
+





.
As demais raízes terão mesmo módulo ρn , e seus 
argumentos formarão, com o argumento de z0, uma 
progressão aritmética de primeiro termo 
θ
n
 e razão 
2π
n
.
Exemplo
Calcular as raízes cúbicas de –27.
Resolução:
z = –27 ⇔ z = 27(cos p + i sen p)
Im
ReO
θ = π
–27
Z
São três as raízes cúbicas de –27.
Uma raiz é z0 = ³27 cos sen
π π
3 3
+





i ⇒
z0 = 3 cos sen
π π
3 3
+





i ⇒ z0 = 
3
2
3 3
2
+ i
Chamando as outras duas raízes de z1 e z2, temos:
ρ1 = ρ2 = 3 e q1 = q0 + 
2
3
π
 = 
π π
3
2
3
+ = p e 
q2 = q1 + 
2
3
π
 = p + 
2
3
5
3
π π=
Então:
z1 = 3(cos p + i sen p) ⇒ z1 = –3
z2 = 3 cos sen
5
3
5
3
π π+





i ⇒ z2 = 
3
2
3 3
2
− i
Frente E Módulo 15
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69Editora Bernoulli
Representação geométrica
Os	afixos	das	raízes	cúbicas	de	–27	dividem	a	circunferência,	
de centro O e raio 3, em três partes congruentes, isto é, são 
vértices de um triângulo equilátero.
Im
ReO–3
3¹3
2
3
2
+ i
3¹3
2
3
2
– i
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 
2º GRAU EM 
Resolver em  a equação z2 – iz + 2 = 0.
Resolução:
Temos a = 1, b = –i e c = 2.
Logo, Δ = (–i)2 –	4.1.2	=	–1	–	8	=	–9.
As raízes quadradas de Δ = –9 são 3i e –3i; logo:
z1 = 
− − +( )i i3
2
 = 2i ou z2 = 
− − −( )i i3
2
 = –i
Portanto, S = {–i, 2i}.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (Mackenzie-SP) A forma trigonométrica do número 
complexo i – ¹3 é
A) 2. cos .
π π
3 3
+





i sen 
B) 2. cos .
π π
6 6
+





i sen 
C) 2. cos .
2
3
2
3
π π+





i sen
D) 2. cos .
5
3
5
3
π π+





i sen
E) 2. cos .
5
6
5
6
π π+





i sen
02. (UEL-PR) A potência (cos 60º + i.sen 60º)601 é igual a
A) 
1
2
(1 – ¹3i) D) 1
2
(¹3 + i)
B) 
1
2
(–1 + ¹3i) E) 1
2
(¹3 – i)
C) 
1
2
(1 + ¹3i)
03. (UFSM-RS–2006) Dado z = x + yi, um número complexo, 
as soluções da equação |z – 2i| = 5 são representadas 
graficamente	por
A) uma reta que passa pela origem.
B) uma circunferência com centro (0, 2) e raio 5.
C) uma reta que passa por (0, 2).
D) uma circunferência com centro (2, 0) e raio 5.
E) uma reta que passa por (2, 0).
04. (UNIRIO-RJ) Seja o complexo z = ρ.(cos q + i.sen q) 
escrito na forma trigonométrica. Então, z.z é
A) 2ρ
B) 2ρ.(cos 2q – i.sen 2q)
C) ρ2
D) ρ2.(cos q2 + i.sen q2)
E) cos2 q + i.sen2 q
05. (UFU-MG) As representações gráficas dos números 
complexos z1 = cos 30º + i.sen 30º e z2 = cos 102º + i.sen 102º, 
no plano complexo, correspondem a vértices consecutivos 
de um polígono regular inscrito em uma circunferência 
com centro na origem. O número de lados desse polígono 
é igual a
A) 12 C) 5
B) 6 D) 10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFC–2007) Ao dividir (1 – ¹3i) por (–1 + i), obtém-se 
um complexo de argumento igual a
A) 
π
4
 
B) 
5
12
π
 
C) 
7
12
π
D) 
3
4
π
E) 11
12
π
Números complexos: forma trigonométrica
70 Coleção Estudo
02.	 (FGV-SP–2007)	 A	 figura	 indica	 a	 representação	 dos	
números Z1 e Z2 no plano complexo.
Im
2
2
Z1
Z2
2¹3 ReO
Se Z1.Z2 = a + bi, então a + b é igual a
A) 4(1 – ¹3) 
B) 2(¹3 – 1) 
C) 2(1 + ¹3)
D)	 8(¹3 – 1)
E) 4(¹3 + 1)
03. (UFRGS) O ângulo formado pelas representações 
geométricas dos números complexos z = ¹3 + i e z4 é
A) 
π
6
 
B) 
π
4
 
C) 
π
3
D) 
π
2
E) p
04.	 (UFPE)	Considere	 o	 seguinte	gráfico	que	 representa	o	
número complexo z = a + bi.
π
6
z
Im
ReO
Sabendo-se que o segmento OZ mede duas unidades de 
comprimento, assinale a alternativa CORRETA.
A) z = ¹2 + i 
B) z = ¹3 + i 
C) z = 1 + ¹3i
D) z = ¹2 + ¹2i
E) z = 1 – ¹3i
05. (UEG–2006) O conjunto dos números complexos que 
satisfazem a condição |z – 3i| = |z – 2| é representado 
no plano cartesiano por uma reta
A) cuja inclinação é positiva.
B) que contém a origem do sistema.
C) que não intercepta o eixo real.
D) cuja inclinação é negativa.
06. (FGV-SP) Admita que o centro do plano complexo 
Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de 
ponteiros,	como	indica	a	figura.
Imaginário
Real
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, 
às	 11h55min	 sua	 ponta	 estará	 sobre	 qual	 número	
complexo?
A) –1 + ¹3i 
B) 1 + ¹3i 
C) 1 – ¹3i
D) ¹3 – i
E) ¹3 + i
07. (FUVEST-SP) Entre os números complexos z = a + bi, 
não nulos, que têm argumento igual a 
π
4
, aquele cuja 
representação geométrica está sobre a parábola y = x² é
A) 1 + i 
B) 1 – i 
C) –1 + i
D) ¹2 + 2i
E) –¹2 + 2i
08. (Cesgranrio) O conjunto dos pontos z = x + yi do plano 
complexo que satisfazem |z – 1|2 = 2x e y ≥ 2 é
A) o conjunto vazio.
B) uma região não limitada do plano.
C) todos os pontos x + yi tais que y ≥ 2.
D) uma reta.
E) diferente dos quatro anteriores.
Frente E Módulo 15
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71Editora Bernoulli
09. (Cesgranrio-RJ) A representação geométrica dos números 
complexos z e w	é	a	da	figura.
w
z
y
xO
A representação geométrica POSSÍVEL para o produto zw é
A) y
xzw
O
 
B) y
x
zw
O
 
C) y
x
zw
O
D) zwy
xO
E) y
xzw O
10. (UFU-MG) Sejam z1 e z2 dois números complexos 
representados	geometricamente,	na	figura	a	seguir,	pelos	
pontosA e B, respectivamente.
y B
20º
30º
A
xO
Sabendo-se que OA = 3 cm e que OB = 6 cm, pode-se 
afirmar	que
A) 
z
z
2
1
 tem módulo igual a 2 cm.
B) z1 + z2 tem módulo igual a 9 cm.
C) O argumento de z2 – z1 é igual a 40°.
D) O argumento de z2.z1 é igual a 50°.
11. (Mackenzie-SP) Seja t = 2 + 3i um número complexo. Se,
A = {z ∈ |z – t| ≤ 1}
B = {z ∈ z = a + bi e b ≤ 3}
então, no plano de Argand-Gauss, A ∩ B é
A) um conjunto vazio. 
B) uma semicircunferência.
C) um semicírculo.
D) uma circunferência. 
E) um círculo.
12. (Cesgranrio) No plano complexo, o conjunto dos pontos 
z = x + yi, tais que |z| ≤ 1 e y ≥ 0, é
A) uma circunferência.
B) um círculo.
C) um quadrado centrado na origem.
D) um semicírculo.
E) um segmento de reta.
13. (PUC Minas) A forma trigonométrica do número complexo 
y = 4¹3 + 4i é
A)	 8.(cos	30°	+	i.sen	30°)
B)	 8.(cos	45°	+	i.sen	45°)
C)	 8.(cos	60°	+	i.sen	60°)
D)	 8.(cos	120°	+	i.sen	120°)
E)	 8.(cos	150°	+	i.sen	150°)
14.	 (UEBA)	Na	figura	a	seguir,	o	ponto	P	é	o	afixo	do	número	
complexo z.
Im (z)
1
P
Re (z)O ¹3
A forma trigonométrica de z2 é
A) 4.(cos 15° + i.sen 15°)
B) 4.(cos 60° + i.sen 60°)
C) 2.(cos 60° + i.sen 60°)
D) 2.(cos 30° + i.sen 30°)
E) cos 15° + i.sen 15°
Números complexos: forma trigonométrica
72 Coleção Estudo
15. (UEL-PR) Sejam z1 e z2 os números complexos 
z1 = 3.(cos 30° + i.sen 30°) e z2 = 5.(cos 45° + i.sen 45°). 
O produto de z1 por z2 é o número complexo
A) 15.(cos 1 350° + i.sen 1 350°)
B)	 8.(cos	75º	+	i.sen	75°)
C)	 8.(cos	1	350º	+	i.sen	1	350°)
D) 15.(cos 15º + i.sen 15°)
E) 15.(cos 75º + i.sen 75°)
16. (UNIFESP–2007) Quatro números complexos representam, 
no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três 
dos números são z1 = –3 – 3i, z2 = 1 e z3 = –1 + 
5
2
i. O 
quarto número tem as partes real e imaginária positivas. 
Esse número é
A) 2 + 3i D) 2 + 
11
2
i
B) 3 + 
11
2
i E) 4 + 5i
C) 3 + 5i
17. (FUVEST-SP) Dado o número complexo z = ¹3 + i, qual 
é o MENOR valor do inteiro n ≥ 1 para o qual zn é um 
número real?
A)	 2	 	 B)	 4	 	 C)	 6	 	 D)	 8	 	 E)	 10
18. (PUC-Campinas-SP) O módulo e o argumento do complexo 
(¹3 + i)8 são, respectivamente,
A) 44 e 
4
3
π
 D) 38 e 
5
4
π
B) 28 e 
8
3
π
 E) N.d.a.
C) 48 e 
8
9
π
19. (Unifor-CE–2007) Seja o número complexo z = x + 3i, 
em que x é um número real negativo. Se |z| = 6, então 
a forma trigonométrica de z é
A) 6. cos .
2
3
2
3
π π+





i sen
B) 6. cos .
5
6
5
6
π π+





i sen
C) 6. cos .
4
3
4
3
π π+





i sen
D) 6. cos .
5
3
5
3
π π+





i sen
E) 6. cos .
11
6
11
6
π π+





i sen
20. (Cesgranrio) Seja w = a + bi um complexo, em que a > 0 
e b > 0, e seja w o seu conjugado. A área do quadrilátero 
de vértices w, w, –w e –w é
A) a2 + b2 
B) 4b¹ab 
C) 4ab
D) 4
a b+





3
2
E) (a + b)2
GABARITO
Fixação
01. E 
02. C 
03. B
04. C
05. C
Propostos
01. E 
02. A 
03. D 
04. B 
05. A 
06. A 
07. A 
08.	 A	 	 	
09. D 
10. D 
11. C
12. D
13. A
14. B
15. E
16. B
17. C
18.	 A
19. B
20. C
Frente E Módulo 15
FRENTE
73Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
A Estatística, objeto de estudo deste módulo, é a área 
da Matemática que tem por objetivo coletar, organizar, 
analisar e interpretar dados experimentais. Os conceitos 
estatísticos	têm	influenciado	largamente	a	maioria	dos	ramos	
do conhecimento humano, seja para determinar índices de 
inflação,	ou	desemprego,	comumente	divulgados,	seja	para	
fornecer	informações	à	Medicina	que	possibilitem	combater	
uma determinada doença.
DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIAS
Após um levantamento estatístico, os dados coletados 
podem	ser	organizados	em	uma	tabela	ou	em	um	gráfico	de	
distribuição	de	frequências.	São	mais	utilizados	os	gráficos	
de barras, de colunas ou de setores.
Exemplo
Um	dado	 foi	 lançado	 50	 vezes.	 A	 tabela	 e	 os	 gráficos	
a seguir mostram os seis resultados possíveis e as suas 
respectivas frequências de ocorrências.
Tabela:
Resultado 1 2 3 4 5 6
Frequência 
absoluta 7 9 8 7 9 10
Frequência 
relativa
7
50
9
50
8
50
7
50
9
50
10
50
Como mostrado na tabela anterior, a frequência relativa 
é obtida dividindo-se a freqência absoluta pelo total de 
observações. Por exemplo, o resultado 6 apareceu em 10 
das 50 repetições, portanto sua frequência relativa é 
10
50
1
5
= 
ou	0,2	ou	20%.
Gráficos:
Gráfico	de	colunas
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4
Frequências
5 66
10
6
ias
5
s
5
reqquênc
44
F
33
10
8
6
4
2
0
11 22
Gráfico	de	setor
7
7
109
1
2
3
4
5
6
8 9
MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
CENTRAL
Média aritmética
Dados n elementos, calculamos a média aritmética 
dividindo a soma desses elementos pela quantidade n. 
Mediana
Mediana é o valor que ocupa a posição central em 
um conjunto ordenado. Se o número de elementos do 
conjunto for par, a mediana será a média aritmética dos 
dois valores centrais.
Estatística 16 E
74 Coleção Estudo
Moda
É o valor que apresenta maior frequência em um conjunto 
(aparece um maior número de vezes).
Exemplo
Calcular a média aritmética, a mediana e a moda da 
seguinte distribuição de notas de uma turma.
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota 4,0 7,0 5,0 8,0 7,5 10 6,5 8,0 6,5 5,5
Resolução:
Pela	definição,	a	média	aritmética	A	das	notas	é	dada	por:
A = 
4 7 5 8 7 5 10 6 5 8 6 5 5 5
10
+ + + + + + + + +, , , ,
 ⇒
A	=	6,8
O conjunto ordenado C das notas dos alunos é:
C = {4,0; 5,0; 5,5; 6,5; 6,5; 7,0
termos
centrais� ��� ��
; 7,5; 8,0; 8,0; 10}
Como o número de elementos é par, então a mediana m 
das notas é:
m = 
6 5 7 0
2
, ,+
 ⇒ m = 6,75
As	modas	 das	 notas	 são	6,5	 e	 8,0,	 pois	 esses	 valores	
aparecem com maior frequência que os demais.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Fornecem informações a respeito da concentração dos 
valores estudados em torno das medidas de tendência central.
Amplitude
É a diferença entre o maior e o menor valores de um 
dado conjunto.
Desvio
É a diferença entre um valor qualquer e a média aritmética 
do conjunto.
di = xi – A
Variância
É a média aritmética dos quadrados dos desvios.
V = 
d d d
n
n1
2
2
2 2+ + +...
Desvio padrão
É a raiz quadrada da variância.
σ
i
V=
Exemplo
Sobre a distribuição dos lucros de uma empresa nos quatro 
primeiros meses, representada na tabela a seguir, calcular
A) a amplitude.
B) os desvios de cada mês.
C) a variância.
D) o desvio padrão.
Mês Janeiro Fevereiro Março Abril
Lucro (R$) 10 000 30 000 90 000 30 000
Resolução:
Pelas	definições:
A) A amplitude a é dada por:
	 a	=	90	000	–	10	000	=	80	000	reais
B) Para calcularmos o desvio, precisamos antes calcular 
a média aritmética A dos lucros.
A = 
10 000 30 000 90 000 30 000
4
+ + +
 ⇒
A = 40 000
Assim, os devios dJ, dF dM e dA são dados por:
dJ = 10 000 – 40 000 = –30 000 reais
dF = 30 000 – 40 000 = –10 000 reais
dM = 90 000 – 40 000 = 50 000 reais
dA = 30 000 – 40 000 = –10 000 reais
C) A variância V é dada por:
 V = 
( ) ( ) ( ) ( )− + − + + −30 000 10 000 50 000 10 000
4
2 2 2 2
 ⇒
 V = 900 000 000 reais ao quadrado
D) O desvio padrão s é dado por:
 s = ¹900 000 000 = 30 000 reais
Frente E Módulo 16
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75Editora Bernoulli
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (UFJF-MG) Um professor de Física aplicou uma prova, 
valendo 100 pontos, em seus 22 alunos e obteve, como 
resultado, a distribuição das notas vista no quadro 
seguinte:
40 20 10 20 70 60
90 80 30 50 50 70
50 20 50 50 10 40
30 20 60 60
Faça os seguintes tratamentos de dados solicitados.
A) Determinar a frequência relativa da moda.
B)	 Esboçar	um	gráfico	com	as	frequências	absolutas	de	
todas as notas.
C) Determinar a mediana dos valores da segunda linha 
do quadro apresentado.
Resolução:
A) 
Resultado 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Frequência 
absoluta 2 4 2 2 5 3 2 1 1
 
A moda das notas é 50, e a frequência absoluta 
destas é 5.
Logo, a frequência relativa damoda é 
5
22
	=	22,7	%.
B)	 O	gráfico	de	colunas	com	as	frequências	absolutas	de	
todas as notas é:
N
ú
m
er
o
 d
e 
al
u
n
o
s
Notas
y
1
2
3
4
5
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
C) Na segunda linha, temos, em ordem crescente, 
a	seguinte	sequência	de	notas:	30,	50,	50,	70,	80,	90.
Como temos um número par de termos, então a 
mediana m será a média aritmética dos dois valores 
centrais.
Assim, m = 
50 70
2
+
 ⇒ m = 60.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (FGV-SP) A tabela a seguir apresenta a distribuição de 
frequências dos salários de um grupo de 50 empregados 
de uma empresa, num certo mês.
Número da 
classe
Salário do mês 
em reais
Número de 
empregados
1 [1 000, 2 000[ 20
2 [2 000, 3 000[ 18
3 [3 000, 4 000[ 9
4 [4 000, 5 000] 3
O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de
A) R$ 2 637,00. D) R$ 2 420,00.
B) R$ 2 520,00. E) R$ 2 400,00.
C) R$ 2 500,00.
02. (UFRGS) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram 
divulgados	utilizando	um	gráfico	de	setores	circulares,	
como	o	representado	na	figura	a	seguir:
a
b
c d
Ao setor a	 estão	 associadas	 35%	 das	 respostas,	 ao	
setor b, 270 respostas e, aos setores c e d, um mesmo 
número de respostas. Esse número é
A) 45 D) 450
B) 90 E) 900
C)	 180
03. (UNIRIO-RJ) Um dado foi lançado 50 vezes. A tabela 
a seguir mostra os seis resultados possíveis e as suas 
respectivas frequências de ocorrências.
Resultado 1 2 3 4 5 6
Frequência 7 9 8 7 9 10
A frequência de aparecimento de um resultado ímpar 
foi de
A) 
2
5
 D) 
1
2
B) 
11
25
 E) 
13
25
C) 
12
25
Estatística
76 Coleção Estudo
04. (UNESP–2007) O número de ligações telefônicas de 
uma empresa, mês a mês, no ano de 2005, pode ser 
representado	pelo	gráfico	a	seguir:
Ligações
800
900
1 000
1 200 1 200
1 250
1 300 1 300
1 500
1 350
1 220 1 2201 200
1 100
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
1 600
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
Com	base	no	gráfico,	pode-se	afirmar	que	a	quantidade	
total de meses em que o número de ligações foi maior 
ou igual a 1 200 e menor ou igual a 1 300 é
A) 2 D) 7
B)	 4	 	 	 	 	 	 E)	 8
C) 6
05. (UFU-MG) Uma equipe de futebol realizou um levantamento 
dos	pesos	dos	seus	40	atletas	e	chegou	à	distribuição	de	
frequências dada pela tabela seguinte, cujo histograma 
correspondente é visto a seguir:
Peso (kg) Frequência
60 64 2
64 	68 5
68	 72 10
72 76 12
76 	80 6
80	 	84 3
84	 	88 2
Total de atletas 40
62 66 70 74 78 82 86 Peso (kg)
Fr
eq
u
ên
ci
a
Histograma
2
O
3
5
6
10
12
Com	base	nestes	dados	pode-se	afirmar	que	o	valor	da	
mediana dos pesos é igual a
A) 75 B) 72 C) 74 D) 73
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFLA-MG–2006) A idade de uma árvore pode ser avaliada 
pela medida do diâmetro de seu tronco. A construção de 
diagramas indicando a distribuição em intervalos de classe 
para o diâmetro é uma forma de analisar a estrutura etária 
de	uma	população	de	árvores.	O	gráfico	a	seguir	mostra	
a distribuição das classes de diâmetro para a espécie 
arbórea Xylopia aromatica.
N
º 
d
e 
ár
vo
re
s
Classes de diâmetro (cm)
2O
72
40
20
8
4 6
4 6 8 10 12 14 16
Considerando esses dados, quantas árvores possuem 
troncos	com	diâmetro	não	inferiores	a	8	cm?
A)	 8	árvores	 	 	 	
B) 140 árvores 
C) 4 árvores
D)	 18	árvores
E) 10 árvores
02. (PUC-SP) O histograma a seguir apresenta a distribuição 
de frequências das faixas salariais numa pequena empresa.
 
14
4
2
0 500 1 000 1 500 2 000 2 500
N
º 
d
e 
fu
n
ci
o
n
ár
io
s
Salários 
em reais
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média 
desses salários é, aproximadamente,
A) R$ 420,00. 
B) R$ 536,00. 
C) R$ 562,00. 
D) R$ 640,00.
E)	 R$	708,00.
Frente E Módulo 16
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
77Editora Bernoulli
03. (UFU-MG) Uma empresa seleciona 16 funcionários 
fumantes e promove um ciclo de palestras com os 
mesmos para esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais 
do	cigarro	à	saúde.	Após	essas	palestras,	são	coletados	
dados sobre a quantidade de cigarros que cada um desses 
fumantes está consumindo diariamente. Tais dados são 
expressos da seguinte maneira:
10, 1, 10, 11, 13, 10, 34, 13, 13, 12, 12, 11, 13, 11, 12, 12
Os dados 1 e 34 são chamados discrepantes, pois são 
dados muito menores ou muito maiores que a maioria 
dos dados obtidos. Segundo essa coleta de dados, 
pode-se	afirmar	que
A) os cálculos da média, da mediana e da moda não 
sofrem	influência	dos	dados	discrepantes.
B)	 o	 cálculo	 da	mediana	 sofre	 influência	 dos	 dados	
discrepantes que surgiram.
C) o cálculo da moda sofre influência dos dados 
discrepantes que surgiram.
D) o cálculo da média sofre influência dos dados 
discrepantes que surgiram.
04. (UFU-MG) O Departamento de Comércio Exterior do Banco 
Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuição 
salarial em reais.
N° de 
funcionários 10 12 5 3
Salários em R$ 2 000,00 3 600,00 4 000,00 6 000,00
Quantos funcionários que recebem R$ 3 600,00 devem 
ser demitidos para que a mediana desta distribuição de 
salários	seja	de	R$	2	800,00?
A)	 8	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
B) 11 
C) 9 
D) 10 
E) 7
05. (FGV-SP–2007) Quatro amigos calcularam a média e 
a mediana de suas alturas, tendo encontrado como 
resultados 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média 
entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, 
é igual a
A) 1,70 D) 1,73
B) 1,71 E) 1,74
C) 1,72
06.	 (FGV-SP–2007)	O	gráfico	a	seguir	indica	as	massas	de	
um grupo de objetos.
0 3 4 6
1
2
3
N
º 
d
e 
o
b
je
to
s
Massa da cada objeto (em kg)
Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 4 kg 
cada, sabe-se que a média não se altera, mas o desvio 
padrão	reduz-se	à	metade	do	que	era.	Assim,	é	CORRETO 
afirmar	que	n é igual a
A)	 18
B) 15
C) 12 
D) 9 
E)	 8
07. (UFRGS) As questões de Matemática do Concurso 
Vestibular	 da	 UFRGS	 de	 2004	 foram	 classificadas	 em	
categorias quanto ao índice de facilidade, como mostra 
o	gráfico	de	barras	a	seguir:
0
4
1
10
14
N
º 
d
e 
q
u
es
tõ
es
muito
fácil
fácil mediana difícil muito
difícil
Categoria
Se	esta	classificação	fosse	apresentada	em	um	gráfico	de	
setores circulares, a cada categoria corresponderia um 
setor circular. O ângulo do maior desses setores mediria
A)	 80°		 	 	 	 	
B) 120° 
C) 157°
D)	 168°
E) 172°
Estatística
78 Coleção Estudo
08. (UFPR–2007) Os dados a seguir representam o tempo 
(em segundos) para carga de um determinado aplicativo, 
num sistema compartilhado.
Tempo (s) Frequência
4,5 5,5 03
5,5 6,5 06
6,5 7,5 13
7,5 	8,5 05
8,5	 9,5 02
9,5 10,5 01
Total 30
Com	base	nesses	dados,	considere	as	afirmativas	a	seguir:
1. O tempo médio para carga do aplicativo é de 
7,0 segundos.
2. A variância da distribuição é aproximadamente 
1,33 segundo ao quadrado.
3. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
4. Cinquenta por cento dos dados observados estão 
abaixo de 6,5 segundos.
Assinale a alternativa CORRETA.
A)	 Somente	as	afirmativas	1	e	3	são	verdadeiras.
B)	 Somente	as	afirmativas	2	e	3	são	verdadeiras.
C)	 Somente	as	afirmativas	2	e	4	são	verdadeiras.
D)	 Somente	as	afirmativas	1,	2	e	3	são	verdadeiras.
E)	 Somente	as	afirmativas	1,	3	e	4	são	verdadeiras.
09. (UFU-MG–2006) As 10 medidas colhidas por um cientista 
num determinado experimento, todas na mesma unidade, 
foram as seguintes:
1,2; 1,2; 1,4; 1,5; 1,5; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2
Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o cientista 
esqueceu-se, por descuido, de considerar uma dessas 
medidas. Dessa forma, comparando os resultados obtidos 
pelo cientista em sua análise estatística com os resultados 
corretos	para	esta	amostra,	podemos	afirmar	que
A) a moda e a média foram afetadas.
B) a moda não foi afetada, mas a média foi.
C) a moda foi afetada, mas a média não foi.
D) a moda e a média não foram afetadas.
10. (FGV-SP) Um conjunto de dados numéricos tem variância 
igual a zero. Podemos concluirque
A) a média também vale zero.
B) a mediana também vale zero.
C) a moda também vale zero.
D) o desvio padrão também vale zero.
E) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
11.	 (UFSCar-SP)	 Num	 curso	 de	 iniciação	 à	 Informática,	
a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, 
é	dada	pelo	gráfico	seguinte.
0
2
1
3
4
N
ú
m
er
o
 d
e 
al
u
n
o
s
14 15 16 17 18
Idade dos alunos em anos
meninas
meninos
Com	base	nos	dados	do	gráfico,	pode-se	afirmar	que
A) o número de meninas com, no máximo, 16 anos 
é maior que o número de meninos nesse mesmo 
intervalo de idades.
B) o número total de alunos é 19.
C) a média de idade das meninas é 15 anos.
D) o número de meninos é igual ao número de meninas.
E) o número de meninos com idade maior que 15 anos 
é maior que o número de meninas nesse mesmo 
intervalo de idades.
12. (FUVEST-SP) A distribuição dos salários de uma empresa 
é dada na tabela a seguir:
Salário (em R$) Nº de funcionários
500,00 10
1 000,00 5
1 500,00 1
2 000,00 10
5 000,00 4
10 500,00 1
Total 31
A) Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa 
empresa?
B) Suponha que sejam contratados dois novos 
funcionários com salários de R$ 2 000,00 cada. 
A	 variância	 da	 nova	 distribuição	 de	 salários	 ficará	
menor, igual ou maior que a anterior?
Frente E Módulo 16
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C
A
79Editora Bernoulli
13. (UFJF-MG–2007) Um professor de matemática elaborou, 
através do computador, um histograma das notas obtidas 
pela turma em uma prova cujo valor era 5 pontos. 
Entretanto,	 o	 histograma	 ficou	 incompleto,	 pois	 este	
professor esqueceu-se de fornecer o número de alunos 
que obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5. Veja a ilustração 
a seguir.
Histograma de notas em Matemática (Incompleto)
N
ú
m
er
o
 d
e 
al
u
n
o
s
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3
Notas
4 5
i)	 Total	de	alunos	que	fizeram	a	prova:	40
ii) Média aritmética das notas: 2,6
iii) Mediana das notas: 2,5
A moda dessas notas é
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
14. (UFJF-MG) A editora de uma revista de moda resolveu fazer 
uma pesquisa sobre a idade de suas leitoras. Para isso 
selecionou, aleatoriamente, uma amostra de 25 leitoras. 
As idades que constaram da amostra foram
19, 20, 21, 20, 19, 20, 19, 20, 21, 21, 21, 22, 20, 21, 
22, 22, 23, 19, 20, 21, 21, 23, 20, 21, 19.
Considerando as informações dadas, faça o que se pede.
A) COMPLETE a tabela de frequências absoluta (f) e 
relativa (fr) a partir dos dados anteriores.
Idade f fr(%)
Total
B) Foi escrita uma reportagem dirigida a leitoras de 
21 anos. Considerando que a pesquisa admite uma 
margem	de	erro	de	2%,	para	mais	e	para	menos,	
quantas leitoras dessa idade leram a matéria, 
sabendo-se que foram vendidas 3 500 revistas?
15. (UFJF-MG–2009) Um professor fez o levantamento das 
notas de uma turma composta de 20 alunos. As notas 
foram obtidas em uma prova cujo valor era 10 pontos. 
Veja	o	gráfico	a	seguir:
30
1
2
3
Fr
eq
u
ên
ci
a 4
5
4 5 6
Notas
7 8 9
Depois de confeccionado esse gráfico, o professor 
percebeu	ter	errado	a	nota	de	um	dos	alunos	e	verificou	
que, feita a correção, a média das notas dessa turma 
aumentaria em 0,2 ponto e a moda passaria a ser 
7 pontos. A nota que estava ERRADA era
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
16.	 (Unimontes-MG–2008)	Qual	 a	média	 aritmética	 (Ma),	
a moda (Mo) e a mediana (Me), respectivamente, dos 
dados da tabela de frequências a seguir?
Idade dos alunos da 7ª A – Escola Gama – 2007
Idade Frequência
13
14
15
16
3
2
4
1
Total 10
Fonte: SECRETARIA DA ESCOLA GAMA.
A) 14,5; 15; 14,3
B) 14,5; 15; 14,5
C) 14,3; 14,5; 15
D) 14,3; 15; 14,5
17.	 (FGV-SP–2008)	Sejam	os	números	7,	8,	3,	5,	9	e	5	seis	
números de uma lista de nove números inteiros. O maior 
valor POSSÍVEL para a mediana dos nove números da 
lista é
A)	 5	 	 	 	 	 	 D)	 8
B) 6 E) 9
C) 7
Estatística
80 Coleção Estudo
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Na tabela, são apresentados dados da 
cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, 
em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em 
alguns	meses	dos	anos	2007	e	2008.
Mês Cotação Ano
Outubro R$	83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$	81,60 2007
Janeiro R$	82,00 2008
Fevereiro R$	85,30 2008
Março R$	84,00 2008
Abril R$	84,60 2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das 
cotações mensais do ovo extra branco nesse período 
era igual a
A) R$ 73,10.
B)	 R$	81,50.
C)	 R$	82,00.
D)	 R$	83,00.
E)	 R$	85,30.
02.	 (Enem–2009)	Suponha	que	a	etapa	final	de	uma	gincana	
escolar consista em um desafio de conhecimentos. 
Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma 
prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela 
mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, 
no	máximo,	10	pontos	cada.	Ao	final,	a	vencedora	 foi	
a	equipe	Ômega,	com	7,8	pontos,	seguida	pela	equipe	
Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, 
a	 qual	 ficou	 na	 terceira	 e	 última	 colocação,	 não	 pôde	
comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas 
obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 
8;	10;	7;	6,5;	7;	8;	6;	0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, 
essa equipe
A) teria a pontuação igual a 6,5, se ele obtivesse nota 0.
B) seria a vencedora, se ele obtivesse nota 10.
C)	 seria	a	segunda	colocada,	se	ele	obtivesse	nota	8.
D) permaneceria na terceira posição, independentemente 
da nota obtida pelo aluno.
E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação, 
se o aluno obtivesse nota 9.
03. (Enem–2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de 
dióxido de carbono de uma fábrica em função do número 
de toneladas produzidas.
Produção 
(em toneladas)
Emissão de dióxido de carbono 
(em partes por milhão – p.p.m.)
1,1 2,14
1,2 2,30
1,3 2,46
1,4 2,64
1,5 2,83
1,6 3,03
1,7 3,25
1,8 3,48
1,9 3,73
2,0 4,00
Cadernos do Gestar II. Matemática TP3.
Disponível em: <www.mec.gov.br>. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação 
entre a emissão de dióxido de carbono (em p.p.m.) e a 
produção (em toneladas) é
A)	 inferior	a	0,18.
B)	 superior	a	0,18	e	inferior	a	0,50.
C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
D)	 superior	a	1,50	e	inferior	a	2,80.
E)	 superior	a	2,80.
04.	 (Enem–2010)	O	gráfico	apresenta	a	quantidade	de	gols	
marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a 
Copa de 1930 até a de 2006.
Quantidades de gols dos artilheiros 
das Copas do Mundo
Gols 14
12
10
8
6
4
2
0
Ano
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Disponível em: <http://www.suapesquisa.com>. 
Acesso em: 23 abr. 2010 (Adaptação).
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das 
quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas 
do Mundo?
A) 6 gols D) 7,3 gols
B)	 6,5	gols	 	 	 	 E)	 8,5	gols
C) 7 gols 
Frente E Módulo 16
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81Editora Bernoulli
05. (Enem–2010) Marco e Paulo foram classificados 
em	 um	 concurso.	 Para	 a	 classificação	 no	 concurso, 
o candidato deveria obter média aritmética na pontuação 
igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, 
o desempate seria em favor da pontuação mais regular. 
No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos 
nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos 
Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos 
dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
Matemática Português Conhecimentos gerais Média Mediana
Desvio 
padrão
Marco 14 15 16 15 15 0,32
Paulo 8 19 18 15 18 4,97
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais 
bem	classificado	no	concurso,	é
A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 
19 em Português.
D) Paulo, pois obteve maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
06. (Enem–2010) O quadro seguinte mostra o desempenho 
de um time de futebol no último campeonato. A coluna da 
esquerda mostrao número de gols marcados e a coluna 
da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele 
número de gols.
Gols marcados Quantidade de partidas
0 5
1 3
2 4
3 3
4 2
5 2
7 1
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e 
a moda desta distribuição, então
A)	 X	=	Y	<	Z			 	 	 	 	
B)	 Z	<	X	=	Y			 	 	 	
C)	 Y	<	Z	<	X
D)	 Z	<	X	<	Y
E)	 Z	<	Y	<	X
07. (Enem–2010) Em uma corrida de regularidade, a equipe 
campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais 
se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em 
cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, 
e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi 
de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados 
os dados estatísticos das cinco equipes mais bem 
classificadas.
Dados estatísticos das equipes mais bem 
classificadas	(em	minutos)
Equipes Média Moda Desvio padrão
Equipe I 45 40 5
Equipe II 45 41 4
Equipe III 45 44 1
Equipe IV 45 44 3
Equipe V 45 47 2
Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã 
foi a equipe 
A) I 
B) II 
C) III 
D) IV 
E) V
08. (Enem–2009) Depois de jogar um dado em forma de cubo 
e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, 
e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se 
a seguinte tabela de distribuição de frequências.
Número obtido Frequência
1 4
2 1
4 2
5 2
6 1
A média, mediana e moda dessa distribuição de 
frequências são, respectivamente,
A) 3, 2 e 1 
B) 3, 3 e 1 
C) 3, 4 e 2
D) 5, 4 e 2
E) 6, 2 e 4
Estatística
82 Coleção Estudo
09. (Enem–2009) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram 
uma prova de gincana na qual as pontuações recebidas 
podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média das cinco equipes foi 
de 2 pontos. As notas das equipes foram colocadas no 
gráfico	a	seguir;	entretanto,	esqueceram	de	representar	
as notas da equipe D e da equipe E.
0
A B C D
? ?
E
1
2
3
Pontuação da gincana
Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, 
pode-se concluir que os valores da moda e da mediana 
são, respectivamente,
A) 1,5 e 2,0 
B) 2,0 e 1,5 
C) 2,0 e 2,0
D) 2,0 e 3,0
E) 3,0 e 2,0
06. A
07. D
08.	 D
09. B
10. D
11. D
12. A) Média: R$ 2 000,00
 Mediana: R$ 1 500,00
	 B)	A	variância	ficará	menor.
13. D
14. A)
Idade f fr(%)
19 5 20
20 7 28
21 8 32
22 3 12
23 2 8
Total 25 100
 B) Entre 1 050 e 1 190 leitoras com 21 anos 
leram a matéria.
15. A
16. D
17. D
Seção Enem
01. D
02. D
03. D
04. B
05. B
06. E
07. C
08.	 B
09. C
GABARITO
Fixação
01 E 
02. D 
03. C 
04. E 
05. D
Propostos
01. D 
02. E 
03. D
04. D
05. E
Frente E Módulo 16
Volume 05
MATEMÁTICA
2 Coleção Estudo
Su
m
ár
io
 -
 M
at
em
át
ic
a
Frente A
 09 3 Combinações I Autor: Luiz Paulo
 10 7 Combinações II Autor: Luiz Paulo
Frente B
 09 11 Cilindros Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 10 19 Cones Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente C
 09 27 Função exponencial Autor: Luiz Paulo
 10 33 Equações e inequações exponenciais Autor: Luiz Paulo
Frente D
 09 37 Áreas de polígonos Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 10 45 Áreas de círculo e suas partes Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente E
 17 51 Polinômios I Autor: Luiz Paulo
 18 55 Polinômios II Autor: Luiz Paulo
 19 59 Equações polinomiais I Autor: Luiz Paulo
 20 63 Equações polinomiais II Autor: Luiz Paulo
FRENTE
3Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Nos estudos anteriores, vimos os agrupamentos que 
diferem entre si pela ordem ou pela natureza dos seus 
elementos. Neste módulo, estudaremos agrupamentos que 
diferem entre si somente pela natureza dos seus elementos. 
Tais agrupamentos são conhecidos como combinações 
simples.
Como exemplo, consideremos o seguinte problema:
De quantos modos podemos formar uma comissão de 
3 pessoas a partir de um grupo de 6 pessoas?
Seja {Antônio, Pedro, João, Thiago, Nelson, Patrícia} 
o grupo de 6 pessoas. Nota-se que as comissões 
{Antônio, Pedro, João} e {João, Antônio, Pedro} são 
idênticas, pois a mudança de ordem dos nomes não 
determina uma nova comissão. Já as comissões {João, 
Thiago, Patrícia} e {Nelson, Patrícia, Antônio} são diferentes, 
pois seus integrantes são diferentes.
Cada uma das comissões de três elementos gera 3! 
sequências, obtidas pela mudança da ordem dos seus 
elementos (permutações simples). Porém, como vimos 
anteriormente, cada uma dessas sequências se refere 
à mesma comissão. Ao calcularmos o total de grupos, 
considerando que a ordem é importante, temos A6, 3 grupos. 
A seguir, “descontamos” as permutações dos três 
elementos, dividindo o resultado obtido por 3!. 
As comissões obtidas são chamadas combinações simples, 
e são representadas por C6, 3.
Assim, temos C6, 3 = 
A
6 3
3
,
!
 = 20 comissões.
COMBINAÇÕES SIMPLES
Definição
Considere um conjunto com n elementos. Chamamos 
de combinações simples de n elementos, tomados p a p, 
os agrupamentos com p elementos de um conjunto A 
nos quais a ordem dos elementos não é importante. 
Os agrupamentos diferem entre si somente pela natureza 
dos seus elementos.
Assim, temos:
Cn, p = 
A
p
n
n p p
n p,
!
!
( )!. !
=
−
 ⇒
Cn, p = 
n
n p p
!
( )!. !−
, n ≥ p
OBSERVAÇÃO
As combinações simples de n elementos tomados p a p, 
em que n ≥ p, podem ser representadas também nas formas 
Cn 
p ou n
p





 .
Exemplos
1º) De quantos modos é possível formar uma comissão 
de 4 alunos a partir de um grupo de 7 alunos?
 Resolução:
 Trata-se de um problema de combinações simples de 
7 elementos, tomados 4 a 4. Temos, portanto:
 C7, 4 = 
7
7 4 4
7
3 4
!
( )!. !
!
!. !−
= = 35 modos
2º) Quantos triângulos podem ser construídos a partir 
dos vértices de um hexágono convexo? 
 Resolução:
 Sejam A, B, C, D, E e F os vértices do hexágono. 
Observe que os triângulos ABC e CBA são idênticos, 
ou seja, a ordem dos vértices não é importante. 
Trata-se, portanto, de um problema de combinações 
simples. Assim, temos:
 C6, 3 = 
6
3 3
!
!. !
 = 20 triângulos
3º) Uma escola possui 7 professores de Matemática, 
5 professores de Português e 4 professores de 
Geografia. De quantos modos é possível formar uma 
comissão de 5 professores contendo 2 professores de 
Matemática, 2 professores de Português e 1 professor 
de Geografia?
 Resolução:
 Devemos escolher 2 entre 7 professores de Matemática 
(C7, 2), 2 entre 5 professores de Português (C5, 2) e 
1 entre 4 professores de Geografia (C4, 1). Portanto, 
pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
 C7, 2.C5, 2.C4, 1 = 21.10.4 = 840 modos
Combinações I 09 A
4 Coleção Estudo
4º) No início de uma festa, foram trocados 66 apertos 
de mão. Sabendo que cada pessoa cumprimentou 
uma única vez todas as outras, quantas pessoas 
havia na festa?
 Resolução:
 Seja n o número de pessoas na festa. Cada aperto 
de mão equivale a um grupo de 2 pessoas. Portanto, 
o total de apertos de mão é igual ao total de grupos 
de 2 pessoas obtidos a partir das n pessoas da festa, 
ou seja, Cn, 2.
 Cn, 2 = 66 ⇒ 
n
n
!
( )!. !− 2 2
 = 66 ⇒ 
 
n n n
n
.( ).( )!
( )!
− −
−
1 2
2
 = 132 ⇒ n2 – n – 132 = 0 
 Resolvendo a equação anterior, temos n = –11 
(não convém) e n = 12 (convém).
 Portanto, havia 12 pessoas na festa.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFMG–2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se 
formar uma comissão constituída de quatro integrantes. 
Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, 
não se relacionam um com o outro. Portanto, para 
evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, 
não deveriam participar da comissão a ser formada. 
Nessas condições, de quantas maneiras distintas pode-se 
formar essa comissão?
A) 70 C) 45
B) 35 D) 55
02. (UFSCar-SP) A câmara municipal de um determinado 
município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 
12 deles apoiam o prefeito, e os outros são contra. 
O número de maneiras diferentes de se formar 
uma comissão contendo exatamente 4 vereadores 
situacionistas e 3 oposicionistas é
A) 27720 D) 495
B) 13 860 E) 56
C) 551
03. (UFJF-MG–2009) De quantas maneiras podemos escolher 
3 números naturais distintos entre os inteiros de 1 a 20, 
de modo que a soma dos números escolhidos seja ímpar?
A) 100 D) 720
B) 360 E) 1 140
C) 570
04. (UFJF-MG) Uma liga esportiva elaborou um campeonato 
de futebol que será disputado em dois turnos. Em cada 
turno, cada clube jogará exatamente uma partida contra 
cada um dos outros participantes. Sabendo que o total de 
partidas será de 306, o número de clubes que participarão 
do campeonato é igual a
A) 34 D) 12 
B) 18 E) 9
C) 17
05. (FUVEST-SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, 
contendo 4 itens distintos cada um, para distribuir entre 
a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos 
entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de 
alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo 
menos um item que seja alimento não perecível e pelo 
menos um item que seja produto de limpeza. Quantos 
tipos de sacolas distintas podem ser feitos?
A) 360 
B) 420 
C) 540
D) 600
E) 640
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFPE–2007) Admita que, em um exame com 10 questões, 
um estudante tem de escolher 8 questões para serem 
respondidas. Quantas escolhas o estudante fará, se ele 
deve responder à primeira ou à segunda questão, mas 
não a ambas?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
02. (UFV-MG) Na primeira fase de um campeonato de futebol, 
os times participantes são divididos em 8 grupos de 
n times. Se, em cada grupo, todos os times se enfrentam 
uma única vez, então o número de jogos realizados nessa 
fase é
A) n(n – 1) C) 8n E) 4n
B) 8n(n – 1) D) 4n(n – 1)
03. (PUC RS) O número de jogos de um campeonato de 
futebol disputado por n clubes (n ≥ 2), no qual todos se 
enfrentam uma única vez, é
A) 
n n2
2
−
 D) n2
B) 
n2
2
 E) n!
C) n2 – n
Frente A Módulo 09
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
5Editora Bernoulli
04. (UFC) O número MÁXIMO de pontos de interseção entre 
10 circunferências distintas é
A) 100 
B) 90 
C) 45
D) 32
E) 20
05. (FUVEST-SP) Participam de um torneio de voleibol 
20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada uma. 
Na 1ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única 
vez (um único turno), todos contra todos em cada chave, 
sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 
2ª fase. Na 2ª fase, os jogos são eliminatórios; depois de 
cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. 
Logo, o número de jogos necessários até que se apure o 
campeão do torneio é
A) 39 
B) 41 
C) 43
D) 45
E) 47
06. (Mackenzie-SP) Uma padaria faz sanduíches, segundo 
a escolha do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes de 
pães e 10 tipos diferentes de recheios. Se o cliente pode 
escolher o tipo de pão e 1, 2 ou 3 recheios diferentes, 
o número de possibilidades de compor o sanduíche é
A) 525 
B) 630 
C) 735
D) 375
E) 450
07. (UFRJ) Um campeonato de futebol foi disputado por 
10 equipes em um único turno, de modo que cada 
time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez. 
O vencedor de uma partida ganha 3 pontos, e o perdedor 
não ganha ponto algum; em caso de empate, cada 
equipe ganha 1 ponto. Ao final do campeonato, tivemos 
a seguinte pontuação:
Equipe 1 20 pontos Equipe 6 17 pontos
Equipe 2 10 pontos Equipe 7 9 pontos
Equipe 3 14 pontos Equipe 8 13 pontos
Equipe 4 9 pontos Equipe 9 4 pontos
Equipe 5 12 pontos Equipe 10 10 pontos
DETERMINE quantos jogos desse campeonato 
terminaram empatados.
08. (UFU-MG) Considere A, B, C, D, E, F e G pontos num 
mesmo plano, tais que, entre esses pontos, não existam 
três que sejam colineares. Quantos triângulos podem ser 
formados com vértices dados por esses pontos, de modo 
que não existam triângulos de lado AB, nem de lado BC?
A) 34 
B) 35 
C) 26
D) 25
09. (PUC Minas) Sobre a reta r, tomam-se três pontos; sobre 
a reta s, paralela a r, tomam-se cinco pontos. Nessas 
condições, o número de triângulos distintos e com vértices 
nesses pontos é
A) 45 
B) 46
C) 47
D) 48
10. (UFOP-MG) De quantas maneiras podemos distribuir 
10 alunos em 2 salas de aula com 7 e 3 lugares, 
respectivamente?
A) 120 
B) 240 
C) 14 400
D) 86 400
E) 3 608 800
11. (UFJF-MG) Um programa de TV organizou um concurso e, 
na sua fase final, promoveu o confronto entre os finalistas, 
de modo que cada um deles se confrontava com cada 
um dos outros uma única vez. Se foram gravados 
28 confrontos, é CORRETO afirmar que o número de 
finalistas foi
A) 2
B) 4
C) 7
D) 8
E) 14
12. (UEL-PR) São dados n pontos, dois a dois distintos entre si, 
4 dos quais pertencem a uma reta r, e os demais 
encontram-se sobre uma reta paralela a r. Se podem 
ser construídos 126 quadriláteros com vértices nesses 
pontos, então n é um número
A) quadrado perfeito. 
B) primo. 
C) múltiplo de 7.
D) menor que 10.
E) maior que 15.
Combinações I
6 Coleção Estudo
13. (VUNESP) Considere os algarismos 2, 3, 5, 7, 11. 
A quantidade total de números distintos que se obtêm 
multiplicando-se dois ou mais desses algarismos, sem 
repetição, é
A) 120
B) 52
C) 36 
D) 26
E) 21
14. (ITA-SP) Um general possui n soldados para tomar uma 
posição inimiga. Desejando efetuar um ataque com dois 
grupos, um frontal com r soldados e outro da retaguarda 
com s soldados (r + s = n), ele poderá dispor seus 
homens de
A) 
n
r s
!
( )!+
 maneiras distintas neste ataque.
B) 
n
r s
!
!. !
 maneiras distintas neste ataque.
C) 
n
r s
!
( . )!
 maneiras distintas neste ataque.
D) 
2( !)
( )!
n
r s+
 maneiras distintas neste ataque.
E) 
2( !)
!. !
n
r s
 maneiras distintas neste ataque.
15. (UFU-MG) Um sério problema enfrentado pelas autoridades 
de saúde é diagnosticar a chamada pneumonia asiática. 
Atualmente, são conhecidos 7 sintomas dessa doença. 
Se, em um paciente, forem detectados 5 ou mais desses 
possíveis sintomas, a doença é diagnosticada. Diante 
disso, pode-se afirmar que o número total de combinações 
distintas dos sintomas possíveis para que o diagnóstico 
da pneumonia asiática seja efetivo é igual a
A) 21 C) 147 
B) 29 D) 210
16. (UFU-MG) Dez equipes disputaram um campeonato de 
futebol, sendo que cada equipe disputou exatamente 
duas partidas contra cada uma das demais equipes. 
De acordo com o regulamento do campeonato, em cada 
partida foram atribuídos três pontos ganhos para a 
equipe vencedora, nenhum ponto ganho para a equipe 
derrotada e, em caso de empate, um ponto ganho para 
cada uma das duas equipes. Sabendo-se que, ao final do 
campeonato, foi atribuído um total de 231 pontos ganhos 
às equipes, DETERMINE quantas partidas terminaram 
em vitória e quantas terminaram empatadas.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Doze times se inscreveram em um torneio 
de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi 
escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 
4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os 
times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar 
o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles 
jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time 
visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para 
o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do 
jogo de abertura podem ser calculadas através de
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
D) duas combinações.
E) dois arranjos.
02. Ao visitar uma cidade histórica, Adelson resolveu levar 
presentes para a sua família. Em um dos lados de uma rua, 
há 6 lojas de artesanato e, do outro, 4 lojas de roupas. 
Sabe-se que cada loja é especializada em um tipo de 
produto, não havendo a possibilidade de um mesmo 
item ser encontrado em mais de uma loja. Adelson 
deseja comprar 3 presentes, sendo apenas 1 em cada 
loja. Quantos grupos diferentes de presentes podem ser 
formados por Adelson, de modo que ele compre pelo 
menos um objetode artesanato e pelo menos uma peça 
de roupa? 
A) 24 B) 48 C) 72 D) 96 E) 108
GABARITO 
Fixação
01. D 02. A 03. C 04. B 05. E
Propostos
01. B 09. A 
02. D 10. A 
03. A 11. D 
04. B 12. B 
05. E 13. D
06. A 14. B
07. 17 15. B
08. C 16. 51 vitórias e 39 empates
Seção Enem
01. A 02. D 
Frente A Módulo 09
FRENTE
7Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (CEFET-MG–2006) Num plano, existem vinte pontos dos 
quais três nunca são colineares, exceto seis, que estão 
sobre uma mesma reta. O número de retas determinadas 
pelos vinte pontos é
A) 150 
B) 176 
C) 185
D) 205
E) 212
Resolução:
Inicialmente, consideremos o total de grupos de dois 
pontos formado a partir dos vinte pontos. Depois, 
verificamos que, desse total de grupos, devemos subtrair 
os grupos formados a partir dos 6 pontos colineares. 
Em seguida, acrescentamos a própria reta, que contém 
os seis pontos. Assim, temos:
C20, 2 – C6, 2 + 1 = 
20
18 2
6
4 2
1
!
!. !
!
!. !
− + = 176 retas
02. (UFV-MG–2008) Uma equipe de futebol de salão de 
cinco membros é formada escolhendo-se os jogadores 
de um grupo V, com 7 jogadores, e de um grupo W, 
com 6 jogadores. O número de equipes diferentes que é 
possível formar de modo que entre seus membros haja, 
no mínimo, um jogador do grupo W é
A) 1 266
B) 1 356
C) 1 246
D) 1 376
Resolução:
Do total de equipes que podem ser formadas com os 
13 jogadores (7 de V e 6 de W), subtraímos as equipes 
formadas apenas com jogadores do grupo V. Com isso, 
garantimos a presença de pelo menos um jogador do 
grupo W. Assim, temos:
C13, 5 – C7, 5 = 
13
8 5
7
2 5
!
!. !
!
!. !
− = 1 266
03. (UFVJM-MG–2008) Considere a situação-problema em que, 
dos 12 funcionários de uma microempresa, 5 são 
mulheres, os trabalhos são realizados por comissões 
de três funcionários cada uma, e em nenhuma delas os 
3 componentes são do mesmo sexo. Com base nessas 
informações, é correto afirmar que o número de maneiras 
de se compor essas comissões, com tais características, 
é igual a
A) 125 
B) 155 
C) 175 
D) 165
Resolução:
Do total de comissões possíveis, subtraímos as comissões 
formadas apenas por homens e apenas por mulheres. 
Assim, temos:
C12, 3 – C5, 3 – C7, 3 = 
12
9 3
5
2 3
7
4 3
!
!. !
!
!. !
!
!. !
− − = 175
04. (UFMG) Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas 
e 3 vermelhas. O número de maneiras possíveis de se 
retirar simultaneamente dessa urna um grupo de 6 bolas 
que contém pelo menos uma de cada cor é
A) 84
B) 252
C) 805 
D) 924
Resolução:
Do total de grupos possíveis, retiramos os grupos 
formados apenas por duas cores, já que não é possível 
formar grupos com bolas de uma só cor. Portanto, 
temos:
Total de grupos: C12, 6 = 
12
6 6
!
!. !
 = 924
Apenas bolas pretas e brancas: C9, 6 = 
9
3 6
!
!. !
 = 84
Apenas bolas pretas e vermelhas: C8, 6 = 
8
2 6
!
!. !
 = 28
Apenas bolas brancas e vermelhas: C7, 6 = 
7
1 6
!
!. !
 = 7
Logo, o número de grupos é 924 – 84 – 28 – 7 = 805.
Combinações II 10 A
8 Coleção Estudo
05. (CEFET-MG–2007) Em um bar, vende-se três tipos de 
cervejas: S, B e K. O número de maneiras diferentes 
que uma pessoa pode comprar quatro garrafas dessas 
cervejas é
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 
Resolução:
Devemos determinar o número de maneiras de se 
distribuir 4 objetos idênticos (as cervejas) entre as três 
marcas S, B ou K. Adotaremos a seguinte ideia:
I. Inicialmente, escrevemos o 4 como uma sequência de 
quatro dígitos “1”:
1 1 1 1 = 4
II. Consideramos dois “separadores”, representados por 
barras (“|”), a fim de dividir a sequência em três partes. 
Por exemplo:
 “1 | 1 1 | 1” indica uma cerveja S, duas B e uma K.
 “1 1 | 1 1 |” indica duas cervejas S, duas B e zero K.
Portanto, há 6 caracteres considerados, a saber, quatro 
dígitos “1” e as duas barras. O número de maneiras 
de distribuir as cervejas é igual ao número de modos 
de posicionarmos os dois separadores nas 6 posições 
possíveis, ou seja:
C6, 2 = 
6
4 2
!
!. !
 = 15 maneiras
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (Mackenzie-SP) Num grupo de 10 pessoas temos somente 
2 homens. O número de comissões de 5 pessoas que 
podemos formar com 1 homem e 4 mulheres é
A) 70 D) 210 
B) 84 E) 252
C) 140
02. (UFES) Uma cidade atravessada por um rio tem 8 bairros 
situados em uma das margens do rio e 5 bairros situados 
na outra margem. O número de POSSÍVEIS escolhas de 
1 bairro qualquer situado em qualquer uma das margens 
do rio e 3 bairros quaisquer situados na outra margem é
A) 280 D) 1 680 
B) 360 E) 2 160
C) 480
03. (UFV-MG) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas 
e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses 
nutrientes para obter um composto químico. O número 
de compostos que poderão ser preparados usando-se, 
no máximo, 2 tipos de sais minerais é
A) 32 D) 26 
B) 28 E) 30
C) 34
04. (FUVEST-SP–2006) Em uma certa comunidade, dois 
homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um 
aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto 
de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam 
com um aperto de mão, mas se despedem com um 
aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se 
cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma 
comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos 
se cumprimentaram e se despediram na forma descrita 
anteriormente. Quantos dos presentes eram mulheres, 
sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
05. (FJP-MG–2008) O destacamento policial de uma pequena 
cidade é composto de um tenente (comandante), três 
sargentos, três cabos e doze soldados. O comandante 
precisa organizar uma patrulha composta de um 
sargento, um cabo e quatro soldados, escolhidos por 
sorteio. Os sargentos chamam-se Antônio, Pedro e 
João. O número de patrulhas diferentes que poderão ser 
organizadas sem a participação do sargento João é
A) 1 485 C) 2 970
B) 1 890 D) 3 455
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP–2007) Em uma classe de 9 alunos, todos 
se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando 
com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma 
comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada 
membro se relacione bem com todos os outros. Quantas 
comissões podem ser formadas?
A) 71 B) 75 C) 80 D) 83 E) 87
02. (UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. 
Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, 
ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras 
distintas se pode fazer tal distribuição?
A) 28
7 4
!
!. !
 B) 28
4 24
!
!. !
 C) 28
7 4
!
( !)
 D) 28
7 21
!
!. !
03. (UFMG) A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se 
formar uma comissão de oito integrantes, composta de 
um presidente, um vice-presidente, um secretário, um 
tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situação, de 
quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão?
A) 
14
4 6
!
!. !
 B) 
14
4 2
!
( !)
 C) 
14
6 8
!
!. !
 D) 
14
6 10
!
!. !
04. (Mackenzie-SP) A partir de um grupo de 10 pessoas, 
devemos formar k comissões de pelo menos dois 
membros, sendo que em todas deve aparecer uma 
determinada pessoa A do grupo. Então, k vale
A) 1 024 C) 216 E) 1 023
B) 512 D) 511
Frente A Módulo 10
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
9Editora Bernoulli
05. (UNIRIO-RJ) Um grupo de 9 pessoas, entre elas os irmãos 
João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram 
3 barracas diferentes, sendo que, na primeira, dormiram 
duas pessoas; na segunda, três pessoas; e, na terceira, 
as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles 
podem se organizar, sabendo que a única restrição é a 
de que os irmãos João e Pedro não podem dormir na 
mesma barraca?
A) 1 260 C) 1 155 E) 910
B) 1 225 D) 1 050
06. (UEL-PR–2006) Na formação de uma Comissão 
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um 
certo número de membros, de acordo com o tamanho 
de sua representação no Congresso Nacional. Faltamapenas dois partidos para indicar seus membros. 
O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, 
enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 
1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número 
de possibilidades diferentes para a composição dos 
membros desses dois partidos nessa CPI.
A) 55 D) 40.39.38.15
B) (40 – 3).(15 – 1) E) 40!.37!.15!
C) 
40
37 3
15
!
!. !
.
07. (FGV-SP–2008) O número de segmentos de reta que têm 
ambas as extremidades localizadas nos vértices de um 
cubo dado é
A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 28
08. (UFMG) Em uma viagem aérea, um passageiro tem, 
em sua bagagem, 20 livros diferentes, entre os quais um 
escrito em alemão e um dicionário de alemão. Desses 
livros, dez pesam 200 g cada um, seis pesam 400 g 
cada um e quatro, 500 g cada um. No entanto, ele só 
pode levar 2 kg de livros. Sabendo-se que pretende 
levar o livro em alemão e o dicionário, que pesam, 
respectivamente, 200 g e 500 g, de quantas maneiras 
distintas poderá obter esses 2 kg?
09. (FGV-SP–2007) Três números inteiros distintos de 
–20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja 
um número negativo. O número de maneiras diferentes 
de se fazer essa escolha é
A) 4 940 C) 3 820 E) 3 280
B) 4 250 D) 3 640 
10. (UERJ) Para montar um sanduíche, os clientes de uma 
lanchonete podem escolher:
I) Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo.
II) Um entre os tamanhos: pequeno e grande.
III) De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, 
atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade 
de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
CALCULE:
A) Quantos sanduíches distintos podem ser montados.
B) O número de sanduíches distintos que um cliente 
pode montar, se ele não gosta de orégano, só come 
sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada 
sanduíche.
11. (ITA-SP–2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se 
formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 
1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal 
comissão poderá ser formada?
12. (UECE–2008) O conjunto {1 995, 1 996, 1 997, ..., 2 008} 
possui, exatamente, X subconjuntos com, no mínimo, 
4 elementos. Assinale a alternativa na qual se encontra 
o valor de X.
A) 210 C) 20 020
B) 24(210 – 1) D) 15 914
13. (Unifor-CE–2008) Três amigos irão ao teatro e seus 
ingressos permitem que escolham três poltronas, entre 
cinco pré-determinadas de uma mesma fila, para sentar-se. 
Nessas condições, de quantas maneiras distintas eles 
poderão se acomodar para assistir ao espetáculo?
A) 10 B) 12 C) 30 D) 45 E) 60
14. (UFC–2007) Escolhemos cinco números, sem repetição, 
entre os inteiros de 1 a 20. CALCULE quantas escolhas 
distintas podem ser feitas, sabendo que ao menos dois 
dos cinco números selecionados devem deixar um mesmo 
resto quando divididos por 5.
15. (UFMG) Um baralho é composto por 52 cartas divididas 
em quatro naipes distintos. Cada naipe é constituído por 
13 cartas – 9 cartas numeradas de 2 a 10, mais Valete, 
Dama, Rei e Ás, representadas, respectivamente, pelas 
letras J, Q, K e A. Um par e uma trinca consistem, 
respectivamente, de duas e de três cartas de mesmo 
número ou letra. Um full hand é uma combinação de cinco 
cartas, formada por um par e uma trinca. Considerando 
essas informações, CALCULE:
1. De quantas maneiras distintas se pode formar um full 
hand com um par de reis e uma trinca de 2.
2. De quantas maneiras distintas se pode formar um full 
hand com um par de reis.
3. De quantas maneiras distintas se pode formar um full 
hand.
16. (Mackenzie-SP–2008) Na figura, o quadrado ABCD é 
formado por 9 quadrados congruentes. O total de 
triângulos distintos, que podem ser construídos, a partir 
dos 16 pontos, é
A B
D C
A) 516 C) 526 E) 546
B) 520 D) 532 
Combinações II
10 Coleção Estudo
17. (UFJF-MG–2006) Um cientista recebeu 5 cobaias para 
usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos 
indicaram que o número de maneiras POSSÍVEIS de 
escolher pelo menos 3 cobaias é
A) 10 B) 16 C) 50 D) 120 E) 60
SEÇÃO ENEM
01. Comprovou-se, pela 15ª edição do Rally Internacional dos 
Sertões, realizada em agosto de 2007, que esta é uma das 
provas mais importantes do mundo em termos do número 
de inscritos e do grau de dificuldade do percurso. No mapa 
a seguir, estão o roteiro do rally, que teve largada em 
Goiânia (GO) e chegada em Salvador (BA), e os diversos 
postos de controle, que são os pontos destacados, com 
exceção dos locais de largada e chegada.
MARANHÃO
PIAUÍ
Palmas - TO
Alto Parnaíba - MA São Raimundo Nonato - PI
Senhor do Bonfim - BA
Aracajú - SEBarra - BA
BAHIA
SERGIPETOCANTINS
GOIÁS
Goiânia - GO
Largada
Start
Salvador - BA
Chegada
Finish line
LEGENDA
Cross Country
Lençóis - BA
Minaçu - GO
MARANHÃO
PIAUÍ
Palmas - TO
Alto Parnaíba - MA São Raimundo Nonato - PI
Senhor do Bonfim - BA
Aracajú - SEBarra - BA
BAHIA
SERGIPETOCANTINS
GOIÁS
Goiânia - GO
Largada
Start
Salvador - BA
Chegada
Finish line
LEGENDA
Cross Country
Lençóis - BA
Minaçu - GO
Disponível em: <http://4.bp.blogspot.com/_nVcoxAcauyA/
RpD4w0YOQiI/AAAAAAAAALw/IIW5lcLv9F4/s400/mapa_
maior_2007.jpg>. Acesso em: 06 ago. 2010.
Todos os participantes da prova devem passar pelos 
postos de controle, onde é registrado o tempo que 
gastaram e é fornecido o apoio logístico necessário. Para 
cada posto, é necessária uma equipe de 4 ajudantes. 
Deseja-se selecionar equipes para os postos de controle 
localizados no estado da Bahia. Sabendo-se que há um 
total de 14 candidatos, o total de maneiras de se fazer 
essa seleção é igual a
A) C14, 4.C10, 4.C6, 4 
B) 3.C14, 4 
C) 
C C
14 4 10 4
2
, ,
.
D) C14, 4 + C10, 4 + C6, 4
E) 2.C14, 4
02. Uma equipe de 5 cientistas deverá ser formada a partir 
de um grupo constituído por 7 biólogos, 8 físicos e 
5 geólogos. Tal equipe deverá conter pelo menos um 
geólogo e pelo menos um físico. O total de maneiras 
distintas de se formar tal equipe é
A) 15 504 
B) 11 730 
C) 10 564
D) 9 868
E) 8 543
GABARITO
Fixação
01. C 02. B 03. C 04. B 05. C
Propostos
01. A
02. C
03. A
04. D
05. E
06. C
07. E
08. 1 071
09. A
10. A) 186
 B) 20
11. 125
12. D
13. E
14. 14 480
15. 1. C4, 2.C4, 3 = 24
 2. C4, 2.C4, 3.C12, 1 = 288
 3. C13, 1.C4, 2.C12, 1.C4, 3 = 3 744
16. A
17. B
Seção Enem
01. A
02. B
Frente A Módulo 10
FRENTE
11Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
w
w
w
.b
lo
g
ed
u
ca
ci
o
n
al
.c
o
m
DEFINIÇÃO
Considere dois círculos de mesmo raio, situados em dois 
planos paralelos, e a reta e, que passa pelos centros destes. 
Chama-se de cilindro circular a reunião dos segmentos 
paralelos à reta e que unem os dois círculos.
r
e
O’
rO
Podemos identificar em um cilindro circular os seguintes 
elementos:
Bases: círculos congruentes situados em planos paralelos.
Eixo: é a reta determinada pelos centros das bases.
Geratrizes: são os segmentos, paralelos ao eixo, com 
extremidades nas circunferências das bases.
Altura: distância h entre os planos das bases.
O’
r
h
base
geratriz
eixo
O
r
NOMENCLATURA
Um cilindro circular pode ser oblíquo ou reto, de acordo com 
a posição relativa entre as geratrizes e os planos das bases.
g
O’
O
Cilindro oblíquo
h g=h
O’
O
Cilindro reto
(geratrizes perpendiculares às bases)
g=h
 
O cilindro circular reto é também chamado cilindro de 
revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo em 
torno de um eixo que contém um dos seus lados.
O’
O r
eixo
Secção meridiana é a interseção do cilindro com um plano 
que contém a reta OO’ determinada pelos centros das bases. 
A secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo.
O’
r
secção meridianacilindro reto
h
2r
h
O
rr
Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é 
um quadrado, ou seja, a geratriz e a altura têm medidas 
iguais ao dobro da medida do raio da base do cilindro.
r
O
r
g = h = 2r
O’
Cilindros 09 B
12 Coleção Estudo
ÁREA LATERAL
Planificando a superfície lateral de um cilindro reto, 
obtemosum retângulo de dimensões 2pr e h. Logo, 
a superfície lateral de um cilindro circular reto é equivalente 
a um retângulo de dimensões 2pr (comprimento da 
circunferência da base) e h (altura do cilindro).
2πr
h h
r O
Portanto, a área lateral do cilindro é:
A

 = 2prh
ÁREA TOTAL
A área total de um cilindro é a soma da área lateral (A

) 
com as áreas das duas bases (AB = pr2); logo:
A T = A + 2AB ⇒ A T = 2prh + 2pr2 ⇒
A T = 2pr(h + r)
 2πr
h
r
r
superfície lateral
VOLUME DO CILINDRO
Consideremos um cilindro e um prisma, ambos de altura 
h e área da base AB. Suponhamos que os dois sólidos 
possuam bases num mesmo plano a, como mostrado na 
figura a seguir:
β
α
h
AB
AB
AB
r
AB
Qualquer plano b paralelo a a que secciona o prisma também 
secciona o cilindro, determinando secções de mesma área AB. 
Podemos afirmar, então, que os dois sólidos têm volumes iguais.
Vcilindro = Vprisma = AB.h
O volume de um cilindro é o produto da área da base pela 
medida da altura.
Como AB = pr2, temos:
V = pr2h
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (UNESP) Considerar um cilindro circular reto de altura 
x cm e raio da base igual a y cm. Usando a aproximação 
p = 3, determinar x e y nos seguintes casos:
A) O volume do cilindro é 243 cm3 e a altura é igual ao 
triplo do raio.
B) A área da superfície lateral do cilindro é 450 cm2 e a 
altura tem 10 cm a mais que o raio.
Resolução:
A) 
yO
x = 3y
 Como o volume do cilindro é 243 cm3, temos:
 V = AB.H ⇒ 243 = py2.3y ⇒ 243 = 9.y3 ⇒
 y3 = 27 ⇒ y = 3 cm
 Mas, x = 3y ⇒ x = 9 cm.
 Portanto, x = 9 cm e y = 3 cm.
B) 
yO
x = y + 10
 Como a área lateral do cilindro é 450 cm2, temos:
 A = 2py.x ⇒ 450 = 6.y.(y + 10) ⇒ 
 75= y2 + 10y ⇒ y2 + 10y – 75 = 0 ⇒ 
 y = 5, pois y > 0
 Logo, x = y + 10 ⇒ x = 15 cm.
Frente B Módulo 09
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
13Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (FUVEST-SP) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de 
dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas 
a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, 
soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado 
a seguir:
aa
2a
a
2a
2a
Barril do tipo A
Barril do tipo B
Se VA e VB indicam os volumes dos barris dos tipos 
A e B, respectivamente, tem-se
A) VA = 2VB 
B) VB = 2VA 
C) VA = VB
D) VA = 4VB
E) VB = 4VA
02. (UFJF-MG) Aumentando-se o raio de um cilindro em 4 cm 
e mantendo-se a sua altura, a área lateral do novo cilindro 
é igual à área total do cilindro original. Sabendo-se que 
a altura do cilindro original mede 1 cm, então o seu raio 
mede, em cm,
A) 1 C) 4
B) 2 D) 6
03. (UNESP–2009) A base metálica de um dos tanques de 
armazenamento de látex de uma fábrica de preservativos 
cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse 
acidente, vazaram 12 mil litros de látex. Considerando 
a aproximação p = 3, e que 1 000 litros correspondem 
a 1 m3, se utilizássemos vasilhames na forma de um 
cilindro circular reto, com 0,4 m de raio e 1 m de altura, 
a quantidade de látex derramado daria para encher 
exatamente quantos vasilhames?
A) 12 
B) 20 
C) 22
D) 25
E) 30
04. (UFSM-RS) Um suco de frutas é vendido em dois tipos de 
latas cilíndricas: uma lata L1 de altura h1 e raio r1 e uma lata 
L2 de altura h2 e raio r2 . A lata L1 é vendida por R$ 1,50 e a 
lata L2 é vendida por R$ 0,80. Assinale VERDADEIRA (V) 
ou FALSA (F) em cada uma das afirmações a seguir:
( ) Se h2 = 4h1 e r2 = 
1
2





 r1, é mais econômico comprar 
a lata L2.
( ) Se h2 = 2h1 e r2 = 
1
2





 r1, é mais econômico comprar 
a lata L1.
( ) Se h2 = 
3
2





 h1 e r2 = 
2
3





 r1, é mais econômico comprar 
a lata L1.
A sequência CORRETA é
A) V V F. D) V V V.
B) F V F. E) F F V.
C) V F V.
05. (UFMG) Num cilindro de 5 cm de altura, a área da base 
é igual à área de uma seção por um plano que contém o 
eixo do cilindro, tal como a seção ABCD na figura a seguir:
A
B
C
D
eixo
O volume desse cilindro é de
A) 
250
π
 cm3. 
B) 
500
π
 cm3. 
C) 
625
π
 cm3.
D) 
125
π
 cm3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área 
da base igual a 1 200 cm2, está com água até a metade 
de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse 
aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, 
o nível da água sobe para 16,5 cm. Então, o volume das 
pedras é
A) 1 200 cm3. C) 1 500 cm3.
B) 2 100 cm3. D) 1 800 cm3.
Cilindros
14 Coleção Estudo
02. (UFOP-MG) Num cilindro circular reto, o raio da base e a 
altura medem 3
2
cm e ¹2 cm, respectivamente. Então, 
podemos afirmar que o valor de sua área lateral, em cm2, é
A) p 
B) ¹6p 
C) 2p 
D) ¹2p
E) 
6
3
π
03. (UFRRJ) Carlos é um rapaz viciado em beber refrigerante 
diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em 
frente a uma companhia de gás, em que viu um enorme 
reservatório cilíndrico de 3 metros de altura com uma base 
de 2 metros de diâmetro e pensou... “Em quanto tempo 
eu beberia aquele reservatório inteiro, se ele estivesse 
cheio de refrigerante diet?” Considerando p = 3,14 
e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante 
diet por dia, pode-se afirmar que ele consumiria todo o 
líquido do reservatório em um período de
A) 86 dias. 
B) 86 meses. 
C) 86 anos.
D) 8,6 anos.
E) 860 meses.
04. (UNESP) Se quadruplicarmos o raio da base de um 
cilindro, mantendo a sua altura, o volume do cilindro fica 
multiplicado por
A) 16 
B) 12
C) 8
D) 4
E) 4p
05. (UFJF-MG) Uma certa marca de leite em pó era vendida 
em uma embalagem, completamente cheia, no formato 
de um cilindro circular reto de altura 12 cm e raio da 
base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabricante alterou a 
embalagem, aumentando em 2 cm a altura e diminuindo 
em 1 cm o raio da base, mas manteve o preço por 
unidade. Então, na realidade, o preço do produto
A) diminuiu.
B) se manteve estável.
C) aumentou entre 10% e 20%.
D) aumentou entre 20% e 30%.
E) aumentou entre 30% e 40%.
06. (UNESP) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um 
cilindro circular reto na posição vertical, está completamente 
cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo.
12 m
Petróleo
Água
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, 
da camada de petróleo é
A) 2p C) 7
3
π
 E) 
8
3
π
B) 7 D) 8
07. (UFAL) Na figura a seguir têm-se duas vistas de um tanque 
para peixes, construído em uma praça pública.
Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura 
de 1,2 m e raios da base medindo 3 m e 4 m. Se, no 
momento, a água no interior do tanque está alcançando 
3
4
 de sua altura, quantos litros de água há no tanque? 
Use: π =






22
7
A) 1 980 C) 6 600 E) 66 000
B) 3 300 D) 19 800 
08. (UFPE) Qual das propostas a seguir pode ser utilizada 
para duplicar o volume de um cilindro modificando seu 
raio da base e sua altura?
A) Duplicar o raio e manter a altura.
B) Aumentar a altura em 50% e manter o raio.
C) Aumentar o raio em 50% e manter a altura.
D) Duplicar o raio e reduzir a altura à metade.
E) Duplicar a altura e reduzir o raio à metade.
09. (Fatec-SP) Um tanque para depósito de combustível 
tem a forma cilíndrica de dimensões: 10 m de altura e 
12 m de diâmetro. Periodicamente é feita a conservação 
do mesmo, pintando-se sua superfície lateral externa. 
Sabe-se que com uma lata de tinta pintam-se 14 m2 da 
superfície. Nessas condições, é verdade que a MENOR 
quantidade de latas que será necessária para a pintura 
da superfície lateral do tanque é
A) 14 B) 23 C) 27 D) 34 E) 54
Frente B Módulo 09
M
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TI
C
A
15Editora Bernoulli
10. (UFRN) Um fabr icante de doces ut i l iza duas 
embalagens, X e Y, para acondicionar seus produtos. 
A primeira X tem formato de um cubo com aresta de 
9 cm, e a segunda Y tem formato de um cilindro reto, 
cujas medidas da altura e do diâmetro da base medem, 
cada uma, 10cm. Sendo assim, podemos afirmar que
A) a área total da embalagem Y é 3
5
 da área total da 
embalagem X.
B) o volume da embalagem Y é 3
4
 do volume da 
embalagem X.
C) a área total da embalagem X é menor que a área 
total da embalagem Y.
D) o volume da embalagem X é menor que o volume da 
embalagem Y.
11. (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e 
base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana 
horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme 
indicado na figura.
60 cm
40 cm
20 cm
lmergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, 
o nível da água sobe 25%. Considerando p igual a 3, 
a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água 
é igual a
A) 10¹2 C) 10¹12 
B) 10³2 D) 10³12
12. (UFJF-MG) Um certo produtor rural fabrica queijos 
no formato de cilindro circular reto de 15 cm de 
raio da base e 5 cm de altura. Depois, esses queijos 
são cortados em 6 pedaços iguais, cujas bases têm 
o formato de setor circular (como ilustra a figura), 
e cada pedaço é embalado com papel alumínio. 
RESPONDA, justificando sua resposta, se uma folha 
retangular de papel alumínio, com 30 cm de largura por 
15 cm de comprimento, possui papel suficiente para 
cobrir a superfície total de um desses pedaços de queijo.
13. (UFV-MG–2008) Um homem utiliza um balde cilíndrico, de 
30 cm de diâmetro da base e 35 cm de altura, para pegar 
água numa fonte com o objetivo de encher um tanque de 
volume VT = 264 600p cm3. Cada vez que vai à fonte, ele 
enche 
4
5
 do balde de água e no caminho derrama 10% 
deste conteúdo. Estando o tanque inicialmente vazio, 
o número de viagens à fonte que o homem terá que trazer 
para que a água no tanque atinja 
6
7
 do volume VT é
A) 40 B) 50 C) 30 D) 20
14. (UFV-MG) Deseja-se construir um recipiente fechado 
em forma de um cilindro circular reto com área lateral 
144p m2 e a altura de 12 m.
A) DETERMINE o volume do recipiente.
B) Supondo que o metro quadrado do material a ser 
utilizado custa R$ 10,00, CALCULE o valor gasto na 
construção do recipiente. (Considere p = 3,14)
15. (UNESP) Considere uma lata cilíndrica de raio r e altura h 
completamente cheia de um determinado líquido. Esse 
líquido deve ser distribuído totalmente em copos também 
cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da lata e 
cujo raio é dois terços do raio da lata. 
DETERMINE
A) os volumes da lata e do copo, em função de r e h.
B) o número de copos necessários, considerando que os 
copos serão totalmente cheios com o líquido.
16. (UFPE) Na figura a seguir, os pontos A e B estão nos 
círculos das bases de um cilindro reto de raio da base 
15
π
 e altura 12. Os pontos A e C pertencem a uma 
geratriz do cilindro e o arco BC mede 60 graus. Qual a 
MENOR distância entre A e B medida sobre a superfície 
do cilindro?
60º
C
A
B
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
17. (Unicamp-SP) Um cilindro circular reto é cortado por 
um plano não paralelo à sua base, resultando no sólido 
ilustrado na figura a seguir. CALCULE o volume desse 
sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB = a 
e da altura mínima CD = b. JUSTIFIQUE seu raciocínio.
A C
b
a
D
B
r
Cilindros
16 Coleção Estudo
18. (UNIFESP–2006) A figura indica algumas das dimensões 
de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro 
circular oblíquo, com uma base no solo, e de um 
semicilindro. Dado que o raio da circunferência da base 
do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de 
concreto, em cm3, é
1,0 m
solo
1,2 m
A) 11 000p 
B) 10 000p 
C) 5 500p 
D) 5 000p 
E) 1 100p
19. (UFOP-MG–2008) Um recipiente cilíndrico, com 
graduação, na altura, em centímetros, está cheio de água 
até a marca 30. Imerge-se nele uma pedra, elevando-se 
o nível da água para 40. O raio da base do recipiente 
mede 8 cm e a densidade da pedra é 2 kg/L (quilogramas 
por litro). Considerando p = 3,1, a massa da pedra, 
em quilogramas, está MAIS PRÓXIMA de
A) 2 C) 6
B) 4 D) 8
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Em uma padaria, há dois tipos de forma 
de bolo, formas 1 e 2, como mostra a figura a seguir:
A2A1
1
β
2
Sejam L o lado da base da forma quadrada, r o raio da 
base da forma redonda, A1 e A2 as áreas das bases das 
formas 1 e 2, e V1 e V2 os seus volumes, respectivamente. 
Se as formas têm a mesma altura h, para que elas 
comportem a mesma quantidade de massa de bolo, qual 
é a relação entre r e L?
A) L = r 
B) L = 2r 
C) L = pr
D) L = r π
E) L = πr
2
2
02. (Enem–2008) A figura a seguir mostra um reservatório de 
água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de 
altura. Quando está completamente cheio, o reservatório 
é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo 
consumo médio diário é de 500 litros de água.
6 m
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de 
conscientização do uso da água, os moradores das 900 
casas abastecidas por esse reservatório tenham feito 
economia de 10% no consumo de água. Nessa situação,
A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3.
B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, 
no final do dia, foi igual a 60 cm.
C) a quantidade de água economizada seria suficiente 
para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo 
diário fosse de 450 litros.
D) os moradores dessas casas economizariam mais 
de R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o 
consumidor fosse igual a R$ 2,50.
E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com 
raio da base 10% menor que o representado, teria 
água suficiente para abastecer todas as casas.
03. (Enem–2009) Em uma praça pública, há uma fonte que 
é formada por dois cilindros, um de raio r e altura h1 
e o outro de raio R e altura h2. O cilindro do meio enche e, 
após transbordar, começa a encher o outro.
r
R
Se R = r 2 e h
h
2
1
3
= e, para encher o cilindro do meio, 
foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir 
encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique 
completamente cheio, serão necessários
A) 20 minutos. D) 50 minutos.
B) 30 minutos. E) 60 minutos.
C) 40 minutos.
Frente B Módulo 09
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
17Editora Bernoulli
04. (Enem–2000) Uma empresa de transporte armazena 
seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado 
horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara 
graduada em vinte intervalos, de modo que a distância 
entre duas graduações consecutivas representa sempre 
o mesmo volume.
A ilustração que melhor representa a distribuição das 
graduações na vara é:
A) B) C) D) E) 
05. (Enem–2006) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos 
de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de 
papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram 
as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, 
de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, 
os preenche completamente com parafina.
10 cm
20 cm
Tipo I
20 cm
10 cm
Tipo II
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente 
proporcional ao volume de parafina empregado, o custo 
da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, 
será
A) o triplo. D) a metade.
B) o dobro. E) a terça parte.
C) igual.
06. (Enem 2009) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento 
cilíndrico afiado para retirar parte do miolo de uma 
laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções 
perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere 
que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e 
a 3 cm, respectivamente.
3 cm
A área da maior fatia possível é
A) duas vezes a área da secção transversal do cilindro.
B) três vezes a área da secção transversal do cilindro.
C) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro.
D) seis vezes a área da secção transversal do cilindro.
E) oito vezes a área da secção transversal do cilindro.
07. (Enem–2010) Dona Maria, diarista na casa da família 
Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas 
que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, 
Dona Maria dispõede uma leiteira cilíndrica e copinhos 
plásticos, também cilíndricos.
20 cm
4 cm
4 cm
8 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja 
colocar a quantidade miníma de água na leiteira para 
encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso 
ocorra, Dona Maria deverá
A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 
20 vezes maior que o volume do copo.
B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 
20 vezes maior que o volume do copo.
C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 
10 vezes maior que o volume do copo.
D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 
10 vezes maior que o volume do copo.
E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 
10 vezes maior que o volume do copo.
Cilindros
18 Coleção Estudo
08. (Enem–2010) Para construir uma manilha de esgoto, 
um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura 
(de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente 
por uma camada de concreto, contendo 20 cm de 
espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto 
custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado 
de p, então o preço dessa manilha é igual a
A) R$ 230,40. 
B) R$ 124,00.
C) R$ 104,16. 
D) R$ 54,56.
E) R$ 49,60.
09. (Enem–2010) Uma empresa vende tanques de 
combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, 
com medidas indicadas nas figuras. O preço do 
tanque é diretamente proporcional à medida da 
área da superfície lateral do tanque. O dono de um 
posto de combustível deseja encomendar um tanque 
com menor custo por metro cúbico de capacidade de 
armazenamento. Qual dos tanques deverá ser escolhido 
pelo dono do posto? (Considere p ≅ 3)
4 m
4 m
6 m
8 m
8 m
6 m
(I)
(II)
(III)
A) I, pela relação área/capacidade de armazenamento 
de 1
3
.
B) I, pela relação área/capacidade de armazenamento 
de 4
3
.
C) II, pela relação área/capacidade de armazenamento 
de 
3
4
.
D) III, pela relação área/capacidade de armazenamento 
de 
2
3
.
E) III, pela relação área/capacidade de armazenamento 
de 
7
12
.
GABARITO
Fixação
01. A 02. B 03. D 04. A 05. B
Propostos
01. D
02. E
03. D
04. A
05. E
06. B
07. D
08. D
09. C
10. D
11. D
12. Não
13. A
14. A) 432p m3
 B) R$ 6 782,40
15. A) V(lata) = pr2h
 V(copo) = 
πr h2
9
 B) 9 copos
16. D
17. V = 
πr a b2
2
( )+
18. A
19. B
Seção Enem
01. D
02. B
03. C
04. A
05. B
06. E
07. A
08. D
09. D
Frente B Módulo 09
FRENTE
19Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
S
X
C
DEFINIÇÃO
Considere um círculo de centro O e raio r situado num 
plano a e um ponto V fora de a. Chama-se cone circular a 
reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em 
V e a outra no círculo.
r
α
O
V
Podemos identificar em um cone circular os seguintes 
elementos:
Base: o círculo de centro O e raio r.
Vértice: o ponto V.
Geratrizes: são os segmentos com uma extremidade em 
V e a outra na circunferência da base.
Altura: distância entre o vértice do cone e o plano da base.
Eixo: é a reta que contém o vértice e o centro da base.
O
raio da base base
r
V
α
geratriz
eixo
h
NOMENCLATURA
Se o eixo do cone é oblíquo ao plano da base, temos um 
cone circular oblíquo.
eixo
V
O
h
Se o eixo do cone é perpendicular ao plano da base, temos 
um cone circular reto.
eixo
V
O
O cone circular reto é também chamado cone de revolução, 
pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em 
torno de um eixo que contém um de seus catetos.
h g
O r
eixo
g2 = h2 + r2
Cones 10 B
20 Coleção Estudo
Secção meridiana é a interseção do cone com um plano 
que contém o seu eixo. A secção meridiana de um cone 
circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles.
secção meridiana
gggg
h
cone reto
2r
rO
V
Cone equilátero é um cone cuja secção meridiana é um 
triângulo equilátero (g = 2r e h = r¹3).
Or r
g g g = 2r g = 2r
2r
ÁREA LATERAL
Planificando a superfície lateral de um cone reto, 
obtemos um setor circular de raio g (geratriz) e cujo arco 
correspondente mede 2pr. Logo, a superfície lateral de um 
cone reto de raio de base r e geratriz g é equivalente a um 
setor circular de raio g e comprimento do arco 2pr.
g
g
2πr
θ
r
h
A área lateral do cone reto pode, então, ser calculada por 
uma simples proporção:
Comprimento Área
 do arco do setor
 2pg ___________ pg2
 2pr ___________ A

 
g
2πrθ
Daí, temos:
A

 = 
2
2
2π π
π
r g
g
.
 ⇒ A
 
= p r g
Para determinarmos o ângulo θ, fazemos uma outra 
proporção:
 Comprimento Ângulo
 do arco 
 2pg ___________ 2p rad ou 360º
 2pr ___________ θ
Daí, temos:
θ π θ= =2 360r
g
rad ou
r
g
graus ou θ π θ= =2 360r
g
rad ou
r
g
graus
ÁREA TOTAL
A área total de um cone é a soma da área lateral (A

) com 
a área da base (AB); logo:
A T = A + AB ⇒ A T = prg + pr
2 ⇒ 
AT = pr(g + r)
 
bas
e
sup
erfí
cie
late
ral
O
g
V
r
θ
VOLUME DO CONE
Consideremos um cone e um tetraedro, ambos de altura h 
e área da base AB. Suponhamos que os dois sólidos possuam 
bases em um mesmo plano a, como mostrado na figura a seguir:
hβ
α
h’
A1
AB AB
A2
Qualquer plano b paralelo a a que secciona o cone também 
secciona o tetraedro. Sendo as áreas das secções A1 e A2, 
respectivamente, temos:
A
A
h
h
e
A
A
h
h
B B
1
2
2
2
=





 =






' '
Logo, A1 = A2, para todo plano b paralelo a a. Então, o cone 
e o tetraedro têm volumes iguais.
Vcone = Vtetraedro = 
1
3
.AB.h
O volume de um cone é um terço do produto da área da 
base pela medida da altura.
Como AB = pr
2, temos:
V = 1
3
 pr2h
Frente B Módulo 10
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
21Editora Bernoulli
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (PUC RS) O raio da base de um cone circular reto e a 
aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular 
têm mesma medida. Sabendo que suas alturas medem 
4 cm, então a razão entre o volume do cone e o da 
pirâmide é
A) 1 
B) 4 
C) 
1
π
 
D) p 
E) 3p
Resolução:
4
a
a
a
Sejam a o raio da base do cone e a a aresta da base 
da pirâmide.
Sejam Vc e Vp o volume do cone e da pirâmide, 
respectivamente. Logo:
Vc = 
1
3
.AB.H = 
1
3
pa24 = 
4
3
pa2 e
Vp = 
1
3
.AB.H = 
1
3
a24 = 
4
3
a2 
Daí, 
V
V
a
a
c
p
=
4
3
4
3
2
2
π
 = p
TRONCO DE CONE
Seccionando-se um cone por um plano paralelo à base, 
obtemos um sólido denominado tronco de cone. Veja:
Tronco de
cone
O novo cone e o cone primitivo têm bases semelhantes, 
e os elementos lineares homólogos (raios das bases, 
geratrizes, alturas, etc.) são proporcionais. Assim, dizemos 
que eles são semelhantes.
Razão de semelhança
Dados dois cones semelhantes, a razão entre dois 
elementos lineares homólogos é denominada razão de 
semelhança. Essa razão será representada por k.
h
Hr
R
aB
AB
H
h
 = R
r
 = k
Para razões entre áreas homólogas, temos:
A
a
B
B
 = π
π
R
r
2
2
 = R
r






2
= k2
Para razões entre volumes dos cones semelhantes, 
em que V e v são os volumes dos cones grande e pequeno, 
respectivamente, temos:
V
v
 = 
1
3
1
3
. .
. .
A H
a h
B
B
 = 
A
a
H
h
B
B
.. 
A
a
H
h
B
B
. = k2.k = k3
Podemos, então, generalizar da seguinte maneira:
i) A razão entre áreas homólogas de quaisquer dois 
sólidos semelhantes é igual ao quadrado da razão de 
semelhança.
ii) A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes 
é igual ao cubo da razão de semelhança.
Volume do tronco de cone
Dados o raio R da base maior, o raio r da base menor e h 
a medida da altura do tronco, o volume do tronco de cone 
pode ser obtido por meio da fórmula:
r
R
h
VT = 
πh
3
[R2 + Rr + r2]
Cones
22 Coleção Estudo
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (FUVEST-SP) Um copo tem a forma de um cone com 
altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos enchê-lo com 
quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja 
possível, a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado 
deve ser
8
x
3
A) 8
3cm. C) 4 cm. E) 4³4 cm.
B) 6 cm. D) 4¹3 cm. 
Resolução:
V
V
8
x
Chamamos de V o volume de suco e de água.
O volume do cone grande é, então, 2V.
Como os cones das figuras são semelhantes, então a razão 
entre os seus volumes é igual ao cubo da razão entre as 
alturas. Assim, temos:
2 8
2
8 8
2
4 4
3
3
3
3V
V x x
x x=





 ⇒ = ⇒ = ⇒ = cm
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFJF-MG) O vinho contido em uma jarra cilíndrica será 
servido em cálices em forma de cone. A altura de cada 
cálice é 
1
4
 da altura da jarra e o diâmetro da circunferência 
que forma a sua borda é 
2
3
 do diâmetro da base da jarra. 
DETERMINE o número de cálices necessários para que 
o vinho seja todo servido de uma só vez.
02. (UFC–2009) Ao seccionarmos um cone circular reto por 
um plano paralelo a sua base, cuja distância ao vértice 
do cone é igual a um terço da sua altura, obtemos dois 
sólidos: um cone circular reto S1 e um tronco de cone S2. 
A relação 
volume S
volume S
( )
( )
2
1
é igual a
A) 33 B) 27 C) 26 D) 9 E) 3
03. (Mackenzie-SP) Planificando a superfície lateral de um 
cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O 
e raio 18 cm. Dos valores a seguir, o MAIS PRÓXIMO 
da altura desse cone é
O
160º
A) 12 cm. D) 16 cm.
B) 18 cm. E) 20 cm.
C) 14 cm. 
04. (UFMG) Um tanque de água tem a forma de um cone 
circular reto, com seu vértice apontando para baixo. 
O raio do topo é igual a 9 m e a altura do tanque é de 
27 m. Pode-se afirmar que o volume V da água no tanque, 
como função da altura h da água, é
h
A) V =
 πh3
27
 D) V = 3ph3
B) V =
 πh3
9
 E) V = 9ph3
C) V =
 πh3
3
05. (PUC-SP–2006) Considere o triângulo isósceles ABC, tal 
que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse 
triângulo em torno de um eixo que contém o lado AB gera 
um sólido, cujo volume, em centímetros cúbicos, é
A) 256p D) 316p
B) 298,6p E) 328,4p
C) 307,2p
Frente B Módulo 10
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
23Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMG) Um cone é construído de forma que
I) sua base é um círculo inscrito em uma face de um 
cubo de lado a.
II) seu vértice coincide com um dos vértices do cubo 
localizado na face oposta àquela em que se encontra 
a sua base.
Dessa maneira, o volume do cone é de
A) πa
3
6
 
B) πa
3
12
 
C) πa
3
9
 
D) πa
3
3
02. (UFJF-MG–2008) Fernando utiliza um recipiente, em 
forma de um cone circular reto, para encher com água 
um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo. 
As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de base 
e 20 cm de altura, e as do aquário são: 120 cm, 50 cm 
e 40 cm, conforme ilustração a seguir.
20 cm
20 cm
120 cm
40 cm
50 cm
Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do 
jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo no caminho 
e despeja o restante no aquário. Estando o aquário 
inicialmente vazio, qual é o número mínimo de vezes que 
Fernando deverá encher o recipiente na torneira para que 
a água despejada no aquário atinja 
1
5
 de sua capacidade?
03. (UFOP-MG) Um reservatório de água com a forma de um 
cone circular reto tem 8 m de altura e, sua base, 3 m 
de raio. Se a água ocupa 40% da capacidade total do 
reservatório, o volume de água nele contido é
A) 960p litros. 
B) 4 800p litros. 
C) 2 400p litros.
D) 9 600p litros.
E) 96 000p litros.
04. (UFSCar-SP) A figura representa um galheteiro para 
a colocação de azeite e vinagre em compartimentos 
diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro.
vinagre
azeite
h
5 cm
10 cm
Considerando h como a altura máxima de líquido que o 
galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total 
de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é
A) 7 cm. D) 12 cm.
B) 8 cm. E) 15 cm.
C) 10 cm. 
05. (UFPE) Um cone reto tem altura 12³2 cm e está cheio 
de sorvete. Dois amigos vão dividir o sorvete em duas 
partes de mesmo volume, usando um plano paralelo à 
base do cone. Qual deverá ser a altura do cone menor 
assim obtido?
A) 12 cm D) 10¹2 cm
B) 12¹2 cm E) 10¹3 cm
C) 12¹3 cm
06. (Mackenzie-SP) No sólido da figura, ABCD é um quadrado 
de lado 2 e AE = BE = ¹10. O volume desse sólido é
A B
CD
E
A) 
5
2
π
 B) 
4
3
π
 C) 4p D) 5p E) 3p
07. (PUC Minas) Na figura, os triângulos retângulos ∆ ABC 
e ∆ CDE são isósceles; AC = 3 e CD = 1. A medida do 
volume do sólido gerado pela rotação do trapézio ABED, 
em torno do lado BC, é
A
B CE
D
A) 26
3
π B) 24
3
π C) 22
3
π D) 21
5
π
Cones
24 Coleção Estudo
08. (UFC) Um cone circular reto e uma pirâmide de base 
quadrada têm a mesma altura e o mesmo volume. 
Se r é a medida do raio da base do cone, e b é a medida do 
lado da base da pirâmide, então o quociente 
b
r
 é igual a
A) 1
3
 B) 1 C) D) p E) 2p
09. (UFV-MG) Um chapéu, no formato de um cone circular 
reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, 
recortando-se um setor circular de ângulo θ = 2
3
π
 
radianos e juntando os lados. A área da base do chapéu, 
em cm2, é
A) 140p C) 130p E) 120p
B) 110p D) 100p 
10. (UFRRJ) Considerando um lustre de formato cônico 
com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância 
do chão H em que se deve pendurá-lo para obter 
um lugar iluminado em forma de círculo com área de 
25p m2, é de
0,25 m
H (distância)
A) 12 m. B) 10 m. C) 8 m. D) 6 m. E) 5 m.
11. (UFRJ) Um recipiente em forma de cone circular reto de 
altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na 
vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até 
a borda, comporta 400 mL.
h
DETERMINE o volume de líquido quando o nível está 
em 
h
2
.
12. (UFG) O volume de um tronco de cone circular reto com 
base de raio R, cuja altura é a quarta parte da altura h 
do cone correspondente, é
A) 
πR h2
4
 C) 55
192
2πR h E) 3
4
2πR h
B) 
πR h2
12
 D) 
37
192
2πR h
 
13. (UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede 2¹3 cm. 
CALCULE a área da seção meridiana do cone, em cm2, 
e MULTIPLIQUE o resultado por ¹3.
14. (PUC-Campinas-SP) Considere o triângulo ABC, 
representado na figura a seguir, no qual BC = 6 + 6¹3 cm.
A
B C
45°30°
Por uma rotação de 360° em torno do lado BC, obtém-se 
um sólido que servirá de modelo para a construção de 
um balão. O volume desse modelo, em centímetros 
cúbicos, será
A) (¹3 + 3)72p D) (¹3 + 1)36p
B) (¹3 + 1)72p E) (¹3 + 3)24p
C) (¹3 + 3)36p
15. (UFLA-MG–2006) Um reservatório de forma cônica para 
armazenamento de água tem capacidade para atender 
às necessidades de uma comunidade por 81 dias. Esse 
reservatório possui uma marca a uma altura h para indicar 
que a partir desse nível a quantidade de água é suficiente 
para abastecer a comunidade por mais 24 dias. O valor 
de h é
A) h = 2
9
H D) h = 1
10
³H
B) h = 2
3
H E) h = 1
2
H
C) h = 8
27
¹H
16. (FUVEST-SP–2006) Um cone circular reto está inscrito 
em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, 
como mostra a figura. A razão 
b
a
 entre as dimensões 
do paralelepípedo é 
3
2
 e o volume do cone é p. Então, 
o comprimento g da geratriz do cone é
 
b
a
a
g
A) ¹5 
B) ¹6 
C) ¹7 
D) ¹10
E) ¹11
Frente B Módulo 10
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
25Editora Bernoulli
17. (UFLA-MG–2007) Parte do líquido de um cilindro 
completamente cheio é transferido para dois cones 
idênticos, que ficam totalmente cheios.
H
R R
h1
H
A relação entre as alturas do líquido restante no cilindro 
h1 e a altura H do cilindro é
A) h1 = 
H
4
 
B) h1 = 
H
2
 
C) h1 = 
H
2
D) h1 = 
H
3
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–1999) Assim como na relação entre o perfil de um 
corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução 
resultam da rotação de figuras planas em torno de um 
eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste 
indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão na 
coluna da direita.
1
5
2
4 D
E
3 C
B
A
A correspondência correta entre as figuras planas e os 
sólidos de revolução obtidos é
A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. 
B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
02. (Enem–2009) Um vasilhame na forma de um cilindro 
circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está 
parcialmente ocupado por 625p cm3 de álcool. Suponha 
que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de 
um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura 
de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como 
mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância 
da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Volume 
do cone: Vcone = 
πr h2
3
6 cm H
30 cm
Figura 1 Figura 2
Fundo do
vasilhame
6 cm
30 cm
H
5 cm
5 cm
Considerando-se essas informações, qual é o valor da 
distância H?
A) 5 cm 
B) 7 cm 
C) 8 cm
D) 12 cm
E) 18 cm
03. (Enem–2009) Uma empresa precisa comprar uma tampa 
para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de 
cone circular reto, conforme mostrado na figura a seguir:
60º
Considere que a base do reservatório tenha raio 
r = 2¹3 m e que sua lateral faça um ângulo de 60° com 
o solo. Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser 
comprada deverá cobrir uma área de
A) 12p m2. D) 300p m2.
B) 108p m2. E) 24 2 3
2
+( ) p m2.
C) 12 2 3
2
+( ) p m2.
Cones
26 Coleção Estudo
04. (Enem–2010) Alguns testes de preferência por bebedouros 
de água foram realizados com bovinos, envolvendo três 
tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. 
Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone 
circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da 
base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. 
O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 
100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três 
recipientes estão ilustrados na figura.
Bebedouro 1
60 cm
120 cm
Bebedouro 2
80 cm
60 cm
Bebedouro 3
60 cm 30 cm
60 cm
A escolha do bebedouro. Biotemas. vol. 22, nº 4, 2009 
(Adaptação).
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, 
qual das figuras a seguir representa uma planificação 
para o bebedouro 3?
D)
100 cm
E)
100 cm
60 cm
60 cm
100 cm
60 cm
60 cm
60 cm
A)
100 cm
100 cm
60 cm
60 cm
B)
C)
05. (Enem–2010) Em um casamento, os donos da festa 
serviam champanhe aos seus convidados em taças com 
formato de um hemisfério (figura 1), porém um acidente 
na cozinha culminou na quebra de grande parte desses 
recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se 
um outro tipo com formato de cone (figura 2). No entanto, 
os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos 
dois tipos de taças fosse igual.
R = 3 cm
h
Figura 1 Figura 2
R = 3 cm
Considere: 
V R e V R h
esfera cone
= =4
3
1
3
3 2π π
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida 
completamente cheia, a altura do volume de champanhe 
que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
A) 1,33 D) 56,52
B) 6,00 E) 113,04
C) 12,00
GABARITO 
Fixação
01. 27 02. C 03. D 04. A 05. C
Propostos
01. B 07. A 13. 9
02. 26 08. C 14. B
03. D 09. D 15. B
04. C 10. E 16. D
05. A 11. V = 50 mL 17. D
06. E 12. D
Seção Enem
01. D 02. B 03. B 04. E 05. B
Frente B Módulo 10
FRENTE
27Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Conta uma lenda que um rei havia prometido realizar 
qualquer desejo a quem executasse uma difícil tarefa. 
Quando um dos seus súditos conseguiu realizá-la, o rei viu-se 
obrigado a cumprir a sua promessa. O súdito pediu então que 
as 64 casas de um tabuleiro de xadrez, jogo muito apreciado 
no reino, fossem preenchidas com grãos de trigo, do seguinte 
modo: na primeira casa, seria colocado um grão de trigo e, 
em cada casa seguinte, seria colocado o dobro de grãos que 
havia na casa anterior. O rei suspirou aliviado, considerando o 
pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o 
pagamento. Tal foi sua surpresa quando os seus conselheiros, 
alguns dias depois, anunciaram que o reino encontrava-se 
totalmente sem provisões de trigo, uma vez que apenas na 
última casa o total de grãos era de 263, o que corresponde a, 
aproximadamente, 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233 x 1018. 
Essa quantidade, juntamente com a soma das quantidades 
colocadas nas outras casas, superava em muito não só a 
capacidade do reino, mas a de todos os outros de que se 
tinha notícia.
Essa lenda nos dá um exemplo de uma função exponencial, 
a função y = 2x. As funções exponenciais crescem ou 
decrescem muito rapidamente, sendo extremamente 
importantes para descrever diversos fenômenos, tais 
como crescimento populacional, reprodução de bactérias, 
decaimento radioativo, juros compostos, entre outros. 
Seu estudo desenvolveu-se notadamente por volta do 
século XVI, com o trabalho de dois matemáticos: John 
Napier (1550-1617) e Henry Briggs (1561-1630).
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Considere uma função f:  → , definida por f(x) = ax, 
com a > 0 e a ≠ 1. Tal função é denominada função 
exponencial.
Exemplos
1°) f(x) = 3x 3°) f(x) = 0,78x
2°) f(x) = 
1
4




x
 4°) f(x) = 2,23x
GRÁFICOS
Considere a função y = 3x. Vamos atribuir alguns valores 
à variável, calcular a imagem correspondente e construir o 
gráfico. Assim, temos:
 
x y = 3X
–2
1
9
–1
1
3
0 1
1 3
2 9
3 27
 
y
9
–2 –1 1 2
1
1/3
3
xO
Do mesmo modo, vamos obter o gráfico da função:
f(x) = 
1
2




x
 
x f(x) = 
 
1
2






x
–3 8
–2 4
–1 2
0 1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
 
y
8
4
2
1
1/2
–2–3 –1 1 2 3 xO
De modo geral, há dois tipos de gráfico para a função f(x) = ax.
i) Se a > 1, então a função f(x) = ax é crescente.
 Exemplo
f(x) = 2x
y
1
xO
Função exponencial 09 C
28 Coleção Estudo
ii) Se 0 < a < 1, então a função f(x) = ax é decrescente.
 Exemplo
f(x) = 1
5




x
y
1
xO
Com relação aos gráficos, podemos dizer:
i) Trata-se de uma função injetora, pois a cada 
valor da imagem corresponde um único valor do 
domínio. 
ii) O domínio de uma função exponencial é sempre igual 
ao conjunto dos números reais (D = ). 
iii) A curva está toda acima do eixo das abscissas, 
pois y = ax é sempre maior que zero para todo x real. 
Portanto, a sua imagem Im é dada por Im = *+.
iv) A curva corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). 
Isso ocorre porque, para x = 0, temos y = a0 = 1.
OBSERVAÇÃO 
O número e
Trata-se de um número irracional, cujo valor é 2,71828... . 
Esse número é conhecido como número neperiano, uma 
referência ao matemático escocês John Napier, autor da 
primeira publicação sobre a Teoria dos Logaritmos. 
O número e é extremamente importante no estudo de juros 
e de diversos fenômenos naturais, tais como crescimento 
populacional, decaimento radioativo, crescimento de 
bactérias, entre outros.
O gráfico da função y = ex é dado por:
y
1
xO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Determinar os valores de k para os quais a função 
f x
k
x
( ) = +




2
3
5
é crescente. 
Resolução:
Para que a função seja crescente, é necessário que 
2
3
5
1+ >
k
. 
Portanto, temos:
2
3
5
1
3
5
1 3 5
5
3
+ > ⇒ > − ⇒ > − ⇒ > −
k k
k k
02. (PUC-SP) Sobre a função f(x) = ex definida em , 
podemos afirmar que
A) tem um único zero no intervalo [0, 2].
B) ex < ax, qualquer que seja a ∈ *.
C) ex > ax, qualquer que seja a ∈ *+.
D) assume valores de  em *+.
E) assume valores apenas em +.
Resolução:
A função f(x) = ex não possui raízes, pois ex > 0 para todo 
x real. Portanto, a alternativa A é falsa.
Para 0 < a < 1, temos que ex > ax. Portanto, a alternativa 
B é falsa.
Para a > e, temos que ex < ax. Portanto, a alternativa 
C é falsa.
A função f(x) = ex possui o seguinte gráfico:
y
1
xO
Observe que se trata de uma função com domínio  
e imagem 

+
* . Portanto, a alternativa D é verdadeira.
Conforme visto no item anterior, o domínio não se 
restringe ao conjunto +. Portanto, a alternativa E é falsa.
Frente C Módulo 09
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29Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFLA-MG–2007) A figuraé um esboço do gráfico da 
função y = 2x. A ordenada do ponto P de abscissa a b+
2
 é
y
d
b xa
P
c
O
A) ¹cd B) ¹c + d C) cd D) (cd)2
02. (Mackenzie-SP) Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, 
respectivamente, às funções y = ax, y = bx e y = cx.
y
xO
I II
III
Então, está CORRETO afirmar que
A) 0 < a < b < c D) 0 < a < c < b
B) 0 < b < c < a E) a < 0 < c < b
C) a < 0 < b < c
03. (UNESP) A trajetória de um salto de um golfinho nas 
proximidades de uma praia, do instante em que ele 
saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou 
(t = T), foi descrita por um observador através do 
seguinte modelo matemático: h(t) = 4t – t.20,2.t, com 
t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, 
em segundos, em que o golfinho esteve fora da água 
durante esse salto foi
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 10
04. (UNIFESP–2009) Sob determinadas condições, 
o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado 
pelo organismo à razão de metade do volume acumulado 
a cada 2 horas. Daí, se K é o volume da substância no 
organismo, pode-se utilizar a função f(t) = K.
1
2
2





t
para 
estimar a sua eliminação depois de um tempo t, em horas. 
Neste caso, o tempo MÍNIMO necessário para que uma 
pessoa conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no 
organismo, tendo ingerido 128 mg numa única dose, é de
A) 12 horas e meia. D) 8 horas.
B) 12 horas. E) 6 horas.
C) 10 horas e meia.
05. (UEL-PR) O crescimento de uma colônia de bactérias é 
descrito por P(t) = a.4λ.t, em que t ≥ 0 é o tempo, dado 
em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. 
Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, 
após 8 horas o número de bactérias da colônia será
A) 6a C) 9a E) a + 8
B) 8a D) 8a – 4 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) Seja f(x) = 22x + 1. Se a e b são tais que 
f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que
A) a + b = 2 
B) a + b = 1 
C) a – b = 3
D) a – b = 2
E) a – b = 1
02. (UNIRIO-RJ) Numa população de bactérias, há 
P(t) = 10ª.43t bactérias no instante t medido em horas 
(ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 
10ª bactérias, quantos minutos são necessários para que 
se tenha o dobro da população inicial?
A) 20 B) 12 C) 30 D) 15 E) 10
03. (PUC Minas) Os pontos A(1, 6) e B(2, 18) pertencem ao 
gráfico da função y = n.ax. Então, o valor de an é
A) 6 B) 9 C) 12 D) 16
04. (PUC Minas) Cada um dos gráficos adiante representa 
uma destas funções:
f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x + 1 e h(x) = 
1
2




x
x
y
O x
y
O x
y
O
Sobre essas funções, foram feitas três afirmativas:
I. f(0) = g(0) = h(0)
II. g(x) > h(x), para x > 0
III. f(x) > 0 e h(x) > 0, para todo x pertencente aos reais.
O número de afirmativas CORRETAS é
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
Função exponencial
30 Coleção Estudo
05. (Mackenzie-SP) Na figura, temos os esboços dos 
gráficos das funções f e g, sendo f(x) = ax. O valor de 
g(g(–1)) + f(g(3)) é
y
x1O
3
4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 
3
2
 E) 
5
2
06. (CEFET-MG–2008) O conjunto imagem da função real 
f(x) = 2–3x2 + 6x é
A) ]–∞, 3] 
B) [0, 3] 
C) R*+
D) [0, +∞[
E) ]0, 8]
07. (UFC) Suponha que um corpo, com temperatura positiva, 
seja inserido em um meio cuja temperatura é mais 
baixa do que a do corpo. A tendência natural será a 
diminuição da temperatura do corpo. Newton, estudando 
este fenômeno, descobriu que a temperatura T do corpo 
decresce à medida que o tempo t passa, segundo a 
equação mostrada adiante:
T(t) = A + B.e–kt
Em que e é a base do logaritmo natural e A, B e k são 
constantes positivas. Assinale a alternativa na qual consta 
o gráfico cartesiano que MELHOR representa, nesse 
fenômeno, a temperatura T em função do tempo t.
A) T
O t
 D) T
O t
B) T
O t
 E) T
O t
C) T
O t
08. (UFF-RJ) A automedicação é considerada um risco, 
pois a utilização desnecessária ou equivocada de um 
medicamento pode comprometer a saúde do usuário. 
Substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos 
do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois 
de se administrar determinado medicamento a um grupo 
de indivíduos, verificou-se que a concentração y de certa 
substância em seus organismos alterava-se em função 
do tempo decorrido t, de acordo com a expressão:
y = y0.2
–0,5t
Em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em 
hora. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a 
concentração da substância tornou-se a quarta parte da 
concentração inicial após
A) 
1
4
 de hora. C) 1 hora. E) 4 horas.
B) 
1
2
 hora. D) 2 horas. 
09. (UFRN) No plano cartesiano a seguir, estão representados 
o gráfico da função y = 2x, os números a, b, c e suas 
imagens.
y
xbc aO
2
a
2 x 2
a
4
2
a
y = 2
x
Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função 
de a, os valores de b e c são, respectivamente,
A) 
a
2
 e 4a C) 2a e 
a
4
 
B) a – 1 e a + 2 D) a + 1 e a – 2
10. (UFPE –2007) O preço de um automóvel, P(t), desvaloriza-se 
em função do tempo t, dado em anos, de acordo com 
uma função de tipo exponencial P(t) = b.at, com a e b 
sendo constantes reais. Se, hoje (quando t = 0), o preço 
do automóvel é de R$ 20 000,00, e valerá R$ 16 000,00 
daqui a 3 anos (quando t = 3), em quantos anos o preço 
do automóvel será de R$ 8 192,00?
Dado: 
8 192
20 000
 
 
 = 0,84
11. (UERJ) Em um município, após uma pesquisa de 
opinião, constatou-se que o número de eleitores dos 
candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, 
de acordo com as seguintes funções:
A(t) = 2.105(1,6)t
B(t) = 4.105(0,4)t
Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se 
ao dia 1 de janeiro de 2000. DETERMINE em quantos 
meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.
Frente C Módulo 09
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A
31Editora Bernoulli
12. (PUC RS) Uma substância que se desintegra ao longo 
do tempo tem sua quantidade existente, após t anos, 
dada por M(t) = M
t
0
1 0001 4.( , ) 
−
, em que M0 representa 
a quantidade inicial. A porcentagem da quantidade 
existente após 1 000 anos em relação à quantidade inicial 
M0 é, aproximadamente,
A) 14%. B) 28%. C) 40%. D) 56%. E) 71%.
13. (Mackenzie-SP) A função real definida por f(x) = a.xn, 
n ∈ *, é tal que f(f(x)) = 8x4. Então, o número real a vale
A) 
1
4
 B) 2 C) 4 D) 
1
8
 E) 
1
2
14. (Unip-SP) O número de raízes reais da equação
 
1
2






x
 = –x2 + 4 é
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
15. (ITA-SP) Sejam f, g:  →  funções definidas por:
f(x) = 
3
2






x
 e g(x) = 
1
3






x
Considere as afirmações:
I. Os gráficos de f e g não se interceptam.
II. As funções f e g são crescentes.
III. f(–2)g(–1) = f(–1)g(–2).
Então,
A) apenas a afirmação I é falsa.
B) apenas a afirmação III é falsa.
C) apenas as afirmações I e II são falsas.
D) apenas as afirmações II e III são falsas.
E) todas as afirmações são falsas.
16. (FGV-SP–2010) O valor de um carro decresce 
exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a 
x anos, será dado por V = A.e–k.x, em que e = 2,7182... . 
Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá 
R$ 30 000,00. Nessas condições, o valor do carro daqui 
a 4 anos será
A) R$ 17 500,00. D) R$ 25 000,00.
B) R$ 20 000,00. E) R$ 27 500,00.
C) R$ 22 500,00.
17. (Unicamp-SP) Suponha que o número de indivíduos 
de uma determinada população seja dado pela função 
F(t) = a.2–b.t, em que a variável t é dada em anos e a e 
b são constantes.
A) ENCONTRE as constantes a e b de modo que a população 
inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população 
após 10 anos seja a metade da população inicial.
B) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza 
a 
1
8
 da população inicial?
C) ESBOCE o gráfico da função F(t) para t ∈ [0, 40].
18. (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período 
de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por 
uma função exponencial do tipo f(x) = a.bx, conforme o 
gráfico a seguir:O x(anos)
960%
7,5%
74
y = f(x)
DETERMINE a taxa de inflação desse país no quarto 
ano de declínio.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) A população mundial está ficando mais 
velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa 
de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados 
dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das 
Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas 
com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da 
coluna da direita representam as faixas percentuais. 
Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 
60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 
10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
461
35
30
25
20
15
10
5
0
1950 70 90 2010 30 50
1 592
95
110
Número em milhões
Países em
desenvolvimento
Países desenvolvidos
ESTIMATIVAS
269
490
Disponível em: <www.economist.com>. Acesso em: 9 jul. 2009 
(Adaptação).
Suponha que o modelo exponencial y = 363.e0,03.x, em que 
x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 
2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em 
milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar 
essa população com 60 anos ou mais de idade nos países 
em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, 
considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 
60 anos ou mais estará, em 2030, entre
A) 490 e 510 milhões. D) 810 e 860 milhões.
B) 550 e 620 milhões. E) 870 e 910 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
Função exponencial
32 Coleção Estudo
02. A pressão atmosférica P, em mmHg, é dada em função 
da altura h (em relação ao nível do mar) pela expressão 
P(h) = 760.eλ.h, sendo e o número neperiano, que vale 
aproximadamente 2,7182. Um alpinista, ao escalar uma 
elevação, verificou através de um barômetro (instrumento 
que mede a pressão atmosférica) que a pressão no 
ponto em que se encontrava era igual a 600 mmHg. 
Considerando o parâmetro λ = –0,0002, pode-se afirmar 
que a altura do alpinista, em relação ao nível do mar, 
é igual a
Dados: e6,63 = 760 e e6,40 = 600
A) 1 150 m. 
B) 1 370 m. 
C) 1 520 m.
D) 2 240 m.
E) 3 000 m.
03. Sob certas condições, o número N de bactérias de 
uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, 
é dado por N(t) = N0.2
12
t
. Isso significa que, após 6 dias, 
o número inicial de bactérias terá sido multiplicado por
A) ¹2 
B) 2 
C) 16 
D) 1 024
E) 4 096
04. A madeira foi um dos primeiros materiais usados pelo 
homem, na construção de sua habitação e de seus 
primeiros meios de transporte. Com a alta utilização 
desse material, intensificaram-se o desmatamento e a 
significativa diminuição das florestas no mundo. A fim 
de solucionar esse problema, tende-se à produção de 
madeira a partir de florestas plantadas ou regeneradas. 
Para calcular o rendimento V de uma dessas florestas, 
podemos usar a fórmula:
V e t=
−
6 7
48 1
,
,
Em que V nos dá o valor em metros cúbicos de madeira 
por are, em função da idade da floresta, t. Considerando 
e–0,481 = 0,62, a quantidade de m3 de madeira que renderá 
uma floresta de 80 hectares com 100 anos de idade está 
entre
A) 10 000 e 20 000 
B) 20 000 e 30 000 
C) 30 000 e 40 000
D) 40 000 e 50 000
E) 50 000 e 60 000
GABARITO
Fixação
01. A 02. D 03. E 04. B 05. C
Propostos
01. E
02. E
03. B
04. D
05. C
06. E
07. E
08. E
09. D
10. 12 anos
11. 6 meses
12. E
13. B
14. C
15. E
16. C
17. A) a = 1 024 e b = 
1
10
 B) t(mínimo) = 30 anos
 C) F(t)
1 024
512
256
128
64
O 10 20 30 40 t
18. 60%
Seção Enem
01. E 02. A 03. E 04. C
Frente C Módulo 09
FRENTE
33Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Uma equação é dita exponencial quando a variável se 
apresenta no expoente. Seja a um número real tal que 
0 < a ≠ 1. Como a função exponencial é injetora, temos:
Se ax = ay, então x = y.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Resolver, em , a equação 32x = 128.
Resolução:
32x = 128 ⇒ (25)x = 27 ⇒ 25x = 27 ⇒
5x = 7 ⇒ x = 7
5
Portanto, S = 
7
5








.
02. Resolver, em , a equação 3x + 3–x = 82
9
.
Resolução:
Podemos escrever 3x + 
1
3
82
9x
= .
Substituindo 3x por y, temos:
y + 
1 82
9y
= ⇒ 9 9
9
82
9
2y
y
y
y
+ =
9y2 – 82y + 9 = 0 ⇒ ∆ = (–82)2 – 4.9.9 = 6 400
y = 
82 80
18
±
 ⇒ y = 1
9
 ou y = 9
Para y = 
1
9
, temos 3x = 
1
9
 ⇒ 3x = 3–2 ⇒ x = –2.
Para y = 9, temos 3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2.
Portanto, S = {–2, 2}.
03. Resolver, em , a equação 4x – 2x – 12 = 0.
Resolução:
22x – 2x – 12 = 0 ⇒ (2x)2 – 2x – 12 = 0
Substituindo 2x por y, temos:
y2 – y – 12 = 0 ⇒ ∆ = (–1)2 – 4.1.(–12) = 49
y = 
1 7
2
±
 ⇒ y = –3 ou y = 4
Para y = –3, temos 2x = –3 (absurdo).
Para y = 4, temos 2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 2.
Portanto, S = {2}.
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
Toda desigualdade em que a variável aparece no expoente 
é uma inequação exponencial.
Exemplos
1º) 7x > 343 3º) 
1
5
3 21






−x
 ≥ 25–1
2º) 3x – 4 ≤ 81 
De modo geral, uma inequação deve ser resolvida 
colocando-se a mesma base a nos dois membros da 
inequação e considerando-se os seguintes casos:
1o caso: a > 1
 Como a função f(x) = ax é crescente, observamos 
que, se ax2 > ax1, então x2 > x1.
y
ax2
ax1
xx1
f(x) = ax
(a > 1)
x2O
1
 Portanto:
Se a > 1, devemos conservar o sinal da desigualdade 
ao compararmos os expoentes.
Equações e inequações 
exponenciais
10 C
34 Coleção Estudo
2o caso: 0 < a < 1
 Como a função f(x) = ax é decrescente, observamos 
que, se ax2 > ax1, então x2 < x1.
y
ax2
ax1
xx1
f(x) = ax
(0 < a < 1)
x2 O
1
 Portanto:
Se 0 < a < 1, devemos inverter o sinal da 
desigualdade ao compararmos os expoentes.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04. Resolver a inequação 7x > 343.
Resolução:
7x > 343 ⇒ 7x > 73
Como 7 > 1, devemos conservar a desigualdade, ou seja, 
x > 3.
Portanto, S = {x ∈  | x > 3}.
05. Resolver a inequação 1
5
3 21






−x
≥ 25–1.
Resolução:
1
5
3 21






−x
 ≥ 25–1 ⇒ 1
5
1
25
3 21





 ≥
−x
 ⇒ 1
5
1
5
3 21 2





 ≥






−x
Como 0 < 
1
5
 < 1, devemos inverter a desigualdade,
ou seja, 3x – 21 ≤ 2 ⇒ 3x ≤ 23 ⇒ x ≤ 23
3
.
Portanto, S = x x∈






 | ≤
23
3
.
06. Resolver a inequação 2x + 2 – 2x – 1 + 2x ≤ 18.
Resolução:
Nesse caso, devemos utilizar as propriedades das 
potências.
2x.22 – 
2
2
x
 + 2x ≤ 18 ⇒ 4.2x – 2
2
x
 + 2x ≤ 18
Substituindo 2x por y, temos:
4y – 
y
2
 + y ≤ 18 ⇒ 10
2
y y−
≤18 ⇒ 9y ≤ 36 ⇒ y ≤ 4
Substituindo y por 2x, obtemos:
2x ≤ 4 ⇒ 2x ≤ 22 ⇒ x ≤ 2
Portanto, S = {x ∈  | x ≤ 2}.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (PUC Minas) Considere como verdadeiras as igualdades 
Ax – y = 2 e A3y = 8. Nessas condições, o valor de Ax é
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10
02. (UFMG) Suponha que a equação
8ax2 + bx + c = 43x + 5.25x2 – x + 8
seja válida para todo número real x, em que a, b, e c 
são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a
A) 
5
3
 B) 
17
3
 C) 
28
3
 D) 12
03. (UFSCar-SP) O par ordenado (x, y), solução do sistema
4 32
3 3
x y
y x
+
−
=
=




, é
A) 5
3
2
, 





 C) 3
2
3
, 





 E) 1
1
2
, 






B) 5
3
2
, −





 D) 1
3
2
, 





 
04. (UNIRIO-RJ) O conjunto solução da inequação 
x2x ≥ xx + 3, em que x > 0 e x ≠ 1, é
A) ]0, 1[ ∪ [3, +∞[ D) 
B) {x ∈  | 0 < x < 1} E) ∅
C) [3, +∞[
05. (UFJF-MG) A função c(t) = 200.3kt, com k = 1
12
, dá o 
crescimento do número C, de bactérias, no instante t 
em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, 
nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo
A) [0, 4] D) [36, 72]
B) [4, 12] E) [72, 108]
C) [12, 36]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UEL-PR) Considere as soluções reais de 3a.37x.312 = 1. 
Se a = x2, então a diferença entre a maior e a menor 
dessas raízes é
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
02. (UNIRIO-RJ) Assinale o conjunto-solução da inequação 
1
2
1
4
3





 ≤
x –
.
A) ]–∞, 5] D) {x ∈  | x ≤ –5}
B) [4,+ ∞[ E) {x ∈  | x ≥ –5}
C) [5, + ∞[
Frente C Módulo 10
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
35Editora Bernoulli
03. (UFMG) O produto das raízes da equação 3x + 1
3
4 3
3 x
= é
A) –3 C) –
1
3
 E) 
4 3
3
B) –
1
4
 D) 1
04. (UFOP-MG) O valor de x que satisfaz a equação seguinte 
é um número
4x – 15.2x – 16 = 0
A) ímpar. D) primo.
B) irracional. E) par.
C) negativo.
05. (Fatec-SP) Seja f: * → , em que f(x) = 2
1
x . O conjunto 
dos valores de x para os quais f(x) < 
1
8
 é
A) ]3, 8[ D)  – {0, 8}
B) − −








∞, 1
3
 E) −








1
3
0,
C) ]–∞, 3[
06. (UEL-PR) A relação a seguir descreve o crescimento de 
uma população de micro-organismos, sendo P o número 
de micro-organismos, t dias após o instante 0. O valor 
de P é superior a 63 000 se, e somente se, t satisfizer à 
condição
P = 64 000.(1 – 2–0,1.t) 
A) 2 < t < 16 D) t > 60
B) t > 16 E) 32 < t < 64
C) t < 30
07. (UFV-MG) Seja a função real f(x) = ax, a > 1. O conjunto 
dos valores de x para os quais f(x2 – 3) > f(6) é
A) {x ∈  | –3 ≤ x ≤ 3}
B) {x ∈  | x ≥ 3}
C) {x ∈  | x ≤ 3}
D) {x ∈  | x < –3 ou x > 3}
E) {x ∈  | x ≤ –3 ou x ≥ 3}
08. (FGV-SP) Seja a função f, de  em , definida por 
f(x) = 53x. Se f(a) = 8, então f −






a
3
 é
A) 1
2
 B) 1
4
 C) 1
8
 D) 4 E) 2
09. (Mackenzie-SP–2010) O valor de x na equação 
3
9
1
27
2 2








=
−x
 é
A) tal que 2 < x < 3. D) múltiplo de 2.
B) negativo. E) 3.
C) tal que 0 < x < 1.
10. (UFPE) Quantas soluções reais possui a equação 
10
3 1
12
x
x
−
+ – 10 = 0?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 10
11. (FGV-SP) Uma instituição financeira oferece um tipo de 
aplicação tal que, após t meses, o montante relativo 
ao capital aplicado é dado por M(t) = C.20,04.t, em que 
C > 0. O menor tempo POSSÍVEL para quadruplicar uma 
certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é
A) 5 meses.
B) 2 anos e 6 meses.
C) 4 anos e 2 meses.
D) 6 anos e 4 meses.
E) 8 anos e 5 meses.
12. (PUC Minas) O valor de x que satisfaz a equação 
33x – 1.92x + 3 = 273 – x é
A) 1 C) 5
2
 E) 
2
5
B) 3 D) 
1
3
 
13. (UFV-MG) Seja a equação [12x – 3]x – 2 = 1. A soma e 
o produto de suas soluções são, respectivamente, 
os números
A) 3 e 2 D) –2 e –8 
B) 9 e 8 E) 5 e 6
C) –5 e –24
14. (Cesgranrio) Se o quociente de 64x – 1 por 4x – 1 é 2562x, 
então x é
A) –
2
3
 B) –
1
3
 C) 0 D) 1
4
 E) 3
8
 
15. (FGV-SP) A raiz da equação 2x – 1 + 2x + 1 + 2x = 7 é
A) um número primo.
B) um número negativo.
C) um número irracional.
D) um número maior ou igual a 1.
E) um múltiplo de 5.
16. (PUC RS) Se 3x – 32 – x = 23, então 15 – x2 vale
A) 16 B) 15 C) 14 D) 11 E) 6
17. (UFV-MG–2008) Faça o que se pede.
A) ESBOCE o gráfico da função f:  →  definida por 
f(x) = 3–x.
B) ENCONTRE o conjunto solução da inequação 
3
1
3
2
2
1
x x
x x
x
−
−
+




≤
 em .
Equações e inequações exponenciais
36 Coleção Estudo
18. (UFV-MG–2009) Para resolver a equação exponencial 
42x – 2 – 24.4x – 2 + 8 = 0, Aline tomou o cuidado de 
inicialmente multiplicar ambos os membros da equação 
por 16. Tendo resolvido CORRETAMENTE, Aline 
encontrou dois números reais cujo produto vale
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2
19. (UFLA-MG) O valor de x que satisfaz a equação 
2x + 3 + 2x – 3 = 260 é
A) 5 B) 8 C) 3 D) 2 E) 1
SEÇÃO ENEM
01. A fotografia a seguir mostra o famoso monumento 
conhecido como Gateway Arch.
 Bu
p
h
o
lf
f 
/ 
C
re
at
iv
e 
C
o
m
m
o
n
s
Localizado em St. Louis, Missouri, o Gateway Arch foi 
projetado pelo arquiteto Eero Saarinen. Embora lembre 
uma parábola, o monumento tem a forma exata de 
uma curva conhecida como catenária, nesse caso, 
no formato invertido. A catenária é uma curva formada 
por um fio pendente, e sua expressão é dada por 
y
e e
a
ax ax
= +
–
2
, em que a é uma constante que depende 
dos parâmetros físicos do fio, e e é o número neperiano.
Se a = 1, o valor de x para o qual y = 1 é
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
GABARITO
Fixação
01. A 02. C 03. D 04. A 05. C
Propostos
01. D 09. D
02. C 10. C
03. B 11. C
04. E 12. E
05. E 13. E
06. D 14. B
07. D 15. D
08. A 16. D
17. A) 
1
–1 1
3
y
xO
1
3
 B) –1 < x ≤ 1
18. C
19. A
Seção Enem
01. C 02. E
02. Uma garrafa de cerveja foi colocada em uma geladeira que 
tinha temperatura interna igual a 5 ºC. A temperatura da 
garrafa em função do tempo pode ser descrita pela função:
T t T B
a
t
( ) .
–
= + 3 2
Em que Ta é a temperatura do ambiente, em graus Celsius, 
e B é uma constante. Sabe-se que, após 2 horas, a 
cerveja chegou a 14 ºC. Quanto tempo levou para que 
essa garrafa atingisse a temperatura de 6 ºC?
A) 2 horas 
B) 3 horas 
C) 4 horas
D) 5 horas
E) 6 horas
Frente C Módulo 10
FRENTE
37Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
ÁREA DE ALGUMAS FIGURAS 
PLANAS
Retângulo
A área A de um retângulo é o produto da medida da base 
pela medida da altura.
b
h
A = b.h
Quadrado
O quadrado é um retângulo de lados iguais. Logo, sua área A 
é o produto da medida da base pela medida da altura.
a
a
A = a2
Paralelogramo
A área de um paralelogramo de base b e altura h é igual 
à área de um retângulo de base b e altura h. Observe:
b
h
b
h
A = b.h
Triângulo
Consideremos um triângulo ABC, cuja base AB mede b 
e a altura relativa a essa base mede h. Traçando por C a 
reta r paralela à base, e por B a reta s paralela ao lado AC, 
obtemos o paralelogramo ABDC a seguir:
h
A B
D
C
s
b
r
Como o triângulo BCD é congruente ao triângulo ABC e a 
área A do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo, 
então, temos:
A = 
bh.
2
Ou seja, a área do triângulo é metade do produto da medida 
da base pela medida da altura.
Triângulo equilátero
Pelo Teorema de Pitágoras, calcula-se facilmente a medida h 
da altura de um triângulo equilátero de lado , obtendo:
��
�
2
�
2
h
 h = 
 3
2
Logo, a área A desse triângulo é:
A = 



.
.
3
2
2
3
2
1
2
2
⇒ = ⇒A
 A = 

2 3
4
Áreas de polígonos 09 D
38 Coleção Estudo
Hexágono regular
As diagonais de um hexágono regular dividem-no em seis 
triângulos equiláteros. Assim, a área A de um hexágono 
regular de lado  é igual à seis vezes a área de um triângulo 
equilátero de lado .
�
�
��
�
�
A= 6.

2 3
4
 ⇒ A = 
3 3
2
2

Trapézio
Traçando uma diagonal de um trapézio de altura h e bases 
b e B, dividimo-lo em dois triângulos de altura h e bases de 
medidas b e B. Observe a figura.
b
B
h
A área A do trapézio é a soma das áreas desses dois 
triângulos. Assim, temos:
A = 
B h b h. .
2 2
+ ⇒ A = 
( ).B b h+
2
Portanto, a área A do trapézio é igual à metade do produto 
da altura pela soma das bases.
Losango
Consideremos um losango cujas diagonais medem 
D e d. Sabemos que as diagonais de um losango são 
perpendiculares entre si e o ponto em que elas concorrem 
é o ponto médio de cada uma.
Observe, portanto, que a área A do losango é o dobro da 
área do triângulo de base d e altura 
D
2
.
Q N D
P
d
M
A = 2.
d
D
.
2
2
 ⇒ A = 
d D.
2
Portanto, a área A do losango é metade do produto das 
medidas das diagonais.
OBSERVAÇÃO
O losango também é paralelogramo. Logo, sua área pode 
ser calculada como a área de um paralelogramo.
EXPRESSÕES DA ÁREA DE 
UM TRIÂNGULO
Em função das medidas dos lados – 
Teorema de Herão
Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c, 
sendo o semiperímetro p = 
a b c+ +
2
,
A
c
B
b 
a C 
temos que a área do triângulo ABC é:
A = p p a p b p c.( ).( ).( )− − −
Em função do semiperímetro e do 
raio da circunferência inscrita
Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c, 
com semiperímetro p = 
a b c+ +
2
, e a circunferência inscrita 
de raio r, então a área do triângulo ABC é:
A = p.r
Frente D Módulo 09
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
39Editora Bernoulli
Demonstração:
A
c
B
b 
a C 
r
r
r o
 A∆ ABC = A∆ BCO + A∆ ACO + A∆ ABO ⇒
 A∆ ABC = 
a r b rc r. . .
2 2 2
+ + ⇒
 A∆ ABC = 
a b c r+ +






2
. ⇒ 
 A∆ ABC = p.r
Em função da medida de dois 
lados e do ângulo compreendido 
entre eles
Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e 
c e ângulo de medida Â, compreendido pelos lados b e c, 
temos que a área desse triângulo é:
A = 1
2
.b.c.sen A
Demonstração:
A
A
b
c
a
B
C
h
A
c h
h
b
h b
A
b cABC
ABC
∆
∆
=
= ⇒ =







⇒ =
.
sen sen
. .sen2
A A
A
22
Em função das medidas dos lados e 
do raio da circunferência circunscrita
Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c, 
inscrito em uma circunferência de raio R.
C
A B
R
O
c
a
A
b
A área do triângulo ABC inscrito na circunferência é:
A = 
ab c
R
. .
4
Demonstração:
A b c
a
sen
R
a
R
A
ABC
AB
∆
∆
=
= ⇒ =







⇒
1
2
2
2
. . .sen
 
sen
A
A
A
CC
a b c
R
= . .
4
ÁREAS DE POLÍGONOS 
REGULARES
Considere um polígono regular A1A2A3A4...An, de n lados 
de medida  e semiperímetro p = n
2
, inscrito em uma 
circunferência de centro O e raio R. O polígono pode ser 
dividido em n triângulos isósceles congruentes.
�
�
�
�
�
� O
RR
R
A1 A4
A2 A3
A6
An A5
R
R
R
R
Traça-se, em um dos triângulos, o apótema a do polígono.
�
R R
O
A2 A1
a
A área AT desse triângulo é dada por AT = 
.a
2
.
Como o polígono possui n triângulos, então sua área 
AP é dada por:
AP = n.AT ⇒ AP = n.
.a
2
 ⇒ AP = 
n.
2
.a ⇒ 
AP = p.a
Áreas de polígonos
40 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (UNIFESP–2007) Dois triângulos congruentes ABC e ABD, 
de ângulos 30º, 60º e 90º, estão colocados como mostra 
a figura, com as hipotenusas AB coincidentes.
A B
CD
Se AB = 12 cm, a área comum aos dois triângulos, em 
centímetros quadrados, é igual a 
A) 6 B) 4√3 C) 6√3 D) 12 E) 12√3
Resolução:
Dados AB = 12 cm e os ângulos internos dos triângulos 
ABC e ABD, determinamos as medidas dos outros lados. 
30º
30º
60º 60º
30º
30º
6¹3
A B
CD
E
2¹3
12
6
sen 30o = 
BC
AB
BC
BC cm⇒ = ⇒ =
1
2 12
6
cos 30o = AC
AB
AC
AC cm⇒ = ⇒ =
3
2 12
6 3
tg 30o = 
CE
BC
CE
CE cm⇒ = ⇒ =
3
3 6
2 3
Portanto, a área, em cm2, do triângulo ABE vale:
A∆ ABE = A∆ ABC – A∆ BEC
 ⇒ A∆ ABE = 
6 6 3
2
6 2 3
2
. .
− ⇒
A∆ ABE = 12√3
02. (UFV-MG–2009) Seja f a função definida por f(x) = sen x, 
x ≥ 0. Num mesmo sistema de coordenadas, considere 
os pontos A B
π π
6
0
2
0, , ,











 , C e D, em que C e D estão 
sobre o gráfico de f, cujas abscissas são, respectivamente,
π π
2 6
e . Unindo-se esses pontos obtém-se o quadrilátero 
ABCD, cuja área vale 
A) 
π
4
 B) 
π
2
 C) 
π
5
 D) 
π
3
Resolução:
Temos os pontos A e B
π π
6
0
2
0, ,











 .
Como os pontos C e D pertencem ao gráfico de f(x) = sen x, 
temos: C sen C e
π π π
2 2 2
1, ,





 ⇒





 D sen D
π π π
6 6 6
1
2
, ,





 ⇒






Substituindo os pontos A, B, C e D em um mesmo sistema 
de coordenadas, temos:
1
O
D
A B
C
y
x
1
2
π
6
π
2
Logo, temos um trapézio retângulo cuja área vale:
 A A A=
+








−








⇒ = ⇒ =
1
1
2 2 6
2
3
2 3
2 4
π π π
π.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (FUVEST-SP–2007) A figura representa um retângulo 
ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento 
CD, de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção 
da diagonal AC com o segmento BE.
D E C
BA
F
Então, a área do triângulo BCF vale
A) 
6
5
B) 
5
4
C) 
4
3
D) 
7
5
E) 
3
2
02. (UFRGS) Os quadrados ABCD e APQR, representados 
na figura a seguir, são tais que seus lados medem 6 e o 
ângulo PÂD mede 30°.
A
B R
QC
D P
Ligando-se o ponto B com o ponto R e o ponto D com 
o ponto P, obtém-se o hexágono BCDPQR, cuja área é
A) 90 B) 95 C) 100 D) 105 E) 110
Frente D Módulo 09
M
A
TE
M
Á
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C
A
41Editora Bernoulli
03. (FUVEST-SP–2008) No retângulo ABCD da figura tem-se 
CD =  e AD = 2. Além disso, o ponto E pertence à 
diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é 
perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo 
ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede
B F C
DA
E
2�
�
A) 
2
8
 
B) 
2
4
 
C) 

2
2
D) 3
2
4

E) ¹2
04. (UFMG–2008) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, 
cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado 
de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura.
S R
G
H
D
C
P QA B
F E
Então, é CORRETO afirmar que a área do quadrado 
PQRS é
A) 1 + 2¹2 dm2. C) 3 + 2¹2 dm2.
B) 1 + ¹2 dm2. D) 3 + ¹2 dm2.
05. (PUC Minas) Pelos dados da figura a seguir, a medida da 
área do triângulo de vértices C, D e E, em m2, é
A B
C
D
E
Dados: BE = 2AE = 4 m; AD = AE; BC = BE
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMG) Observe a figura.
A
CB
F
E
BC é a hipotenusa do triângulo retângulo ABC, AE = 1
4
AB, 
FC = 
1
4
AC e a área do quadrilátero BCFE é igual a 30 cm2. 
A área do triângulo AEF é igual a
A) 10 D) 80
13
B) 20 E) 90
13
C) 
60
13
02. (UFG–2007) No trapézio ABCD a seguir, o segmento AB 
mede a, o segmento DC mede b, M é o ponto médio de 
AD e N é o ponto médio de BC.
A B
CD
M N
b
a
Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios 
MNCD e ABNM é igual a
A) 
a b
a b
+
+
2
3
 D) 
a b
a b
+
+
2
2
B) 
a b
a b
+
+
3
2
 E) 
3 2
2 3
a b
a b
+
+
C) 
a b
a b
+
+
3
3
03. (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD a seguir, ABC = 150°, 
AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e N, 
respectivamente, os pontos médios de CD e BC. 
A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é
A
B
C
D
M
N
A) 10 D) 30 
B) 15 E) 40
C) 20
Áreas de polígonos
42 Coleção Estudo
04. (UFES) No t r iângu lo ABC da f igura , temos 
AD = CF = BE = 2 cm e DC = FB = EA = (1 + ¹3) cm. 
CALCULE a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área 
do triângulo DEF.
A
B CF
E
D
05. (UFRJ) Na figura a seguir, o quadrado ABCD tem lado 6. 
Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região 
hachurada tem área 16. DETERMINE x.
6
B
A
C
D
x
Q3
Q2
Q4
Q1
06. (UFMG) Observe a figura.
A B
CD
E F G
r
s
t
Nessa figura, as retas r, s, e t são paralelas; a distância 
entre r e s é 1; a distância entre s e t é 3; EF = 2 e FG = 5.
CALCULE a área do quadrilátero ABCD.
07. (UFMG) O comprimento de uma mesa retangular é o dobro 
de sua largura. Se a mesa tivesse 45 cm a menos de 
comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. 
Assim, a área da mesa é de
A) 1,62 m2. C) 1,58 m2.
B) 1,45 m2. D) 1,82 m2.
08. (UFMG) Observe a figura.
A B
CD
E F
Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, EF = FC = FB 
e DE = 1
2
. A área do triângulo BCF é 
A) 
3
16
 B) 1
5
 C) 1
6
 D) 3
4
09. (UFMG) Nos triângulos ABC e DEF, AB = DE = c, 
AC = DF = b, BÂC = a, ED̂F = 2a, e a área do triângulo 
ABC é o dobro da área do triângulo DEF. CALCULE o 
valor de cos a.
10. (UFMG) Observe esta figura.
A B
CD
P
Q
Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 1; 
o triângulo BPQ é equilátero; e os pontos P e Q 
pertencem, respectivamente, aos lados AD e CD. Assim, 
a área do triângulo BCQ é
A) 
3 1
2
−
 B) 
2 3
2
+
 C) 
2 3
2
−
 D) 
3 3
2
−
11. (FUVEST-SP) Na figura a seguir, a reta r é paralela ao 
segmento AC, sendo E o ponto de interseção de r com a 
reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos 
ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do 
quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é
A) 6 
A
B
C
E
D
r
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
12. (UFU-MG–2007) Na figura a seguir, a área do triângulo 
ADE corresponde a 20% da área do quadrado ABCD. Para 
que a área do triângulo EBC seja igual a 30 cm2, o lado 
do quadrado ABCD deve ser igual a
A B
CD E
A) 10 cm. B) 10¹2 cm. C) 5¹3 cm. D) 5 cm.
13. (UFJF-MG–2008) A área do hexágono regular ABCDEF é 
180 cm2.
A
B
C
D
E
F
Qual é a área do triângulo sombreado, em centímetros 
quadrados?
A) 10 B) 15 C) 20 D)25 E) 30
Frente D Módulo 09
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
43Editora Bernoulli
14. (Mackenzie-SP–2006) A figura a seguir representa as 
peças do tangram – quebra-cabeça chinês formado por 
5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sendo a área 
do quadrado ABCD igual a 4 cm2, a área do triângulo 
sombreado, em cm2, é
A
B C
D
A) 
1
6
 C) 
1
9
 E) 
1
4
B) 
1
8
 D) 
1
2
15. (FUVEST-SP–2009) A figura representa sete hexágonos 
regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices 
coincidem com os centros de seis dos hexágonos 
menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a 
A) 3 3 C) 
3 3
2
 E) 
3
2
B) 2 3 D) 3
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2000) Em uma empresa, existe um galpão que 
precisa ser dividido em três depósitos e um hall de entrada 
de 20 m2, conforme a figura a seguir. Os depósitos I, 
II e III serão construídos para o armazenamento de, 
respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de igual volume, 
e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades.
10 m
11 m
I II III
Hall
20 m2
A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3 
02. (Enem–2002) Um terreno com o formato mostrado na 
figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido 
em quatro lotes de mesma área.
Rua A
Rua D
Rua B
Rua C
Terreno
As ruas A e B são paralelas.
As ruas C e D são paralelas.
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que 
fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos esquemas 
a seguir, em que lados de mesma medida têm símbolos 
iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, 
necessariamente, a mesma área é:
A)
B)
D)
E)
C)
03. (Enem–2008) O tangram é um jogo oriental antigo, uma 
espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 
5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo 
e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se 
um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. 
Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar 
uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas 
nas figuras 2 e 3.
Figura 1
A
B
Figura 2 Figura 3
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 
2 cm, então a área da figura 3, que representa uma 
“casinha”, é igual a
A) 4 cm2. C) 12 cm2. E) 16 cm2.
B) 8 cm2. D) 14 cm2. 
Áreas de polígonos
44 Coleção Estudo
04. (Enem–2009) O governo cedeu terrenos para que famílias 
construíssem suas residências com a condição de que 
no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como 
área de preservação ambiental. Ao receber o terreno 
retangular ABCD, em que AB = BC
2
, Antônio demarcou 
uma área quadrada no vértice A, para a construção 
de sua residência, de acordo com o desenho, no qual 
AE = AB
5
 é lado do quadrado.
A E D
CB
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria 
exatamente o limite determinado pela condição se ele
A) duplicasse a medida do lado do quadrado.
B) triplicasse a medida do lado do quadrado.
C) triplicasse a área do quadrado.
D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
E) ampliasse a área do quadrado em 4%.
05. (Enem–2009) A vazão do Rio Tietê, em São Paulo, 
constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. 
Em alguns trechos, são construídas canaletas para 
controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo 
corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, 
tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, 
a vazão da água é de 1 050 m3/s. O cálculo da vazão, 
Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor 
transversal (por onde passa a água), em m2, pela 
velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões 
especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de 
enchentes.
30 m
2,5 m
20 m
Figura I
49 m
2,0 m
41 m
Figura II
Disponível em: <http://www2.uel.br>.
Na suposição de que a velocidade da água não se 
alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma 
na canaleta?
A) 90 m3/s D) 1 512 m3/s 
B) 750 m3/s E) 2 009 m3/s
C) 1 050 m3/s
06. (Enem–2009) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma 
área retangular de sua fazenda para seu filho, que está 
indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com 
as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua 
área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para 
compor a reserva para o filho, conforme a figura.
a x
x
b
Fazenda
do pai
Área 100%
cultivada (filho)
Área de reserva
legal (filho)
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho 
cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura 
x metros contornando o terreno cultivado, que se 
destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x 
da faixa é
A) 10%(a + b)2
B) 10%(ab)2
C) ¹a + b − (a + b)
D) ¹(a + b)2 + ab − (a + b)
E) ¹(a + b)2 + ab + (a + b)
GABARITO
Fixação
01. B 02. A 03. E 04. C 05. D
Propostos
01. E 08. A
02. C 09. 
1
4
03. C 10. C
04. AÊD = 45° 11. B
 Área = 
3 3
2
2cm 12. A
05. x = 1 ou x = 2 13. A
06. 
88
3
 14. E
07. A 15. E
Seção Enem
01. D
02. E 
03. B 
04. C 
05. D
06. D
Frente D Módulo 09
FRENTE
45Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
ÁREA DE UM CÍRCULO
Considere a circunferência λ de centro O e raio R.
Inscreva em λ polígonos regulares, de modo que o número 
de lados cresça sucessivamente.
R
R
O O
OO
R
R
λ λ
λ λ
R
R
a
a
Sabemos que a área de um polígono regular P é o produto 
do seu semiperímetro p pelo apótema a: AP = p.a
Quanto maior o número de lados do polígono regular 
inscrito em λ, mais seu perímetro se aproxima do perímetro 
(comprimento) da circunferência, e seu apótema se 
aproxima do raio. A área do polígono torna-se, portanto, 
cada vez mais próxima da área do círculo de raio R. 
Afirma-se, então, que a área de um círculo é o produto 
do seu semiperímetro pelo raio.
Assim, para o círculo de raio R, tem-se:
O
R
λ
A = pR.R ⇒ A = pR2
SETOR CIRCULAR
Setor circular é uma parte do círculo limitada por um 
arco de circunferência e dois raios com extremidades nas 
extremidades do arco.
O
R
R
B
A
Área de um setor circular
A área de um setor circular de raio R é proporcional 
à medida do arco correspondente.
1º caso:
A²B medido em graus.
R
αº
R
B
A
O
 Área Arco
 pR2 ------------------------- 360º
 A ------------------------- aº
Logo, 
π
α
R
A
2 360= º
º
 ⇒ A
R
=
π α2
360
º
º
2º caso:
A²B medido em radianos.
O
R
β rad
R
B
A
 Área Arco
 pR2 ------------------------ 2p rad
 A ------------------------ b rad
Logo, 
π π
β
R
A
2 2= ⇒ A R= β
2
2
3º caso: 
A²B medido em comprimento.
O
R
�
R
B
A
 Área Arco
 pR2 ------------------------ 2pR
 A ------------------------ 
Logo, 
π πR
A
R2 2=

 ⇒ A
R
=

2
Áreas de círculo e suas partes 10 D
46 Coleção Estudo
SEGMENTO CIRCULAR
Segmento circular é uma parte do círculo limitada por um 
arco de circunferência e por uma corda com extremidades 
nas extremidades do arco.
O
B A
 
A corda AB determina dois segmentos circulares, como 
mostrado na figura anterior.
Área de um segmento circular
Para calcularmos a área de um segmento circular de 
ângulo central 0 < a ≤ p, procedemos como mostrado na 
figura seguinte:
O
B A
α
= –O
B A
α
O
B
R RR RR R
A
α
A = Asetor – Atriângulo = 
αR2
2
1
2
− R2.sen a ⇒
 
A
R
sen= −
2
2
( )α α
COROA CIRCULAR
Dadas duas circunferências concêntricas de raios r e R, 
com r < R, chama-se coroa circular ao conjunto dos pontos 
pertencentes ao círculo de raio R e exteriores ao círculo 
de raio r.
O
r R
Para calcularmos a área de uma coroa circular, fazemos a 
diferença entre as áreas dos dois círculos:
A = pR2 – pr2 ⇒ A = p(R2 – r2)
RAZÃO ENTRE ÁREAS DE 
FIGURAS SEMELHANTES
Consideremos os triângulos semelhantes ABC e DEF, sendo K 
a razão de semelhança do primeiro para o segundo.
B EC Fa d
p q
A
D
a
d
p
q
= = k
Calculando a razão da área do primeiro para a área do 
segundo triângulo, temos:
A
A
ap
dq
ap
dq
a
d
p
q
ABC
DEF∆
∆
= = =2
2
. = k.k = k2 ⇒ 
A
A
kABC
DEF
∆
∆
= 2
Dessa maneira, deduzimos uma importante propriedade:
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança entre eles.
Essa propriedade pode ser generalizada para quaisquer 
figuras semelhantes, isto é:
A razão entre áreas de duas figuras semelhantes é igual 
ao quadrado da razão de semelhança entre essas figuras.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (AFA-SP) Na figura a seguir, o lado do quadrado é 1 cm. 
Então, a área da região hachurada, em cm2, é
A) 
π
4
1
2
− C) 
π
4
1
4
−
B) 
π
2
1
2
− D) 
π
2
1
4
− 
Frente D Módulo 10
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
47Editora Bernoulli
Resolução:
A área hachurada corresponde à quatro vezes a área de 
um segmento circular de ângulo central 90° e raio 1
2
, como 
indicado na figura.
1
2
1
2
Assim, Ahac. = 4(Asetor – A∆) ⇒ Ahac. = 4.
π
1
2
4
1
2
1
2
2
2








−












.
 ⇒ 
Ahac. = 
π
4
1
2
2−





 cm
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFMG) Observe a figura.
C1 C
C2
C3
C4
Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma 
das circunferências menores, C1, C2, C3 e C4, é tangente 
a C e a um lado do quadrado inscrito. Os centros de C1, 
C2, C3 e C4 estão em diâmetros de C perpendiculares a 
lados do quadrado. A soma das áreas limitadas por essas 
quatro circunferências menores é
A) 8p(3 – 2¹2) C) 2p(3 – 2¹2)
B) 2p(3 + 2¹2) D) 8p(3 + 2¹2)
02. (UNIFESP–2007) Se um arco de 60° num círculo I tem o 
mesmo comprimento de um arco de 40° num círculo II, 
então a razão da área do círculo I pela área do círculo II é
A) 
2
9
 B) 
4
9
 C) 
2
3
 D) 3
2
 E) 
9
4
03. (UFMG) Observe a figura.
A
H
I
45º
45º
G
F
C
B
E
D
O
Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos A¹B, 
B¹C, C¹D, D¹E, E¹F, F¹G, G¹H e H¹A congruentes. O valor da 
área sombreada, em função de r, é
A) r2(p – 2) B) 2r2(p – 1) C) 2r2 D) r2(p – 1)
04. (UFV-MG–2008) A região hachurada da figura 1 a seguir 
é denominada Triângulo de Reuleaux, em homenagem a 
Franz Reuleaux (1829-1905). Nesse triângulo, os vértices 
A, B e C são centros de circunferências de raio r, as quais 
contêm, respectivamente, os arcos B¹C, A¹C, A¹B, conforme 
ilustrado. A janela da Catedral de Notre Dame (figura 2) 
em Bruxelas, na Bélgica, tem seu design inspirado no 
Triângulo de Reuleaux.
A
C
B
 
 Figura 1 Figura 2
Para a construção dessa janela é necessário conhecer 
a área do Triângulo de Reuleaux, em função do raio r, 
que é dada por
A) 
π + 3
2
2r C) 
π − 5
2
2r
B) 
π − 3
2
2r D) 
π + 5
2
2r
05. (FUVEST-SP–2006) Na figura a seguir, o triângulo ABC 
inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado 
AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é a. Nessas 
condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área 
do círculo da figura é dado, em função de a, pela expressão
α
A
C B
A) 
2 2
π
α. cos D) 2 2
π
α α. .cossen
B) 2 22
π
α.sen E) 
2
2 2
π
α α. .cossen
C) 2 22
π
α α. .cossen 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (EFOA-MG–2006) Na figura a seguir, tem-se um círculo de 
3 cm de raio e quatro triângulos equiláteros com vértices 
no centro desse círculo.
 
A área da região hachurada, em cm2, é
A) 4p B) 6p C) 2p D) 5p E) 3p
Áreas de círculo e suas partes
48 Coleção Estudo
02. (Mackenzie-SP–2006) Na figura, o raio OA da circunferência 
mede 6 cm. Adotando-se p = 3, a área da região 
sombreada, em cm2, é igual a
A B
30°
O
A) 9(4 – ¹3) C) 4¹3 E) 4(9 – ¹3)
B) 9 – ¹3 D) 9¹3 
03. (UFOP-MG–2008) O triângulo ABC da figura a seguir está 
inscrito numa circunferência de raio ¹3 cm. O lado AB é 
diâmetro da circunferência e a medida do ângulo CAB é 30º.
A B
C
30°
O
A área da região sombreada, em cm2, é
A) 
π
2
3 3
4
− C) 
3
2
3
4
π −
B) 3
2
3
2
π − D) π
2
3 3
2
−
04. (Mackenzie-SP) Na figura a seguir, os círculos internos 
são iguais e a região assinalada tem área 8(p – 2). Então, 
a área do círculo externo é
A) 20p 
B) 16p 
C) 8p 
D) 4p 
E) 2p
05. (UFBA) O triângulo ABC está inscrito num círculo de área 
igual a 16p cm2, sendo A = 30°, AB = 8 cm e 
AC.BC = x cm2. DETERMINE o valor de x¹3. 
06. (FUVEST-SP) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, 
DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. 
Logo, a área da região hachurada é
A) 1
6
3
4
− +π 
A B
CD
EB) 1
3
3
2
− +π 
C) 1
6
3
4
− −π
D) 1
3
3
2
+ −π
E) 1
3
3
4
− −π
07. (UFTM-MG) A figura mostra uma circunferência de 
centro O e raio igual a 2 e um pentágono regular ABCDO, 
cujos vértices A e D pertencem à circunferência. A região 
hachurada tem área igual a
A
B
C
D
O
A) 6
5
π B) 8
3
π C) 9
4
π D) 10
3
π E) 12
5
π
08. (UFMG) Observe a figura.
A
B C
M
H
O
Nessa figura, o triângulo ABC é equilátero e está inscrito 
em um círculo de centro O e raio r = 6 cm; AH ⊥ BC 
e M é ponto médio do arco A¹C. DETERMINE a área da 
região hachurada.
09. (PUC Minas) A figura a seguir apresenta um quadrado 
ABCD, cuja área mede 8 m2. B¹D é um arco de 
circunferência de centro em A. A medida da área da 
região BCE, em m2, é
A
C
B
E
D
A) 8 – p C) 6 – p E) 4 – p
B) 7 – p D) 5 – p 
10. (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. 
Um dos arcos está contido na circunferência de centro C 
e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro 
no ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região 
hachurada é
A
B C
D
A) 
πa2
6
 C) 
πa2
8
1
2
− E) 
πa2
6
1+
B) 
πa2
8
 D) 
πa2
6
1
3
−
Frente D Módulo 10
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
49Editora Bernoulli
11. (UFPR–2007) Um cavalo está preso por uma corda 
do lado de fora de um galpão retangular fechado, 
de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. 
A corda tem 10 metros de comprimento e está fixada 
num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura a 
seguir. Determine a área total da região em que o animal 
pode se deslocar.
A) (75p + 24) m2 
B) 88p m2 
C) 20p m2
D) (100p – 24) m2
E) 176p m2
12. (UFMG) Os raios dos círculos de centros A e B medem 3 m 
e 3¹3 m, respectivamente, e a distância AB mede 6 m. 
CALCULE a área da região comum aos mesmos.
A
M
B
N
13. (UFSCar-SP) Para fins beneficentes, foi organizado um 
desfile de modas num salão em forma de círculo, com 
20 metros de raio. A passarela foi montada de acordo com 
a figura a seguir, sendo que as passarelas CA e CB são lados 
que corresponderiam a um triângulo equilátero inscrito 
na circunferência. No espaço sombreado, ocupado pela 
plateia, foram colocadas cadeiras, sendo uma cadeira por m2 
e um ingresso para cada cadeira.
A
O
CB
Adotando ¹3 = 1,73 e p = 3,14:
A) DETERMINE quantos metros cada modelo desfilou, 
seguindo uma única vez o roteiro BC, CA, AO e OB.
B) Sabendo-se que todas as cadeiras foram ocupadas, 
CALCULE quantos ingressos foram vendidos para 
este evento.
14. (UFMG–2006) Nesta figura, os dois círculos são tangentes 
entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD.
A B
CD
Sabe-se que o raio do círculo menor e o do círculo maior 
medem, respectivamente, 2 cm e 4 cm e o lado AB do 
retângulo mede 9 cm.
1. CALCULE o comprimento do lado AD do retângulo.
2. CALCULE a área da região sombreada na figura.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Dois holofotes iguais, situados em 
H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, 
ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e 
determinam uma região S de maior intensidade luminosa, 
conforme figura.
R
H1
R
S
H2
Área do setor circular: ASC = A
R
SC
α 2
2
, a em radianos
A área da região S, em unidades de área, é igual a
A) 2
3
3
2
2 2πR R− 
B) 2 3 3
12
2π −( )R 
C) πR R
2 2
12 8
−
D) πR
2
2
E) πR
2
3
Áreas de círculo e suas partes
50 Coleção Estudo
02. (Enem–2004) Uma empresa produz tampas circulares 
de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas 
quadradasde 2 metros de lado, conforme a figura. Para 
1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 
16 tampas pequenas.
GRANDE MÉDIA PEQUENA
Área do
círculo = πr22
 m
2 m
As sobras de material da produção diária das tampas 
grandes, médias e pequenas dessa empresa são 
doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, 
para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas 
informações, pode-se concluir que
A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
B) a entidade I recebe metade de material do que 
a entidade III.
C) a entidade II recebe o dobro de material do que 
a entidade III.
D) as entidade I e II recebem, juntas, menos material 
do que a entidade III.
E) as três entidades recebem iguais quantidades de 
material.
03. (Enem–2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e 
José deixou como herança um terreno retangular de 
3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro 
delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir 
do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior 
valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram 
em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse 
com a terça parte da área de extração, conforme mostra 
a figura.
2 km
1 km
1 km
3 km
João
Pedro
José
Em relação à partilha proposta, constata-se que a 
porcentagem da área do terreno que coube a João 
corresponde, aproximadamente, a
Considere: 
3
3
0 58=








,
A) 50%. B) 43%. C) 37%. D) 33%. E) 19%.
04. A parte superior do projeto de um monumento foi 
construída a partir de uma semicircunferência de raio 
12 cm. Para a construção da casa de sino, foi retirada a 
região abaixo do arco BC e acima da reta que liga BC. 
A área, em cm2, da região representada na figura delimitada 
pelo triângulo BCE e pelos setores circulares AEB e CED é
B C
A D
E
60º
Centro do círculo
A) 24 18 3π + D) 48 27 3π +
B) 24 27 3π + E) 48 36 3π +
C) 24 36 3π +
GABARITO
Fixação
01. C 02. B 03. A 04. B 05. E
Propostos
01. E 10. B
02. A 11. B
03. A 12. 
15
2
9 3
π − m2
04. B 13. A) 109,2 m
05. 48 cm2 B) 910 ingressos vendidos.
06. C 14. 1. AD = 3(2 + ¹3) cm
07. A 2. 20 + 
21 3
2
 – 8p cm2
08. 
27 3
2
 + 6p cm2 
09. E 
Seção Enem
01. A 02. E 03. E 04. E
Frente D Módulo 10
FRENTE
51Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO 
Um polinômio é uma função na variável x da forma: 
P(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a1x + a0
Em que:
i) an, an – 1, ..., a1 e a0 são os coeficientes do polinômio.
ii) Os expoentes são números naturais.
Exemplos
1°) P(x) = 3x4 – 7x3 + 8x + 2
2°) P(x) = –4x5 + 8x4 – 9x3 + 18x2 + 7x – 1
Um polinômio é dito nulo se todos os seus coeficientes 
são iguais a zero. 
Portanto, P(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a1x + a0 
é nulo se, e somente se, an = an – 1 = ... = a1 = a0 = 0.
GRAU DO POLINÔMIO
Considere o polinômio P(x) = anx
n + an – 1 x
n – 1 + ...+ a1x + a0. 
Dizemos que o grau de P(x) é igual a n, se an ≠ 0. 
Exemplos
1°) O grau de P(x) = 7x4 – 3x2 + 8 é igual a 4.
2°) O grau de P(x) = 2x2 + 8 é igual a 2. 
3°) O grau de P(x) = 13 é igual a zero. 
OBSERVAÇÃO
Não se define o grau de um polinômio nulo.
POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Os polinômios P(x) = anx
n + ... + a2x
2 + a1x + a0 e 
Q(x) = bnx
n + ... + b2x
2 + b1x + b0 são idênticos se, 
e somente se, an = bn, an – 1 = bn – 1, ..., a2 = b2, a1 = b1 e a0 = b0, 
e escrevemos P(x) ≡ Q(x).
Exemplo
Determinar os valores de a, b e c para os quais os polinômios 
P(x) = ax2 + 3x + 9 e B(x) = (b + 3)x2 + (c – 1)x + 3b 
são idênticos.
Resolução:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes, 
obtemos:
a b
c
b
= +
= −
=






3
3 1
9 3
Resolvendo o sistema, obtemos a = 6, b = 3 e c = 4.
RAIZ OU ZERO DE UM POLINÔMIO
Dizemos que um número k é raiz de um polinômio P(x) se, 
e somente se, P(k) = 0.
Do ponto de vista geométrico, a raiz representa o ponto no 
qual a curva, correspondente ao gráfico de P(x), intercepta 
o eixo das abscissas no plano cartesiano.
y = P(x)
k xO
y = P(x)
k xO
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Adição e subtração
Dados os polinômios:
A(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 e 
B(x) = bnx
n + bn – 1x
n – 1 + ... + b2x
2 + b1 x + b0
i) A adição A(x) + B(x) é dada por:
A(x) + B(x) = (an + bn)x
n + (an – 1 + bn – 1)x
n – 1 + ... +
(a2 + b2)x
2 + (a1 + b1)x + (a0 + b0)
ii) A subtração A(x) – B(x) é dada por:
A(x) – B(x) = (an – bn)x
n + ... + (an – 1 – bn – 1)x
n – 1 + ... +
(a2 – b2)x
2 + (a1 – b1)x + (a0 – b0)
Portanto, nessas operações, basta adicionarmos ou 
subtrairmos os termos semelhantes. 
Exemplo
Considerar os polinômios A(x) = 5x4 – 3x3 + 18x2 – 9x + 12 
e B(x) = x4 + 23x3 – 7x2 + x + 3. Assim, temos:
A(x) + B(x) = 6x4 + 20x3 + 11x2 – 8x + 15
A(x) – B(x) = 4x4 – 26x3 + 25x2 – 10x + 9
Polinômios I 17 E
52 Coleção Estudo
Multiplicação
O produto dos polinômios A(x) e B(x) é obtido através da 
multiplicação de cada termo de A(x) por todos os termos 
de B(x), reduzindo os termos semelhantes.
O grau do polinômio A(x).B(x) é igual à soma dos graus 
de A(x) e B(x).
Exemplo
Sejam os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e B(x) = 2x – 1. 
Assim, temos:
A(x).B(x) = (x2 – 3x + 2)(2x – 1) ⇒
A(x).B(x) = 2x3 – x2 – 6x2 + 3x + 4x – 2 ⇒
A(x).B(x) = 2x3 – 7x2 + 7x – 2 
Divisão (método da chave)
Da divisão de dois polinômios A(x) e B(x) não nulos são 
obtidos os polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que:
A x B x
R x
Q x
A x B x Q x R x
gr R g
( ) ( ) 
( )
( )
( ) ( ). ( ) ( )
( )

⇒ ≡ +
< rr B ou R x( ) ( ) =



 0
Em que:
A(x): Dividendo gr(R): grau de R(x)
B(x): Divisor gr(B): grau de B(x)
Q(x): Quociente
R(x): Resto
Para esclarecermos o método da chave, vamos efetuar a 
divisão do polinômio P(x) = 4x3 + 2x2 – x + 1 pelo polinômio 
B(x) = x2 + 2x + 3.
Inicialmente, devemos verificar se o grau do dividendo 
é maior ou igual ao grau do divisor. Caso contrário, não é 
possível efetuar a divisão. No problema, o grau do dividendo 
é igual a 3 e o grau do divisor é igual a 2. Portanto, podemos 
efetuar a divisão.
Escrevemos os polinômios no seguinte formato:
4 2 1 2 33 2 2x x x x x+ + + +– 
Inicialmente, dividimos o primeiro termo do dividendo 
pelo primeiro termo do divisor.
4 2 1 2 3
4
3 2 2x x x x x
x
+ + + +– 
Em seguida, multiplicamos 4x por todos os termos do 
divisor, da direita para a esquerda. O resultado de cada 
multiplicação é colocado, com o sinal trocado, abaixo de 
cada termo correspondente, no dividendo. Em seguida, 
somamos esses termos.
4 2 1 2 3
4 8 12 4
6 13 1
3 2 2
3 2
2
x x x x x
x x x x
x x
+ − + + +
− − −
− − +
 
Repetindo o processo, dividimos –6x2 por x2.
4 2 1 2 3
4 8 12 4 6
6 13 1
3 2 2
3 2
2
x x x x x
x x x x
x x
+ − + + +
− − − −
− − +
 
Multiplicamos –6 por todos os termos do divisor, da 
direita para a esquerda. O resultado de cada multiplicação 
é colocado, com o sinal trocado, abaixo de cada termo 
correspondente, no dividendo. Em seguida, somamos esses 
termos.
4 2 1 2 3
4 8 12 4 6
6 13 1
3 2 2
3 2
2
x x x x x
x x x x
x x
+ − + + +
− − − −
− − +
 
 6 12 18
19
2x x
x
+ +
− +
Observe que não podemos continuar a divisão, pois o grau 
do termo obtido é menor do que 2.
Portanto, temos:
Quociente: Q(x) = 4x – 6 e
Resto: R(x) = –x + 19 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (UFMG) O valor de a para que 1 + ¹2 seja raiz do 
polinômio P(x) = x3 + ax2 + x + 1 é
A) –3 B) –1 C) 1 D) 3
Resolução:
Temos que:
P(1 + ¹2) = (1 + ¹2)3 + a(1 + ¹2)2 + 1 + ¹2 + 1 = 0
Desenvolvendo os termos, obtemos:
1 + 3¹2 + 6 + 2¹2 + a(1 + 2¹2 + 2) + 2 + ¹2 = 0
9 + 6¹2 + 3a + 2¹2a = 0 ⇒ 9 + 6¹2 = –3a – 2¹2a
Igualando os termos correspondentes, temos a = –3. 
02. (UFES) O polinômio x3 + ax2 + bx + 7, com coeficientes 
reais, é divisível por x2 + x + 1. O valor da soma a + b 
é igual a 
A) 7 B) 14 C) 15 D) 16 E) 21
Resolução:
Vamos efetuar a divisão pelo método da chave.
x ax bx x x
x x x x a
a x b
3 2 2
32
2
7 1
1
1 1
+ + + + +
− − − + −
− + −
 
( )
( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
a x a x a
b a x a
+
− − − − + −
− + −
7
1 1 1
8
2
 
Como o polinômio é divisível, então devemos igualar o 
resto ao polinômio nulo, ou seja, a = b = 8.
Portanto, a + b = 16.
Frente E Módulo 17
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
53Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFOP-MG–2008) Sejam os polinômios p(x) = (a + b)x4 – 5 
e q(x) = –2x4 + (a + c)x2 + b + c, em que a, b e c são 
números reais. Suponha que p(x) e q(x) sejam iguais 
para todo x ∈ . Então, a + b + c vale
A) –7 B) − 5
2
 C) –2 D) −
7
2
02. (UFMG) Sejam p(x) = 4x3 + bx2 + cx + d e 
q(x) = mx2 + nx – 3, polinômios com coeficientes reais. 
Sabe-se que p(x) = (2x – 6).q(x) + x – 10. Considerando-se 
essas informações, é INCORRETO afirmar que
A) se 10 é raiz de q(x), então 10 também é raiz de p(x).
B) p(3) = –7
C) d = 18
D) m = 2
03. (UFMG–2006) Neste plano cartesiano, está representado 
o gráfico do polinômio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, sendo 
a, b, c e d números reais. 
y
x–1
5
6
Considere estas afirmativas referentes a esse polinômio:
I. a – b + c – 5 = 0; e
II. p(p(6)) > p(6).
Então, é CORRETO afirmar que
A) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
B) apenas a afirmativa I é verdadeira.
C) apenas a afirmativa II é verdadeira.
D) ambas as afirmativas são verdadeiras.
04. (UFMG–2007) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e 
q(x) = 2x2 – 3x + 
1
b
polinômios com coeficientes reais. 
Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. 
Então, é CORRETO afirmar que o valor de a + b é
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12
05. (UFOP-MG–2007) O resto da divisão do polinômio 
p(x)= x99 – 2x + 3 pelo polinômio q(x) = x2 – 1 é
A) –x + 3 B) 6 C) 8 D) 3x – 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (Unifor-CE) Se os polinômios
f(x) = x3 + (a – b)x2 + (a – b – 2)x + 4 e
g(x) = x3 + 2ax2 + (3a – b)
são idênticos, então
A) ab = 3 C) b = 3a E) ab = –1
B) a = 3b D) 
a
b
 = 1 
02. (UFMG) Considere o polinômio:
p(x) = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4)
O polinômio p(x) é igual a
A) x4(x3 – 1)(x3 + 1) C) x4(x3 – 1)2
B) x4(x6 – 2x4 + 1) D) x4(x6 – 2x2 + 1)
03. (UFMG) Considere os polinômios:
p(x) = ax3 + (2a – 3b)x2 + (a + b + 4c)x – 4bcd e 
q(x) = 6x2 + 18x + 5, em que a, b, c e d são números 
reais. Sabe-se que p(x) = q(x), para todo x ∈  . Assim 
sendo, o número d é igual a
A) 1
8
 B) 2
3
 C) 4
5
 D) 3
04. (UFMG) Sejam P(x) = x2 – 4 e Q(x) = x3 – 2x2 + 5x + a, 
em que Q(2) = 0. O resto da divisão de Q(x) por P(x) é
A) –x – 2 C) x + 2 E) –9x + 18
B) 9x – 18 D) 0 
05. (PUC Rio) Se x2 + 2x + 5 divide x4 + px2 + q exatamente 
(isto é, o resto da divisão do segundo polinômio pelo 
primeiro é zero), então
A) p = –2 e q = 5 D) p = 6 e q = 25
B) p = 5 e q = 25 E) p = 14 e q = 25
C) p = 10 e q = 20
06. (UFJF-MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro 
polinômio q(x), encontramos um resto r(x) = x – 1. 
É CORRETO afirmar que o
A) grau de p(x) é igual a 2.
B) grau de q(x) é igual a 2.
C) grau de q(x) é maior que 1.
D) grau de p(x) é igual a 1.
07. (UFES) O polinômio P(x), quando dividido por x2 + x + 1, 
fornece o quociente x + 1 e o resto x – 1. O coeficiente 
do termo do primeiro grau no polinômio P(x) é
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
08. (UFMG) Os valores de m e n, para os quais o resto da 
divisão de P(x) = 2x3 – 3x2 + mx + n por Q(x) = x2 – 3x + 2 
seja 2x + 1, são
A) m = 9 e n = –1 D) m = 2 e n = 1
B) m = –3 e n = 7 E) m = –6 e n = 2
C) m = 2 e n = 3
09. (UFMG) O quociente do polinômio p(x) = x4 + a2x2 + a4 
pelo polinômio q(x) = x2 – ax + a2, a ∈ , é
A) x2 – ax + a D) x2 + ax + a
B) x2 – ax + a2 E) x2 + ax + a2
C) x2 – a2x + a
Polinômios I
54 Coleção Estudo
10. ( U F T M - M G ) S e n d o k u m n ú m e r o r e a l e 
P(x) = –x5 + 2x3 – x2 + k2 um polinômio divisível pelo 
polinômio D(x) = x3 + 1, pode-se concluir que k2 é um 
número
A) natural. D) irracional.
B) inteiro negativo. E) imaginário puro.
C) racional não inteiro.
11. (UFV-MG) O resto da d iv i são do po l inômio 
p(x) = 5x3 – 4x2 + mx + n pelo polinômio q(x) = x2 – 2x + 1 
é r(x) = 3x + 2. Então, o produto mn é igual a
A) 32 B) –32 C) –16 D) 16 E) 12
12. (UFF-RJ) As raízes de um polinômio P(x) de grau 3 são 
r, s e t. Então, as raízes do polinômio Q(x) = [P(x)]2 são
A) r2, s2, t2 D) 
r s t
2 2 2
, , 
B) 2r, 2s, 2t E) r – 2, s – 2, t – 2
C) r, s, t
13. ( U F R G S ) S a b e n d o - s e q u e o p o l i n ô m i o 
x4 + 4x3 + px2 + qx + r é divisível por x3 + 3x2 + 9x + 3, 
segue que p é igual a
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15
14. (UFPR–2007) Sabendo-se que o polinômio
p(x) = x4 – 3x3 + ax2 + bx – a é divisível pelo polinômio 
q(x) = x2 + 1, é CORRETO afirmar:
A) 2a + b = –2 D) 2a – b = 
1
4
B) a + 2b = 
1
2
 E) a – b = –1
C) a – 2b = 0
SEÇÃO ENEM
01. Ao estudar a variação entre os valores de duas 
grandezas P e X, um pesquisador concluiu que a relação 
matemática que caracterizava essa variação era dada 
pelo polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, em que x era o 
valor da grandeza X e P(x) era o valor correspondente da 
grandeza P. Parte dos dados coletados pelo pesquisador 
encontram-se a seguir:
X P
0 2
1 5
2 10
Com base nas informações apresentadas, pode-se afirmar 
que o valor do coeficiente a é
A) –3 B) –2 C) 0 D) 2 E) 3
02. Observe a notícia a seguir:
Robô-bombeiro feito no Brasil ensaia entrada no 
mercado internacional
Por Guilherme Felitti, repórter do IDG Now! Publicada 
em 19 de out. de 2006 às 18h19 Atualizada 
em 20 de out. de 2006 às 11h17
São Paulo – Desenvolvido em Fortaleza para combater 
incêndios, SACI já é testado pela Petrobrás e desperta 
interesses nos EUA, Índia e Austrália.
Além de dálmatas, bombeiros poderão ter outra 
companhia dentro das brigadas a partir de 2007, com 
funções mais interessantes que os cães malhados. 
O robô-bombeiro SACI, construído como projeto de 
conclusão por um grupo do curso de Engenharia da 
Computação da Universidade de Fortaleza, deverá 
começar a ganhar o mundo já no próximo ano.
Já usado em testes dentro da Petrobrás, o robô, que tem 
a sigla de Sistema de Apoio ao Combate de Incidentes 
como nome, está em sua terceira versão e será vendido 
para a Brigada de Chicago até o final do ano.
“O Corpo de Bombeiros da cidade entrou em contato 
para adquirir uma unidade que subisse escadas”, 
afirma Roberto Macedo, diretor técnico de pesquisa e 
desenvolvimento da Armtec, responsável pelo SACI.
Considere que o robô descrito anteriormente se desloque 
ao longo do gráfico do polinômio P(x) = x3 – 7x2 + 14x – 8. 
O sistema cartesiano de eixos foi posicionado de modo que 
as raízes reais desse polinômio indicam possíveis focos de 
incêndio, os quais serão combatidos pelo robô. Portanto, 
pode-se afirmar que o robô bombeiro será utilizado
A) Nenhuma vez D) três vezes.
B) uma vez. E) quatro vezes. 
C) duas vezes.
GABARITO
Fixação
01. D 02. C 03. D 04. C 05. A
Propostos
01. E 04. B 07. D 10. A 13. D
02. A 05. D 08. B 11. B 14. A
03. A 06. C 09. E 12. C 
Seção Enem
01. B 02. D
Frente E Módulo 17
FRENTE
55Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
TEOREMA DO RESTO
O resto da divisão de P(x) por um binômio ax + b é P
b
a
−




.
Podemos verificar esse fato facilmente. Temos:
P x ax b
R Q x
( )
( )
+
Podemos escrever na forma P(x) ≡ (ax + b).Q(x) + R.
Para x = −
b
a
, temos:
P
b
a
a
b
a
b Q
b
a
−





 = −





 +








−





. .  + ⇒
−





 = − +( ) −





 + ⇒
−


R
P
b
a
b b Q
b
a
R
P
b
a
.



 = −





 + ⇒
−





 =
0.Q
b
a
R
P
b
a
R
Em outras palavras, para encontrarmos o resto da 
divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 
1º grau, basta calcularmos a raiz do binômio do 1º grau e, 
em seguida, substituirmos no polinômio P(x).
Exemplo
Calcular o resto da divisão do polinômio 
P(x) = 3x3 + 4x2 –x + 5 por B(x) = x – 1.
Resolução:
Cálculo da raiz de B(x):
x – 1 = 0 ⇒ x = 1 
O resto R é dado por:
R = P(1) = 3.13 + 4.12 – 1 + 5 ⇒ 
R = 3 + 4 – 1 + 5 = 11
TEOREMA DE D’ALEMBERT
P(x) é divisível por ax + b se, e somente se, P
b
a
−




= 0.
Observe que o Teorema de D’Alembert é uma consequência 
imediata do Teorema do Resto. Eis a demonstração:
Seja P(x) = (ax + b).Q(x) + R.
Conforme vimos anteriormente, fazendo x
b
a
= − , temos 
P
b
a
−





 = R.
Porém, o polinômio P(x) é divisível por ax + b se, 
e somente se, R for igual a zero.
Desse modo, o teorema está demonstrado.
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
É um dispositivo prático que permite determinar o 
quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) por um 
binômio da forma x – a. Como exemplo, vamos efetuar a 
divisão do polinômio P(x) = x3 + 3x2 – x + 4 por B(x) = x – 2.
Inicialmente, vamos posicionar os termos indicados, 
conforme o esquema a seguir:
Raiz do divisor Coeficientes do dividendo
Coeficientes do quociente Resto
Assim, temos:
2 1 3 4–1
Repetimos o coeficiente do termo de maior grau.
1
2 1 3 4–1
Polinômios II 18 E
56 Coleção Estudo
Multiplicamos essa raiz (2) pelo coeficiente que foi 
repetido (1) e, em seguida, somamos com o próximo 
coeficiente (3). O resultado é colocado à direita de 1. 
Fazemos 2.1 + 3 = 5.
2
1 5
1 3 4–1
Repetimos o processo, agora com o último termo obtido (5). 
Fazemos 2.5 – 1 = 9.
2 1 3 4–1
1 5 9
Finalmente, repetimos para o termo 9. Assim, obtemos 
o último termo, separado por uma linha tracejada. 
Esse número é o resto da divisão de P(x) por B(x).
Fazemos 2.9 + 4 = 22.
2 1 3 –1 4
1 5 9 22
Os números obtidos (1, 5 e 9) são os coeficientes do 
polinômio quociente. Como P(x) é do 3º grau e B(x) é 
do 1º grau, o dividendo deverá ser, necessariamente. 
do 2º grau. Por isso, costumamos dizer que o Dispositivo de 
Briot-Ruffini serve para abaixar o grau do polinômio P(x). 
Mais à frente, veremos uma importante aplicação desse 
fato no cálculo de raízes de equações. Portanto, temos 
o quociente Q(x) = x2 + 5x + 9 e o resto R(x) = 22.
OBSERVAÇÃO
Podemos utilizar o Método de Briot-Ruffini também quando 
o divisor é um polinômio da forma ax + b. Nesse caso, 
devemos dividir os coeficientes do polinômio quociente por a.
Exemplo
Efetuar a divisão de P(x) = 5x3 + x2 – 2x + 1 por 2x – 4.
Resolução:
A raiz do binômio do 1º grau é igual a 2. Assim, temos:
2 5 1 –2 1
5 11 20 41
Para obtermos o polinômio quociente, devemos dividir 
cada termo obtido por 2. É importante observar que 
o resto não se altera. Assim, temos como quociente 
Q(x) = 
5
2
11
2
102x x+ + e resto R(x) = 41.
TEOREMA DA DIVISÃO PELO 
PRODUTO
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a)(x – b) se, 
e somente se, P(x) é divisível separadamente por x – a e 
por x – b.
Demonstração: 
Se P(x) é divisível por (x – a )(x – b), podemos escrever 
da seguinte forma:
P x x a x b
Q x
( ) ( )( ) 
( )
− −
0
Em que Q(x) é o polinômio quociente. 
Logo, temos P(x) = (x – a)(x – b).Q(x).
Pelo Teorema de D’Alembert, P(x) é divisível por x – a se, 
e somente se, P(a) = 0.
Assim, temos P(a) = (a – a)(a – b).Q(a) = 0. 
Logo, P(x) é divisível por x – a.
Analogamente, P(x) será divisível por x – b se, e somente 
se, P(b) = 0.
Assim, temos que P(b) = (b – a)(b – b).Q(b) = 0. 
Logo, P(x) é divisível por x – b.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (FGV-SP) Se o polinômio x3 – 2mx2 + (–m + 6)x + 2m + n 
é divisível por x – 1 e por x + 1, então m + n é igual a
A) 7 B) –7 C) 6 D) –6 E) 0
Resolução:
Pelo Teorema de D’Alembert, temos P(1) = 0 e P(–1) = 0. 
Assim:
P(–1) = (–1)3 – 2m(–1)2 + (–m + 6)(–1) + 2m + n ⇒ 
0 = –1 – 2m + m – 6 + 2m + n ⇒ m + n = 7
Observe que não foi necessário fazer P(1) = 0, pois a 
pergunta envolvia m + n. 
02. (Mackenzie-SP) 
P x x
Q x
Q x x
Q x
( )
( )
( )
( )
− −2
4
6
1
1
Considerando as divisões de polinômios dadas, podemos 
afirmar que o resto da divisão de P(x) por x2 – 8x + 12 é
A) 2x + 2 D) 3x – 2
B) 2x + 1 E) x + 1
C) x + 2 
Resolução:
Podemos escrever do seguinte modo:
P(x) = (x – 2).Q(x) + 4 e
Q(x) = (x – 6).Q1(x) + 1
Substituindo a expressão para Q(x) em P(x), temos:
P(x) = (x – 2)[(x – 6).Q1(x) + 1] + 4 ⇒
P(x) = (x – 2).(x – 6).Q1(x)+ x – 2 + 4 ⇒
P(x) = (x2 – 8x + 12).Q1(x) + x + 2
Logo, o resto da divisão de P(x) por x2 – 8x + 12 é igual 
a (x + 2).
Frente E Módulo 18
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
57Editora Bernoulli
03. Um polinômio P(x) deixa resto 1 quando dividido por x – 1 
e deixa resto 4 quando dividido por x + 2. Determinar o 
resto da divisão do polinômio P(x) por (x – 1)(x + 2).
Resolução:
Vamos representar os dados da seguinte forma:
P x x
Q1 
( )
( )
−1
1
Pelo Teorema do Resto,
temos que P(1) = 1.x
P x x
Q2
( ) 
( )
+2
4
Pelo Teorema do Resto,
temos que P(–2) = 4.x
Agora, observe que (x – 1)(x + 2) é um polinômio do 
segundo grau. Na divisão de P(x) por (x – 1)(x + 2), 
o grau do resto deve ser menor do que o grau do divisor. 
Portanto, o resto R(x) é da forma R(x) = ax + b, em que 
a e b são números reais.
P x x x
ax b Q x
( ) ( )( ) 
( )
− +
+
1 2
3
P(x) = (x – 1)(x + 2).Q3(x) + ax + b
Fazendo x = 1, temos:
P(1) = (1 – 1)(1 + 2).Q3(1) + a.1 + b ⇒
1 = a + b
Fazendo x = –2, temos:
P(–2) = (–2 – 1)(–2 + 2).Q3(–2) + a(–2) + b ⇒
4 = –2a + b
Resolvendo o sistema a b
a b
+ =
− + =




1
2 4
, temos a = –1 e b = 2.
Portanto, o resto é igual a R(x) = –x + 2.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFJF-MG / Adaptado) Um polinômio P(x), quando dividido 
pelo polinômio q(x) = x2 – 4, deixa resto r(x) = 3x + 5. 
Então, o resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1
02. (FUVEST-SP) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2 – 3x + 1, 
obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto –x + 2. Nessas 
condições, o resto da divisão de p(x) por x – 1 é
A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2
03. (UFJF-MG) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio 
(x + a) usou-se o Dispositivo prático de Briot-Ruffini e 
encontrou-se:
–2 1 p 4 –5–3
q –4 5 r 7
Os valores de r, q, p e a são, respectivamente,
A) 6, 1, –6, –2 D) –6, –2, 1, 2
B) –6, –2, –2, 2 E) 4, 1, –4, 2
C) –6, 1, –2, 2
04. (FUVEST-SP) Seja p(x) um polinômio divisível por x – 3. 
Dividindo-se p(x) por x – 1, obtemos quociente q(x) e 
resto r = 10. O resto da divisão de q(x) por x – 3 é
A) –5 B) –3 C) 0 D) 3 E) 5
05. (FUVEST-SP–2009) O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, 
em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando 
dividido por x – 2 e x – 1, respectivamente. Assim, o valor 
de a é
A) –6 B) –7 C) –8 D) –9 E) –10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (PUC Minas) O resto da divisão de P(x) = ax3 – 2x + 1 
por Q(x) = x – 3 é 4. Nessas condições, o valor de a é
A) 
1
3
 B) 
1
2
 C) 
2
3
 D) 
3
2
02. (UFJF-MG–2006) O polinômio p(x) é divisível por x + 3, 
por x – 1 e por x + 5. Podemos dizer que o seu grau g é
A) g > 3 C) g ≥ 3 E) g ≤ 3
B) g < 3 D) g = 3 
03. (UEL-PR) Sobre um polinômio p(x) de grau 1, sabe-se que
I. sua raiz é igual a 2
II. p(–2) é igual ao dobro de sua raiz
Nessas condições, é CORRETO afirmar:
A) p(x) = –x + 2 D) p(x) = x2 – x – 2
B) p(x) = 2x – 4 E) p(x) = –x2 + x + 2
C) p(x) = x – 2
04. (UNIFESP) Dividindo-se os polinômios p1(x) e p2(x) 
por x – 2, obtêm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos. 
Sabendo-se que r1 e r2 são os zeros da função quadrática 
y = ax2 + bx + c, conforme gráfico,
y = ax2 + bx + c
xO
V (vértice)
3
5
y
o resto da divisão do polinômio produto p1(x).p2(x) por 
x – 2 é
A) 3 B) 5 C) 8 D) 15 E) 21
05. (PUCPR) Se o polinômio x4 + px2 + q é divisível pelo 
polinômio x2 – 6x + 5, então p + q vale
A) –1 B) 3 C) 5 D) –4 E) 10
06. (PUC RS) A divisão do polinômio p(x) = x5 – 2x4 – x + m 
por q(x) = x – 1 é exata. O valor de m é
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
Polinômios II
58 Coleção Estudo
07. (Mackenzie-SP) Observando a divisão dada, de 
polinômios, podemos afirmar queo resto da divisão de 
P(x) por x + 1 é
P x x x
x Q x
( ) 
( )
2 2
2 1
− −
−
A) –1 B) –2 C) 2 D) 3 E) –3
08. (AFA-SP) O parâmetro a, de modo que o resto da divisão 
de 5x3 + (2a – 3)x2 + ax – 2 por x + 2 seja 6, é igual a
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
09. (UFLA-MG–2009) O polinômio x3 + ax2 + x + b é divisível 
por x2 + 2x – 3. Então, o valor de a – b é
A) 2 B) –10 C) 10 D) –2
10. (UFJF-MG) O resto da d iv isão do pol inômio 
p(x) = 3x2 – 17x + 27 por q(x) = x – 4 é
A) 4 B) 7 C) 2x D) 5 E) 5x – 20
11. (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 – x resulta 
no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto –7x. O resto da divisão 
de P(x) por 2x + 1 é igual a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. (UFJF-MG) Um polinômio p(x) dividido por x – 1 deixa 
resto 2. O quociente desta divisão é, então, dividido por 
x – 4, obtendo resto 1. O resto da divisão de p(x) por 
(x – 1)(x – 4) é
A) 1 B) 2 C) x + 1 D) x – 1
13. (UFMG) O polinômio P(x) = x4 + mx2 + n é divisível por 
x2 – 4 e também por x2 – 3. O valor do produto mn é
A) –84 B) –12 C) –1 D) 12 E) 14
14. (UFMG) O polinômio P(x) = 3x5 – 3x4 – 2x3 + mx2 é 
divisível por Q(x) = 3x2 – 2x. O valor de m é
A) –2 B) –
3
8
 C) 
16
9
 D) 2 E) 4
SEÇÃO ENEM
01. Um pesquisador estudou a variação entre duas grandezas 
E e T. Os resultados da sua pesquisa encontram-se no 
gráfico a seguir:
E
TO
Sabe-se que E(T) é uma função polinomial de T. Portanto, 
é possível afirmar que
A) E(T) é um polinômio do 3º grau.
B) E(T) é uma função periódica.
C) E(T) possui grau maior ou igual a 3.
D) E(T) é uma função injetora.
E) E(T) é uma função par.
02. Uma importante área da Matemática é a chamada Pesquisa 
Operacional (PO). Trata-se de um conjunto de técnicas de 
modelagem matemática aplicado a diversos problemas 
práticos. Atualmente, a Pesquisa Operacional é bastante 
utilizada para a maximização do lucro de empresas. 
Considere que um profissional da área de Pesquisa 
Operacional tenha efetuado a modelagem da maximização 
do lucro de uma empresa. Na sua pesquisa, ele descobriu 
que havia dois valores correspondentes à produção x para 
os quais o lucro seria nulo. O menor desses valores não é 
suficiente para atingir uma região de lucratividade, pois o 
valor adquirido com a venda do produto é o mesmo gasto 
para produzi-lo, e o maior desses valores eleva muito o 
custo da produção, devido à necessidade de aquisição de 
equipamentos, e também não gera lucro. Após analisar 
os dados, ele obteve uma expressão que descreve o lucro 
L(x) dessa empresa em função do número de toneladas 
produzidas x. A expressão é a seguinte:
L(x) = 
– –
–
x x x
x
3 28 19 12
1
+ +
Diante disso, o número de toneladas a serem produzidas, 
a fim de que a empresa tenha a máxima lucratividade, 
é igual a
A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 5
GABARITO
Fixação
01. B 
02. B
03. C
04. A
05. A
Propostos
01. A 08. B
02. C 09. C
03. A 10. B
04. E 11. E
05. A 12. C
06. E 13. A
07. E 14. C
Seção Enem
01. C 02. B
Frente E Módulo 18
FRENTE
59Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Chamamos de equação algébrica ou equação polinomial 
a toda equação na variável x que pode ser escrita na forma
anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0,
em que os coeficientes an, an – 1, ..., a1, a0 são números 
complexos e n ∈ .
Exemplos
1º) x2 – 4x + 8 = 0
2º) 5x3 + 6x2 – 3x + 1 = 0
RAÍZES OU ZEROS DE UMA 
EQUAÇÃO POLINOMIAL
Dizemos que um número complexo a é raiz de uma equação 
polinomial do tipo P(x) = 0 se, e somente se, P(a) = 0. 
Por exemplo, a equação 2x3 – x2 + 4x – 5 = 0 admite 1 como 
raiz, pois 2.13 – 12 + 4.1 – 5 = 2 – 1 + 4 – 5 = 0.
Portanto, para verificarmos se um determinado número 
complexo é raiz de uma equação, devemos substituir a 
variável por esse número e verificar se a igualdade é satisfeita. 
CONJUNTO SOLUÇÃO 
OU VERDADE
Chamamos de conjunto solução de uma equação 
P(x) = 0, em um determinado conjunto universo U, ao 
conjunto formado por todas as raízes dessa equação. Resolver 
uma equação significa determinar o seu conjunto solução. 
Exemplos
1º) Resolver, em , a equação x2 + x + 2 = 0.
 Resolução:
 ∆ = 12 – 4.1.2 = 1 – 8 = –7
 No conjunto , a equação não apresenta soluções, 
ou seja, S = ∅.
2º) Resolver, em , a equação x2 + x + 2 = 0.
 Resolução:
 ∆ = 12 – 4.1.2 = 1 – 8 = –7
 
x x
i= − ± − ⇒ = − ±1 7
2 1
1 7
2.
 
 Portanto, no conjunto dos números complexos, 
o conjunto solução é dado por S
i i= − − − +








1 7
2
1 7
2
, .
TEOREMA FUNDAMENTAL 
DA ÁLGEBRA
Toda equação de grau n, n ≥ 1, possui pelo 
menos uma raiz complexa.
Esse teorema foi enunciado no final do século XVIII pelo 
matemático Carl Friedrich Gauss. Uma das consequências 
mais importantes desse teorema é a seguinte:
Um polinômio de grau n, n ≥ 1, possui n raízes 
complexas. 
De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, 
podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz complexa. 
Sendo k1 essa raiz, temos P(k1) = 0.
Logo, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio x – k1 
(Teorema de D’Alembert). 
Portanto, podemos escrever o seguinte:
P x x k
Q x
P x x k Q x
( ) 
( )
( ) ( ). ( ) 
−
⇒ = −1
1
1 1
0
Equações polinomiais I 19 E
60 Coleção Estudo
 Observe que, para P(x) = 0, temos que x – k1 = 0 ou 
Q1(x) = 0. Portanto, podemos concluir que as raízes de Q1(x) 
também são raízes de P(x).
 Podemos proceder de maneira análoga ao analisarmos 
o polinômio Q1(x). 
Sendo k2 uma raiz de Q1(x), podemos escrever:
Q1(x) = (x – k2).Q2(x) 
Substituindo na expressão para P(x), obtemos:
 P(x) = (x – k1).(x – k2).Q2(x)
Aplicando sucessivamente esse raciocínio, obtemos:
P(x) = (x – k1).(x – k2).(x – k3). ... .(x – kn).Qn(x) 
Em que Qn(x) é um polinômio de grau zero. Observe 
que o coeficiente de xn em P(x) é an. Logo, temos 
Qn(x) = an. 
Portanto: 
P(x) = (x – k1).(x – k2).(x – k3). ... .(x – kn).an
Essa é a chamada forma fatorada do polinômio P(x). 
TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO 
Como consequência do exposto, enunciamos a seguir o 
chamado Teorema da Decomposição.
Um polinômio P(x) de grau n, n ≥ 1, pode ser decomposto 
em n fatores do 1º grau, ou seja, pode ser escrito na forma: 
P(x) = (x – k1).(x – k2).(x – k3). ... .(x – kn).an
Observe que uma consequência imediata desse teorema 
é que toda equação de grau n, n ≥ 1, possui n raízes 
complexas, distintas ou não.
OBSERVAÇÃO
Consideremos o polinômio P(x) de grau n, n ≥ 1. Sabemos 
que esse polinômio pode ser decomposto em n fatores do 
1º grau. Suponhamos que um mesmo número seja raiz de 
k fatores de P(x), k ≤ n. Dizemos que esse número é uma 
raiz de multiplicidade k do polinômio P(x).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Resolver a equação x3 – 3x2 + 4x – 12 = 0.
 Resolução:
Fatorando a equação, temos:
x2(x – 3) + 4(x – 3) = 0 ⇒ (x – 3)(x2 + 4) = 0
Assim, temos:
x
ou
x
x
ou
x
x− =
⇔
+ =





=
⇔
= −





3 0
4 0
3
42 2
 
==
= ±





3
2
ou
x i
 
Portanto, o conjunto solução é dado por S = {–2i, 2i, 3}. 
02. Determinar a multiplicidade de cada uma das raízes na 
equação (x – 5)3(x + 2)(x – 7)4 = 0.
 Resolução:
Observe que existem 3 fatores que possuem raiz igual a 5. 
Portanto, a multiplicidade da raiz 5 é igual a 3.
Existe um único fator que possui raiz –2. Logo, a raiz –2 
possui multiplicidade igual a 1 (raiz simples).
Existem 4 fatores que possuem 7 como raiz. Logo, 
a multiplicidade da raiz 7 é igual a 4.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFJF-MG) Marque a alternativa CORRETA.
A) Se a e b são raízes da equação algébrica p(x) = 0, 
então o grau de p(x) é exatamente 2.
B) Toda equação algébrica de grau n ≥ 1 com coeficientes 
reais admite n raízes reais.
C) Se a, b e d são três raízes da equação algébrica 
p(x) = 0 de grau n, então n > 2.
D) Se p(x) = 0 é uma equação algébrica de grau 3 cujas 
raízes são a, b e d, então p(x) = (x – a)(x – b)(x – d).
02. (UFOP-MG) Considere a equação 7x(x – 1)2(2x – 2) = 0.Então, podemos afirmar que
A) 1 é raiz tripla. D) –1 é raiz dupla.
B) 1 é raiz dupla. E) –1 é raiz tripla.
C) 1 é raiz simples.
03. (UFOP-MG) Se p(x) = x2(x2 + 1)(x – 1)2, então a equação 
p(x) = 0 admite
A) 8 raízes reais simples.
B) 6 raízes reais simples.
C) 3 raízes reais duplas.
D) 2 raízes reais duplas.
Frente E Módulo 19
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
61Editora Bernoulli
04. (FUVEST-SP) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é 
uma constante real e p(x) = x3 – 3x2 + 2x + a x
x
cos
2 2+
 
é uma identidade em x, DETERMINE
A) o valor da constante a. JUSTIFIQUE sua resposta.
B) as raízes da equação p(x) = 0.
05. (Unicamp-SP) Seja p(x) = x3 – 12x + 16.
A) VERIFIQUE que x = 2 é raiz de p(x).
B) USE fatoração para mostrar que se x > 0 e x ≠ 2, 
então p(x) > 0.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) O número de pontos de interseção dos 
gráficos das funções reais f(x) = x
x
2
2
1
2
+
+
 e g(x) = x
x
2
2
4
3
+
+
 é
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
02. (PUC Minas) Sendo p(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 1 e 
q(x) = 2x3 – 7x2 + 7x – 2, nota-se que p(1) = q(1) = 0. 
A forma mais simples da fração 
p x
q x
( )
( )
 é
A) 
x
x
+
−
1
2
 D) 
x
x
−
+
1
2
B) 
x
x
−
+
2
1
 E) 
x
x
+
+
1
2
C) 
x
x
−
−
1
2
03. (UCS-RS) Sabe-se que o polinômio f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 – 9 
é divisível por g(x) = x2 – 2x + 3. Se q(x) é o quociente 
da divisão de f(x) por g(x), quais são as raízes de q(x)?
A) 1 e –1 
B) 3 e –3 
C) 1 e –3
D) –1 e 3
E) –1 e –3
04. (PUC-SP) O número de raízes reais do polinômio 
p(x) = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1) é
A) 0 
B) 1 
C) 2
D) 3
E) 4
05. (PUC Minas) A equação de terceiro grau cujas raízes são 
1, 2 e 3 é
A) x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
B) x3 – 4x2 + 4x – 1 = 0
C) x3 + x2 + 3x – 5 = 0
D) x3 + x2 + 2x + 3 = 0
E) x3 + 6x2 – 11x + 5 = 0
06. (UFRN) Uma das soluções da equação x4 – 8x2 + 16 = 0 é
A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5
07. (Cesgranrio) Sejam a e b, respectivamente, a maior e 
a menor das raízes de x4 – 10x2 + 9 = 0. A diferença 
a – b vale
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
08. (UFRN) Seja P(x) = x3 + 6x2 – x – 30. Se P(2) = 0, então 
o conjunto solução de P(x) = 0 é
A) {–2, –3, –5} 
B) {2, –3, –5} 
C) {2, –2, –2}
D) {2, 3, 5}
E) {2, 6, 30}
09. (UFRGS) A raiz da equação (1 – ¹2)x3 – 1 – ¹2 = 0 é
A) 1 – ¹2 
B) 1 + ¹2 
C) (1 + ¹2)6
D) − +( )1 2
2
3
E) − −( )2 1
2
3
10. (Cesgranrio) A soma das raízes da equação x x
5 105
2
= vale
A) 5 B) 10 C) 15 D) 18 E) 21
11. (Cesgranrio) O produto das raízes da equação 
(9x2 – 1)(25x – 1) = 0 vale
A) –
1
34
 
B) –
1
625
 
C) –
1
225
D) 
1
625
E) 
1
225
Equações polinomiais I
62 Coleção Estudo
12. (UFPR) Dadas as equações x2 + x + 1 = 0 e x3 – 1 = 0, 
podemos afirmar que
A) apenas uma das raízes de x2 + x + 1 = 0 satisfaz 
x3 – 1 = 0.
B) a soma das raízes de x2 + x + 1 = 0 satisfaz x3 – 1 = 0.
C) as raízes da equação x2 + x + 1 = 0 satisfazem 
x3 – 1 = 0.
D) as raízes da equação x2 + x + 1 = 0 não satisfazem 
x3 – 1 = 0.
E) as raízes da equação x3 – 1 = 0 estão em progressão 
aritmética.
13. (FCMSC-SP) Os valores reais de p e q para os quais a 
equação 
x3
3
 – 2x2 + px + q = 0 admite uma raiz de 
multiplicidade 3 são, respectivamente,
A) 3 e 4 
B) 
4
3
 e –8 
C) 4 e –
8
3
D) –
1
3
 e 4
E) N.d.a.
14. (PUC-SP) Em relação ao polinômio p(x) = (x – 1)2(x2 – 1), 
o que se pode afirmar sobre o número 1?
A) É raiz simples. 
B) É raiz dupla. 
C) É raiz tripla.
D) É raiz quádrupla.
E) Não é raiz.
15. (UFV-MG–2009) Considere os conjuntos numéricos:
A = {x ∈  | x ≤ 3 e 2 – x ≤ 2x} e
B = {x ∈  | 2x3 – 9x2 + 10x – 3 = 0}
O número total de subconjuntos do conjunto interseção 
A ∩ B é
A) 8 
B) 4 
C) 2
D) 1
SEÇÃO ENEM
01. Um professor de Matemática propôs à turma a seguinte 
questão:
Resolver a equação x3 – 3x + 2 = 0.
Diante da dificuldade da turma, o professor forneceu 
uma dica: 
“Sabe-se que x = 1 é solução dessa equação.”
Com base nessas afirmações, é possível afirmar que
A) a soma das raízes da equação é igual a 3.
B) a equação admite apenas uma raiz real.
C) a equação admite uma raiz dupla.
D) o produto das raízes da equação é igual a 2.
E) as outras duas raízes são irracionais.
02. Uma viga possui o formato de um prisma quadrangular 
regular. Sabe-se que essa viga é maciça e que suas 
dimensões, em metros, são também soluções da equação 
polinomial x4 – 4x3 + 5x2 – 2x = 0. 
Portanto, pode-se afirmar que o volume dessa viga, 
em m3, é igual a
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
GABARITO
Fixação
01. C
02. A
03. D
04. A) a = 0
 B) S = {0, 1, 2}
05. A) Verifique que P(2) = 0
 B) Demonstração
Propostos
01. A 06. B 11. C
02. C 07. A 12. C
03. D 08. B 13. C
04. C 09. D 14. C
05. A 10. E 15. B
Seção Enem
01. C 02. B
Frente E Módulo 19
FRENTE
63Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
RELAÇÕES DE GIRARD
São as relações estabelecidas entre as raízes e os 
coeficientes da equação algébrica P(x) = 0. Vamos estudá-las 
caso a caso.
1o caso: Equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Sejam x1 e x2 suas raízes.
As relações entre essas raízes são as seguintes:
x x
b
a1 2
+ = – e x x
c
a1 2
. =
2o caso: Equação do 3º grau
ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0.
Sejam x1, x2 e x3 suas raízes.
As relações entre essas raízes são as seguintes:
x x x
b
a
x x x x x x
c
a
x x x
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
+ + =
+ + =
=
–
( . ) ( . ) ( . )
. . ––
d
a
Generalizando para uma equação do grau n, n ≥ 1, temos: 
anx
n + an – 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + … + a2x
2 + a1x + a0 = 0
Em que x1, x2, x3, ..., xn são as suas raízes. 
As relações de Girard são:
x x x x
a
a
x x x x x
n
n
n
n
1 2 3
1
1 2 1 3
+ + + + =
+ + +
... –
( . ) ( . ) ... (
–
– 11
2
1 2 3 1 2 4 2
. )
( . . ) ( . . ) ... ( .
–
– –
x
a
a
x x x x x x x x
n
n
n
n n
=
+ +
11
3. ) –
.................................
–x
a
an
n
n
=
...................................................
. . ... (– ) .x x x x
a
an
n
n
1 2 3
01=
Exemplos
1º) Sejam x1 e x2 as raízes da equação x
2 – x + 4 = 0. 
Calcular
A) x1 + x2
 Resolução: 
 
x x
b
a1 2
1
1
1+ = − = − − =( )
B) x1.x2
 Resolução:
 
x x
c
a1 2
4
1
4. = = =
C) 1 1
1 2
x x
+
 Resolução:
 
1 1 1
4
1 2
2 1
1 2
x x
x x
x x
+ =
+
=
.
D) x x1
2
2
2+
 Resolução:
 x1 + x2 = 1
 Elevando ao quadrado os dois membros, temos:
 
( ) .
.
x x x x x x
x x x
1 2
2 2
1
2
1 2 2
2
1
2
2
2
1
2
1 2 1
2 4 1
+ = ⇒ + + = ⇒
+ + = ⇒ + xx
2
2 7= − 
2º) Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação:
 2x3 – 6x2 + 2x – 1 = 0
Calcular
A) x1 + x2 + x3
 Resolução: 
 
x x x
b
a1 2 3
6
2
6
2
3+ + = − = − − = =( )
Equações polinomiais II 20 E
64 Coleção Estudo
B) x1.x2 + x1.x3 + x2.x3
 Resolução: 
 x x x x x x
c
a1 2 1 3 2 3
2
2
1. . .+ + = = =
C) x1.x2.x3
 Resolução: 
 
x x x
d
a1 2 3
1
2
1
2
. .
( )= − = − − =
D) 1 1 1
1 2 3
x x x
+ +
 Resolução: 
 
1 1 1 1
1
2
2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
x x x
x x x x x x
x x x
+ + =
+ +
= =
. . .
. .
E) x x x1
2
2
2
3
2+ +
 Resolução: 
 x1 + x2 + x3 = 3
 Elevando os dois membros ao quadrado, temos:
 
x x x
x x x x x x x x x
1 2 3
2
2
1
2
2
2
3
2
1 2 1 3 2 3
3
2
+ +( ) = ⇒
+ + + + +( ). . .
11
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
9
2 1 9 7
� ����� �����
= ⇒
+ + + = ⇒ + + =x x x x x x.
TEOREMA DAS RAÍZES 
COMPLEXAS
Se uma equação P(x) = 0, com coeficientes reais, 
possui uma raiz complexa a + bi (b ≠ 0), então 
o seu conjugado a – bi também é raiz desse polinômio. 
Observe algumas consequências imediatas desse teorema:
i) As raízes complexas sempre aparecem aos pares.
ii) Se o grau de um polinômio é ímpar, então esse 
polinômio possui pelo menos uma raiz real.
PESQUISA DE RAÍZES 
RACIONAIS
Em determinadas situações, podemos pesquisar acerca da 
existência de uma raiz racional de uma equação da forma 
P(x) = 0, baseados na seguinte propriedade:
Caso o número 
p
q
 seja uma raizracional irredutível da 
equação algébrica anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a1x + a0 = 0 de 
coeficientes inteiros, com an ≠ 0 e a0 ≠ 0, podemos afirmar 
que p é divisor de a0, e q é divisor de an.
Exemplo
Resolver a equação x3 + 2x2 – 5x + 2 = 0.
Resolução:
Efetuando a pesquisa de raízes racionais, temos:
i) p é um divisor de 2, ou seja, p pode ser igual a 
–2, –1, 1 ou 2.
ii) q é um divisor de 1, ou seja, q pode ser igual a 
–1 ou 1.
Portanto, a fração p
q
 pode assumir os seguintes valores:
–2, –1, 1 ou 2
Entre esses valores, verificamos que 1 é raiz. Portanto, 
o polinômio P(x)= x3 + 2x2 – 5x + 2 é divisível pelo polinômio 
x – 1. Ao efetuarmos a divisão desses polinômios pelo 
Método de Briot-Ruffini (abaixamento do grau do polinômio), 
encontraremos um polinômio quociente cujas raízes são 
também raízes de P(x). Portanto, temos o seguinte:
1 2
0
1 2 –5
1 3 –2 
O quociente é dado por Q(x) = x2 + 3x – 2.
Calculando as raízes de Q(x), temos:
x2 + 3x – 2 = 0
∆ = 32 – 4.1.(–2) = 17
x = − ±3 17
2
Portanto, o conjunto solução é dado por:
S = − − − +








3 17
2
3 17
2
1, ,
Frente E Módulo 20
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
65Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (Cesgranrio) Se a, b e c são as raízes da equação 
x3 – 10x2 – 2x + 20 = 0, então o valor da expressão 
a2bc + ab2c + abc2 é igual a
A) 400 
B) 200 
C) –100 
D) –200
E) –400
02. (UFOP-MG) Sabendo que –1 é raiz da equação polinomial 
6x3 + 5x2 + kx − 1 = 0 e denominando de a e b as outras 
raízes dessa equação, pode-se afirmar que a2 + b2 vale
A) –1 C) 
1
6
B) 1 D) 13
36
03. ( U F O P - M G – 2 0 0 9 ) C o n s i d e r e o p o l i n ô m i o 
p(x) = x4 – x3 – 14x2 + 2x + 24. Sabendo-se que o 
produto de duas raízes de p(x) é –12, o produto das 
outras duas raízes é
A) –2 
B) 2
C) 4
D) –4
04. (UFMG) Os números –1 e 1 são duas raízes do polinômio 
p(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c. A terceira raiz de p(x) é
A) –3 
B) –2 
C) 0
D) 
1
2
E) 2
05. (Mackenzie-SP) Se a soma de duas raízes de 
p(x) = x3 – 6x2 + 11x + k é 3, então o número real k é igual a
A) –6 
B) –3
C) –2
D) 3
E) 6
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) Seja p(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e um 
polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as 
quatro raízes de p(x) são inteiras e que três delas são 
pares e uma é ímpar. Quantos coeficientes pares tem o 
polinômio p(x)?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
02. (UFJF-MG) Seja S a soma das raízes do polinômio 
p(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais 
e a ≠ 0. Se S1 é a soma das raízes de p(x – 1), então a 
diferença S1 – S é
A) –1 C) 1
B) 0 D) 2
03. (FUVEST-SP) Se a equação 8x3 + kx2 – 18x + 9 = 0 tem 
raízes reais a e –a, então o valor de k é
A) 
9
4
 D) –2 
B) 2 E) –4
C) 
9
8
04. (UFSCar-SP) Sabendo-se que a soma de duas das raízes 
da equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 é igual a 5, pode-se 
afirmar a respeito das raízes que
A) são todas iguais e não nulas.
B) somente uma raiz é nula.
C) as raízes constituem uma progressão geométrica.
D) as raízes constituem uma progressão aritmética.
E) nenhuma raiz é real.
05. (UFMG) A soma de todas as raízes da equação 
(x – 1)2 – (x – 1)(x + 4) = (x – 1)(x + 1) é
A) –5 B) –2 C) 2 D) 5 E) 6
06. (UFMG) Se a equação x2 + px + q = 0 admite raízes reais 
simétricas, então
A) p = 1 e q = 0 
B) p = 1 e q > 0 
C) p = 1 e q < 0
D) p = 0 e q > 0
E) p = 0 e q < 0
07. (FUVEST-SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da 
equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então, 
o valor de k é
A) –8 
B) –4
C) 0
D) 4
E) 8
08. (UFRGS) Se os números –3, a e b são raízes da equação 
x3 + 5x2 – 2x – 24 = 0, então o valor de a + b é
A) –6
B) –2
C) –1
D) 2
E) 6
Equações polinomiais II
66 Coleção Estudo
09. (Cesgranrio) Se as raízes da equação x2 + bx + 27 = 0 
são múltiplos positivos de 3, então o coeficiente b vale
A) 12 
B) –12
C) 9
D) –9
E) 6
10. (FUVEST-SP) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 são p, 
q e 2. O valor de p2 + q2 é 
A) 
5
9
 B) 
10
9
 C) 
20
9
 D) 
26
9
 E) 
31
9
11. (Cesgranrio) Se x3 – 2x2 + 5x – 4 = 0 tem uma raiz x1 = 1, 
então as outras raízes da equação são
A) complexas não reais.
B) racionais.
C) positivas.
D) negativas. 
E) reais de sinais opostos.
12. (UFU-MG–2009) Sabendo-se que os números reais não 
nulos, a e –a, são soluções da equação 3x3 – 2x2 + px + 1 = 0, 
então, pode-se afirmar que
A) p ≥ 1
B) 0 ≤ p < 1
C) –1 ≤ p < 0
D) p < –1
SEÇÃO ENEM
01. O matemático Cardano, no século XVI, publicou o livro 
Ars Magna, no qual apresentava uma fórmula para 
resolver equações do tipo x3 + ax + b = 0.
A fórmula era a seguinte:
x = − + + − −b E b E
2 2
3 3 , sendo E = 
b a
2 3
2 3





 +






Acerca da equação x3 + 63x – 316 = 0, podemos 
afirmar que
(Dado: ¹34 225 = 185)
A) possui uma raiz racional.
B) possui uma raiz irracional.
C) possui apenas raízes complexas.
D) não possui nenhuma raiz, real ou complexa.
E) possui três raízes idênticas.
02. Os números primos fascinam os matemáticos há séculos. 
Diversas tentativas já foram feitas para se determinar 
um polinômio gerador de números primos. Um desses 
polinômios, conhecido como polinômio de Goetgheluck, 
é dado por P(x) = x3 – 34x2 + 381x – 1 511. Tal polinômio 
gera números primos para valores inteiros de x, variando 
de 0 até 25. Um dos números primos gerados é –1 163. 
Sabendo-se que o polinômio admite não somente valores 
inteiros para x, pode-se afirmar que o produto de todos 
os valores de x, para os quais P(x) = –1 163, é
A) 1 511
B) –1 511
C) 381
D) –348
E) 348
GABARITO
Fixação
01. D
02. D
03. A
04. E
05. A
Propostos
01. D 
02. D 
03. E 
04. C 
05. A 
06. E 
07. A 
08. B 
09. B
10. D
11. A
12. D
Seção Enem
01. A
02. E
Frente E Módulo 20
Volume 06
MATEMÁTICA
2 Coleção Estudo
Su
m
ár
io
 -
 M
at
em
át
ic
a
Frente A
11 3 Probabilidades IAutor: Luiz Paulo
12 11 Probabilidades IIAutor: Luiz Paulo
Frente B
11 19 EsferasAutor: Paulo Vinícius Ribeiro
12 25 Inscrição de sólidosAutor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente C
11 31 LogaritmosAutor: Luiz Paulo
12 37 Função logarítmicaAutor: Luiz Paulo
Frente D
11 45 Progressão aritméticaAutor: Luiz Paulo
12 53 Progressão geométricaAutor: Luiz Paulo
Frente E
21 59 MatrizesAutor: Luiz Paulo
22 67 DeterminantesAutor: Luiz Paulo
23 73 Sistemas linearesAutor: Luiz Paulo
24 81 Binômio de NewtonAutor: Luiz Paulo
FRENTE
3Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Há dois tipos de fenômenos que são objeto de estudo 
científico: os fenômenos determinísticos e os fenômenos 
aleatórios.
Em um fenômeno determinístico, os resultados dos 
experimentos correspondentes podem ser determinados de 
antemão. Conhecemos as leis que os governam a ponto de 
afirmarmos que tais experimentos, repetidos nas mesmas 
condições, irão produzir resultados idênticos. Como exemplo, 
podemos descrever o movimento de um corpo em queda 
livre, determinando o tempo gasto para atingir o solo.
Já em um fenômeno aleatório, os experimentos 
correspondentes, repetidos nas mesmas condições, não 
necessariamente produzem os mesmos resultados. Apesar 
de não sabermos com exatidão qual resultado será obtido, 
geralmente somos capazes de descrever o conjunto de 
todos os resultados possíveis para esses experimentos. 
A seguir, dizemos que um desses possíveis resultados possui 
uma determinada “chance” de ocorrer. Essa “chance” é 
denominada probabilidade de ocorrência de um evento. 
Como exemplo, temos o experimento “lançar uma moeda 
e observar a face superior”. A probabilidade de obtermos 
“cara” na face superior é igual a 1
2
, ou seja, 50%.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
É todo experimento que depende exclusivamente do 
acaso. Chamamos de acaso aos múltiplos fatores que atuam 
no fenômeno e cuja consideração nos cálculos é inviável 
dada a impossibilidade de controlarmos as suascausas.
Exemplos
1°) Lançar um dado e observar o número obtido na face 
superior.
2°) Sortear uma das bolas numeradas de uma urna.
3°) Retirar duas cartas de um baralho e observar os seus 
naipes.
ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório, que será indicado por E. Denotamos 
por n(E) o número de elementos do espaço amostral.
Exemplos
1°) Experimento: lançar uma moeda e observar a face 
superior.
E = {cara, coroa} e n(E) = 2
2°) Experimento: lançar simultaneamente duas moedas 
e observar as faces superiores obtidas.
Indicamos cara por C e coroa por K.
Assim, temos E = {(C,C), (C,K), (K,C),(K,K)} e n(E) = 4.
Podemos utilizar o Princípio Fundamental da 
Contagem na obtenção de n(E), como segue:
 Moeda 1 e Moeda 2
 ↓ ↓
n(E) = 2 possibilidades x 2 possibilidades ⇒
n(E) = 4 resultados possíveis
3°) Experimento: lançar simultaneamente dois dados e 
observar as faces superiores obtidas. 
Seja cada parênteses um experimento, no qual o 
primeiro valor foi obtido no primeiro dado, e o segundo 
valor, obtido no segundo dado. Assim, temos:
E = 
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( , ),
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
2 1 2 2 (( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( , ), ( , ), ( , )
2 3 2 4 2 5 2 6
3 1 3 2 3 3 3 4 ,, ( , ), ( , )
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( ,
3 5 3 6
4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6))
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( ,
5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6
6 1 6 2)), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )6 3 6 4 6 5 6 6






















n(E) = 36
Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, temos:
Dado 1 e Dado 2
↓ ↓
n(E) = 6 possibilidades x 6 possibilidades ⇒
n(E) = 36 resultados possíveis
Probabilidades I 11 A
4 Coleção Estudo
4°) Experimento: sortear uma comissão de 3 alunos entre 
10 alunos de uma turma.
Descrever tal espaço amostral é trabalhoso. Portanto, 
vamos determinar apenas n(E). Temos que o total de 
comissões de 3 alunos é dado por:
n(E) = C10, 3 = 
10
7 3
!
!. !
 = 120 comissões
EVENTO
Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço 
amostral.
Exemplos
1°) Evento A: No lançamento de um dado, obter um 
número ímpar.
A = {1; 3; 5}
n(A) = 3
2°) Evento B: No lançamento simultâneo de dois dados 
distinguíveis, obter soma das faces igual a 7.
 B = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 
n(B) = 6
EVENTO COMPLEMENTAR
Sejam E um espaço amostral finito e não vazio e A um 
evento de E. Chama-se de evento complementar do evento 
A aquele formado pelos resultados que não fazem parte do 
evento A (indicamos por A).
Como exemplo, sendo A = {1; 3; 5} o evento “sair um 
número ímpar no lançamento de um dado”, temos:
A= {2; 4; 6}
Esquematicamente:
n(A) + n(A) = n(E)
A
E
A
ESPAÇO AMOSTRAL 
EQUIPROVÁVEL
Chamamos de espaço amostral equiprovável aquele cujos 
resultados possuem a mesma chance de ocorrerem. Em termos 
de frequências relativas, supomos que, ao aumentarmos 
indefinidamente o número de experimentos, os diferentes 
resultados tendem a aparecer na mesma frequência.
PROBABILIDADE DE 
OCORRÊNCIA DE UM EVENTO
Consideremos um experimento aleatório com espaço 
amostral equiprovável E, com n(E) elementos. Seja 
A um determinado evento de E com n(A) elementos. 
A probabilidade de ocorrência do evento A é dada por:
P A
n A
n E
( )
( )
( )
=
Exemplo
No lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis, 
qual é a probabilidade de obtermos uma soma das faces 
igual a 10?
Resolução:
Temos n(E) = 6 x 6 = 36.
Seja A o evento de E “obter uma soma igual a 10”.
A = {(4, 6), (6, 4), (5, 5)} e n(A) = 3
P(A) = 
n A
n E
( )
( )
 = 
3
36
1
12
 = ou, aproximadamente, 8,3%.
Propriedades
P(U) = 1
P(∅) = 0
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) + P(A) = 1 
Frente A Módulo 11
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
5Editora Bernoulli
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
Sendo A e B dois eventos de um espaço amostral E, 
conforme o esquema a seguir:
A B
E
Sabemos que o número de elementos da união de dois 
conjuntos A e B é dado por:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Dividindo os dois membros por n(E), temos:
n A B
n E
n A
n E
n B
n E
n A B
n E
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∪ = + − ∩
Ou seja:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
OBSERVAÇÃO
Se A ∩ B = ∅, dizemos que A e B são mutuamente 
exclusivos.
Assim, P(A ∩ B) = 0.
Logo, para eventos mutuamente exclusivos, temos:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (FUVEST-SP–2009) Dois dados cúbicos, não viciados, 
com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados 
simultaneamente. A probabilidade de que sejam 
sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja 
um número primo, é de
A) 
2
9
 D) 
5
9
B) 
1
3
 E) 
2
3
C) 
4
9
 
02. (UFMG–2007) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares 
de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas 
de pares distintos são diferentes. Suponha que duas 
dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, 
é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas 
cartas serem iguais é
A) 
1
100
B) 
1
99
 
C) 
1
50
D) 
1
49
03. (UFTM-MG–2010) Um saco continha 20 bolas, entre brancas 
e azuis. Desse modo, havia uma probabilidade p de se 
retirar ao acaso 1 bola azul. Foram retiradas 2 bolas ao 
acaso e verificou-se que uma era azul e a outra, branca. 
A probabilidade de se tirar ao acaso 1 bola azul passou a 
ser de p – 
1
36
. O número inicial de bolas azuis no saco era
A) 15 D) 5
B) 12 E) 2
C) 8
04. (PUC-SP) Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez 
atores: 4 mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e três 
homens forem escolhidos para compor o elenco de uma 
peça teatral, a probabilidade de que Joel e Jane, juntos, 
estejam entre eles é
A) 
3
4
 D) 
1
6
B) 
1
2
 E) 
1
8
C) 
1
4
05. (Unicamp-SP) Uma urna contém 50 bolas que se 
distinguem apenas pelas seguintes características:
I) x delas são brancas e numeradas sequencialmente 
com os números naturais de 1 a x.
II) x + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente 
com os números naturais de 1 a x + 1.
III) x + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente 
com os números naturais de 1 a x + 2.
IV) x + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente 
de 1 a x + 3.
A) Qual é o valor numérico de x?
B) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma 
bola azul ou uma bola com o número 12?
Probabilidades I
6 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFPE–2009) Escolhendo aleatoriamente um dos 
anagramas da palavra COVEST, qual a probabilidade de 
suas primeira e última letras serem consoantes?
A) 
1
5
 D) 
4
7
B) 
2
5
 E) 
5
7
C) 
3
5
02. (Fatec-SP) Numa eleição para prefeito de uma certa 
cidade, concorreram somente os candidatos A e B. Em 
uma seção eleitoral, votaram 250 eleitores. Do número 
total de votos dessa seção, 42% foram para o candidato A, 
34% foram para o candidato B, 18% foram anulados e 
os restantes estavam em branco. Tirando-se, ao acaso, 
um voto dessa urna, a probabilidade de que seja um voto 
em branco é
A) 
1
100
 D) 
1
25
B) 
3
50
 E) 
3
20
C) 
1
50
03. (UFU-MG–2006) Numa classe com 50 alunos, 8 serão 
escolhidos, aleatoriamente, para formar uma comissão 
eleitoral. A probabilidade de Lourenço, Paulo e Larissa, 
alunos da classe, fazerem parte desta comissão é igual a
A) 
3
50
 
B) 
1
175
C) 
3
8
D) 
1
350
04. (Mackenzie-SP) Escolhe-se, ao acaso, um número de três 
algarismos distintos tomados do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. 
A probabilidade de, nesse número, aparecer o algarismo 
2 e não aparecer o algarismo 4 é
A) 
3
5
 D) 
5
10
B) 
4
5
 E) 
7
10
C) 
3
10
05. (UNIFESP) Um engradado, como o da figura a seguir, 
tem capacidade para 25 garrafas. Se, de forma aleatória, 
forem colocadas 5 garrafas no engradado, a probabilidade 
de que quaisquer duas delas não recaiam numa mesma 
fila horizontal,nem numa mesma fila vertical, é
A) 
5
25
!
!
 D) 
5 5 20
25
!. !. !
!
B) 
5 5
25
!. !
!
 E) 
5 5 25
20
!. !. !
!
C) 
5 20
25
!. !
!
06. (UFU-MG–2008) Lança-se um dado não viciado e se observa 
o número correspondente à face que caiu voltada para cima. 
Sejam a, b e c, respectivamente, os valores observados em 
três lançamentos sucessivos. Se x = a.102 + b.10 + c, então 
a probabilidade de esse número x de três algarismos ser 
divisível por 2 ou por 5 é igual a
A) 
8
12
 C) 
9
12
B) 
7
12
 D) 
10
12
07. (Mackenzie-SP) Num grupo de 12 professores, somente 
5 são de Matemática. Escolhidos ao acaso 3 professores 
do grupo, a probabilidade de, no MÁXIMO, um deles ser 
de Matemática é
A) 
3
11
 D) 
8
11
B) 
5
11
 E) 
9
11
C) 
7
11
08. (UFG–2007) Um grupo de 150 pessoas é formado por 
28% de crianças, enquanto o restante é composto de 
adultos. Classificando esse grupo por sexo, sabe-se que 
1
3
 entre os de sexo masculino é formado por crianças e 
que 
1
5
 entre os de sexo feminino também é formado por 
crianças. Escolhendo ao acaso uma pessoa nesse grupo, 
CALCULE a probabilidade de essa pessoa ser uma criança 
do sexo feminino.
Frente A Módulo 11
M
A
TE
M
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TI
C
A
7Editora Bernoulli
09. (UNESP–2007) Dado um poliedro com 5 vértices e 6 faces 
triangulares, escolhem-se ao acaso três de seus vértices. 
A probabilidade de que os três vértices escolhidos 
pertençam à mesma face do poliedro é
V1
V2V4
V3
V5
A) 
3
10
 B) 
1
6
 C) 
3
5
 D) 
1
5
 E) 
6
35
10. (FUVEST-SP) Ao lançar um dado muitas vezes, uma 
pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de 
frequência da face 1, e que as outras faces saíam com 
a frequência esperada em um dado não viciado. Qual 
a frequência de uma face 1?
A) 
1
3
 B) 
2
3
 C) 
1
9
 D) 
2
9
 E) 
1
12
11. (CEFET-MG–2008) A Coordenação de Matemática de uma 
escola promoveu uma gincana, na qual uma das tarefas 
era resolver o seguinte problema:
“As faces de uma moeda são denominadas cara (K) e 
coroa (C). Se essa moeda for lançada 6 vezes, qual é a 
probabilidade de se obter 4 caras e 2 coroas?” 
A equipe marcaria ponto, nessa tarefa, se encontrasse
A) 
15
64
 D) 
9
32
B) 
27
64
 E) 
5
16
C) 
7
32
12. (UFU-MG–2007) De uma urna que contém bolas 
numeradas de 1 a 100 será retirada uma bola. Sabendo-se 
que qualquer uma das bolas tem a mesma chance de ser 
retirada, qual é a probabilidade de se retirar uma bola 
cujo número é um quadrado perfeito ou um cubo perfeito?
A) 0,14 C) 0,12
B) 0,1 D) 0,16
13. (UFU-MG–2007) Se no conjunto dos divisores positivos 
de 1 440 escolhermos aleatoriamente um número, 
a probabilidade de o número escolhido ser múltiplo 
de 16 é igual a
A) 
1
3
 C) 
9
10
B) 
16
1 440
 D) 
2
3
14. (FEI-SP) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade, 
foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte 
responderam “sim” a ambas; 300 responderam “sim” 
à primeira; 250 responderam “sim” à segunda e 200 
responderam “não” a ambas. Se um aluno for escolhido 
ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido 
“não” à primeira pergunta?
A) 
1
7
 B) 
1
2
 C) 
3
8
 D) 
11
21
 E) 
4
25
15. (VUNESP) Um baralho consiste em 100 cartões numerados 
de 1 a 100. Retiram-se dois cartões ao acaso (sem 
reposição). A probabilidade de que a soma dos dois 
números dos cartões retirados seja igual a 100 é
A) 
49
4 950
 D) 
49
5 000
B) 
50
4 950
 E) 
51
4 851
C) 1%
16. (FEI-SP) Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e 
outra urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se 
aleatoriamente uma bola de cada urna, a probabilidade 
de a soma dos pontos ser maior do que 4 é
A) 
3
5
 B) 
2
5
 C) 
1
2
 D) 
1
3
 E) 
2
3
17. (Mackenzie-SP) Uma pessoa A concorre com você neste 
Concurso Vestibular com 40% de chance de ser aprovada. 
A probabilidade de que pelo menos um de vocês dois 
seja aprovado é 64%. Então, relativamente à pessoa A, 
a probabilidade de você ser aprovado é
A) a mesma. D) a metade.
B) o dobro. E) um quarto.
C) o triplo.
18. (FUVEST-SP) Escolhe-se ao acaso três vértices distintos de 
um cubo. A probabilidade de que esses vértices pertençam 
a uma mesma face é
A) 
3
14
 B) 
2
7
 C) 
5
14
 D) 
3
7
 E) 
13
18
19. (UFOP-MG–2008) Em um laboratório, existem n 
substâncias. Sabe-se que exatamente duas dessas 
substâncias não podem estar simultaneamente em 
qualquer mistura, porque provocam explosão. Um 
aluno que desconhece esse fato resolve misturar 6 das 
n substâncias. Sendo a probabilidade de explosão na 
mistura feita pelo aluno de 1 para 14, DETERMINE o 
número n de substâncias existentes no laboratório.
Probabilidades I
8 Coleção Estudo
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas 
Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, 
nas rodovias federais, os atropelamentos com morte 
ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade 
por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 
10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada 
duas horas, aproximadamente.
Disponível em: <http://www.ipea.gov.br>. Acesso em: 6 jan. 2009.
De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente 
para investigação mais detalhada um dos atropelamentos 
ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter 
sido um atropelamento sem morte é
A) 
2
17
 
B) 
5
17
 
C) 
2
5
 
D) 
3
5
E) 
12
17
Instrução: Texto para as questões 02 e 03.
Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 
3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada 
uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas 
em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas 
ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando 
obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na 
posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00.
02. (Enem–1998) A probabilidade de o participante não 
ganhar qualquer prêmio é igual a
A) 0 D) 
1
2
 
B) 
1
3
 E) 
1
6
C) 
1
4
 
03. (Enem–1998) A probabilidade de o concorrente ganhar 
exatamente o valor de R$ 400,00 é igual a
A) 0 D) 
2
3
 
B) 
1
3
 E) 1
6
C) 
1
2
 
04. (Enem–2001) Um município de 628 km2 é atendido por 
duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam 
um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura.
10 km
Município
10 km
A
B
10 km
10 km
Para orçar um contrato publicitário, uma agência 
precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, 
circulando livremente pelo município, encontrar-se na 
área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa 
probabilidade é de, aproximadamente,
A) 20%. 
B) 25%. 
C) 30%. 
D) 35%.
E) 40%.
05. (Enem–2006) A tabela a seguir indica a posição relativa 
de quatro times de futebol na classificação geral de um 
torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo ● significa 
que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004, 
à frente do indicado na coluna. O símbolo * significa que 
o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, à frente 
do indicado na coluna.
*
A B C D
A
B
C
D ● ●
*● *
● * ● *●
*
A probabilidade de que um desses quatro times, escolhido 
ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, 
em 2004 e 2005, é igual a
A) 0,00 
B) 0,25 
C) 0,50
D) 0,75
E) 1,00
Frente A Módulo 11
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
9Editora Bernoulli
06. (Enem–2006) Um time de futebol amador ganhou uma 
taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram 
que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos 
quiseram guardar a taça em suas casas. Na discussão para 
se decidir com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte 
diálogo: Pedro, camisa 6: — Tive uma ideia. Nós somos 
11 jogadores e nossas camisas estão numeradas de 
2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 
1 a 6. Se eu jogar os dois dados, a soma dos númerosdas faces que ficarem para cima pode variar de 2 (1 + 1) 
até 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, e quem tiver a 
camisa com o número do resultado vai guardar a taça. 
Tadeu, camisa 2: — Não sei não... Pedro sempre foi muito 
esperto... Acho que ele está levando alguma vantagem 
nessa proposta... Ricardo, camisa 12: — Pensando bem... 
Você pode estar certo, pois, conhecendo o Pedro, é capaz 
que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois 
juntos... Desse diálogo, conclui-se que
A) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a 
probabilidade de ganhar a guarda da taça era a 
mesma para todos.
B) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, 
juntos, tinham mais chances de ganhar a guarda da 
taça do que Pedro.
C) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, 
juntos, tinham a mesma chance que Pedro de ganhar 
a guarda da taça.
D) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos 
tinham menos chances de ganhar a guarda da taça 
do que Pedro.
E) Não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, 
por se tratar de um resultado probabilístico, que 
depende exclusivamente da sorte.
07. (Enem–2007)
0
I
14,0
Temperatura do pescado nas peixarias
II
13,2
III
10,5
IV
8,9
V
2,33
6
9
12
15
ºC
Associação Brasileira de Defesa do Consumidor (Adaptação).
Uma das principais causas da degradação de peixes 
frescos é a contaminação por bactérias. O gráfico 
apresenta resultados de um estudo acerca da temperatura 
de peixes frescos vendidos em cinco peixarias. O ideal 
é que esses peixes sejam vendidos com temperaturas 
entre 2 ºC e 4 ºC. Selecionando-se aleatoriamente uma 
das cinco peixarias pesquisadas, a probabilidade de ela 
vender peixes frescos na condição ideal é igual a
A) 
1
2
 B) 1
3
 C) 1
4
 D) 1
5
 E) 
1
6
08. (Enem–2009) A população mundial está ficando mais 
velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa 
de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados 
dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização 
das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade 
de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. 
Os números da coluna da direita representam as faixas 
percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de 
pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, 
número entre 10% e 15% da população total nos países 
desenvolvidos.
461
35
30
25
20
15
10
5
0
1950 70 90 2010 30 50
1 592
95
110
Número em milhões
Países em
desenvolvimento
Países desenvolvidos
ESTIMATIVAS
269
490
Fonte: “Pespectivas da População Mundial”. ONU. 2009 
Disponível em: <www.economist.com>. 
Acesso em: 9 jul. 2009 (Adaptação).
Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, 
uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população 
dos países desenvolvidos, será um número mais 
próximo de
A) 1
2
 
B) 7
20
 
C) 8
25
 
D) 1
5
 
E) 3
25
Probabilidades I
10 Coleção Estudo
09. (Enem–2009) A população brasileira sabe, pelo menos 
intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis 
dezenas da Mega Sena não é zero, mas é quase. Mesmo 
assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, 
especialmente quando o prêmio se acumula em valores 
altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, 
pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, 
custava R$ 1,50.
Disponível em: <www.caixa.gov.br>. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente 
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar 
apenas cinco das seis dezenas da Mega Sena, justamente 
pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que 
essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, 
que não tenham cinco números em comum, do que uma 
única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade 
de acertar a quina no segundo caso em relação ao 
primeiro é, aproximadamente,
A) 1
1
2
 vez menor. D) 9 vezes menor.
B) 2
1
2
 vezes menor. E) 14 vezes menor.
C) 4 vezes menor.
10. (Enem–2001) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas 
embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:
Como jogar:
• Inicie raspando apenas 
uma das alternativas da 
linha de início (linha 1).
• Se achar uma bola de 
futebol, vá para a linha 2 
e raspe apenas uma das 
alternativas. Continue 
raspando dessa forma 
até o fim do jogo.
• Se encontrar um X em 
qualquer uma das linhas, 
o jogo está encerrado e 
você não terá direito ao 
prêmio.
• Se você encontrar uma 
bola de futebol em cada 
uma das linhas, terá 
direito ao prêmio.
1
2
3
4
5
Frente do cartão Verso do cartão
Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de 
futebol e 8 sinais de X distribuídos entre os 15 espaços 
possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente 
ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em determinado 
cartão, existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na 
linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente 
ganhar o prêmio é
A) 
1
27
 B) 
1
36
 C) 
1
54
 D) 
1
72
 E) 
1
108
11. (Enem–2005) As 23 ex-alunas de uma turma que 
completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram 
em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam 
se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, 
de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no 
gráfico a seguir:
10
8
6
4
2
0
sem filhos 1 filho 2 filhos 3 filhos
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas 
ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada 
tenha sido um(a) filho(a) único(a) é
A) 
1
3
 D) 
7
23
B) 
1
4
 E) 
7
25
C) 
7
15
GABARITO
Fixação
01. A 03. D 05. A) x = 11
02. B 04. C B) 
7
25
Propostos
01. B 08. 
2
25
 15. A
02. B 09. C 16. A
03. D 10. C 17. A
04. C 11. A 18. D
05. D 12. C 19. n = 21
06. A 13. A
07. C 14. D
Seção Enem
01. E 05. A 09. C 
02. B 06. D 10. C
03. A 07. D 11. E
04. B 08. C 
Frente A Módulo 11
FRENTE
11Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Considere a seguinte situação:
Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma 
pessoa sorteia uma bola e, ao invés de divulgar de imediato o 
resultado, ela declara: “O número sorteado é múltiplo de 6”.
Com base nesses dados, pergunta-se: Qual é a 
probabilidade de o número sorteado ser um número maior 
do que 30?
Observe que a probabilidade de o número ser maior 
do que 30 está condicionada ao fato de já sabermos de 
antemão que o número sorteado é múltiplo de 6. Portanto, 
tal informação altera o espaço amostral que normalmente 
seria considerado.
Assim, temos:
i) Números múltiplos de 6 entre
1 e 50 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}.
ii) Observe que, no conjunto anterior, os números 
36, 42 e 48 são maiores do que 30.
Portanto, a probabilidade pedida é igual a 3
8
.
O problema anterior poderia também ser resolvido de 
outra forma. Consideremos os seguintes eventos:
i) A: Sortear um número múltiplo de 6.
A = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}
n(A) = 8
ii) B: Sortear um número maior do que 30.
B = {31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 
43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50}
n(B) = 20
iii) Como devemos considerar a ocorrência do evento B, 
uma vez que o evento A já ocorreu, estamos 
interessados nos elementos de B que pertencem 
também a A, ou seja, A ∩ B.
A ∩ B = {36, 42, 48}
n(A ∩ B) = 3
Observe que o conjunto A é o espaço amostral reduzido 
a ser considerado e que a probabilidade pedida é 
equivalente a:
P(A ∩ B) = n A B
n A
( )
( )
∩ = 3
8
Generalizando esse conceito, consideremos os eventos A 
e B de um espaço amostral E, conforme o diagrama a seguir:
A B
E
Denotamos por P(B/A) a probabilidade condicional de B 
em relação a A, ou seja, a probabilidade de ocorrer B dado 
que A já ocorreu. 
Assim, temos:
P(B/A) = P(A ∩ B) = 
n A B
n A
( )
( )
∩
Dividindo o numerador e o denominador da fração por 
n(E), temos:
P(B/A) = 
n A B
n E
n A
n E
( )
( )
( )
( )
∩
 ⇒
 
P(B/A) = P A B
P A
( )
( )
∩
OBSERVAÇÃO
Se a ocorrência do evento B não está condicionada à 
ocorrência do eventoA, dizemos que os eventos A e B são 
independentes. Dois eventos A e B são independentes se, 
e somente se, P(B/A) = P(B).
Probabilidades II 12 A
12 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Considerar o experimento: “lançar simultaneamente dois 
dados e observar as faces superiores obtidas”. Sabendo 
que, ao realizar o experimento, a soma dos números 
obtidos foi igual a um número primo, CALCULAR a 
probabilidade de essa soma ser menor do que 5.
Resolução:
Sejam os seguintes eventos:
A) Obter soma igual a um número primo.
 
A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)}
soma = 2 soma = 3 soma = 5 soma = 7 soma = 11
 
A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)}
soma = 2 soma = 3 soma = 5 soma = 7 soma = 11
n(A) = 15
B) Obter soma menor do que 5.
A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2)}
soma = 2 soma = 3 soma = 4
n(B) = 6
Assim, temos que:
A ∩ B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} 
n(A ∩ B) = 3
Sabemos, também, que n(E) = 36. 
Portanto: P(B/A) = 
P A B
P A
( )
( )
∩ = = =
3
36
15
36
3
15
1
5
 
Na prática, basta considerarmos, no espaço amostral 
reduzido A, os pares cuja soma é menor do que 5. 
Desse modo, temos 3 pares em 15, e a probabilidade 
procurada é igual a 3
15
1
5
= .
02. (UEL-PR) Considerar como verdadeiras as seguintes 
informações:
i) O Londrina Esporte Clube está com um time que ganha 
jogos com probabilidade de 0,40 em dias de chuva e 
de 0,70 em dias sem chuva.
ii) A probabilidade de um dia de chuva em Londrina, no 
mês de março, é de 0,30.
Se o time ganhou um jogo em um dia de março, em 
Londrina, então a probabilidade de que nessa cidade 
tenha chovido naquele dia é de
A) 30%. C) 19,672%. E) 80,328%.
B) 87,652%. D) 12,348%. 
Resolução:
Sejam:
P(C) = probabilidade de chover no dia.
P(V) = probabilidade de o time vencer.
P(C/V) = probabilidade de chover no dia, uma vez que
o time venceu.
Sabemos que P(C/V) = 
P C V
P V
( )
( )
∩
 e temos que a 
probabilidade de chover e de o time vencer é dada por: 
P(C ∩ V) = 0,3.0,4 = 0,12
A probabilidade de o time vencer é dada por
P(V) = 0,4.0,3 + 0,7.0,7 = 0,12 + 0,49 = 0,61
vencer e 
chover
vencer e 
não chover
 
Então, P(C/V) = 
P C V
P V
( )
( )
,
,
∩ = 0 12
0 61
 = 0,19672 = 19,672%
TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO 
DE PROBABILIDADES
Uma importante consequência da definição de probabilidade 
condicional é vista a seguir:
P(A/B) = 
P A B
P B
( )
( )
∩
 ⇒ P(A ∩ B) = P(B).P(A/B)
Do mesmo modo, temos:
P(B/A) = 
P A B
P A
( )
( )
∩
 ⇒ P(A ∩ B) = P(A).P(B/A)
Ou seja:
A probabilidade da ocorrência simultânea 
de dois eventos (interseção) é igual ao produto 
da probabilidade de um deles pela probabilidade 
do outro, em relação ao primeiro.
OBSERVAÇÃO
Se os eventos A e B são independentes, temos:
P(A ∩ B) = P(B).P(A)
Frente A Módulo 12
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
13Editora Bernoulli
EXERCÍCIO RESOLVIDO
03. Um recipiente R1 contém 3 bolinhas pretas e 4 bolinhas 
brancas. Um segundo recipiente R2 possui 8 bolinhas 
pretas e 2 bolinhas brancas. Ao escolhermos um 
recipiente ao acaso e dele retirarmos uma bolinha, qual 
a probabilidade de se observar o recipiente R2 e uma 
bolinha branca?
Resolução:
Sejam:
P(R2) = probabilidade de se escolher o recipiente R2.
P(B/R2) = probabilidade de se escolher uma bolinha 
branca, dado que já escolhemos R2.
P(R2 ∩ B) = probabilidade de se escolher R2 e uma 
bolinha branca.
Temos:
P(R2 ∩ B) = P(R2).P(B/R2) = = = . 
1
2
2
10
1
10
 10%
LEI BINOMIAL DA 
PROBABILIDADE
Consideremos uma sequência de ensaios nos quais 
a probabilidade de ocorrência de determinado resultado 
não dependa dos resultados obtidos em ensaios anteriores 
e tampouco interfira nos próximos resultados. Esses ensaios 
são chamados Ensaios de Bernoulli.
Como exemplo, imaginemos o seguinte experimento: 
“Lançar um dado e observar a face superior obtida”. 
Ao repetirmos esse ensaio 5 vezes, qual é a probabilidade 
de obtermos o número 3 exatamente duas vezes?
Resolução:
A probabilidade de se obter o número 3 em um lançamento 
é igual a 
1
6
. Obviamente, a probabilidade de não se obter 
o número 3 nesse lançamento é igual a 1 – 1
6
 = 5
6
. 
Como a ordem de obtenção do número 3 na sequência 
de ensaios não é importante, devemos inicialmente escolher 
2 dos 5 ensaios efetuados. Isso pode ser feito de C5, 2 
modos distintos.
Denotemos por P(A) a probabilidade de se obter o número 3 
exatamente duas vezes. 
Assim, temos:
P(A) = C5, 2. 
1
6
1
6
5
6
5
6
5
6
. . . . = 
5
3 2
125
7 776
!
!. !
.
 
 = 0,160751 ⇒
P(A) = 16,0751%
De maneira geral, se desejamos calcular a probabilidade P 
de obtermos exatamente k resultados favoráveis em n 
ensaios, temos que:
P = Cn, k.(Pf)
k.(1 – Pf)
n – k
Em que Pf é a probabilidade de obtermos o resultado 
favorável em um ensaio.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
04. Um baralho contém 8 cartas, das quais apenas uma 
é um ás. Uma carta é retirada ao acaso e depois devolvida 
ao baralho. Ao repetirmos o experimento quatro vezes, 
qual é a probabilidade de obtermos um ás exatamente 
duas vezes?
Resolução:
P = C4, 2.
1
8
7
8
4
2 2
1
64
49
64
147
2 048
2 2











 = =.
!
!. !
. .
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFJF-MG–2006) Um casal planeja ter exatamente 
3 crianças. A probabilidade de que pelos menos uma 
criança seja menino é de
A) 25%. D) 87,5%. 
B) 42%. E) 64,6%.
C) 43,7%.
02. (UFMG–2006) Leandro e Heloísa participam de um jogo 
em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses 
cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste 
em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar 
as faces superiores de cada um deles quando param: 
i) Se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro 
vencerá.
ii) Se as faces superiores forem de cores diferentes, 
Heloísa vencerá.
Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas 
e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o 
jogo é de 
11
18
. Então, é CORRETO afirmar que o outro 
cubo tem
A) quatro faces brancas. 
B) uma face branca. 
C) duas faces brancas. 
D) três faces brancas.
Probabilidades II
14 Coleção Estudo
03. (UERJ) Um instituto de pesquisa colheu informações para 
saber as intenções de voto no segundo turno das eleições 
para governador de determinado estado. Os dados estão 
indicados no quadro a seguir:
Intenção dos votos Percentual
Candidato A 26%
Candidato B 40%
Votos nulos 14%
Votos brancos 20%
Escolhendo aleatoriamente um dos entrevistados, 
verificou-se que ele não vota no candidato B. 
A probabilidade de que esse eleitor vota em branco é
A) 1
6
 B) 1
5
 C) 1
4
 D) 
1
3
 E) 2
5
04. (FUVEST-SP)
A) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas 
brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa 
urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, 
a probabilidade de ela ser azul seja igual a 
2
3
? 
B) Considere agora uma outra urna que contém uma 
bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. 
Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor 
é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, 
retira-se novamente ao acaso uma bola dessa urna. 
Para que valores de x a probabilidade de que as duas 
bolas sejam da mesma cor vale 
1
2
?
05. (UFF-RJ–2007)
Búzios são pequenas conchas marinhas que, em 
outras épocas, foram usadas como dinheiro e hoje são 
empregadas como enfeites, inclusive em pulseiras, 
colares e braceletes, ou como amuletos ou em jogos de 
búzios. No jogo de búzios, considera-se a hipótese de 
que cada búzio admite apenas dois resultados possíveis 
(abertura para baixo – búzio fechado – ou abertura para 
cima – búzio aberto). Suponha que 6 búzios idênticos 
sejam lançados simultaneamente e que a probabilidade 
de um búzio ficar fechado ao cair, ou ficar aberto, é igual 
a 
1
2
.Pode-se afirmar que a probabilidade de que fiquem 
3 búzios abertos e 3 búzios fechados ao cair, sem se 
levar em consideração a ordem em que eles tenham 
caído, é igual a
A) 5
16
 B) 9
32
 C) 
15
64
 D) 9
64
 E) 
3
32
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFPE–2005) O vírus X aparece nas variantes X1 e X2. 
Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser 
a variante X1 é de 
3
5
. Se o indivíduo tem o vírus X1, 
a probabilidade de esse indivíduo sobreviver é de 
2
3
; 
mas, se o indivíduo tem o vírus X2, a probabilidade de ele 
sobreviver é de 
5
6
. Nessas condições, qual a probabilidade 
de o indivíduo portador do vírus X sobreviver?
A) 
1
3
 
B) 
7
15
 
C) 
3
5
D) 
2
3
E) 
11
15
02. (FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de 
imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma 
análise detalhada; entre estas, verificou-se que 20% 
são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são 
fraudulentas.
A) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a 
probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta?
B) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade 
de ela ter sido suspeita?
03. (UFRJ–2006) Com o intuito de separar o lixo para 
fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas 
dependências cinco lixeiras, de acordo com o tipo de 
resíduo a que se destinam: vidro, plástico, metal, papel 
e lixo orgânico.
Vidro Plástico Metal Papel Orgânico
Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma 
embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma 
garrafa de vidro. A probabilidade de que ele tenha usado 
corretamente pelo menos uma lixeira é igual a
A) 25%. 
B) 30%. 
C) 35%.
D) 40%.
Frente A Módulo 12
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C
A
15Editora Bernoulli
04. (Mackenzie-SP) Numa urna, são colocadas 60 bolas iguais, 
numeradas de 1 a 60. A probabilidade de sortearmos, 
sucessivamente, com reposição, 3 bolas com números 
que são múltiplos de 5 é
A) 8%. 
B) 0,8%. 
C) 0,08%. 
D) 0,008%.
E) 0,0008%.
05. (UFU-MG–2006) Em um vilarejo com 1 000 habitantes, 
52% dos habitantes são mulheres e 25% dos homens 
têm no máximo 20 anos. Escolhendo-se aleatoriamente 
dois habitantes da cidade, a probabilidade de que as duas 
pessoas escolhidas sejam homens, sendo um deles com 
no máximo 20 anos de idade e o outro com pelo menos 
21 anos de idade, é igual a
A) 16
185
 
B) 
27
625
 
C) 12
275
 
D) 
12
2 775 
06. (UNESP–2008) Um lote de um determinado produto 
tem 500 peças. O teste de qualidade do lote consiste 
em escolher aleatoriamente 5 peças, sem reposição, para 
exame. O lote é reprovado se qualquer uma das peças 
escolhidas apresentar defeito. A probabilidade de o lote 
não ser reprovado se ele contiver 10 peças defeituosas 
é determinada por
A) 
10
500
9
499
8
498
7
497
6
496
. . . .
B) 
490
500
489
500
488
500
487
500
486
500
. . . .
C) 490
500
489
499
488
498
487
497
486
496
. . . .
D) 
10
10 5 5
10
500
!
( )!. !
.
−
E) 
500
500 5 5
5
500
!
( )!. !
.
−
07. (PUC Minas–2007) A figura representa os possíveis 
percursos realizados por um robô, programado para 
andar em frente seguindo os lados de hexágonos. Assim, 
partindo de A, o robô tem três opções distintas de 
caminho; e, na sequência, como não pode voltar, só pode 
escolher dois caminhos. Supondo que esse robô parta 
de A, assinale a probabilidade de o mesmo se encontrar 
em B, depois de percorrer exatamente três lados de 
hexágonos.
A
B
A) 
1
6
 
B) 
1
4
 
C) 
1
3
 
D) 
1
2
08. (PUC Rio–2007) Brad quer mandar uma carta para Ana. 
A probabilidade de que Brad mande esta carta é de 
8
10
. 
Dez por cento de todas as cartas enviadas são extraviadas 
pelo correio e a probabilidade de o carteiro entregar a 
carta é de 90%.
A) Qual a probabilidade de Ana não receber a carta?
B) Dado que Brad mande a carta, qual a probabilidade 
de Ana receber a carta?
09. (FEI-SP) Uma moeda viciada apresenta probabilidade de 
ocorrer face cara quatro vezes maior que a probabilidade 
de ocorrer face coroa. Em 2 lançamentos consecutivos 
dessa moeda, qual a probabilidade de ocorrer 2 vezes a 
face coroa?
A) 0,2 
B) 0,1 
C) 0,01
D) 0,02
E) 0,04
Probabilidades II
16 Coleção Estudo
10. (VUNESP) Dois jogadores A e B vão lançar um par 
de dados. Eles combinam que, se a soma dos números 
dos dados for 5, A ganha e, se a soma for 8, B é quem 
ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não 
ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?
A) 10
36
B) 5
32
C) 5
36
 
D) 5
35
E) Não se pode calcular sem saber os números sorteados.
11. (VUNESP) Sabe-se que os pênaltis a favor de certa equipe 
de futebol são batidos pelos dois melhores cobradores 
da equipe, A e B, cujos índices de aproveitamento 
(conversão em gols) são, respectivamente, 85% e 90%. 
Sabe-se, ainda, que B cobra 75% dos pênaltis a favor 
da equipe. Acaba de ser marcado um pênalti a favor 
dessa equipe e, nesse momento, os jogadores A e B 
estão em campo.
A) Qual a probabilidade de que o pênalti seja cobrado 
por B e não seja convertido em gol?
B) Qual a probabilidade de o pênalti ser convertido 
em gol?
12. (Cesgranrio) Lançando-se um dado duas vezes, 
a probabilidade de ser obtido o par de valores 2 e 3, 
em qualquer ordem, é de
A) 1
6
 
B) 
1
9
 
C) 1
12
 
D) 1
15
E) 
1
18
13. (VUNESP-SP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas 
chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se 
chover no dia da prova e de 20% se não chover. O Serviço 
de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover 
durante a prova é de 75%. Nessas condições, CALCULE 
a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio.
14. (Mackenzie-SP–2007) Um casal planeja ter 4 filhos; 
admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, 
a probabilidade de esse casal ter 2 meninos e 2 meninas, 
em qualquer ordem, é
A) 3
8
B) 3
4
C) 1
2
D) 1
16
 
E) 
3
16
 
15. (VUNESP) O resultado de uma pesquisa realizada pelo 
Ipespe sobre o perfil dos fumantes e publicada pela revista 
Veja de 03 de junho de 1998 mostra que, num grupo de 
1 000 pessoas, 17% fumam e, entre os fumantes, 44% 
são mulheres. Se, nesse grupo de 1 000 pessoas, uma é 
escolhida ao acaso, a probabilidade de ela ser fumante e 
mulher é, aproximadamente,
A) 0,044 
B) 0,075
C) 0,44
D) 0,0075
E) 0,0044 
16. (UERJ) Suponha haver uma probabilidade de 20% para 
uma caixa de Microvlar ser falsificada. 
O DIA, 25 ago. 1998.
Em duas caixas, a probabilidade de pelo menos uma 
delas ser falsa é
A) 4%.
B) 16%.
C) 20%.
D) 36%.
Frente A Módulo 12
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
17Editora Bernoulli
17. (UFRJ–2006) Uma caixa contém bombons de nozes e 
bombons de passas. O número de bombons de nozes 
é superior ao número de bombons de passas em duas 
unidades. Se retirarmos, ao acaso, dois bombons dessa 
caixa, a probabilidade de que ambos sejam de nozes é 
2
7
.
A) DETERMINE o número total de bombons.
B) Se retirarmos, ao acaso, dois bombons da caixa, 
DETERMINE a probabilidade de que sejam de 
sabores distintos.
18. (UFF-RJ–2006) Determinado provedor de Internet oferece 
aos seus usuários 15 (quinze) salas de bate-papo. 
Três usuários decidiram acessar as salas. Cada usuário 
escolheu, independentemente, uma sala. Assinale 
a alternativa que expressa a probabilidade de os três 
usuários terem escolhido a mesma sala.
A) 1
152
 D) 3
15
B) 
1
153
 E) 
3
15
3
3
C) 1
33
19. (UNESP–2007) Uma pesquisa publicada pela revista Veja, 
de 07 de junho 2006, sobre os hábitos alimentares dos 
brasileiros, mostrou que, no almoço, aproximadamente 
70% dos brasileiros comem carne bovina e que, no jantar, 
esse índice cai para 50%. Supondo que a probabilidade 
condicional de uma pessoa comer carne bovina no jantar, 
dado que ela comeu carne bovina no almoço, seja 
6
10
, 
DETERMINE a probabilidade de a pessoa comer carne 
bovina no almoço ou no jantar.
20. (UNESP–2007) Uma prova é constituídade 12 questões 
do tipo múltipla escolha, cada uma delas com 
5 alternativas. Um candidato pretende fazer essa 
prova “chutando” todas as respostas, assinalando uma 
alternativa por questão sem qualquer critério de escolha. 
A probabilidade de ele acertar 50% da prova é
A) 924. 4
5
6




 D) 924. 2
5
12




B) 792. 4
5
6




 E) 792. 2
5
12




C) 924.
1
5
6




SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Um casal decidiu que irá ter 3 filhos. 
Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que, 
se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma 
clínica para fazer um tratamento específico para garantir 
que teria os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal 
concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos 
homens é de
A) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
B) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
C) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
D) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para 
fazer um tratamento.
E) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para 
fazer um tratamento.
Instrução: Texto para as questões 02 e 03.
Um apostador tem três opções para participar de certa 
modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um 
número entre dez.
1a opção: comprar três números para um único sorteio.
2a opção: comprar dois números para um sorteio e um número 
para um segundo sorteio.
3a opção: comprar um número para cada sorteio, num total de 
três sorteios.
02. (Enem–2000) Se X, Y, Z representam as probabilidades 
de o apostador ganhar algum prêmio, escolhendo, 
respectivamente, a 1ª, a 2ª ou a 3ª opção, é CORRETO 
afirmar que
A) X < Y < Z 
B) X = Y = Z 
C) X > Y = Z
D) X = Y > Z
E) X > Y > Z
03. (Enem–2000) Escolhendo a 2ª opção, a probabilidade de o 
apostador não ganhar em qualquer dos sorteios é igual a
A) 90%.
B) 81%.
C) 72%.
D) 70%.
E) 65%.
Probabilidades II
18 Coleção Estudo
04. (Enem–2005) Um aluno de uma escola será escolhido 
por sorteio para representá-la em uma certa atividade. 
A escola tem dois turnos. No diurno há 300 alunos, 
distribuídos em 10 turmas de 30 alunos. No noturno 
há 240 alunos, distribuídos em 6 turmas de 40 alunos. 
Em vez do sorteio direto envolvendo os 540 alunos, foram 
propostos dois outros métodos de sorteio.
 Método I: escolher ao acaso um dos turnos 
(por exemplo, lançando uma moeda) e, a seguir, 
sortear um dos alunos do turno escolhido.
 Método II: escolher ao acaso uma das 16 turmas 
(por exemplo, colocando um papel com o número de 
cada turma em uma urna e sorteando uma delas) e, 
a seguir, sortear um dos alunos dessa turma.
Sobre os métodos I e II de sorteio é correto afirmar:
A) Em ambos os métodos, todos os alunos têm a mesma 
chance de serem sorteados.
B) No método I, todos os alunos têm a mesma chance 
de serem sorteados, mas, no método II, a chance de 
um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de 
um aluno do noturno.
C) No método II, todos os alunos têm a mesma chance 
de serem sorteados, mas, no método I, a chance de 
um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de 
um aluno do noturno.
D) No método I, a chance de um aluno do noturno ser 
sorteado é maior do que a de um aluno do diurno, 
enquanto no método II ocorre o contrário.
E) Em ambos os métodos, a chance de um aluno do 
diurno ser sorteado é maior do que a de um aluno 
do noturno.
05. (Enem–2009) Em um determinado semáforo, as luzes 
completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 
1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos 
são para a luz verde, 5 segundos, para a amarela 
e 70 segundos, para a vermelha. Ao se aproximar do 
semáforo, um veículo tem uma determinada probabilidade 
de encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. 
Se essa aproximação for de forma aleatória, pode-se 
admitir que a probabilidade de encontrá-lo com uma 
dessas cores é diretamente proporcional ao tempo 
em que cada uma delas fica acesa. Suponha que um 
motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia, 
de maneira aleatória e independente uma da outra. Qual 
é a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo 
com a luz verde acesa nas duas vezes em que passar?
A) 1
25
 D) 1
3
 
B) 1
16
 E) 1
2
C) 1
9
 
06. (Enem–2010) O diretor de um colégio leu em uma 
revista que os pés das mulheres estavam aumentando. 
Há alguns anos, a media do tamanho dos calçados das 
mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não 
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e 
fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, 
obtendo o quadro a seguir:
TAMANHO DOS 
CALÇADOS
NÚMERO DE 
FUNCIONÁRIAS
39,0 1
38,0 10
37,0 3
36,0 5
35,0 6
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que 
ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela 
calçar 38,0 é
A) 1
3
 B) 1
5
 C) 2
5
 D) 5
7
 E) 5
14
GABARITO
Fixação
01. D 04. A) 16 bolas azuis
02. A B) x = 1 ou x = 9
03. D 05. A
Propostos
01. E 11. A) 7,5%
02. A) 2% B) 88,75%
 B) 52,6% 12. E
03. C 13. P = 50%
04. B 14. A
05. A 15. B
06. C 16. D
07. A 17. A) 22
08. A) 35,2% B) 
40
77
 B) 81% 18. A
09. E 19. 78%
10. B 20. D
Seção Enem
01. E
02. E
03. C
04. D
05. B
06. D
Frente A Módulo 12
FRENTE
19Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
w
w
w
.f
o
o
tb
al
lp
ic
tu
re
s.
n
et
INTRODUÇÃO
Considere um ponto O e um segmento de medida R. 
Denomina-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos 
pontos P do espaço, tais que a medida OP seja menor ou 
igual a R.
A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação 
de um semicírculo em torno de um eixo que contém 
o diâmetro.
e e
Seção
Toda seção plana de uma esfera é um círculo.
Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos 
como seção um círculo máximo da esfera.
Sendo R o raio da esfera, d a distância do plano secante 
ao centro e r o raio da seção, vale a relação:
O
Rd
r
α
P
 r2 = R2 – d2
Área e volume
Área da esfera
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio R ao 
conjunto dos pontos P do espaço, tais que a medida OP 
seja igual a R.
A área A da superfície de uma esfera de raio R é dada por:
A = 4pR2
Volume da esfera
O volume V de uma esfera de raio R é dado por:
V = 
4
3
 pR3
FUSO E CUNHA
Fuso esférico
É a região da superfície da esfera compreendida entre 
duas semicircunferências com extremidades nos polos 
da esfera.
O ângulo α, medido na seção equatorial, e o raio R da 
esfera caracterizam o fuso.
O
α
R
Esferas 11 B
20 Coleção Estudo
Área do fuso
Sendo α o ângulo do fuso, temos:
•	 Com α em graus:
 
360 4 2º −−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−




⇒ =
π
α
αR
A
A
fuso
fuso 3360
4 2
º
. πR360 4
2º −−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−




⇒ =
π
α
αR
A
A
fuso
fuso 3360
4 2
º
. πR
•	 Com α em radianos:
 
2 4
2
2π π
α
α
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−




⇒ =
R
A
A
fuso
fuso
. RR2
2 4
2
2π π
α
α
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−




⇒ =
R
A
A
fuso
fuso
. RR2
Cunha esférica
É a região da esfera compreendida entre dois semicírculos 
que contêm o seu diâmetro.
A cunha fica determinada pelo raio da esfera e pela medida 
do ângulo α.
O
α
R
Volume da cunha
Sendo α o ângulo da cunha, temos:
•	 Com α em graus:
 
360
4
3
3º −−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−





⇒
π
α
R
V
V
cunha
cunhaa
R= α π
360
4
3
3
º
.360
4
3
3º −−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−





⇒
π
α
R
V
V
cunha
cunhaa
R= α π
360
4
3
3
º
.
•	 Com α em radianos:
 
2
4
3
3π π
α
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−





⇒ =
R
V
V
cunha
cunha
αα2
3
3R2
4
3
3π π
α
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−





⇒ =
R
V
V
cunha
cunha
αα2
3
3R
Perceba que 
αº
º360
 ou 
α
π2
 equivalem à fração que a cunha 
corresponde da esfera.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (PUCPR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, 
com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha 
esférica nesse recipiente, o nível da água sobecerca 
de 1,2 cm. Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale, 
aproximadamente,
A) 1 cm.
B) 1,5 cm.
C) 2 cm.
D) 2,5 cm.
E) 3 cm.
Resolução:
Ao mergulharmos totalmente uma bolinha em um 
recipiente cilíndrico de raio 3 cm, o nível da água sobe 
1,2 cm. Veja a figura:
1,2 cm
3 cm
novo nível
nível anterior
O volume da esfera imersa no cilindro é igual ao volume 
de água deslocada, que corresponde a um cilindro de raio 
3 cm e altura 1,2 cm (em azul escuro). Assim:
Vesfera = Vágua deslocada ⇒ 
4
3
3 1 23 2π πr . . ,= ⇒ r3 = 8,1 ⇒ r ≅ 2 cm
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UEL-PR–2007) Considere um cone circular reto e um 
cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual 
a 12 cm, e também uma esfera com diâmetro de 12 cm, 
todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do 
cilindro devem ser, respectivamente, iguais a
A) 12 cm e 4 cm.
B) 30 cm e 10 cm.
C) 24 cm e 8 cm.
D) 9 cm e 3 cm.
E) 18 cm e 6 cm.
Frente B Módulo 11
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
21Editora Bernoulli
02. (UFU-MG–2009) Dispõe-se de um cilindro maciço circular 
reto, feito de alumínio, cujo raio da base mede 4 cm e 
a altura, 10 cm. Esse cilindro será derretido e, com o 
material fundido, serão fabricadas esferas de aço de raio 
2 cm. Supondo que nesse processo não ocorra perda de 
material, então o número de esferas a serem fabricadas, 
a partir do cilindro dado, é igual a
A) 13 
B) 15 
C) 14 
D) 16
03. (UFJF-MG–2007) Um reservatório de água tem a forma 
de um hemisfério acoplado a um cilindro circular, como 
mostra a figura a seguir:
h
A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base 
do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório 
é h = 6 m, a capacidade MÁXIMA de água comportada 
por esse reservatório é
A) 9p m3. D) 36p m3.
B) 18p m3. E) 45p m3.
C) 27p m3.
04. (UNESP) Uma quitanda vende fatias de melancia 
embaladas em plástico transparente. Uma melancia 
com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada 
em 12 fatias iguais, em que cada fatia tem a forma 
de uma cunha esférica, como representado na figura.
R
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio 
R cm é 4pR2 cm2, DETERMINE, em função de p e de R,
A) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso 
esférico).
B) quantos cm2 de plástico foram necessários para 
embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem 
sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área 
da superfície total de cada fatia.
05. (UFMG) Observe esta figura.
A F
E
C
D
B
Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3 cm 
e ADEF é um quadrado, cujo lado mede 1 cm. Considere 
o sólido gerado pela rotação de 360º, em torno da reta 
AB, da região hachurada na figura. Sabe-se que o volume 
de uma esfera de raio r é igual a 4
3
3πr . Dessa forma, esse 
sólido tem um volume de
A) 14p cm3. C) 16p cm3. 
B) 15p cm3. D) 17p cm3. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFU-MG–2006) Uma esfera maciça de ferro de raio 
10 cm será fundida e todo o material derretido será usado 
na confecção de um cilindro circular e de um cone circular, 
ambos maciços com raio da base r cm e altura também 
r cm. Não havendo perda de material durante o processo, 
r será igual a
A) 4 cm. C) 5 cm. 
B) 8 cm. D) 10 cm.
02. (UNESP) Em um tanque cilíndrico com raio de base R 
e altura H contendo água, é mergulhada uma esfera 
de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba 1
6
.R , 
conforme mostra a figura.
R
R/6
H
A) CALCULE o raio r da esfera em termos de R.
B) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes 
de a esfera ser mergulhada, a água ocupava 
3
4
 da 
altura do cilindro. CALCULE quantas esferas de aço 
idênticas à citada podem ser colocadas dentro do 
cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem 
transbordar.
Esferas
22 Coleção Estudo
03. (UNESP) O trato respiratório de uma pessoa é composto 
de várias partes, entre elas os alvéolos pulmonares, 
pequeninos sacos de ar em que ocorre a troca 
de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada 
alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro 
médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. 
Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual 
a 1 618 cm3, o número APROXIMADO de alvéolos dessa 
pessoa, considerando p = 3, é
A) 1 618 x 103 D) 4 045 x 104
B) 1 618 x 104 E) 4 045 x 105
C) 5 393 x 102 
04. (FUVEST-SP) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base 
é 6 cm, contém água até uma certa altura. Uma esfera 
de aço é colocada no inteiror do recipiente, ficando 
totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, 
então o raio da esfera é
A) 1 cm. D) 4 cm. 
B) 2 cm. E) 5 cm.
C) 3 cm. 
05. (UFU-MG) Uma fábrica de sucos estima que necessita de 
27 laranjas de 8 cm de diâmetro cada, para produzir um 
litro de suco concentrado. Para efeito dessa estimativa, 
a empresa assume que as laranjas são esferas. Contudo, 
devido à entressafra, as únicas laranjas disponíveis no 
mercado apresentam diâmetro de 6 cm. Nessas condições, 
o número MÍNIMO de laranjas necessárias para a 
produção de um litro de suco concentrado será igual a
A) 48 B) 54 C) 64 D) 70
06. (UFPE) Uma esfera de centro O e raio igual a 5 cm é 
cortada por um plano P, resultando dessa interseção um 
círculo de raio igual a 4 cm. Assinale, então, a alternativa 
que fornece a distância de O a P.
A) 10 cm D) 1 cm 
B) 5 cm E) 3 cm
C) 2 cm 
07. (UNIFESP) Um recipiente, contendo água, tem a forma 
de um cilindro circular reto de altura h = 50 cm 
e raio r = 15 cm. Esse recipiente contém 1 litro de água 
a menos que sua capacidade total.
água h
A) CALCULE o volume de água contido no cilindro. 
Use p = 3,14.
B) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, 
introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça 
transbordarem exatamente 2 litros de água?
08. (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem 
medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém 
água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das 
paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta 
o MAIOR número de esferas de aço, de 1 cm de raio 
cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água 
não transborde.
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
09. (FGV-SP–2006) Um observador colocado no centro de 
uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α 
de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a área 
do fuso esférico determinado por α é
α
fuso
esférico
r
BA
A) 20p m2. D) 5p m2.
B) 15p m2. E) p m2.
C) 10p m2. 
10. (UFPA) A circunferência máxima de uma esfera mede 
6p cm. Qual é o volume da esfera?
A) 12p cm3 D) 72p cm3
B) 24p cm3 E) 144p cm3
C) 36p cm3 
11. (Cesgranrio) Uma cesta cilíndrica de 2 m de altura e 
raio de base 1 m está cheia de bolas de diâmetro igual à 
quarta parte de 1 m. Se cerca de 50% da capacidade da 
cesta correspondem aos espaços vazios, o número MAIS 
APROXIMADO de bolas que a cesta contém é
A) 100 D) 385
B) 150 E) 625
C) 215 
12. (UNESP–2006) Com um recipiente de vidro fino 
transparente na forma de um paralelepípedo 
reto retângulo, que tem como base um quadrado 
cujo lado mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 
40 cm, Márcia montou um enfeite de Natal. Para tanto, 
colocou no interior desse recipiente 90 bolas coloridas 
maciças de 4 cm de diâmetro cada e completou todos 
os espaços vazios com um líquido colorido transparente. 
Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para 
facilitar os cálculos) a aproximação p = 3,
A) DÊ, em cm2, a área lateral do recipiente e a área da 
superfície de cada bola.
B) DÊ, em cm3, o volume do recipiente, o volume de cada 
esfera e o volume do líquido dentro do recipiente.
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13. (UFSM-RS) A área da superfície de uma esfera e a área 
total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da 
base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16p cm3, 
o raio da esfera é dado por
A)