Eletrônica de potencia -Potencia Ativa e Reativa Instantane para sistemas com carga genéricas

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POT~NCIAATIVA E REATIVA INSTANTÂNEAS EM SISTEMAS ELÉTRICOS
COM FONTES E CARGAS GENÉRICAS
Edson Watanabe e Richard Stephan
COPPE/UFRJ
CP 68504 - 21945 - Rio de Janeiro - RJ
Esta decomposição mostra que a potência instantânea pode ser
separada em duas parcelas:
2.1. Fonte Senoidal em Regime Estacionário e Cargas
Lineares
2. CONCEITOS TRADICIONAIS DE POTtNCIA ATIVA
E ltEATIVA
tante ressaltar que neste trabalho a correção de fator de potência
tem um significado muito mais genérico, não se traduzindo apenas
na correção da potência reativa convencional, mas também da
"potência harmónica".
(1)
(2)
Seja:
va(t) = fi V sen rot,
ia(t) = Y2 I sen (rot -<jJ).
A potência instantânea é dada por:
p(t) =va ia =VI[cos<jJ - cos (2mt - <jJ)] =
= IVI cos </>(1- cos 2aJ1) I - IVI ...o</>. sen :ZaJt·1 (3)
1 ' 2
a parcela "1" pulsa em torno do valor médio (VIcos <jJ) com
o dobro da freqüência da rede de alimentação, porém nunca
fica negativa, ou seja, é uma potência "cc" Slonin e Van Wyk
(1988);
Para um melhor entendimento do problema das potências ativa e
reativaj será primeiramente apresentada a aplicação destes conceitos
em um sistema elétrico monofásico, com fonte de tensão senoidal,
carga linear e em regime permanente. Em seguida, será analisado o
mesmo caso estendido para cargas contendo harmÓnicos múltiplos
da freqUência da ~ede ro. Será também apresentado o estudo de uma
fonie de tensão senoidal alimentando uma carga com componentes
harmónicos de corrente não-múltiplas de ro. Por fim, será apresen-
tado o caso de fonte de tensão contendo harmónicos alimentando
uma carga linear.
1. INTRODUÇÃO
A conceituação de potência ativa e reativa está bem estabelecida
para circuitos êt~tricos com alimentação senoidal e cargas lineares,
e.g. Elgerd (1970). Nos casos de carga não-linear e alimentação não-
senoidal o conceito ainda não foi suficientemente explorado. Com o
aumento dos circuitos chaveados de eletrÓnica de potência, os sis-
temas elétricos passaram a absorver uma quantidade significativa
deste tipo de carga. Assim sendo, atualmente, a compensação de
potência reativa passou a ser um problema mais complexo devido à
"potência harmÓnica" present~ no sistema.
Este trabalho tem por objetivo apresentar uma análise detalhada
do problema, visando o esclarecimento e melhor compreensão dos
fenÓmenos físicos que ocorrem em sistemas elétricos alimentados
por fontes genéricas (contendo harm~nicos) e cargas genéricas
(chaveadas ou simplesmente não-lineares). Este problema já foi
tratado em uma série de publicações e.g. Slonin e Van Wyk (1988),
Bystron (1979) e Emanuel (1988). Porém, os autores acreditam que
somente com os trabalhos de. Akagi, Kanagawa e Nabae (1983 e
1984) aparece realmente uma teoria mais completa e consistente
sobre o assunto. Mais recentemente, Furushashi et aI. (1990)
também apresentaram um estudo sobre a teoria da potência reativa
instantânea.
Desta forma, este trabalho, baseado na definição de potência
ativa e reativa apresentada de forma compacta em Akagi et aI.
(1983, 1984), pretende estabelecer uma melhor conceituação física
destas grandezas tanto a nível de regime permanente quanto
transitório, o que não está muito claro na literatura mencionada. A
partir do entendimento do fenÓmeno físico, mostra-se que é possível
se conceber estratégias de correção de fator de potência. É impor-
Resumo - Este trabalho esclarece os conceitos de potência ativa e
reativa instantâneas introduzidas por Akagi, Kanagawa e Nabae.
Para tanto, relacionam-se definições tradicionais de potência ativa e
reativa com estes novos conceitos. Finalmente, mostra-se como pode
ser feita a compensação das potências reativa e harmónica através de
filtros ativos, baseando-se nesta nova formulação.
Abstract - This work clarifies the concepts of instantaneous active
and reactive power introduced by Akagi, Kanagawa and Nabae. The
relationship between the usual definitions of active/reactive power
and these new concepts is established. Finally, it is shown how this
new formulation can be applied to compensate for reactive and har-
monic powers using active filters.
SBA: Controle & Automação 253
a parcela "2" tem o valor médio nulo, valor de pico igual a
(VI sen tP) e também oscila com o dobro da freqüência da
rede.
Dentro da conceituação tradicional (e.g., Elgerd, 1970) define·se:
l!
P =VI costP,
potência ativa média = valor médio de p(t);
l!
Q =VI sen tP,
(ii) as parcelas oscilantes das três fases. (parcela depenclente de
Q) estão defasadas de 1WO em cada fase e, portanto, somam
zero. No entanto, define-se tradicionalmente potência
reativa trifásica como:
uma vez que existe este tipo de potência em cada uma das
fases, em tempos diferentes. É importante notar que esta
potência reativa só aparece por definição, já que a soma no
tempo é nula.
ou seja, a potência trifásica instantânea é constante e, por-
tanto, igual ao seu valor médio;
(i) p(t) = Pa(t) + Pb(t) + pc(t)
l!
= 3P = PjtP '
Estas decomposiçoes estão colocadas graficamente na Figura 1.
Nota·se que Q, por definição, é igual ao valor· de pico da parcela
de potência que flui da fonte para a carga e vice·versa, resultando
num valor médio nulo (parcela 2).
No caso trifásico equilibrado (Elgerd, 1976), chega-se às seguin-
tes conclusOes:
A tensão, neste caso, é a mesma apresentada na eq. (1). A cor·
rente, porém, é expressa por:
(5)
As seguintes relaçOes são conhecidas:
potência instantânea:
Pa(t) =2VI] senwtsen(wt '"-tf>1) +
+ 2VI
2
senwt sen(2wt ,- tP2) + ...
=VIl COS tP1(1- cos 2wt) - VIl sen tPl sen 2wl
. + 2VI2 senwt.sen(2wt - ti>2) + ...;
ia(t) =V2 l 1sen(wt -tP1) '+
+ fi 12 sen(2wt - tP2) + ...
2.2•. Extensão para Fonte Senoidal em· Regime Estacionário
e Cargas com Hannônicos de Corrente Múltiplas de w
(4)p(t) =P(l - cos 2c.ot) - Q(sen 2wt).
potência reativa.
Assim,
VIcos0
Potencio
totol p,-,,
\
\
Figura 1. Tensão (v), corrente (i) e potência (p) num circuito monofásico linear Elgerd (1916).
2S4 SBA: Controle & Automação
Este resultado costuma ser apresentado graficamente através do
tetraedro de potências da Figura 2, Bystron (1979) e Caldeira e
Watanabe (1988).
potência ativa média:
P = valor médio de Pa(t) = VIl cos t/J1;
corrente eficaz:
I 2 2 2= 11 + 12 + 13 + ... =
=1(1!f) +JO
T
ia
2
dt ,
.onde T é o período de ia(t);
potência aparente:
S = VI.
Daf, tem-se que:
Define-se:
â
O =VII sen t/J1
potência reativa;
H~ V 11
2
2 + 1
3
2 + ... = VI II _(1/1)2,
potência harmÓnica.
A relação (7) pode agora ser reescri~ como:
S2 =p2 + 0 2 + H2.
As seguintes definições sao normalmente empregadas:
(7)
(8)
(9)
(10)
o fator de deslocamento aparece na literatura em inglês como
"displacement factor" e corresponde ao fator de potência conven-
cional de sistemas onde nao existe harmónicos. Este fator de des-
locamento pode ser chamado de fator de potência fundamental, pois
só depende da componente fundamental. Por outro lado, o fator de
potência, conforme definido acima, pode ser também chamado de
fator de potência total, pois inclui, além da componente fundamen-
tal, todos os harmónicos.
Para o caso trifásico equilibrado todas as grandezas sao con-
sideradas em triplo.
A partir da Figura 2, as seguintes observaçOes podem ser feitas:
2
Obs. 1: O transporte de P (= VIl cos t/J
1
(l - cos wt» e de
O(= VII sen t/J1 sen 2wt) é feito somente por parte das componentes
de corrente na freqüência w.
Obs. 2: O transporte de H é feito pelas componentes de corrente em
freqüências diferentes de w (harmÓnicos).
Obs. 3: A parcela VII sen t/J1 sen 2wt = Q sen 2wt tem valor médio
zero e pode ser eliminada utilizando-se um capacitar ou um indutor
conveniente. Isto pode ser entendido pela observação da Figura 3. A
colocação de um componente L ou C em parelelo com a fonte de
alimentação permite a geração de uma corrente de freqUência (J)
capaz de fornecer a potência O solicitada pela carga. Nota-se que
com este procedimento é impossfvel gerar ou absorver a potência H
solicitada, uma vez quê H depende de correntes com freqQências
diferentesde Q) (harmÓnicos).
()bs. 4: As parcelas da Eq. (6) com freqüências diferentes de w, isto
é, aquelas que produzem H, têm valor médio zero e nao podem ser
eliminadas com um único capacitar ou indutor. Sua eliminação
depende de filtros, que funcionam como curto-circuitos para as cor·
rentes harmÓnicas geradas na carga.
P
-t>
fator de potência ou fator de potência total
=P/S =cos t/J1 • CDS r =cos qJ.
fator de'deslocamento ou fator de potência fundamental =
=eostP1 '
-7f+H
/p2 +02
fator de distorção = ----
s
1
1= -- = cosy,
I
J2v senwt --
-H+H I
I
I
_.L_-.,..-
I
:,rQ
C
A
R
G
A
H
p
Figura 3. Compensação da potência reativa.
2.3. Extensão para Fonte Senoidal em Regime Estacionário
com Carga com Harmônicos de Corrente em Qualquer
Freqüência
Este caso ocorre quando a carga é chaveada em uma freqüência
nao sincronizada com a freqUência da rede w. Assim sendo, a cor-
rente passa a ser dada por.
Figura 2. Tetraedro de potências.
00
+ L V2It sen(wltt -t/JIt)
k=2
(11)
SBA: Controle & Automação 255
onde,
lo' componente contínua da corrente;
ff h sen(wt + 4>1): componente com a mesma freqUência da
rede (w).
O somatório de harmónicos em (11) pode conter componentes
de freqUência nao-múltiplas de w, maiores que w (super-
harmónicos) e menores que w (sub-harmÓnicos), dependendo
apenas do modo e freqUência de chaveamento (Gyugyi e Pelly,
1988) da carga.
Neste caso, da mesma forma que no caso anterior, pode-se
definir todas as variáveis para a construção do tetraedro da potência
da Figura 2. É importante observar, no entanto, que em H estará
contida a potência devido a lo, bem como os harmõnicos menores e
maiores que w.
2.4. Extensão para Fonte de Tensão Contendo Harmõnicos
e Cargas com Correntes Múltiplas de w em Regime
Estacionário
is(t) =V2 11 cos 4>1 senrot + -1"'212cos 4'~n 2cut + ... (14)
ic(t) =V211sen 4>1 cos wt + ~I2 sen 4'2 cos 2cut + "0 (15)
As seguintes relaçOes sao conhecidas:
potência instantânea:
Pa(t) = va(t) il(t) + va(t) ic(t) ;
potência ativa média:
P =V,lt cos4>t + Vi2 cos 4>2 + ... , (16)
corrente eficaz:
tensao eficaz:
V =/V,2 + V
2
2+ .u,
Seja:
va(t) =fi vt senwt + fiv2 sen(2wt + À2 )+
+ ..r2 v) sen (3wt+ ÀJ + "0
1
a
(t) = fi I, sen (wt - 4>t) +
+ ff 12 sen (2wt + À2 - 4>2) +
+ ..(21) sen (3wt+ À) - 4>~ + 0'0
(12)
(13)
potência aparente:
S =VI.
Para a definição da potência reativa, Emanuel (1988) sugere:
IJ.
0= VtI, sen4>t + V212sen4>2 + "0 (17)
ou
O l;etraedro de potência, neste caso, fica também estabelecido
por:
S2 = p2 + 0 2 + H2 , (18)
2.4.1. Decomposição da Corrente em Parte Senoidal e Parte
Cossenoidal
Para estes casos, Emanuel (1988) sugere a decomposição da cor-
rente em uma parte senoidal e outra cossenoidal, ou seja:
onde,
12V1 senwt
J2V2 sen(2wt+ À2)
fi V3 sen(3wt+).3 )
i
I I
I I... ----1
I •
I •
I •I
2 2 2 2 .
onde H =S - P - Q é um termo comphcado em função de sen ;,
ecos 4>j sem significado físico aparente.
A compensação da parcela O poderia ser conseguida, caso a
fonte de alimentação fosse composta de fontes harmónicas em série,
através da colocação de capacitores ou indutores em paralelo com as
fontes, conforme sugere a Figura 4. Como esta nao é um~ situação
real, a metodologia sugerida fica apenas no nível teórico e serve para
o entendimento do significado das parcelas 0i (i = 1,2, 3, ... ).
C
A
R
G
A
Figura 4. Compensação da potência reativa no caso de fonte de tensão com componentes harmônicos.
2S6 SBA: Controle & Automação
2.4.2. Decomposição da Corrente em Partes em Fase com a
Tensão e Parte Ortogonal à Tensão (27)
Nota-se que com esta definição O ~ o.
O tetraedro de potência fica estabelecido pela introdução do
termo R:
Ii =S2 _ p2 _ 0 2. (24)
3. OS NOVOS CONCEITOS DE POmNCIA ATlVA E
REATIVA
As análises apresentadas na seção anterior levam c1aramebte ao
entendimento da existência de um tetraedro de potências e que as
possfveis formas de se corrigir o fator de potência são diferentes
quando existem harmÓnicos ou nao. As análises apresentadas são
válidas somente para o regime permanente, o que atualmente nllo
tem muito sentido, uma vez que na maioria das indl1striasas cargas
funcionam de forma muito dinâmica, sendo o conteúdo harmónico
variável no tempo. .
Por este motivo, Akagi et aI. (1983, 1984) apresentaram uma
teoria geral de potência ativa e reativa, que todavia ainda .nllo ~tá
perfeitamente entendida e difundida entre·os engenheiros de sis-
temas de potência.
No item seguinte será apresentada esta teoria generalizada e, a
partir daí, pretende.se discutir e explicar melhor o significado de
cada termo defmido.
Sabe-se que a potência instantânea de um sistema trifásico é dada
por:
3.1. Potência Ativa e Reativa Generalizada
Figura 5. Cone de potência: P, S e o ângulo (tIJ) entre
P e S tem sempre o mesmo valor.
Outras relações seriam obtidas caso a carga fosse constituída por
elementos em série.
2.4.3. Cone de Potências
As decomposições sugeridas nos ítens 2.4.1. e 2.4.2. levam a
tetraedros de potência distintos. As arestas Q e H de cada
decomposição são totalmente diferentes. E.xistem, na verdade,
inúmeras formas de se definir O e H. No entanto, P, S e o êngulo
(t/» entre P e S são sempre os mesmos, independente de como sao
escolhidos Q e H. Desta forma, como mostra a Figura 5, tomando«
o eixo P como referência e dependendo da escolbade Q e H, a
ponta do vetar S estará for~samente sobre um círculo, ebegando«
assim a um cone de potências.
É importante lembrar que uma escolha arbitrária de Q e H leva a
definições sem significado tIsico e alguns autores sugerem definiç6e&
de sua preferência (e.g. Emanuel (1988».
(26)
(25)
(23)
(22)
(21)
(20)
(19)
2 2 2 2
= [11 sen t/>1 + 12 sen t/>2 + ... + (11 cos t/>1 -
22m
-GV1) + (I2cost/>2-GV2) + ...] =
0
2
2
=[T + (11 COSt/>I- GVt ) +
2 m
+ (l2COStP2-GV2) + ...]
Neste caso,
R2 =V (I 2+ I 2) _ G2 V4 _ 0 2
p q ,
P =p(t) = v (t) (ip (t) + iq (t» =
= v(t)ip(t) = G(V12+V22+ V32 + ...) =
=GV=VI ,p
e G é a condutância da carga.
As seguintes relações são verdadeiras:
onde I é o valor eficaz de i . Mas,
q q
I
q
onde 1 é o valor eficaz de i
p p
Aqui, Emanuel (1988) sugere a seguinte definição para potência
reativa:
~ 22m
Q =V [(lt sen tP t ) + (12 sen tP2) + ...]
ip(t) =G [fiVt senrot +
+ fi V2sen (2wt + À.2) + ...],
iq(t) = ia(t) - ip(t) = ic(t) + (is(t) - ip(t» =
= fil t sen tP t coswt + fiI2 sentP2 cos2wt + ...
+ ..ri: (11 COStP1 - GV t ) senrot +
+ fi(12 eostP2 - GV2) ~n (2wt +À.2) + ... ,
i (t) = 1 (t) + i (t) ,
a p q
onde:
Como a potência reativa Q definida em (17) pode no total ser
nula, negativa ou positiva, dependendo de tPi ,Emanuel (1988)
sugere uma outra decomposição da corrente. Ou seja, sugere a
decomposição da corrente em partes em fase com a tensão e parte
ortogonal à mesma.
Admite-se inicialinente que a carga é constituída por uma
resistência em paralelo com uma indutância ou capacitância, e que
seus valores nao dependem da freqUência. Chamando-se i a COr-
p
rente que circula na resistência e i a que circula no elemento in-
q
dutivo/capacitivo, tem-se:
SBA: Controle & Automação 257
onde foram definidas as seguintes componentes de corrente:
Va
iap = 2 2 p, (33)
v a +vf3
p(t) =vaia + vbib + vA =vaia + vf3if3 + voio
=Pa + Pb + Pc =Pa + Pf3 + Po ,
onde:
v 1/ff 1/V2 1/Y2o
va = ,; 2/3 -1/2 -1/2
vf3 O "3/2 -,; 3/2
v 1r/"2 1 Oa
v
b
=,; 2/3 1/V2 -la V3ii
v 11V2 -1/2 -,; 3/2c
(28)
ia = -VtJ qva 2 2 ,. q
v a +vf3
vb
if3p = vtJ Pv (29) 2 2 ,
c v a +vf3
v
if3q =
va qo 2 2
Va
v a +vf3
(30)
Então, para as potências nas fases a e f3, tem-se:
vf3
(34)
(35)
(36)
Pa Vaia vaiap vaiaq
= = +
Pf3 vf3if3 vf3if3p vf3 Y3q
Pap Paq
~
= + (37)
Pf3p Pf3q
onde fQram definidas as seguintes componentes de potência:
RelaÇÕeS idênticas valem para as correntes.
Esta decomposição em componentes (a, f3, O) deve ser entendida
como uma mudança de variáveis, não estando relacionada com a
transformada de Park ou componentes simétricas. A conveniência
desta mudança de variáveis sobressai nos casos freqUentes em queva + vb + Vc = O ou ia + ~ + ic = O. Nestas situações, a variável
v ou i vale zero e, portanto, duas componentes (a, f3) são sufi-
o o
cientes para representar o sistema.
Akagi et aI. (1983, 1984), sugerem a definição de uma variável q
dada por:
~
- q(t) = va if3 - vf3ia .
A idéia básica desta definição é obter o produto da tensão pela
corrente adiantada de 90°. Note que a parcela 2 da Eq. (3) é obtiQa
pelo produto da tensão v
a
pela parte da corrente em coswt.
Portanto, quandovo = O ou io = O:
P
=
2
V a
--2-~-2--P ,
v a +vf3
(38)
(39)
q
o que nos permite calcular as correntes nas fases a e f3 em função de
peq:
p, (40)
p
ou ainda, separando as parcelas em função de p e q, tem-se:
1
=-2----2-
Va + vf3
1
=
2 2
v a +Vf3
q
p
O
+
(31)
va VQ
Pf3q = vf3i f3q = 2 2f:!. q .
v a + v f3
É fácil verificar que com Po = O, Pvale:
P = Pa + Pf3 =Pap + Paq + P{:Jp + P{:Jq =
=Pap + P{:Jp ,
porque de (38) e (40) tem-se que:
O=Paq + P{:Jq
(41)
(42)
(43)
+
O
q
~
}=
(32)
Estas relações sugerem a seguinte nomenclatura:
Pap =potência ativa instantânea no eixo a,
P{:Jp = potência ativa instantânea no eixo {:J,
Paq = potência reativa instantânea no eixo a,
258 SBA: Controle & Automação
I Pp, =potência reativa instantanea no eixo (J.
q(t) =potência imaginária instantânea,
p(t) =potência real instantânea.
Nota-se que ~tas grandezas sao instantâneas e, assim, valem
tanto para transitórios quanto para regimes estacionários, contendo
harmónicos ou não.
O conceito usual de potência reativa corresponde a uma parcela
da potência instantânea cujo valor médio é nulo (ver item 2.1.)
Agora, o conceito de potência reativa introduzido corresponde a par-
celas da potência instantânea de um circuito trifásico cuja soma
Instantânea é zero (Paq + Pf3q = O).
Para permitir uma conexão com as conhecidas potência ativa
média (P) e potência reativa (O), será analisado o caso de uma carga
linear alimentada por uma fonte senoidal.
3.2. Particularização para Fonte Senoidal de Tensão em
Regime Estacionário com Cargas Uneares
Seja:
v =V2 V senwt,
a
Esta nova conceituação de potência leva a resultados idênticos
aos tradicionais e válidos para sistemas com alimentação senoidal e
cargas lineares.
Nota-se que:
2- Pa = V I cosif>(l- cos2wt) - V I sentP sen2wt,
3
2
- pp = V I costP(1 + cos2wt) + V I sentP sen2wt,·
3 .
que é equivalente à expressão (3) obtida no item 2.1. para sistemas
monofásicos.
Em seguida será feita a mesma conexão para o caso de uma fonte
senoidal alimentando uma carga não-linear.
3.3. Particularização para Fonte Senoidal de Tensão em
Regime Estacionário com Cargas com Hannônicos de
Corrente Múltiplos de w
Seja um sistema trifásico com as tel1SOes conforme definidas em
(44) e com correntes dadas por:
Va =V3 V senwt,
vp =V3 V coswt,
V =Oo
la =..f3 I sen(wl - tI»,
1f3 =V3 I COS(Wl - tI»,
1=0
o
(44) I =V2 11sen(wJ. - tP1) + fi 12sen(2wt - 4>2) +a
+fi 13sen(3wt - tP~ + ...
(45) Ib =fi 11sen(wt + 120° - 4>1) +
+ fi 12sen[2(wt + 120°) - tP2] + ...
i =fl 11sen(wt -120° - 4>1) +c
(46) + fl 12sen[2(wt - 120°) - 4>2] + ... (50)
Logo,
v =fi
b
v =V2
(
I =V2
a
I =fi
b
I =fi
c
Logo:
V sen(wt + 120°),
V sen(wt - 120°).
I sen(Wl - 4»,
I sen(wl + 120° - tP),
I sen(wt - lWO - 4».
(47)
00
i - ~a- ~
n=1
1
-- I sen(nwt - tP ) [1- cos(n1200) ] ,V3 n n (51)
Portanto:
(48)
(49)
para n = 3 k a contribuição é nula,
para n ;t: 3 k a contribuição é positiva.
00
if3 = L 2 Incos(nwt -tI>n) sen(nl200),
n=1
(52)
Mais ainda:
Pa =Pap + Paq ,
Pap =
2
V a 2
-2---2- P = + 3 V I cos tP sen wt,
v a + vp
para n =3 k a contribuição é nula,
para n = (3k - 1) a contribuição é negatiVa,
para n = (3k + 1) a contribuição é positiva.
1
i =--(i +ib+i)=
o V3 a c
00
= L Y6 13k sen (3kwt - ti>3k)·
k=1
(53)
SBA: Controle & Automação 259
Nota-se que os harmOnicos múÍtiplos de 3 só aparecem em "i ".o Obs.: Extensão da nomenclatura
p =vaia + vf3Y3 + voio = Pap +Pf3p
=3VI1 eo&:/J1 - 3VI2 cos(3wt -4J2 ) +
+ 3VI4.cos(3wt -;4) - 3VIscos(6wt-;s) +
+ 3VI7cos(6wt -;7 )
- 3VIs cos(9cot - ; s)+ 3 VI10 cos(9wt - ; 10 ) -
- 3VI11 cos(l2wt -;11) + ... (54)
Baseando-se nas Eqs. (33) a (36) e considerando--se as
definições apresentadas nas Eqs. (56) e (57), fica evidente o
que representam as variáveis iap , iacj , if3p , i{3;; ,que se·
rão empregadas mais adiante. Similarmente, com baSe nas
Equações (38) a (41), podem-se introduzir as novasquan-
tidades Pap ' Paq ' Pf3p , Pf3q .
4. COMPENSAÇÃO DA POmNCIA REATIVA (Q) E
HARMÓNICA (H)
q =va if3 - v/JÍa
=3VI1sen;l - 3VI2sen(3wt -;2)-
- 3VI4sen(3wt -;4) - 3VIssen(6wt -;5)-
- 3VI7sen(6wt -;7) - 3VIs sen(9aJt -;s)-
- 3VI10 sen(9wt - ; 10 )-
- 3VI11 sen(l2wt -;11) + ..,
P =vi =0.o o o
(55)
4.1. Conceitos Básicos
Inicialmente será analisada a compensação das parcelas da potência
instantâneap(t) que dependem de q, isto é Paq e Pf3q (vide Eqs.
39,41 e 42). A Figura 7 ilustra o fluxo de potência nas fases a ef3.
Para. compensar as parcelas reativas p e PIR basta introduziraq ,.,q
fontes de corrente iac e if3c ,conforme indicado na Figura 7. Estas
fontes devem ser tais que:
Observando-se estas equaÇÕeS, pode-se escrever:
iac = iaq ,
ipc = ipq ,
(61)
(62)
(ü) a eliminação de H só épossfvel através de filtros, uma vez
que \1m único capacitar ou indutor não é capaz de for-
necer/absorver correntes em freqüências diferentes de aJ.
Na seção 4 será explicado colrio H e Q podem ser compensados.
onde Pe Õ são os valores eficazes de ii e q.
As relações acima podem ser resumidas no desenho da Figura 6.
Aqui a parcela devido aos harmOnicos foi decompostá nas partes
ortogonais P e Õ. É fundamental notar que estes resultados são
idênticos aos do item 2.2., só que o significado físico está mais claro,
principalmente naquilo que diz respeito a H: Com esta definição da
"potência harmónica" H observa-se que:
onde"-" indica valor médio e "-" valor oscilante.
(64)
(63)
2Va
Pap= 2 2 P=vaiap ,
v a + v f3
2
Vf3 -
Ppp= 2 2 P = vp ipp
v a +v f3
com iaq e if3q dadas pelas Eqs. (34) e (36). Com isto, a fonte de cor-
rente conectada em paralelo com a tensão v fornecerá a potênciaa .
Paq = .Vaiaq (Eq. 39) e a fonte conectada à tensão vf3 fornecerá
Pf3q = vpipq (Eq. 41). Uma vez que a relaÇão (43) nos ensina
que, em todos os instantes de tempo, Paq + Pf3q = O ,não é
necessário elementoannazenador de energia para trocar esta par-
cela' de potência com a carga. A ,compensação é feita instantanea-
mente através da troca de potência entre as fases. A realização
destas fontes de corrente é possível através de filtros ativos de
potência, constituídos basicamente de inversores de tensão (VSI) ou
corrente (CS!) devidamente controlados para gerar iac e if3c
(Akagi et at, 1984).
Resta agora analisar as parcelas de potência instantãnea que de-
pendem de p. Conforme apresentado na Equação (56), p pode ser
decomposto nas partes pe j). Pela. Eq. (58), P corresponde justa-
mente ao valor da potência que é transformada em trabalho útil na
carga e, assim, não tem sentido falar em sua compensação. Por outro
lado, ii tem valor médio zero e, portanto, pode ser compensado sem
alterar o ~ornecimento de potência para a carga. A partir das Eqs.
(38) e (40) pode-se·escrever:
(60)
(58)
(56)
(57)
• (59)
o seu valor médio também vale zero;(i)
ii e qtem valor médio zero,
6-
p=p+p,
6- _
q=q+q,
P=P3fj>'
q= Q3fj> ,
Verifica-se que:
260 SBA: Controle & Automação
1-
H 52 : p2+Q2 +H
2
H2 : 'P2+Q2
Figura 6. Tetraedro de potências extendido.
Pdp+ Pdp+ PC!q
•
I
,J.,
I t '
" I
"'r~
lide
I
,1., ~tt }PJ3P+PJ3P+P~
'T~ I"''t
:1f3e
C
A
R
G
A
Figura 7. Esquema de compensação de Q e H.
Estas equações mostram claramente que nao é possível compen-
sar tais parcelas de potência através da troca de potências entre
fases, como ocorre com Paq e Pf3q . Somente através do armaze-
namento/fornecimento de energia, pode-se suprir as solicitações da
carga no que se refere a p, sem sobrecarregar a fonte de alimen-
tação. O elemento armazenador recebe a energia nos ciclos negati-vos de pe a devolve nos ciclos positivos de p.. Esta compensação ..
pode ser conseguida também por filtros ativos de potência
constituídos de inversores (VSI ou CSI) controlados para forne-
cer iap e if3p' dados pelas Eqs. (63) e (64). No entanto, sao ne-
cessários aqui elementos capazes de armazenar o valor máximo da
energia trocada com a carga Mohan e Wright (1988).
4.2. Discussão Sobre a Compensação de Q e H Utilizando
FUiros Ativos de Potência
A compensação aqui apresentada difere da usualmente
empregada. No procedimento convencional, compensa-se Q através
de elementos armazenadores de energia e o projeto é feito tratando
cada fase individualmente. A parcela H é compensada usando filtros
com capacitores e indutores,.ou seja, novamente elementos armaze-
nadores de energia. Na nova metodologia, parte da parcela H
(aquela que depende de êi) e a parcela Q são compensadas por
filtros ativos de potência (Akagiet aL, 1984) que não necessitam de
componentes armazenadores de energia. A outra parte da parcela H
(aquela que depende de p) exige capacitores ou indutores para com-
pensação.
Quando grandes valores de potência estão em jogo, os elementos
armazenadores de energia acima mencionados são caros. Nestes
casos e com o barateamento dos componentes de eletrOnica de
potência, o emprego da nova filosofia de compensação de potências
reativas e harmOnicas torna-se atraente (Mohan e Wright, 1988).
s. EXEMPLO
.Seja um sistema trifásico cujas tensõés são dadas pela Eq. (44) e
CUjas correntes estão representadas apenas pelos primeiros e segun-
dos harmOnicos da Eq. (50).
A Eq. (46) fornece os valores de va ' vf3' Vo .
Das Eqs. (51), (52), (53) obtem-se:
ia = ..f3 11sen(rot -</>1) + V3 12sen(2cot -</>2)'
if3 = V3 11cos(rot - </>1) - fi 12sen(2cot - </>2)'
i =0.
o
SBA: C::Ontro1e & Automação 261
la =Iap + iaq =iap + iap + iaq + iaci
com as conhecidas potências P, Q e H. A compensação da potência
reativa instantânea (Paq ' P{3q) pode ser feita através de um filtro
ativo que direcione convenientemente as potências em cada fase,
uma vez que Paq = P{3q. As parcelas de potência harmOnica defini-
das por ii também podem ser compensadas, pois não afetam o valor
médio· da potência. No entanto, a compensação neste caso exige
elementos armazenadores de energia.
A nova metodologia de compensação de potências reativa e
harmOnica torna-se economicamente interessante na medida em que
os valores de potência em jogo são elevados e o preço dos dis-
positivos semi-condutores de potência decrescem. Além disso, a
compensação proposta é instantânea valendo também em regimes
transitórios.
A correção de H utilizando filtros ativos de potência será
inevitável em sistemas onde as freqüências harmónicas forem
variáveis no tempo. Isto acontece nos casos de sistemas de corrente
contínua com modulação de potência ou quando cicloconversores
são utilizados(Gyugyi e Pelly, 1976; Alcagi et aI., 1986).
v'3
iR = -_. cos wt.p ,
fJP 3 V
V3
iR =-- sen wt.q
fJq 3 V
p=-3 V 12cos (3cot - ;2) ,
q =3 V 11 sen ; 1 '
q=- 3 V 12sen(3 wt - ;2)'
Das Eqs. (33) a (34) vem:
v'3
la =- senwt.p.
p 3 V
-V3
la =-- cos wt.q,
p 3V
Das Eqs. (54) e (55) segue:
p =3 V 11 COS;1 - 3 V 12cos(3cot - ;2)'
q =3 V 11 sen;1 - 3 V 12sen(3cot - ;2)·
Ponanto:
7. REFERtNCIAS
laq = - v'3" 11 sen ; 1coswt,
AKAGI, H.; KANAGAWA, Y. e NABAE, A (1983), Generalized
Theory of the Instantaneous Reactive Power in Three . Phase
Circuits - Int. Conf..Power Electronics, Tokyo.
AKAGI, H.; KANAGAWA, Y. e NABAE, A (1984), Instan-
taoeous Reactive Power Compensator Comprising Switching
Devices Without Energy Storage Compooents, IEEE Trans. on
Inçl. Applíc. Vol. IA-20, 003, MayjJune.
lf3q =.f3 11 cosrp1cos W t,
lf3p =- V3 12cos wt cos(3cot - ;2) =
-..[3
- _.- 12(cos(2wt - ;2) + cos(4wt - <'P2)] ,
2
lf3q = Y3 11 sen <'P1sen wt ,
if3q =-fi12 sen wt sen(3wt - <'P2) =
AKAGI, H.; NABAE, A e ATOH, S. (1986), Control Strategy of
Active Power Filter Using Multiple Voltage - Source PWM Con-
verters - IEEE Trans. on IA, Vol. IA-22, May-June.
BYSTRON, K. (1979), Leistungselektronik, Band 2 - Hanser Ver-
lag.
CALDEIRA, P.P.A e WATANABE, E.H. (1988), Power Factor
Compensatioo of Rectifiers Utilized in Oil Drilling Rigs, IEEE
Traos. 00 IA - March/April. .
ELGERD, 0.1. (1976), Introdução à Teoria de Sistema de Energia
Elétrica - McGraw-Hill do Brasil.
EMANUEL AE. (1988), Harmonic Power Flow Effec on Energy
. and Power Meters Accuracy - Brasilcon'88 Harmónicos em Sis-
temas Elétricos - Dezembro.
Na Figura 8 estão apresentados os gráficos de algumas destas
funções.
É interessante observar que Paq =- P{3q' Paq =- Ppq . Além
disso, Pap e P[3P temvalor médio zero, porém seus valores instan-
tâneos são diferentes em módulo. Já Pap e P{Jp tem valor médio
diferente de zero e representam a parcela de potência efetivamente
consumida pela carga.
6. CONCLUSÕES
FURUHASHI, T.; OKUMA, S. e UCHIKAWA, Y. (1990), A
Study on the Theory of Instantaneous Reactive Power, IEEE
Trans. on Ind. Electronics, Vol. 37, N°1, Fev.
GYUGYI, L. e PELLY, B.R. (1976), Static Frequency Changer
John Wiley.
MOHAN, N. e WRIGHT, S.E. (1988), Active Filters for High-
VOI-tage Direct - Current (HVDC) Converter Terminais - EPRI
Research Project 2115·15 Final Report, University of Minnesota,
August.
.Este trabalho introduziu novos conceitos de potência ativa e
reativa; Através de uma série de exemplos mostrou-sea conexão
SLONIN, M.A e VAN WYK, J.D. (1988), Power Components in a
System with Sinusoidal and Nonsinusoidal Voltages and/or Cur-
rents- Proc. IEE, Vol. 135, Part B, nOZ, March.
262 SBA: Controle & Automação
1
0.5
-0.5
O
0.5
-0.5
O
0.5
i~t)
-0.5
O
t
t
t
t
T
T
T
T
1
0.5
0.5
lpq( t)
-0.5
O
<'.5
lpqft)
-0.5
O
t
t
t
T
T
T
T
Figura 8. Decomposição das correntes em parcelas dependentes de ii ,q, ti para o exemplo do item 5.
V = 1,0 ; 11 = 1/V3 ; 12 = 1/{2-13); 01 =300 ; O2 =00 .
Nomenclatura
(J) freqUência da rede.
p(t) potência instantânea, ~tência real instantânea.
q(t) potência imaginária instantânea.
Pm{t) potência instantânea na fase m, me {a,b,c, a,p,o}.
Pap(t) potência ativa instantânea na fase a.
P{Jp(t) potência ativa instantânea na fase (J.
Paq{t) potência reativa instantânea na fase a.
P{Jq{t) potência reativa instantânea na fase (J.
p valor médio de p{t).
q valor médio de q{t).
p(t) parcela oscilante de p(t), onde p(t) = ptt) + p(t).
q(t) parcela oscilante de q(t), onde q(t) = «<:t) + q(t).
P potência ativa média, P = PCt).
O potência reativa, 0= q(t).
P3f/>
03f/>
vm(t)
im(t)
potência ativa média trifásica.
potência reativa trifásica.
tensao instantânea na fase m, me {a,b,c, a,/J,o}.
corrente instantânea na fase m, m E {a,b,c~ a,/J,o}.
valor eficaz da corrente i(t), I = Y (lm J
O
T
j2 dt,
onde T é o período de i(t).
valor eficaz do k-ésimo harmónico de corrente.
valor eficaz da tensao v(t).
valor eficaz do k-ésimo harmónico de teDsao.
corrente com termos em seno (senkwt).
corrente com termos em cosseno (~kwt).
corrente em fase com a tensao.
corrente em quadratura com a tensão.
valor eficaz de i (t).
p
valor eficaz de i (t).
q
SBA: Controle & Automaçio 263