2a semana - Gabarito

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2a semana-Gabarito
(1) (5,0 pontos) Demonstre o Teorema de Arquimedes, isto é: "A força de empuxo sobre um corpo sólido
mergulhado em um �uido é igual ao peso do �uido deslocado pelo corpo".
Solução:
A força total sobre um corpo de volume W mergulhado em um �uido estático de área @W é dada por
~F = �
Z
@W
pd~s = �g
Z
@W
zd~s (1)
Multiplicando escalarmente por êi vem;
F i = ~F � êi = �g
Z
@W
(êiz) � d~s (2)
Aplicando o teorema da divergência e a equação, vem:
F i = �g
Z
W
~r � (êiz)dw = �gêi � k̂
Z
W
dw
ou seja
F z = E = �wg
(2) (5,0 pontos) Mostre que (conforme demonstrado primeiramente por jNewton) a superfície de um
�uido em um balde girante é um parabolóide de revolução.
Solução: A equação de Euler é dada por:
[(~v � ~r)~v + @~v
@t
] = �1
�
~rp+ ~g
para o balde estático, temos ~v = 0 e portanto, temos:
~rp = �~g
Para o balde girante com velocidade angular !, temos um termo adicional de densidade de "força cen-
trífuga":
~fc(~r) = �!
2~r
de modo, que no equilíbrio, temos:
�1
�
~rp� gk̂ + !2rr̂ = 0
Por simetria, sabemos que p = p(r; z), de modo que:
@p
@r
r̂ +
@p
@z
k̂ = �
�
!2rr̂ � gk̂
�
que nos dá: �
@p
@r = �!
2r
@p
@z = ��g
=) p(r; z) = 1
2
�!2r2 + p0 � �gz
A pressão na equação acima se anula na superfície do �uido. Assim, temos:
1
2
�!2r2 + p0 � �gz = 0
que é a equação de um parabolóide.
Notem, que utilizamos acima, o gradiente em coordenadas cilíndricas:
~rf = @f
@r
r̂ +
1
r
@f
@'
'̂+
@f
@z
k̂
1