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Negativos 
Série Mátema 
Objetivos 
1. Introduzir o conceito dos números 
negativos; 
2. Mostrar as diferentes formas de 
interpretação e aceitação dos números 
negativos ao longo da história; 
3. Explicar porque a multiplicação de dois 
números negativos resulta em um número 
positivo. 
Negativos 
 
Série 
Mátema 
Conteúdos 
História da matemática. 
Duração 
Aprox. 10 minutos. 
Objetivos 
1. Introduzir o conceito dos 
números negativos; 
2. Mostrar as diferentes formas 
de interpretação e aceitação 
dos números negativos ao 
longo da história; 
3. Explicar porque a 
multiplicação de dois 
números negativos resulta em 
um número positivo. 
 
Sinopse 
Nesse programa, a professora 
apresenta ao Joãozinho e à Sofia 
o conceito dos números 
negativos. Ela comenta sobre as 
diferentes maneiras como os 
matemáticos ao longo da história 
trabalharam o conceito dos 
números negativos. No programa 
ainda é apresentado um 
procedimento de construção do 
conjunto dos números inteiros. 
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quis perguntar; 
 
ÁUDIO 
Negativos I 3/11 
Introdução 
Sobre a série 
A série Mátema levanta aspectos históricos dos fundamentos da 
matemática. O contexto da ficção tem o objetivo de tornar o programa 
interessante para o ensino médio e para adolescentes, uma vez que 
faz uso do estereótipo do Joãozinho, da Sofia e da professora. Em 
geral, os assuntos são mais elaborados do que os que são vistos nos 
programas de ensino médio. No entanto, o programa traz ricas 
informações e tem o devido cuidado com as definições e conclusões 
matemáticas. 
Sobre o programa 
Aqui reproduzimos parte de uma versão do roteiro original do prof. 
Dicesar Fernandes que deu origem ao programa. 
Primeira Parte: 
Oi, gente, estamos novamente com vocês, com o Joãozinho, aquele 
menino terrível, Sofia aquela aluna aplicada e nossa gentil e simpática 
professora para contar mais uma das muitas histórias da matemática. 
Hoje vamos conversar sobre um conceito que não teve uma vida 
fácil e ainda dá dor de cabeça para muita gente. O título da nossa 
história de hoje é “MENOS QUE O NADA: NEGATIVO” 
Joãozinho: Professora, sabia que meu pai não acredita que -1 vezes 
-1 dá +1? 
Professora: Não me surpreende, pois é bastante comum. Figuras 
importantes da história da matemática também não acreditavam que -
1 vezes -1 dá +1. 
 
ÁUDIO 
Negativos I 4/11 
Girolamo Cardano, um matemático excêntrico e criativo, no seu 
livro Arte Maior, publicada em 1570, demonstra que menos por menos 
da menos e não mais, os positivos e negativos são domínios 
separados e as operações entre mais e mais deve ficar no domínio do 
mais e as operações entre os negativos no domínio dos negativos. 
Outros afirmavam que, menos em menos dá mais; mas comentam: isto 
é estranho e se da apenas por acidente. 
Professora: Tem pessoas que aceitam as regras dos sinais e vão em 
frente fazendo contas, sem esquentar a cabeça. Outras pessoas são 
diferentes. Ficam se perguntando o por quê. Se não obtém uma 
resposta, não acreditam. Talvez o principal problema seja conceitual: o 
que é um número negativo? 
Sofia: Ora, para mim, menos um é aquele número que somado com 
um dá zero! 
Professora: Veja Sofia, o que estamos nos perguntando é 
justamente o que é menos um. Observe a frase: número primo é 
aquele número natural, diferente de um, que só é divisível pela 
unidade e por si mesmo. É uma frase gramaticalmente correta. O 
adjetivo primo está restringindo o conjunto dos números conhecidos. 
No caso do menos um é diferente. Você está aumentando o conjunto. 
Mas aumentando com objetos que você não conhece! Você tem que 
criar novos objetos que resolvam nosso problema. 
Sofia: Criar como? Não tenho idéia de como inventar o menos um! 
Professora: Isaac Newton também não tinha. Falava de quantidades 
afirmativas ou positivas aquela que são maiores que nada e quantidades 
negativas aquelas que são menores que nada. Operava com essas 
quantidades sem preconceito. Mas, não chamava as quantidades negativas 
de números. Aliás, Newton também não deixou claro o que entendia por 
quantidade. 
Sofia: Não? 
Professora: Não! E Leonard Euler também concordava com Newton. 
Em seu livro Elementos de Álgebra, publicado em 1770, escreveu: os 
 
ÁUDIO 
Negativos I 5/11 
números negativos podem ser considerados como débitos, pois 
números positivos representam haveres reais. Podemos dizer então 
que os números negativos são menores que nada. Euler explicou 
também que -a vezes -b deve ser ab, porque é oposto de a vezes –b. 
Na linha de Euler seguiram quase todos os matemáticos alemães. 
Sofia: Só falta Euler explicar por que -a vezes -b é o oposto de a 
vezes -b! Que bom que os alemães não tinham problemas com a regra 
dos sinais. Mas, Professora, e no Brasil como é que era? 
Professora: Não era! O Brasil passou a ser somente com a vinda da 
família real. Livros foram traduzidos, escolas foram abertas. Mas os 
portugueses tinham uma profunda influência francesa. De modos que 
o importante é saber como os franceses concebiam os números 
negativos. 
Sofia: E os franceses eram como os alemães? 
Professora: Não, na França a situação foi completamente diferente. 
Não só as regras dos sinais, mas também o próprio conceito de 
número negativo era questionado. 
 Jean d’Alembert, matemático famoso e enciclopedista, afirmou em 
1750 que: Dizer que uma quantidade negativa está abaixo do nada, é 
dizer uma coisa inconcebível. Não existe, portanto, realmente e 
absolutamente quantidades negativas isoladas: -3 tomado 
abstratamente não configura nenhuma idéia no espírito humano. 
Outros franceses seguiram d’Alembert. Por exemplo. Adrien Lacroix, 
mais conhecido como escritor de livros de matemática, nas primeiras 
edições de seu livro de álgebra, expõe a teoria das quantidades 
negativas, mas a partir da edição de 1808, não faz a menor menção às 
quantidades negativas. Lembre que 1808 foi o ano da vinda da família 
real ao Brasil. Os livros de Lacroix foram muito usados no Brasil, até 
pelo menos o início do século 20. Os livros de Lacroix são figurinha 
fácil nas livrarias que vendem livros usados, os sebos. O livro de Euler 
também foi publicado no Brasil. Mas foi menos difundido e é raro 
encontrar um exemplar. 
 
ÁUDIO 
Negativos I 6/11 
Então, como podem notar, algumas vezes os matemáticos precisam 
de muita discussão e diferentes frentes de estudos para chegar a uma 
conclusão sobre um novo conceito matemático. Reflita um pouco a 
esse respeito. 
 
Segunda Parte: 
Sofia: Nossa que confusão. Pensei que a matemática fosse igual em 
todos os países. 
Professora: Sim a matemática é igual em todos os países, mas 
alguns países ou algumas pessoas têm dificuldades em aceitar certas 
novidades matemáticas. Os alemães aceitavam tranquilamente as 
quantidades negativas, enquanto que os franceses tiveram mais 
dificuldade em absorver. Portanto, não é nenhuma surpresa ouvir 
alguém dizer que não acredita que -1 vezes -1 dá mais um. 
Joãozinho: Eu acredito que -1 vezes -1 dá +1, senão a senhora me 
pega na prova. Mas o porquê, não sei! 
Professora: Se você aceitar a existência dos números inteiros, como 
uma extensão dos números naturais, e que nela continuam valendo as 
propriedades habituais da soma e da multiplicação, é quase fácil 
mostrar as regras dos sinais. 
Sofia: Estou fazendo um esforço para entender essa idéia. Mas as 
coisas não estão muito claras para mim. 
Professora: É que você tem que construir os números inteiros com 
base nos número naturais e na noção de diferença de um número 
natural maior do que outro. 
Joãozinho: E alguém já fez isso? 
Professora: Sim, um matemático alemão deu a receita de como 
construí-los. Esse matemático é uma figura das mais interessantes da 
história da matemática. Vejam! Ele nasceu na mesma cidade que 
 
ÁUDIO 
Negativos I 7/11 
Gauss, estudou na mesma escola que Gauss, foi aluno de Gauss na 
universidade, e foi orientadopor Gauss para escrever seu primeiro 
trabalho. Seu nome era Richard Dedekind. Uma figura simpática e 
prestativa. O trabalho mais importante de Dedekind foi esclarecer as 
relações entre a continuidade e os números irracionais. Dedekind 
colaborou também para esclarecer o conceito de infinito. 
Joãozinho: Professora, parece que a senhora está enrolando. Não 
quero saber se esse Dedekind era bonzinho e era o preferido de 
Gauss. Quero saber por que -1 vezes -1 dá +1. 
Professora: Bom, para começo de conversa, você tem que aceitar 
que o subconjunto dos números inteiros positivos não coincide com os 
números naturais. O que existe é uma correspondência 1 a 1 entre os 
dois conjuntos. Vou mostrar como se constrói os números inteiros, 
positivos e negativos. Você vai se assustar um pouco, mas não 
desmaie, seja homem. 
Joãozinho: Êêêê, que história é essa, professora? 
Professora: Bom a emoção vai ser forte. Um número inteiro é um 
conjunto de pares de números naturais. Imagine! Um número ser um 
conjunto! Por exemplo, o número um inteiro é o conjunto de todos os 
pares de números naturais cuja diferença é 1; este é o caso do par 
(2,1), do par (3,2), etc. a diferença é sempre 1. Da mesma maneira 
define-se o dois inteiro: o conjunto dos pares (3,1), (4,2), etc. a 
diferença é sempre 2. O conjunto de todos esses pares é denotado por 
Z+. O zero inteiro é o conjunto dos pares (n,n), ou seja a diferença é 
zero. Para a construção dos negativos basta tomar conjuntos, ao 
contrário dos inteiros positivos, de pares onde o primeiro natural do 
par é menor do que o segundo. Por exemplo, menos um inteiro é o 
conjunto dos pares do tipo (1,2), (2,3), etc. Denotamos o conjunto dos 
inteiros negativos de Z-. A união dos inteiros positivos, dos negativos 
e do zero é o conjunto dos números inteiros. 
Sofia: Eu me assustei, mas achei interessante. Agora, não tenho 
idéia como a gente faz contas com conjuntos. 
 
ÁUDIO 
Negativos I 8/11 
Professora: Introduzindo notações. Como os inteiros positivos estão 
em correspondência um a um com os naturais usamos o mesmo 
símbolo. Por exemplo, o mesmo 1 para os dois casos. Mas temos que 
ter em mente que representam objetos diferentes. Os negativos 
representamos colocando um menos na frente de um número natural. 
Sofia: Mas mesmo assim, ainda não entendi por que -1 vezes -1 dá 
+1. 
Professora: Nem poderia. Apenas construímos o sistema dos 
números inteiros de tal forma que uma parte dele está em 
correspondência com os números naturais. Agora, temos que 
introduzir as operações de soma e multiplicação. Essas operações 
devem ser introduzidas de modo que se fizermos contas com os 
inteiros positivos devemos ter os mesmos resultados fazendo as 
contas com os correspondentes números naturais. Além disso, devem 
permanecer as propriedades comutativa, associativa e distributiva. E 
isto é fundamental. Feito isso é fácil verificar o porquê de -1 vezes -1 é 
1. Mais do que isso, é possível mostrar que a regra dos sinais é uma 
consequência necessária. 
Joãozinho: Se eu entendi bem, meu pai vai continuar não 
acreditando na regra dos sinais e eu fazendo de conta que acredito. 
Professora: Veja Joãozinho: conhecer a construção dos números 
inteiros significa que uma etapa no aperfeiçoamento mental foi 
vencida. Para vencer essa etapa é preciso fazer um esforço 
considerável. De qualquer maneira, eu chamei a atenção para o 
ensinamento de Gauss: os números são uma livre criação do espírito 
humano. Os números são objetos matemáticos abstratos. Justamente, 
por isso podemos aplicar a tantos eventos do mundo físico. 
A professora deixou muito claro um ponto fundamental. Só 
podemos construir o desconhecido partindo do conhecido. Assim, ela 
assumiu como conhecido os números naturais e suas operações. A 
partir disso, construímos números inteiros. Conhecido os números 
inteiros podemos construir os números fracionários. É uma aventura 
verdadeiramente fascinante, apesar da cara feia do Joãozinho. 
 
ÁUDIO 
Negativos I 9/11 
 
Sugestões de atividades 
Antes da execução 
Recomenda-se ao professor antes da execução áudio que discuta com 
seus alunos sobre situações do dia a dia onde possam surgir 
quantidades negativas. Por exemplo, a temperatura em graus Celsius 
em um dia de muito frio, o saldo bancário negativo, etc. 
Depois da execução 
Após a execução do áudio, sugere-se ao professor explorar um pouco 
mais a solução para o problema do Joãozinho, provar que –1 vezes –1 
é igual a +1. 
 Um das formas de demonstrar essa propriedade é usar alguns 
axiomas dos números reais. Sendo yx, e z números reais, temos que: 
 1o axioma: a igualdade é reflexiva: xx = 
2o axioma: se yx = então zyzx +=+ 
3o axioma: a adição é associativa: zyxzyx ++=++ )()( 
 4o axioma: todo número tem seu simétrico: 0)( =−+ xx 
 5o axioma: elemento nulo: xx =+ 0 
 6o axioma: a adição é comutativa: xyyx +=+ 
 7o axioma: a igualdade é simétrica: yx = então xy = 
 
ÁUDIO 
Negativos I 10/11 
 8o axioma: propriedade distributiva: 
zxyxxzy
xzxyzyx
+=+
+=+
)(
)(
 
Como primeira conseqüência dos axiomas acima mostra-se que: 
yxxy )(−=− 
Pelo 8o axioma: yxxyxxy ))(()( −+=−+ 
Pelo 4o axioma: yyxxy )0()( =−+ 
O produto de qualquer real por zero resulta zero, 
0)( =−+ yxxy 
Portanto o termo yx)(− é o simétrico de xy− 
yxxy )(−=− 
Como uma segunda conseqüência tem-se: )( xx −−= 
Pelo 4o axioma tem-se: 0)( =−+ xx 
Pelo 6o axioma tem-se: 0)( =+− xx 
Tem-se então que x é o simétrico de )( x− 
 Podemos enfim, através das duas deduções feitas, provar que: 
xyyx =−− ))(( 
Pelo axioma da reflexividade temos que: ))(())(( yxyx −−=−− 
Conforme a primeira demonstração tem-se: ))(())(( yxyx −−=−− 
 )())(( xyyx −−=−− 
E finalmente temos que, pela segunda demonstração: xyyx =−− ))(( 
 
ÁUDIO 
Negativos I 11/11 
Particularizando este exemplo para o caso do Joãozinho tem-se que 
1=x e 1=y e portanto 1)1)(1( =−− . 
Sugestões de leitura 
Boyer, C. B., (1996), História da Matemática, Edgar Bluncher Ltda, São 
Paulo. 
Site recomendado 
Origem dos números negativos, 
 http://www.somatematica.com.br/negativos.php, ( 09/05/2011, 
9:30h ) 
 
Ficha técnica 
Autor William Martins Vicente 
Revisão Samuel Rocha de Oliveira 
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva 
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira 
Universidade Estadual de Campinas 
Reitor Fernando Ferreira Costa 
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca 
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Diretor Caio José Colletti Negreiros 
Vice-diretor Verónica Andrea González-López