4-ed-completa

Prévia do material em texto

v
. 
4
 -
 a
g
o
. 
2
0
1
5
 
ISSN 2316-9664 
 
Sumário 
 
Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos 
Fabiano Borges da Silva, Lívia T. Minami Borges 2 
 
Uma curiosa propriedade com inteiros positivos 
Fernando Neres de Oliveira 10 
 
Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J3 
Hércules de Araujo Feitosa, Gabriel Alexandre da Cruz, Ana Cláudia de Jesus Golzio 16 
 
Parábolas e hipérboles envolventes 
Calixto Garcia 30 
 
Transformação da equação de Euler em uma equação diferencial com coeficientes constantes 
Gustavo Jorge Pereira, Lívia Teresa Minami Borges 43 
 
O problema da pirâmide de base quadrada 
Jaime E. A. Rodriguez, Felipe D. C. Fidalgo 47 
 
Um Estudo Sobre Espaços Vetoriais Simpléticos
Fabiano Borges da Silva ∗
Ĺıvia T. Minami Borges †
Resumo
O presente artigo estuda de maneira detalhada espaços vetoriais que possuem
uma estrutura especial dada por uma forma bilinear simplética. A principal fi-
nalidade é descrever em detalhes a relação que existe entre as formas bilinea-
res simpléticas e as matrizes anti-simétricas invert́ıveis, fornecendo um material
acesśıvel para estudantes de graduação.
Palavras Chave: formas bilineares, espaços vetoriais simpléticos, matrizes anti-
simétricas.
Introdução
O objetivo deste artigo é divulgar espaços vetoriais simpléticos aos estudantes de
Álgebra Linear, afim de despertar o interesse pela área e propiciar um material que
poderá ser usado de apoio em estudos avançados de Geometria Simplética.
Espaços vetoriais simpléticos fazem parte de um contexto introdutório no estudo
da geometria das variedades simpléticas, as quais são caracterizadas pela existência
de uma 2-forma fechada e não-degenerada definida no espaço vetorial tangente da
variedade. Inicialmente, esta geometria era apenas uma ferramenta de suporte para
estudos de campos hamiltonianos em variedades. Porém, atualmente, é uma área
de pesquisa com diversas aplicações, como pode ser visto em [1] e [4].
Neste trabalho, procuramos demonstrar em detalhes os teoremas 2 ,8 e 9, que
são afirmações encontradas nos caṕıtulos iniciais de [1] e [4]. Quanto ao Teorema 2,
encontramos, em [2], apenas uma versão para matrizes simétricas e, por este motivo,
fizemos sua demonstração.
1 Formas bilineares e matrizes
Nesta seção, veremos que cada forma bilinear está associada a uma matriz e, em
particular, cada bilinear anti-simétrica está associada a uma matriz anti-simétrica.
Esta relação será importante para compreender a relação entre formas simpléticas
e matrizes anti-simétricas invert́ıveis.
Definição 1 Seja V um espaço vetorial real. Uma forma bilinear sobre V é uma
função f : V × V → R que satisfaz:
∗Email: fabiano@fc.unesp.br, Departamento de Matemática-UNESP-Bauru/SP
†Email: liviaminami@ifsp.edu.br, Departamento de Matemática-IFSP-Birigui/SP
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
2
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
1. f(λu1 + u2, v) = λf(u1, v) + f(u2, v), ∀λ ∈ R, ∀u1, u2, v ∈ V ;
2. f(u, λv1 + v2) = λf(u, v1) + f(u, v2), ∀λ ∈ R, ∀u, v1, v2 ∈ V.
Ou seja, ela deve ser linear em cada uma das variáveis, quando a outra é deixada
fixa.
A matriz associada a uma forma bilinear f, com relação à base β = {v1, ..., vn}
de V , é a matriz [f ]β = [aij ], onde aij = f(vi, vj).
Para u, v ∈ V temos que u = a1v1 + · · · + anvn e v = b1v1 + · · · + bnvn, com
ai, bj ∈ R. E assim, pela bilinearidade da f , temos que
f(u, v) =
n∑
i=1
n∑
j=1
aibjf(vi, vj) =
n∑
i=1
n∑
j=1
aif(vi, vj)bj .
Logo podemos escrever
f(u, v) = [u]tβ[f ]β[v]β,
onde [v]β denota a matriz coluna formada pelas coordenadas do vetor v com relação
à base β e [u]tβ denota a transposta da matriz coluna [u]β.
Se dim V = n, o conjunto B(V,R) das formas bilineares sobre V formam um
espaço vetorial de dimensão n2, o qual é isomorfo ao espaço vetorial das matrizes
n× n com entradas reais. De fato, se considerarmos a transformação linear
T : B(V,R) −→ Mn(R)
f 7−→ [f ]β
temos que:
(i) T é injetora. De fato, se [f ]β = [g]β para f, g ∈ B(V,R), nos vetores da base
β, temos que f(vi, vj) = g(vi, vj) e, para (u, v) ∈ V × V , segue que
f(u, v) =
n∑
i=1
n∑
j=1
aibjf(vi, vj)
=
n∑
i=1
n∑
j=1
aibjg(vi, vj)
= g(u, v).
(ii) T é sobrejetora. De fato, qualquer que seja A ∈ Mn(R), podemos definir
fA(u, v) = [u]
t
βA[v]β e, desta maneira, temos que fA é bilinear e T (fA) =
[fA]β = A.
Uma forma bilinear f , tal que f(u, v) = −f(v, u), ∀ u, v ∈ V , é chamada de anti-
simétrica. Uma matriz A é anti-simétrica se At = −A. O próximo resultado mostra
que a bijeção mencionada acima associa formas bilineares anti-simétricas às matrizes
anti-simétricas. Mais precisamente, que o subespaço vetorial das formas bineares
anti-simétricas é isomorfo ao subespaço vetorial das matrizes anti-simétricas.
Teorema 2 Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita e f : V × V → R
uma forma bilinear. As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) f é anti-simétrica;
(b) [f ]β é uma matriz anti-simétrica para alguma base ordenada β de V ;
(c) [f ]γ é uma matriz anti-simétrica para toda base ordenada γ de V .
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
3
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
Demonstração. (a)⇒ (b) Seja β uma base de V . Então, para todo u, v ∈ V , temos
[u]tβ[f ]β[v]β = f(u, v)
= −f(v, u)
= −[v]tβ[f ]β[u]β
= −([v]tβ[f ]β[u]β)t
= [u]tβ(−[f ]tβ)[v]β.
Portanto,
[f ]tβ = −[f ]β.
(b)⇒ (c) Seja β uma base de V , tal que [f ]β é anti-simétrica. Para cada base γ
de V , existe uma matriz M invert́ıvel tal que
[f ]β = M
t[f ]γM.
E assim,
([f ]β)
t = (M t[f ]γM)
t = M t[f ]tγM.
Como [f ]tβ = −[f ]β, segue que
−[f ]β = M t[f ]tγM.
Portanto,
−M t[f ]γM = M t[f ]tγM.
Logo,
−[f ]γ = ([f ]γ)t.
(c) ⇒ (a) Seja β uma base de V . Então, para cada u, v ∈ V , temos que
f(u, v) = [u]tβ[f ]β[v]β. Como [u]
t
β[f ]β[v]β é uma matriz 1× 1, segue que
f(u, v) = ([u]tβ[f ]β[v]β)
t
= [v]tβ([f ]β)
t[u]β
= −[v]tβ[f ]β[u]β
= −f(v, u).
2
Em [2, p.227], existe uma versão análoga à proposição acima para formas biline-
ares simétricas (f(u, v) = f(v, u) ∀u, v ∈ V ) e matrizes simétricas (At = A). Além
disso, como toda matriz A pode ser escrita como
A =
1
2
(A+At) +
1
2
(A−At),
temos que os subespaços das matrizes podem ser decompostos em soma direta entre
os subespaços das matrizes simétricas e anti-simétricas. A mesma decomposição
ocorre com os subespaços vetoriais das fomas bilineares, com relação às formas
simétricas e anti-simétricas.
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
4
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
2 Espaços vetoriais simpléticos
Nesta seção, daremos uma breve introdução aos espaços vetoriais simpléticos.
Definição 3 Sejam V um espaço vetorial real e Ω : V ×V → R uma forma bilinear
anti-simétrica. Dizemos que Ω é não-degenerada ou simplética se:
Ω(u, v) = 0, ∀v ∈ V ⇒ u = 0.
Um espaço vetorial simplético (V,Ω) é um espaço vetorial V , com uma forma
(ou estrutura) simplética Ω.
Para ilustrar a definição acima, daremos agora um exemplo de espaço vetorial
simplético com uma forma bilinear definida em R2 × R2.
Exemplo 1 Seja V = R2e considere a forma bilinear dada por
Ω0((u1, u2), (v1, v2)) = u1v2 − u2v1.
Mostraremos primeiramente que Ω0 é bilinear.
(i)
Ω0(λ(u1, u2) + (w1, w2), (v1, v2)) = Ω0((λu1 + w1, λu2 + w2), (v1, v2))
= (λu1 + w1)v2 − (λu2 + w2)v1
= λ(u1v2 − u2v1) + (w1v2 − w2v1)
= λΩ0((u1, u2), (v1, v2)) + Ω0((w1, w2), (v1, v2)).
(ii)
Ω0((u1, u2), λ(v1, v2) + (w1, w2)) = Ω0((u1, u2), (λv1 + w1, λv2 + w2))
= u1(λv2 + w2)− u2(λv1 + w1)
= λ(u1v2 − u2v1) + (u1w2 − u2w1)
= λΩ0((u1, u2), (v1, v2)) + Ω0((u1, u2), (w1, w2)).
Agora, vamos verificar que Ω0 é anti-simétrica.
Ω0((u1, u2), (v1, v2)) = u1v2 − u2v1
= −(v1u2 − v2u1)
= −Ω0((v1, v2), (u1, u2)).
Por fim, Ω0 é simplética pois, se
Ω0((u1, u2), (v1, v2)) = 0, ∀(v1, v2) ∈ R2,
então u1v2 − u2v1 = 0, para todo v1, v2 ∈ R e, portanto, u1 = u2 = 0.
De forma geral, podemos estender este exemplo tomando V = R2n e
Ω0(u, v) = [u]
t
α · J0 · [v]α,
onde
J0 =
(
0 I
−I 0
)
e I é a matriz identidade n× n. O espaço vetorial R2n, com a estrutura dada pela
forma bilinear Ω0 é chamado de espaço vetorial simplético canônico.
O conceito de isomorfismo para espaços vetoriais simpléticos é dado pela de-
finição abaixo e será útil na compreensão do Teorema 9.
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
5
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
Definição 4 Um simplectomorfismo S entre dois espaços vetoriais simpléticos
(V1,Ω1) e (V2,Ω2) é um isomorfismmo linear S : V1 → V2 tal que S∗Ω2 = Ω1,
ou seja, Ω2(S(u), S(v)) = Ω1(u, v), para todo u, v ∈ V1.
Afim de ilustrar a definição acima, seja Ω0 como no Exemplo 1 e Ω1 dada por
Ω1((u1, u2), (v1, v2)) = 2u2v1 − 2u1v2.
Podemos verificar, como foi feito no Exemplo 1, que Ω1 é uma forma simplética
e que S(x, y) = (−1
2
x, y) é um isomorfismo que torna (R2,Ω0) e (R2,Ω1) espaços
simplectomorfos.
3 Formas simpléticas e suas matrizes associa-
das.
Nesta seção, mostraremos que cada forma simplética, uma vez fixada uma base do
espaço vetorial, está associada a uma única matriz anti-simétrica e invert́ıvel. Para
isso, necessitaremos dos seguintes resultados de Álgebra Linear.
Proposição 5 Sejam U e V espaços vetoriais reais de mesma dimensão e T : U →
V uma transformação linear. São equivalentes:
1. T é um isomorfismo;
2. T é injetora;
3. T é sobrejetora.
Proposição 6 Sejam U e V espaços vetoriais reais, α base de U e β base de V .
Uma transformação linear T : U → V é um isomorfismo se, e somente se, [T ]αβ for
invert́ıvel, onde [T ]αβ é a matriz associada à transformação linear T.
As duas proposições acima podem ser encontradas, entre outros, em [2] e [3].
Lema 7 Sejam Ω uma forma simplética e Ω] : V → V ∗ a transformação linear
dada por Ω](u)(v) := Ω(u, v). Então, Ω é simplética se, e somente se, Ω] é um
isomorfismo.
Demonstração. Se Ω é simplética, então o núcleo da transformação linear Ω(u, ·) é
{0} e portanto, Ω] é injetora. Pela Proposição 5, temos que Ω] é um isomorfismo.
Reciprocamente, se Ω] é um isomorfismo, como dim V = dim V ∗, segue que Ω] é
injetora e o núcleo da transformação linear Ω(u, ·) é {0}. Portanto, Ω é simplética. 2
Quando tomamos a base canônica α = {e1, e2, ..., en} de V, podemos representar,
conforme visto na Seção 1, uma forma bilinear anti-simétrica Ω por uma matriz
anti-simétrica A = [Aij ], onde Aij = Ω(ei, ej). Nestas condições, temos o seguinte
resultado.
Teorema 8 Seja Ω uma forma bilinear anti-simétrica. Então, Ω é simplética se, e
somente se, A é invert́ıvel.
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
6
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
Demonstração. Pela Proposição 6 e pelo Lema 7, temos que Ω é simplética se, e
somente se, [Ω]]αβ é invert́ıvel, onde α é a base canônica e β é sua base dual. Falta
então verificar que a matriz [Ω]]αβ coincide com a matriz A
t. Para isto, notemos que
Ω](e1) = Ω(e1, ·) = Ω(e1, e1).e∗1 + ...+ Ω(e1, en).e∗n ,
...
Ω](en) = Ω(en, ·) = Ω(en, e1).e∗1 + ...+ Ω(en, en).e∗n .
E portanto,
[Ω]]αβ =
 Ω(e1, e1) · · · Ω(en, e1)... . . . ...
Ω(e1, en) · · · Ω(en, en)
 = At.
2
O teorema acima permite, entre outras coisas, obter vários exemplos de formas
simpléticas a partir de matrizes anti-simétricas invert́ıveis.
Exemplo 2 Considere a matriz
A =

0 0 2 −1
0 0 0 1
−2 0 0 0
1 −1 0 0
 .
Como A é uma matriz invert́ıvel e At = −A, segue que a forma bilinear Ω :
R4 × R4 → R associada a esta matriz é uma forma simplética. Assim, para
u = (a1, a2, a3, a4) e v = (b1, b2, b3, b4),
Ω(u, v) =
4∑
i=1
4∑
j=1
aiΩ(ei, ej)bj .
Ou seja, na base canônica β temos que:
Ω((a1, a2, a3, a4), (b1, b2, b3, b4)) = [u]
t
βA[v]β
= a1(2b3 − b4) + a2b4 − 2a3b1 + a4(b1 − b2).
Segue abaixo um resultado que nos fornece uma maneira de construir um espaço
vetorial simplético a partir de qualquer espaço vetorial W, de dimensão finita, e seu
espaço vetorial dual W ∗. Além disso, dado qualquer isomorfismo linear T : W →W,
constrói-se um simplectomorfismo a partir de T e seu adjunto T ∗.
Teorema 9 Sejam W um espaço vetorial de dimenção n e W ∗ seu dual. Então o
espaço vetorial V = W×W ∗ possui uma estrutura simplética natural Ω : V ×V → R
definida por
Ω((u, f), (v, g)) := g(u)− f(v).
Além disso, todo isomorfismo T : W →W determina um simplectomorfismo
T ⊕ (T−1)∗ : V → V.
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
7
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
Demonstração. Se {e1, e2, ..., en} é a base canônica de W, temos que a base canônica
de V é dada por
α = {(e1, 0), (e2, 0), ..., (en, 0), (0, e∗1), (0, e∗2), ..., (0, e∗n)}.
Então, para todo 1 ≤ i, j ≤ n temos que:
Ω((ei, 0), (ej , 0)) = 0;
Ω((0, e∗i ), (0, e
∗
j )) = 0;
Ω((ei, 0), (0, e
∗
j )) = δij ;
Ω((0, e∗j ), (ei, 0)) = −δij .
Desta forma, como na demonstração do Teorema 8, temos que a matriz [Ω]α é
dada por:
[Ω]α =
(
0 −I
I 0
)
.
Podemos ver que [Ω]α é anti-simétrica e invert́ıvel, uma vez que seu determinante
é diferente de zero. Portanto, Ω é simplética.
E ainda, T ⊕ (T−1)∗ é um simplectomorfismo pois:
(T ⊕ (T−1)∗)∗Ω((u, f), (v, g)) = Ω((Tu, (T−1)∗f), (Tv, (T−1)∗g))
= (T−1)∗g(Tu)− (T−1)∗f(Tv)
= g((T−1)Tu)− f((T−1)Tv)
= gu− fv
= Ω((u, f), (v, g)).
2
Este teorema pode ser adaptado para variedades diferenciáveis, sendo W o
espaço vetorial tangente. O leitor interessado em mais detalhes pode ver, entre
outros, [1] e [4].
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
8
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
Referências
[1] Bursztyn, H e Macarini, L. – Introdução à geometria simplética, XIV
Escola de Geometria Diferencial. Instituto de Matemática Pura e Aplicada
(IMPA), Rio de Janeiro, 2006.
[2] Coelho, F. U. e Lorenço, M. L.–Um Curso de Álgebra Linear, Editora da
Universidade de São Paulo, São Paulo, 2001.
[3] Lima, E. L.–Algebra Linear, Coleção Matemática Universitária, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2011.
[4] Silva, A. C. – Introduction to symplecticand Hamiltonian geometry, Pu-
blicações Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications] Instituto
de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2003.
SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
9
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 4, p. 2-9, ago. 2015. 
Uma curiosa propriedade com inteiros positivos
Fernando Neres de Oliveira ∗
Resumo
Neste trabalho iremos provar uma curiosa propriedade para listas de inteiros
positivos da forma (1, 2, . . . , n) e também provaremos um teorema devido a Liouville
que generaliza tal propriedade para outras listas de inteiros positivos.
Palavras Chave: Inteiros positivos, Soma de cubos, Generalização de Liouville
Introdução
Pretendemos demonstrar a validade de uma curiosa propriedade para listas de in-
teiros positivos da forma (1, 2, . . . , n), a saber,
13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2, ∀n ∈ N.
Para essa demonstração, faremos uso do prinćıpio da indução. Uma natural per-
gunta que nos vem à cabeça, é a seguinte:
Há listas de inteiros positivos diferentes do modelo (1, 2, . . . , n) e que
satisfazem também a mesma curiosa propriedade?
Bem, o teorema do matemático francês Joseph Liouville (1809-1882) que generaliza
essa propriedade, mostrará que a resposta à essa pergunta é afirmativa. Para a prova
desse teorema, além do prinćıpio da indução, usaremos a validade da propriedade
para listas do tipo (1, 2, . . . , n) e, alguns resultados sobre MDC e fatoração prima.
1 A curiosa propriedade
Vejamos inicialmente que a propriedade mencionada acima é verdadeira para n = 2,
n = 3, n = 4, n = 5 e n = 6.
13 + 23 = 1 + 8 = 9 = 32 = (1 + 2)2
13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 62 = (1 + 2 + 3)2
13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
13+23+33+43+53+63 = 1+8+27+64+125+216 = 441 = 212 = (1+2+3+4+5+6)2
E ela continuará verdadeira se considerarmos qualquer lista de inteiros positivos da
forma (1, 2, . . . , n) onde n ∈ N. Essa afirmação é provada na
∗Email: fernandoneres@ufersa.edu.br. Universidade Federal Rural do Semi- Árido, UFERSA.
Caraúbas, RN
OLIVEIRA, F. N. Uma curiosa propriedade com inteiros positivos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fno1015 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
10
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
p. 10-15, ago. 2015. 
Bauru, v. 4, 
Proposição 1 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2, ∀n ∈ N.
Prova: Usaremos o prinćıpio da indução sobre n. Para n = 1 a propriedade se
escreve da seguinte forma 13 = 12, o que é uma verdade. Suponha agora que a
propriedade é verdadeira para um inteiro positivo n = k, isto é,
13 + 23 + 33 + · · ·+ k3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ k)2.
Para n = k + 1, o primeiro membro da propriedade se escreve da seguinte forma
13 + 23 + 33 + · · ·+ k3 + (k + 1)3, (1)
enquanto que o segundo membro é escrito na forma
(1 + 2 + 3 + · · ·+ k + k + 1)2. (2)
Mostraremos que os inteiros dados pelas expressões (1) e (2) são iguais. Vejamos,
(1 + 2 + 3 + · · ·+ k + k + 1)2 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ k)2
+2 · (1 + 2 + 3 + · · ·+ k) · (k + 1) + (k + 1)2
= (1 + 2 + 3 + · · ·+ k)2
+2 · k(k + 1)
2
· (k + 1) + (k + 1)2
= (1 + 2 + 3 + · · ·+ k)2 + k(k + 1)2 + (k + 1)2
= (1 + 2 + 3 + · · ·+ k)2 + (k + 1)2(k + 1)
= (1 + 2 + 3 + · · ·+ k)2 + (k + 1)3.
Usando agora a nossa hipótese de indução, obtemos que
(1+2+3+· · ·+k+k+1)2 = (1+2+3+· · ·+k)2+(k+1)3 = 13+23+33+· · ·+k3+(k+1)3,
o que garante a validade da propriedade para n = k+1. Portanto, segue do prinćıpio
da indução que 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2, ∀n ∈ N.
2 O teorema de Liouville
Na sequência apresentaremos um resultado estabelecido pelo matemático Liouville,
que generaliza a Proposição 1 para outras listas de inteiros positivos. Com o ob-
jetivo de compreendermos o enunciado do teorema e de nos convencermos da sua
veracidade em casos particulares, vejamos os seguintes exemplos:
Exemplo 1 Seja N = 6. Os divisores positivos de N são d1 = 1, d2 = 2, d3 = 3,
d4 = 6. Seja cj o número de divisores positivos de dj. Logo, c1 = 1, c2 = 2, c3 = 2,
c4 = 4. Dáı, temos que
c31 + c
3
2 + c
3
3 + c
3
4 = 1
3 + 23 + 23 + 43
= 1 + 8 + 8 + 64
= 81
= 92
= (1 + 2 + 2 + 4)2
= (c1 + c2 + c3 + c4)
2.
cqdvol4201523169664fno1015
OLIVEIRA, F. N. Uma curiosa propriedade com inteiros positivos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fno1015 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
11
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
p. 10-15, ago. 2015. 
Bauru, v. 4, 
Exemplo 2 Seja N = 36. Os divisores positivos de N são d1 = 1, d2 = 2, d3 = 3,
d4 = 4, d5 = 6, d6 = 9, d7 = 12, d8 = 18, d9 = 36. Seja cj o número de divisores
positivos de dj. Logo, c1 = 1, c2 = 2, c3 = 2, c4 = 3, c5 = 4, c6 = 3, c7 = 6, c8 = 6,
c9 = 9. Dáı, temos que
c31 + c
3
2 + c
3
3 + c
3
4 + c
3
5 + c
3
6 + c
3
7 + c
3
8 + c
3
9 = 1
3 + 23 + 23 + 33 + 43 + 33 + 63 + 63
+93
= 1 + 8 + 8 + 27 + 64 + 27 + 216 + 216
+729
= 1296
= 362
= (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 3 + 6 + 6 + 9)2
= (c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8
+c9)
2.
Exemplo 3 Seja N = 54. Os divisores positivos de N são d1 = 1, d2 = 2, d3 = 3,
d4 = 6, d5 = 9, d6 = 18, d7 = 27, d8 = 54. Seja cj o número de divisores positivos
de dj. Logo, c1 = 1, c2 = 2, c3 = 2, c4 = 4, c5 = 3, c6 = 6, c7 = 4, c8 = 8. Dáı, temos
que
c31 + c
3
2 + c
3
3 + c
3
4 + c
3
5 + c
3
6 + c
3
7 + c
3
8 = 1
3 + 23 + 23 + 43 + 33 + 63 + 43 + 83
= 1 + 8 + 8 + 64 + 27 + 216 + 64 + 512
= 900
= 302
= (1 + 2 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 8)2
= (c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8)
2.
Definição 1 τ(N) é o número de divisores positivos do inteiro positivo N .
A propriedade comum aos números 6, 36 e 54, vista nos exemplos acima, é
generalizada no
Teorema 1 (Liouville) Seja N um inteiro positivo qualquer e
(
d1, d2, . . . , dτ(N)
)
a lista de todos os divisores positivos de N(incluindo 1 e N). Seja cj o número
de divisores positivos de dj. Então, a lista
(
c1, c2, . . . , cτ(N)
)
satisfaz a seguinte
propriedade
c31 + c
3
2 + · · ·+ c3τ(N) =
(
c1 + c2 + · · ·+ cτ(N)
)2
.
Prova: Para N = 1 o teorema é obviamente verdadeiro. Resta então prová-lo
para inteiros N > 1. Mostraremos inicialmente que o resultado é verdadeiro para
potências de primos. Seja então, N = pn onde p é primo e n ≥ 1. Os divisores
positivos de N são
d1 = 1, d2 = p, d3 = p
2, . . . , dτ(N) = p
n.
OLIVEIRA, F. N. Uma curiosa propriedade com inteiros positivos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fno1015 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
12
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
p. 10-15, ago. 2015. 
Bauru, v. 4, 
Logo, c1 = 1, c2 = 2, c3 = 3, . . . , cτ(N) = n+ 1. Dáı, segue que
c31 + c
3
2 + · · ·+ c3τ(N) = 1
3 + 23 + 33 + · · ·+ (n+ 1)3
=
Prop 1
[1 + 2 + 3 + · · ·+ (n+ 1)]2
=
(
c1 + c2 + c3 + · · ·+ cτ(N)
)2
,
o que mostra a validade do resultado para potências de primos. No que segue,
mostraremos que:
Se o resultado é válido para um inteiro positivo K então ele também é (3)
válido para inteiros Kpn, onde, p é um primo tal que mdc(K, p) = 1.
Obviamente, que o resultado vale para K = 1 e também será válido para Kpn,
pois nesse caso, Kpn (= pn) é potência de primo. Suponha agora que o resultado é
válido para um inteiro K > 1, isto é,
a31 + a
3
2 + · · ·+ a3τ(K) = (a1 + a2 + · · ·+ aτ(K))
2, (4)
onde, (1 = b1, b2, . . . , bτ(K) = K) é a lista de todos osdivisores positivos de K e aj é
o número de divisores positivos de bj , j = 1, 2, . . . , τ(K). É fácil ver que, qualquer
divisor positivo de K multiplicado por qualquer divisor positivo de pn, é um divisor
positivo de Kpn. A lista completa desses produtos, é a seguinte:
b1, b2, . . . , bτ(K); b1p, b2p, . . . , bτ(K)p; . . . ; b1p
n, b2p
n, . . . , bτ(K)p
n. (5)
Reciprocamente, todo divisor positivo de Kpn é um dos inteiros dados em (5). Com
efeito, seja D um divisor positivo de Kpn. Se D é o menor deles então D = b1 = 1.
Assuma que D > 1, então segue da fatoração (única) em primos de D, que:
D = dpm,
onde mdc(d, p) = 1 e d,m são inteiros tais que d > 1 e m ≥ 0. Segue então dáı que
m ≤ n, caso contrário1, teremos que p | K (CONTRADIÇÃO, pois mdc(K, p) = 1).
Para m = n temos Kpn = q̃ ·D = q̃ · dpn (q̃ ∈ Z), isto é, K = q̃ · d (q̃ ∈ Z). Ou seja,
d | K. E para m < n temos que n = m+s com s ≥ 1 e Kpn = q̂ ·D = q̂ ·dpm (q̂ ∈ Z).
Dáı, seguem as implicações,
q̂ · dpm = Kpn = Kpm+s = Kpmps ⇒ q̂ · d = Kps (s ≥ 1)
⇒ d | Kps (s ≥ 1)
⇒ d | K,
onde a última implicação deve-se ao fato de que mdc2(d, ps) = 1. Podemos então
concluir que
D ∈
{
b1, b2, . . . , bτ(K), b1p, b2p, . . . , bτ(K)p, . . . , b1p
n, b2p
n, . . . , bτ(K)p
n
}
.
1Se m > n então m = n+ r com r ≥ 1. Como D divide Kpn então existe q ∈ Z tal que Kpn = q ·D.
Logo, Kpn = q ·D = q · dpm = q · dpn+r = q · dpnpr, isto é, K = qd · pr (r ≥ 1). Portanto, p | K.
2Suponha que mdc(d, ps) ̸= 1. Nesse caso, mdc(d, ps) = pe onde 1 ≤ e ≤ s. Dáı, teremos que, p | pe e
pe | d, ou seja, p | d. Portanto, mdc(d, p) = p ̸= 1. (CONTRADIÇÃO)
OLIVEIRA, F. N. Uma curiosa propriedade com inteiros positivos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fno1015 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
13
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
p. 10-15, ago. 2015. 
Bauru, v. 4, 
Portanto, em (5) temos a lista completa de todos os divisores positivos de Kpn.
Por outro lado, temos também que
mdc(bj , p) = 1
para cada j = 1, 2, . . . , τ(K), caso contrário, teŕıamos que p | K (CONTRADIÇÃO).
Logo, nenhum bj contém o fator primo p. Dáı, segue então que, quaisquer dois
bjp
i (i = 1, 2, . . . , n) são distintos, e além disso, o número de divisores positivos dos
inteiros listados em (5), são:
a1, a2, . . . , aτ(K); 2a1, 2a2, . . . , 2aτ(K); . . . ; (n+ 1)a1, (n+ 1)a2, . . . , (n+ 1)aτ(K). (6)
Seja S a soma de todos os números listados em (6), isto é,
S = a1 + a2 + · · ·+ aτ(K) + 2a1 + 2a2 + · · ·+ 2aτ(K) +
· · ·+ (n+ 1)a1 + (n+ 1)a2 + · · ·+ (n+ 1)aτ(K)
=
(
a1 + a2 + · · ·+ aτ(K)
)
+ 2
(
a1 + a2 + · · ·+ aτ(K)
)
+
· · ·+ (n+ 1)
(
a1 + a2 + · · ·+ aτ(K)
)
=
(
a1 + a2 + · · ·+ aτ(K)
)
[1 + 2 + · · ·+ (n+ 1)] .
Dáı, teremos que,
S2 =
(
a1 + a2 + · · ·+ aτ(K)
)2
[1 + 2 + · · ·+ (n+ 1)]2
=
(4) e Prop 1
(
a31 + a
3
2 + · · ·+ a3τ(K)
) [
13 + 23 + · · ·+ (n+ 1)3
]
=
(
a31 + a
3
2 + · · ·+ a3τ(K)
)
+
(
23a31 + 2
3a32 + · · ·+ 23a3τ(K)
)
+
· · ·+
[
(n+ 1)3a31 + (n+ 1)
3a32 + · · ·+ (n+ 1)3a3τ(K)
]
= a31 + a
3
2 + · · ·+ a3τ(K) + (2a1)
3 + (2a2)
3 + · · ·+
(
2aτ(K)
)3
+
· · ·+ [(n+ 1)a1]3 + [(n+ 1)a2]3 + · · ·+
[
(n+ 1)aτ(K)
]3
,
o que mostra a validade do resultado para Kpn.
Podemos agora mostrar que o resultado é válido para qualquer inteiro N > 1,
nesse caso, o Teorema Fundamental da Aritmética nos garante que N tem uma
fatoração (única) em primos, a saber,
N = pe11 · p
e2
2 · p
e3
3 · . . . · p
ek
k ,
onde, ei ≥ 1 é inteiro, pi é primo e pi ̸= pj sempre que i ̸= j. Já vimos que o
resultado é válido para potências de primos, então, para N1 = p
e1
1 ele será verda-
deiro. Suponha que para algum 1 ≤ i ≤ k − 1, o resultado seja verdadeiro para
Ni = p
e1
1 · p
e2
2 · p
e3
3 · . . . · p
ei
i . Como mdc
3(Ni, pi+1) = 1 então segue de (3) que o
resultado é válido para Ni+1 = Ni · pei+1i+1 = p
e1
1 · p
e2
2 · p
e3
3 · . . . · p
ei
i · p
ei+1
i+1 . Dáı, o
prinćıpio da indução nos garante que para cada i ∈ {1, 2, 3, . . . , k}, o resultado será
válido para Ni, em particular, será válido para Nk = N .
3Suponha que mdc(Ni, pi+1) = pi+1. Então, teŕıamos que pi+1 | Ni e pi+1 é primo, logo, pi+1 | pj para
algum 1 ≤ j ≤ i. Mas, como pj é primo, então teŕıamos que pi+1 = pj , isto é, i+ 1 = j ≤ i (absurdo!)
OLIVEIRA, F. N. Uma curiosa propriedade com inteiros positivos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fno1015 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
14
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
p. 10-15, ago. 2015. 
Bauru, v. 4, 
3 Conclusão
Pelo o que foi apresentado acima, conclúımos então que é posśıvel obter infinitas
listas de inteiros positivos, tais que,
a soma de seus cubos é igual ao quadrado de sua soma. (7)
Vimos na Proposição 1 que toda lista do tipo (1, 2, . . . , n) satisfaz a propriedade
(7). Um outro modelo, explicitado por Liouville, que nos permite obter tais listas é
apresentado no Teorema 1, o qual garante que toda lista do tipo
(
c1, c2, . . . , cτ(N)
)
(onde, cj é o número de divisores positivos do divisor positivo dj de N) também
satisfaz a propriedade (7).
Referências
[1] Ross Honsberger. Ingenuity in Mathematics. Mathematical Association of Ame-
rica, Washington, 1970.
OLIVEIRA, F. N. Uma curiosa propriedade com inteiros positivos.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fno1015 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
15
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
p. 10-15, ago. 2015. 
Bauru, v. 4, 
Um novo sistema de axiomas para a lógica
paraconsistente J3
Hércules de Araujo Feitosa ∗
Gabriel Alexandre da Cruz †
Ana Cláudia de Jesus Golzio ‡
Resumo
We investigate the paraconsistent logic J3. As original result we propose a
new sistem of axioms for J3 and present results of soundness and completeness
(adequacy) evolving the original three valued matrix semantic for J3.
Palavras Chave: Lógica paraconsistente, Lógica trivalente, Modelo matricial, Sis-
tema de axiomas.
Introdução
A Lógica J3 foi introduzida por D’Ottaviano e da Costa [7], em 1970, a partir
de uma semântica matricial trivalente. Trata-se de uma lógica paraconsistente e foi
idealizada como uma posśıvel solução a um problema de Jáskowski, que envolveria
aspectos das teorias paraconsistentes ainda em fase inicial. Nesse trabalho [7] foram
apresentados vários esquemas válidos de fórmulas para as matrizes de J3, porém não
foi introduzido um conjunto de axiomas correto e completo para o referido modelo
matricial.
D’Ottaviano apresentou um sistema de axiomas para J3, em [5], com cinco axi-
omas proposicionais e duas regras de dedução. Este sistema de axiomas conta com
um operador delta ∆, que será apresentado segundo sua interpretação matricial na
próxima seção.
Os sistemas axiomáticos, de um modo geral, são pouco elucidativos quanto às
noções formalizadas pela referida lógica. Imaginamos que isto tenha ocorrido com
este sistema de [5].
Num caṕıtulo destinado a discutir lógicas paraconsistentes, do livro [9], Epstein
e D’Ottaviano apresentam um outro sistema de axiomas para J3.
Mais recentemente, no contexto das lógicas da inconsistência formal (LFI) [2],
Carnielli, Marcos e Amo [3] reconhecem que a lógica J3 tem importância distinguida
para as LFI’s, denotam a lógica J3 por LFI1 e apresentam um novo sistema de
axiomas um pouco mais compreensivo e com alguns axiomas finais motivados por
axiomas do sistema anterior.
∗Email: haf@fc.unesp.br. Departamento de Matemática, UNESP - FC - Bauru
†Email: gabriel−210495@hotmail.com. Licenciatura em Matemática, UNESP - FC - Bauru
‡Email: anaclaudiagolzio@yahoo.com.br. Pós em Filosofia, UNICAMP - IFCH - Campinas
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO,A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
16
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
Os sistemas mencionados serão apresentados com mais detalhes na Seção 2 deste
trabalho.
A meta deste ensaio é apresentar um sistema distinto destes, um pouco mais
simples com relação a estes últimos axiomas, e dar uma demonstração de correção
e completude do sistema hilbertiano por nós introduzido relativamente à semântica
trivalente de J3, conforme as matrizes originais.
1 A lógica J3
De acordo com [7], a lógica J3 foi introduzida a partir das seguintes matrizes
trivalentes na linguagem proposicional L = (¬,∨,∇), em que os operadores propo-
sicionais ¬ e ∨ formalizam, respectivamente, as noções de negação e disjunção e o
operador ∇ separa os elementos distinguidos dos não distinguidos.
Os significados destes operadores são dados pelas seguintes tabelas:
¬
0 1
1
2
1
2
1 0
∨ 0 12 1
0 0 12 1
1
2
1
2
1
2 1
1 1 1 1
∇
0 0
1
2 1
1 1
Além desses operadores básicos, são definidos os seguintes operadores de J3:
Conjunção: φ ∧ ψ =def ¬(¬φ ∨ ¬ψ)
Negação forte: ∼ φ =def ¬∇φ
Delta: ∆φ =def ¬∇¬φ
Condicional: φ→ ψ =def ¬∇φ ∨ ψ
Bicondicional: φ↔ ψ =def (φ→ ψ) ∧ (ψ → φ)
Consistência: ◦φ =def ∼ (φ ∧ ¬φ).
Os significados destes novos entes são dados pelas seguintes tabelas:
∧ 0 12 1
0 0 0 0
1
2 0
1
2
1
2
1 0 12 1
∼
0 1
1
2 0
1 0
∆
0 0
1
2 0
1 1
→ 0 12 1
0 1 1 1
1
2 0
1
2 1
1 0 12 1
↔ 0 12 1
0 1 0 0
1
2 0
1
2
1
2
1 0 12 1
◦
0 1
1
2 0
1 1
Da definição da conjunção a partir da disjunção, observamos que devem valer
em J3 as leis de De Morgan.
A semântica matricial de J3 é dada pela matriz:
MJ3 = ({0, 12 , 1}, {
1
2 , 1},¬,∨,∇),
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
17
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
com o conjunto de valores designados D = {12 , 1} e, dessa maneira, a relação de
consequência semântica é dada como segue.
A seguir, indicamos por V ar(J3) = {p1, p2, p3, ...} o conjunto das variáveis pro-
posicionais de J3 e por For(J3) o conjunto das fórmulas de J3.
Uma valoração para J3 é qualquer função:
v : V ar(J3) → {0, 12 , 1},
a qual é estendida de modo único para o conjunto For(J3) segundo os operadores
introduzidos acima.
Se Γ ⊆ For(J3), então v(Γ) = {v(γ) : γ ∈ Γ}.
A relação de implicação lógica ou consequência semântica para J3 é dada do
seguinte modo.
Se Γ ∪ {φ} ⊆ For(J3), então Γ implica φ quando para toda J3-valoração v, se
v(Γ) ⊆ D, então v(φ) ∈ D, isto é:
Γ � φ ⇐⇒ v(Γ) ⊆ D ⇒ v(φ) ∈ D.
Decorre da definição de valoração que toda fórmula de J3 válida segundo uma
valoração v : V ar(J3) → {0, 12 , 1} é também válida segundo a restrição booleana de
v, isto é, segundo v : V ar(J3) → {0, 1} com os significados booleanos dos operadores
¬, ∨, ∧ e →, em que é apagado o valor 12 . Assim, toda fórmula J3-válida é uma
tautologia.
Podemos construir tabelas de verdade para fórmulas de J3, que por ser uma
lógica trivalente, tem como número de linhas algum múltiplo de 3. Vejamos alguns
exemplos:
(a) φ→ (ψ → φ):
φ → (ψ → φ)
0 1 0 1 0
0 1 12 0 0
0 1 1 0 0
1
2 1 0 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
1
2
1
2
1 1 0 1 1
1 1 12 1 1
1 1 1 1 1
(b) φ→ (φ ∨ ψ):
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
18
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
φ → (φ ∨ ψ)
0 1 0 0 0
0 1 0 12
1
2
0 1 0 1 1
1
2
1
2
1
2
1
2 0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
1
2 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 12
1 1 1 1 1
(c) φ↔ ¬¬φ:
φ ↔ ¬¬φ
0 1 0
1
2
1
2
1
2
1 1 1
(d) φ→ (φ ∨ ψ):
φ ∨ (φ → ψ)
0 1 0 1 0
0 1 0 1 12
0 1 0 1 1
1
2
1
2
1
2 0 0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
1
2 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 12
1
2
1 1 1 1 1
Como cada última coluna das tabelas anteriores encerra apenas os valores 1 e 12 ,
então todas estas fórmulas são válidas segundo MJ3 .
(e) Cada fórmula σ do tipo φ ∧ ¬φ ∧ ◦φ é contraditória:
φ ¬φ ◦φ σ
0 1 1 0
1
2
1
2 0 0
1 0 1 0
Uma fórmula, como esta, que assume todos os valores iguais a 0 será denota por
⊥ e, por outro lado, uma fórmula como a sua negação ¬σ, que assume sempre o
valor 1 será denotada por ⊤.
Contudo, algumas fórmulas tautológicas bem conhecidas não são J3-válidas. Ve-
jamos algumas delas:
(f) φ→ (¬φ→ ψ).
Tomemos uma valoração v tal que v(φ) = 12 e v(ψ) = 0. Dáı, v(φ → (¬φ →
ψ)) = (12 → (
1
2 → 0)) =
1
2 → 0 = 0.
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
19
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
(g) (φ→ ψ) → (¬ψ → ¬φ).
Tomemos uma valoração v tal que v(φ) = 1 e v(ψ) = 12 . Dáı, v((φ → ψ) →
(¬ψ → ¬φ)) = (1 → 12) → (
1
2 → 0) =
1
2 → 0 = 0.
Temos também algumas equivalências:
(h) ∼ φ⇔ φ→ ⊥.
∼ φ ↔ (φ → ⊥)
1 1 0 1 0
0 1 12 0 0
0 1 1 0 0
(i) ∇φ⇔ (¬φ ∧ ◦φ) → φ.
∇φ ↔ (¬φ ∧ ◦φ) → φ
0 1 1 1 1 0 0
1 1 12 0 0 1
1
2
1 1 0 0 1 1 1
Proposição 1 Se v : For(J3) → {0, 12 , 1} é uma J3-valoração, então:
(i) v(φ) ∈ D ⇔ v(φ) = 12 ou v(φ) = 1;
(ii) v(¬φ) ∈ D ⇔ v(φ) = 12 ou v(φ) = 0;
(iii) v(◦φ) ∈ D ⇔ v(φ) = 0 ou v(φ) = 1.
Demonstração: Imediata das tabelas dos operadores de J3.
2 Sistemas de axiomas de J3
Nesta seção apresentamos três diferentes sistemas hilbertianos introduzidos em
momentos distintos para a Lógica Paraconsistente J3, todos no ambiente proposici-
onal.
Encontramos o primeiro sistema no artigo [5], com a seguinte configuração:
Esquemas de Axiomas:
(A1) ∆(φ→ (ψ → φ))
(A2) ∆((φ→ ψ) → ((ψ → σ) → (φ→ σ)))
(A3) ∆((¬φ→ ¬ψ) → (ψ → φ))
(A4) ∆(((φ→ ¬φ) → φ) → φ)
(A5) ∆(∆(φ→ ψ) → ∆(∆φ→ ∆ψ)).
Regras de Dedução:
(R1) φ,∆(φ→ ψ) ⊢ ψ
(R2) ∇φ ⊢ φ.
O segundo sistema está em [9]:
Esquemas de Axiomas:
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
20
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
(A1) φ→ (ψ → φ)
(A2) (φ→ (ψ → σ)) → ((φ→ ψ) → (φ→ σ))
(A3) (ψ → (φ→ σ) → (φ ∧ ψ) → σ)
(A4) φ→ (ψ → (φ ∧ ψ))
(A5) (φ ∧ ¬φ ∧ ◦φ) → ψ
(A6) ((¬φ ∧ ◦φ) → φ) → φ
(A7) ¬¬φ↔ φ
(A8) ◦φ↔ ◦¬φ
(A9) ¬∇φ↔ (¬φ ∧ ◦φ)
(A10) ◦(∇φ)
(A11) (¬(φ ∧ ψ) ∧ ◦(φ ∧ ψ) ∧ ψ) → (¬φ ∧ ◦φ)
(A12) (¬φ ∧ ◦φ) → (¬(φ ∧ ψ) ∧ ◦(φ ∧ ψ))
(A13) ((φ ∧ ψ) ∧ ◦(φ ∧ ψ)) ↔ ((φ ∧ ◦φ) ∧ (ψ ∧ ◦ψ)).
Regra de Dedução:
(MP) φ,φ→ ψ ⊢ ψ.
O terceiro e último sistema que apresentamos está em [3]. O operador de incon-
sistência • é a negação do operador de consistência, isto é, •ψ =def ¬ ◦ ψ:
Esquemas de Axiomas:
(A1) φ→ (ψ → φ)
(A2) (φ→ ψ) → ((φ→ (ψ → σ)) → (φ→ σ))
(A3) φ→ (ψ → (φ ∧ ψ))
(A4) (φ ∧ ψ) → φ
(A5) (φ ∧ ψ) → ψ
(A6) φ→ (φ ∨ ψ)
(A7) ψ → (φ ∨ ψ)
(A8) (φ→ σ) → ((ψ → σ) → ((φ ∨ ψ) → σ))
(A9) φ ∨ ¬φ
(A10) ¬¬φ↔ φ
(A11) ◦φ→ (φ→ (¬φ→ ψ))
(A12) •φ→ (φ ∧ ¬φ)
(A13) •(φ ∧ ψ) ↔ ((•φ ∧ ψ) ∨ (•ψ ∧ φ))
(A14) •(φ ∨ ψ) ↔ ((•φ ∧ ¬ψ) ∨ (•ψ ∧ ¬φ))(A15) •(φ→ ψ) ↔ (φ ∧ •ψ).
Regra de Dedução:
(MP) φ,φ→ ψ ⊢ ψ.
3 O nosso sistema de axiomas para J3
Motivados pelas lógicas LFI e pelo texto [4], propomos o seguinte sistema de
axiomas para J3:
Esquemas de Axiomas:
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
21
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
(A1) φ→ (ψ → φ)
(A2) (φ→ (ψ → σ)) → ((φ→ ψ) → (φ→ σ))
(A3) (φ ∧ ψ) → φ
(A4) (φ ∧ ψ) → ψ
(A5) (σ → φ) → ((σ → ψ) → (σ → (φ ∧ ψ)))
(A6) φ→ (φ ∨ ψ)
(A7) ψ → (φ ∨ ψ)
(A8) (φ→ σ) → ((ψ → σ) → ((φ ∨ ψ) → σ))
(A9) ¬¬φ↔ φ
(A10) φ ∨ (φ→ ψ)
(A11) ◦φ→ (φ→ (¬φ→ ψ))
(A12) ¬ ◦ φ→ (φ ∧ ¬φ)
(A13) ◦φ→ ◦¬φ
(A14) (◦φ ∧ ◦ψ) → ◦(φ→ ψ)
(A15) (◦φ ∧ ◦ψ) → ◦(φ ∨ ψ).
Regra de Dedução:
(MP) φ,φ→ ψ ⊢ ψ.
Como pode ser visto em [10] ou [12], os axiomas (A1) e (A2) mais a regra MP
garantem a validade do Teorema da Dedução para J3 e também do teorema ⊢ φ→ φ
e da regra de dedução SH: φ → ψ,ψ → σ ⊢ φ → σ. Isto garante para o sistema
uma relação de ordem dada por φ ≼ ψ ⇔ ⊢ φ→ ψ.
Os axiomas (A3) e (A4) caracterizam φ ∧ ψ como um limitante inferior para o
conjunto {φ,ψ} e, na presença do axioma (A5), então φ ∧ ψ torna-se o ı́nfimo do
conjunto {φ,ψ}. De modo semelhante, os axiomas (A6), (A7) e (A8) tornam φ∨ψ
no supremo do conjunto {φ,ψ}.
Como temos uma relação de ordem em que a operação ∧ determina o mı́nimo
para dois elementos quaisquer e ∨ determina o supremo para dois elementos quais-
quer, então estas operações geram um reticulado. O correspondente algébrico de
uma lógica que porta os axiomas (A1) - (A8) mais a regra MP, é a lógica positiva,
cujo modelo algébrico é um reticulado relativamente pseudo-complementado [12],
que é um reticulado distributivo.
Os axiomas (A9) e (A10) procuram sistematizar aspectos da negação ¬ no con-
texto lógico de J3, embora a negação não ocorra de fato em (A10). Como a negação
joga um papel importante na caracterização da paraconsistência, precisamos olhar
com cuidado para estes axiomas.
O axioma (A11) é equivalente à fórmula (φ ∧ ¬φ ∧ ◦φ) → ψ. Dele depreende
que se {φ,¬φ, ◦φ} ⊆ Γ, então para toda fórmula ψ, tem-se que Γ ⊢ ψ. Assim, este
axioma esclarece sob quais circunstâncias uma fórmula pode tornar um conjunto
trivial no sentido de deduzir todas as fórmulas de J3. O axioma (A12) também é
essencial e complementar para o caráter paraconsistente de J3, pois indica que uma
fórmula e sua negação podem ocorrer em certas situações.
Os axiomas (A13), (A14) e (A15) garantem que se φ e ψ são consistentes, então
as suas negações, condicionais e disjunções também são consistentes. Decorre que,
neste caso, também a conjunção é consistente.
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
22
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
Proposição 2 ⊢ (◦φ ∧ ◦ψ) → ◦(φ ∧ ψ)
Demonstração: Se ◦φ e ◦ψ, pelo axioma (A13), temos ◦¬φ e ◦¬ψ. De (A16),
segue que ◦(¬φ ∨ ¬ψ). Mais uma vez, por (A13), temos ◦¬(¬φ ∨ ¬ψ) e, por De
Morgan, ◦(φ ∧ ψ).
Proposição 3 {φ,ψ} ⊢ φ ∧ ψ
Demonstração: Se temos φ e ψ, pelo axioma (A1), temos também φ → ((σ →
σ) → φ) e ψ → ((σ → σ) → ψ). Por duas aplicações de MP temos (σ → σ) → φ
e (σ → σ) → ψ. Do axioma (A5) segue que ((σ → σ) → φ) → (((σ → σ) → ψ) →
((σ → σ) → (φ ∧ ψ))). Por duas aplicações de MP temos (σ → σ) → (φ ∧ ψ).
Como vale σ → σ, então temos φ ∧ ψ.
Proposição 4 (i) φ→ (ψ → σ) ⇔ (φ ∧ ψ) → σ
(ii) ⊢ φ→ (ψ → (φ ∧ ψ)).
Demonstração: (i) Usaremos o Teorema da Dedução.
(⇒) Assumimos que valem φ→ (ψ → σ) e φ∧ψ. Dos axiomas (A3) e (A4) na
segunda premissa, temos φ e ψ. Por duas aplicações da MP na primeira premissa
obtemos σ.
(⇐) Assumimos que valem (φ ∧ ψ) → σ, φ e ψ. Da proposição anterior, segue
que {φ,ψ} ⊢ φ∧ψ e, então {φ,ψ} ⊢ σ. Por duas aplicações do Teorema da Dedução
temos φ→ (ψ → σ).
(ii) Como vale (φ ∧ ψ) → (φ ∧ ψ), usando (i) temos φ→ (ψ → (φ ∧ ψ)).
Proposição 5 ⊢ ((¬φ ∧ ◦φ) → φ) → φ.
Demonstração: Em acordo com o exemplo (i), devemos mostrar que ⊢ ∇φ → φ
e, pela definição de condicional em J3, que ⊢ ¬∇φ ∨ φ.
Do axioma (A10), temos ⊢ φ ∨ φ→ ⊥. Segue, pelo exemplo (h), que ⊢ φ ∨ ∼ φ
e, então, ⊢ ∼ φ ∨ φ. Da definição de negação forte, temos que ⊢ ¬∇φ ∨ φ.
4 Correção
Para a correção, precisamos mostrar que todo teorema de J3 é válido segundo o
modelo MJ3 . Isto é o que é conhecido como correção fraca. Mostraremos algo um
pouco mais forte, que a cada consequência sintática corresponde uma consequência
semântica.
Teorema 6 (Correção) Γ ⊢ γ ⇒ Γ � γ.
Demonstração: Por indução sobre o comprimento da dedução Γ ⊢ γ.
Se o comprimento desta dedução é 1, então γ ∈ Γ ou γ é um axioma de J3. Se
γ ∈ Γ, então o resultado é imediato. Agora, devemos verificar que cada axioma de
J3 é válido segundo MJ3.
Faremos apenas mais alguns casos, pois (A1), (A6), (A9) e (A10) já estão
mostrados nos exemplos (a), (b), (c) e (d) da Seção 1. A validade dos axiomas
(A7) e (A13) é imediata.
(A11) ◦φ→ (φ→ (¬φ→ ψ)):
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
23
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
◦φ → (φ → (¬φ → ψ))
1 1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 12
1
2
1 1 0 1 1 1 1
0 1 12 0
1
2 0 0
0 1 12
1
2
1
2
1
2
1
2
0 1 12 1
1
2 1 1
1 1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 12
1 1 1 1 0 1 1
(A12) ¬ ◦ φ→ (φ ∧ ¬φ):
¬ ◦ φ → (φ ∧ ¬φ)
0 1 0 0 1
1 12
1
2
1
2
1
2
0 1 1 0 0
Agora o passo indutivo. Se a dedução tem n passos, então o enunciado vale para
todas as fórmulas que ocorrem até o passo n − 1 e áı a única regra de dedução, a
MP, é aplicada. Assim, temos ρ, ρ → δ ⊢ δ. Pela hipótese de indução v(ρ) ∈ D e
v(ρ→ δ) ∈ D. Logo, v(δ) ∈ D e, portanto, δ é válida segundo MJ3.
Com o Teorema da Correção, temos que todas as fórmulas de J3 que são de-
monstradas no sistema de axiomas de J3 são válidas segundo a semântica matricial
MJ3 . O passo seguinte é mostrar que o sistema de axiomas usado demonstra todas
as fórmulas que são válidas segundo MJ3 .
5 Completude
A completude sempre exige mais esforços. Precisamos de algumas definições
iniciais.
Definição 7 Seja Γ ∪ {φ,ψ} ⊆ For(J3):
(i) o conjunto das consequências de Γ é o conjunto C(Γ) = {φ : Γ ⊢ φ};
(ii) o conjunto Γ é uma teoria se C(Γ) ⊆ Γ;
(iii) o conjunto Γ é não trivial se existe alguma fórmula ψ tal que Γ 0 ψ, isto é,
C(Γ) ̸= For(J3);
(iv) o conjunto Γ é completo quando para toda fórmula φ: Γ 0 φ ⇒ Γ ∪ {φ} é
trivial;
(v) o conjunto Γ é adequadamente completo se é completo e não trivial.
A inclusão Γ ⊆ C(Γ) vale sempre. Uma teoria é um conjunto Γ tal que Γ =
C(Γ).
Cada conjunto completo é uma teoria, pois já conta com todas as suas con-
sequências.
A definição de conjunto completo do item (iv) não exclui a possibilidade de Γ
ser trivial, pois neste caso não ocorre que Γ 0 φ e, desse antecedente falso, temos
uma verdade. O conceito essencial é o de conjunto adequadamente completo, que
coincide com o de maximal e não trivial. Este é tal que se tiramos uma fórmula,
ele deixa de ser maximal e se inclúımos uma nova fórmula ele deixa de ser não trivial.
Nos resultados seguintes consideramos sempre Γ ⊆ For(J3).
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistemade axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
24
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
Proposição 8 O conjunto Γ é não trivial se, e somente se, para toda fórmula
φ ∈ For(J3), no máximo duas dentre φ,¬φ, ◦φ estão em C(Γ).
Demonstração: (⇒) Se para alguma fórmula φ ∈ For(J3), temos que {φ,¬φ, ◦φ} ⊆
C(Γ), então, pelo axioma (A11), o conjunto Γ é trivial.
(⇐) Se alguma fórmula não está em C(Γ), então Γ é não trivial.
Proposição 9 O conjunto Γ é adequadamente completo se, e somente se, para toda
fórmula φ ∈ For(J3), exatamente duas dentre φ,¬φ, ◦φ estão em C(Γ).
Demonstração: (⇒) Como Γ é adequadamente completo, então é não trivial. Pela
proposição anterior, no máximo duas dentre φ,¬φ, ◦φ estão em C(Γ). Por outro
lado, a condição de conjunto completo dá maximalidade dedutiva para Γ e, desse
modo, não pode ocorrer menos que duas dentre φ,¬φ, ◦φ em C(Γ).
(⇐) Consideremos que para toda fórmula φ ∈ For(J3), exatamente duas dentre
φ,¬φ, ◦φ estão em C(Γ). Pela proposição anterior, Γ é não trivial. Agora, se
Γ 0 ψ, então ψ é a terceira dentre as três fórmulas do tipo φ,¬φ, ◦φ, para alguma
φ e, assim, Γ ∪ {ψ} é trivial.
Proposição 10 Para toda fórmula φ ∈ For(J3), há uma J3-valoração v tal que v
satisfaz duas dentre φ,¬φ, ◦φ e não satisfaz a outra.
Demonstração: Se v0(φ) = 0, então v0(¬φ) = 1 e v0(◦φ) = 1;
Se v1(φ) =
1
2 , então v1(¬φ) =
1
2 e v1(◦φ) = 0;
Se v2(φ) = 1, então v2(¬φ) = 0 e v2(◦φ) = 1.
Este resultado sugere que cada uma dentre φ,¬φ, ◦φ é independente das outras
duas.
Proposição 11 Γ ⊢ φ⇔ Γ ∪ {¬φ, ◦φ} é trivial.
Demonstração: (⇒) Se Γ ⊢ φ, então Γ ∪ {¬φ, ◦φ} ⊢ φ ∧ ¬φ ∧ ◦φ e, portanto,
Γ ∪ {¬φ, ◦φ} é trivial.
(⇐) Se Γ ∪ {¬φ, ◦φ} é trivial, então para toda fórmula σ, temos que Γ ∪
{¬φ, ◦φ} ⊢ σ. Em particular, Γ ∪ {¬φ, ◦φ} ⊢ φ. Pelo Teorema da Dedução, segue
que Γ ⊢ ¬φ → (◦φ → φ) e, pela Proposição 4 (i), Γ ⊢ (¬φ ∧ ◦φ) → φ. Agora, pela
Proposição 5, temos que Γ ⊢ φ.
Corolário 12 Se Γ é não trivial, então um dentre Γ ∪ {¬φ, ◦φ}, Γ ∪ {φ, ◦φ} e
Γ ∪ {¬φ,φ} é não trivial.
Lema 13 Se Γ é adequadamente completo, então:
(i) ψ /∈ Γ ⇔ ¬ψ ∈ Γ e ◦ψ ∈ Γ;
(ii) ⊥ /∈ Γ e ⊤ ∈ Γ.
Demonstração: (i) Como Γ é adequadamente completo, então o resultado segue
da Proposição 9.
(ii) Se ⊥ ∈ Σ, então Σ é trivial. Como Γ é adequadamente completo, então
⊥ /∈ Γ e, depois, de (i), considerando-se ⊤ = ¬⊥, temos que ⊤ ∈ Γ.
Agora veremos como os conjuntos adequadamente completos interagem bem com
os axiomas da lógica J3.
Teorema 14 Se Γ é adequadamente completo, então valem:
[1] ψ ∧ σ ∈ Γ ⇔ ψ ∈ Γ e σ ∈ Γ;
[2] ψ ∨ σ ∈ Γ ⇔ ψ ∈ Γ ou σ ∈ Γ;
[3] ψ ∈ Γ ⇔ ¬¬ψ ∈ Γ;
[4] ψ → σ ∈ Γ ⇔ ψ /∈ Γ ou σ ∈ Γ;
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
25
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
[5] ◦ ψ ∈ Γ ⇒ ψ /∈ Γ ou ¬ψ /∈ Γ;
[6] ¬ ◦ ψ ∈ Γ ⇒ ψ ∈ Γ e ¬ψ ∈ Γ;
[7] ◦ ψ ∈ Γ ⇔ ◦¬ψ ∈ Γ;
[8] ◦ ψ, ◦σ ∈ Γ ⇒ ◦(ψ → σ) ∈ Γ
[9] ◦ ψ, ◦σ ∈ Γ ⇒ ◦(ψ ∨ σ) ∈ Γ
[10] ◦ ψ, ◦σ ∈ Γ ⇒ ◦(ψ ∧ σ) ∈ Γ.
Demonstração: Se Γ é adequadamente completo, então é uma teoria.
[1] Se ψ ∧ σ ∈ Γ, então dos axiomas (A3) e (A4), segue que ψ ∈ Γ e σ ∈ Γ. Por
outro lado, se ψ ∈ Γ e σ ∈ Γ, a Proposição 4 (ii), que depende de (A5), garante que
ψ ∧ σ ∈ Γ.
[2] De modo semelhante a [1], segue dos axiomas (A6)-(A8).
[3] Segue do axioma (A9).
[4] (⇒) Se ψ ∈ Γ, por MP, σ ∈ Γ. Logo, ψ /∈ Γ ou σ ∈ Γ.
(⇐) Do axioma (A10), ψ ∨ (ψ → σ) ∈ Γ e dáı, por [2], segue que ψ ∈ Γ ou
ψ → σ ∈ Γ. Se ψ /∈ Γ, então ψ → σ ∈ Γ; e se σ ∈ Γ, de (A1), segue que
σ → (ψ → σ) ∈ Γ e, por MP, ψ → σ ∈ Γ.
[5] Segue da Proposição 9.
[6] Segue do axioma (A12) e de [1].
[7] (⇒) Segue do axioma (A13). (⇐) Mais uma vez, pelo axioma (A13), temos
◦¬ψ → ◦¬¬ψ ⇔ ◦¬ψ → ◦ψ ∈ Γ.
[8]− [10] Seguem dos axiomas (A14), (A15) e Proposição 2.
Proposição 15 Para Γ ∪ {φ} ⊆ For(J3), se existe uma J3-valoração v tal que
v(σ) ∈ D ⇔ σ ∈ Γ, então para toda fórmula φ:
v(φ) = 0 ⇔ φ /∈ Γ
v(φ) = 12 ⇔ ◦φ /∈ Γ
v(φ) = 1 ⇔ ¬φ /∈ Γ.
Demonstração: v(φ) = 0 ⇔ v(φ) /∈ D H⇔ φ /∈ Γ;
v(φ) = 12 ⇔ v(◦φ) = 0 ⇔ v(◦φ) /∈ D
H⇔ ◦φ /∈ Γ;
v(φ) = 1 ⇔ v(¬φ) = 0 ⇔ v(¬φ) /∈ D H⇔ ¬φ /∈ Γ.
Proposição 16 Para Γ ∪ {φ} ⊆ For(J3), se existe uma J3-valoração v tal que
v(σ) ∈ D ⇔ σ ∈ Γ, então Γ é adequadamente completo.
Demonstração: Na visão das Proposições 9 e 15, basta mostrar que existe uma
J3-valoração v tal que para toda fórmula φ:
v(φ) = 0 ⇔ ¬φ, ◦φ ∈ Γ
v(φ) = 12 ⇔ φ,¬φ ∈ Γ
v(φ) = 1 ⇔ φ, ◦φ ∈ Γ.
Como para toda fórmula φ cada J3-valoração v atribui exatamente um valor do
conjunto {0, 12 , 1}, então exatamente uma dentre φ,¬φ, ◦φ não está em Γ. Portanto,
vale a condição acima e Γ é adequadamente completo.
Proposição 17 Se Γ é adequadamente completo, então existe uma J3-valoração v
tal que v(σ) ∈ D ⇔ σ ∈ Γ.
Demonstração: Seja Γ adequadamente completo. Então para toda fórmula φ ∈
For(J3), exatamente duas dentre φ,¬φ, ◦φ estão em Γ.
(⇒) Para cada variável p, se p /∈ Γ, então seja v(p) = 0, se ¬p ∈ Γ, então seja
v(p) = 12 e se ◦p ∈ Γ, então seja v(p) = 1. Assim, temos uma valoração tal que
v(σ) ∈ D ⇒ σ ∈ Γ.
(⇐) Mostramos por indução na complexidade das fórmulas que ocorrem em Γ,
que se σ ∈ Γ ⇒ v(σ) ∈ D. Usamos as Proposições 9 e 10.
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
26
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
Se σ é uma variável p, então de acordo com a Proposição 10:
se p, ◦p ∈ Γ, então v(p) = 1
se p,¬p ∈ Γ, então v(p) = 12
se ¬p, ◦p ∈ Γ, então v(p) = 0.
Se σ é uma negação ¬ψ, então:
se ¬ψ, ◦¬ψ ∈ Γ, por [7], ¬ψ, ◦ψ ∈ Γ e então v(ψ) = 0
se ¬ψ,¬¬ψ ∈ Γ, por [3], ¬ψ,ψ ∈ Γ e então v(ψ) = 12
se ¬¬ψ, ◦¬ψ ∈ Γ, por [3] e [7], ψ, ◦ψ ∈ Γ e então v(ψ) = 1.
Se σ é do tipo ◦ψ, então não podem ocorrer σ e ¬σ em Γ:
se ¬ ◦ ψ ∈ Γ, por [6], ψ,¬ψ ∈ Γ e então v(ψ) = 12
se ◦ψ ∈ Γ, por [5], ψ /∈ Γ ou ¬ψ /∈ Γ e então v(ψ) = 0 ou v(ψ) = 1.
Se σ é uma conjunção ψ ∧ η, então:
se (ψ ∧ η), ◦(ψ ∧ η) ∈ Γ, por [1], ψ ∈ Γ, η ∈ Γ e ◦(ψ ∧ η) ∈ Γ, então v(ψ) = 1 e
v(η) = 1
se (ψ ∧ η),¬(ψ ∧ η) ∈ Γ, então ◦(ψ ∧ η) /∈ Γ. Dáı, por [1] e [10], ψ, η ∈ Γ e
◦ψ /∈ Γ; ou ψ, η ∈ Γ e ◦η /∈ Γ, então v(ψ) = 12 e v(η) ∈ D ou v(ψ) ∈ D e v(η) =
1
2
se ¬(ψ ∧ η), ◦(ψ ∧ η) ∈ Γ, então ¬ψ ∨¬η, ◦(ψ ∧ η) ∈ Γ, por [2], ¬ψ, ◦(ψ ∧ η) ∈ Γ
ou ¬η, ◦(ψ ∧ η) ∈ Γ e então v(ψ) = 0 ou v(ψ) = 12 e v(η) = 0; ou v(η) = 0 ou
v(η) = 12 e v(ψ) = 0.
Se σ é uma disjunção ψ ∨ η, então:
se (ψ ∨ η), ◦(ψ ∨ η) ∈ Γ, por [2], ψ ∈ Γ e ◦(ψ ∨ η) ∈ Γ ou η ∈ Γ e ◦(ψ ∨ η) ∈ Γ,
então v(ψ) = 1 ou v(η) = 1.
se (ψ ∨ η),¬(ψ ∨ η) ∈ Γ, então ◦(ψ ∨ η) /∈ Γ e, por [9], ◦ψ /∈ Γ ou ◦η /∈ Γ. Da
primeira afirmação segue que (ψ ∨ η),¬ψ ∧ ¬η ∈ Γ, por [1] e [2], ψ,¬ψ,¬η ∈ Γ ou
η,¬ψ,¬η ∈ Γ e então v(ψ) = 12 e v(η) ̸= 1; ou v(η) =
1
2 e v(ψ) ̸= 1
se ¬(ψ ∨ η), ◦(ψ ∨ η) ∈ Γ, então ψ ∨ η /∈ Γ e, por [2], ψ /∈ Γ e η /∈ Γ e, portanto,
v(ψ) = 0 = v(η).
Se σ é do tipo ψ → η, então:
se ψ → η, ◦(ψ → η) ∈ Γ, por [4], ψ /∈ Γ ou η ∈ Γ e ◦(ψ → η) ∈ Γ e, dáı,
v(ψ) = 0 ou v(η) = 1.
se ψ → η,¬(ψ → η) ∈ Γ, então ◦(φ → ψ) /∈ Γ, por [8], ◦ψ /∈ Γ ou ◦η /∈ Γ e,
portanto, v(η) = 12 e v(ψ) ∈ D
se ¬(ψ → η), ◦(ψ → η) ∈ Γ, então ψ → η /∈ Γ, por [4], ψ ∈ Γ e η /∈ Γ e,
portanto, v(φ) ∈ D e v(ψ) = 0.
Corolário 18 O conjunto Γ é adequadamentecompleto se, e somente se, existe
uma J3-valoração v tal que v(σ) ∈ D ⇔ σ ∈ Γ.
Demonstração: Segue das duas proposições anteriores.
Lema 19 Todo conjunto não trivial pode ser estendido a um conjunto adequada-
mente completo.
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
27
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
Demonstração: Se Γ é não trivial, então mostraremos que ele está contido em um
conjunto adequadamente completo Σ.
Consideremos uma enumeração de todas as fórmulas de J3: ψ0, ψ1, ψ2, ψ3, ... e
Σ0 =def Γ.
Agora, respeitando a ordenação acima, definimos, indutivamente, a seguinte
sequência de conjuntos de fórmulas.
Σn+1 =def
{ (i) Σn ∪ {ψn,¬ψn}, se Σn ∪ {ψn,¬ψn} é não trivial
(ii) Σn ∪ {ψn, ◦ψn}, se Σn ∪ {ψn, ◦ψn} é não trivial
(iii) Σn ∪ {◦ψn,¬ψn}, se Σn ∪ {◦ψn,¬ψn} é não trivial,
.
Finalmente, seja Σ =def ∪n∈N Σn.
Por construção, para cada n ∈ N, o conjunto Σn é não trivial e, desse modo,
também Σ é não trivial.
Além disso, Γ = Σ0 ⊆ Σ e o conjunto Σ é adequadamente completo, pois percorre
todo o conjunto For(J3).
Proposição 20 O conjunto Γ é não trivial se, e somente se, tem um modelo dado
por uma J3-valoração.
Demonstração: Se Γ é não trivial, então pode ser estendido a um conjunto adequa-
damente completo Σ, para o qual há uma J3-valoração tal que v(σ) ∈ D ⇔ σ ∈ Γ.
Por outro lado, se há uma J3-valoração tal que v(σ) ∈ D ⇔ σ ∈ Γ, então existe
ψ ∈ For(J3) tal que v(ψ) /∈ D e, portanto, ψ /∈ Γ.
Teorema 21 (Completude) Γ � γ ⇒ Γ ⊢ γ.
Demonstração: Se Γ 0 γ, pela Proposição 11, o conjunto Γ∪{¬γ, ◦γ} é não trivial.
Do Lema 19, há uma teoria adequadamente completa Σ tal que Γ ∪ {¬γ, ◦γ} ⊆ Σ.
Pelo Corolário 18, existe uma J3-valoração v tal que v(σ) ∈ D se, e somente se,
σ ∈ Σ. Assim, v(¬γ), v(◦γ) ∈ D e v(γ) /∈ D. Logo, Γ 2 γ.
Os resultados seguintes dão ênfase à dedutibilidade finita de J3.
Proposição 22 Se Γ � ψ, então existe um subconjunto finito Γf ⊆ Γ, tal que
Γf � ψ.
Demonstração: Se Γ � ψ, pelo Teorema da Completude, Γ ⊢ ψ. Dáı, seja Γf um
subconjunto finito de Γ, constitúıdo pelas fórmulas que ocorrem numa dedução de ψ
a partir de Γ. Assim , Γf ⊢ ψ e, pelo Teorema da Correção, Γf � ψ.
Proposição 23 Se todo subconjunto finito de Γ tem modelo, então Γ tem modelo.
Demonstração: Se Γ não tem modelo, então é trivial. Portanto, para alguma
fórmula ψ, Γ ⊢ ψ ∧ ¬ψ ∧ ◦ψ. Seja Γf o subconjunto finito de Γ determinado pelas
fórmulas que ocorrem na dedução de ψ ∧ ¬ψ ∧ ◦ψ a partir de Γf . Desse modo,
Γf ⊢ ψ ∧ ¬ψ ∧ ◦ψ e, portanto, Γf é trivial. Logo, Γf não tem modelo.
Segue destas proposições o Teorema da Compacidade.
Teorema 24 (Compacidade) O conjunto de fórmulas Γ tem modelo se, e somente
se, todo subconjunto finito de Γ tem modelo.
Considerações finais
Introduzimos um conjunto de axiomas levemente distinto das versões anteriores,
as quais foram mencionadas no texto. Entendemos que nosso conjunto de axiomas
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
28
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
é mais simples que os anteriores e conta com uma argumentação mı́nima sobre a
presença de cada axioma no sistema hilbertiano proposto.
Este sistema é correto e completo para as matrizes de J3, denotada por MJ3 .
Demos uma demonstração bastante simples e direta, motivada por [9], mas com
algumas contribuições nossas.
Finalmente, mostramos que o sistema é adequado, mas não temos certeza de
que precisamos de todos os axiomas do sistema. Não mostramos a independência
dos axiomas, mas apenas que eles dão conta de gerar todas as fórmulas J3-válidas.
Fica então a questão de saber se podemos dispensar algum dos axiomas ou parte
deles.
Agradecimentos
Agradecemos apoio do CNPq e da FAPESP.
Referências
[1] BOLC, L., BOROWIK, P. Many-valued logics: 1 theoretical foundations. Berlin:
Springer-Verlag, 1992.
[2] CARNIELLI, W.; CONIGLIO, M. E; MARCOS, J. Logics of formal inconsis-
tency. In GABBAY, D.; GUENTHNER, F. (Eds.) Handbook of Philosophical
Logic, 2nd. ed., v. 14, p. 1-93, 2007.
[3] CARNIELLI, W. A.; MARCOS J.; AMO S. Formal inconsistency and evoluti-
onary databases. Logic and Logical Philosophy, v. 8, p. 115-152, 2000.
[4] CONIGLIO, M. E.; SILVESTRINI, L. H. C. An alternative approach for quasi-
truth. Logic Journal of IGPL, v. 22, p. 387-410, 2014.
[5] D’OTTAVIANO, I. M. L. The completeness and compactness of a three-valued
first-order logic. Revista Colombiana de Matemáticas, v. XIX, n. 19, p. 77-94,
1985.
[6] D’OTTAVIANO, I. M. L. Definability and quantifier elimination for J3-theories.
Studia Logica, v. XLVI, v. 46, n. 1, p. 37-54, 1987.
[7] D’OTTAVIANO, I. M. L.; da COSTA, N. C. A. Sur un problème de Jáskowski.
Comptes Rendus de l’Académie de Sciences de Paris (A-B), v. 270, p. 1349-1353,
1970.
[8] ENDERTON, H. B. A mathematical introduction to logic. San Diego: Academic
Press, 1972.
[9] EPSTEIN, R. L. The semantic foundations of logic. Volume 1: propositional
logics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990.
[10] FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Editora,
UNESP, 2005.
[11] MALINOWSKI, G. Many-valued logics. Oxford: Clarendon Press, 1993.
[12] RASIOWA, H. An algebraic approach to non-classical logics. Amsterdam:
North-Holland, 1974.
FEITOSA, H. A.; CRUZ, G. A.; GOLZIO, A. C. J. Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J .
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664hafgacacjg1629 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
29
Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 16-29, ago. 2015. 
3 C.Q.D. - Revista
____________________________ 
* Email: klixg@yahoo.com.br. EEP, Piracicaba, SP; Uniesp, Tietê, SP; Colégio Gradual, 
Cerquilho, SP; E. E. Pres. Arthur da Silva Bernardes, Cerquilho, SP 
 
 
Parábolas e hipérboles envolventes 
Calixto Garcia * 
 
Resumo 
Não é raro na escola do ensino básico a confecção de trabalhos artísticos que 
consistem em unir, com barbantes esticados, pregos fixados em uma base plana, 
seguindo alguma regularidade. Nesse contexto, curvas podem ser definidas com a 
propriedade de tangenciar cada linha da coleção de segmentos concebidos por tais 
barbantes, característica das chamadas curvas envolventes. Pretende-se explorar neste 
trabalho duas situações que geram curvas com essa propriedade, quais sejam: a parábola 
e a hipérbole. 
Palavras-chave: curvas envolventes, parábola, hipérbole. 
 
Introdução 
Dar tratamento matemático a situações do cotidiano é um hábito que usualmente 
se desenvolve naquele que aprecia as ciências exatas. A situação que expomos no 
resumo é oportuna a esse tratamento. Ao abordá-la, dispondo-se de uma base plana, 
inicialmente estabelecemos uma disposição para os pregos e, a depender da interligação 
destes com os barbantes, determinamos analiticamente a parábola ou a hipérbole como 
curva envolvente. Em seguida, para cada caso, procedemos a uma generalização (com 
demonstração de recíproca), estudando o comportamento de cada curva criada na 
medida em que alteramos o “posicionamento dos pregos”. Nesse estudo, é interessante 
e instrutivo contar com o auxílio de softwares geradores de gráficos ou dedicados à 
Geometria, tais como o Winplot, Graphmatica, Cabri e o Geogebra, sobretudo com os 
que oferecem apresentação dinâmica. 
 
 
GARCIA,C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
30
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
1 Parábola envolvente 
Imaginemos, na figura 1, pregos igualmente espaçados sobre os lados de um 
ângulo reto. Note que os pedaços de barbante esticados que unem cada dois deles são 
hipotenusas de triângulos com a soma das medidas dos catetos constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 Mostremos que existe uma parábola tangenciando cada linha dessa coleção, ou, 
em outras palavras, que a curva envolvente criada por essas linhas é uma parábola. 
Iniciemos com um exemplo, adotando 2 2 para soma das distâncias dos pontos 
de fixação do barbante ao vértice do referido ângulo reto, considerando-o com lados nas 
bissetrizes dos dois primeiros quadrantes de um plano cartesiano. 
 Observando a figura 2, devemos ter OP + OQ = 2 2 . Assim, sendo xQ = k, com 
0 ≤ k ≤ 2, temos OQ = k 2 e, portanto, OP = 2 2 – k 2 = (2 – k) 2 . Com isso, 
concluímos que xP = – (2 – k) e, também, conhecemos Q = (k, k) e P = (k – 2, 2 – k). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
31
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
Então, a reta PQ tem coeficiente angular 
)2(
)2(


kk
kk
 = k – 1, e, portanto, sua 
equação é: y – k = (k – 1)(x – k). 
Embora tenhamos um número finito de barbantes, para cada k real entre 0 e 2, 
vamos considerar a família de retas com a equação y – k = (k – 1)(x – k). Essa equação é 
quadrática na variável k, a saber, k2 – (x + 2)k + x + y = 0, e deve apresentar uma só 
solução, se procurarmos os pontos (x, y) pelos quais passa uma única reta dessa família. 
Com isso, seu discriminante Δ = (x + 2)2 – 4(x + y) deve ser nulo, o que conduz à 
equação y = ¼ x2 + 1, reconhecidamente de uma parábola. E, para cada k, não é difícil 
verificar que a tal reta intersecta essa parábola no ponto (2(k – 1), (k – 1)2 + 1). 
Em outras palavras, todos os pontos por onde passa somente uma reta da família 
pertencem à parábola y = ¼ x2 + 1. 
 
 Vamos proceder agora a uma generalização compreendendo a inclinação das 
semirretas OP e OQ e a tal soma OP + OQ. Sem perdê-la, entretanto, podemos 
“posicionar” na origem O o vértice do ângulo que delimita a curva envolvente, tendo 
como bissetriz a parte positiva do eixo y, como fizemos acima. Denominemos S a soma 
das distâncias dos pontos de fixação do barbante ao vértice desse ângulo. 
 Como se pode observar na figura 3, os lados dos ângulos estão contidos nas retas 
de equações y = (tgα)·x e y = – (tgα)·x. Daí, sendo xQ = k, temos Q = (k, (tgα)·k). Como 
k = OQ·cosα e OQ + OP = S, então OP = S –
cos
k
, para 0 ≤ k ≤ S·cosα. Disso, |xP| = 
OP·cosα = S·cosα – k, ou, xP = k – S·cosα e, também, yP = – (tgα)·xP = S·senα – k·tgα. 
Portanto, P = (k – S·cosα, S·senα – k·tgα). Daí, a reta PQ, de coeficiente angular 


cos
2


S
senStgk
, tem equação y – k·tgα = 


cos
2


S
senStgk
 (x – k). Essa equação 
pode ser reescrita assim: (2tgα)·k2 – (2S·senα + 2x·tgα)·k + S·x·senα + S·y·cosα = 0. Na 
variável k, deve apresentar apenas uma solução, se desejarmos encontrar os pontos (x, y) 
pelos quais passa uma única reta dessa família. Isso significa que é nulo o seu 
discriminante, o que equivale a y =
2cos2
2
2


 senS
x
S
sen 


, com 0 < α < π/2. 
 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
32
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
 
figura 3 
Para ilustrar alguns casos particulares dessas porções de parábolas com 
prolongamentos, apresentamos a figura 4: na esquerda, temos fixo α = π/3 e, na direita, 
S = 4. 
 
 
figura 4 
 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
33
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
 Vamos formular uma espécie de recíproca do que foi tratado acima. 
 Seja uma parábola e um ângulo com vértice em seu eixo de simetria, de modo 
que seus lados tangenciam-na. Considere os pontos P e Q, cada qual pertencente a um 
lado desse ângulo, tal que o segmento PQ seja também tangente à parábola. Mostremos 
que, quaisquer que sejam os pares de pontos P e Q assim tomados, a soma das 
distâncias destes pontos ao vértice do referido ângulo é constante. 
 De fato, sem comprometer a ideia geral, podemos tomar uma parábola com 
vértice na origem do sistema cartesiano, com concavidade voltada para cima. Ela tem, 
portanto, equação da forma y = ax2, com a > 0. Para dado λ > 0, seja R = (0, – λ) o 
vértice do ângulo descrito acima. Como se pode observar na figura 5, os lados desse 
ângulo estão contidos em retas de equações y = mx – λ e y = – mx – λ e, já que são 
tangentes à parábola, têm discriminante nulo as equações ax2 =  mx – λ, o que implica 
em m = a2 e, daí, os pontos de tangência são U =








 

,
a
 e V =










,
a
. 
 
figura 5 
Sabemos que, a cada ponto T = (x0, a
2
0x ) da parábola em questão, está associada 
a equação do feixe de retas y – a 20x = m’(x – x0) que o contém. Se procurarmos pela reta 
PQ deste feixe que a tangencie neste ponto, devemos impor nulo o discriminante da 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
34
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
equação ax2 – a 20x = m’(x – x0), na variável x, o que equivale a se ter m’ = 2ax0 (*). 
Com isso, a equação da reta PQ fica assim: y = 2ax0x – a
2
0x . Resolvendo dois sistemas 
com essa equação em comum, combinada com cada uma das equações das retas 
suportes y = a2 x – λ e y = a2 x – λ dos lados do ângulo dado, obtemos as 
coordenadas de Q e P. Eis suas abscissas: xQ = 


aax
ax
22 0
2
0


 e xP = 


aax
ax
22 0
2
0


. 
Uma vez que y + λ = – 2 a x, então, como PR =
22 )(  PP yx e QR 
= 22 )(  QQ yx , temos a soma S = PR + QR =
22 4 PP xax  +
22 4 QQ xax  = 
axx QP 41|)||(|  . Sendo 
a
x
a

 0 , S = axx PQ 41)(  = 





a
aax
ax
aax
ax
41
2222 0
2
0
0
2
0 












. Com algumas manipulações algébricas 
chegamos a S = λ·
a
1
4  , que é constante, como queríamos mostrar. 
 
2 Hipérbole envolvente 
A figura 6 ilustra a mesma disposição dos pregos que na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 6 
_________________________________________ 
* Para obter o coeficiente m’ mais diretamente, é suficiente calcular a derivada da 
função f(x) = ax2 no ponto x0. 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
35
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
Note, agora, que os pedaços de barbante esticados que unem cada dois deles são 
hipotenusas de triângulos como produto das medidas dos catetos constante. A curva 
envolvente criada por essas linhas é um ramo de uma hipérbole equilátera. Suas 
assíntotas são as retas suportes dos lados desse ângulo. 
 De fato, seja M o produto das distâncias dos pontos de fixação do barbante ao 
vértice do referido ângulo reto, considerando-o com lados nas bissetrizes dos dois 
primeiros quadrantes de um plano cartesiano, assim como fizemos com o caso anterior. 
 Observando a figura 7, devemos ter OP∙OQ = M. Assim, com xQ = k > 0, temos 
OQ = k 2 e, portanto, OP =
2k
M
. Com isso, concluímos que xP = – 
k
M
2
 e, também, 
conhecemos Q = (k, k) e P = (– 
k
M
2
,
k
M
2
). Então, a reta PQ tem coeficiente angular 
Mk
Mk
k
M
k
k
M
k





2
2
2
2
2
2 , e, portanto, sua equação é: y – k = 
Mk
Mk


2
2
2
2
(x – k). 
 
figura 7 
 
Embora também tenhamos um número finito de barbantes, para cada real k > 0, 
vamos considerar a família de retas com a equação y – k = 
Mk
Mk


2
2
2
2
(x – k). Essa 
equação é quadrática na variável k, a saber, 2(y – x)∙k2 – 2M∙k + M(y + x) = 0, e deve 
apresentar uma só solução, se procurarmos os pontos (x, y) pelos quais passa uma única 
reta dessa família. Com isso, seu discriminante Δ = 4M[M – 2(y2 – x2)] deve ser nulo, o 
que conduz à equação y2 – x2 = 
2
M
, reconhecidamente de uma hipérbole equilátera com 
as bissetrizes dos quadrantes do plano cartesiano como assíntotas. 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
36
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
Em outras palavras, todos os pontos por onde passa somente uma reta da família 
pertencem à hipérbole y2 – x2 = 
2
M
. 
 Vamos proceder a uma generalização, baseando-nos na figura 3, ainda com 
0 < α < π/2 e agora, com OP∙OQ = M. Sendo Q = (k, k∙tgα), k > 0, como k = OQ·cosα, 
então, OP = 
k
M cos
. E, como |xP| = OP·cosα, então, xP = 
k
M 2cos
 . Daí, 
yP = – (tgα)·xP = 
k
senM  cos
. Portanto, P = 




 

k
senM
k
M  cos
,
cos2
. 
 A reta PQ, de coeficiente angular m = 


22
2
cos
cos


Mk
senMtgk
, tem equação 
y – k·tgα = m(x – k) que, após manipulações algébricas, também pode ter a seguinte 
forma: (y – x∙tgα)∙k2 – (2M∙senα∙cosα)∙k + M∙y∙cos2α + M∙x∙senα∙cosα. Na variável k, 
esta equação deve apresentar apenas uma solução, se desejarmos encontrar os pontos 
(x, y) pelos quais passa uma única reta dessa família. Isso significa que é nulo o seu 
discriminante, o que, com um pouco de trabalho, nos conduz ao equivalente: 
M
x
sen
y

 2
2
2
2
cos
, com y > 0, que, por sua vez, pode ser reescrita na forma explícita 
y = tgα ∙ 22cos xM   . 
Uma conclusão a mais: para cada k, cada ponto dessa hipérbole é médio do 
segmento PQ, uma vez que a equação da hipérbole é satisfeita para as coordenadas 
desse ponto. 
De fato, se T é ponto médio de PQ, T = 




 
k
tgksenM
k
Mk
2
cos
,
2
cos 222 
. 
Daí, tgα 22cos TxM   = tgα
2
22
2
2
cos
cos 




 

k
Mk
M

 = 222 )cos(
2


 Mk
k
tg
 = 
k
tgksenM
2
cos 2  
 = yT. 
 A figura 8 ilustra alguns casos particulares desses ramos de hipérboles com suas 
assíntotas: na esquerda, temos fixo α = π/3 e, na direita, M = 2. 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
37
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
 
figura 8 
 
 Formulemos uma recíproca para esse resultado. Consideremos um ramo de uma 
hipérbole de centro O, o ponto comum de suas assíntotas, e uma reta tangente a essa 
curva. Sejam P e Q os pontos de intersecção dessa reta com tais assíntotas. Então, o 
produto OP∙OQ é constante, e mais: o ponto de tangência da reta considerada é médio 
do segmento PQ. 
 De fato, sem afetar a generalidade, podemos considerar o ramo com ordenadas 
positivas da hipérbole 1
2
2
2
2

b
x
a
y
, com a e b positivos, ou seja, da curva com equação 
y = 22 bx
b
a
 . Trata-se da tal porção de hipérbole centrada na origem O do plano 
cartesiano, com assíntotas y = 
b
a
x e y = – 
b
a
x (figura 9). 
 
figura 9 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
38
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
 Sabemos que, a cada ponto T = (x0, 
22
0 bx
b
a
 ) da hipérbole em questão, está 
associada a equação do feixe de retas y – 220 bx
b
a
 = m(x – x0) que o contém. A reta 
desse feixe que é tangente a essa hipérbole tem o coeficiente m igual ao valor da 
derivada da função f(x) = 22 bx
b
a
 no ponto x0, a saber, m = 
22
0 bx
x
b
a

 (*). Assim, 
a equação da reta tangente à hipérbole no ponto T é y – 220 bx
b
a
 =
22
0 bx
x
b
a

(x – x0). 
Resolvendo dois sistemas com essa equação em comum, combinada com cada uma das 
equações y = 
b
a
x e y = – 
b
a
x das assíntotas, obtemos P = 








 0
22
00
22
0
2
,
xbx
ab
xbx
b
 
e Q = 








 0
22
00
22
0
2
,
xbx
ab
xbx
b
. Com algumas manipulações algébricas 
chegamos ao produto OP∙OQ = a2 + b2, que é constante, como pretendido. 
 Ainda, 
2
QP xx 
 = 










 0
22
0
2
0
22
0
2
2
1
xbx
b
xbx
b
=
)]([2
2
22
0
2
0
0
2
bxx
xb


 = x0 = xT 
e 
2
QP yy 
= 
2
22
0
0
22
00
22
0
2
2
2
1
b
bxab
xbx
ab
xbx
ab 












= 220 bx
b
a
 = y0 = yT. 
Com isso, T é ponto médio de PQ. Isso completa a demonstração da recíproca. 
 
3 Construções geométricas 
 Os gráficos apresentados nas figuras 4 e 8 foram construídos por um software a 
partir de suas equações cartesianas. Também se contando com recursos da informática, 
essas curvas podem ser observadas quando da construção geométrica das retas que as 
delimitam, a partir das propriedades que possuem, evidenciadas nesse estudo. 
 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
* Embora mais trabalhoso, é possível obter o coeficiente m da maneira que foi realizado 
para encontrar m’, no caso da parábola, ou seja, sem se valer do Cálculo Diferencial. 
 
GARCIA, C. Parábolas e hipérboles envolventes.
DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664cg3042 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
________________________________________________________________________
39
C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 30-42, ago. 2015. 
 
 
 
 No caso da parábola, devemos construir segmentos com extremidades em cada 
lado de um ângulo dado, de modo que a soma das distâncias dessas extremidades ao 
vértice desse ângulo seja fixa. Para tanto, primeiramente construímos o ângulo e um 
segmento de medida fixa s (figura 10). Marcamos um ponto nesse segmento e 
transferimos (via compasso) as medidas das distâncias u e v desse ponto às suas 
extremidades em cada lado do ângulo, a partir de seu vértice. Com isso determinamos 
nesses lados segmentos com a propriedade descrita acima, isto é, com u + v = s. Ao 
“deslizarmos” o ponto marcado, ao longo do segmento de medida s, o software de 
Geometria Dinâmica encarrega-se de traçar os segmentos que delimitam a parábola 
envolvente. 
 
figura 10 
 No caso da hipérbole, devemos construir segmentos com extremidades em cada 
lado de um ângulo dado, de modo que o produto ω das distâncias