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ISSN 2316-9664 
 
Sumário 
 
Como calcular a área e o perímetro de uma elipse? 
Josiel Pereira da Silva 2 
 
Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student 
Cleber Giugioli Carrasco, Thiago Santana Lemes 7 
 
Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição 
Hermes A. Pedroso, Juliana C. Precioso 17 
 
Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na Mega-Sena 
Rogério César dos Santos 35 
 
Sugestões para aplicação do teorema de Pick na educação básica 
Francisco Silverio da Silva Junior, Fernando Pereira Micena 41 
 
Introdução à teoria de Poincaré-Bendixson para campos de vetores planares 
Otávio Henrique Perez, Tiago de Carvalho 59 
 
Desigualdades no triângulo de Pascal 
Antônio Luiz de Melo, Rogério César dos Santos 75 
 
Explorando construções de cônicas 
João Calixto Garcia, Vanderlei Marcos do Nascimento 85 
Como calcular a área e o peŕımetro de uma elipse?
Josiel Pereira da Silva ∗
Resumo
Muitos professores de Matemática relatam que a maioria dos livros didáticos de
Matemática utilizados no Ensino Médio não abordam o conceito de área e peŕımetro
da elipse. Neste trabalho, abordaremos esse tema, que tem como objetivos deduzir,
as fórmulas que permitem calcular a área e o peŕımetro de uma elipse, utilizando
uma linguagem simples e de fácil compreensão, mas sem perder o rigor matemático.
Para isso, utilizamos as noções de derivada e integral, tópicos que geralmente são
abordados em um primeiro curso de Cálculo e que podem ser encontrados em [1] e
[3]. Utilizando as noções de derivada e integral, conclúımos que a área e o peŕımetro,
que denotaremos por S e C, respectivamente, de uma elipse de focos F1(−c, 0) e
F2(c, 0), centro O(0, 0) e vértices A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0,−b) e B2(0, b), onde
A1A2 é o eixo maior de comprimento 2a e B1B2 é o eixo menor de comprimento 2b,
podem ser obtidos através das fórmulas S = π · ab e C ≈ πa
(
2− e22 +
3e4
16
)
.
Palavras Chave: Elipse, Área, Peŕımetro.
1 Introdução
O cálculo de área e peŕımetro são atividades indispensáveis para o ser humano.
Desde a antiguidade, o homem sempre foi desafiado em diversas situações a calcular
áreas e peŕımetros de figuras planas. Hoje não é diferente, diariamente resolvemos
problemas que geralmente utilizamos Matemática na sua resolução.
Foi devido a esse pensamento e alguns anos lecionando Matemática em turmas
do Ensino Médio, que surgiu a ideia de produzir esse artigo. Percebemos que não
é dada a importância merecida em sala de aula ao estudo das cônicas. Isso ficou
evidente após analisar o material didático e livros utilizados atualmente, nos quais
o cálculo da área e do peŕımetro das cônicas são geralmente omitidos nos textos de
Geometria Anaĺıtica para o Ensino Médio. Diante desse cenário, o objetivo deste
trabalho é deduzir tais fómulas que permitem calcular a área e o peŕımetro da elipse.
2 A elipse nos livros didáticos
É comum, em livros de Matemática, encontrarmos fórmulas que podem ser usadas
para calcular área e peŕımetro de figuras planas, por exemplo, quadrado, retângulo,
ćırculo, etc. Porém, quando estudamos a elipse no Ensino Médio, dificilmente é
apresentado nos livros didáticos, as fórmulas que fornecem a área e o peŕımetro de
uma elipse.
∗Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Campina Grande (UFCG)
SILVA, J. P. Como calcular a área e o perímetro de uma elipse?.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664jps0206 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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dez. 2014.
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3 A área de uma elipse
Chama-se elipse, o conjunto de pontos de um plano cuja somas das distâncias a dois
pontos fixos desse plano é uma constante.
Considere uma elipse de focos F1(−c, 0) e F2(c, 0), centro O(0, 0) e vértices
A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0,−b) e B2(0, b), onde A1A2 é o eixo maior de comprimento
2a e B1B2 é o eixo menor de comprimento 2b, como ilustra a figura a seguir.
Figura 1: Elipse centrada na origem.
A equação reduzida dessa elipse é dada por
x2
a2
+
y2
b2
= 1, onde a2 = b2 + c2. (3.1)
Isolando a variável y na equação (3.1) obtemos,
y =
b
a
√
a2 − x2 ou y = − b
a
√
a2 − x2.
A área da semi-elipse, que denotaremos por S1, correspondente a região delimi-
tada pelo eixo Ox e pela função f1 : R −→ R dada por f1(x) = ba
√
a2 − x2 é dada
pela integral
S1 =
∫ a
−a
f1(x) dx (3.2)
Assim,
S1 =
∫ a
−a
b
a
√
a2 − x2 dx = b
a
∫ a
−a
√
a2 − x2 dx.
Consultando [1] encontramos, de forma bem detalhada, o cálculo da integral
trigonométrica indefinida ∫ √
a2 − x2 dx,
que tem como resultado∫ √
a2 − x2 dx = a
2
2
arcsen
(x
a
)
+
x
2
√
a2 − x2 + C,
SILVA, J. P. Como calcular a área e o perímetro de uma elipse?.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664jps0206 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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onde segue
S1 =
b
a
∫ a
−a
√
a2 − x2 dx = ab
2
[
arcsen
(x
a
)
+
x
2
√
a2 − x2
]a
−a
=
ab
2
· π = πab
2
.
Denotando por S2 a área da semi-elipse correspondente a região delimitada pelo
eixo Ox e pela função f2 : R −→ R dada por f2(x) = − ba
√
a2 − x2, S2 é dada pela
integral
S2 = −
b
a
∫ a
−a
√
a2 − x2 dx,
que calculando de modo análogo ao caso anterior, encontramos
S2 =
πab
2
.
A área total, que denotaremos por S é dada por
S = S1 + S2.
Assim,
S = π · ab.
Observe que se a = b, a elipse se torna um ćırculo cujo raio é r = a e a área da
elipse é dada por
S = π · a · a = π · a2.
4 O peŕımetro de uma elipse
A equação reduzida da elipse como vimos anteriormente é
x2
a2
+
y2
b2
= 1, onde a2 = b2 + c2.
Derivando implicitamente ambos os membros da igualdade
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (4.1)
em relação a x, obtemos
y′ = − b
2x
a2y
.
Logo,
1 + (y′)2 = 1 +
b4x2
a4y2
. (4.2)
Isolando y2 na equação (4.1), encontramos
y2 = b2
(
1− x
2
a2
)
. (4.3)
Substituindo a equação (4.3) na equação (4.2), obtemos
1 + (y′)2 = 1 +
b4x2
a4b2
(
1− x2
a2
) = a2 − c2x2a2
a2 − x2
.
SILVA, J. P. Como calcular a área e o perímetro de uma elipse?.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664jps0206 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Como a excentricidade da elipse, que denotamos por e, é dada por e = ca , temos,
1 + (y′)2 =
a2 − e2x2
a2 − x2
. (4.4)
O peŕımetro procurado, é dado pela fórmula
C = 4
∫ a
0
√
1 + (y′)2dx,
que pode ser encontrada em [1].
Logo,
C = 4
∫ a
0
√
a2 − e2x2
a2 − x2
dx.
Para chegar a uma expressão mais simples devemos fazer uma substituição tri-
gonométrica. Para isso, tome x = a · sen(α) e terá dx = a · cos(α). Observe que
para x = 0, teremos α = 0. Já para x = a teremos α = π2 . Dessa forma,
C = 4
∫ π
2
0
[√
a2 − e2a2 sen2(α)
a2 − a2 sen2(α)
a · cos(α)
]
d(α) = 4a
∫ π
2
0
√
1− e2 sen2(α) d(α).
Portanto,
C = 4a
∫ π
2
0
√
1− e2 sen2(α) d(α). (4.5)
Resolver a integral da igualdade (4.5) não é uma tarefa fácil. Por isso, a única
alternativa é obter uma boa aproximação para a tal integral. Para isso, iremos usar
a série binomial, que permite expandir potências do tipo (1+x)n, para todo x, n ∈ R
tal que |x| < 1. Assim, como
| − e2 sen2(α)| = |e2|| sen2(α)| < 1,
usaremos a igualdade
(1 + x)n = 1 + nx+
n(n− 1)x2
2!
+
n(n− 1)(n− 2)x3
3!
+ · · · , (4.6)
para obter tal aproximação. Fazendo n = 12 e x = −e
2 sen2(α) na igualdade (4.6) e
resolvendo a integral encontrada após as devidas substituições, teremos,
C ≈ πa
(
2− e
2
2
+
3e4
16
)
. (4.7)
Quando e = 0, a elipse torna-seum ćırculo de raio r = a = b, cujo peŕımetro é
2πa.
5 Conclusão
O cálculo integral é umas das partes da Matemática mais fascinante. É uma ferra-
menta que permite resolver problemas considerados elementares, mas que exigem do
resolvedor um conhecimento matemático mais acurado. Isso se torna viśıvel quando
temos a missão de calcular a área e o peŕımetro de uma elipse, uma cônica bem
conhecida dos amantes da Matemática.
SILVA, J. P. Como calcular a área e o perímetro de uma elipse?.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664jps0206 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Diferente de outras curvas, o cálculo da área de uma elipse é uma tarefa teori-
camente fácil, mas, calcular o seu peŕımetro não é uma atividade trivial. Portanto,
com um pouco de esforço poderemos exibir uma expressão que poderá ser usada
para calcular a área de uma elipse qualquer. Tal fórmula é
S = πab.
Já a expressão que fornece uma boa aproximação para o peŕımetro de uma elipse é
C ≈ πa
(
2− e
2
2
+
3e4
16
)
.
O ensino médio é uma fase da educação básica onde o aluno tem a oportunidade
de não só obter o amadurecimento dos conhecimentos obtidos no ensino fundamen-
tal, como também, a adquirir o prazer e a autonomia com relação a aprendizagem
Matemática. Diante disso, é importante que os professores aprensentem, de forma
agradável, as cônicas, elementos da geometria muito presente no cotidiano de cada
um, basta observar a bola de futebol americano, uma melancia, etc.
Esperamos que este trabalho seja o ińıcio de uma caminhada, onde temas que
professores, por inúmeros motivos deixam de apresentar aos seus alunos, a exemplo
das cônicas, possam ser exibidos de maneira clara, agradável e acima de tudo,
objetiva.
Referências
[1] FLEMMING, Diva Maŕılia; GONÇALVES, Mı́rian Bus. Cálculo A: funções,
limite, derivação, integração. São Paulo, Pearson Prentice Hall, (1997).
[2] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. Vol. 1. (11a edição). Projeto Euclides,
IMPA, Rio de Janeiro, 2006.
[3] SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria anaĺıtica. São Paulo,
Makron Books, (1994).
SILVA, J. P. Como calcular a área e o perímetro de uma elipse?.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664jps0206 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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† Email: cleber.carrasco@ueg.br. Docente da Universidade Estadual de Goiás – UEG. 
1 Graduado em Licenciatura em Matemática na Unidade de Ciências Exatas e Tecnológicas da 
Universidade Estadual de Goiás e voluntário no programa de iniciação científica PVIC/UEG. 
 
 
Uma Avaliação do Erro Tipo II no Uso do 
Teste t-student 
 
Cleber Giugioli Carrasco † 
Thiago Santana Lemes 1 
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual de Goiás, 
UnUCET/UEG, 75.132-903, Anápolis, GO 
 
 
Resumo 
O objetivo deste trabalho foi utilizar o método de Monte Carlo para estimar a 
probabilidade de se cometer o erro tipo II ao realizar o teste t-student para uma amostra, 
o qual é uma ferramenta estatística muito importante na tomada de decisões, através de 
um estudo de simulação. Neste estudo, foi verificada a influência do tamanho amostral, 
da variabilidade, do nível de significância do teste e das médias alternativas sobre o erro 
tipo II. Todo esse procedimento foi implementado computacionalmente no software free 
R. Os resultados desse estudo convalidam os resultados teóricos apresentados na 
literatura estatística sobre o erro tipo II, ou seja, que esse erro diminui quando se 
aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste e quando os 
valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro 
fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio-padrão aumenta, a probabilidade de 
ocorrer o erro tipo II também aumenta. Dessa forma, pode-se controlar esse erro, em 
particular, através do nível de significância fixado no teste e pelo tamanho da amostra. 
Palavras Chave: Método de Monte Carlo, simulação, teste de hipóteses. 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Introdução 
Quando se tem interesse em testar uma alegação a respeito do valor de um 
parâmetro populacional, pode-se utilizar um teste de hipóteses para auxiliar na tomada 
da decisão correta. Por exemplo, se afirmam que a altura média de uma população é 
1,70 m, pode-se então aceitar ou rejeitar essa afirmação fazendo um teste de hipóteses 
para a média. Para isso é necessário em primeiro lugar, definir a hipótese nula (H0) que 
será testada e a hipótese alternativa (HA) que será dita aceita caso se rejeite H0. Nesse 
caso a hipótese nula é de que a população tem média de altura igual a 1,70 m e a 
hipótese alternativa é de que a média de altura é diferente de 1,70 m, podendo também 
ser maior ou menor do que 1,70 m, dependendo das informações ou suspeitas a priori do 
pesquisador. Feito isso, deve-se estabelecer o nível de significância do teste (α) que 
indicará a probabilidade da estatística do teste pertencer a região crítica (RC) quando a 
hipótese nula for verdadeira. 
Ao definir as hipóteses nula e alternativa para realizar um teste de hipóteses são 
encontradas diferentes situações de acordo com o problema em estudo. A partir disso é 
possível expressar o teste de três diferentes maneiras: 
1) Teste bilateral: Nesse caso o teste será chamado de bilateral, pois se na 
hipótese alternativa o parâmetro θ é diferente do valor θ0 ele necessariamente é maior 
ou menor do que θ0. 
H0:θ = θ0 
HA:θ ≠ θ0 (1) 
 
2) Teste unilateral à direita: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à 
direita, pois θ tem que ser maior do que θ0. 
H0:θ = θ0 
HA:θ > θ0 (2) 
 
3) Teste unilateral à esquerda: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à 
esquerda, pois θ tem que ser menor do que θ0. 
H0:θ = θ0 
HA:θ < θ0 (3) 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Assim, de acordo com o problema a ser estudado é que as hipóteses do teste 
poderão ser definidas, e a formulação da hipótese alternativa irá depender do grau de 
conhecimento que se tem do problema (BUSSAB e MORETTIN 2002). Portanto nem 
sempre será possível realizar um teste mais específico como os unilaterais devido à falta 
de informações. 
Quando um teste de hipóteses é realizado, ele está sujeito a erros que distorcem a 
compreensão da veracidade do resultado, e por isso é importante minimizar ao máximo 
a probabilidade de se cometer esses erros. Devido a este problema, as regras de decisão 
são construídas seguindo critérios que nos permitam reduzir erros na tomada de uma 
decisão. Em geral, podemos cometer dois tipos de erros: erro tipo I e tipo II, que podem 
ser escritos da seguinte maneira: 
 
Erro Tipo I: RejeitarH0 quando H0 for verdadeira. 
Erro Tipo II: Não rejeitar H0 quando H0 for falsa. 
 
Portanto as probabilidades dos erros tipo I e II podem ser dadas respectivamente 
por: 
α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira) 
β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0 | H0 é falsa) (4) 
 
Note que a probabilidade do erro tipo I é o nível de significância do teste. 
A Tabela 1 adaptada de Costa Neto (1977, p. 86) apresenta os resultados de um 
teste de hipóteses e suas respectivas probabilidades condicionadas a realidade. 
 
Tabela 1: Erros e decisões corretas resultantes de um teste de hipóteses. 
Decisão 
Realidade 
H0 Verdadeira H0 Falsa 
Aceitar H0 Decisão correta (1 – α) Erro Tipo II (β) 
Rejeitar H0 Erro Tipo I (α) Decisão correta (1 – β) 
 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Infelizmente não se pode controlar o erro tipo I e o erro tipo II simultaneamente, 
ao menos que se aumenta o tamanho da amostra. O que vai ocorrer é que ao diminuir α 
estaremos aumentando β e vice versa, como mostra a Figura 1 a seguir, onde θA é um 
valor pertencente a hipótese alternativa. 
 
Figura 1: Representação dos erros tipo I e II. 
 
A princípio, sempre é dada grande atenção ao erro tipo I, controlando esse erro 
através da escolha do nível de significância do teste e deixando o erro tipo II sem 
controle, pois o mesmo requer um procedimento mais complexo para sua avaliação. No 
entanto, segundo Bussab e Morettin (2002) fixado α, é possível calcular a probabilidade 
do erro tipo II, atribuindo valores arbitrários para o parâmetro θ, que podem ser tanto 
menores quanto maiores do que o valor θ0 a ser testado. 
Dessa forma, diversos autores avaliaram a probabilidade de ocorrer o erro tipo II 
em um teste de hipóteses e mostraram que essa probabilidade pode ser afetada pelo 
tamanho amostral, nível de significância do teste, variabilidade e pela distância entre o 
valor real do parâmetro e o valor a ser testado. Alguns desses autores utilizaram a 
função poder (BUSSAB; MORETTIN, 2002) ou a curva característica de operação 
(COSTA NETO, 1977) para mostrar esse resultado. 
Neste trabalho propõem-se realizar um estudo de simulação utilizando o método 
de Monte Carlo, o qual consiste em repetir o mesmo procedimento várias vezes (MUN, 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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2006), para mostrar que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II em um teste de 
hipóteses para a média com variância desconhecida é influenciada pelo tamanho da 
amostra, nível de significância do teste, variabilidade e pelos valores das médias 
alternativas, corroborando com os resultados teóricos amplamente discutidos na 
literatura estatística e, apresentar os resultados desse estudo para que se tenha uma 
percepção da dimensão desses erros em termos quantitativos. 
Para realizar esse estudo de simulação será utilizado o software free R 
(VENABLES AND SMITH, 2012). Segundo Peternelli & Mello (2007, p.81), uma das 
maiores vantagens do R é a facilidade na criação de novas funções, este é um dos 
motivos para a escolha deste software no desenvolvimento deste trabalho, além de ser 
um software gratuito. 
 
1 Material e Métodos 
O teste de hipóteses para a média tem o intuito de verificar se determinado 
parâmetro referente à média populacional é ou não verdadeiro. Ao realizar um teste de 
hipóteses, primeiramente definem-se as hipóteses nula e alternativa e fixa-se o nível de 
significância do teste. Ao testar a média de uma determinada população, em geral não se 
conhece a sua variância, no entanto, é possível estimá-la através da variância amostral, a 
qual é dada por (MAGALHÃES; LIMA, 2008): 
( )
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
S
n
i
i
 
(5) 
onde xi é o i-ésimo valor da amostra, x a média amostral e n o tamanho da amostra.
 
Assim, utiliza-se a distribuição t-student com n – 1 graus de liberdade para testar 
a média de interesse, por isso o teste é conhecido como t-student. A expressão a seguir 
calcula o valor denominado como t observado (tobs) (MAGALHÃES; LIMA, 2008): 
n
S
x
tobs
µ−=
 
(6) 
onde µ é a média populacional e S é o desvio padrão amostral. 
Dessa forma é construída a região de rejeição do teste, conhecida como região 
crítica, que segundo Costa Neto (1977, p.86) é a faixa de valores da variável de teste 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Bauru, v. 3, p. 7-16, dez. 2014.Matemática,
 
que leva à rejeição de H0. A região crítica é construída com base nos valores 
denominado t crítico (tc) da distribuição t-student. Se for constatado que o valor de tobs 
pertence à região crítica do teste, rejeita-se a hipótese nula (H0) ao nível de α%, caso 
contrário não se rejeita H0. 
Para realizar o estudo de simulação para o erro tipo II, serão fixados o nível de 
significância do teste e gerado uma amostra de tamanho n no software R a partir de um 
modelo normal com média e variância (ou desvio-padrão) pré-estabelecida. Em seguida, 
será aplicado o teste t-student para uma amostra (bilateral, unilateral à esquerda e 
unilateral à direita), onde será definido um contador δ, tal que δ = 0 se o teste rejeitar H0 
e δ = 1 se o teste não rejeitar H0 (CARRASCO; SILVA, 2013). 
Através do método de Monte Carlo repetir-se-á o processo descrito acima r 
vezes e verificar-se á em quantas delas, o teste rejeitou ou não a hipótese nula. Dessa 
forma, a probabilidade do erro tipo II (β) será estimada através da seguinte expressão 
adaptada de Carrasco e Silva (2009): 
.,...,3,2,1,1* ri
r
r
i
i
==
∑
=
δ
β
 
(7)
 
 
Serão feitas diferentes combinações entre tamanhos amostrais, médias 
alternativas, desvios padrão (variâncias) e níveis de significância. Este procedimento 
será aplicado para o teste bilateral, considerando todas as médias alternativas 
escolhidas, para o teste unilateral à esquerda considerando somente as médias 
alternativas menores que µ0, e para o teste unilateral à direita considerando as médias 
alternativas maiores que µ0. 
 
2 Resultados e Discussão 
Para realizar o estudo de simulação através do método de Monte Carlo para o 
erro tipo II foram geradas amostras de tamanhos n = 5, 10, 20, 30, 40 e 50 a partir de 
uma distribuição normal com média µ = µA (média alternativa) e desvio padrão σ = 
0,25; 1 e 5. A escolha desses tamanhos amostrais se deve ao fato do teste t-student ser 
indicado para amostras pequenas. Os níveis de significância foram estabelecidos em α = 
0,01; 0,05 e 0,10. A hipótese nula foi fixada em H0: µ = 5 e a alternativa em H0: µ ≠ 5 
 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de
Bauru, v. 3, p. 7-16, dez. 2014.Matemática,para o teste bilateral e para os testes unilaterais a esquerda e a direita respectivamente 
em H0: µ < 5 e H0: µ > 5. Foram escolhidos para o teste bilateral os seguintes valores 
para as médias alternativas: µA = 4,0; 4,5; 4,9; 5,1; 5,5 e 6,0 e, para o teste unilateral à 
esquerda os valores menores do que 5,0 e para o teste unilateral à direita os valores das 
médias alternativas maiores do que 5,0. Utilizou-se r = 1000 e o nível de significância, 
o tamanho amostral e o desvio padrão variaram na medida em que foram feitos os testes 
para as três diferentes hipóteses alternativas, com o intuito de verificar a sua influência 
sobre o erro tipo II. 
Todo o estudo de simulação de Monte Carlo foi realizado no software R. Assim 
tem-se 6 x 3 x 3 x 6 x 1000 = 324.000 simulações para avaliar o erro tipo II para os 
testes bilaterais e mais 6 x 3 x 3 x 3 x 1000 x 2 = 324.000 simulações para avaliar o erro 
tipo II para os testes unilaterais à esquerda e à direita, totalizando 648.000 simulações 
neste estudo. Os resultados desse estudo estão condensados nas Tabelas 2 e 3 a seguir. 
 
Tabela 2: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à esquerda. 
µA α = 0,01 α = 0,05 α = 0,10 
 
 
 
4,0 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
 
 
 
4,5 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
 
 
 
4,9 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
 
 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Tabela 3: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à direita. 
µA α = 0,01 α = 0,05 α = 0,10 
 
 
 
 
5,1 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
 
 
 
5,5 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
 
 
 
6,0 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 10 20 30 40 50 
 
As Tabelas 2 e 3 apresentam os resultados do estudo de simulação para os testes 
unilaterais à esquerda e unilaterais à direita, respectivamente, onde o desvio padrão é 
representado pelos seguintes valores: σ = 0,25; σ = 1 e σ = 5. Como esperado, 
observou-se que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II diminui quando o tamanho 
amostral e/ou o nível de significância do teste (α) aumentam, fato que também pode ser 
observado na Figura 1 e, quando a distância entre a média alternativa µA e a média 
estabelecida em H0 (µ = 5) forem maiores. Com relação ao desvio padrão, observou-se 
que maiores variabilidades aumentam a chance do erro tipo II. Esses comportamentos 
são observados para todos os testes bilaterais e unilaterais, corroborando com os 
resultados teóricos apresentados na literatura estatística. 
Os resultados dos testes bilaterais foram suprimidos deste trabalho, pois os 
mesmos são semelhantes aos resultados apresentados para os testes unilaterais, apenas 
ligeiramente diferentes pelo fato da região crítica ser constituída por duas partes. 
 
 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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3 Conclusão 
Com a realização deste estudo de simulação através do método de Monte Carlo, 
pode-se convalidar os resultados teóricos discutidos na literatura estatística sobre a 
probabilidade de se cometer o erro tipo II, ou seja, esse erro diminui na medida em que 
se aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste, e quando os 
valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro 
fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio padrão aumenta, a probabilidade de 
se cometer o erro tipo II também aumenta. Os resultados desse estudo também 
possibilitaram ter uma dimensão quantitativa desse erro através dos gráficos de colunas 
apresentados. 
Dessa forma é necessário cuidado ao aplicar um teste t-student para a média, 
uma vez que se está sujeito a cometer erros. Para o erro tipo II, é necessária a 
preocupação com alguns fatores, uma vez que o erro tipo II é sensível ao tamanho 
amostral, variabilidade, ao nível de significância do teste e aos valores alternativos da 
média, entretanto, pode-se controlar esse erro, em particular através do nível de 
significância do teste e do tamanho amostral, controlando assim também a 
probabilidade de se tomar uma decisão correta. 
 
Referências 
[1] BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5ª edição. Saraiva, 2002. 
 
[2] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Avaliação do erro tipo I na aplicação de um teste 
de hipóteses para a média. Revista Mosaicum, Bahia, Nº. 9, p. 63-68, 2009. 
 
[3] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Um estudo do erro tipo II em um teste de 
hipóteses para a média. Revista Nucleus, V. 10, Nº. 2, p. 7-12, 2013. 
 
[4] COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 1ª edição. Edgard Blücher, 1977. 
 
[5] MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6ª 
edição. Edusp, 2008. 
 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Bauru, v. 3, p. 7-16, dez. 2014.Matemática,
 
 
[6] MUN, J. Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting, 
and Optimization Techniques. 1ª edição. Wiley, 2006. 
 
[7] PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R - Uma visão estatística. 1ª 
edição. UFV, 2007. 
 
 [8] VENABLES, W. N.; SMITH, D. M. An Introducion to R: Notes on R: A 
Programing Environment for Data Analysis and Grafics, Version 2.15.1, 2012. 
Disponível em: http://cran-r.c3sl.ufpr.br/. 
 
 
 
CARRASCO, C. G.; LEMES, T. S. Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664cgctsl0716 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que
desafia a intuição
Hermes A. Pedroso ∗
Juliana C. Precioso †
Resumo
O objetivo deste trabalho é resgatar um pouco da rica história do estudo da
cicloide. Para isso, serão mostrados inicialmente os passos da sua construção, as
deduções de suas equações polares e cartesianas que, a seguir, serão utilizadas nos
cálculos da área sob um arco dessa curva, da reta tangente, bem como, do compri-
mento desse arco.
Serão reconstitúıdas etapas das aplicações da cicloide nos casos do pêndulo de
Huygens, em que ela se comporta como isócrona (mesmo tempo) e do problema da
braquistócrona (tempo mı́nimo) que desafiaram os grandes matemáticos dos séculos
XVII e XVIII, com destaque para Huygens e os irmãos Jakob e Johann Bernoulli.
Palavras Chave: cicloide, isócrona,braquistócrona.
Introdução
A cicloide foi percebida pela primeira vez por Charles Bovelles (1479-1566), que
num trabalho de geometria publicado em Paris, em 1501, se refere a essa curva
ligando-a com o problema da quadratura do ćırculo. Os primeiros estudos rigorosos
que se tem conhecimento são devidos a Giles Person de Roberval (1602-1675) que a
chamou de “trochóide”(roda em grego), a Blaise Pascal (1623-1662) que a chamou
de “roulette”e a Evangelista Toricelli (1608-1647), um disćıpulo de Galileu Galilei
(1564-1642). O próprio Galileu Galilei também estudou a curva tendo inclusive a
chamado de cicloide e referiu-se a sua forma graciosa, apontando-a como sugestão
para o perfil dos arcos de construções em arquitetura. Provou, pesando modelos de
papel, que a área sob a curva é três vezes a área do ćırculo gerador. Utilizando o
método dos indiviśıveis, esse resultado foi provado posteriormente por Toricelli que
foi acusado de plágio por Roberval; fato que pode ter sido a razão de sua morte
prematura.
Vincenzo Viviani, outro brilhante aluno de Galileu, obteve a reta tangente a
cicloide, resultado também alcançado na França por René Descartes (1596-1650) e
Pierre de Fermat (1601-1665).
Sobre o comprimento de um arco de cicloide, destacam-se os trabalhos de Christo-
pher Wren (1632-1723) um famoso arquiteto inglês que projetou 51 igrejas em Lon-
dres, incluindo a Catedral de São Paulo e os de Roberval que provou que o compri-
mento desse arco é oito vezes o raio do ćırculo gerador.
∗Email: hermes@ibilce.unesp.br. Departamento de Matemática, IBILCE, UNESP
†Email: precioso@ibilce.unesp.br. Departamento de Matemática, IBILCE, UNESP
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Figura 1: Da esquerda para a direita: Pascal, Roberval, Galileu e Torricelli.
Christiaan Huygens (1629-1695) mostrou, por volta de 1673, que o tempo gasto
por uma part́ıcula para chegar a um ńıvel inferior, partindo do repouso e deslizando,
sem atrito, sob a ação da gravidade em um arco invertido de cicloide, independe
do ponto de partida (isocronismo). Esse resultado o levou a construir o relógio de
pêndulo, que oscila entre dois ramos de uma cicloide, o que faz com que o peŕıodo
seja sempre o mesmo, independente da amplitude das oscilações.
Algum tempo depois, a cicloide apareceria como solução de outro importante
problema da ciência do final do século XVII, conhecido como braquistócrona ou do
tempo mı́nimo. Em 1696 Johann Bernoulli lançou esse problema como desafio aos
matemáticos na Acta Eruditorum da seguinte maneira: suponha que dois pregos
sejam martelados ao acaso em uma parede (não na mesma vertical), e que o prego
superior seja conectado ao inferior por um arame flex́ıvel na forma de uma curva lisa.
Qual a forma do arame no qual uma part́ıcula deslizará (sem atrito) sob influência
da gravidade, para passar do prego superior ao inferior no menor tempo posśıvel?
De imediato a questão despertou um grande interesse e logo foi resolvida, por
Isaac Newton (1642-1727), por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), por Jakob
Bernoulli (1654-1705), irmão mais velho de Johann e por ele próprio. Fato curioso é
que na sua solução Johann usou uma analogia com a refração da luz, demonstrando
grande engenhosidade ao relacionar temas que aparentemente eram bem distintos.
O problema da braquistócrona foi marcante porque apontou uma linha de pesquisa,
important́ıssima, chamada de cálculo das variações e que trata do estudo de fun-
cionais ou de funções que dependem de outras funções ou curvas.
Para mais referências sobre o assunto abordado nesse trabalho, veja, por exem-
plo, [1], [2], [3], [8] e [12].
1 Construções da cicloide e de suas retas tan-
gente e normal
Definição 1 Chama-se cicloide uma curva plana descrita por um ponto de uma
circunferência que rola, sem deslizamento, sobre uma reta. Esse ponto é chamado
de gerador, a circunferência de geradora e a reta de diretriz da cicloide.
A construção da cicloide, a exemplo das cônicas, será feita por pontos por se
tratar de uma curva não construt́ıvel com régua e compasso. A construção que será
apresentada baseia-se em [10].
Para se compreender tal construção, imagine que ao longo do peŕıodo em que a
circunferência geradora completa uma volta, sejam registrados flashes do seu movi-
mento, identificando algumas posições do ponto P gerador.
Nas figuras seguintes, o comprimento do segmento PQ é igual ao comprimento
da circunferência geradora. Além disso, tanto PQ quanto a circunferência estão
divididos em oito partes iguais.
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Figura 2: Primeiramente, observe que, conforme a circunferência geradora rola sobre a
diretriz, o ponto 1 cai em 1’, 2 em 2’, 3 em 3’, etc.
Figura 3: Quando o ponto 1 passa para a posição 1’, o ponto P vai para a posição em que
se encontrava o ponto 7 na situação inicial.
Figura 4: Quando o ponto 3 passa para a posição 3’, o ponto P vai para a posição em que
se encontrava o ponto 5 na situação inicial.
Figura 5: Quando o ponto 6 passa para a posição 6’, o ponto P vai para a posição em que
se encontrava o ponto 2 na situação inicial.
A partir das figuras acima, podemos visualizar a sua construção. Será necessário
realizar a retificação da circunferência geradora e para tanto utilizaremos o processo
devido a Arquimedes (287 - 212 a.C.) que se encontra em um dos seus famosos
trabalhos denominado A medida do ćırculo e que consiste em atribuir o valor
22
7
para π.
Vamos supor que o ponto gerador seja o ponto P , em que a circunferência
geradora, denotada por C, tangencia a diretriz na posição inicial.
Determina-se o ponto Q sobre a diretriz, de modo que PQ seja a retificação de
C, ou seja, PQ é um segmento cujo comprimento é o mesmo de C que é igual a
2πr = dπ ≃ d22
7
= 3d+
d
7
. Ver Figura 6.
Divide-se PQ e C em um mesmo número de partes iguais. Por exemplo, 8 partes.
Para se obter maior precisão no traçado, pode-se dividir PQ e C em um número
maior de partes iguais.
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Figura 6: Retificação da circunferência pelo processo de Arquimedes
Pelos pontos de divisão de C, traça-se as retas s1, s2, s3 e s4 paralelas a diretriz.
Figura 7:
Com raio P7 (ou P1) e centros em 1’ e 7’, traça-se arcos que determinam em s1
dois pontos da cicloide.
Com raio P6 (ou P2) e centros em 2’ e 6’, traça-se arcos que determinam em s2
mais dois pontos.
Com raio P5 (ou P3) e centros em 3’ e 5’, traça-se arcos que determinam em s3
mais dois pontos.
Figura 8:
Por fim, determina-se em s4 mais um ponto da cicloide, traçando-se por 4’ uma
perpendicular a diretriz. Unindo-se de modo conveniente os pontos determinados
obtém-se a cicloide.
Figura 9:
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
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Passaremos agora à construção da tangente e da normal a uma cicloide por um
ponto S.
Por S traça-se uma paralela à diretriz determinando o ponto S′ em C.
Seja T o ponto de tangência de C com a diretriz. Traça-se por S a reta n paralela
à reta S′T.
Por S traça-se a reta t perpendicular a n.
As retas t e n são, respectivamente, a tangente e a normal à cicloide no ponto
S.
Figura 10: Retas tangente e normal à cicloide no ponto S.
2 Equações polares e cartesianas
Dado um sistema de coordenadas Oxy, a cicloide é o lugar geométrico descrito
pelo ponto P da circunferência geradora, de raio a e centro C e que rola sobre o
eixo x. O ponto inicial ocorre na posição em que C está no semi-eixo positivo dos
y.
Figura 11:
O ângulo θ, ver Figura 11, é o ângulo varrido pelo raio CP quando a circun-
ferência rola para uma nova posição. Se x e y são as coordenadas de P, então,
considerando esse movimento, como OB = arco BP = aθ, tem-se
x = OA = OB −AB = OB − PQ = aθ − a sin θ = a(θ − sin θ)
e
y = AP = BC −QC = a− a cos θ = a(1− cos θ).
Portanto, as equações polares da cicloide são:
x = a(θ − sin θ), y = a(1− cos θ). (2.0.1)
Nas equações (2.0.1) é posśıvel eliminar θ para se obter a equação cartesiana da
cicloide, x = f(y). De fato, da segunda equação, tem-se
cos θ = 1− y
a
, ou seja, θ = arccos
(
1− y
a
)
.
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Logo,
sin θ = ±
√
1− cos2 θ = ±
√
(2a− y)y
a
.
Portanto,
x = a arccos
(
1− y
a
)
∓
√
(2a− y)y = f(y),
que é a equação cartesiana da cicloide.
Essa equação é de pouca utilidade, uma vez que é muito mais fácil visualizar
a curva pela descrição do movimento de P e estudar esse movimento pelas suas
equações polares, que são, por assim dizer, as equações naturais da cicloide.
3 Cálculo da área sob um arco da curva, com-
primento desse arco e propriedade da tangente
Proposição 2 A área sob um arco da cicloide é três vezes a área do ćırculo gerador.
Demonstração: Consideremos o arco traçado, desde a origem, quando a cir-
cunferência perfaz uma revolução completa. Uma vez que y é uma função de x, ver
Figura 11, a área pode ser escrita da seguinte forma
A =
∫ 2πa
0
y dx.
Pelas equações da cicloide (2.0.1), pode-se fazer a mudança de variáveis x =
a(θ − sin θ) para o cálculo dessa integral. Assim, obtém-se
A =
∫ 2π
0
ya(1− cos θ) dθ
= a2
∫ 2π
0
(1− cos θ)2 dθ
= a2
∫ 2π
0
(1− 2 cos θ + cos2 θ) dθ
= a2
∫ 2π
0
(1 + cos2 θ) dθ
= a2
∫ 2π
0
dθ + a2
∫ 2π
0
1
2
(1 + cos 2θ) dθ
= 3πa2.
�
Proposição 3 O comprimento de um arco da cicloide é quatro vezes o diâmetro
do ćırculo gerador.
Demonstração: Para o cálculo do comprimento de um arco, as equações da
cicloide
x(θ) = a(θ − sin θ), y(θ) = a(1− cos θ)
comportam-se como suas equações paramétricas, no parâmetro θ, em que
0 ≤ θ ≤ 2π.
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Logo, o comprimento de arco é dado por
L =
∫ 2π
0
√
(x′(θ))2 + (y′(θ))2 dθ
=
∫ 2π
0
√
(a(1− cos θ))2 + (a sin θ)2 dθ
=
∫ 2π
0
√
2a2(1− cos θ) dθ.
Usando a identidade sin
θ
2
= ±
√
1− cos θ
2
, tem-se 1− cos θ = 2 sin2 θ
2
. Assim,
L =
∫ 2π
0
√
2a2
(
2 sin2
θ
2
)
dθ
=
∫ 2π
0
2a sin
θ
2
dθ
=
[
−4a cos θ
2
]2π
0
= 4(2a)
= 8a.
�
Proposição 4 A reta tangente à cicloide num ponto P qualquer passa pelo topo do
ćırculo gerador.
Demonstração: Para a demonstração desse resultado, usaremos o coeficiente
angular da reta tangente no ponto P = (a(θ− sin θ), a(1− cos θ)), o qual é dado por
y′ =
dy
dx
=
a sin θdθ
a(1− cos θ)dθ
=
sin θ
1− cos θ
=
2 sin θ2 cos
θ
2
2 sin2 θ2
= cot
θ
2
. (3.0.2)
Pode-se observar que y′ não está definido para θ = 0,±2π,±4π, · · · , pois nesses
pontos a tangente é vertical. Esses valores de θ correspondem aos pontos em que a
cicloide toca o eixo x, pontos esses chamados de cúspides.
Seja r a reta tangente à cicloide passando por P . Uma vez que o ponto no topo
do ćırculo gerador tem coordenadas (aθ, 2a) e o coeficiente angular de r é como em
(3.0.2), a equação de r é dada por
y − a(1− cos θ) = sin θ
1− cos θ
(x− aθ + a sin θ).
Substituindo x = aθ na equação anterior, tem-se
y = a(1− cos θ) + sin θ
1− cos θ
a sin θ =
a(1− cos θ)2 + a sin2 θ
1− cos θ
= 2a.
Portanto, a reta tangente à cicloide por P passa, de fato, pelo ponto (aθ, 2a) no
topo do ćırculo gerador. �
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DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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4 O pêndulo simples
A discussão apresentada nessa seção baseia-se em [5], [7] e [11].
O pêndulo simples consiste de uma part́ıcula de massa m fixada na extremi-
dade inferior de um fio inextenśıvel (idealmente sem massa) de comprimento l, cuja
extremidade superior está fixada. Supõe-se que o movimento se dê em um plano
vertical e designa-se por θ o ângulo formado pelo fio e a vertical.
θ
T
y
x
mg
xx
y
θ
m
Figura 12: Pêndulo Simples
As forças que atuam no corpo de massa m são a tensão T do fio e a força vertical
mg devido a gravidade. A segunda lei de Newton nos fornece as equações:
mx
′′
= −T sin θ e my′′ = mg − T cos θ,
ou seja,
−T = mx
′′
sin θ
e − T = m(y
′′ − g)
cos θ
,
donde conclui-se que
x
′′
cos θ − y′′ sin θ = −g sin θ. (4.0.3)
Uma vez que x = l sin θ e y = l cos θ, obtém-se
x
′′
= −l(sin θ)(θ′)2 + l(cos θ)θ′′ e y′′ = −l(cos θ)(θ′)2 − l(sin θ)θ′′ .
Logo, de (4.0.3), obtém-se a equação do pêndulo
lθ
′′
+ g sin θ = 0,
que é uma equação diferencial não linear de 2a ordem.
4.1 O peŕıodo do pêndulo simples nas pequenas os-
cilações
No caso de pequenas oscilações do pêndulo é posśıvel fazer a aproximação
sin θ ∼ θ. Logo, a equação do pêndulo torna-se
lθ
′′
+ gθ = 0, ou seja, θ
′′
+ ω2θ = 0,
em que ω2 =
g
l
.
A equação caracteŕıstica associada é λ2 + ω2 = 0, a qual tem ráızes complexas
λ1 = iω e λ2 = −iω. Logo, φ(t) = eλ1t = eiωt = cosωt + i sinωt é uma solução a
valores complexos de θ
′′
+ ω2θ = 0.
Essa solução dá origem às seguintes soluções reais linearmente independentes
θ1(t) = cosωt e θ2(t) = sinωt,
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as quais formam uma base para o espaço de soluções. Assim,
θ(t) = c1 cosωt+ c2 sinωt
é a solução geral.
As constantes c1 e c2 podem ser determinadas sabendo-se a posição inicial da
part́ıcula θ(0) = θ0 e sua velocidade inicial θ
′
(0) = v0. Assim, c1 = θ0 e c2 =
v0
ω
e,
portanto,
θ(t) = θ0 cosωt+
v0
ω
sinωt = A cos(ωt− ϕ), (4.1.1)
em que A e ϕ são dados por
A =
√
θ20 +
(v0
ω
)2
, cosϕ =
θ0
A
e sinϕ =
v0
Aω
,
com 0 ≤ ϕ < 2π. Isso se deve ao fato de que sendo A a amplitude máxima domovimento oscilatório, em torno da posição θ = 0, tem-se por (4.1.1) que o máximo
de |θ(t)| ocorre quando A cos(ωt− ϕ) é máximo, ou seja, quando | cos(ωt− ϕ)| = 1.
Considere primeiramente cos(ωt − ϕ) = 1. Logo, ωt − ϕ = 0, ou seja, t = ϕ
ω
.
Substituindo esse valor em (4.1.1), tem-se
θ
(
ϕ
ω
)
= θ0 cosϕ+
v0
ω
sinϕ = A.
Uma vez que θ(0) = θ0 = A cos(−ϕ) = A cosϕ, tem-se
A = θ0 cosϕ+
v0
ω
sinϕ ⇒ A = A cosϕ cosϕ+ v0
ω
sinϕ
⇒ A sin2 ϕ = v0
ω
sinϕ
⇒ A sinϕ = v0
ω
, (pois ϕ ̸= 0)
⇒ sinϕ = v0
Aω
.
Substituindo os valores de cosϕ e sinϕ em A = θ0 cosϕ+
v0
ω
sinϕ, obtém-se
A = θ0
θ0
A
+
v0
ω
v0
Aω
⇒ A2 = θ20 +
(v0
ω
)2
⇒ A =
√
θ20 +
(v0
ω
)2
.
O mesmo resultado pode ser obtido quando se considera cos(ωt− ϕ) = −1.
Em (4.1.1), o peŕıodo da função cosseno dado por T =
2π
ω
é o peŕıodo do
movimento, ou seja, é o tempo necessário para uma oscilação completa. Desse
modo, vemos que o peŕıodo das oscilações de um pêndulo simples é T = 2π
√
l
g
.
Isso mostra que o peŕıodo independe da amplitude θ0, fato observado por Galileu e
denominado o isocronismo das pequenas oscilações.
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4.2 O peŕıodo do pêndulo simples nas grandes oscilações
Suponhamos que em t = 0 o pêndulo é deslocado por um ângulo θ0 > 0 e a
seguir abandonado, começando assim o movimento. Logo, θ(0) = θ0 e θ
′
(0) = 0.
xx
y
θ
m
0
θ'(t)
θ
m
Figura 13: Pêndulo Simples
Note que multiplicando a equação do pêndulo θ
′′
+ω2 sin θ = 0 por θ
′
, obtém-se
θ
′
θ
′′
+ ω2(sin θ)θ
′
= 0 ⇒ d
dt
[
1
2
(θ
′
)2 − ω2 cos θ
]
= 0
⇒ 1
2
(θ
′
)2 − ω2 cos θ = c,
em que c pode ser obtida à partir dos valores de θ e θ
′
em um dado instante t0.
Dáı, como θ(0) = θ0 e θ
′
(0) = 0, tem-se c = −ω2 cos θ0.
Logo,
1
2
(θ
′
)2−ω2 cos θ = −ω2 cos θ0, o que implica que (θ
′
)2 = 2ω2 (cos θ − cos θ0) ,
ou seja,
θ
′
= ±
√
2ω
√
cos θ − cos θ0. (4.2.1)
Para encontrar o peŕıodo do movimento oscilatório em função do deslocamento
do pêndulo, conforme a Figura 13, considera-se um quarto desse peŕıodo, e assim, θ
variando de θ(0) = θ0 a θ
(
T
4
)
= 0 e θ
′
(t) é negativa. Considerando-se a diferencial
de θ, dθ = θ
′
(t)dt, tem-se dθ = −
√
2ω
√
cos θ − cos θ0 dt, e desse modo,
dθ√
cos θ − cos θ0
= −
√
2ωdt. (4.2.2)
Integrando-se (4.2.2), obtém-se
− 1√
2ω
∫ 0
θ0
dθ√
cos θ − cos θ0
=
∫ T
4
0
dt =
T
4
⇒ T = 4 1√
2ω
∫ θ0
0
dθ√
cos θ − cos θ0
.
Uma vez que
cos θ − cos θ0 = cos
(
θ
2
+
θ
2
)
− cos
(
θ0
2
+
θ0
2
)
= cos2
θ
2
− sin2 θ
2
− cos2 θ0
2
+ sin2
θ0
2
= 1− sin2 θ
2
− sin2 θ
2
− 1 + sin2 θ0
2
+ sin2
θ0
2
= 2
(
sin2
θ0
2
− sin2 θ
2
)
,
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tem-se
T =
2π
ω
1
π
∫ θ0
0
1√
sin2 θ02 − sin
2 θ
2
dθ.
Fazendo a mudança de variável sin θ2 = sin
θ0
2 sinu, tem-se para θ = 0, u = 0 e
para θ = θ0, u =
π
2
e dθ = 2
sin θ02 cosu
cos θ2
du. Logo,
T =
4
ω
∫ π
2
0
1
cos θ2
du =
4
ω
∫ π
2
0
1√
1− k2 sin2 u
du, (4.2.3)
em que k = sin θ02 .
Desse modo, para se determinar o peŕıodo do pêndulo é necessário calcular uma
integral que não pode ser resolvida em termos de funções elementares, porém, pode-
se obter aproximações usando o desenvolvimento em séries.
Considere o desenvolvimento binomial de Newton
(1 + x)p = 1 + px+
p(p− 1)
2!
x2 +
p(p− 1)(p− 2)
3!
x3 + · · · ,
que converge se |x| < 1.
Fazendo x = −k2 sin2 u, em que |k2 sin2 u| < 1 e p = −1
2
, obtém-se
(1− k2 sin2 u)−
1
2 = 1− 1
2
(−k2 sin2 u) + 1
2!
(
−1
2
)(
−3
2
)
(−k2 sin2 u)2
+
1
3!
(
−1
2
)(
−3
2
)(
−5
2
)
(−k2 sin2 u)3 + · · ·
= 1 +
1
2
k2 sin2 u+
1
2!
1
2
3
2
k4 sin4 u+
1
3!
1
2
3
2
5
2
k6 sin6 u+ · · ·
A série acima é convergente e pode ser integrada termo a termo. Com objetivo
de obter as integrais das potências dos senos de forma recursiva, considera-se um
número natural par m da forma m = 2n e escreve-se
Im =
∫ π
2
0
sinm u du. (4.2.4)
Note que
Im+2 =
∫ π
2
0
sinm+2 u du
=
∫ π
2
0
sinm u sin2 u du
=
∫ π
2
0
sinm u (1− cos2 u) du
=
∫ π
2
0
sinm u du−
∫ π
2
0
sinm u cos2 u du
= Im −
∫ π
2
0
sinm u cos2 u du,
ou seja, ∫ π
2
0
sinm u cos2 u du = Im − Im+2. (4.2.5)
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Por outro lado, por integração por partes, obtém-se∫ π
2
0
sinm u cos2 u du = sinm u cosu sinu
∣∣π2
0
−
∫ π
2
0
sinu
(
m sinm−1 u cos2 u− sinm+1 u
)
du
= 0−m
∫ π
2
0
sinm u cos2 u du+
∫ π
2
0
sinm+2 u du,
donde segue que
(m+ 1)
∫ π
2
0
sinm u cos2 u du = Im+2. (4.2.6)
Substituindo (4.2.5) em (4.2.6), tem-se
(m+ 1)(Im − Im+2) = Im+2,
ou seja,
Im+2 =
1 +m
2 +m
Im. (4.2.7)
Uma vez que I0 =
∫ π
2
0
du =
π
2
, podemos escrever recursivamente:
I2 =
1
2
I0 =
1
2
π
2
=
π
2
(
1
2
)
,
I4 =
3
4
I2 =
3
4
1
2
I0 =
3
4
1
2
1
2
π
2
=
π
2
(
1
2!
1
2
3
2
)
,
I6 =
5
6
I4 =
5
6
3
4
1
2
I0 =
5
6
3
4
1
2
1
2
π
2
=
π
2
(
1
3!
1
2
3
2
5
2
)
.
Desta forma, obtém-se∫ π
2
0
1√
1− k2 sin2 u
du =
π
2
+
π
2
(
1
2
)2
k2 +
π
2
(
1
2!
1
2
3
2
)2
k4 +
π
2
(
1
3!
1
2
3
2
5
2
)2
k6 + · · ·
Portanto, substituindo em (4.2.3), obtém-se
T =
4
ω
[
π
2
+
π
2
(
1
2
)2
k2 +
π
2
(
1
2!
1
2
3
2
)2
k4 +
π
2
(
1
3!
1
2
3
2
5
2
)2
k6 + · · ·
]
(4.2.8)
=
2π
ω
[
1 +
(
1
2
)2
sin2
θ0
2
+
(
1
2!
1
2
3
2
)2
sin4
θ0
2
+
(
1
3!
1
2
3
2
5
2
)2
sin6
θ0
2
+ · · ·
]
,
que é a expressão correta para o peŕıodo do pêndulo, o que mostra sua dependência
da amplitude.
Para constatar tal dependência, consideraremos a aproximação da série (4.2.9),
T =
2π
ω
[
1 +
(
1
2
)2
sin2 θ02 +
(
1
2!
1
2
3
2
)2
sin4 θ02
]
, e a partir dela faremos uma tabela
para alguns valores de θ0, com π = 3, 1415 e ω =
√
g
l
, em que g = 9, 8m/s2, l = 1m.
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DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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θ0 T
0 2.007030773
π
360 2.007040325
π
180 2.007068983
π
36 2.007986408
π
18 2.010858246
π
12 2.015660675
π
6 2.041906571
π
4 2.086559763
π
3 2.150101518
π
2 2.328451135
Observa-se que para θ0 = 0 o peŕıodo T = 2.007030773 é o valor aproximado
para pequenas oscilações, ou seja, θ0 ≈ 0. Para os demais valores pode-se notar que
à medida que aumentamos o valor de θ0, aumenta também o peŕıodo. Isso confirma
que, de fato, o peŕıodo depende da amplitude.
5 O pêndulo isócrono de Huygens
Por volta de 1650, Huygens construiu um pêndulo cujo peŕıodo de oscilação
independia da amplitude do movimento. Esse pêndulo, chamado isócrono, consiste
em se fazer uma part́ıcula percorrer uma trajetória espećıfica: um arco de cicloide,
conforme o esquema abaixo.
Figura 14: Huygens e o pêndulo isócronoÀ prinćıpio, Huygens fez construções emṕıricas, colocando obstáculos de ambos
os lados de um pêndulo simples pois, dessa forma, à medida que o fio encostava no
obstáculo, o comprimento efetivo do pêndulo se tornava menor e isso acarretaria a
diminuição do peŕıodo. Huygens só obteve sucesso em seu empreendimento quando
utilizou como obstáculos arcos de cicloide. Isso foi posśıvel, devido a propriedade
de que o lugar geométrico descrito pelos centros de curvatura de uma cicloide é
também uma cicloide chamada de evoluta. Para mais detalhes sobre o assunto, ver
[9].
Para mostrar que no caso desse pêndulo o peŕıodo não depende da amplitude
vamos supor que a part́ıcula seja abandonada, a partir do repouso, de um ponto P0
sendo H a altura desse ponto em relação ao ponto mais baixo da trajetória, ou seja,
y0 = y(0) = H, como indica a Figura 15. Usando a lei da conservação da energia
pode-se calcular o módulo da velocidade da part́ıcula, v, em sua descida quando
esta se encontra em um ponto arbitrário P, cuja altura é y:
1
2
mv2 = mg(H − y) ⇒ v =
√
2g(H − y). (5.0.9)
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x
y
O
2R
v
d
y
m
HP
P
0
β
β
Figura 15:
Lembrando que a velocidade da part́ıcula é sempre tangente à trajetória, a com-
ponente vertical de sua velocidade é dada por
vy =
dy
dt
= −
√
2g(H − y) cosβ (5.0.10)
e usando a Proposição 4, apresentada na Seção 3, pode-se escrever
cosβ =
d
2R
e y = d cosβ,
em que d e β são como na Figura 15.
Logo, cosβ =
√
y
2R
. Substituindo em (5.0.10) tem-se
dy
dt
= −
√
g
R
√
(H − y)y. (5.0.11)
Note que o intervalo de tempo transcorrido desde o instante inicial até o instante
em que a part́ıcula atinge o ponto mais baixo da trajetória é igual a
T
4
em que T é
o peŕıodo das oscilações. Integrando (5.0.11), conclúı-se que∫ 0
H
dy√
(H − y)y
= −
√
g
R
∫ T
4
0
dt ⇒ T = 4
√
R
g
∫ H
0
dy√
(H − y)y
.
Agora, fazendo a mudança de variável ξ =
y
H
, com dy = Hdξ, obtém-se
T = 4
√
R
g
∫ 1
0
dξ√
(1− ξ)ξ
. (5.0.12)
Para se obter a expressão para o peŕıodo completaremos quadrados e assim,
tem-se ∫ 1
0
dξ√
(1− ξ)ξ
=
∫ 1
0
dξ√
1
4 −
(
ξ − 12
)2 .
Fazendo a mudança de variável ξ − 1
2
=
1
2
sin θ, com dξ =
1
2
cos θdθ, tem-se
∫ 1
0
dξ√
1
4 −
(
ξ − 12
)2 =
∫ π
2
−π
2
cos θ√
1− sin2 θ
dθ = π.
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Substituindo em (5.0.12), obtém-se
T = 4π
√
R
g
= 2π
√
4R
g
.
Note que essa expressão do peŕıodo não envolve o H, ou seja, o peŕıodo do
movimento não depende da amplitude das oscilações.
Portanto, qualquer que seja o ponto onde a part́ıcula é abandonada, ela atingirá,
no mesmo instante, o ponto mais baixo da trajetória cicloidal.
Assim, Huygens alcançou seu objetivo, uma vez que seu relógio de pêndulo
reduziu a margem de erro de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou
quinze segundos. O relógio se tornara, enfim, um instrumento realmente confiável
para medir o tempo. Para mais detalhes veja, por exemplo, [4] e [7].
6 O problema da braquistócrona
Conforme abordado na introdução, o problema da braquistócrona, ou do tempo
mı́nimo, foi apresentado aos matemáticos por Johann Bernoulli, na Acta Erudito-
rum, em 1696. De forma surpreendente e, desafiando a intuição, a cicloide apareceu
como solução desse problema. Muitos matemáticos apresentaram soluções, inclusive
o próprio Johann. Sua solução, que faremos aqui, baseada em [6] e [11], envolve
uma analogia com a refração da luz, um tema que foi de grande preocupação dos
cientistas do ińıcio do século XVII.
Figura 16: Jakob e Johann Bernoulli
A propósito, a lei da refração foi descoberta por Willebrord Snell (1591-1626)
em 1621 de um modo experimental, embora Fermat e Descartes tenham contribúıdo
muito nesse assunto.
Lei da refração de Snell ou Prinćıpio do menor tempo de Fermat: Sejam v1 e
v2 as velocidades da luz em dois meios distintos, (ar e água, por exemplo). Se um
raio de luz percorre de um ponto A de um meio, para um ponto B do outro, por
um caminho ACB que minimiza o tempo gasto, então
sin θ1
v1
=
sin θ2
v2
,
em que θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o ângulo de refração, como na Figura 17.
A solução de Johann Bernoulli: Considere, por exemplo, dois pregos martelados,
ao acaso, em uma parede ou num plano (não na mesma vertical), e que o prego
superior (ponto P0) seja conectado ao inferior (ponto P1) por um arame flex́ıvel
na forma de uma curva lisa. O problema consiste em determinar qual a forma do
arame no qual uma part́ıcula deslizará (sem atrito), sob influência da gravidade,
para passar do ponto superior ao inferior no menor tempo posśıvel.
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista
de Matemática, Bauru, v. 3, p. 17-34, dez. 2014.
A
C
B
θ
θ
1
2
Ar
Água
Figura 17: Lei da refração de Snell
Para resolver o problema, Bernoulli fez uma analogia com o caso da propagação
da luz em meios de densidade variável. Suponhamos que o meio atravessado pela
luz é constitúıdo por uma série de camadas paralelas F1, F2, F3, · · · de densidade
decrescente. Logo, as velocidades de propagação nessas camadas são v1 < v2 < v3 <
· · · , ver Figura 18.
F
F
F
v
v
v
i
i
i
1
1
1
2 2
2
3 33
Figura 18:
Pela lei de Snell tem-se
sin i1
v1
=
sin i2
v2
=
sin i3
v3
= · · ·
A seguir, Bernoulli considerou que essas camadas se tornam mais finas e mais
numerosas e, portanto, no limite, a velocidade da luz cresce continuamente, quando
o raio de luz desce. Desse modo, conclúı-se que
sin i
v
= constante, (6.0.13)
sendo essa equação satisfeita em cada ponto da trajetória do raio de luz e o ângulo
i se torna o ângulo da tangente à trajetória com a vertical.
Dado um sistema de coordenadas como na Figura 19, considere que a part́ıcula
(como o raio de luz) seja capaz de escolher a trajetória em que irá deslizar de P0 a
P1 no menor tempo posśıvel.
x
y
P
P
1
0
Figura 19:
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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de Matemática, Bauru, v. 3, p. 17-34, dez. 2014.
Designando por v a velocidade da part́ıcula de massa m, quando ela passa pelo
ponto P = (x, y) tem-se, pela lei de conservação de energia, que
mgy =
1
2
mv2,
em que g = 9, 8m/s2. Desse modo
v =
√
2gy. (6.0.14)
Pela Figura 18, observa-se que
sin i = cos
(π
2
− i
)
=
1
sec
(
π
2 − i
) = 1√
1 + tan2
(
π
2 − i
) = 1√
1 + (y′)2
. (6.0.15)
Substituindo, (6.0.14) e (6.0.15) em (6.0.13), tem-se
sin i
v
= c ⇒
1√
1 + (y′)2√
2gy
= c
⇒ 1√
1 + (y′)2
1√
2gy
= c
⇒ 1
y (1 + (y′)2)
= 2gc2
⇒ y
(
1 + (y′)2
)
= c. (6.0.16)
A equação (6.0.16) é conhecida como equação diferencial da braquistócrona cuja
solução mostraremos tratar-se da anunciada cicloide.
Substituindo y′ por
dy
dx
e separando as variáveistem-se
y
(
1 +
(
dy
dx
)2)
= c ⇒
(
dy
dx
)2
=
c− y
y
⇒ dy
dx
=
√
c− y
y
⇒ dx =
√
y
c− y
dy
⇒ x =
∫ √
y
c− y
dy.
Fazendo a substituição u2 =
y
c− y
, tem-se y =
cu2
1 + u2
e dy =
2cu
(1 + u)2
du e,
portanto,
x =
∫
2cu2
(1 + u2)2
du.
Agora, utilizando a substituição trigonométrica u = tanϕ, tem-se du = sec2 ϕdϕ,
e então
x =
∫
2c tan2 ϕ sec2 ϕ
(1 + tan2 ϕ)2
dϕ = 2c
∫
tan2 ϕ
sec2 ϕ
dϕ
= 2c
∫
sin2 ϕdϕ = c
∫
(1− cos 2ϕ)dϕ
=
1
2
c(2ϕ− sin 2ϕ) + k, (k constante).
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Na verdade, k = 0, pois y = 0 quando ϕ = 0, e como P0 está na origem, devemos
ter x = 0 quando ϕ = 0.
Uma vez que y =
cu2
1 + u2
, tem-se
y =
c tan2 ϕ
sec2 ϕ
= c sin2 ϕ =
1
2
c(1− cos 2ϕ).
Portanto,
x =
1
2
c(2ϕ− sin 2ϕ) e y = 1
2
c(1− cos 2ϕ). (6.0.17)
Em (6.0.17), fazendo a =
c
2
e θ = 2ϕ, conclúı-se que
x = a(θ − sin θ), y = a(1− cos θ),
que são as equações paramétricas da cicloide da Figura (18).
Referências
[1] ÁVILA, G., Cálculo das funções de uma variável, Volume 2, 7. Ed., Rio de
Janeiro: LTC, 2009.
[2] BOS, H. J. M., O cálculo no século XVIII: técnicas e aplicações, Braśılia:
Editora Universidade de Braśılia, 1985.
[3] BOYER, Carl, B., História da Matemática, 2. Ed., São Paulo: Edgard Blücher,
1996.
[4] BURROWES, M. e FARINA, C., Sobre o pêndulo isócrono de Christiaan Huy-
gens, Revista brasileira de ensino de f́ısica, v. 27, n. 2, 175-179, 2005.
[5] FIGUEIREDO, D. G. e NEVES, A.F., Equações Diferenciais Aplicadas
Coleção Matemática Universitária, 3a Ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
[6] FIGUEIREDO, D. G., Problemas de máximo e mı́nimo na geometria euclidiana
In: Matemática Universitária, Rio de Janeiro, 9/10, 69-108, 1989.
[7] FONSECA, A., Curso de mecânica, vol. III, Rio de Janeiro: LTC Editora,
1975.
[8] GARBI, G. G., A rainha das ciências, São Paulo: Editora Livraria da F́ısica,
2006.
[9] PISKUNOV, N., Cálculo Diferencial e Integral, vol. I, São Paulo: Edições
Cardoso, 1969.
[10] PUTNOKI, J. C. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico, Volumes II
e especial para o vestibulando, São Paulo: Editora Scipione, 1989.
[11] SIMMONS, George F., Cálculo com Geometria Anaĺıtica, Volumes 1 e 2, São
Paulo: McGraw-Hill, 1987.
[12] ROQUE, T., História da matemática: uma visão cŕıtica, desfazendo mitos e
lendas, Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
PEDRO, H. A.; PRECIOSO, J. C. Aspectos históricos sobre a cicloide: a curva que desafia a intuição.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664hapjcp1734 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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de Matemática, Bauru, v. 3, p. 17-34, dez. 2014.
Um Estudo Sobre a Chance de Repetição de 
Sorteios na Mega-Sena 
Rogério César dos Santos† 
 
Resumo 
 Qual é a chance de haver um sorteio repetido na Mega-Sena, em n jogos? Como 
veremos, esse é um problema semelhante ao clássico problema de se calcular a chance 
de haver duas ou mais pessoas fazendo aniversário no mesmo dia e mês, dentre n 
pessoas. 
 
Palavras-Chave: Ensino de Matemática, Análise Combinatória, Probabilidade, Loteria 
 
Abstract 
 What is the chance of having a repeated raffle in the Mega-Sena, in n games? As 
we shall see, this is a similar problem to the classic problem of calculating the chance of 
two or more people doing the same birthday day and month, among n people. 
 
Key words: Teaching of Mathematics, Combinatorial Analysis, Probability, Lottery 
 
Introdução 
A solução do problema de se calcular a chance de haver duas ou mais pessoas fazendo 
aniversário no mesmo dia e mês, dentre n pessoas, para o caso particular em que n = 23 
pessoas em um campo de futebol – vinte e dois jogadores mais o juiz – é a seguinte: 
primeiro, calculamos quantas sequências de 23 datas distintas existem, dentre os 365 
dias do ano, em que cada elemento da sequência representa uma pessoa diferente em 
campo que faz aniversário na respectiva data: 
 
 
†
 E-mail: rogerc@unb.br. Curso de Licenciatura em Ciências Naturais, Faculdade UnB 
Planaltina 
SANTOS, R. C. Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na Mega-Sena.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664rcs3540 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Bauru, v. 3, p. 35-40, dez. 2014.
mailto:rogerc@unb.br
 
sequências. 
 
Depois, quantas sequencias de 23 datas existem, podendo haver repetições: 
 
sequências. 
 
Em seguida, calculamos a probabilidade de não haver coincidência de 
aniversário entre os 23 indivíduos do campo de futebol, que é igual, usando os 
resultados anteriores, a 
 
 
 
Enfim, calculamos a chance de haver alguma coincidência de aniversário em 
campo: 
 
 
 
 
 
que aliás é um valor bem alto, se pensarmos no que a nossa intuição suporia. 
 
1 A Mega-Sena repetida 
A chance de haver algum sorteio repetido na Mega-Sena também se calcula desta 
forma. O primeiro sorteio da Mega-Sena que consta no site da Caixa Econômica Federal 
foi realizado em 11/03/1996, e o sorteio de ordem 1.559 foi realizado no dia 21/12/2013 
(veja [1]). 
 Nossa pergunta será: em n jogos da Mega-Sena, qual é a chance de haver dois ou 
mais sorteios iguais? Lembre o leitor que são sessenta números dentre os quais seis 
formam o sorteio da Mega-Sena. 
Fazendo analogia ao caso anterior, ao invés de 365 possibilidades de datas para 
cada jogador, serão 
 
possibilidades de combinações em cada um dos n jogos realizados pela Caixa. E, ao 
invés de 23 elementos da sequência, serão n elementos representando cada um dos n 
jogos, em ordem. Logo, de forma semelhante à anterior, a chance de haver alguma 
coincidência de sorteios da Mega-Sena em n jogos, é: 
SANTOS, R. C. Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na Mega-Sena.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664rcs3540 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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Bauru, v. 3, p. 35-40, dez. 2014.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde o numerador tem a curiosa expressão do Arranjo de uma Combinação, n a n. 
 Bastante pretensioso, tentei calcular a expressão acima para os n = 1.559 jogos, 
no computador, porém, tanto no Excel quanto no software livre MAXIMA, o maior 
valor de n para o qual a expressão acima pode ser calculada é n = 40 jogos, cuja 
probabilidade de haver coincidência de sorteios, a título de curiosidade, é de 
0,001558%. Para valores menores de n, essa chance cai, obviamente. 
Porém, com n = 1.559 jogos, não há esperanças de a probabilidade ser alta, 
conforme veremos. E isso se deve ao fato de 1.559 representar muito pouco na 
quantidade de sorteios possíveis, 50.063.860. 
Vamos simular outras quantidades “s” de combinações possíveis em cada 
sorteio. Ao mesmo tempo, iremos comparar a probabilidade de se obter sorteios 
coincidentes nos n primeiros jogos, com o respectivo valor de q = n/s, ou seja, vamos 
comparar a probabilidade de haver sorteios iguais nos n jogos, com a porcentagem q 
que esse número de jogos n representa nas s combinações possíveis. 
 No caso em que n = 1.559 jogos, estes representam apenas 0,0031% dos s = 
50.063.860 sorteios possíveis na Mega-Sena. Logo, nossas simulações serão focadasno 
que acontece quando temos porcentagens q = n / s próximas dos 0,0031%, para outros 
valores de n e s fictícios. 
 
2 Mega-Senas fictícias 
Suponha uma Mega-Sena onde há 60 números para se escolherem 2, logo, são s = 1.770 
possibilidades de sorteio em cada jogo. A tabela abaixo mostra a probabilidade de haver 
sorteios iguais nos n primeiros sorteios, em correspondência à porcentagem que o 
número de sorteios analisados n representa nos s = 1.770 sorteios possíveis. 
Sorteio 
n 
Probabilidade de haver algum sorteio 
igual, dentre os n primeiros jogos 
Porcentagem que os n jogos 
representam nos 1.770 sorteios 
possíveis 
1 0,000000000000000000000% 0,0564972% 
2 0,056497175141245700000% 0,1129944% 
SANTOS, R. C. Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na Mega-Sena.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664rcs3540 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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A porcentagem q mais próxima de 0,0031% aí é q = 0,056%, cuja probabilidade 
de haver coincidência é igual a zero, por haver somente um jogo realizado. 
Agora, se forem ainda 60 números, mas para se escolherem 3, são s = 34.200 
possibilidades de sorteio. 
Sorteio 
n 
Probabilidade de haver algum sorteio 
igual, dentre os n primeiros jogos 
Porcentagem que os n jogos 
representam nos 34.200 sorteios 
possíveis 
1 0,000000000000000000000% 0,0029223% 
2 0,002922267679716930000% 0,0058445% 
 
A porcentagem 0,0031% está entre 0,0029223% e 0,0058445%, então, tirando 
uma média, a probabilidade seria próxima de (0% + 0,0029%)/2 = 0,00145%. 
Num jogo fictício com 60 números, onde 4 são sorteados, temos, pulando 
algumas linhas: 
Sorteio 
n 
Probabilidade de haver algum 
sorteio igual, dentre os n primeiros 
jogos 
Porcentagem que os n jogos 
representam nos 487.635 sorteios 
possíveis 
1 0,000000000000000000000% 0,0002051% 
15 0,021530393999291700000% 0,0030761% 
16 0,024605802950772300000% 0,0032811% 
 
 A probabilidade referente aos 0,0031% está entre 0,0215% e 0,0246%. Tirando 
uma média, (0,0215% + 0,0246%)/2 = 0,023%. 
 Tentei fazer ainda com os 60 números, onde 5 são sorteados, porém o máximo 
valor de q que obtive no Excel foi a porcentagem de q = 0,0008%, aos 45 jogos. 
Com 5 números a serem sorteados, o máximo que consegui no Excel foi uma 
cartela com 47 números, cuja tabela está abaixo: 
Sorteio 
n 
Probabilidade de haver algum 
sorteio igual, dentre os n primeiros 
jogos 
Porcentagem que os n jogos 
representam nos 1.533.939 sorteios 
possíveis 
1 0,000065191640585826600% 0,0000652% 
47 0,073509897882639800000% 0,0030640% 
48 0,076636796360896000000% 0,0031292% 
SANTOS, R. C. Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na Mega-Sena.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664rcs3540 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 3, p. 35-40, dez. 2014.
Com q = 0,0031%, podemos considerar a probabilidade média de 0,075% de 
chance. 
E com 6 números a serem sorteados, o máximo que consegui foi uma cartela 
com 34 números: 
Sorteio 
n 
Probabilidade de haver algum 
sorteio igual, dentre os n primeiros 
jogos 
Porcentagem que os n jogos 
representam nos 1.344.904 sorteios 
possíveis 
1 0,000000000000000000000% 0,0000744% 
41 0,060952922759305300000% 0,0030485% 
42 0,063999609311060600000% 0,0031229% 
 
Para uma porcentagem próxima a 0,0031%, podemos considerar uma 
probabilidade média de 0,063% de haver sorteios repetidos. 
 
3 Conclusão 
Agora, em relação à verdadeira Mega-Sena, com os 60 números, para serem 
escolhidos 6, nos 1.559 primeiros jogos, o que poderíamos dizer? 
Os resultados que obtivemos até aqui: 
 
 
Mega-Sena fictícia 
Probabilidade de haver repetição, 
correspondente à porcentagem de 
0,0031% de jogos n sobre a 
quantidade de sorteios s: 
Cartela de 60 números, sorteio de 2 números 0% 
Cartela de 60 números, sorteio de 3 números 0,00145% 
Cartela de 60 números, sorteio de 4 números 0,023% 
Cartela de 47 números, sorteio de 5 números 0,075% 
Cartela de 34 números, sorteio de 6 números 0,063% 
 
Com tais resultados, não há de se ter esperança de que a probabilidade de haver 
repetições na Mega-Sena em 1.559 jogos seja muito maior do que estes valores acima. 
Porém, pretendo ainda encontrar um software que consiga realizar o cálculo desta 
probabilidade. 
 
SANTOS, R. C. Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na Mega-Sena.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664rcs3540 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 3, p. 35-40, dez. 2014.
 
Referências 
 
[1] Disponível em 
 http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/megasena_resultado.asp. Acesso 
em 24 Dezembro 2013. 
SANTOS, R. C. Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na Mega-Sena.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664rcs3540 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp
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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 3, p. 35-40, dez. 2014.
http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/megasena_resultado.asp
Sugestões para Aplicação do Teorema de Pick na
Educação Básica∗
Francisco Silverio da Silva Junior
Fernando Pereira Micena †
Resumo
Neste artigo, apresentaremos algumas sugestões para o tratamento do Teorema
de Pick em tópicos do curŕıculo de Matemática do ensino básico, através de três
situações problema. Inicialmente, citaremos alguns fatos bastante intuitivos cujas
demonstrações podem ser encontradas em [4] e que servirão de base para a demons-
tração do Teorema de Pick, feita logo em seguida por indução finita. À seguir,
discutiremos a validade do Teorema de Pick para o cálculo do volume de poliedros
no R3 e abordaremos a versão do teorema para poĺıgonos com vértices de coor-
denadas racionais. Por fim, apresentamos 3 problemas cujas soluções podem ser
encontradas com o aux́ılio do Teorema de Pick.
Palavras Chave: Teorema de Pick; Geogebra; Google Maps.
Introdução
O Teorema de Pick foi publicado pela primeira vez num artigo de 1899 em Praga por
Georg Alexander Pick, natural de Viena em 1859, que escreveu durante toda a sua
vida, cerca de 67 artigos até sua morte no campo de concentração de Theresienstadt
em 1942.
Veremos neste artigo, como o cálculo de áreas de poĺıgonos pode ser feito com
uma simples contagem de pontos, se forem satisfeitas as hipóteses do teorema. Seria
então, uma maneira de discretizar uma grandeza de natureza cont́ınua.
Antes de apresentarmos o Teorema de Pick, vamos considerar conhecidos, os
resultados mais importantes da Geometria Plana como os teoremas que nos dão as
áreas de quadrados, triângulos, ćırculos e outros poĺıgonos; o conceito de semelhança
de poĺıgono; a relação entre as áreas de poĺıgonos semelhantes, etc.
É importante ressaltar que poĺıgono é a união dos segmentos formados por um
número finito de pontos não alinhados tomados dois a dois. Quando nos referirmos
à área de um certo poĺıgono, na verdade, estaremos nos referindo à área da região
poligonal interior ao poĺıgono dado.
∗Artigo realizado com base na minha dissertação de mestrado ”Sobre o Cálculo de Áreas e o Teorema
de Pick”sob a Orientação do Professor Dr. Fernando Pereira Micena.
†Email: francisconada@hotmail.com. Curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Federal de
Alagoas
SILVA JUNIOR, F. S.; MICENA, F. P. Sugestões para aplicação do teorema de Pick na educação básica.
DOI: 10.21167/cqdvol3201423169664fssjfpm4158 - Disponível em: