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IV Seminário da Pós-Graduação em 
Engenharia Mecânica – Unesp - Bauru 
Estudo da dinâmica da ponta do cantilever de um Microscópio de Força 
Atômica operando no modo de toques rápidos (tapping mode). 
 
 
 
Kleber dos Santos Rodrigues 
Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru 
 
Prof. Dr. José Manoel Balthazar 
Orientador – Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru 
 
 
RESUMO 
 
Microscopia de Força tem sido muito usada ultimamente, como forma de escannear 
superfícies de amostras de tamanho micro e nano. Existem três formas de operação para tal 
escanneamento, o modo intermitente (intermmitent contact), modo sem contato (non contact) 
e o modo de toques rápidos (tapping mode). No primeiro, a ponta do microscópio opera 
dentro da amostra, no segundo, a ponta não toca na amostra e na última, que é a mais usada, a 
ponta toca eventualmente na amostra, transformando esse movimento em imagem com três 
dimensões. Esse trabalho visa o estudo do movimento no modo tapping, e tenta resolver um 
problema comum nesse tipo de operação, o cantilever, que é o suporte da ponta, opera muito 
próximo à ressonância, o que prejudica a obtenção das imagens. Após a modelagem, espera-se 
que sejam encontrados os parâmetros de ressonância, que esse movimento seja estudado, e por 
fim controlado. 
 
 
 
Palavras-chave: Microscopia de força atômica, ressonância, modo tapping. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
Microscopia de Força Atômica (AFM) surgiu inicialmente na literatura científica em 1986 
Binning et al, [1] e foi descrita como meio de se obter imagens com alta resolução de 
amostras através da exploração de sua superfície. Veio como desenvolvimento da microscopia 
por tunelamento (STM), que usa amostras de imagem de materiais condutores no vácuo. 
Diferente da STM, AFM consegue obter imagens de alta resolução no ar e em meios líquidos, 
que são mais utilizados na prática. Com o uso da AFM, houve um grande desenvolvimento 
nas áreas que necessitam de obtenção de imagens em alta resolução em escalas micro, nano, 
entre outras. 
No núcleo de um instrumento de AFM, há uma ponta (tip) afiada, montada perto da 
extremidade de um braço flexível (cantilever), essa ponta percorre a superfície da amostra e 
obtém imagens em alta resolução. Esse movimento pode variar dependendo da necessidade e 
do tipo de material que está sendo analisado. 
Essas variações incluem técnicas estáticas como o modo contato, e técnicas dinâmicas como o 
modo não-contato e o modo tapping (toques rápidos). 
 
1.2 O microscópio 
 
Na Figura 1, temos a configuração básica de um AFM. O braço (cantilever) normalmente é 
em forma de V, como mostrado, ou pode ser retangular. O cantilever tem em sua extremidade 
livre uma ponta afiada, que atua como o teste de interações. Essa ponteira é mais comumente 
usada sob a forma de uma pirâmide com base quadrada ou um cone cilíndrico. Alguns 
exemplos de diferentes configurações de braços flexíveis (cantilevers) e ponteiras são 
mostrados na Figura 2, sondas fabricadas comercialmente são feitas predominantemente de 
nitreto de silício (a fórmula normalmente dada para nitretode silício é Si3N4). Normalmente a 
superfície superior do cantilever, oposta à ponta, é revestida com uma fina superfície 
reflexiva, geralmente de 
 ouro (Au) ou alumínio (Al). A sonda é trazida para dentro e fora de contato com a superfície 
da amostra pelo uso de um piezocrystal. (AFM – W. Richard – cap1)[2]. 
 
 
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Figura 1.1. Esquema de funcionamento do microscópio de força atômica,Figura retirada do 
livro AFM- W. Richard – pág3 – cap1 
 
 
Figura 1.2. Fotos de cantilevers e pontas usada em Microscopia de Força Atômica. Figura 
retirada do livro AFM – W. Richard – pág3 – cap 1. 
A – Sonda Piramidal; 
B – Sonda de alta relação de aspecto cônico para imagens de alta resolução; 
C- Dois cantilevers em forma de V para o modo de imagem de contato; 
D- Chip com uma série de vigas de diferentes comprimentos. Neste caso, as vigas são 
“tipless” para permitir a montagem das partículas de interesse para medição de força. 
 
O cantilever no modo tapping é apoiado em um diether piezo que produz oscilações 
periódicas, veja figura 3, a frequência da vibração é normalmente próxima à sua frequência de 
ressonância. Além da força provocada pela aceleração no sistema, o cantilever sofre também 
ação das forças de interação entre a amostra e sua ponta, pelo amortecimento intrínseco do 
cantilever, e pelo amortecimento causado pelas condições do ambiente. A deflexão do 
cantilever é medida através do sinal de reflexão de um laser na ponteira, que é mandado para 
um foto dióide. 
 
 
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Figura 1.3. ilustração que esquematiza a operação da ponta (tip) num micrsoscópio de força 
atômica. Figura retirada de Xiaopeng Zhao and Harry Dankowicz, Characterization of 
intermittent contact in tapping mode atomic force microscopy. 
 
 
 
 
 
 
 
2. MODELO DE ESTUDO 
 
 
 
 
2.1 Modelo 1 – Sebastian et al [16]. 2001 
 
O cantilever no modo tapping é apoiado em um diether piezo que produz oscilações 
periódicas, veja figura 3, a frequência da vibração é normalmente próxima à sua frequência de 
ressonância. Além da força provocada pela aceleração no sistema, o cantilever sofre também 
ação das forças de interação entre a amostra e sua ponta, pelo amortecimento intrínseco do 
cantilever, e pelo amortecimento causado pelas condições do ambiente. A deflexão do 
cantilever é medida através do sinal de reflexão de um laser na ponteira, que é mandado para 
um foto dióide. 
 
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Figura 3. 
 A interação ponteira-amostra é caracterizada por um longo alcance das forças de 
atração e um curto alcance das forças de repulsão. Relativo à escala de tamanho do cantilever, 
as forças de atração e repulsão sofrem grandes mudanças em pequenos espaços de 
movimento. Em um modelo seccionado de um cantilever de AFM, Sebastian et al [16], as 
forças de atração são representadas por uma mola linear de rigidez negativa, as forças de 
repulsão são representadas por uma mola linear de rigidez positiva, amortecedores lineares 
são introduzidos para dar conta da dissipação de energia durante a interação ponteira-amostra 
(figura 5). A dinâmica do sistema é governada por suave seccionamento e é correspondente às 
equações do movimento. 
 Conforme a figura 5, temos: 
 
 
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Figura 4. Modelo de modo tapping, nesse modelo a oscilação do dieter piezo é equivalente à 
equação de força ( ) cos( )f t m t  . 
 Podemos descrever o movimento do cantilever usando a equação de movimento: 
20
0
0
cos( )
1 1
cos( )
1 2
cos( )
2
mx Cx kx t
x Cx kx t
m m
x Cx x t
m
 
 

  

  
  
  
 
Como γ é a aceleração do piezo, e sabendo que
02
C
m


 , então 1.1 fica: 
2
0 02 ( , ) cos( )x x x h x x t       
Sendo ( , )h x x a contribuição para a aceleração da interação ponteira-amostra. 
0
( , ) ( )
( ) ( )
a a
b b a a
k c
h x x x s d x
m m
k c k c
x s x x s d x
m m m m




    


     
 0
0
x s d
x s d
x s
 
  
 
 
 A equação linear acima descreve a interação ponteira-amostra, aqui x mede a deflexão 
da ponteira do cantilever em relação à sua deflexão de equilíbrio na ausência de oscilações do 
suporte, 0
k
m
  é a frequência e ressonância, 
02
c
m


 é o coeficiente de amortecimento 
intrínseco e do ambiente, m e  representam respectivamente a amplitude de excitação e a 
frequência de oscilação do diether piezo.Temos também que s representa a distância de 
equilíbrio entre a ponteira do cantilever e as interações de repulsão do conjunto ponteira-
amostra. Por fim, d representa a distância entre o início das forças atrativas para o início das 
forças repulsivas e reflete uma propriedade material da amostra. 
 
Adimensionalizado, o sistema fica: 
cos ( ) ( ) ( )b a b amx cx kx m t k x s c c x k x s d           
cos ( ) ( ) ( )b aa b
k kc k x
x x x t x s c c x s d
m m m m m
           
0*t t 
0
x
u
u
 20
k
m
  2 bb
k
m
  2 aa
k
m
  
2
0



 
0
c
B
m
 
0
a
a
c
B
m
 
0
b
b
c
B
m
 
2
2
0
aA


 
2
0 2
0
bA


 
0
*
s
s
u
 
 
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0
*
d
d
u
 
Mudança de variáveis: ( , ) ( , *)x t u t 
cos * ( , )u Bu u t H u u    
0
0 * *
( , ) ( * *) 0 * *
( *) ( * *)
a
b a
u s d
H u u A u s d B u u s d
A u s B u A u s d B
 
       
     
 
 * 0u u s



  
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
X
d
X
/d
t
Retrato de Fase
 
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-50
0
50
100
150
200
250
300
t
d
is
p
la
c
e
m
e
n
t
 
 
Colocando uma mola cúbica (duffing), temos: 
 
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3( ) cos * ( , )u Bu T u u t H u u      
0
0 * *
( , ) ( * *) 0 * *
( *) ( * *)
a
b a
u s d
H u u A u s d B u u s d
A u s B u A u s d B
 
       
     
 
 * 0u u s



  
 
-5 0 5 10 15 20 25
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
d
X
/d
t
 
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t
di
sp
la
ce
m
en
t
 
 
 
 
 
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Modelo 2: Sambit Misra a, Harry Dankowicz,_, Mark R. Paul[15]. 2009 
 
 
 
 
 
 De acordo com García e San Paulo[4], temos: 
0 cos ( )tsmq cq m q m t F q s       , onde: 
 
m é a massa to tip, 
q é o deslocamento do tip em direção à amostra, 
s denota o ponto médio de separação entre a amostra e a base do tip; 
om é a dureza da mola 
c representa o amortecimento intrínseco do cantilever assim como as forças dissipadas no 
ambiente, 
γ e ω denotam a amplitude da aceleração e a freqüência angular do piezo usado para excitar o 
cantilever. 
 
( )tsF q s descreve a interação ponta amostra, e a expressão fica assim: 
 
2
3
2
2
, 
6
:
4
* ( ) , 
6 3
ts
HR
z a
z
F z
HR
E R a z z a
z

 
 
   

 
 
Nesse caso, t denota o tempo, H é a constante de Hammaker para a superfície da amostra, R é 
o raio da ponta do cantilever, E* representa o Módulo de Young para interações de contato, e 
a é a distância intermolecular característica. 
Por definição, a é descrito como: 
0
2 2 2 2 2 2
0( )
def m
A
m c

  

 
 
 
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Quando existe contato de uma esfera (ponta do cantilever e uma superfície elástica (amostra), 
temos: 
 
Com R sendo o raio da esfera, de d a distância de contato da mesma com a superfície, vale a 
relação, a Rd , dessa forma a força F será: 
 
3
2
4
*
3
F E Rd . 
Onde 
2 2
1 21 11
*
v v
E E E
 
  . 
Simulações: 
0 cos ( )
tsFcq q q t q s
m m
       
Onde: 
2
3
2
2
, 
6
:
4
* ( ) , 
6 3
ts
HR
z a
z
F z
HR
E R a z z a
z

 
 
   

 
Os parâmetros usados são: 
 
 
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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
 
3. Próximos passos: 
 Encontrar o melhor modelo; 
 Escolher o método de perturbação; 
 Implementar um programa para Lyapunov em modelos com descontinuidade; 
 Encontrar melhor método de controle; 
 
4. Referências bibliografias 
 
[1] G. Binnig, C. Gerber, C. Quate, Atomic Force Microscope, Phys. Rev. Lett. 56, 930-933, 
1986. 
[2] Jalili, N. & Laxminarayana, K. A review of atomic force microscopy imaging systems: 
application to molecular metrology and biological sciences. Mechatronics 14, 907–945. 2004. 
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backstepping design. Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation (2009), 
doi:10.1016/j.cnsns.2009.04.031 
[4] Ricardo Garcia R and San Paulo A. Dynamics of a vibrating tip near or in intermittent 
contact with a surface. Physical Review B 61, 20, 2000 
 [5] Lozano, J. R. and Garcia R. Theory of Multifrequency Atomic Force Microscopy. 
Physical Review Letters. PRL 100, 076102, 2008. 
 
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Nanotoday, 3, 1-2, 20-27, 2008. 
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[8] Misra S., Dankowicks H., Paul M.R. Event-driven feedback tracking and control 
of tapping-mode atomic force microscopy. First Cite Publishing, 2007 
[9] Nayfeh, A. H. Introduction to Perturbation Techniques, Wiley, New York. 1981. 
[10] Rafikov, M. and Balthazar, J.M., On control and synchronization in chaotic and 
hyperchaotic systems via linear feedback control, Communications in nonlinear Science and 
Numerical Simulation, 13, P.1246-1255, 2008. 
[11] Rafikov, M., Balthazar J. M., Tusset. A. M. An Optimal linear Control Design for 
Nonlinear Systems, J. of the Braz. Soc. Of Mech. Sci. & Eng., XXX, 4, p. 279-284, 2008. 
[12] Nayfeh, A. H. Problems in Perturbation, 1985 
[13] Stark R.W. et al. State-space model of freely vibrating and surface-coupled cantilever 
dynamics in atomic force microscopy. Physical Review B 69. 2004. 
[14] Bowen W. R., Hilal N. Atomic force microscopy in process engineering. Elsevier Ltda. 
2009. 
[15] Misra S., Dankowicks H., Paul M.R. Degenerate discontinuity-induced bifurcations in 
tapping-mode atomic force microscopy. Elsevier. 2009 
[16] A. Sebastian, M. V. Salapaka, D. J. Chen, and J. P. Cleveland, “Harmonic and Power 
Balance Tools for Tappingmode Atomic Force Microscope”, Journal of Applied Physics, 89, 
pp. 6473–6480, 2001.