4 Conhecimento

Prévia do material em texto

UNIDADE 4
Conjunto dos Números Reais 
Prof.: Msc. Vanessa da Luz
4.1 Números Irracionais – 𝕀
Os números irracionais, representado pelo símbolo 𝕀, são números decimais
que possuem infinitas casas decimais, não periódicas. Ou seja, não
possuem representação em fração. Segue alguns exemplos de números
irracionais.
7,89436231...
0,3425187...
-5,98009832...
Alguns números irracionais são usuais na matemática, como:
𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓…
𝝅 (𝒑𝒊) = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐…
𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐…
Um número irracional que é fácil ser identificado, é a raiz quadrada de
números primos, isto é, se p é primo e positivo, 𝒑 é 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍. Assim,
𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑 são números irracionais.
As operações usuais definidas nos outros conjuntos, também são
utilizadas no conjunto, entretanto quando há operações entre racionais e
irracionais, o resultado será irracional. Desse modo, dados
𝒂 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒆 𝒓 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒏ã𝒐 𝒏𝒖𝒍𝒐, então:
𝒂 + 𝒓, 𝒂. 𝒓,
𝒂
𝒓
𝒆
𝒓
𝒂
𝒔ã𝒐 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒊𝒔.
4.2 Conjuntos dos Números Reais - ℝ
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais, é
denominado conjunto dos números reais (ℝ). Assim, os naturais, inteiros,
racionais e irracionais formam o conjunto dos reais.
Observamos pelo diagrama que, ℚ ∪ 𝕀 = ℝ.
Então podemos dizer que o complemento de
ℚ em relação à ℝ é 𝕀, e vice versa.
Além desses subconjuntos dos reais, podemos destacar os seguintes:
 ℝ+= conjunto dos números reais não negativos
 ℝ− = conjunto dos números reais não positivos
 ℝ∗ = conjunto dos reais não nulos
4. 3 Operações em ℝ
As operações de soma, subtração e multiplicação em ℝ são definidas
como no conjunto dos racionais. A divisão está definida em ℝ∗. Na
próxima unidade iremos abordar outras operações presentes no
conjunto dos reais.
4.4 Os números reais na reta
Podemos destacar os números reais, tanto os racionais como os irracionais.
Devemos pensar, que entre os números inteiros há espaços sem ser
preenchidos, que pode ser inserido os racionais, e entre esses, os
irracionais. Assim, obtemos os conjuntos dos reais na reta numérica.
Essa reta representa todo o conjunto dos reais, cuja nomenclatura é reta
real ou reta numérica.
FIXANDO O CONTEÚDO
1) Analise as afirmativas abaixo:
• ℕ ⊂ ℝ
• 𝟒 + 𝟓 ∈ ℚ
•
𝟑
𝟔
∈ ℝ
• 𝟑 − 𝟕 ∈ (ℝ − ℚ)
Assinale a alternativa que corresponde a sequência correta. 
A) V, V, V, V.
B) F, V, F, V.
C) V, V, F, V.
D) V, F, V, V.
E) F, F, F, V.
5) O valor da expressão abaixo, quando a = 8 e b = 15, é:
𝒃
(𝒃 − 𝒂)𝟐
Um número natural
Um número inteiro
Um número irracional
Um valor nulo
Um número racional