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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

RUBENY DANIEL GARCIA CAMPOS

CALIBRAÇÃO DE COEFICIENTES DE RUGOSIDADE EM REDES REAIS DE
ABASTECIMENTO DE ÁGUA, USANDO O MÉTODO ITERATIVO DO GRADIENTE
HIDRÁULICO ALTERNATIVO - MIGHA

FORTALEZA
2018

RUBENY DANIEL GARCIA CAMPOS

CALIBRAÇÃO DE COEFICIENTES DE RUGOSIDADE EM REDES REAIS DE
ABASTECIMENTO DE ÁGUA, USANDO O MÉTODO ITERATIVO DO GRADIENTE
HIDRÁULICO ALTERNATIVO - MIGHA

Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Civil da
Universidade Federal do Ceará, como
requisito parcial à obtenção do título de
Mestre em Engenharia Civil. Área de
concentração: Recursos Hídricos.

Orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio Holanda
de Castro.

FORTALEZA
2018
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
Universidade Federal do Ceará
Biblioteca Universitária
Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
C216c Campos, Rubeny Daniel Garcia.
Calibração de coeficientes de rugosidade em redes reais de abastecimento de água,
usando o Método Iterativo do Gradiente Hidráulico Alternativo - MIGHA / Rubeny Daniel
Garcia Campos. – 2018.
91 f. : il. color.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia,
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil: Recursos Hídricos, Fortaleza, 2018.
Orientação: Prof. Dr. Marco Aurélio Holanda de Castro.
1. Calibração. 2. Epanet2.dll. 3. Rugosidade Absoluta. 4. MIGHA. I. Título.
CDD 627

RUBENY DANIEL GARCIA CAMPOS

CALIBRAÇÃO DE COEFICIENTES DE RUGOSIDADE EM REDES REAIS DE
ABASTECIMENTO DE ÁGUA, USANDO O MÉTODO ITERATIVO DO GRADIENTE
HIDRÁULICO ALTERNATIVO - MIGHA

Aprovada em: 02 / 02 / 2018.

BANCA EXAMINADORA

________________________________________
Prof. Dr. Marco Aurélio Holanda de Castro (Orientador)
Universidade Federal do Ceará (UFC)

_________________________________________
Prof. Dr. Iran Eduardo Lima Neto
Universidade Federal do Ceará (UFC)

_________________________________________
Prof. Dr. Emerson Mariano da Silva
Universidade Estadual do Ceará (UECE)

A minha esposa Lianne Fernanda, pelo
amor, paciência, carinho e compreensão
em todo momento.
Dedico.

AGRADECIMENTOS

A Deus pela benção de poder viver e me dar sabedoria para poder alcançar
este objetivo.
À minha esposa, Lianne, por seu apoio e por incentivar-me para iniciar esta
nova etapa em nossas vidas.
Ao Alessandro por compartilhar seus conhecimentos e o apoio nas
diferentes etapas desta pesquisa.
Ao professor Marco Aurélio Holanda de Castro pela orientação, pela
disponibilidade de ter aceitado orientar esta pesquisa, mostrando assim um mundo
novo na área dos recursos hídricos.
Ao professor Iran pelos seus ensinamentos e sua amizade, bem como sua
valiosa participação nesta defensa.
Ao me amigo Catine pela sua amizade e torcida ao longo do mestrado.
A Organização dos Estados Americanos – OEA por ter iniciado o programa
para o desenvolvimento e capacitação de professionais da América Latina.
Ao Conselho Nacional do Desenvolvimento Científico e Tecnológico –
CNPq, pelo suporte financeiro indispensável para concluir esta pesquisa.

RESUMO

Modelos computacionais foram desenvolvidos nas últimas décadas, tanto para o
planejamento quanto para a operação dos sistemas de abastecimento de água
potável, atingindo grandes avanços em relação às suas aplicações. Para que a
modelagem hidráulica seja confiável e represente a realidade, é necessário calibrar o
modelo hidráulico. O objetivo da calibração ou o que é conhecido como otimização de
parâmetros de qualquer modelo de um sistema físico é identificar os valores de alguns
parâmetros no modelo que não são conhecidos a priori. Isto é conseguido alimentando
o modelo com dados de entrada e comparando as variáveis de saída calculadas com
as variáveis medidas no sistema físico. A calibração dos coeficientes de rugosidade
das tubulações, bem como a de outros parâmetros dos modelos hidráulicos, é um
procedimento necessário para a confiabilidade dos resultados da simulação
hidráulica. Neste trabalho uma rotina computacional é desenvolvida para calibração
do fator de atrito de Darcy-Weisbach seguido do cálculo da rugosidade absoluta em
reais de abastecimento de agua. Também uma sub-rotina computacional foi
desenvolvida com a finalidade de buscar o melhor valor inicial da rugosidade. O
estudo, realizado em uma rede hipotética e uma rede real, avalia também o
desempenho do método em situações nas quais não se conhece a pressão em todos
os nós da rede. Foram realizadas 10.252 calibrações do fator de atrito para o cálculo
da rugosidade absoluta da rede de abastecimento de agua do Setor da Aldeota,
Fortaleza/CE identificando as áreas de baixa pressão, devido à redução do diâmetro
útil do tubo por causa do aumento da rugosidade, assim como indícios de possíveis
vazamentos em áreas com pressões mais altas. Os estudos realizados visam a
ampliação do conhecimento da técnica, contribuindo para futuros estudos e melhoras
na operação e detecção de vazamentos.

Palavras-chave: Calibração, Epanet2.dll, Rugosidade absoluta, MIGHA.

ABSTRACT

Computational models have been developed in the last decades, both for the planning
and the operation of drinking water supply systems, reaching great advances in
relation to their applications.
For hydraulic modeling to be reliable and represent reality, it is necessary to calibrate
the hydraulic model. The purpose of calibration or what is known as parameter
optimization of any model of a physical system is to identify the values of some
parameters in the model that are not known a priori. This is achieved by feeding the
model with input data and comparing the calculated output variables with the variables
measured in the physical system. The calibration of the pipe roughness coefficients,
as well as other parameters of the hydraulic models, is a necessary procedure for the
reliability of hydraulic simulation results. In this work a computational routine is
developed for calibration of the Darcy-Weisbach friction factor followed by the
calculation of the absolute roughness in network real water supply networks. In
addition, a computational subroutine was developed with the purpose of seeking the
best initial roughness value. The study, carried out in a hypothetical network and a real
network, also evaluates the performance of the method in situations in which the
pressure in all nodes of the network is not known. 10,252 friction factor calibrations
were performed to calculate the absolute roughness of the water supply network of the
Aldeota, Fortaleza / CE Sector, identifying the areas of low pressure, due to the
reduction of the useful diameter of the tube due to the increased roughness, as well as
indications of possible leaks in areas with higher pressures. The studies carried out
aim to increase the knowledge of the technique, contributing to future studies and
improvements in the operation and detection of leaks.

Keywords: Absolute Roughness, Calibration, Epanet2.dll,MIGHA

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Comportamento da água que flui em tubo inclinado.............................. 18
Figura 2 – Menu interno de informação sobre o Epanet......................................... 25
Figura 3 – Tela inicial do Epanet2.......................................................................... 25
Figura 4 – Fluxograma da calibração do fator de atrito e cálculo da rugosidade
absoluta usando a metodologia MIGHA................................................ 40
Figura 5 – Fluxograma de otimização de rugosidades iniciais................................ 41
Figura 6 – Rede de distribuição (Lansey et al., 2001) .......................................... 44
Figura 7 – Sector hidráulico de Aldeota, Fortaleza/CE........................................... 47
Figura 8 – Rede traçada no AutoCAD e o UFC2..................................................... 50
Figura 9 – Programa desenvolvido integrado no AutoCAD................................... 50
Figura 10 – Tela do programa com informações dos trechos da rede calculada e
observada............................................................................................ 51
Figura 11 – Tela do programa com inserção dos valores observados...................... 52
Figura 12 – Menu da sub-rotina encarregada de otimizar os valores de entrada
iniciais de rugosidade absoluta............................................................ 52
Figura 13 – Comparação de pressões na rede observada e a rede calculada.......... 67
Figura 14 – Plano de Isolinhas da rede de distribuição de Adeota, Fortaleza/CE…. 68
Figura 15 – Tela do AutoCAD e menus do UFC2..................................................... 80
Figura 16 – Simulação hidráulica no Epanet2.......................................................... 81
Figura 17 – Menu do programa para ingresso dos valores de pressão conhecidos. 82
Figura 18 – Indicando a localização do ponto de pressão conhecida....................... 82
Figura 19 – Ingresso do valor da medida de pressão em metros coluna de água…. 83
Figura 20 – Pressão conhecida inserida no nó da rede............................................ 83
Figura 21 – Tela do AutoCAD com os valores de pressão assignados..................... 84
Figura 22 – Início do processo de calibração com a opção “Calibrar pelo MIGHA”... 85
Figura 23 – Tela de início do programa calibrador.................................................... 86
Figura 24 – Informação de valores conhecidos de pressão...................................... 86
Figura 25 – Critérios de cálculo apresentados pelo programa.................................. 86

Figura 26 – Inicio da calibração através do MIGHA.................................................. 87
Figura 27 – Informação do estado do processo de calibração.................................. 87
Figura 28 – Exportação de resultados para o Excel................................................. 88
Figura 29 – Resultados da calibração em planilhas do Excel................................... 88
Figura 30 – Resultados do programa para a rede calculada.................................... 89

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-C para
condições de fluxo máximo.............................................................. 53
Gráfico 2 – Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-O para
condições de fluxo máximo.............................................................. 54
Gráfico 3 – Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-C para
condições de fluxo mínimo............................................................... 54
Gráfico 4 – Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-O para
condições de fluxo mínimo............................................................... 55
Gráfico 5 – Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-C para
condições de fluxo normal................................................................ 55
Gráfico 6 – Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-O para
condições de fluxo normal................................................................ 56
Gráfico 7 – Comparação de diferenças produzidas pela variação de consumos 58
Gráfico 8 – Pressões calculadas com ε inicial de 1 mm – MIGHA-C de fluxo
normal.............................................................................................. 59
Gráfico 9 – Pressões calculadas com ε inicial de 1 mm – MIGHA-O de fluxo
normal.............................................................................................. 59
Gráfico 10 – Pressões calculadas com ε inicial de 2 mm – MIGHA-C de fluxo
normal.............................................................................................. 60
Gráfico 11 – Pressões calculadas com ε inicial de 2 mm – MIGHA-O de fluxo
normal............................................................................................. 60
Gráfico 12 – Pressões calculadas com ε inicial de 6 mm – MIGHA-C de fluxo
normal............................................................................................. 61
Gráfico 13 – Pressões calculada com ε inicial de 6 mm – MIGHA-O de fluxo
normal.............................................................................................. 61
Gráfico 14 – Rugosidades absolutas calculadas para todos os trechos para
diferentes ε iniciais......................................................................... 63
Gráfico 15 – Dados calibrados pelo MIGHA-C e o estabelecido pela WRC
(1989)............................................................................................. 64
Gráfico 16 – Dados calibrados pelo MIGHA-O e o estabelecido pela WRC
(1989)............................................................................................. 65

Gráfico 17 – Relação de pressões observadas e calculadas da Rede de
Aldeota, Fortaleza/CE..................................................................... 66
Gráfico 18 – Relação entre o erro quadrático e o número de dados da rede de
distribuição de Aldeota, Fortaleza/CE............................................. 67

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Coeficiente de rugosidade absoluta conforme o tipo de material da
tubulação........................................................................................ 21
Tabela 2 – Coeficiente C de Hazen-Williams segundo a idade e o tipo de
material da tubulação...................................................................... 23
Tabela 3 – Dados físicos das tubulações da rede (Lansey et al., 2001) ............. 44
Tabela 4 – Dados físicos dos nós da rede (Lansey et al., 2001) ........................ 45
Tabela 5 – Dados físicos dos trechos da rede com ε inicial de 0,06 mm............. 45
Tabela 6 – Erro absoluto com variação das condições de consumo.................. 57
Tabela 7 – Diferença de pressões calculadas e observadas.............................. 62
Tabela 8 – Rugosidades absolutas calculadas para todos os trechos e
diferentes rugosidades absolutas ε iniciais...................................... 63

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

EPA Environmental Protection Agency
EQM Erro Quadrático Médio
DLL Direct Link Library
MIGH Método Iterativo de Gradiente Hidráulico
MIGHA Método Iterativo de Gradiente Hidráulico Alternativo
RMSE Root Mean Square Error

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 16
2 OBJETIVO ................................................................................................... 17
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................17
3.1 Perdas de carga causadas pela fricção .................................................... 17
3.2 Modelagem hidráulica de redes de distribuição da agua ....................... 23
3.3 Calibração de sistemas de distribuição de água ..................................... 29
3.4 Modelos de calibração ............................................................................... 30
3.4.1 Métodos iterativos ...................................................................................... 30
3.4.2 Métodos explícitos ..................................................................................... 30
3.4.3 Métodos implícitos ..................................................................................... 31
3.5 Método iterativo do gradiente hidráulico – MIGH .................................... 33
4 METODOLOGIA........................................................................................... 37
4.1 Calibração de rugosidades usando a metodologia MIGHA .................... 38
4.2 Optimização de rugosidades iniciais ........................................................ 39
4.3 Rotina computacional desenvolvida ......................................................... 42
4.3.1 Ferramenta de cálculos hidráulicos e apresentação de resultados ...... 42
4.4 Validação da metodologia ......................................................................... 43
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................... 49
5.1 Programa desenvolvido para calibração do fator de atrito .................... 49
5.2 Conformação da rede no ambiente AutoCAD .......................................... 49
5.3 Calibração da rede de distribuição Lansey et al., (2001) ........................ 52
5.4 Rede do setor hidráulico da Aldeota, Fortaleza/CE ................................. 64
6 CONCLUSÕES ............................................................................................ 69
6.1 Recomendações ......................................................................................... 71
REFERÊNCIAS ............................................................................................ 72
APÊNDICE ................................................................................................... 76

1. INTRODUÇÃO

Na atualidade os modelos matemáticos de simulação hidráulica tornaram-
se muito usados e importante nos sistemas de abastecimento. O modelo de simulação
hidráulica tem como objetivo prever o comportamento hidráulico de todas as partes
envolvidas no abastecimento de agua, refletindo as condições reais observadas no
campo. Para que os dados obtidos das simulações hidráulicas representem a
realidade e sejam úteis, tem que ter um nível de exatidão aceitável segundo normas
nacionais e internacionais. Por tanto precisasse da calibração do modelo hidráulico
para poder cumprir com esse requerimento estabelecido.
A calibração dos modelos hidráulicos segundo Silva (2006), é o processo
de identificação de parâmetros necessários para que a simulação hidráulica de redes
de distribuição de agua represente com fidelidade o comportamento do sistema.
Muitas são as variáveis envolvidas na obtenção do equilíbrio hidráulico, e o uso
adequado dessas variáveis se traduzirá na confiabilidade do modelo hidráulico.
Ao longo do tempo devido ao envelhecimento das tubulações,
características como a rugosidade absoluta, fator de atrito, diâmetros internos,
demandas; mudam continuamente, gerando dificuldades na análise, operação e
manutenção das redes. Vasconcelos, Costa e Araújo (2015) relatam que as
modificações na rugosidade afetam significativamente o mecanismo de distribuição
de água, causando perdas de pressão internas, perdas de capacidade de transporte
de fluido e até vazamentos. No entanto, a dificuldade encontrada na análise de uma
rede de distribuição não é apenas a idades dos tubos, mas também na estimativa
inicial dos parâmetros ou nos dados fornecidos pelos fabricantes.
A rugosidade é um dos parâmetros mais complexos na sua determinação.
Uma série de fatores dificultam o cálculo da rugosidade nas redes de distribuição de
água, entre eles podem-se enumerar as incertezas dos dados de demanda nos nós e
a grande quantidade de peças e conexões que ocasionam perdas localizadas no
sistema.
Existem três tipos de procedimentos que podem ser utilizados no processo
de calibração: métodos iterativos; métodos explícitos, diretos ou analíticos; métodos
implícitos ou inversos (KISHI et al., 2003).
Para fornecer as metodologias já investigadas para a otimização de
parâmetros hidráulicos, é necessária a elaboração de um estudo que busque a
17

aplicação em redes reais de abastecimento de agua, com um método mais simples e
de rápida convergência como o Método Iterativo de Gradiente Hidráulico Alternativo –
(MIGHA), para a estimativa do fator de atrito pela equação de Darcy-Weisbach nas
tabulações dos sistemas de abastecimento de agua, partindo da minimização da
função objetivo dada pela diferença entre os gradientes hidráulicos calculados e
observados.

2. OBJETIVO

Implementar e validar uma rotina computacional aplicando o método
iterativo do gradiente hidráulico alternativo – MIGHA, para calibração do fator de atrito
da equação de Darcy-Weisbach, e o após cálculo da rugosidade absoluta em redes
reais de distribuição de água.

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

3.1. Perdas de carga causadas pela fricção

Quando um liquido flui através de uma tubulação, tensões de cisalhamento
desenvolvem-se entre o líquido e a parede do tubo. Este esforço de cisalhamento é
resultado do atrito e sua magnitude depende das propriedades do fluido que passa
pela tubulação, da velocidade em que se desloca, da rugosidade interna do tubo e do
comprimento e diâmetro do tubo.
O equilíbrio de forças no elemento fluido contido dentro de uma seção de
tubo pode ser usado para formar uma expressão geral que descreve a perda de carga
devido ao atrito. As forças em ação podem ser vistas na Figura 1, diferença de pressão
entre a secção 1 e 2, o peso do volume de fluido contido entre as secções 1 e 2 e o
corte nas paredes dos tubos entre as seções 1 e 2.
Supondo que o fluxo na tubulação tenha uma velocidade constante (ou
seja, a aceleração, igual a zero), o sistema pode ser equilibrado com base na diferença
de pressão, forças gravitacionais e forças de cisalhamento, como apresenta a
Equação 1.
18

P₁A₁ - P₂A₂ - A Lγsin(α) - τ₀NL = 0 (1)

Sendo:
P₁ = pressão na secção 1 [M/L/T²];
A₁ = área transversal da secção 1 [L²];
P₂ = pressão na secção 2 [M/L/T²];
A₂ = área transversal da secção 2 [L²];
A = área média entre a secção 1 e a secção 2 [L²];
L = distância entre a secção 1 e a secção 2 [L];
γ = peso especifico do fluido [M/L²/T²];
α = ângulo do tubo em relação à horizontal [L];
τ₀ = tensão de cisalhamento ao longo da parede do tubo [M/L/T²];
N = perímetro da secção transversal do tubo [L]

Figura 1 – Comportamento da água que flui em um tubo inclinado.

Fonte: Advance Water Distribution Modeling and Manangement (2003).

O último termo no lado esquerdo da Equação (1) representa as perdas por
fricção ao longo da parede do tubo entre as duas secções. A equação de perda de
carga pode ser reescrita segundo a Equação (2) e reconhecendo o estabelecido pela
Equação (3).
19

Ao reconhecer que, a equação para perda de carga por fricção pode ser
reescrita para obter a seguinte equação. A carga da velocidade não é considerada
neste caso porque os diâmetros do tubo, portanto as cargas de velocidade são os
mesmos).

hL=τ₀
NL
γA
= (
P1
γ
+Z1) - (
P2
γ
+Z2) (2)

sen (α) = (Z₂ - Z₁) /L

(3)
Sendo hL a perda de carga devido a fricção, Z1 é a elevação do centroide
da secção 1 e Z2 é a elevação do centroide da secção2.
Lembrando que as tensões de cisalhamento em um fluido podem ser
encontradas analiticamente para o fluxo laminar usando a lei de viscosidade de
Newton. O esforço de cisalhamento é uma função da viscosidade e do gradiente de
velocidade do fluido, do peso específico do fluido e do diâmetro da tubagem. A
rugosidade da parede do tubo também é um fator (ou seja, quanto mais áspera a
parede do tubo, maior é o esforço de cisalhamento). A Equação 4 é o resultado da
combinação desses fatores.

τ0 = F(ρ,μ,V,D,ε) (4)

Sendo ρ, a densidade do fluido (M/L3), μ, é a viscosidade absoluta (M/L/T),
V é a velocidade média do fluido (L/T), D é o diâmetro (L) e ε é o índice de rugosidade
interna do tubo (L).
Para o cálculo das perdas de carga em condutos forçados, destacam-se a
fórmula de Hazen-William e a fórmula de Darcy-Weisbach ou fórmula universal.
A fórmula de Darcy-Weisbach e amplamente conhecida como a fórmula
universal, determina a perda de carga para qualquer escoamento incompressível e é
dada pela Equação (5).

hL=f
LV
2
D2g
(5)

Sendo f, o coeficiente de atrito, g é a aceleração da gravidade (L/T²), L é o
comprimento do trecho (L), V é a velocidade média (L/T
-1
) e D é o diâmetro da
tubulação (L).
O coeficiente de atrito de Darcy-Weisbach, f, é uma função das mesmas
variáveis que o esforço de cisalhamento da parede. Mais uma vez usando análise
dimensional, uma relação funcional para o fator de atrito pode ser desenvolvida com
uso da Equação (6).

f = F (
VDρ
μ
,
ε
D
)=F (Re,
ε
D
) (6)

O número de Reynolds é dado pela Equação (7).

Re =
VD
ν
(7)

Sendo Re o número de Reynolds, V é a velocidade média (LT-1), D é o
diâmetro da tubulação (L) e ν é a viscosidade cinemática do fluido (L2T-1).
O fator de atrito de Darcy-Weisbach é dependente da velocidade,
densidade, viscosidade do fluido, rugosidade e comprimento da tubulação
transportadora do fluido. Todos eles são expressos em termos do número de
Reynolds, sendo a rugosidade interna expressada em termos de uma variável
denominada rugosidade relativa, que é a rugosidade interna do tubo (ε ), dividida pelo
diâmetro da tubulação (D). Na Tabela 1 são apresentados alguns coeficientes de
rugosidade absoluta segundo o tipo do material da tubulação.

Tabela 1- Coeficientes de rugosidade absoluta conforme o tipo de material
Material da tubulação

Rugosidade absoluta (𝜀)
(mm)
Aço comercial novo 0,045
Aço laminado novo 0,04 a 0,10
Aço soldado novo 0,05 a 0,10
Aço soldado limpo, usado 0,15 a 0,20
Aço soldado moderadamente oxidado 0,4
Aço soldado revestido de cimento
centrifugado
0,10
Aço laminado revestido de asfalto 0,05
Aço rebitado novo 1 a 3
Aço rebitado em uso 6
Aço galvanizado, com costura 0,15 a 0,20
Aço galvanizado, sem costura 0,06 a 0,15
Ferro forjado 0,05
Ferro fundido novo 0,25 a 0,50
Ferro fundido com leve oxidação 0,30
Ferro fundido velho 3 a 5
Ferro fundido centrifugado 0,05
Ferro fundido com revestimento asfáltico 0,12 a ,20
Ferro fundido oxidado 1 a 1,5
Cimento amianto novo 0,025
Concreto centrifugado novo 0,16
Concreto armado liso, vários anos de uso 0,20 a 0,30
Concreto com acabamento normal 1 a 3
Concreto protendido Freyssinet 0,04
Cobre, latão, aço revestido de epóxi, PVC
e plásticos em geral

0,0015 a 0,010
Fonte: Porto (1998).

Colebrook e White (1939) formularam uma relação do fator de atrito com o
número de Reynolds e a rugosidade relativa, para escoamentos transitórios
hidraulicamente lisos e rugosos, apresentados pela Equação (8).

1
√f
= - 2 log(
ε
3,7D
+
2,51
Rey√f
) (8)

A equação de Colebrook-White gera dificuldades devido a que se encontra
em ambos lados da equação, uma vez que não se pode explicitar o valor do fator de
22

atrito. Normalmente, a equação é resolvida iterando através de valores assumidos de
f, até ambos lados serem iguais.
Swamee e Jain (1976) adaptarem a equação de Colebrook e White (1939)
desenvolvendo a Equação (9).

1
√f
= - 2 log(
ε
3,7D
+
2,51
Rey
0,9
) (9)

Os autores apresentaram a Equação 10, que posteriormente foi utilizada
para elaborar o ábaco de Moody e determinar o fator de atrito em um escoamento de
uma forma gráfica.

f ={(
64
Rey
)
8
+9,5 [ln(
ε
3,7D
+
5,74
Re
0,9
) - (
2500
Re
)
6
]
-16
}
0,125
(10)

O método de Hazen-Williams (William e Hazen, 1920; ASCE, 1992), para
o cálculo de perdas de carga e dado pela Equação (11).

hL =
Cf
C
1,852
D
4,87
Q
1,852
(11)

Sendo hL a perda de carga, C é o coeficiente de Hazen-Williams,
D é o diâmetro do tubo, Q é a vazão e Cf é o fator de conversão (4,73 para sistema
inglês e 10,65 para o sistema internacional).
A fórmula de Hazen-William usa muitas das mesmas variáveis que a
formula de Darcy-Weisbach, mas ao invés de usar um fator de atrito, usa o coeficiente
de rugosidade C. Os coeficientes C maiores, representam tubos mais lisos e os
coeficientes C menores descrevem tubulações mais ásperas, os coeficientes C de
alguns materiais são apresentados na Tabela 2.
De acordo com Rocha (2008) o método de Hazen-William é um método
empírico, por isso, seu uso deve-se restringir apenas ao escoamento em estado
turbulento rugoso da água.
23

Liou (1998 apontou as limitações da equação de Hazen-Williams e
desencorajou fortemente seu uso, recomendando a equação de Darcy-Weisbach com
a equação de Colebrook e White. Swamee (2000) também indicou que a equação de
Hazen-Williams não era apenas imprecisa, mas também era conceitualmente
incorreta. A fórmula de perda de carga de Darcy-Weisbach será usada neste trabalho,
além de ser sugerida pela Norma Brasileira (NBR 1212), para projetos de distribuição
de água.
Tabela 2 - Coeficientes C de Hazen-Williams segundo a idade e o tipo
material da tubulação.

Material da tubulação
Novos
(m0,3676/s)
10 Anos
(m0,3676/s)
20 Anos
(m0,3676/s)
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 - -
Aço galvanizado roscado 125 100 -
Aço rebitado 110 90 80
Aço soldado comum 125 110 90
Aço soldado com revestimento epóxi 140 130 115
Chumbo 130 120 120
Cimento-amianto 140 130 120
Cobre 140 135 130
Concreto, bom acabamento 130 - -
Concreto acabamento comum 130 120 110
Ferro fundido, revestimento epóxi 140 130 120
Ferro fundido, revestimento de
argamassa

130

120

105
Grés cerâmico, vidrado (manilhas) 110 110 110
Latão 130 130 130
Madeira, em aduelas 120 120 110
Tijolos, condutos bem executados 100 95 90
Vidro 140 - -
Plástico (PVC) 140 135 130
Fonte: (Azevedo Netto et al., 2000)

3.2. Modelagem hidráulica de redes de distribuição da agua

A simulação hidráulica tem por objetivo reproduzir o comportamento de
fluido em condutos forçados, através de modelos matemáticos que representam as
leis físicas que regem o fenômeno (SILVA, 2006).
Para o desenvolvimento de um projeto de abastecimento de água, é vital o
uso da simulação hidráulica, tanto para o dimensionamento do sistema como na
24

ampliação ou reabilitação de redes. A simulação hidráulica é também usada na
operação e monitoramento de pressões, setorização, e controle de perdas reais.
Os modelos hidráulicos caracterizam as condições de equilíbrio da rede,
exigindo a resolução das equações de continuidade nos nós, calculando as vazões
para cada trecho da rede e a determinação das cotas piezométricas dos nós usando
a relação vazão e perda de carga.
Conhecendo a não linearidade das equações de perda de carga no cálculo
de redes malhadas, se faz uso frequente de métodos numéricos como o método de
Hardy-Cross (1936), este é um método muito antigo e amplamente usado para o
cálculo das condições de equilíbrio hidráulico dos sistemas de distribuição de água.
Baseado em um processo iterativo, no qual a equação do sistema é resolvida
iterativamenteaté que a convergência seja obtida dentro dos parâmetros de tolerância
estabelecidos.
Martin e Peters (1963), utilizarem o método iterativo de Newton-Raphson
para o equilíbrio de redes hidráulicas, sendo mais eficiente que o método de Hardy-
Cross.
Todini e Pilati (1987), desenvolverem o método híbrido Nó-Malha, e mais
tarde, Salgado et al., (1998), optaram por designá-lo como o “Método do Gradiente” e
que pela simplicidade do método, este foi escolhido para seu uso no EPANET
(Rossman, 2000), sendo utilizado também neste trabalho.
O Epanet é um software de simulação hidráulica e da qualidade da água,
capaz de realizar simulações em período estático e dinâmico, desenvolvido pela U.S.
Environmental Protection Agency - EPA, Agência de Proteção Ambiental dos Estados
Unidos, sendo este um software de domínio público e usado por pesquisadores,
cientistas e engenheiros.
A versão do Epanet em português do Brasil é a tradução realizada pelo
Laboratório de Eficiência Energética e Hidráulica em Saneamento, pertencente ao
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental do Centro de Tecnologia da
Universidade Federal da Paraíba. A tela das informações sobre o software e a tela
inicial do programa pode ser vista nas Figuras 2 e 3.

Figura 2 - Menu interno de informação sobre o Epanet

Fonte: Elaborado pelo autor

Figura 3 - Tela inicial do Epanet2

Fonte: Elaborado pelo autor

O Epanet mante o equilíbrio hidráulico com uso das equações da
conservação da energia e da continuidade, assim a relação entre a perda de carga e
a vazão, é resolvida com uso do método Nó-Malha, denominado por Todini e Pilati
(1987) como o “Método do Gradiente”.
A metodologia considera uma rede com N nós e NF nós, com cota
piezométrica fixa (RNV e RNF). Considerando que a relação vazão-perda de carga
numa tubulação entre os nós i e j pode ser traduzida pela seguinte Equação (12).

Hi - Hj = hij = r Qij
n
+ m Qij
2
(12)

Sendo H, a carga hidráulica do nó, h a perda de carga total, Q a vazão na
tubulação, r o termo de perda de carga, n o expoente da vazão e m o coeficiente de
perda de carga localizada.
O método avalia uma primeira distribuição de vazão no trecho, equivalente
a uma velocidade de 0,305 m/s, que a cada iteração do método, novas cotas
piezométricas são obtidas resolvendo a matriz jacobiana da Equação (13).

A(H) = F (13)

Sendo A, a matriz Jacobiana (N x N), H é o vetor de incógnitas em termos
de cota piezométrica (N x 1) e F é o vetor dos termos do lado direito da equação
(N x 1).
Os parâmetros da diagonal da matriz Jacobiana são expressados segundo
a Equação (14) e os parâmetros não nulos são expressadas pela Equação (15).

Aii=∑Mij
j
(14)

Aij=-Mij (15)

Sendo Mij o inverso da derivada da perda de carga total no trecho entre os
nós i e j em relação à vazão, expressada para tubulações de acordo com a Equação
(16).
27

Mij=
1
nr|Qij|
n-1
+2m|Qij|
(16)

A conservação de massa nos nós, é expressada pela Equação (17) e com
o intuito de conhecer os valores de pressão e vazão da rede que satisfazem as
equações (16) e (17).

∑Qij
j
-Di=0 para i=1, …, N (17)

Sendo D, o consumo no nó i.
O lado direito da matriz Jacobiana está conformado por uma parcela
proveniente do balanço da vazão no nó à qual é adicionado um fator de correção de
vazão, expressado de acordo com a Equação (18).

Fi=(∑Qij
j
-Di)+∑ yij
j
+∑MifHf
f
(18)

O último termo aplicável em qualquer trecho que ligue o nó i, o reservatório
de nível fixo (RNF) e o fator de correção de vazão, yij é dado pela Equação (19).

y
ij
= Mij (r|Qij|
n
+m|Qij|
2
) sgn(Qij) (19)

Sendo sgn(Qij) = 1 se Qij > 0, caso contrário sgn(Qij) = -1.
Após calculadas as cotas piezométricas nos nós, as novas vazões são
obtidas a partir da Equação (20).

Qij=Qij- [yij-Mij(Hi-Hj)] (20)

Se a soma de todas as variações de vazão (em valor absoluto) relativas à
vazão total em todos os trechos for superior à tolerância especificada, as Equações
13 e 20 são resolvidas novamente.
O cálculo do fator de atrito com uso da equação de Darcy-Weisbach, é
realizado de acordo segundo o tipo de escoamento, que para Rossman (2000)
encontra-se na faixa de 2.000 < Rey < 4.000 e realizando uma interpolação cúbica do
ábaco de Moody, segundo a metodologia usada por Dunlop (1991), é efetuada com
as Equações (21) a (30).

F = {X1+R[X2+R(X3+X4)]} (21)

R =
Rey
2000
(22)

X1 = 7FA-FB (23)

X2 = 0.128-17FA+2.5 FB (24)

X3 = - 0.128+13FA-2FB (25)

X4 = R(0.032-3FA+0.5FB) (26)

FA = (Y3)
-2
(27)

FB = FA (2 -
0,00514215
Y2*Y3
) (28)

Y2 =
ε
3,7D
+
5,74
Re
0,9
(29)

Y3 = - 0,86859 Ln (
ε
3,7D
+
5,74
4.000
0,9
) (30)

Os coeficientes R, X1, X2, X3, X4, FA, FB, Y1, Y2, são utilizados para o
cálculo do fator de atrito em escoamento transicional.
Além da simulação hidráulica utilizada neste trabalho, é preciso criar a
interface entre o simulador e o modelo de calibração, a EPA (Enviromental Protection
Agency) disponibiliza publicamente o Epanet em três versões:

 Formato executável (extensão “.exe”).
 Código fonte em linguagem computacional C e Delphi.
 Compilação em formato de biblioteca dinâmica – (DLL) – (extensão “.dll”).

De acordo com a Microsoft Developer Network (2015) é possível a
vinculação de uma biblioteca de forma estática e dinâmica. Ao realizar uma vinculação
estática as bibliotecas utilizadas no programa são compiladas e anexadas ao código
executável. Na vinculação dinâmica, a biblioteca permanece armazenada
externamente ao executável principal, como é o caso do arquivo DLL. De acordo com
Bota e Santos (2014) no módulo executável é necessário somente ter os dados que
consigam localizar esta função externa, não sendo necessário que a mesma esteja
embutida no código executável. A localização é realizada somente no tempo de
execução do programa e, se o arquivo não for encontrado, será acusado o erro. A
vinculação dinâmica é possível chamar uma função que não forma parte do
executável.

3.3. Calibração de sistemas de distribuição de água

Segundo Walski (1983) calibração é o ajuste dos parâmetros de um modelo
para melhorar a relação entre os dados observados e prognosticados por ele. Os
parâmetros a serem calibrados são demandas nodais, coeficientes de rugosidade,
diâmetros e outros.
O processo de calibração é a encargada de identificar os parâmetros
hidráulicos da rede que sofrem alterações ao longo do período de funcionamento, tais
como a rugosidade absoluta, que pode sofrer alterações no processo de produção
industrial e as alterações nos diâmetros com o passar dos anos.
Porto (2006), trata da importância da calibração da rugosidade quando
relata que a especificação da rugosidade da tubulação é facilmente alterada por
30

alterações da superfície da parede do tubo, tornando difícil a determinação dos fatores
de atrito em elas.
Walski (1983,1986) e Bhave (1988), propuseram técnicas que requerem
informações do campo para ajustar os coeficientes de rugosidade das tubulações e
as demandas dos nós.

3.4. Modelos de calibração

Existem três tipos de procedimentos que podem ser utilizados no processo
de calibração que são os métodos iterativos, métodos explícitos e os métodos
implícitos (Kishi et al., 2003).

3.4.1. Métodos iterativos

Segundo Costa (2008), os métodos iterativos são baseados no artifício de
tentativa e erro. Baseiam-se em uma aproximação inicial seguida de parâmetros
desconhecidos os quais são atualizados a cada iteração, após esse processo é
realizada uma comparação entre as cargas hidráulicas e vazões obtidas do modelo
de simulação e as obtidas em campo.

3.4.2. Métodos explícitos

Frequentemente conhecido como métodos analíticosou diretos, de acordo
com Pereira (2009), estes métodos definem que o número de parâmetros
desconhecidos seja igual ao número de medições, o grupo de N parâmetros
desconhecidos é determinado com a resolução de N equações não-lineales.
Walski (1983), desenvolveu uma metodologia que com o agrupamento de
tubulações equivalente, o coeficiente de rugosidade é calculado segundo os valores
de pressão e vazão observadas para duas condições de escoamento distintas.
Boulos e Wood (1990), apresentaram um algoritmo explícito capaz de
determinar os valores ótimos de os parâmetros hidráulicos tanto do projeto como da
operação e calibração de diferentes tipologias de redes de distribuição de água.
Ferreri, Napoli e Tumbiolo (1994) utilizando o método de Newton-Raphson
para a resolução das equações não-lineares no processo de calibração, propõem o
31

método que avalia os coeficientes de rugosidades utilizando valores de pressões e
vazões monitorados e coletados em pontos estratégicos da rede de distribuição de
água, concluindo que o melhor período para coletar os dados de consumo, é o período
noturno.

3.4.3. Métodos implícitos

Também conhecido como método inverso e de acordo com Rocha (2008),
os métodos implícitos partem de algumas informações de pressão e vazão da rede e
recorrem ao uso de uma função objetivo para a aproximação do problema inverso que
consiste em minimizar essa função objetivo com a diferença entre os valores de
pressão ou vazão simulados e observados no sistema.
Ormsbee e Lingireddy apud Cheung (2001), concordam que a diferença
absoluta dos valores calculados e observados para as pressões estáticas é
satisfatória com um desvio máximo entre 5% e 10% para valores de pressão, vazão e
nível d’água nos reservatórios. Para Walski (1986), é aceitável uma diferença absoluta
para valores de pressão e vazão um desvio máximo de 7%.
A Water Research Centre (1989), estabelece que o erro absoluto, para
valores de pressão dados pela diferença entre o valor simulado e observado, não deve
exceder uma das seguintes condições:

 ± 0,5 m para 85% das medidas de pressão.
 ± 0,75 m para 95% das medidas de pressão.
 ± 2 m para 100% das medidas de pressão.

Lansey e Basnet (1991), incorporaram um modelo de simulação hidráulica
ao algoritmo de programação não-linear para a calibração de coeficientes de
rugosidade. Os autores adotarem duas opções para a função objetivo, a soma dos
quadrados e valores absolutos das diferenças entre valores observados e estimados
de vazões nas tubulações e energias nos nós.
O método proposto por Datta e Sridharan (1994), é utilizado em diferentes
cenários de demandas de consumo. Os autores adotaram a minimização das
diferenças dos quadrados dos valores observados e calculados, incluindo pesos nos
desvios dos valores sob diferentes condições de demanda.
32

A seleção natural de Darwin foi utilizada por Savic e Walters (1997) como
metodologia de busca no processo de otimização, denominado algoritmos genéticos.
A metodologia apresentou melhores resultados que os métodos de
tentativa e erro na calibração de coeficientes de rugosidade, os autores apresentaram
diversos usos aplicando a metodologia dos algoritmos genéticos.
Os algoritmos genéticos são muito usados em diversos trabalhos
destinados à calibração de redes de água potável (SILVA ET AL., 2004;
VASCONCELOS, COSTA E ARAÚJO, 2015; VASSILJEV, KOOR E KOPPEL, 2015;
VITKOVSKY, SIMPSON E LAMBERT, 2000).
Riguetto (2001) utiliza os algoritmos genéticos para propor a metodologia
baseada no método dos nós e os elementos finitos para determinação de diferentes
parâmetros hidráulicos como demandas nodais, rugosidade absoluta e diâmetro das
tubulações.
Greco e del Guidice (1999) propõe o uso de uma matriz de sensibilidade
para a otimização não-linear para calibração dos coeficientes de rugosidade de redes
de distribuição de água e os valores coletados são muito importantes na calibração
de parâmetros hidráulicos.
Lansey et al., (2001) estudarem a causa das incertezas provocadas pelos
erros nos valores medidos em campo e os valores estimados. O procedimento
proposto pelos autores, inicia com a estimativa dos parâmetros, avaliação da
calibração e uma metodologia para a coleta de dados, incluindo as incertezas na
solução final para valores calculados e observados.
A técnica proposta por Araújo (2003) utiliza o método transiente com um
algoritmo genético para estudar a calibração de parâmetros hidráulicos a partir de
gradientes hidráulicos transientes. A técnica foi utilizada para calibrar o fator de atrito,
a rugosidade absoluta e vazamentos em redes de distribuição de água, apresentando
bons resultados.
Costa (2008) propõe uma técnica utilizando a metodologia de redes neurais
artificias para o processo de calibração de rugosidades em redes de distribuição de
agua. A técnica apresentada pelo autor tem a grande vantagem de avaliar a influência
e a ubiquação dos pontos de medição utilizados no problema inverso.

3.5. Método iterativo do gradiente hidráulico – MIGH

Guo e Zhang (1994), propuseram o método de gradiente hidráulico para a
calibração da transmissividade ou condutividade hidráulica, na modelagem das águas
subterrâneas de um aqüífero. Para a calibração de parâmetros hidráulicos, também
conhecido como problemas inversos, é muito usada a Equação (31) para minimizar a
função objetivo.

Fobj = ∑(Hc- Ho )i
2
n
i=1
(31)

A Fobj corresponde a função objetivo e os parâmetros Hc, é a carga
hidráulica calculada, Ho é a carga hidráulica observada, i o número de iterações e o
valor n, a quantidade de pontos de análise no aquífero.
Guo e Zhang (2000) descreveram o método como um procedimento de tipo
iterativo, iniciando o processo com uma estimativa inicial dos parâmetros hidráulicos
a serem calculados. O processo iterativo minimiza as diferenças das cargas
hidráulicas calculadas e observadas pelo modelo com dados observados. Os autores
sugerem que para o uso do método, a função objetivo a ser minimizada é a diferença
entre os gradientes hidráulicos calculados e observados, como se apresentam na
Equação (32).

FOBJ=∫(∇Hc- ∇Ho)
2dxdy
R
(32)

Sendo Hc é o gradiente hidráulico calculado, Hc o gradiente hidráulico
observado e R o domínio de fluxo.
Guo e Zhang (2000) indicam que a condição ideal para o parâmetro de
transmissividade consegue-se quando a derivada da função objetivo, está em função
da transmissividade, aproxima-se de zero como se observa na Equação 33.

∂fobj
∂Tj
= -
2
Tj
∫(∇HCj- ∇HOj) ∇HCj dxdy (33)

Sendo T é a transmissividade e j é o índice da célula.
Os autores indicam que o parâmetro hidrodinâmico a ser usado segue
como se estabelece na Equação (34) para cada iteração.

Tj, i+1=Tj, i-λ(
∂Fobs
∂Tj
)
i
(34)

Em que i é o número de cada iteração, λ é o comprimento do passo
Shuster e Araújo (2004) transformaram a Equação (33) na Equação (35)
expressada em diferenças finitas.

∂fobj
∂Tj
= -
2
Tj
∑(∇HCj- ∇HOj) ∇HCj Δx Δy
nH
(35)

Em que n, é o número de célula com carga hidráulica observada, ∇x e ∇y,
são as dimensões para cada cédula. Em adição os autores propõem a Equação (36)
substituindo a Equação (34).

Tj
i+1
= Tj
i
|∇HCj
i |
|∇HOj
i |
(36)

Sendo os parâmetros Tji a transmissividade da célula j na iteração i, Tji+1
é a transmissividade da célula j na iteração i+1, |∇𝐻𝐶𝑗
𝑖 | e |∇𝐻𝑂𝑗
𝑖 |, são os gradientes
hidráulicos cálculos e observados na iteração i da cédula j (ROCHA, 2008).
Para cada iteração o ângulo θ formado entre os vetores dos gradientes
hidráulicos observados e calculados é dado pela Equação (37).

cos θj =
∇HCj∇HOj
|∇H
Cj
||∇HOj|
(37)

De acordo com Schuster e Araújo (2004), os ângulos θ𝑗 > 60º não são
considerados até que as transmissividades calculadas nascélulas contiguas
35

provoquem o declínio do ângulo, sendo solo aceitos apenas ângulos menores de 60º.
Para o cálculo de ângulos maiores a 60º calcula-se Tj
i+1
segundo a Equação (38).

{

Se θ<60°⟹ Tj
i+1
=Tj
i
|∇HCj
i |
|∇HOj
i |
Se θ≥60°⟹ Tj
i+1
=Tj
i

(38)

Os critérios de parada das iterações de cálculo ocorrem quando o erro dado
na Equação 39, atinge o valor de 0.001 m.

Erro= ∑(Hj
obs
-Hj
calc)
2
(39)

Rocha, Castro e Araújo (2009) adaptarem e aplicarem o método no cálculo
dos coeficientes de rugosidades em redes de distribuição de água. Os autores
aplicarem o método para a calibração de rugosidades do coeficiente C de Hazen-
Williams, mudando o parâmetro T da transsmisividade pelo parâmetro C, com uso da
Equação 40.

Cj
i+1
= Cj
i
|∇HCj
i |
|∇HOj
i |
(40)

Em que C, é o coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams, i é o número
de iterações e j, o número da seção. Com o método adaptado para redes de
distribuição de agua, o cálculo do ângulo θ, é permitido só o valor de 0º ou 180º com
uso da Equação (41) a qual está em função da vazão, sendo esta a responsável por
indicar o sentido do fluxo e substitui a Equação (37) usada por Schuster e Araújo
(2004) mantendo essa restrição podem-se obter apenas valores menores que 60º, já
que não é permitido que o mesmo trecho apresente sentido de fluxo oposto, tanto na
rede calculada como na rede observada.

cos θj =
QcjQOj
|Qcj| |QOj|
(41)

Os autores usam a metodologia denominada MIGHA-C e MIGHA-O para a
calibração dos coeficientes de rugosidades. O MIGHA-C, a cada iteração muda
apenas as rugosidades da rede calculada para a obtenção de um novo gradiente
hidráulico calculado, para o após cálculo de uma nova rugosidade pela Equação (40).
O MIGHA-O, a cada iteração, muda as rugosidades da rede calculada e da rede
observada, obtendo novos gradientes hidráulicos calculados e observados. Com as
alterações da rede calculada e da observada, o número de iterações diminui
consideravelmente.
A rede denominada “Rede Calculada”, é a rede utilizada para realizar os
cálculos hidráulicos, iniciando com valores estimados que geram gradientes
hidráulicos cálculos e que a cada iteração são alterados para gerar novos gradientes
hidráulicos, que a cada vez se tornam mais parecidos com os valores observados em
campo.
A rede denominada “Rede Observada”, inicia o processo de cálculo com
valores inicias estimados para gerar os gradientes hidráulicos calculados, com a
diferença que possui valores fixas de pressão referente aos valores de pressão
conhecidas.
A rede denominada Rede Gabarito, é uma rede fictícia utilizada para
verificar os resultados encontrados com o uso do método, já que os valores de entrada
e resultados hidráulicos são conhecidos.
A metodologia usada por Rocha (2013) para fixar as pressões da rede
observada no processo de calibração usando o MIGHA e o software Epanet como
simulador hidráulico, usa a representação de um reservatório de nível fixo, sendo a
cota piezométrica do nó, a pressão conhecida. O reservatório de nível fixo é conectado
ao nó, com um trecho de tubulação extremamente pequeno e diâmetro extremamente
grande, com o objetivo de fazer a vazão teoricamente existente nesse trecho seja
extremamente pequena e a perda de carga seja desprezível e o gradiente hidráulico
seja o mesmo que o do reservatório. O autor utilizou a metodologia MIGHA para o
cálculo da rugosidade absoluta em escoamento em regime transiente com a Equação
37

42, portanto o reservatório como o trecho criado são fictícios, já que não existem na
realidade.

εj
i+1 = εj
i(
|∇HCj
i |
|∇HOj
i |
)
-1
(42)

Para calibrar o coeficiente KW de decaimento de cloro nas paredes das
tubulações, Pereira e Castro (2013) utilizarem o método, mudando o gradiente
hidráulico pelo gradiente de concentração de cloro, como se mostra na Equação 43.

KWj
i+1
= KWj
i
|∇CCj
i
|
|∇COj
i
|
(43)

Em que ∇CC é o gradiente de concentração calculado e ∇CO é o gradiente
de concentração de cloro observado.

4. METODOLOGIA

O processo de calibração de redes de abastecimento e muito complexo
pela quantidade de variáveis envolvidas no modelo hidráulico, incluindo aquelas
variáveis que suas propriedades variam pela produção ou qualidade dos materiais que
conformam o sistema de abastecimento de agua. A rugosidade é uma de essas
variáveis que apesenta maior grau de incerteza, motivo pelo qual é desenvolvido este
trabalho, visando à identificação das rugosidades nas tubulações das redes reais de
distribuição de água através de um processo de calibração, ou que também é
conhecido como otimização de parâmetros.
O modelo hidráulico deve estar conformado com todos seus atributos como
cotas topográficas, demandas nodais, níveis dos reservatórios, diâmetros,
rugosidades e comprimentos das tubulações. Após a definição dos dados de entrada,
deve-se contar com medições de pressões ou vazões na rede, para poder aplicar o
processo de calibração com a metodologia MIGHA para minimização das diferencias
dos dados calculados e os dados observados. O processo de calibração será validado
38

em uma rede da literatura sob diferentes cenários de funcionamento, assim como em
uma rede real de abastecimento de agua, conformada com tubulações de diferentes
matérias e idades de implantação das tubulações.

4.1. Calibração de rugosidades usando a metodologia MIGHA

O cálculo do gradiente hidráulico pela formula de Darcy-Weisbach para
perdas de carga Equação (44), é diretamente proporcional ao fator de atrito f, o que
faz possível aplicar o método iterativo de gradiente hidráulico alternativo (MIGHA)
adaptado para redes de distribuição de agua por Rocha, Castro e Araújo (2009) para
à calibração do fator de atrito f e o cálculo da rugosidade absoluta nas tubulações.

∇H =
0.0827 (f)(Q)
2
D
5
(44)

Em que ∇H é o gradiente hidráulico, Q é a vazão e D o diâmetro.
Novas equações foram desenvolvidas por Araújo e Castro (2017), para a
calibração do fator de atrito da equação de Darcy-Weisbach em redes de distribuição
de água, de acordo com a Equação (45).

fj
i+1
= fj
i
[
|∇HCj
i
|
|∇HOj
i |
]
-1
(45)

Para o cálculo do ângulo formado entre os vetores de gradiente hidráulico,
assim como a função objetivo são as mesmas que foram propostos por Schuster e
Araújo (2004) e Rocha, Castro e Araújo (2009).
O Epanet2 de acordo com a metodologia de Rossman (2000) usa a fórmula
de Swamie-Jain (Equação 9), para o cálculo do fator de atrito, ao isolar a rugosidade
absoluta na formula, tem-se duas opções para o cálculo como se mostra nas
Equações (46) e (47).

ε = 3,7D x 10
0,5/√f
-
21,238 x D
Rey
0.9
(46)
39

ε =
(3.7D ) ( Rey
0.9
-5,74 x 100,5/√f )
Rey
0.9 - 5,74 x 100,5/√f
(47)

Com o uso da Equação (44) para o cálculo da rugosidade absoluta tem-se
resultados inaceitáveis, já que representam uma ordem muito alta. Os resultados
esperados são apresentados pela Equação (47), representando uma ordem dos
milésimos e até milímetros. De modo que a rugosidade absoluta neste trabalho é
calculada pela Equação (47).
A metodologia usada para a calibração do fator de atrito e o após cálculo
da rugosidade absoluta, inicia com o uso da biblioteca dinâmica Epanet2.dll para obter
os gradientes hidráulicos inicias de todos os trechos. Os valores inicias estabelecidos
das rugosidades são usadas para calcular o fator de atrito com a Equação (47) e os
ângulos entre os vetores dos gradientes hidráulicos calculados e observados são
obtidos com uso da Equação (41). Novas rugosidades absolutas são calculadas com
a Equação (47) de Swamie-Jain, que podendo em alguns casos se obter valores
maiores que 60º, ou seja, valores de rugosidades absolutas menores que 0 e maiores
que 12 mm,a rugosidade absoluta a ser utilizada nesse caso será a encontrada na
interação anterior até que os trechos contíguos alterem as pressões com a finalidade
de gerar novos gradientes hidráulicos que alterem essa situação. Com as rugosidades
absolutas a ser utilizadas, uma nova simulação hidráulica é efetuada, até que o
número de iterações alcance o valor estabelecido na função objetivo.
O processo de calibração do fator de atrito e cálculo da rugosidade absoluta
usando a metodologia MIGHA se estabelece na Figura 4.

4.2. Optimização de rugosidades iniciais

Com a importância das rugosidades iniciais no processo de calibração, foi
desenvolvida uma sub-rotina computacional, que com ajuda da biblioteca dinâmica
Epanet2.dll, que busca identificar os melhores valores inicias da rugosidade.
O procedimento inicia adotando um valor de rugosidade (𝜀𝐴), e um valor de
rugosidade inicial (𝜀𝐼). Usando a metodologia MIGHA-O, as rugosidades de cada
trecho são alteradas na rede calculada como na rede observada, se a metodologia
40

escolhida é a MIGHA-C, as rugosidades de cada trecho da rede calculada são
alteradas.
O Epanet2.dll é iniciado para calcular os gradientes hidráulicos e
determinar o erro absoluto dos gradientes hidráulicos calculados e observados.

Figura 4 - Fluxograma da calibração do fator de atrito e cálculo da
rugosidade absoluta usando a metodologia MIGHA.

Fonte: Adaptada de (Araújo e Castro, 2017)

Uso do Epanet2.dll para obter os gradientes
hidráulicos calculados e observados iniciais

e
fj
i+1
=fj
i
[
|∇HCj
i |
|∇HOj
i |
]
-1
cos 𝜃𝑗 =
∇𝐻𝐶𝑗∇𝐻𝑂𝑗
|∇𝐻𝐶𝑗||∇𝐻𝑂𝑗|

εj
i+1 =
3.7D x ( Rey0.9 − 5.74 x 100.5/√f )
Rey0.9 − 5.74 x 100.5/√f

Uso do Epanet2.dll para obter os gradientes
hidráulicos calculados e observados inicias
Número de Iterações ≤ Máximo
estabelecido?
Função objetivo ≤ Mínimo
estabelecido?
Calibração concluída
0 < 𝜀𝑗
𝑖+1 < 12 𝑚𝑚
cos θj >60
εj
i+1= εj
i

εj
i+1= εj
i

Sim
Não
Não
41

Os casos dos valores de rugosidade adotados (𝜀𝐴) sejam menor que a
rugosidade final (𝜀𝐹), a busca continua iterativamente, atualizando as rugosidades das
redes, incrementando um valor de rugosidade adotado (𝜀𝐼𝑁𝐶). Caso contrário, ou seja,
o valor da rugosidade adotado fosse maior que o valor da rugosidade final, o
procedimento é concluído, utilizando a rugosidade que gero um erro absoluto menor.
O procedimento de otimização das rugosidades absolutas inicias, pode ser visto na
Figura 5.
Figura 5 - Fluxograma de otimização de rugosidades iniciais

Fonte: Elaborado pelo autor

εA= εI
MIGHA C – Atualização ε rede calculada;
MIGHA O – Atualização ε rede calculada e observada

Uso do Epanet2.dll para obter
resultados
Erro = |∇ HC- ∇ HO|
𝜀𝐴 < 𝜀𝐹𝐼𝑁
𝜀𝐴 = 𝜀𝐴 x 𝜀𝐼𝑁𝐶

Fim do processo atualizando ε de cada trecho com
o valor que gerou menor Erro
42

4.3. Rotina computacional desenvolvida

A rotina computacional desenvolvida para a calibração do fator de atrito e
cálculo da rugosidade absoluta em redes de abastecimento, faz parte do pacote
computacional UFC desenvolvido pelo Departamento de Engenharia Hidráulica e
Ambiental da Universidade Federal do Ceará. A rotina foi desenvolvida nas linguagens
AutoLISP, VBA (Visual Basic for Applications) internas no AutoCAD.
A rede a calibrar é traçada no ambiente AutoCAD com ajuda do recurso
chamado UFC2, que de acordo com Costa e Castro (2006), além do traçado, a rede
é exportada para o Epanet com todos os atributos como cotas topográficas, demandas
nodais, diâmetros, comprimentos e rugosidades dos trechos, necessários para efetuar
a simulação hidráulica. Com a rede traçada e pronta para se exportar no Epanet, o
programa ingressa diretamente os dados medidos em campo, com a opção “Pressão
medida”, embora o valor não foi medido diretamente num nó e se em um trecho, o
programa UFC2 divide o trecho em dois, sendo que o ponto onde a medição foi
realizada passa a ser um nó e o trecho é dividido em dois com as mesmas
caraterísticas.
A opção “Editar medições”, modifica o valor de pressão definido
anteriormente, apagando o valor definido e ingressando o novo valor assignado. A
opção “MIGHA”, inicia criando dois arquivos necessários para a calibração, sendo o
primeiro o arquivo, “Rede_Calculada_base.inp”, que será simulado pela biblioteca
dinâmica Epanet2.dll. O segundo arquivo de leitura é o arquivo de dados medidos,
ingressados no AutoCAD, denominado, “Dados.u10”.

4.3.1. Ferramenta de cálculos hidráulicos e apresentação de resultados

A ferramenta desenvolvida em linguagem VB (Visual Basic), é a
encarregada de realizar os cálculos de calibração dos parâmetros hidráulicos, e
apresentar esses resultados. O programa executa a metodologia MIGHA-C e MIGHA-
O, para a calibração do fator de atrito e cálculo da rugosidade absoluta, usando como
critério de parada uma função objetivo de 0,000000001 e um número máximo de 100
iterações, podendo o número máximo de iterações ser modificadas pelo usuário.
Os resultados da calibração são apresentados e exportados diretamente
em planilhas de Excel pela opção “Exportar planilhas para o Excel”. A rede calculada
43

e a rede observada, a ser analisada, são visualizadas com a opção “Visualizar com
Epanet a rede calculada” e “Visualizar com Epanet a rede observada”. Para fechar o
programa é utilizada a opção “Sair do calibrador”.
As opções mencionadas anteriormente são utilizadas para completar o
processo de calibração do fator de atrito e cálculo da rugosidade absoluta, podendo
ser explicada como segue. Iniciando o programa a partir do arquivo
“Rede_Calculada_base.inp”, são criados os arquivos a serem simulados pela
biblioteca dinâmica Epanet2.dll, das redes calculadas e observadas, antes da
calibração. Escolhe-se o fator de atrito f a ser calibrado e escolhe-se a metodologia
MIGHA ao usar, sendo ela MIGHA-C ou MIGHA-O. Determina-se o valor máximo da
função objetivo e o número máximo de iterações como critérios de parada, iniciando
o processo de calibração para seguidamente apresentar os resultados, que também
podem ser exportados para o Excel.

4.4. Validação da metodologia

A metodologia proposta neste trabalho será validada em uma rede da
literatura e em uma rede real de abastecimento de água, calibrando o fator de atrito e
o após cálculo da rugosidade absoluta.
A primeira rede a calibrar, é a rede utilizada por Lansey et al., (2001) a rede
está composta por 16 trechos, 12 nós e um reservatório de nível fixo, com cota
piezométrica de 115,8 metros, incluindo a energia da bomba no primeiro trecho, a
topologia da rede é apresentada na Figura 6 e os dados físicos (comprimento,
diâmetro, coeficiente de rugosidade, cotas de elevação e consumos nodais), são
apresentados na Tabela 3 e 4. O coeficiente de rugosidade utilizado por Lansey et al.,
(2001), é o coeficiente C de Hazen-William, neste trabalho com o intuito de validar o
método, os dados de entrada para coeficientes de rugosidade serão usados valores
de rugosidade absoluta igual a 0,06 para todas as tubulações, usando a fórmula de
perdida de carga de Darcy-Weisbach, podendo ser vistos na Tabela 5.
As medições de pressão foram realizadas nos nós 2, 5, 9 e 11, para
diferentes condições de demanda, denominando a cada uma dessas condição, de
fluxo normal, máximo e mínimo. A demanda total no sistema é de 267 l/s, sob
condições normais de demanda, para o cálculo da demanda máxima os autores
incrementaram e diminuírem à demanda média diária normal em 40% e 60%.
44

Figura 6 - Rede de distribuição (Lansey et al., 2001)

Fonte: Elaborado pelo autor com uso do Epanet

Tabela 3 - Dados físicos das tubulações da rede (Lansey et al., 2001)Trecho Comprimento (m) Diâmetro (mm) Rugosidade (C)
1 3048 610 110
2 1524 457 110
3 1524 406 100
4 1524 356 100
5 1676.4 305 120
6 914.4 356 120
7 1219.2 305 90
8 1676.4 356 90
9 1676.4 356 90
10 1066.8 305 90
11 670.6 381 110
12 1981.2 457 100
13 1219.2 406 120
14 1066.8 305 100
15 1371.6 305 100
16 762 152 90
Fonte: Elaborado pelo autor

Tabela 4 - Dados físicos dos nós da rede (Lansey et al., 2001)
Nó Elevação (m) Consumo (L/s)
1 45,7 0,00
2 48,7 44,0
3 50,3 41,0
4 48,7 37,0
5 45,7 31,0
6 42,7 0,00
7 44,2 24,0
8 47,2 24,0
9 44,2 0,00
10 41,1 22,0
11 39,6 27,0
12 39,6 17,0
Fonte: Elaborado pelo autor

Os dados de rugosidade de Hazen-Williams se substituírem por valores
iniciais de rugosidade absoluta de Darcy-Weisbach de 0,06, para o cálculo hidráulico
e calibração, podem ser vistos na Tabela 6.

Tabela 5 - Dados físicos dos trechos da rede com ε inicial de 0,06 mm
Trecho Comprimento (m) Diâmetro (mm) Rugosidade (mm)
1 3048,0 610 0,06
2 1524,0 457 0,06
3 1524,0 406 0,06
4 1524,0 356 0,06
5 1676,4 305 0,06
6 914,4 356 0,06
7 1219,2 305 0,06
8 1676,4 356 0,06
9 1676,4 356 0,06
10 1066,8 305 0,06
11 670,6 381 0,06
12 1981,2 457 0,06
13 1219,2 406 0,06
14 1066,8 305 0,06
15 1371,6 305 0,06
16 762,0 152 0,06
Fonte: Elaborado pelo autor

Tabela 6. Medições de pressão sob diferentes condições de demanda.
Pressão
(m)
Nó Normal Máximo Mínimo
11 63,4 56,2 68,4
9 65,5 56,2 72,0
5 59,4 47,0 66,0
2 58,3 50,7 63,7
Fonte: Elaborada pelo autor

A segunda rede a calibrar, é a rede do setor hidráulico da Aldeota,
Fortaleza, Ceará, a rede está composta por 5.126 nós e 5.916 trechos de diferentes
tipos de matérias, como aço, cimento amianto, PVC, DeFoFo e ferro galvanizado,
muitos deles com idades acima dos 40 anos de implantação, a rede Aldeota pode ser
vista na Figura 7.
A rede é abastecida por dos injetamentos denominados Aldeota I e Aldeota
II, ambas com um diâmetro nominal de 500 milímetros, os quais são representados
no software Epanet como reservatórios de nível fixo (RNF). O reservatório de nível
fixo, denominado Aldeota I, encontra-se localizado na Praça da Imprensa, com carga
hidráulica de 51,56 metros e o outro reservatório de nível fixo denominado Aldeota II,
encontra-se localizado no Barrilete Alves Teixeira, com carga hidráulica de 33.64
metros.

Figura 7 - Setor hidráulico da Aldeota, Fortaleza, Ceará.

Fonte: Elaborado pelo autor com uso do UFC2 e o Epanet

O setor da Aldeota foi escolhido para poder validar a metodologia MIGHA,
já que é o setor com o andamento técnico mais avançado da Companhia de Água e
Esgoto do Ceará (CAGECE), e por ser umas das redes mais antigas implantas na
cidade. A pesar dos avanços no monitoramento da Cagece, a rede conta com apenas
dois pontos de monitoramento, realizadas pelas Estações Piezométricas Telemétricas
48

(EPz), o que para uma rede desta magnitude, é insuficiente para poder calibrar o
modelo hidráulico.
Efetuaram-se 50 medições ou leituras pontuais da pressão, sendo duas
desprezadas por inconsistências na coleta, os dados foram coletados ao longo da
rede com o uso de um manómetro, os locais escolhidos para coleta de dados foi
especialmente aqueles pontos que apresentarem pressões baixas e locais com
pressões altas no sistema, como se mostra na Figura 8.

Figura 8. – Medições da pressão realizadas no
setor hidráulico de Aldeota

Fonte: Elaborada pelo autor

A base cadastral técnica da rede de distribuição do setor da Aldeota foi
fornecida em formato de extensão *dwg, sendo esta última de formato nativo do
AutoCAD, disponibilizando as curvas de nível e comprimentos reais das tubulações,
para o qual foi necessário o uso do sistema UFC2 para realizar a conversão para o
Epanet.
Para o cálculo de alguns parâmetros hidráulicos, é necessário ingressar
valores de entrada iniciais, como dados de coeficientes de rugosidades, que em este
trabalho, a rugosidade absoluta inicial assignada segundo o tipo do material da
49

tubulação foi de 0,025, 0,045, 0,06, 0,26 e 0,6. A distribuição espacial das demandas
nodais, foi baseada no cálculo real de consumo faturado pela companhia.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

5.1. Programa desenvolvido para calibração do fator de atrito

A rotina computacional foi desenvolvida para a calibração do fator de atrito
e cálculo da rugosidade absoluta em redes de distribuição de água, formando parte
do pacote computacional denominado UFC. A rotina é integrada ao AutoCAD para o
ingresso direto de valores observados de pressão, com os padrões do desenho de
redes de distribuição de água calculados pelo UFC2 para a após exportação ao
Epanet. Com a topologia conformada da rede e os valores observados de pressão o
cálculo continua com a rotina desenvolvida na linguagem Visual Basic. O manual
completo pode ser visto na secção de Apêndice.

5.2. Conformação da rede no ambiente AutoCAD

O desenho da rede é realizado com ajuda do AutoCAD e o sistema UFC2,
como se observa na Figura 8. O plano do AutoCAD deve conter dados de informação
da altimetria, neste caso, curvas de nível, que com uso do UFC2 são exportados para
sua posterior simulação no Epanet.

Figura 8 - Rede traçada no AutoCAD e o UFC2

Fonte: Elaborado pelo autor

Com a topologia da rede definida previamente deve-se ingressar os valores
de pressão medidos em campo, como pode ser visto na Figura 9.

Figura 9 - Programa desenvolvido integrado ao AutoCAD

Fonte: Elaborado pelo autor
51

Ingressados os valores de pressão observados, inicia o processo de cálculo
com a metodologia MIGHA a escolher, podendo ser MIGHA-C ou MIGHA-O. Na Figura
10, a tela do programa calibrador apresenta os dados inicias da rede, tanto para
trechos como para nós, para sua posterior calibração.
Figura 10 - Tela do programa com informações dos trechos da rede
calculada e observada

Fonte: Elaborado pelo autor
Os valores de pressão conhecidos e ingressados no AutoCAD, podem ser
vistos na Figura 11, assim como o menu para ingresso dos valores inicias de
rugosidades, é apresentado na Figura 12.

Figura 11 - Tela do programa com inserção dos valores observados

Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 12 - Menu da sub-rotina encarregada de otimizar os valores de
entrada inicias de rugosidade absoluta

Fonte: Elaborado pelo autor

5.3. Calibração da rede de distribuição Lansey et al., (2001)
Para a calibração do fator de atrito foram realizadas 192 calibrações, sendo
96 pela metodologia MIGHA-C e 96 pelo MIGHA-O. Os cenários foram divididos
segundo as condições de demanda na rede, para a calibração do fator de atrito e
cálculo da rugosidade absoluta, sob condições de demanda denominada, fluxo
máximo, foram realizadas 32 calibrações, sendo 16 pelo método MIGHA-C, que
atingiu uma função objetivo de 0,0000186 para 100 iterações e 16 calibrações pelo
MIGHA-O, que atingiu uma função objetivo de 0,00002087 para 100 iterações. As
pressões observadas e calculadas podem ser vistas no Gráfico 1 e 2.
Para as condições de fluxo mínimo, foram realizadas 32 calibrações, sendo
16 pelo método MIGHA-C, com a função objetivo de 0,000000489 para 100 iterações
e 16 pelo MIGHA-O, com função objetivo de 0,0000000503 para 100 iterações. Para
53

as condições de fluxo normal, foram realizadas 32 calibrações, sendo 16 pelo método
MIGHA-C, com a função objetivo de 0,000000039 para 100 iterações e 16 pelo
MIGHA-O, com função objetivode 0,0000000007 para 100 iterações.
As calibrações realizadas para as condições de demanda mencionadas
anteriormente, foram ingressados valores de rugosidade absoluta inicial de 0,06 mm
para todas as tubulações. As pressões observadas e calculadas para o fluxo mínimo,
podem ser vistas no Gráfico 3 e 4. Para o fluxo normal as pressões observadas e
calculadas, são apresentadas no Gráfico 5 e 6.
Gráfico 1 - Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-C, para
condições de fluxo máximo.

Fuente: Elaborada pelo autor.

0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
54

Gráfico 2 - Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-O, para
condições de fluxo máximo.

Fuente: Elaborada pelo autor.

Gráfico 3 - Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-C, para
condições de fluxo mínimo.

Fuente: Elaborada pelo autor.

0
10
20
30
40
50
60
70
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
55

Gráfico 4 - Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-O, para
condições de fluxo mínimo.

Fuente: Elaborada pelo autor.

Gráfico 5 - Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-C, para
condições de fluxo normal.

Fuente: Elaborada pelo autor.

0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
R
ES
SÃ
O
Rede Observada Rede Calculada
56

Gráfico 6 - Pressões calculadas com ε inicial de 0,06 mm – MIGHA-O,
para condições de fluxo normal.

Fuente: Elaborada pelo autor.

Os resultados das calibrações são afetados diretamente pela variação dos
consumos, o fluxo máximo obteve resultados ruins, quanto usando a metodologia
MIGHA-C, obteve o erro quadrático médio (EQM) de 7,857. O MIGHA-O, obteve o
maior EQM de 29,047.
As calibrações realizadas na rede com condições de fluxo mínimo,
apresentou os piores resultados, usando a metodologia MIGHA-C, obteve o EQM de
35,021 e o MIGHA-O, obteve um resultado muito parecido com o EQM de 35, 192,
ainda assim a rede é considera calibrada pelo fato de obter o 100% dos dados com
diferença absoluta menor a 2 metros, estabelecidos pela Water Research Centre
(1989).
Os melhores resultados da calibração, foram quando a rede se encontra
em condições normais de consumo, tanto com a metodologia MIGHA-C, com o EQM
de 0,015 e o MIGHA-O com o EQM de 0,000. A comparativa das diferenças da
pressão observada e calculada, como o erro quadrático médio (EQM) e a raiz do erro
quadrático médio (root mean square error - RMSE), são apresentados na Tabela 6.

0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
R
ES
SÃ
O
Rede Observada Rede Calculada
57

Tabela 6 - Erro absoluto com variações das condições de demanda de consumo.

Fluxo Máximo Fluxo Mínimo Fluxo Normal
Nó MIGHA-C MIGHA-O MIGHA-C MIGHA-O MIGHA-C MIGHA-O
2 0.000 0.000 1.030 1.030 0.010 0.000
3 0.010 0.000 1.730 1.730 0.030 0.010
4 0.000 2.340 1.800 1.800 0.040 0.010
5 1.380 3.260 1.860 1.860 0.040 0.010
6 4.660 4.650 1.980 1.970 0.220 0.010
7 0.630 2.190 1.750 1.770 0.000 0.000
8 1.960 1.020 1.750 1.780 0.010 0.000
9 0.020 0.130 1.660 1.680 0.010 0.000
10 0.010 0.010 1.660 1.660 0.000 0.000
11 0.410 2.110 1.790 1.790 0.030 0.000
12 0.610 2.950 1.830 1.820 0.040 0.000
13 0.020 0.010 1.660 1.660 0.000 0.000
EQM 7.857 29.047 35.021 35.192 0.015 0.000
RMSE 2.803 5.39 5.918 5.932 0.122 0.000
Fonte: Elaborada pelo autor
O erro quadrático é apresentado no Gráfico 7, para diferentes condições
de demanda, denominadas de fluxo máximo, mínimo e condições normais, sendo as
condições de fluxo normal as que apresentarem melhores resultados e o erro
quadrático produzido pelo fluxo mínimo se incrementou mas permaneceu constante,
no entanto o fluxo máximo comportou-se variável quanto as pressões observadas e
obteve uma alta nas diferenças absolutas, pelo qual essa rede não foi considerada
calibrada, segundo o estabelecido pela Water Research Centre (1989).

Gráfico 7 - Comparação de diferenças produzidas pela variação dos
consumos.

Fonte: Elaborada pelo autor.
Para validar a sub-rotina computacional, encarregada de encontrar o valor
de rugosidade ótimo como dado de entrada para calibração do fator de atrito e cálculo
da rugosidade absoluta, as condições de demanda escolhidas foram as condições
normais de consumo, por apresentar os melhores resultadas no problema inverso.
Os valores de pressão calculadas para valores de rugosidade inicial ε de 1
mm, com a metodologia MIGHA-C para 100 iterações, obteve-se uma função objetivo
de 0,0000000396, para o MIGHA-O com 100 iterações de cálculo, obteve-se uma
função objetivo de 0,0000000001, que são apresentados no Gráfico 8 e 9.
Para pressões calculadas com valores de rugosidade inicial ε de 2 mm, o
MIGHA-C para 100 iterações de cálculo, atingiu uma função de 0,0000000422 e o
MIGHA-O para 100 iterações obteve uma função objetivo de 0,0000000007. Os
valores de pressão calculadas e observadas para ambas metodologias são
apresentados nos Gráficos 10 e 11.
As pressões calculadas com valores de rugosidade inicial ε de 6 mm, para
o MIGHA-C com 100 iterações, atingiu uma função objetivo de 0,0000000344 e pelo
MIGHA-O com 100 iterações de cálculo, a função objetivo atingida foi de
0,0000000009, essas pressões podem ser vistas nos Gráficos 12 e 13.
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
0 2 4 6 8 10 12 14
Er
ro
q
u
ad
rá
ti
co
Numero de dados
Mínimo Normal Máximo
59

Gráfico 8 - Pressões calculadas com ε inicial de 1 mm – MIGHA-C, fluxo
normal.

Fonte: Elaborada pelo autor.
Gráfico 9 - Pressões calculadas com ε inicial de 1 mm – MIGHA-O, fluxo
normal.

Fonte: Elaborada pelo autor.

0
10
20
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(
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Rede Observada Rede Calculada
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P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
60

Gráfico 10 - Pressões calculadas com ε inicial de 2 mm – MIGHA-C, fluxo
normal.

Fonte: Elaborada pelo autor

Gráfico 11 - Pressões calculadas com ε inicial de 2 mm – MIGHA-O, fluxo
normal.

Fonte: Elaborada pelo autor.

0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
61

Gráfico 12 - Pressões calculadas com ε inicial de 6 mm – MIGHA-O, fluxo
normal.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Gráfico 13 - Pressões calculadas com ε inicial de 6 mm – MIGHA-O, fluxo
normal.

Fonte: Elaborada pelo autor

0
10
20
30
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50
60
70
80
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P
re
ss
ão
(
m
)
Rede Observada Rede Calculada
62

O fato de a rede analisada por Lansey et al., (2001), ser calculada com
valores de rugosidade C, correspondentes ao coeficiente de Hazen-Williams,
impossibilitando realizar uma comparativa com as variações das rugosidades ε de
Darcy-Weisbach, apresentadas para cada trecho pela falta de o gabarito de
rugosidades ε iniciais. Para sanar essa carência, o gabarito foi criado a partir dos
valores de rugosidades obtidos ou calculados com a sub-rotina computacional
incorporada, isto para valores inicias de rugosidade absoluta de 1, 2 e 6 mm. As
diferenças entre as pressões