capitulo-5---secao-5-1-loe

Prévia do material em texto

Capítulo 5 – Modulação CW Exponencial
Na modulação linear, o espectro modulado consiste no espectro da mensagem transladado pela 
frequência da portadora, cuja largura de banda de transmissão nunca excede o dobro da banda de 
mensagem (W ).
Será estudado no Capítulo 10 que, em caso de modulação linear, a relação sinal/ruído (SNR) no 
destino não é melhor que na transmissão em banda base, podendo ser melhorada apenas pelo aumento 
da potência transmitida.
________________________________________________________________________________________
Por sua vez, a modulação exponencial (ou angular) é um processo não-linear, e assim, a largura de 
banda de transmissão é maior que o dobro da banda de mensagem (≥ 2W).
Porém, nesse tipo de modulação, podem ser obtidas relações sinal/ruído (SNR) elevadas, sem a 
necessidade de se aumentar a potência de transmissão.
Constituem vantagens da modulação exponencial:
• As perdas de potência durante a transmissão não são tão preocupantes como em AM;
• Tem menos problemas com tensão de ruptura dielétrica devido aos picos na forma de onda;
• A distorção não-linear de amplitude não afeta a mensagem recebida.
Como a modulação exponencial é um processo não-linear, o espectro do sinal modulado não se 
relaciona de forma simples (por uma translação em frequência) com o espectro da mensagem.
Questão:
x(t)
t0
0 t
cos x(t)2t
t
0 t
cos x(t)
cos t cos 2t
Qual a aparência dessa 
forma de onda
Nota histórica:
Após o advento da radiodifusão AM, iniciou-se uma procura por técnicas que reduzissem o ruído na 
recepção.
Como a potência de ruído é proporcional à largura de banda do sinal transmitido, a atenção foi dirigida 
à busca de um processo de modulação que reduzisse a largura de banda.
A ideia de modulação em frequência (ou fase), onde a frequência (fase) da portadora pudesse ser 
variada em proporção com a mensagem x(t) parecia promissora: modulação FM (PM).
Assim, na modulação PM, a amplitude de sinal de mensagem produziria uma variação proporcional 
na fase.
Modulação de fase, PM
a defasagem é proporcional 
ao valor da mensagem em cada t
AM: FM:
a ‘frequência’ é 
proporcional ao valor 
da mensagem em cada t
A frequência da portadora, agora escrita como f(t), poderia ser variada com o tempo, tal que,
f(t) = fc+k x(t), onde k é uma constante arbitrária.
Assim, se o pico de amplitude de x(t) fosse xpico, então, os valores máximo e mínimo da frequência 
portadora seriam fc+k xpico e fc−k xpico , respectivamente (k medido em Hz V/V). 
Portanto, as amplitudes espectrais poderiam permanecer dentro dessa banda, com uma largura 2k xpico , 
centrada em fc. (na figura, k xpico = 0.015 MHz = 15 kHz)
A largura de banda seria controlada pela constante arbitrária k, cujo valor poderia ser selecionada à 
vontade. (na figura, sendo x(t) normalizada, xpicos = 1 e k xpico = 15 kHz → k = 15 kHz V/V)
Usando-se um k arbitrariamente pequeno, poderia se fazer a largura de banda de informação 
arbitrariamente pequena. (se desejado, a largura de banda poderia ser ajustada inclusive menor que 30 kHz)
E estaria resolvido o problema
excursão = 30 kHz
A ideia da FM:
Assim, por exemplo, se em vez de modular a amplitude da portadora, se modulasse a sua frequência, 
fazendo-a oscilar dentro de uma banda de ±50 Hz (por exemplo), então, a largura de banda de 
transmissão (BT) seria de apenas 100 Hz, independentemente da largura de banda da mensagem (W).
Infelizmente, resultados práticos mostraram que largura de banda de FM obtida experimentalmente 
sempre resultava maior que (ou, na melhor das hipóteses, igual) a largura de banda de AM (BT = 2W) .
O raciocínio descrito anteriormente apresenta uma séria falha ao confundir os conceitos de frequência 
instantânea, f(t), e frequência espectral, f (uma variável independente).
__________________________________________________________________________________________________________
Por exemplo, em FM deseja-se variar a frequência portadora em proporção com o sinal de modulação
x(t), significando que tal frequência estará variando continuamente a cada instante.
Em princípio, isto não faz muito sentido uma vez que, para se definir uma frequência, deve-se ter um 
sinal senoidal pelo menos ao longo de um ciclo (ou meio-ciclo, ou quarto de ciclo, ...) com a mesma 
frequência.
Por definição, um sinal senoidal (eterno) tem uma frequência constante e, assim, a variação de 
frequência no tempo parece estar em contradição com a definição convencional de “frequência de 
sinal periódico senoidal”.
Portanto, deve-se estender o conceito de uma senóide temporal para o de uma função generalizada, 
cuja frequência possa variar no tempo.
Estas questões começam a ser esclarecidas nas próximas seções. #
5.1 Modulação de Fase e de Frequência
Nesta seção são definidos os conceitos de fase e frequência instantâneas, necessários para se 
estabelecer os sinais PM e FM.
Desde que a natureza não-linear da modulação exponencial impede a análise espectral em termos 
gerais, deve-se trabalhar com espectros resultantes de casos particulares, como a modulação em banda 
estreita, ou então, com modulação de tom.
Sinais PM e FM
Considere-se um sinal CW, com envoltória constante mas com fase variável no tempo, tal que:
Define-se o ângulo instantâneo total como:
Dessa maneira, xc(t) pode ser expresso pela relação geral:
a qual define a modulação exponencial (ou angular), dentre os quais PM e FM são casos particulares.
A fase θc(t) deve conter a informação da mensagem x(t) [embutida na fase modulada φ(t)].
Fica evidente a relação não-linear entre x(t) e xc(t) (através da função cosseno).
relações válidas para quaisquer 
modulação angular
Forma geral de um sinal PM (ou FM):
+Ac
0
−Ac
A modulação exponencial pode ser descrita na forma portadora-quadratura como:
a partir da qual pode-se obter a descrição de envoltória e fase.
A envoltória é dada por:
revelando que a envoltória do sinal modulado exponencialmente não varia no tempo.
Obviamente, a fase instantânea deve ser o próprio φ(t), uma vez que:
ttAttA
ttAtx
cccc
ccc
ωφωφ
φω
sin)(sincos)(cos
)](cos[)(
−=
+=
)()](arctg[tg
)(cos
)(sinarctg
)(
)(
arctg)( tt
t
t
tv
tv
t
i
q φφ
φ
φφ ====
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) cos ( ) sin ( )i q c c cA t v t v t A t A t Aφ φ= + = + =
Um caso específico de dependência entre θc(t) e x(t) corresponde à modulação de fase (PM), 
definida como:
tal que
para φΔ constante (medida em graus ou radianos).
Esta relação estabelece que a fase instantânea varia diretamente com o sinal de modulação x(t) .
A constante φΔ representa o deslocamento de fase máximo produzido por x(t) [pois |x(t)| ≤ 1].
O limite superior, φΔ ≤ 1800 , limita φ(t) à faixa ± 1800 e previne ambiguidade de fase.
(No tempo, não existe distinção física entre os ângulos + 2700 e −900 , por exemplo.)
O limite imposto sobre φΔ em PM é análogo à restrição μ ≤ 1 em AM, e assim, φΔ costuma ser 
chamado de índice de modulação de fase (ou desvio de fase).
Modulação PM
Frequência instantânea do sinal modulado
A frequência instantânea corresponde à taxa de rotação instantânea do fasor [velocidade de variação 
de θc(t) no tempo], medida em ciclos por segundo (cps) ou Hertz (Hz): 
Embora f(t) seja medido em Hz, não deve ser confundido com a frequência espectral f (a variável 
independente do domínio da frequência).
A frequência instantânea f(t) é uma propriedade que depende do tempo e da forma de onda que será
modulada exponencialmente [e portanto, da mensagem x(t)].
Discussão: conceito de fase instantânea total*
O ângulo generalizado de um senóide convencional, Accos(ωct+θ0), é θc(t)=ωct+θ0, correspondente
a uma linha reta com inclinação ωc e intercepto θ0, como indicado na figura abaixo:
O gráfico de θc(t), para um caso arbitrário,
ocorre ser tangencial ao ângulo (ωct+θ0) em 
algum instante t, sendo t1 < t < t2
O ponto crucial é que, ao longo de um 
pequeno intervalo Δt→0, em torno det, o sinal
xc(t)=Accos θc(t) e a senóide Accos(ωct+θ0) 
são idênticos:
xc(t) = Accos(ωct+θ0) para t1 < t < t2 .
Ao longo deste pequeno intervalo Δt, a 
frequência de θc(t) é ωc.
Por (ωct+θ0) ser tangencial a θc(t), a 
frequência de xc(t) é a inclinação de seu 
ângulo θc(t) ao longo deste pequeno intervalo.
___________________________________________________
Pode-se generalizar este conceito para cada instante: a frequência instantânea ω(t)=2πf(t) , em 
qualquer instante t, é a inclinação de θc(t) em t: ω(t) = dθc(t)/dt .
__________________________________________________________________________________________
* B. P. Lathi e Z. Ding, Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitias, Quarta edição, LTC, RJ, 2012.
tangent
ωc e θ0 constantes → reta
ωc constante,
mas θ0 = φ(t)
variável
θc(t)
ωc e θ0
constantes 
→ reta
Assim, para xc(t)=Accosθc(t),
e
Pode-se agora visualizar a possibilidade de transmitir a informação de x(t) variando o ângulo θc(t) de 
uma portadora.
______________________________________________
Exemplo: no caso PM:
ocorre
para θ0 = 0, sem perda de generalidade.
Em PM, a frequência (angular) instantânea é
a qual varia linearmente com a derivada do sinal de modulação.
Alternativamente, a frequência (linear, em Hz) instantânea é
λλωθ dt
t
c )()(  ∞−=
)()(),()()( 00 txttxtttt ccc ΔΔ =++=++= φφφθωφθωθ
)](cos[)(cos)( txtAtAtx ccccc Δ+== φωθ
dt
tdx
dt
td
t cc
)()()( Δ+== φω
θω
)(
2
1)(
2
1)(
2
)(
2
1)(
2
1)( tf
dt
tdf
dt
tdxft
dt
td
tf ccccc φπ
φ
ππ
φθ
π
θ
π
 +=+=+=== Δ
(como definido anteriormente)
(como anteriormente) #
gerais, válidas para qualquer modulação angular
( )( ) 2 ( ) ( )c c
d t
t f t t
dt
θω π θ= = = 
.
Modulação FM
No caso de modulação em frequência (FM), a frequência instantânea do sinal modulado é:
para fΔ constante (medido em Hz), tal que f(t) varia em proporção ao sinal de modulação x(t).
Ou, alternativamente,
A constante de proporcionalidade fΔ é chamada de desvio de frequência, e representa o deslocamento 
máximo de f(t) [já que ⏐x(t)⏐≤ 1] em relação à frequência portadora fc.
A condição fΔ < fc simplesmente assegura que sempre ocorre f(t) > 0 em (5.1-5), p/ qualquer x(t).
Normalmente, deseja-se que fΔ << fc a fim de garantir a natureza passa-banda de xc(t) .
Tem-se também, 
onde o termo constante em θc(t) (da 1ª. integral) foi considerado nulo, sem perda de generalidade.
O sinal modulado em FM é:
)(2)(2)( txftft c Δ+== πωπω
λλπωλλπωλλωθ dxftdxfdt
t
cc
tt
c )(2)](2[)()(  ∞−ΔΔ∞−∞− +=+==
])(2cos[)(  ∞−Δ+=
t
ccc dxftAtx λλπω
(ver adiante)
,
adotou-se ωcλ⏐λ= −∞ = 0
( ) cos ( )c c cx t A tθ=
fc−fΔ >0
_________________________________________________
Comparando-se (5.1-4) com (5.1-5), observa-se que o sinal FM satisfaz
e a integração gera a seguinte modulação de fase:
Se t0 é tomado de forma que φ(t0) = 0, pode-se desconsiderar o limite inferior de integração e usar a 
expressão mais informal:
__________________________________________________________________________________________
Assume-se que a mensagem x(t) não tem componente DC, tal que as integrais acima não divirjam 
quando t→∞.
Fisicamente, um termo DC em x(t) produzirá um desvio de frequência constante com relação à 
portadora, igual a .
Na prática, qualquer componente DC em x(t) deve ser bloqueada pelos circuitos do modulador.
)(2)( txft Δ= πφ
)(txfΔ
geral
FM
Conceito generalizado de modulação exponencial (ou angular)
Na tabela 5.1-1 compara-se os sinais PM e FM:
Observa-se que sinais PM e FM não são apenas similares, mas também inseparáveis:
Sinal PM: .
Sinal FM: .
onde foi definido que .
No final das contas, ambas as expressões para xc(t) são similares.
Portanto, visualizando-se uma portadora modulada em ângulo, torna-se difícil discernir entre FM e 
PM. 
λλ dxtg
t
)()( =
)](2cos[])(2cos[)( tgftAdxftAtx cc
t
ccc Δ∞−Δ
+=+=  πωλλπω
)](cos[)( txtAtx ccc Δ+= φω
( ) cos[ ( )]c c cx t A t tω φ= +
_______________________________________________
No caso de modulação de tom, fica bem evidente ser praticamente impossível detectar a diferença 
entre os sinais PM e FM:
λλ dxtg
t
)()( =
)](2cos[])(2cos[)( tgftAdxftAtx cc
t
ccc Δ∞−Δ
+=+=  πωλλπω
)](cos[)( txtAtx ccc Δ+= φωSinal PM: 
Sinal FM:
tAtx mm ωsin)( =
x(t) mensagem tonal
PM ou FM?
PM ou FM?
_______________________________________________
No caso de modulação de tom, fica bem evidente ser praticamente impossível detectar a diferença 
entre os sinais PM e FM:
λλ dxtg
t
)()( =
)](2cos[])(2cos[)( tgftAdxftAtx cc
t
ccc Δ∞−Δ
+=+=  πωλλπω
)](cos[)( txtAtx ccc Δ+= φωSinal PM: 
Sinal FM:
tAtx mm ωsin)( =
x(t) mensagem tonal
Conclui-se também que, com o uso de circuitos integradores ou diferenciadores, um modulador PM 
pode produzir FM, e vice-versa:
Os métodos FM e PM são simultâneos, no sentido de que qualquer variação na fase da portadora (ωct) 
resulta em variação na frequência, e vice-versa.
________________________________________________
Os casos acima revelam que, em PM e FM, o ângulo de uma portadora varia em proporção à alguma 
‘medida/ métrica’ (derivada, integral, etc.) de x(t).
Informa-se que podem haver várias outras maneiras de se gerar uma ‘métrica’ de x(t), possibilitando 
criar um grande número de esquemas de modulação angular, além de FM e PM.
)](2cos[
])(2cos[)(
txftA
dxftAtx
cc
t
ccc
Δ
∞−Δ
+=
+= 
πω
λλπω 
(ambas são devido a x(t) variável)
a partir de modulador de fase
a partir de modulador de frequência
integrar a entrada
])(cos[)( λλφω  ∞−Δ+=
t
ccc dxtAtx
multiplicar φΔ pela entrada
Exemplo: Restringindo-se à escolha de um operador linear, então, uma ‘métrica’ de x(t) pode ser 
obtida como saída de um SLIT apropriado, com x(t) como entrada.
A saída do sistema H(s) é uma ‘métrica’ de x(t) , sendo que esta é uma operação reversível, passando
ψ(t) através da função 1/ H(s).
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Então, a portadora com modulação generalizada em ângulo pode ser expressa como:
sendo h(t) a TFI de H(s) (ou seja, a resposta impulsiva).
a) Se tem-se um sinal PM 
b) Se tem-se um sinal FM 
Portanto, PM e FM são apenas duas possibilidades dentre um grande número de outras alternativas. #
])()(cos[)](cos[)( λλλωψω dthxtAttAtx
t
ccccc −+=+=  ∞−
)()( tth δφΔ=
)](cos[])()(cos[)( txtAdtxtAtx cc
t
ccc ΔΔ∞−
+=−+=  φωλλδφλω
)(2)( tufth Δ= π
])(2cos[])(2)(cos[)( λλπωλλπλω dxftAdtufxtAtx
t
cc
t
ccc  ∞−ΔΔ∞− +=−+=
convolução : ψ(t) = x(t) * h(t)
métrica = operação sobre x(t)SLIT
métrica
Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados fc= 100 MHz, φΔ = 10π rad e 
fΔ = 105 Hz, esboçar os sinais de FM e PM. 
Solução: método indireto (ver adiante)
A frequência instantânea para FM é dada por:
Assim, seus valores máximos e mínimos são:
Como x(t) aumenta e diminui linearmente com o tempo, 
a frequência instantânea aumenta linearmente de 99,9 a
100,1 MHz em um meio ciclo, e cai linearmente de 100,1
a 99,9 MHz no meio ciclo seguinte.
O sinal modulado está mostrado na Figura (b).
__________________________________
Por outro lado, a frequência instantânea para PM é dada por:
)(1010)()( 58 txtxfftf c +=+= Δ
MHz9,99)1(1010)]([1010)( 58min
58
min
=−+=+= txtf
MHz1,100)1(1010)]([1010)( 58max
58
max
=++=+= txtf
dt
tdx
dt
tdx
dt
tdxf
dt
txtd
dt
tdtf ccc
)(510)(
2
1010)(
2
1)]([
2
1)(
2
1)( 88 +=+=+=+== ΔΔ π
πφ
π
φω
π
θ
π
(continua...)
99.9M 100M 100.1M 99.9M
________________________________________________________________________________________________
O sinal x(t) é dado por:
Sua derivada é igual a:
cujo gráfico está desenhadona Figura (c).
As frequências instantâneas, mínima e máxima, são:
Como dx/dt oscila entre os valores de −20.000 e +20.000, a frequência portadora oscila entre 99,9 e 
100,1 MHz a cada meio ciclo, e cujo gráfico está desenhado na Figura (d). #
dt
tdx
dt
tdx
dt
tdxf
dt
txtd
dt
tdtf ccc
)(510)(
2
1010)(
2
1)]([
2
1)(
2
1)( 88 +=+=+=+== ΔΔ π
πφ
π
φω
π
θ
π
MHz9,99000.20510)(510)( 8
min
8
min
=×−=+= txtf 



×<<+×−
<<−×
=
−−
−
s102103102
s1001102)( 444
44
tt
tt
tx



×<<×−
<<×
=
−−
−
s10210102
s100102)( 444
44
t
t
tx
MHz1,100000.20510)(510)( 8
min
8
min
=×+=+= txtf 
10−4
2×10−4
0
99.9 100.1 99.9 100.1
Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados fc= 100 MHz, φΔ = π/2 rad e 
fΔ = 105 Hz, esboçar os sinais de FM e PM. 
Solução:
A frequência instantânea para FM é dada por:
Como x(t) oscila entre −1 e +1, a forma de 
onda FM oscila entre 99,9 e 100,1 MHz, 
como mostrado na Figura (b).
Este tipo de modulação digital é chamada de 
modulação por chaveamento de frequência 
(FSK – frequency shift keying).
______________________________________________________________________________
Por outro lado, a frequência instantânea para PM é dada por:
o qual depende de derivadas da Figura (a).
)(1010)()( 58 txtxfftf c +=+= Δ
dt
tdx )(
4
1108 +=
(continua...)
dt
tdxftf c
)(
2
1)( Δ+= φπ
MHz9,99)1(1010)]([1010)( 58min
58
min
=−+=+= txtf
MHz1,100)1(1010)]([1010)( 58max
58
max
=++=+= txtf
________________________________________________________________________________________________
Devido as descontinuidades em x(t) , sua 
derivada deve conter singularidades.
A derivada de x(t) é mostrada na Figura (c).
A frequência do sinal PM permanece a mesma, 
fc, exceto nas descontinuidades com impulsos.
Não fica claro como a frequência instantânea 
pode sofrer uma alteração de tamanho infinito 
e voltar ao valor original num tempo zero.
Este método (chamado indireto) falha em 
pontos de descontinuidades.
_____________________________________
Usando-se a abordagem direta, tem-se:
obtendo-se a Figura (d) [PSK – Phase shift keying]. #
dt
tdxtf )(
4
110)( 8 +=



+=−
−=+
=+=+= Δ 1)(quandosin
1)(quandosin
)](
2
cos[)](cos[)(
txtA
txtA
txtAtxtAtx
cc
cc
ccccc ω
ωπωφω
φΔ = π/2 rad fc = 108 Hz
dx/dt=0
dx/dt=0
dx/dt=0
+∞ +∞
−∞ −∞
Exemplo: Modulação FM por pulso retangular
Estudou-se no Exemplo 2.2-1, que o espectro do pulso retangular de largura τ e amplitude A, ou seja,
, é dado por . Pedem-se:
a) O sinal modulado em FM, para 
uma portadora na frequência fc= 2/τ
e com AfΔ = fc .
b) A largura de transmissão BT.
___________________________
Solução:
A largura de banda da mensagem é:
O sinal de FM é calculado a seguir.
)sinc()( ττ fAfX =)/()( τtAtx Π=
2
1 cfW ==
τ
(continua...)
x(t)
| X(f) |
arg X(f)|
espectro da mensagem
])(2cos[)( λλπω  ∞−Δ+=
t
ccc dxftAtx
Dados: fc= 2/τ e AfΔ = fc , calcula-se:
.... FM
a) Para −∞ < t < −τ/2, ocorre x(t) = 0, e assim,
b) Para −τ/2 < t < +τ/2, ocorre x(t) = A, e assim,
c) Para t > +τ/2, ocorre x(t) = 0, e assim,
Este sinal de FM está desenhado abaixo:
Este corresponde ao sinal estudado no Exemplo 2.5-1, e então, sua TF já é conhecida.
x(t)
tAdftAtx cc
t
ccc ωλπω cos]02cos[)( =+=  ∞−Δ
tAtftAtAftAdAftAtx ccccccc
t
ccc ωπωπωλπω
τ
τ
2cos]2cos[]2cos[]2cos[)(
2/
2/
=+=+=+= Δ
+−
−Δ 
tAdftAtx cc
t
ccc ωλπω
τ
τ
cos]02cos[)(
2/
2/
=+= 
+
Δ
xc(t)
(continua...)
c
Segundo o Exemplo 2.5-1, a TF do sinal modulado em FM é:
Conclui-se, portanto, que a largura de banda de transmissão, BT , é de aproximadamente 2 fc = 4W, 
independentemente da amplitude da mensagem, A.
Ou seja, a largura de banda de transmissão é quatro vezes maior que a largura de banda do sinal de
mensagem, contrariando o senso comum discutido na ‘Nota histórica’. #
xc(t)
|Xc(f) |
2fc
2
1 cfW ==
τ
)]2(sinc)2([sinc
2
)](sinc)([sinc
2
)]()([
2
)( ccccccc ffff
AffffAffffAfX ++−+++−−++−= ττδδ
Potência transmitida
Ao contrário do acontece na modulação linear, os sinais PM e FM têm amplitudes constantes.
Portanto, independente da mensagem x(t), a potência transmitida será:
_________________________________________________
Prova:
para 
Ou seja, #
_________________________________________
Lembre-se que, em modulação linear:
e portanto, para aumentar Psb (associada ao sinal de mensagem) devia-se aumentar .
Por outro lado, no caso de modulação angular, independentemente de x(t).
dttA
T
dttx
T
S cc
T
o
Tc
T
o
TT
)(cos1lim)(1lim 222 θ ∞→∞→ ==
2
)(2cos1lim
222
)(2cos11lim
222
2 c
c
T
o
T
ccc
T
o
cTT
A
dtt
T
AA
dt
t
T
AS =+=
+
=  ∞→∞→ θ
θ
sbc
cxc
T PP
ASAS 2
22
222
+=+=
μ
)(2 txS x =
2/2cT AS =
(=0 para valores elevados de fc)
só depende da portadora
Adianta-se que a demodulação (ou detecção) de FM (no receptor) consiste em se extrair a frequência 
instantânea f(t) = fc+fΔ x(t), a qual contém a mensagem x(t).
Garante-se que o nível do sinal de mensagem no demodulador é melhorado se for aumentado o 
desvio de frequência fΔ , o qual, por sua vez, acarreta uma maior largura de banda de transmissão 
(ver a Seção 5.2).
Qualitativamente, se a potência transmitida ST permanecer constante, a potência de ruído também 
permanece constante.
Pode-se aumentar a relação sinal-ruído (SNR) aumentando-se fΔ , o qual aumenta o nível do sinal 
recebido no receptor, sem alterar ST.
Para todos os efeitos, isto é equivalente a reduzir o ruído!
Contudo, se fΔ aumenta, também aumenta a largura de banda, e assim, na modulação exponencial 
existe um compromisso entre a largura de banda (↑) e a relação sinal-ruído (↑).
Conforme já foi anunciado, ironicamente, a modulação FM foi originalmente concebida como uma 
forma de reduzir a largura de banda, mas falhou, devido à séria falha de se confundir os conceitos de 
frequência instantânea, f(t), e frequência espectral, f. 
Esta limitação, contudo, é compensada por várias outras vantagens (estudadas adiante).
Conforme verificado, os cruzamentos dos zeros de xc(t) na modulação linear são sempre periódicos.
Contudo, os cruzamentos dos zeros de um sinal de modulação exponencial não são periódicos, 
porém, eles obedecem às equações para a fase mostradas na Tabela 5.1-1.
Isto permite concluir que 
a mensagem reside 
exclusivamente nos 
cruzamentos de zeros dos 
sinais FM e PM, desde que 
a frequência portadora seja 
grande o suficiente.
Na Fig. 5.1-2 estão ilustrados 
exemplos de sinais AM, FM 
e PM para alguns sinais de 
mensagem:
Conclui-se que, devido à não linearidade do processo de modulação exponencial, o sinal modulado 
não se assemelha em nada com a forma de onda da mensagem.
PM e FM Faixa (ou Banda) Estreitas
Usando a descrição de portadora-quadratura para a equação (5.1-1) abaixo
sendo:
onde foram aplicadas as séries de Taylor para e .
A seguir, impõe-se a condição:
tal que e
e assim, o sinal modulado será:
Curiosidade:
A envoltória não é constante no tempo!! (??) 
Isto é resultado das aproximações adotadas e terá de ser discutido adiante...
)(cos tφ )(sin tφ
ttAtAtx ccccc ωφω sin)(cos)( −=
(faixa estreita)
tem-se (5.1.9):
PM FM
2 2 2 2( ) ( ) 1 ( )c c cA t A A t A tφ φ= + = +
Xc(f)
PM e FM Faixa (ou Banda) Estreitas
Usando a descrição de portadora-quadratura para a equação (5.1-1) abaixo
sendo:
onde foram aplicadas as séries de Taylor para e .
A seguir, impõe-se a condição:
tal que e
e assim, o sinal modulado será:
O espectro de Xc(f) do sinal modulado é dado por:
no qual:
)(cos tφ )(sin tφ
ttAtAtx ccccc ωφω sin)(cos)( −=
(faixa estreita)tem-se (5.1.9):
PM FM
Xc(f)
________________________________
Se x(t) tem largura de banda W << fc , então, a largura de banda de Φ(t) também é igual a W.
Por sua vez, o sinal modulado xc(t) será um sinal passa-banda, cujo espectro de magnitudes será como 
o esboçado na figura abaixo:
Portanto, a largura de banda de Xc(f) é igual a 2W, desde que |φ(t)|<<1 rad.
Para valores maiores de |φ(t)|, os termos φ 2(t), φ 3(t), ..., não podem ser ignorados na série de Taylor 
em (5.1-10), e assim, aumentará a largura de banda de Xc(f) .
As equações (5.2-12 a-b) descrevem o caso especial de modulação fase ou frequência em banda 
estreita, NBPM ou NBFM (Narrow Band PM ou Narrow Band FM), os quais se assemelham a um 
espectro de sinal AM.
|Xc(f)|
fc−W fc fc +W f
)(
2 c
c ffA −δ
)(
2 c
c ffA −Φ
(faixa estreita)
x
x(t) X(f)
1/2W1
Exemplo 5.1-1: Espectros de NBPM e NBFM
Considere-se o caso de x(t) = sinc 2Wt, tal que X(f) = (1/2W) Π(f /2W).
Como foi visto, os espectros NBPM e NBFM são dados por (5.1-12a-b), ou seja:
___________________________________________________________
a) No caso NBPM, (5.1-12b) informa que: 
e assim,
para f > 0 .
Xc(f)
)()( fXf Δ=Φ φ





 −Π+−=−+−= ΔΔ W
ff
W
AjffAffXAjffAfX ccccccccc 22
1
2
)(
2
1)(
2
)(
2
1)( φδφδ
(continua...)
t
imaginário
________________________________________
b) No caso NBFM, (5.1-12b) informa que: 
Desta forma, o espectro do sinal modulado será:
c
cc
cc
c
c
cccc ff
Wff
W
f
A
ffA
ff
Wff
W
jfAjffAfX
−
−Π
+−=





−
−Π
−+−= ΔΔ
]2/)[(
2
1
2
)(
2
1]2/)[(
2
1
2
)(
2
1)( δδ
f
Wf
W
jf
f
fXjff )2/(
2
1)()( Π−=−=Φ ΔΔ
−W 0 +W f
22/1 W
22/1 W−
f
fX )(
x
x(t)
1/2W1
Xc(f)
(continua...)
t
real
X(f) = (1/2W) Π(f /2W)
X(f)/f
banda base





 −Π+−= Δ W
ff
W
AjffAfX ccccc 22
1
2
)(
2
1)( φδ
c
cc
ccc ff
Wff
W
fAffAfX
−
−Π
+−= Δ
]2/)[(
2
1
2
)(
2
1)( δ
NBPM:
NBFM:
_____________________________________________
Os espectros de amplitude de ambos, 
PM e FM, estão desenhados a seguir:
NBPM
↔
NBFM
−W 0 +W f
22/1 W
22/1 W−
Xc(f)
Xc(f)
(continua...)
f
Wf
W
)2/(
2
1 Π
sinal
sinal de
mensagem
espectro
de PM
espectro
de FM
imaginário
NBPM
NBFM
Xc(f)
Xc(f)
Impulso na frequência portadora e 
largura de banda igual a 2W.
Ambas as bandas laterais NBPM têm 
um deslocamento de fase de 900.
_______________________
Impulso na frequência portadora e 
largura de banda igual a 2W.
O espectro NBFM é real.
A banda lateral inferior NBFM está 
1800 fora de fase.
O espectro NBPM se parece muito com um espectro de AM para o mesmo sinal modulador.
A diferença se deve apenas ao deslocamento de fase de 900. #
fase, 90o
fase, 180o
Modulação de Tom
O estudo de FM e PM para modulação de tom pode ser realizado conjuntamente, tomando-se como 
mensagem:
Nesta situação, as equações (5.1-2) e (5.1-6) geram:
PM:
FM:
Ou seja:
para ambos os casos, sendo
O parâmetro β serve como índice de modulação para PM e FM com modulação tonal.
Este parâmetro corresponde ao desvio/deslocamento de fase máximo para tom e é proporcional à 
amplitude do tom, Am , em ambos os casos.
Contudo, ao contrário de PM, β para FM é inversamente proporcional à frequência do tom, fm .
tAtxt mm ωφφφ sin)()( ΔΔ ==
t
f
fAdAfdxft m
m
m
mm
tt
ωλλωπλλπφ sin)cos(2)(2)( ΔΔΔ === 
(5.1-2)
(5.1-6)
como?
a) Modulação de tom com banda estreita
No caso β <<1 rad, a equação (5.1-9), ou seja
com e
simplifica-se para:
Em f = fc
(continua...)
_________________________________________________
tjc meA ωβ −−
2
tjc meA ωβ +
2
válidas para ⏐φ(t)⏐<<1 rad.
espectro unilateral
−
xc(t)
PM ou FM
(continua...)
AM
____________________________________________________
Observa-se como a reversão de fase da linha de banda lateral inferior produz uma componente 
perpendicular (ou de quadratura) em relação ao fasor da portadora.
Esta relação de quadratura é quem gera modulação de fase (PM) ou frequência (FM), em vez de modu-
lação de amplitude (AM):
−
componente 
em quadratura
componente 
em fase
b) Modulação de tom com banda larga
Expandindo a equação (5.1-1), ou seja,
se obtém,
_________________________________________
Mesmo que xc(t) não seja necessariamente periódica, os termos cos(β sinωmt) e sin(β sinωmt) o são,
e podem ser expandidos como uma série de Fourier trigonométrica, com frequência fundamental fm :
sendo n positivo e
a função de Bessel de primeira espécie, ordem n (não obrigatoriamente inteiro) e ângulo β.
(Esta integral não tem solução analítica.)
(continua...)
Prova: Dado
e, sendo a exponencial complexa 2π-periódica, ela pode ser expandida em série de Fourier:
onde
para fm = 1/Tm , ωm = 2πfm tal que ωmTm = 2π. 
Portanto, tem-se
Da Física-Matemática, sabe-se que
a função de Bessel de primeira espécie, ordem n (não obrigatoriamente inteiro) e ângulo β.
Portanto, 
}{)sincos()( sin tjtjcmccc mc eeeAttAtx
ωβωωβω ℜ=+=
tjn
m
n
tj mm enfce ωωβ )(sin 
∞
−∞=
=
dtee
T
nfc tjntj
T
m
m
mm
m
ωωβ −= sin
1)(
λ
π
ω
ω
λλβ
π
πωβ
ω
deetdee
T
nfc jnjm
tnfjtj
T
mm
m
mm
mm
−−  == sin2
2sin
2
11)(
λ
π
λλβπ
π
denfc njm
)sin(
2
1)( −
−=
0,
2
1)( )sin( ≥= −
− βλπβ
λλβπ
π
deJ njn
0,)(sin ≥= 
∞
−∞=
ββ ωωβ tjnn
n
tj mm eJe
(continua...)
ou então:
)()( βnm Jnfc =
quando t=Tm ωmt=ωmTm =2π
λ = ωmt = 2πfmt
Δ
tjn
n
n
tj mm eJe ωωβ β )(sin 
∞
−∞=
= 0,
2
1)( )sin( ≥= −
− βλπβ
λλβπ
π
deJ njn
Esta integral não tem solução analítica.
____________________________________________________________________________________________________
Função de Bessel de primeira espécie e ordem n: Jn(β )
Portanto: sin 3 23 2 1
2 3
0 1 2 3
... ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ...
m m m m
m m m
j t j t j t j t
j t j t j t
e J e J e J e
J J e J e J e
β ω ω ω ω
ω ω ω
β β β
β β β β
− − −
− − −= + + + +
+ + + + +
(continua...)
sendo
Funções oscilatórias, evanescentes na medida que β aumenta, 
mas não periódicas.
Todas passam pela origem, exceto J0(β), que inicia em 1.
tjn
n
n
tj mm eJe ωωβ β )(sin 
∞
−∞=
= 0,
2
1)( )sin( ≥= −
− βλπβ
λλβπ
π
deJ njn
_________________________
Usando a propriedade das funções de Bessel*: para n inteiro, vem
como queríamos demonstrar.
De forma análoga, mostra-se também que
# Fim da Prova.
_______________________________________
* Ver: Abramowitz, M. & Stegun, I. A., Handbook of mathematical functions, New York: Dover Publications, 1972.
...)()()()(
)()()(...
3
3
2
210
1
2
2
3
3
sin
+++++
+++= −−
−
−
−
−
tjtjtj
tjtjtjtj
mmm
mmmm
eJeJeJJ
eJeJeJe
ωωω
ωωωωβ
ββββ
βββ
)()1()( ββ n
n
n JJ −=−
sin 3 2
3 2 1
2 3
0 1 2 3
3 3 2 2
1 1 0
cos( sin ) Re{ } Re{... ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ...}
... [ ( ) ( )]cos3 [ ( ) ( )]cos 2
[ ( ) ( )]cos ( ) ...
m m m m
m m m
j t j t j t j t
m
j t j t j t
m m
m
t e J e J e J e
J J e J e J e
J J t J J t
J J t J
J
β ω ω ω ω
ω ω ω
β ω β β β
β β β β
β β ω β β ω
β β ω β
− − −
− − −= = + + + +
+ + + + +
= + − + + +
+ − + +
= 0
even
( ) 2 ( ) cosn m
n
J n tβ β ω
∞
+ 
sin
odd
sin( sin ) Im{ } 2 ( )sinmj tm n m
n
t e J n tβ ωβ ω β ω
∞
= = 
(continua...)
sendo
as componentes ímpares são canceladas
0,)(sin ≥= 
∞
−∞=
ββ ωωβ tjnn
n
tj mm eJe
Resumo: PM ou FM
xc(t) (15)
_______________________________
Substituindo-se (16) em (15),
0
even odd
( ) ( ) cos 2 ( )cos cos 2 ( )sin sinc c c n c m n c m
n n
x t A J t J t n t J t n tβ ω β ω ω β ω ω
∞ ∞ 
= + − 
 
 
(continua...)
modulação de tom com banda larga
Continuação:
tjn
n
n
tj mm eJe ωωβ β )(sin 
∞
−∞=
=
( ) cos( sin )c c c mx t A t tω β ω= + 
sin( ) { }c mj t j tc cx t A e e e
ω β ω= ℜ
_____________________________________________________
Alternativamente,dados
substituindo-se na expressão de xc(t), obtém-se:
____________________________________
Um exemplo de espectro de linhas 
(unilateral) está desenhado na figura 
ao lado (para Ac =1):
(continua...)
{ })(
--
)(Re)(Re)( tntjn
n
c
tjn
n
n
tj
cc
mcmc eJAeJeAtx ωωωω ββ +
∞
∞=
∞
∞=
 =






=
tjn
n
n
tj mm eJe ωωβ β )(sin 
∞
−∞=
=}{)( sin tjtjcc mc eeeAtx
ωβωℜ=
________________________________
...obtém-se:
uma forma mais compacta e que permite obter o diagrama de linhas espectrais do sinal modulado.
O espectro de linhas (unilateral) está desenhado na figura abaixo:
banda larga
)()1()( ββ n
n
n JJ −=−
propriedade das 
funções de Bessel
______________________________________________________ 
• O espectro de FM consiste de uma linha na portadora, mais um número infinito de linhas de bandas 
laterais nas frequências (fc ±nfm).
• Todas as linhas são igualmente espaçadas pela frequência de modulação (fm). 
• As linhas de ordem ímpar da banda lateral inferior (em relação à portadora) são invertidas em fase.
• Num espectro de linhas de frequências positivas (unilateral), qualquer frequência aparente negativa 
[(fc +nfm)<0] deve ser rebatida de volta para valores positivos |fc +nfm|.
• No desenho acima, as componentes do espectro na região de frequência negativas são desprezíveis 
(e portanto não foram desenhadas) uma vez que βfm << fc . (ver adiante...)
• O comportamento relativo das amplitudes de cada componente (a envoltória do espectro) segue o 
comportamento das funções de Bessel para um dado valor de β, ou seja, de Jm(β).
)()1()( ββ n
n
n JJ −=−
(ver adiante...)
Propriedades:
1. A amplitude da linha portadora J0(β) varia com o índice de modulação β e, portanto, depende do 
sinal de modulação.
Assim, ao contrário da modulação linear, a componente de frequência portadora de um sinal FM 
contém parte da informação da mensagem.
Todavia, pode haver espectros nos quais a portadora tem amplitude nula, desde que ocorre J0(β) =0 
para β = 2.4, 5.5, etc.
• • • • •
zeros de J0(β)
___________________________________________________________________________
2. O número de linhas de bandas laterais com amplitudes relativas significativas depende de β.
Com β << 1, apenas J0(β) e J1(β) são significativas, tal que o espectro consiste de uma portadora e 
duas linhas de banda lateral, como ocorreu na Fig. 5.1-4a (para NBFM).
Contudo, se β >>1, existirão muitas linhas de bandas laterais, gerando um espectro nada parecido 
com a modulação linear.
Figura 5.1-4a
3. Grandes valores de β implicam em grande largura de banda para acomodar a extensa estrutura de 
bandas laterais, concordando com a interpretação física de um grande desvio de frequência.
Algumas dessas propriedades podem ser observadas na Fig. 5.1-6b, que fornece Jn(β) em função de 
n/β (para n real, não inteiro) e parametrizado em β. 
Figura. 5.1-6b
n
β1 2
Jn(1) em função de n/1
Jn(2) em função de n/2
Jn(5) em função de n/5
3. Grandes valores de β implicam em grande largura de banda para acomodar a extensa estrutura de 
bandas laterais, concordando com a interpretação física de um grande desvio de frequência.
Algumas dessas propriedades podem ser observadas na Fig. 5.1-6b, que fornece Jn(β) em função de 
n/β (para n real, não inteiro) e parametrizado em β. 
Figura. 5.1-6b
Estas curvas representam a envoltória das linhas de bandas laterais, se o eixo horizontal n/β for 
multiplicado por βf m : , para uma dada frequência de tom fm.m m
nf n fβ
β
=
n
β1 2
fm 2 fm
por que βfm???
n fm
Jn(1) em função de n/1, ou, de nfm
Jn(2) em função de n/2 , ou, de nfm
Jn(5) em função de n/5 , ou, de nfm
Exemplos:
1 2 n/β
fm 2fm f=nfm
J0(β)
J1(β)
J2(β)p
or
ta
do
ra
11, 1, 1
1 m m
nn nf f
β
= = = =
1 2 n/β
2fm 4fm f=nfm
22, 1, 2
2 m m
nn nf f
β
= = = =
J0(β)
J2(β)
J4(β)
n/β
(continua...)
Exemplos:
1 2 n/β
J0(β)
J5(β)
55, 1, 5
5 m m
nn nf f
β
= = = =
5fm 10fm f=nfm
1 2 n/β
10fm 20fm f=nfm
1010, 1, 10
10 m m
nn nf f
β
= = = =
J0(β)
J10(β)
n/β
(continua...)
_____________________________________________________________
Em particular, observa-se que 
todos os Jn(β) decrescem 
monotonicamente para n/β > 1, 
e, que | Jn(β) |<<1 se | n/β | >>1.
Rápido decaimento para n/β > 1
Funções de Bessel Jn(β) em função de β e parametrizadas em n.
Funções de Bessel Jn(β) em função de n/β e parametrizadas em β.
Na tabela 5.1-2 listam-se alguns valores de Jn(β), sendo que os valores em branco correspondem à 
condição | n/β | >>1.
n/β=2/0.1=20
Valores de n/β elevados e,
consequentemente, de 
|Jn (β)| reduzidos
Os espectros de linhas, desenhadas a partir da tabela 5.1-2, são mostrados na Fig. 5.1-7, omitindo-se 
as inversões de sinais.
ver explicação 
a seguir
O espectro de magnitudes
(ou módulo) é simétrico
em relação a fc .
aumenta2,fixo mmmmm
m
m ffAffAf
f
fA ββββ ↑↑== ΔΔΔ
aumenta2 mmm fAA βφβφβ ↑↑= ΔΔ
A figura em (a) é desenhada para valores crescentes de β, com fm mantido fixo, e se aplica a FM e PM.
FM: e 
PM: e 
Em ambos os casos (2βfm) aumenta.
As linhas tracejadas auxiliam a visualizar 
a concentração de linhas de bandas 
laterais significativas dentro da faixa
fc ± βfm , à medida que β aumenta.
↑ β  ↑ número de linhas significativas
para produto AmfΔ (ou AmφΔ)
crescentes
Obs: se βfm << fc , não existem componentes 
significativas em f<0 (espectro unilateral).
por que βfm???
A figura em (b) se aplica apenas a FM e ilustra o efeito de se aumentar β pelo decréscimo de fm, com
o produto AmfΔ fixo.
As linhas tracejadas auxiliam a visualizar 
a concentração de linhas de bandas 
laterais significativas dentro da faixa
fc ± βfm à medida que β aumenta.
↑ β  ↑ número de linhas significativas
para produto AmfΔ = βfm fixo.
fixo, 2 2 constantem m m m m
m
A f A f f f A f
f
β β βΔ Δ Δ=  ↓  ↑  =
importante
por que βfm???
Interpretação fasorial de xc(t)
A fim de interpretar fasorialmente a expressão (5.1-8a), qual seja,
retorna-se a aproximação de banda estreita (n=1) da Fig. 5.1-4,
A envoltória e a fase, construídas a partir da portadora e o 
primeiro par de bandas laterais, são*:
______________________________
*Obs: usar a série de Taylor .
])cos()[cos()(cos)()( 10 ttJAtJAtx mcmccccc ωωωωβωβ −−++=
1...,2/11 <++≅+ xxx (continua...)
Figura 5.1-4
−
_______________________________
Assim, a variação de fase é aproximadamente o desejado, porém, existe uma variação de amplitude 
adicional com o dobro da frequência do tom.
Para cancelar esta última, deve-se incluir um par de linhas de banda lateral de segunda ordem, que 
rotaciona ±2fm em relação à portadora, e cuja resultante seja colinear com a portadora.
Contudo, enquanto um par de segunda ordem virtualmente elimina 
a modulação de amplitude, ele também distorce φ(t). 
A distorção de fase é então corrigida acrescentando um par de 
terceira ordem que, por sua vez, introduz modulação de 
amplitude novamente.
E assim, por diante....
])2cos()2[cos()(
])cos()[cos()(cos)()(
2
10
ttJA
ttJAtJAtx
mcmcc
mcmccccc
ωωωωβ
ωωωωβωβ
−+++
−−++=
no limite para β→0, A(t) = Ac
ímpares, quadratura → corrige fase
pares, em fase → corrige amplitude
Distorção de amplitude e fase, gerada devido a um número limitado de par de linhas laterais:
envoltória constante
envoltória não constante
envoltória não constante
distorção de fase
distorção de fase
])4cos()4[cos()(
])3cos()3[cos()(])2cos()2[cos()(
])cos()[cos()(cos)()(
4
32
10
ttJA
ttJAttJA
ttJAtJAtx
mcmcc
mcmccmcmcc
mcmccccc
ωωωωβωωωωβωωωωβ
ωωωωβωβ
−+++
−−++−+++
−−++=
Ac
n=1
n=2
n=3n=4
A(t)
φ(t)
Quando todas as linhas são incluídas, os pares de ordem superior têm uma resultante em quadratura 
com a portadora que proporciona a modulação de frequência/fase desejada, mas sem modulação de 
amplitude indesejável; a resultante dos pares de ordem par, sendo colinear com a portadora, corrigem 
as variações de amplitude.
Exemplo: considerando-se n = 0, 1, 2, 3 e 4.
(continua...)
ímpares, quadratura → corrige fase
pares, em fase → corrige amplitude
(diagrama obtido num 
dado instante t)
A amplitude A(t) permanece 
constante em todos os instantes.
A ponta da resultante varia um arco circular, refletindo que a amplitude permanece constante, Ac.
A amplitude A(t) permanece 
constante em todos os instantes.
Exemplo 5.1-2: Modulação de Tom com NBFM
O sinal NBFM xc(t) =100 cos[2π5000t + 0.05 sin2π200t] = 100 cos[θc(t)] é transmitido.
A frequência instantânea é obtida derivando-se θc(t)=2π5000t + 0.05 sin2π200t:
Comparando-se com f(t)=fc +fΔ x(t), conclui-se que fc = 5000 Hz e fΔx(t)= 10 cos2π200t Hz.
Existem duas formas de se determinar β:
a) Para NBFM com modulação de tom, sabe-se que φ(t) = β sinωmt.
Desde que xc(t) = Ac cos[ωct+φ(t)] = 100cos[2π5000t+0.05 sin2π200t], então, φ(t) = 0.05sin2π200t,
e assim, β = 0,05.
b) Calcula-se 
a partir de f(t) = fc + fΔ Am cosωmt = 5000+10cos2π200t, encontra-se Am fΔ = 10 e fm = 200, tal que
.05,0
200
10 ==β
(continua...)
x(t) para FM
c
A pequena distorção na aproximação NBFM fica mais evidenciada quando se calcula a potência 
transmitida.
A partir do espectro de linhas do Exemplo em questão, obtém-se
ao contrário do valor obtido quando há raias laterais suficientes, de forma a não ocorrer distorção 
de amplitude:
#
5,2
2
05,0100
2
05,0,100
=×=
==
β
β
c
c
A
A
25,5006)5,2(
2
1)100(
2
1)5,2(
2
1 222 =++−=TS
5000)100(
2
1
2
1 22 === cT AS
Figura 5.1-4a
aplicando o teorema de Parseval
0,13% de diferença
xc(t) =100 cos[2π5000t + 0.05 sin2π200t]
β = 0,05
Modulação Periódica e Multitom
A técnica de série de Fourier também pode ser aplicada ao caso de FM com modulação multitom.
Por exemplo, considere-se , onde f1 e f2 não são harmonicamente 
relacionadas (f1 não é um múltiplo inteiro de f2 ).
O sinal modulado em FM será:
ou
sendo e índices de modulação. 
Alternativamente, xc(t) pode ser escrito como: .
Sabe-se que: 
e assim,
tAtAtx 2211 coscos)( ωω +=






++=+= ΔΔ  t
AtAftAdxftAtx cc
t
ccc 2
2
2
1
1
1 sinsin2cos[])(2cos[)( ω
ω
ω
ω
πωλλπω
1 1 2 2( ) cos[ sin sin ]c c cx t A t t tω β ω β ω= + +
1
1
1 f
fA Δ=β
2
2
2 f
fA Δ=β
{ }tjtjtjcc eeeAtx c 2211 sinsinRe)( ωβωβω=
0,)(sin ≥= 
∞
−∞=
ββ ωωβ tjnn
n
tj mm eJe





=





=
++
∞
∞=
∞
∞=
∞
∞=
∞
∞=


tmnj
mn
mn
c
tjm
m
m
tjn
n
n
tj
cc
c
c
eJJA
eJeJeAtx
)(
21
--
2
-
1
-
21
21
)()(Re
)()(Re)(
ωωω
ωωω
ββ
ββ
(continua...)
2 tons





= ++
∞
∞=
∞
∞=
 tmnjmn
mn
cc
ceJJAtx )(21
--
21)()(Re)( ωωωββ
________________________________
Portanto,
Esta técnica pode ser extendida para incluir três ou mais tons, embora com mais esforço algébrico.
Para interpretar (5.1-19) no domínio da frequência, divide-se as linhas espectrais em quatro
categorias:
(1) Linha portadora em fc (para n=m=0), com amplitude: 
Exemplo:
Consideram-se frequências são tais que f1 << f2 e β1 > β2
)()( 2010 ββ JJAc n=m=0
Frequência: fc
________________________________
Portanto,
Esta técnica pode ser extendida para incluir três ou mais tons, embora com mais esforço algébrico.
Para interpretar (5.1-19) no domínio da frequência, divide-se as linhas espectrais em quatro
categorias:
(2) Linhas de bandas laterais em fc ± nf1 devido somente ao tom f1 (para m=0), com amplitude: 
Exemplo:
Consideram-se frequências são tais que f1 << f2 e β1 > β2
)()( 201 ββ JJA nc n =1, m=0n = −1, m=0
n =2, m=0
Frequências: fc ± n f1
________________________________
Portanto,
Esta técnica pode ser extendida para incluir três ou mais tons, embora com mais esforço algébrico.
Para interpretar (5.1-19) no domínio da frequência, divide-se as linhas espectrais em quatro
categorias:
(3) Linhas de bandas laterais em fc ± mf2 devido somente ao tom f2 (para n=0), com amplitude: 
Exemplo:
Consideram-se frequências são tais que f1 << f2 e β1 > β2
n =0, m=1
n=0, m=2
)()( 210 ββ mc JJA
n =0, m = −1
n =0, m = −2
Frequências: fc ± m f2
________________________________
Portanto,
Esta técnica pode ser extendida para incluir três ou mais tons, embora com mais esforço algébrico.
Para interpretar (5.1-19) no domínio da frequência, divide-se as linhas espectrais em quatro
categorias:
(4) Linhas de bandas laterais em fc ± nf1 ±mf2 , que aparecem como modulação na frequência de 
batimento nas frequências soma e diferença dos tons (f1 e f2) e suas harmônicas, e com amplitudes:
Exemplo:
Consideram-se frequências são tais que f1 << f2 e β1 > β2 n =1, m=1n = −1, 
m = 1 n =2, m=1
n =1, 
m=2
n = 1, 
m = − 1
)()( 21 ββ mnc JJA
produtos de intermodulação
Frequências: fc ± n f1 ± m f2
Resumo: FM com dois tons
No caso de dois tons, cujas frequências são tais que f1 << f2 e β1 > β2 (existem mais linhas 
significativas separadas por f1 do que linhas separadas por f2 ) tem-se o espectro típico:
Uma discussão mais detalhada é apresentada a seguir.
(continua...)
Exemplo: FM com dois tons (continuação...)
Para f1 << f2 e β1 > β2 [existem mais linhas significativas separadas por f1 (em preto) do que linhas 
separadas por f2 (em marrom)]:
Cada linha de banda lateral em fc ± mf2 ( ) se comporta com uma portadora de FM com modulação 
tonal na frequência f1 .
A largura de banda global depende das componentes significativas do sinal em f2 e que estão na sua 
maior frequência.
f2
fc−2f2 fc−f2 fc−f1 fc+f1 fc+f2 fc+f2+f1 fc+2f2
fc
f
f1 f1
f1
Espectro de FM com 2 tons, em f1 e f2 , para f1 < f2. 
(continua...)
)()( 2010 ββ JJAc
)()( 201 ββ JJA nc
)()( 210 ββ mc JJA
)()( 21 ββ mnc JJA
fc + nf1 fc + mf2 fc +mf2 ± nf1fc − mf2 ± nf1 fc − mf2 fc − nf1
Categoria de linhas (4):
“Linhas de bandas laterais em fc ± nf1 ±mf2 , que aparecem como modulação na frequência de batimento nas frequên-
cias soma e diferença dos tons (f1 e f2) e suas harmônicas, e com amplitudes: .”
______________________________________________________
O comportamento das linhas (4) diferem das de AM, onde cada nova frequência adicionada ao sinal 
modulado dá origem apenas às suas próprias bandas laterais.
Ou seja, em AM, as bandas laterais obedecem ao princípio de superposição.
Assim, se x1(t) e x2(t) dão origem às bandas X1(f) e X2(f), então, as bandas criadas pelo sinal composto
x1(t) + x2(t) serão oriundas de X1(f) + X2(f):
Não há produtos de intermodulação ou bandas laterais devido a produto cruzado; ou seja, não há 
termos nas frequências fc ± nf1 ±mf2 .
)()( 21 ββ mnc JJA
fc−2f2 fc−f2 fc−f1 fc+f1 fc+f2 fc+2f2
fc
f
f2
f1
Espectro de AM com 2 tons, em f1 e f2 , para f1 < f2. 
(continua...)
X2(f)X1(f) 
Exemplo: FM com três tons
Para f1 << f2 << f3 e β1 > β3 > β3 , tem-se o espectro abaixo:
Aparentemente, quem define a largura de banda global do espectro de FM multitons é o tom de maior 
frequência. #
W1/2
W2/2
W3/2
fc fc+f2 fc+f3 f
X1(f-fc)
X2(f-fc)
X3(f-fc)
Espectro de FM com 3 tons f1 << f2 << f3 e β1 > β3 > β3.
Sinais de FM com tons harmonicamente relacionados
Quando as frequências dos tons estão relacionadas linearmente (i.e. f1 = f0 , f2 = 2f0 , etc.), tem-se:
uma série de Fourier e, portanto, um sinal periódico.
(Comparar com .)
Com isso, φ(t) (= φΔ x(t) para PM, e, = para FM) também será periódico,bem 
como, .
Este, por sua vez, pode ser expandido em série de Fouriercomo:
sendo 
Portanto, o sinal modulado será:
sendo que Ac|cn| corresponde as magnitudes das linhas espectrais em f = fc +nf0 .
tmftmfAtfAtfAtx m
m
00
1
0201 2sin02cos0...22cos2cos)( ππππ ++=++= 
∞
=
tnfbtnfactv nn
n
00
1
0 2sin2cos)( ππ ++= 
∞
=
λλπ dxf
t
)(2 Δ
)](exp[ tjφ
tnfj
n
n
tj ece 02)( πφ 
∞
−∞=
=
dtee
T
c tnfjtj
Tn
0
0
2)(
0
1 πφ −=





==+= 
∞
−∞=
+
n
tjn
n
tj
c
ttj
cccc eceAeAttAtx cc 0Re}Re{)](cos[)(
)]([ ωωφωφω
−τ 0 T0−τ T0 t 
x(t)
Exemplo 5.1-3: FM com modulação por trem de pulsos (tons harmonicamente relacionados)
Seja x(t) uma função moduladora com forma de onda em trem de pulsos com amplitudes unitárias, 
período T0, duração de pulso τ e ciclo de trabalho d =τ /T0 .
Deseja-se obter os gráficos de φ(t) , f(t) e do espectro do sinal de FM.
As constantes de integração são escolhidas tais que φ(t) ≥ 0.
___________________________________________________________________________________________________
A frequência instantânea para x(t) é: 
A origem do tempo é escolhida tal que φ(t) tem valor de pico φΔ =2πfΔτ em t=0:
Para −τ < t <0, x(t) = 1, e
)()( txfftf c Δ+=
)()(2)( 0
0
tdxft
t
t += Δ φλλπφ
)()(2)(12)( 00 ttftdft
t
φτπφλπφ
τ
++=+= Δ−Δ  (continua...)
Deseja-se φΔ =2πfΔτ em t=0.
Então, φ(t0) deve ser igual a zero em t = −τ, para 
ocorrer φΔ =2πfΔτ para t = 0:
, para −τ < t <0.
)()(2)(12)( 00 ttftdft
t
φτπφλπφ
τ
++=+= Δ−Δ 
Para 0< t < T0−τ, ocorre x(t) =0, e assim, não seria possível calcular a integral de φ(t) de tal forma 
a manter esta função periódica.
(Não tem como φ(t) retornar a zero em T0−τ após a integração, a fim de se tornar periódica.)
Neste caso, é razoável tentar obter φ(t) a partir de f(t).
−τ 0 T0−τ T0 t 
x(t)
φ(t)
−τ 0 T0−τ T0 t 
φΔ =2πfΔτ
(continua...)
)(2)( τπφ += Δ tft
fc −fΔd
−τ 0 T0−τ T0 t 
x(t)
O valor médio de x(t) é:
[ ] d
T
t
T
dt
T
tx TT
T
T
==== −−
000
0
0
0
0
111)( τττ
Após remover a componente DC [x(t) → x’ (t) ], a frequência instantânea do sinal de FM resultante 
será:
Por conveniência, emprega-se o sistema de coordenadas auxiliar t’.
])([)(')(' dtxfftxfftf cc −+=+= ΔΔ
(continua...)
A
A0 t
−d
1−d
x’=x(t)−d
0 t’
)(''
2
1'
2
1)(' txf
dt
d
dt
dftf c Δ=+=
φ
π
φ
π
Kdxf
t
+= Δ λλπφ )('2'
'
0
A
A0 t
−d
1−d
x’=x(t)−d
0 t’
φ’(t)
−τ 0 T0−τ T0 t 
φΔ =2πfΔτ(1-d)
Sabe-se que: t’ = t+τ 
Em t = −τ , φ’(t) =0 
e então
a) Para o intervalo −τ < t < 0, tem-se uma área A positiva:
b) Para o intervalo 0< t < T0−τ, tem-se uma área A negativa, sendo possível fazer φ(t) retornar a zero.
Emprega-se o sistema de coordenadas normal para t.
[ ] ')2('2)(2)(' 00 KtdfKfKddft
tt +−=+−=+−= ΔΔΔ  πλπλπφ
(continua...)
[ ] KtdfKdfKddfKdxft ttt +−=+−=+−=+= ΔΔΔΔ  ')1(2)1(2)1(2)('2)(' '0
'
0
'
0
πλπλπλλπφ
Ktdft ++−= Δ ))(1(2)(' τπφ
00))(1(2)(' ==++−−= Δ KKdft ττπφ
)1)(1()(')1)(1(2))(1(2)('
τ
φφ
τ
τπτπφ tdttdftdft +−=+−=+−= ΔΔΔ
0/,')2()( TdKtdft τπφ =+−= Δ___________________________________________________
Para t = T0−τ  , .
Então: 
)(2'0')(2' 00 τπτπφ −==+−−= ΔΔ TdfKKTdf
Para 0< t < T0−τ,
(continua...)
0
000 ],[)()(2' T
dtTdTddtTdfdtf ττ
τ
φτ
τ
φ
τ
φτππφ =−−=−+−=−+−= ΔΔΔΔΔ
=
−
−−= Δ ]1)[('
0
0 τ
τ
τ
φφ
T
tTd )1)(1(')1)((
1
00
00
0 τ
φφ
τ
φ
−
−−=
−
−− ΔΔ T
td
T
tdTT
T
Porém, deseja-se que φ(t) tem valor de pico φΔ =2πfΔτ em t=0.
Obteve-se: para −τ < t < 0, , e, para 0< t < T0−τ,
então, pode-se normalizar φ’(t) dividindo-se por (1−d) obtendo-se:
)1)(1()('
τ
φφ tdt +−= Δ )1)(1('
0 τ
φφ
−
−−= Δ T
td
fc −fΔd
(continua...)
________________________________________________
O cálculo de cn é uma tarefa não trivial, envolvendo integrais exponenciais e relações trigonométricas.
O resultado final pode ser escrito como (aconselha-se o leitor a tentar demonstrá-lo) : 
resultando em:
onde , o qual exerce um papel similar ao índice de modulação para o caso de 
modulação de tom simples.
dte
T
c dttntj
T
n
])([
0
0
0
1 ωφ −=
00 / ffTf ΔΔ ==β
cn
Para o caso particular onde d=1/4, β=4 e Ac =1, tem-se o seguintes espectro de linhas:
_____________________________________________
}Re{)( )(
+∞
−∞=
+=
n
tnj
ncc
ocecAtx ωω
Espectro do sinal de FM:
(continua...)
fc−fΔd
Nota-se a ausência de simetria do espectro em torno da portadora fc .
Os picos estão em e , revelados pelas frequências instantâneas 
fc −fΔd e fc+(1−d) fΔ , para d=1/4.
O fato de que o espectro contém outras 
frequências também ressalta a diferença 
entre frequência espectral e frequência 
instantânea.
As mesmas observações se aplicam para o 
espectro contínuo de FM, com x(t) na forma 
de um pulso único de modulação, e que foi
estudado no Exemplo 2.5-1:
Δ−= fff c 4
1
Δ+= fff c 4
3
Sinal temporal modulado em FM
Espectro contínuo de FM para f > 0