Sistemas de Comunicação Univesp

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SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO 
SEMANA 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANALÓGICO 
 
VANTAGENS E DESVANTAGENS DOS SINAIS ANALÓGICOS 
 
DIGITAL 
 
VANTAGENS E DESVANTAGENS DOS SINAIS DIGITAIS 
 
 
 
 
PROCESSAMENTO DE SINAL ANALÓGICO X DIGITAL 
 
 
 
 
Técnicas analógicas 
As técnicas analógicas preocupam-se fundamentalmente em garantir que a transmissão do sinal de um ponto 
a outro se faça sem que o mesmo sofra alteração sensível, isto é, que no ponto de destino o sinal que chegar 
seja uma réplica praticamente perfeita do sinal do ponto de origem. As técnicas analógicas não se 
preocupam, portanto, com qual característica do sinal representa a informação. 
Técnicas Digitais 
Já as técnicas digitais envolvem processamento dos sinais transmitidos de uma forma a outra, interessando, 
porém, preservar o conteúdo da informação. As técnicas digitais prevalecem hoje em dia no mundo. 
CANAL DE TRANSMISSÃO 
A fonte e o destino podem estar separados entre si, mesmo a grandes distâncias. Desta forma, é necessário 
prover um canal que transporte os símbolos e a informação associada, da fonte ao destino. 
MODELO DE UM SISTEMA DE COMUNICAÇÃO 
 
ELEMENTOS DE UM SISTEMA DE COMUNICAÇÃO DIGITAL 
 
EFEITOS INDESEJAVEIS NO SITEMA 
 
http://www3.dsi.uminho.pt/adriano/Teaching/Comum/FactDegrad.
html 
 
PROBLEMAS DE TRANSMISSÃO 
Efeitos que podem prejudicar a comunicação. 
Atenuação: reduz a intensidade do sinal no receptor. 
http://www3.dsi.uminho.pt/adriano/Teaching/Comum/FactDegrad.html
http://www3.dsi.uminho.pt/adriano/Teaching/Comum/FactDegrad.html
Distorção: é a perturbação na forma de onda do sinal causada pela resposta imperfeita do sistema ao próprio 
sinal. Desligando-se o sinal, a distorção desaparece, ao contrário do que acontece com o ruído e a 
interferência. Se o canal for linear, a distorção pode ser corrigida, ou atenuada, por meio de equalizadores. 
Interferência: é a “contaminação” do sinal por outras fontes de sinal. 
Ruído: introduzido no canal de transmissão, refere-se à sinais elétricos aleatórios e imprevisíveis produzidos 
por processos naturais tanto internos quanto externos ao sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites da 
Comunicação 
Desafios da engenharia no projeto do sistema 
• Largura de banda; 
• Ruído. 
Largura de banda, ou bandwidth em inglês, é o conceito que determina a medida da capacidade de 
transmissão, em especial de conexão ou rede. Além de ser um conceito utilizado na informática, a largura de 
banda também é usada em processamento de sinais, espectroscopia, eletrônica e em outras áreas. 
 
Na conexão ou rede, a largura de banda determina a velocidade que os dados trafegam através de uma 
rede específica. Ou seja, quanto maior a largura de banda, maior será a velocidade da conexão, visto que por 
ela passará mais dados ao mesmo tempo. 
A unidade de medida da largura de banda é bits e não bytes. Ela indica a capacidade de um determinado 
meio de transmissão em uma determinada unidade de tempo (8 bits = 1 byte). Praticamente todas as medidas 
de bandwidth são realizadas em bits por segundo, sendo, em alguns casos, relacionada à faixa de 
frequências. 
Em um site, a largura de banda indica quantos visitantes poderão visualizar a página ao mesmo tempo. 
Assim, grandes portais necessariamente precisam de um grande volume de banda para suportar o tráfego 
sem que o servidor fique abarrotado. Também há uma relação com a velocidade com que o site é visto pelos 
usuários. 
Existem problemas relacionados à largura de banda que podem ocorrer de duas maneiras. Na primeira 
forma, o canal ou central de dados podem representar um recurso compartilhado. Sendo assim, os altos 
níveis de contenção do canal diminuem a largura de banda que fica disponível para os dispositivos no canal. 
Por exemplo, um canal SCSI com discos altamente ativos pode ficar saturado. Com isso, pouca banda fica 
disponível para outros dispositivos que estejam conectados ao canal. 
O segundo problema está 
relacionado ao canal ou central de 
dados que possuem um recurso 
dedicado com um número fixo de 
dispositivos anexos. Com essa 
arquitetura, as características 
elétricas acabam por limitar a banda 
disponível. 
Geralmente, há três métodos para 
solucionar esses problemas: a 
distribuição de carga, a redução de 
carga e o aumento da largura de 
banda. A primeira significa distribuir 
as ações do canal de forma mais 
balanceada. A segunda trata-se de 
determinar se existe algum elemento 
causando sobrecarga em um canal 
específico para reduzir a sua carga. 
A terceira refere-se simplesmente a 
aumentar a capacidade de banda. 
Esta última, no entanto, tende a ser a 
mais cara das soluções. 
Ou.... 
 
 
 
 
Ruído 
O ruído impõe a segunda limitação fundamental à comunicação. Por que o ruído é inevitável? 
A resposta vem da Teoria Cinética. Para qualquer valor acima da temperatura absoluta de zero graus, a 
energia térmica causa o movimento aleatório das partículas microscópicas. O movimento aleatório de 
partículas carregadas, tais como os elétrons, gera correntes ou tensões aleatórias que são chamadas de Ruído 
Térmico. Existem outros tipos de ruído, mas o térmico está presente em todos os sistemas de comunicação. 
O ruído degrada a fidelidade do sinal analógico e pode introduzir erros na transmissão/recepção do sinal 
digital. 
Mais severo em ligações de longa distância, onde o nível do sinal se torna comparável ao do ruído. Note-se 
que a utilização de amplificação aqui é inútil, pois ela amplifica não só o sinal mas também o ruído. 
•Normalmente define-se a relação sinal/ruído (S/N), que é o quociente entre as potências do sinal e do ruído, 
e que fornece uma medida do peso do ruído relativamente ao sinal no ponto desejado. 
O termo ruído é normalmente utilizado para designar ondas indesejáveis que tendem a perturbar a 
transmissão e o processamento de sinais em sistemas de comunicação e sobre as quais temos um controle 
incompleto. Na prática, verificamos que há muitas fontes potenciais de ruído em um sistema de 
comunicação. As fontes de ruído podem ser externas ao sistema (por exemplo, ruído atmosférico, ruído 
galáctico e ruído provocado pelo homem) ou internas ao sistema. A segunda categoria inclui um importante 
tipo de ruído que surge devido às flutuações espontâneas de corrente ou tensão em circuitos elétricos. Esse 
tipo de ruído representa uma limitação básica à transmissão ou detecção de sinais em sistemas de 
comunicação, que envolvem a utilização de dispositivos eletrônicos. Os dois exemplos mais comuns de 
flutuações espontâneas em circuitos elétricos são o ruído impulsivo e o ruído térmico 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio da Frequência dá-se o nome de Espectro. 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais Periódicos e Não Periódicos 
Sinais periódicos possuem um período: T. 
A freqüência é o inverso do período: f = 1 / T (dada em Hertz no S.I.) 
Série Trigonométrica de Fourier (S.T.F.) 
Podemos enunciar a S.T.F. da seguinte forma: 
“Uma função periódica f(t) pode ser decomposta em uma somatória de senos e cossenos, mais um valor 
médio, equivalente à função dada.” 
 
onde: f(t) é a função a ser desenvolvida; 
a0/2 é o valor médio de f(t); 
an e bn são os coeficientes; e 
ω0 é a frequência fundamental da função f(t). 
 
 
Relação do Comprimento de Onda com a velocidade e frequência 
A velocidade de uma onda que se propaga no ar, por exemplo, é igual ao comprimento de onda multiplicado 
pela freqüência onde: 
λ é o comprimento de onda, dado em m. 
c é a velocidade da onda eletromagnética, dada em m/s, e 
f é a frequência, dada em Hz. 
A modulação AM, que significa modulação em amplitude, consiste na modulação onde a amplitude do sinal 
senoidal, chamado de portadora, varia em função do sinal a ser transmitido, ou seja, o sinal modulador. 
Nessamodulação a frequência e fase da portadora são mantidas constantes, variando a amplitude. 
Existem alguns métodos de modulação, que são: 
• AM DSB-FC (double-sideband full carrier): Nesse método, são transmitidos, além da portadora, 
mais 2 espectros chamados de bandas laterais; 
• AM DSB-SC (double-sideband supressed carrier): Nesse método a portadora é suprimida; 
• AM SSB (single-sideband): Esse método possui apenas uma banda; 
• AM VSB (vestigial-sideband): Nesse método uma banda é transmitida por inteiro e a outra é 
parcialmente suprimida. 
 
https://www.embarcados.com.br/aprenda-sobre-modulacao-am/ 
https://www.embarcados.com.br/aprenda-sobre-modulacao-am/
 
Modulação AM (Amplitude Modulada) 
O princípio da modulação AM-DSB consiste na interferência do sinal modulante na amplitude do sinal 
portadora, isto é, a amplitude de uma onda portadora senoidal é variada de acordo com o sinal de banda 
base. 
Portadora: c(t) = Ac.cos(2.π.fc.t) 
Sinal modulante: em(t) = Am.cos(ωm.t) 
AM: s(t) = Ac [1 + ka em(t)] cos(2 π fc t) onde ka é a 
sensibilidade à amplitude do modulador 
Modulação de tom único 
em = Am cos( 2 π fm t ) 
c(t) = Ac cos( 2 π fc t ) 
s(t) = Ac [ 1 + μ cos( 2 π fm t ) ] cos( 2 π fc t ) 
onde μ = ka Am é o fator de modulação 
 
 
 
 
Técnica que permite a transmissão de mais de um sinal em um mesmo meio físico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando T → ∞ 
 
Para sinais não periódicos a ferramenta matemática utilizada na análise é a Integral de Fourier. A próxima 
imagem ilustra como a partir de um sinal periódico pode-se chegar ao espectro de um sinal não periódico. 
 
Conversão Analógica Digital 
• Amostragem 
• Quantização 
• Codificação 
 
 
 
 
Comparação entre as Modulações 
 
Multiplex por divisão de tempo (TDM) 
 
 
Algumas Aplicações do Teorema da Amostragem 
 
O teorema da amostragem é muito importante na análise, processamento e transmissão de sinais porque ele 
nos permite substituir um sinal em tempo contínuo por uma sequência discreta de números. O 
processamento de um sinal em tempo contínuo é, portanto, equivalente ao processamento de uma sequência 
discreta de números. Tal processamento nos leva diretamente à área de filtragem digital. Na área de 
comunicação, a transmissão de uma mensagem em tempo contínuo é reduzida para a transmissão de uma 
sequência de números por trens de pulso. O sinal x(t) em tempo contínuo é amostrado e os valores 
amostrados são utilizados para modi1car certos parâmetros de um trem de pulso periódico. Podemos querer 
variar a amplitude, (Fig. 2b), largura (Fig. 2c) ou posição (Fig. 2d) dos pulsos proporcionalmente aos valores 
das amostras do sinal x(t). Dessa forma, teremos a modulação em amplitude de pulso (PAM), modulação 
por largura de pulso (PWM), ou a modulação por posição de pulso. 
 
A forma mais importante de modulação de pulso, atualmente, é a modulação por código de pulso 
(PCM). Em todos esses casos, ao invés de transmitirmos x(t), transmitimos o sinal modulado em pulso 
correspondente. No receptor, lemos a informação do sinal modulado pulso e reconstruímos o sinal analógico 
x(t). 
 
 
 
Uma vantagem da utilização da modulação de pulso é que ela permite a transmissão simultânea de 
diversos sinais usando uma divisão no tempo — multiplexação por divisão no tempo (TDM). Como o sinal 
modulado em pulso ocupa apenas uma parte do tempo do canal, podemos transmitir diversos sinais 
modulados em pulso no mesmo canal entrelaçando-os. A Fig. 4 mostra um TDM de dois sinais PAM. Dessa 
forma, podemos multiplexar diversos sinais em um mesmo canal reduzindo a largura dos pulsos. 
 
 Sinais digitais também oferecem uma vantagem na área de comunicação, na qual os sinais devem 
viajar por longas distâncias. A transmissão de sinais digitais é mais robusta do que de sinais analógicos, 
porque sinais digitais podem resistir mais ao ruído do canal e à distorção desde que o ruído e a distorção 
estejam dentro de certos limites. Um sinal analógico pode ser convertido em uma forma digital binária 
através da amostragem e quantização (arredondamento). A mensagem digital (binária) da Fig. 5a é 
distorcida pelo canal, como ilustrado na Fig. 5b. Mesmo assim, se a distorção permanecer dentro de certos 
limites, podemos recuperar os dados sem erro porque precisamos tomar apenas uma simples decisão binária: 
o pulso recebido é positivo ou negativo? A Fig. 5c mostra o mesmo dado com distorção e ruído de canal. 
Novamente, o dado pode ser recuperado desde que a distorção e o ruído estejam dentro de certos limites. 
Isso não ocorre com mensagens analógicas. Qualquer distorção ou ruído, não importa quão pequenos sejam, 
irá distorcer o sinal recebido. 
 
 
 
Os 7 blocos fundamentais de um sistema de comunicação e conceitos de funcionamento 
Aqui é o começo de um sistema de comunicação. É importante dominar esses 7 blocos para conseguir 
avançar no estudo desse sistema. 
Estamos cercados por antenas, mesmo que elas não sejam visíveis, como acontece dentro do seu celular. Os 
sinais eletromagnéticos vão e vem, passando por nós sem que possamos ver. 
Quantos se perguntam como chega a mensagem do whatsapp que a maioria tanto gosta de usar? E quando 
ela é enviada, o que acontece? Você tem um receptor de TV digital? O que ele faz, já parou para pensar? 
As respostas para essas perguntas começarão a ser respondidas aqui nesse artigo. Então anime-se e continue 
firme até o final. Você vai começar a aprender sobre os seguintes elementos de um sistema de comunicação: 
• Fonte 
• Transdutor de entrada 
• Transmissor 
• Canal + Distorção e ruído 
• Receptor 
• Transdutor de saída 
• Destinatário 
 
 
 
Os 7 blocos básicos de um sistema de comunicação + o bloco de ruído e distorção. 
Conceitos de sinais e sistema de comunicação: 
Sistema 
É uma entidade que processa um conjunto de sinais, na entrada, para produzir um outro conjunto de sinais, 
na saída. Pode ser implementado por hardware ou software. 
Entidade é o que constitui a essência de algo que existe ou pode existir. 
Sinal 
É um conjunto de informações ou dados. Exemplos: sinal de telefonia; sinal de televisão. 
 
Sinal senoidal puro 
Ou tom senoidal puro, são sinais elétricos (tensões e corrente) que representam, ou não, fenômenos físicos. 
A representação matemática desses sinais é uma réplica da função “sen(x)”. 
O tom senoidal puro teórico não existe na prática. O que temos é uma aproximação. 
Sinal senoidal complexo 
São os que não tem o aspecto do senoidal puro, do item anterior. O sinal complexo pode originar-se do 
próprio sinal senoidal a partir de modificações no seu aspecto. 
Os sinais complexos podem ser periódicos e não-periódicos. Ele é periódico quando a mesma forma de onda 
é repetida a cada período de tempo “T”. 
Conclusão: no campo dos sinais elétricos temos os sinais senoidais puros e os sinais complexos. 
Dimensão de um sinal 
É um número que representa a medida de um sinal que existe em um certo intervalo de tempo e tem 
variações em sua amplitude. 
Classificação 
Sinal de tempo contínuo: é especificado para todo valor do tempo. 
Sinal de tempo discreto: é especificado somente em valores discretos do tempo. Nota: discreto é a grandeza 
que não é contínua. A forma de onda sofre interrupções ao longo do tempo. 
Sinal analógico: a amplitude pode assumir qualquer valor em uma faixa contínua. Em seu aspecto, 
apresentam similaridade com funções contínuas. 
Sinal digital: a amplitude só pode assumir um número finito de valores. São exibidos no gráfico como níveis 
que podem ser contados. 
Fonte em sistema de comunicação 
Uma cena filmada é um fonte de informação. 
 
 
Conceitos iniciais 
A fonte é o local de origem da mensagem. É onde a informação é gerada. É o “ambiente” onde encontra-se a 
informação que vai ser transmitida até o destino. 
Sinais indiretos 
A informação pode estar disponível também indiretamente,quando a ela é registrada em dispositivos de 
armazenamento, como um DVD ou HD. 
Obtidos a partir de: 
https://eletronicaqui.com/2016/06/eletronica-analogica/
https://eletronicaqui.com/2016/09/eletronica-digital/
• Sintetização (áudio/vídeo sintético usando ferramentas de software/hardware). 
• Modalidade de registro/armazenamento em alguma “mídia” (HD, DVD, memória de “chip” etc). 
Fontes de geração de um tom senoidal 
• Oscilador eletrônico: [1] Áudio frequências (até aproximadamente 100 kHz). Exemplo de técnica: 
Ponte de Wien. ——- [2] Rádio frequências (a partir de 100 kHz). Exemplos de técnicas: osciladores 
Hartley e Colppits. 
• Vibrador eletromecânico (campainha) 
• Diapasão (vibração mecânica) 
• Gerador eletromecânico (hidroelétrico, termoelétrico) 
Um oscilador possui um parâmetro denominado precisão, que está associado à estabilidade da frequência de 
operação em função das variações estruturais (temperatura, umidade, pressão atmosférica). 
Transdutor de entrada em sistema de comunicação 
 
Transdutor é tudo o que é capaz de transformar tipos de energia. 
O transdutor eletroacústico transforma energia elétrica em mecânica e vice-versa. Exemplos de transdutores 
de entrada: microfones e câmeras. 
O microfone responde às ondas acústicas fornecendo sinais elétricos. 
A eletrônica só pode processar sinais elétricos, então a utilização dos transdutores é muito ampla. Qualquer 
som natural, como a voz humana, só pode ser amplificado ou transmitido se estiver na forma de eletricidade. 
Como entrada de um sistema de comunicação, o transdutor converte a mensagem (informação) em sinal 
elétrica na “entrada elétrica” do sistema. Antes dele só tínhamos a informação em sua forma real, 
na Fonte (tópico anterior). 
Com o transdutor podemos inserir esta informação no transmissor e fazer o processamento eletrônico 
necessário para que esta informação tenha uma boa viagem, com o mínimo de imprevistos. 
Na imagem acima temos uma câmera filmando uma planta (informação). Através deste equipamento esta 
imagem poderá ser transmitida. 
Transmissor em sistema de comunicação 
Torre de transmissão 
https://eletronicaqui.com/2017/09/eletrica/
https://eletronicaqui.com/2017/09/eletrica/
 
Conceitos gerais 
Transmissor é um dispositivo que propaga um sinal eletromagnético a partir de uma antena. 
O transceptor é o acrônimo de transmissor e receptor – “trans” do transmissor + “ceptor” do receptor. 
Assim, o transceptor é composto por ambos elementos, o que possibilita a recepção e transmissão de sinais 
de rádio. 
Podemos ter transmissão por banda base ou por modulação. 
Portadora é o sinal que é modulado. É ela que vai transportar a informação. Os parâmetros (fase, frequência, 
amplitude) da portadora são variados em função do sinal de informação. Podemos controlar as 
características da portadora através de circuitos eletrônicos. 
Banda base significa a transmissão do sinal sem portadora. Usada em geral para transmissão a curtas 
distâncias. 
Modulação é o processo em que a informação a ser transmitida é adicionada a ondas eletromagnéticas. Isso é 
necessário porque os sinais de informação não costumam ter as propriedades adequadas para trafegar pelos 
meios de transmissão. Assim, levamos a informação através de um meio de transporte, que possui as 
propriedades adequadas para a transmissão. 
Exemplo de modulação – AM (amplitude modulation) 
Modulação em amplitude (AM). 
Na imagem acima, no quadro à direita, o oscilador produz a portadora (o nosso meio de transporte), que 
é enviada ao multiplicador “X”. A informação, no ramo à esquerda do “X”, vai para o mesmo multiplicador. 
Na saída, no ramo à direita, temos o sinal modulado em amplitude, nesse exemplo. Veja que a portadora 
ficou com o aspecto (visual) da forma de onda do sinal de informação. 
Perceba que a informação está na envoltória (linha tracejada) da portadora. A portadora transporta estes 
níveis de sinal. 
Canal em sistema de comunicação 
Fibras óticas são um meio para a o sinal (informação) trafegar. 
 
Canal – Conceitos gerais 
Canal é o meio físico por onde a informação (sinais eletromagnéticos) é transmitida. O meio físico pode ser: 
• Um condutor metálico (par de fios, cabo coaxial, guia de onda etc). 
• Uma fibra ótica 
• A atmosfera 
Ação do canal sobre o sinal transmitido 
Canal ideal: transmissão sem distorção. 
Canal real: age como um filtro sobre a forma de onda e causa atenuação e distorção. 
Atenuação: redução da amplitude do sinal com a consequente redução da energia. 
Distorção: modificação do aspecto do sinal em função de atenuação e deslocamento de fase sofridos por 
componentes de frequência do sinal. 
Ruído: contaminação do sinal ao longo de toda trajetória por sinais indesejáveis, gerado a partir de fontes 
naturais ou artificiais. Esses sinais indesejáveis são aleatórios e imprevisíveis, de causas externas e internas.. 
Causas externas de ruído: 
• Interferências de sinais transmitidos em canais muito próximos. 
• Ruídos gerados pelo homem: falhas em contatos em chaves, em equipamentos elétricos; ignição 
automotiva; luz fluorescente. 
• Ruído natural de tempestades elétricas. 
• Radiação solar e intergalática. 
Causas internas de ruído: 
• Ruído térmico: movimento térmico de elétrons livres nos condutores. 
• Ruído de disparo que ocorre em dispositivos semicondutores devido à geração, recombinação e 
difusão de portadores de carga em dispositivos eletrônicos. 
https://eletronicaqui.com/2016/11/chaves/
 
Ruído é um dos fatores básicos que limitam a taxa de transmissão em comunicações. 
O ruído pode esta presente na própria estrutura física por onde trafega o sinal ou ser captado/transmitido por 
indução eletromagnética. 
Relação sinal-ruído 
Quanto maior a relação sinal-ruído, melhor, porque ou a potência do sinal vai aumentar ou a potência do 
ruído vai diminuir. 
Conclusão: as distorções e os ruídos são modalidades de perturbações que podem afetar o desempenho de 
um sistema de telecomunicações. 
Receptor em sistema de comunicação 
 
 
Receptor de TV digital 
 
Da saída do canal ao receptor chega um sinal distorcido e ruidoso. A tarefa do receptor é extrair uma 
mensagem desse sinal. 
A informação propriamente dita só será extraída na próxima etapa (transdutor de saída). 
Demodulação 
Na demodulação ocorre o processo inverso ao da modulação, no sentido de que o sinal informação será 
“extraído da portadora para ser enviado ao transdutor de saída e ser finalmente reproduzido. 
O sinal chega na antena e entra no aparelho receptor, onde será feita a demodulação. Aqui, é a demodulação 
AM, para continuar com o exemplo dos itens anteriores. 
A imagem abaixo mostra um exemplo de sinal que chega ao receptor e as transformações passadas por esse 
sinal. 
De cima para baixo: 
• Sinal transmitido (digital – níveis discretos, que podem ser 
contados) 
• Sinal distorcido, sem ruído 
• Sinal distorcido, com ruído 
• Sinal recuperado, com retardo (o início do sinal está adiantado, 
veja acima) que chega no receptor. 
Transdutor de saída em sistema de comunicação 
 
Os conceitos gerais de transdutor apresentados antes valem também para este item. 
O alto-falante, mostrado na imagem, transforma um sinal de áudio frequência numa onda acústica. 
Aqui, na saída, é onde a informação “traduzida” da linguagem elétrica para a nossa linguagem, seja em 
palavras, imagens ou sons, por exemplo. 
Destinatário de sistema de comunicação 
A informação chega ao destino. Aqui, a nossa casa, na TV. 
 
Na imagem acima, onde é mostrada uma cena em uma TV, ocorre a transdução eletro-óptica. 
O destino é auto-explicativo e não precisa de muitos comentários. É o momento de recebermos a informação 
propriamente dita e usá-la! 
 
Forma de onda, espectro e espectrograma. 
 Teorema de Fourier. 
 Um sinal periódico qualquer é composto de (ou pode ser decomposto em) uma serie de ondas 
senoidais com freqüência múltiplas inteirasda freqüência fundamental f, cada uma com uma 
determinada amplitude e uma determinada fase, mais uma componente continua (de freqüência zero). 
As ondas senoidais múltiplas inteiras n da fundamental são chamadas harmônicos de ordem n. 
 Qual é a conseqüência prática do teorema de Fourier ? 
A onda senoidal é a onda mais simples ou pura que existe, pois se origina da projeção sobre uma reta de um 
ponto girando em circulo. A senoide tem uma única freqüência, e para completar a sua descrição basta 
indicar a sua amplitude (valor absoluto máximo atingido) e a sua fase. 
https://eletronicaqui.com/2017/10/amplificador-de-potencia/
 O espectro de uma senoide é uma raia (pois ocupa uma única freqüência), com altura igual a 
amplitude. No espectro, não é possível representar a fase da raia. (Em estudos teóricos, as vezes se 
representam raias com fase oposta e relação a outra para baixo do eixo de freqüência). 
Para analisar um sinal complexo, basta decompo-lo em suas componentes senoidais e trabalhar com uma 
componente por vez. Portanto, é uma ferramenta importante para analise de sinais complexos. 
 Definições: 
 ESPECTRO : é a representação das componentes (ou raias ou termos) num gráfico que mostra 
suas amplitudes versus freqüência. 
 FORMA DE ONDA : é a representação dos valores intantâneos em função do tempo. 
 A figura seguinte mostra um exemplo de como se forma uma onda complexa (no caso uma onda quadrada 
simétrica) e o seu respectivo espectro. A forma de onda resultante (em amarelo) é o somatório a todo 
instante dos termos (em azul) : 
 
 Uma onda quadrada simétrica (no eixo do tempo, semiperiodos iguais) é composta de uma infinidade 
de raias ou senoides correspondentes a fundamental e seus harmônicos impares. 
A fundamental tem a mesma freqüência básica da onda quadrada. A fundamental e os harmônicos impares 
estão em fase na origem (função seno) (cuidado!: se usarmos função coseno, ou origem no máximo 
positivo da fundamental, os harmônicos 3, 7, 11,... tem fase contraria (180 graus) em relação aos termos 1, 
5, 9, 13,... como pode ser visto na figura). O nível ou amplitude relativa dos harmônicos é o nível da 
fundamental dividido pela ordem n do harmônico em questão. Se a onda quadrada não for simétrica em 
relação ao eixo de freqüência, ou seja, tiver amplitude positiva diferente da negativa, é porque contem uma 
componente continua. 
Como a onda da figura acima foi construída com harmônicos somente até a ordem 11, a sua forma de onda 
ainda não é perfeitamente quadrada. 
 Para entender melhor a diferença, ou mais precisamente, a relação entre forma de onda e espectro, a 
figura seguinte mostra isto de forma tridimensional (em perspectiva para ser mais exato) para a onda 
quadrada da figura anterior : 
 
 Os três eixos da figura em perspectiva acima são ortogonais, ou seja, estão todos a 90 graus um em 
relação ao outro. Por isso, quando vemos uma forma de onda, estamos colocando em um plano os eixos v e 
t, e estamos de frente para o eixo da freqüência, que fica perpendicular ao plano e portanto vira um ponto e 
fica invisível. Quando observamos o espectro de frente, é o eixo do tempo que se torna um ponto e fica 
invisível. 
Comparando : forma de onda e espectro portanto se relacionam como a vista de frente e a vista de 
lado em desenho industrial. É sabido que as vezes ainda precisamos de uma terceira vista para representar 
todos os detalhes de um objeto, ou seja, a vista de cima. 
 
 O ESPECTROGRAMA é exatamente a vista de cima da figura tridimensional anterior, ou seja, 
representa a evolução da freqüência dos termos (ou do espectro) do sinal em função do tempo. Agora o 
eixo invisível é a amplitude. Mesmo assim, podemos mostrar a amplitude dos termos usando uma escala 
de cores convencionada previamente (ou tons de cinza em preto e branco). 
A figura seguinte mostra um exemplo de espectrograma de uma onda quadrada junto com a escala de cores 
para representar amplitudes relativas (feito com o Spectrogram ) : 
 
 Observe a componente de maior nível (fundamental) em 1000 Hz com cor vermelha. O harmônico 9, em 
9000 Hz é bem mais fraco, de cor azul claro. Neste caso particular, o espectrograma não traz muita 
informação suplementar, em relação ao espectro, a não ser a confirmação de que a freqüência do sinal é 
constante no tempo. Entretanto, o espectrograma é de fundamental importância para analisar a evolução 
espectral de um sinal complexo e variável no tempo, como por exemplo, um sinal de voz ou audio. 
A figura seguinte é o espectro do sinal, obtido clicando em cima de espectrograma : 
http://www.monumental.com/rshorne/gram.html
https://www.qsl.net/py4zbz/teoria/espectro.htm#voz
 
 Obs. : o programa RZ1 permite verificar interativamente a relação entre forma de onda e espectro. 
Permite qualquer combinação de amplitude e fase dos termos de 0 até 11. 
Permite também verificar qual é a dependência da forma de uma onda quadrada com o respectivo conteúdo 
harmônico. 
 
 A figura seguinte é um exemplo de espectrograma do sinal de voz feminina dizendo "favor ligar mais 
tarde", com dois espectros instantâneos, correspondentes a um som vocal, o "A", onde se destacam raias 
chamadas formantes, e um som não vocal produzido pelo "sss" e que mais parece ruído branco em 
freqüências mais altas. Agora é bem visível a evolução do espectro com o tempo.
 
https://www.qsl.net/py4zbz/arq.htm
 Os espectros e o espectrograma acima foram feitos com o CoolEdit. 
 O espectrograma também pode ser mostrado de forma tridimensional, como nos exemplos abaixo, onde o 
espectro e desenhado normalmente e em seguida empurrado para traz com um pequeno deslocamento para 
dar lugar a um novo espectro. Ficam portanto visíveis alem do espectro atual, os espectros passados no 
tempo. 
Espectrograma 3D feito com o SpectraPLUS : 
 
Espectrograma 3D feito com o SigView :
 
 Uma outra forma de elaborar o espectrograma é colocando o eixo de tempo na vertical e o da freqüência 
na horizontal, o que em 
tempo real fica 
semelhante a uma 
cascata ou waterfall : 
 
http://www.syntrillium.com/
http://www.pmgrp.com/prod01.htm
http://solair.eunet.yu/~gobrad/sigview.htm
E para finalizar, veja a semelhança entre partitura musical 
e o espectrograma do som correspondente, na figura ao lado. 
A partitura musical é a uma das formas mais antigas de espectrograma: 
eixo vertical = frequencia, eixo horizontal = tempo. 
 
 
 
 
Aquisição de sinais analógicos: largura de banda, teorema de amostragem de Nyquist e aliasing 
O que é um digitalizador? 
Cientistas e engenheiros frequentemente utilizam digitalizadores para capturar dados analógicos no mundo 
real e convertê-los em sinais digitais, para análise. O digitalizador é um dispositivo que converte sinais 
analógicos em sinais digitais. Um dos digitalizadores mais comuns é o telefone celular, que converte a voz, 
um sinal analógico, em sinal digital, para enviá-la a outro telefone. Entretanto, em aplicações de teste e 
medição, o digitalizador normalmente é um osciloscópio ou um multímetro digital (DMM). As descrições 
abaixo são baseadas em osciloscópios, mas a maior parte delas é também aplicável a outros digitalizadores. 
Independentemente do tipo, o digitalizador é vital para que o sistema possa reconstruir a forma de onda com 
exatidão. Para ter a certeza de que está escolhendo o melhor osciloscópio para a sua aplicação, leve em 
consideração a largura de banda, taxa de amostragem e resolução do osciloscópio. 
Largura de banda 
A entrada de um osciloscópio é formada por dois componentes: um percurso de entrada analógica e um 
conversor analógico-digital (ADC). O percurso de entrada analógica atenua, amplifica, filtra e/ou acopla o 
sinal para otimizá-lo, preparando-o para a digitalização realizada no ADC. O ADC amostra a forma de onda 
condicionada e converte o sinal da forma de onda da entrada analógica emvalores digitais. A resposta em 
frequência do percurso de entrada provoca uma perda inerente na informação de amplitude e fase. 
 
Figura 1. A largura de banda descreve a faixa de frequências do sinal de entrada que podem entrar pela 
entrada do osciloscópio. Essa entrada é formada por dois componentes: um percurso de entrada analógica e 
um ADC. 
A largura de banda descreve a capacidade da entrada analógica de obter um sinal do mundo externo ao ADC 
com perda mínima de amplitude — da ponta de prova ou do suporte de teste até a entrada do ADC. Em 
outras palavras, a largura de banda descreve a faixa de frequências na qual o osciloscópio pode realizar 
medições com exatidão. 
Ela é definida como a frequência na qual um sinal de entrada senoidal é atenuado em 70,7% de sua 
amplitude original, o que também é conhecido como ponto de -3 dB. As Figuras 2 e 3 mostram a resposta 
típica da entrada de um osciloscópio de 100 MHz. 
 
Figura 2. Largura de banda é a banda na qual o sinal de entrada é atenuado em até 70,7% de sua amplitude 
original. 
 
Figura 3. Esse gráfico indica que, em 100 MHz, o sinal de entrada atinge o ponto de -3 dB. 
A largura de banda é medida entre os pontos de frequência inferior e superior, nos quais a amplitude do sinal 
é atenuada em -3 dB. Isso pode parecer complicado, mas é na verdade relativamente simples. 
Em primeiro lugar, calcule o seu valor de -3 dB. 
 
Fórmula 1. Cálculo do ponto de -3 dB 
Vin,pp é a tensão pico-a-pico do sinal de entrada e Vout,pp é a tensão pico-a-pico do sinal de saída. Por 
exemplo, se você introduzir uma onda senoidal de 1 V, a tensão de saída poderá ser calculada 
como so . 
Como o sinal de entrada é uma onda senoidal, há duas frequências nas quais o sinal de saída atinge esse 
valor de tensão, estas são as chamadas frequências de corte f1 e f2. Essas duas frequências são denominadas 
por diferentes nomes: frequência de corte, frequência de crossover, frequência de meia potência, frequência 
de 3 dB e frequência limite. Entretanto, todos esses termos fazem referência aos mesmos valores. A 
frequência central do sinal, f0, é a média geométrica de f1 e f2. 
 
Fórmula 2. Cálculo da frequência central 
Você pode calcular a largura de banda (BW) por subtração entre as duas frequências de corte. 
 
Fórmula 3. Cálculo da largura de banda 
 
Figura 4. Largura de banda, frequência de corte, frequência central e o ponto de 3 dB estão todos 
relacionados entre si. 
Cálculo do erro de amplitude 
Outra fórmula útil é a de erro de amplitude. 
 
Fórmula 4. Cálculo do erro de amplitude 
O erro de amplitude é expresso em porcentagem. Na fórmula acima, R é a relação entre a largura de banda 
do osciloscópio e a frequência do sinal de entrada (fin). 
Usando o exemplo acima, você tem um osciloscópio de 100 MHz com um sinal de entrada senoidal de 
100 MHz a 1 V e largura de banda de 100 MHz e fin = 100 MHz. Com esses valores, temos R = 1. Então 
você somente terá de resolver a fórmula: 
 
O erro de amplitude calculado é 29,3%. Você poderá então determinar a tensão de saída para o sinal de 
1 V: 
 
É recomendado que a largura de banda de seu osciloscópio seja de 3 a 5 vezes a componente de maior 
frequência que você quer analisar no sinal medido, para que o sinal possa ser capturado com mínimo erro 
de amplitude. Por exemplo, para a onda senoidal de 100 MHz, você precisa utilizar um osciloscópio com 
largura de banda de 300 MHz a 500 MHz. Os erros de amplitude de um sinal de 100 MHz nessas larguras 
de banda seriam: 
 
 
Cálculo do tempo de subida 
Um osciloscópio precisa ter a largura de banda apropriada para poder medir o sinal com exatidão, mas 
também de tempo de subida suficiente para capturar com exatidão os detalhes de transições rápidas. Isso é 
principalmente aplicável à medição de sinais digitais tais como pulsos e degraus. O tempo de subida de um 
sinal de entrada é o tempo que o sinal leva para passar de 10% a 90% da amplitude máxima do sinal. 
Alguns osciloscópios utilizam os valores de 20% e 80%, então verifique o seu manual do usuário. 
Figura 5. O tempo de subida de um sinal de entrada é o tempo 
que o sinal leva para passar de 10% a 90% da amplitude máxima 
do sinal. 
O tempo de subida (Tr) pode ser calculado como: 
 
Fórmula 5. Cálculo do tempo de subida 
A constante k é dependente do osciloscópio. A maior parte dos osciloscópios com largura de banda menor 
que 1 GHz tipicamente tem k = 0,35. Osciloscópios com largura de banda acima de 1 GHz normalmente 
têm valor de k entre 0,4 e 0,45. 
O tempo de subida teórico medido pode ser calculado a partir do tempo de subida do 
digitalizador e o tempo de subida real do sinal de entrada . 
 
Fórmula 6. Cálculo de tempo de subida teórico 
É recomendável que o tempo de subida na entrada do osciloscópio seja de 1/3 a 1/5 do tempo de subida do 
sinal medido, para que possamos capturar o sinal com erro mínimo de tempo de subida. 
Taxa de amostragem 
A taxa de amostragem não é diretamente relacionada à especificação de largura de banda. A taxa de 
amostragem é a frequência na qual o ADC converte a forma de onda da entrada analógica em dados digital. 
O osciloscópio amostra o sinal após as etapas de atenuação, ganho, filtragem e outras similares terem sido 
aplicadas na entrada analógica, convertendo a forma de onda resultante em uma representação digital. Esse 
instrumento faz essa amostragem em intervalos regulares, de maneira similar aos quadros de um filme. 
Quanto mais rápido o osciloscópio fizer amostras, maior será a resolução e os detalhes que podem ser vistos 
na forma de onda. 
Teorema de amostragem de Nyquist 
O teorema de amostragem de Nyquist explica a relação entre a taxa de amostragem e a frequência do sinal 
medido. Esse teorema diz que a taxa de amostragem fs deve ser maior que o dobro da componente de 
maior frequência que você quer analisar no sinal medido. Essa frequência muitas vezes é chamada de 
frequência de Nyquist, fN. 
 
Fórmula 7. A taxa de amostragem deve ser maior que duas vezes a frequência de Nyquist. 
Para entender o motivo dessa exigência, observe a medição da onda senoidal em diferentes taxas. No caso 
A, a taxa de amostragem é igual à frequência da onda senoidal. Essas amostras são marcadas no sinal 
original à esquerda e, quando reconstruídas à direita, o sinal é visto incorretamente como uma tensão CC 
constante. No caso B, a taxa de amostragem é o dobro da frequência do sinal. A onda reconstruída agora é 
vista como uma forma de onda triangular. Nesse caso, f seria igual à frequência de Nyquist, que é a 
componente de maior frequência permitida para evitar o aliasing para uma dada frequência de 
amostragem. No caso C, a taxa de amostragem é 4f/3. Nesse caso, a frequência de Nyquist seria: 
 
Como f está acima da frequência de Nyquist ( ), essa taxa de amostragem reproduzirá uma forma 
de onda com aliasing, de frequência e formato incorretos. 
 
Figura 6. Uma taxa de amostragem baixa demais causa uma reconstrução incorreta da forma de onda. 
Dessa forma, para a reconstrução correta da forma de onda, a taxa de amostragem fs deve ser maior que 
duas vezes a componente de maior frequência que você quer analisar no sinal medido. Normalmente, é 
uma boa ideia fazer amostragem em uma taxa aproximadamente cinco vezes maior que a frequência do 
sinal. 
Aliasing 
Você precisa fazer a amostragem a uma determinada taxa para evitar o aliasing, mas o que exatamente é o 
aliasing? Se um sinal for amostrado em uma taxa de amostragem menor que duas vezes a frequência de 
Nyquist, uma ou mais componentes de frequência mais baixa serão vistas nos dados amostrados. Esse 
fenômeno é conhecido como aliasing. A Figura 7 abaixo mostra uma onda senoidal de 800 kHz amostrada 
a 1 MS/s. A linha pontilhada indica o sinal com aliasing registrado nessa taxa de amostragem. O efeito de 
aliasing faz a frequência de 800 kHz ser representada incorretamente como uma onda senoidalde 200 kHz. 
 
Figura 7. Aliasing provocado por uma taxa de amostragem baixa demais, resultando em uma 
representação incorreta da forma de onda. 
A frequência de aliasing, fa, pode ser calculada, para sabermos como um sinal de entrada de frequência 
maior que a frequência de Nyquist será visualizado. Esse será o valor absoluto do múltiplo inteiro mais 
próximo da frequência de amostragem, menos a frequência do sinal de entrada. 
 
Fórmula 8. Cálculo da frequência de aliasing 
Por exemplo, considere uma frequência de amostragem de 100 Hz para um sinal de entrada que contém as 
seguintes frequências: 25 Hz, 70 Hz, 160 Hz e 510 Hz. As frequências abaixo da frequência de Nyquist de 
50 Hz serão amostradas corretamente; as frequências acima de 50 Hz sofrerão aliasing. 
 
Figura 8. Diferentes valores de frequência são medidos, alguns das frequências de aliasing, outros, das 
frequências reais da forma de onda. 
Os cálculos das frequências de aliasing são: 
 
Além de aumentar a taxa de amostragem, o aliasing também pode ser evitado pelo uso de um filtro 
antialiasing, um filtro passa-baixas que atenua quaisquer frequências do sinal de entrada maiores que a 
frequência de Nyquist. Esse filtro deve ser introduzido antes do ADC para evitar que a largura de banda do 
sinal de entrada viole o critério de amostragem. Os canais de entrada analógica podem ter filtros analógicos 
e digitais implementados no hardware, para ajudar a evitar o aliasing. 
Resolução 
Outro fator a ser considerado na seleção de um osciloscópio para uma aplicação é a resolução. Bits de 
resolução refere-se ao número de níveis verticais distintos que um osciloscópio pode utilizar para representar 
um sinal. Uma maneira de entender o conceito de resolução é comparando-a com uma régua. Divida uma 
régua de 1 metro em milímetros; qual será a resolução? A menor divisão dessa régua será a resolução — no 
caso, 1 em 1000. 
A resolução de um ADC é determinada pelo número de partes nas quais o sinal máximo pode ser dividido. 
A resolução em amplitude é limitada pelo número de níveis de saída discretos que tiver o ADC. Um código 
binário representa cada uma dessas divisões; dessa forma, o número de níveis pode ser calculado como 
mostrado a seguir: 
 
Fórmula 9. Cálculo dos níveis de saída discretos de um ADC 
Por exemplo, um osciloscópio de 3 bits tem 23 níveis (oito). Da mesma forma, um osciloscópio de 16 bits 
terá 216 níveis (65.536). A menor variação de tensão detectável, ou largura de código, pode ser calculada 
como: 
 
Fórmula 10. Cálculo da largura do código 
A largura de código é também conhecida como bit menos significativo (LSB). Se a faixa de entrada do 
dispositivo for de 0 a 10 V, um osciloscópio de 3 bits terá uma largura de código de 10/8 = 1,25 V, enquanto 
que um osciloscópio de 16 bits terá uma largura de código de 10/65.536 = 305 μV. Essa pode ser uma 
grande diferença na maneira como o sinal é mostrado na tela. 
 
Figura 9. Diferença na forma de onda com resoluções de 3 bits e 16 bits 
A resolução necessária depende de sua aplicação; quanto maior a resolução, maior será o preço do 
osciloscópio. Lembre-se de que um osciloscópio com alta resolução não necessariamente terá alta exatidão. 
Entretanto, a exatidão que pode ser alcançada por um instrumento é limitada por sua resolução. A resolução 
limita a precisão de uma medição: quanto maior a resolução (número de bits), mais precisa será a medição. 
Alguns osciloscópios utilizam um método chamado dithering para ajudar a suavizar os sinais e dar a 
impressão de uma maior resolução. No dithering , um pouco de ruído é incluído intencionalmente no sinal 
de entrada. Essa função atenua pequenas diferenças na resolução de amplitude. O princípio básico dessa 
função é incluir ruído aleatório de forma a fazer o sinal subir e descer repetidamente entre níveis sucessivos. 
Obviamente, isso por si só apenas faria o sinal ter mais ruído. Mas esse ruído é suavizado pela função de 
média 
aplicada 
digitalment
e no sinal 
adquirido. 
Figura 
10. O 
dithering 
pode ajudar 
a suavizar 
um sinal. 
 
 
 
 
 
Resumo 
▪ A largura de banda mostra a faixa de frequências que um osciloscópio pode medir com exatidão. Ela é 
definida como a frequência na qual um sinal de entrada senoidal é atenuado em 70,7% de sua amplitude 
original, o que também é conhecido como ponto de -3 dB. 
▪ A largura de banda é a diferença matemática entre as frequências de corte. 
▪ O erro de amplitude é a relação em porcentagem entre a largura de banda e as frequências do sinal de entrada, 
que ajuda a determinar o ruído em um sistema. 
▪ É recomendado que a largura de banda de seu osciloscópio seja de 3 a 5 vezes a componente de maior 
frequência que você quer analisar no sinal medido, para que o sinal possa ser capturado com mínimo erro de 
amplitude. 
▪ O tempo de subida de um sinal de entrada é o tempo que o sinal leva para passar de 10% a 90% da amplitude 
máxima do sinal. 
▪ É recomendável que o tempo de subida na entrada do osciloscópio seja de 1/3 a 1/5 do tempo de subida do 
sinal medido, para que possamos capturar o sinal com erro mínimo de tempo de subida. 
▪ A taxa de amostragem é a frequência na qual o ADC converte a forma de onda da entrada analógica em 
dados digital. 
▪ A taxa de amostragem deve ser pelo menos duas vezes a maior frequência que você quer analisar no sinal 
mas, na maior parte das vezes, deveria ser aproximadamente cinco vezes maior. 
▪ O aliasing é quando falsos componentes de frequência aparecem nos dados amostrados. 
▪ Bits de resolução refere-se ao número de níveis verticais distintos que um osciloscópio pode utilizar para 
representar um sinal. 
▪ Quanto maior a resolução de um instrumento, maior a precisão. 
Análise de Vibração – Tipos de Sinais, Transformada de Fourier e PSD 
 
Análise de Vibração – Tipos de Sinais, Transformada de Fourier e PSD 
Para qualquer análise de vibração, é importante conhecer previamente como é esperado que as forças se 
comportem ao longo do tempo. Para exemplificar este ponto, podemos dizer que um equipamento rotativo 
com rotação constante gera forças conhecidas ao longo do tempo, enquanto o chassi de um carro andando 
pela rua, gera forças desconhecidas e aleatórias. 
Isto permite que você possa entender e julgar se os 
resultados de sua coleta de dados estão coerentes com o 
funcionamento da máquina, como também auxiliar no tipo 
de processamento de sinal que deve ser realizado, quais as 
ferramentas necessárias, entre outras peculiaridades. 
De acordo com o comportamento dos sinais no domínio do 
tempo, são classificados os tipos de sinais existentes: 
 
 
 
 
 
 
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/Tipos-de-sinal-1.png
 
Sinais Estacionários – Apresentam as mesmas componentes de frequência durante toda sua duração; 
• Sinais Aleatórios – apresentam incertezas quanto a sua ocorrência, não podem ser representados por 
função matemática e sim através de sua característica estatística (média, variância, autocorrelação, etc); 
• Sinais Determinísticos – são sinais que podem ser representados com exatidão por funções matemáticas; 
o Determinísticos Periódicos – são sinais que se repetem com a mesma frequência em toda sua 
duração; 
o Determinístico Quasi Periódico – são sinais descritos por um somatório de sinais periódicos, ou 
seja, possuem várias frequências que se repetem em sua duração; 
Sinais Não Estacionários – Não apresentam as mesmas componentes de frequência durante sua duração; 
• Transiente – são decorrentes de eventos únicos e não possuem característica periódica; 
• Contínuo – são decorrentes de sinais aleatórios puros, ou seja, cada amostra se difere da outra, não 
satisfazendo as condições de normalidade e verificações estatísticas (média, variância, etc). 
 
Como visto acima, existem vários tipos de sinais que variam diferentemente um do outro ao longo do tempo. 
Na prática para a análise dossinais é realizado a Transformada de Fourier que consiste na transformação do 
sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência. 
Transformada de Fourier 
O domínio da frequência é apenas uma maneira diferente de descrever um sinal no domínio do tempo, em 
que a abcissa é expressa em frequência ao invés de tempo. 
Para se transformar os sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência, deve se aplicar a 
Transformada de Fourier. A expressão matemática responsável por esta transformação é dada por: 
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/Sinais-graficos-1.png
 
Onde a resposta da transformada de Fourier é composta por uma parcela de números reais e imaginários, de 
amplitude e fase. 
Para se ter uma ideia da transformada de Fourier, abaixo é proposto primeiramente uma função senoidal no 
domínio do tempo e posterior transformação para o domínio da frequência. 
 
Figura 1 – onda senoidal no domínio do tempo 
 
Figura 2 – transformada de Fourier da onda senoidal 
As respostas no domínio da frequência são largamente utilizadas no processamento de sinais, pois fazem 
com que a interpretação dos dados seja mais direta e simples, alguma das utilidades práticas dessa 
ferramenta são listadas abaixo: 
 
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/Transformada-Fourier-1.png
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/Onda-Senoidal-2.png
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/FFT-3.png
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/correlacao-tempo-vs-frequencia.png
Figura 3 – correlação entre sinal no domínio do tempo e da frequência 
Como pode ser visto acima, o sinal no domínio do tempo pode ser “separado” em várias ondas senoidais 
para formar o sinal no domínio da frequência (espectro). 
A FFT (Fast Fourier Transform) produz a frequência média existente de um sinal ao longo de toda a 
aquisição, portanto, deve-se utilizar a FFT para sinais estacionários ou em casos onde é necessário se obter a 
média da energia em cada frequência. O processo da FFT mantém a unidade que foi medida no domínio do 
tempo, ou seja, se os dados no tempo estão expressos em aceleração, a FFT terá o eixo Y como aceleração, 
se foi velocidade, a FFT terá o eixo Y como velocidade, e assim por diante. 
 
Figura 4 – medição de deformação no domínio do tempo na figura esquerda e FFT do sinal a direita 
contendo valores de deformação 
O que ocorre, é que nem sempre a FFT gera resultados adequados para a validação estrutural de 
componentes. Isso acontece principalmente em componentes que estão submetidos a carregamentos 
estacionários aleatórios, pois a frequência de operação do equipamento não é conhecida, e utilizar apenas a 
FFT não representará corretamente a energia e o dano que o carregamento provocará no componente. 
Para esses casos, deve-se calcular a potência de cada frequência (Power Spectrum) da FFT, elevando a 
amplitude de cada componente de frequência ao quadrado. Portanto, a potência na frequência, é calculada 
por : 
 
A densidade espectral de potência (Power Spectral Density) é a potência de cada frequência calculada, sendo 
normalizada utilizando o filtro de 1Hz centrado na frequência de interesse. 
 
Como já comentado anteriormente, o PSD é utilizado para a análise de sinais aleatórios pois representa a 
densidade de energia para cada faixa de frequência e descreve como a variação dos sinais é distribuída no 
domínio da frequência, tendo sua unidade expressa por exemplo em g²/Hz. A área abaixo da curva PSD é a 
variância da resposta, ou seja, o quadrado do desvio padrão. 
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/tempo-e-fft-1.png
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/potencia-espectral2-1.png
https://ensus.com.br/wp-content/uploads/2016/04/PSD-1.png
Vale lembrar que o PSD somente é válido para sinais aleatórios estacionários, sendo que as características 
estatísticas do sinal devem obedecer a distribuição normal, podendo ser considerado como processo 
aleatório Gaussiano. 
Para analisar se o sinal é realmente estacionário, é necessário se obter um número de gravações do sinal 
aleatório em diferentes tempos e verificar se os mesmos atendem a condição de normalidade, onde é 
calculado a média e desvio padrão dos dados. Caso o sinal se comporte de acordo com a distribuição normal, 
pode-se dizer que todos os dados contidos naquela amostra representam de maneira estatística o 
carregamento que o componente estará submetido em sua vida. 
Para processos não estacionários os dados obtidos em um período não são representativos para os demais, 
sendo que os dados estatísticos são alterados de uma amostra para outra. Na prática existem muitos 
fenômenos que são não estacionários, como por exemplo as condições dos ventos, das marés, condição do 
tempo, etc. 
A análise de processos não estacionários se torna muito complexa e inviável muitas vezes para a análise 
estrutural de componentes, portanto o que se faz na prática é considerar parcelas dos processos não 
estacionário para que ele seja aproximado de um estacionário. Por exemplo, a condição do vento se for 
analisada o ano inteiro provavelmente será não estacionária, porém se for comparado apenas os dados de 
relativas estações do ano pode se chegar a sinais com características estacionárias. 
Se tratando de validação estrutural com o método dos elementos finitos, para cada um dos sinais existe uma 
análise adequada para se capturar as respostas de tensão, deformação e deslocamento de componentes, sendo 
esse mais um motivo para conhecer os tipos de sinais e identificar a natureza de operação do equipamento 
sob análise. 
O entendimento dos tipos de sinal, transformada de Fourier e PSD (Power Sprectrum Density), faz com que 
o analista possa julgar de maneira adequada o funcionamento do equipamento e traçar os métodos para sua 
análise. 
A aplicação dos conhecimentos expostos nesse artigo se expande à várias aplicações, desde manutenção 
preditiva até a validação estrutural de automóveis. Esta área é muito extensa, e a cada artigo, trazemos um 
tópico novo que pode ser utilizado no dia a dia dos engenheiros e analistas que trabalham nesse ramo. Veja 
também alguns artigos relacionados: 
• Análise de Elementos Finitos 
• Conceitos Básicos de Vibração 
• Conceitos Básicos de Extensometria (strain gauge) 
 
 
https://ensus.com.br/elementos-finitos-quais-os-beneficios/
https://ensus.com.br/analise-de-vibracao-estrutural-conceitos-basicos-2/
https://ensus.com.br/extensometria-strain-gauge-o-que-e-quando-utilizar/