Cálculo III (2 Avaliação 2020-02)

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2ª Avaliação (Integrais de funções de várias variáveis) 
1) Encontre o valor da integral dupla: (1,0 ponto). 
∬
𝑦2
𝑥2
 𝑑𝐴 
Limitada pelas retas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2 e pela hipérbole 𝑥𝑦 = 1. 
 
2) Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo 
parabolóide 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 3𝑦2. Faça um esboço do sólido. (1,0 
ponto): 
 
 
3) Encontre a massa e o centro de massa da lâmina na forma da região 
do primeiro quadrante, limitada pela circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e 
pela reta 𝑥 + 𝑦 = 2. A densidade de massa por unidade de área em 
qualquer ponto é dada por 𝑥𝑦 𝑘𝑔/𝑚2. (1,0 ponto) 
 
4) Ache o momento de inércia da lâmina homogênea limitada pela 
parábola 𝑥2 = 4 − 4𝑦 e pelo eixo 𝑥, em torno do eixo 𝑥. A 
densidade de massa por unidade de área é dada por 𝑘
𝑘𝑔
𝑚2
. (1,0 
ponto): 
 
 
5) Encontre, por integração em coordenadas polares, a área da região 
dentro da cardióide 𝑟 = 𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) e fora da circunferência 𝑟 =
𝑎. Esboce a figura. (1,0 ponto) 
 
 
Universidade Estadual do Piauí 
Centro de Ciências da Natureza – CCN 
Coordenação do curso de Física 
Disciplina: Cálculo III 
Professor: Memória 
Aluno: ______________________________________ 
Teresina _______/_________/__________ 
 
 
6) Ache por integração em coordenadas polares, o volume do sólido 
delimitado na esfera 𝑧2 + 𝑟2 = 16 pelo cilindro 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠𝜃. Esboce 
a figura. (1,0 ponto): 
 
7) Ache por integrais triplas, a massa do sólido homogêneo, limitado 
pelo cilindro 𝑧 = 4 − 𝑥2, pelo plano 𝑦 = 5, pelos planos 
coordenados se a densidade de massa por unidade de volume em 
qualquer ponto for 𝑘 𝑘𝑔/𝑚3. Esboce a figura. (1,0 ponto): 
 
8) Ache por coordenadas cilíndricas o volume do sólido, no primeiro 
octante, limitado pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e pelo plano 𝑧 = 𝑥. Faça 
um esboço da figura. (1,0 ponto). 
9) Por coordenadas esféricas, encontre o volume do sólido interno a 
esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4𝑧 e acima do cone 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 (1,0 
ponto). 
 
10) Calcule, usando coordenadas cilíndricas ou coordenadas 
esféricas a integral abaixo (1,0 ponto): 
 
∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
√9−𝑥2
0
3
0
4
0
 
 
Bom desempenho