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Conicas e Quadricas Maples Erminia SEMAT2012

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1 Bolsista do Progr. Ciência na UNESP – Projeto: A Informática e o Ensino de Matemat. 
2 Bolsista do Projeto do Núcleo de Ensino - UNESP - ProGrad 
* Profa. Dep. Matemática – Coordenadora dos Projetos/Orientadora 
 
 
 
 
 
Estudando Cônicas e Quádricas 
com o auxílio dos softwares 
GeoGebra e Maple 
 
 
 
 
Studying Conics and quadrics with the aid 
of software GeoGebra and Maple 
 
 
 
 
 
 
Ermínia de Lourdes Campello Fanti* 
Augusto Sergio Furquim1 
José Antonio Silveira Camargo2 
 
Depto de Matemática, IBILCE, UNESP 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
 
Introdução 01 
 
 
1. Introdução ao Estudos das Cônicas com o GeoGebra 02 
1.1 Cônicas – introdução 02 
1.2 GeoGebra – noções básicas 05 
1.3 Atividades como o GeoGebra 09 
 
 
2. Introdução ao Estudos das Quádricas com o Maple 13 
2.1 Quádricas – introdução 13 
2.2 Maple – noções básicas 14 
2.3 Atividades como o Maple 18 
 
 
Referências 23 
 
 
 1 
Introdução 
 
 
 Os softwares Geogebra e Maple são ferramentas poderosas no 
estudo de vários conteúdos matemáticos. O objetivo deste trabalho é utilizar mais 
diretamente o software Geogebra no estudo das cônicas e o Maple no estudo das 
quádricas (porém o Maple pode também ser usado no estudo das cônicas). O 
GeoGebra é um software livre, enquanto que o Maple não. Chama-se Cônica ao 
conjunto dos pontos P = (x,y) em E2 tais que: G(x,y) = ax² + by² +cxy + dx + ey + f = 
0, onde a, b, c, d, e, f, são números reais com a² + b² + c² > 0. É fácil obter a partir 
da equação anterior exemplos de cônicas dadas por um ponto, o conjunto vazio, 
uma elipse ou circunferência, a reunião de duas retas concorrentes, uma hipérbole, 
uma parábola, uma reta ou duas retas paralelas. De fato, prova-se que estes são 
todos os tipos possíveis de cônicas. Chama-se Quádrica ou Superfície Quádrica ao 
conjunto dos pontos P = (x,y,z) em E3 tais que G(x,y,z) = ax² + by² +cz2+dxy + exz + 
fyz + gx + hy +iz + j = 0, onde a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, são números reais, com a, b, 
c, d, e, f, não simultaneamente nulos. Os exemplos mais interessantes de quádricas 
são o elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone 
elíptico, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico ou sela. Usando os recursos 
dos softwares podemos visualizar melhor as cônicas e quádricas e observar suas 
propriedades. Em algumas situações pode-se notar também certa limitação dos 
softwares. 
 O primeiro capítulo será dedicado ao estudo das cônicas com o 
GeoGebra. No segundo capítulo trataremos das quádricas e o software utilizado será 
o Maple. 
 
Palavras chaves: Cônicas, Quádricas, softwares Geogebra e Maple, Ensino de 
Matemática 
 
 
 
 2 
Capítulo 1- Introdução ao Estudos 
das Cônicas com o GeoGebra 
 
1.1 Cônicas 
Apresentamos uma breve introdução ao estudo das cônicas - incluindo o 
Teorema de Classificação e alguns exemplos. O leitor interessado poderá ver mais 
detalhes em Boulos e Camargo [1], Cap. 22 e 23. 
 
Lugares geométricos: Denominamos lugar geométrico (l. g.) a um conjunto de 
pontos tais que todos eles e só eles possuem uma dada propriedade. 
 
Elipse: A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma 
das distâncias a dois pontos fixos distintos F1 e F2 é uma constante 2a (maior que a 
distância entre os dois pontos fixos). Mais precisamente, consideremos um plano pi e 
dois pontos F1 e F2 (de pi) tais que d(F1,F2) = 2c > 0. Seja a > c. Ao conjunto de 
pontos P ∈ pi tais que d (P, F1) + d (P, F2) = 2a (1) dá - se o nome de elipse. Os 
pontos F1 e F2 são denominados focos da elipse. 
Equação reduzida : Tomando um sistema ortogonal, considerando os focos F1 = (-c, 0) 
e F2 = (c, 0) (isto é, sobre o eixo OX), P = (x, y) e considerando b = 22 ca − , deduz-
se, da igualdade (1), a equação na forma reduzida : 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ (*). 
 
Esboço da Elipse: Primeiro obtemos as interseções da elipse com os eixos 
coordenados. Interseções com OX: fazendo y = 0, obtemos x = + a, logo os pontos 
de interseção com o eixo x são A1 = (-a , 0), A2 = (a , 0). Com OY: fazendo x = 0, 
vem y = + b, logo os pontos de interseção com o eixo y são B1 = (0, - b), B2 = (0, b). 
Graças à simetria, podemos restringir-nos ao 1o quadrante, onde ,xa
a
by 22−= 
0 ≤ x ≤ a. Atribuindo valores a x entre 0 e a e calculando y, obtemos o esboço, onde a2 
= b2 +c2. Esboço: 
 
Figura 1.1.1 - Elipse 
Nomenclaturas: 
F1, F2 : focos (já mencionados), 
2c : distância focal (= d (F1, F2)), 
A1A2 : eixo maior (é o segmento de comprimento 2 a e contém os focos), 
B1 B2 : eixo menor (B1 B2 ⊥ A1A2 no seu ponto médio), 
O : centro (é o ponto médio do segmento F1F2 ), 
A1, A2, B1, B2 : vértices, 
 3 
F1F2 : segmento focal . 
 
Observação: 1) Se adotamos um sistema ortogonal em que F1 e F2 estão no eixo 
OY, então (1) fornecerá, de modo análogo, a seguinte equação reduzida: 
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+ , (b = 22 ca − ). 
Por exemplo, a elipse 1
4
y
x
2
2
=+ tem focos no eixo OY, e a elipse 1
2
y
4
x
22
=+ tem 
focos no eixo OX. 
2) Quando a = b, a elipse (centrada – equação reduzida 1
a
y
a
x
2
2
2
2
=+ ) nada mais é 
do que a circunferência de centro na origem e raio a: x2 + y2 = a2. 
 
Hipérbole: Consideremos num plano pi dois pontos F1 e F2 (chamados focos), 
distantes 2c > 0 entre si. Seja 0 < a < c. Ao conjunto dos pontos P ∈ pi tais que 
|d(P,F1) – d(P,F2)| = 2a se dá o nome de hipérbole. 
Equação reduzida: Tomando um sistema ortogonal e supondo que
 
F1 =(-c, 0) e F2 = 
(c, 0), isto é estão sobre o eixo dos x, como no caso da elipse, obtém-se que P = (x,y) 
está na hipérbole se e somente se .1
ac
y
a
x
22
2
2
2
=
−
− Considerando 22 acb −= 
temos .bacecb0 222 +=<< A equação na forma reduzida fica assim : 
 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− (**). 
 
Esboço da hipérbole: Ao acharmos a interseção com os eixos vemos que neste 
caso, o eixo OY não intercepta a curva enquanto que o eixo OX a intercepta nos 
pontos A1 = (-a, 0) e A2 = (a, 0). Novamente graças à simetria, podemos restringir-nos 
ao primeiro quadrante, e aí 
.ax,ax
a
by 22 ≥−= 
As retas r : y = x
a
b
 e s : y = - x
a
b
 são denominadas assíntotas da hipérbole. As 
assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais, à medida que 
os pontos se afastam dos focos. Atribuindo valores a x entre 0 e a e calculando y, 
obtemos o esboço, onde c2 =a2 + b2. 
Esboço: 
 
 
 
Figura 1.1.2- Hipérbole 
 4 
Nomenclaturas: 
F1, F2 : focos, 
2c : distância focal, 
A1A2 : eixo transverso, 
B1B2 : eixo conjugado, 
O : centro ( é o ponto médio do segmento F1F2 ) , 
A1, A2 : vértices, 
F1F2 : segmento focal, 
r e s : assíntotas. 
 
Observação: Se adotar um sistema ortogonal em que F1 e F2 estão no eixo OY, 
obteremos a equação reduzida é da forma ,1
a
y
b
x
- 2
2
2
2
=+ onde 




−=
22 acb ; r: y= 
x
b
a
 e s: y = - x
b
a
 são, neste caso, as assíntotas da hipérbole. 
Exemplo: x2 – y2 = 2 representa uma hipérbole com focos em OX e 1
100
y
4
x
-
22
=+ 
representa uma hipérbole com focos em OY. 
 
Parábola: Consideremos num plano pi um ponto F e uma reta r, tal que F ∉ r, fixos. 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos de pi equidistantesde F e r. O ponto F 
chama-se foco e a reta r chama-se reta diretriz. Chamamos parâmetro da parábola, e 
representamos por 2p, a distância entre o foco F e a reta r. 
Equação reduzida: Tomemos um sistema ortogonal OXY e suponhamos que F 
esteja sobre o eixo OX , que r seja paralela ao eixo OY, que a origem O seja o ponto 
médio de HF, onde H é a projeção ortogonal de F sobre r (ou seja, O é o “vértice” da 
parábola) e que F esteja à direita de r. Daí, como 2p = d (F, r), temos, nesse caso, que 
F = (p , 0) e r : x = - p. Então x + p = 0. Logo, P = (x,y) está na parábola se e 
somente se d (P,F) = d (P, r), isto é, 
( )
22
22
01
px
yp-x
+
+
=+ 
que é equivalente a (elevando ao quadrado e simplificando), a: 
y² = 4px (***) 
Esboço da parábola (no caso y² = 4px, F=(p,0) e r: x=-p). ): 
 
 
Figura 1.1.3- Parábola 
 
 5 
Observação: São também equações reduzidas da parábola: 
y2 = - 4px, (quando F=(- p, 0) e r: x=p, i.é, V = O, F ∈ ao eixo OX e está a esquerda de r), 
2x
4p
1
=y , (quando F=(0, p) e r: y = - p, i.é, V=O, F ∈ ao eixo OY e está acima de r), 
 
2x
4p
1y −= , (quando F=(0, -p) e r : y = p, i.é, V=O, F ∈ ao eixo OY e está abaixo de r). 
 
Definição (caso geral): Chama-se Cônica ao conjunto dos pontos P = (x, y) em E2, 
onde E2 denota o plano euclidiano, tais que: g(x, y) = ax² + by² +cxy + dx + ey + f = 0, 
sendo a, b, c, d, e, f números reais com a² + b² + c² > 0. 
 
Exemplos de cônicas: 
1- O conjunto vazio: g(x,y) = x² + y² + 1 = 0. 
2- Um ponto: g(x,y) = x² + y² = 0. 
3- Uma reta: g(x,y) = (x+y)² = x² + 2xy + y² = 0. 
4- Reunião de duas retas paralelas: g(x,y) = (x+y)(x+y+1) = x² +2xy+y²+x+y = 0. 
5- Reunião de duas retas concorrentes: g(x,y) = (x+y) (x-y) = x² - y² = 0. 
6- Elipse: g(x,y) = x2 + 2y2 – 1 = 0. 
7- Hipérbole: g(x,y) = x2 – y2 – 1 = 0. 
8- Parábola: g(x,y) = x – y2 = 0. 
9- Circunferência: g(x,y) = x² + y² - 1 = 0. 
 
De fato, estes são todos os tipos possíveis de cônicas, mais precisamente, tem-se: 
 
Proposição: Fixemos um sistema ortogonal de coordenadas (O, ji rr, ) em E2. Seja Ω 
um subconjunto de E2. Então Ω é uma cônica se e somente se Ω é de um dos tipos 
listados acima (Boulos e Camargo [1], Apêndice C). 
 
 
1.2 GeoGebra – noções básicas 
 A Interface do software é constituída de uma janela inicial (figura abaixo) 
que se divide em uma área de trabalho (à direita – que referiremos também às vezes 
como parte geométrica), uma Janela de Álgebra (à esquerda, que pode ser fechada 
se necessário) e um campo de Entrada (que fica abaixo). 
 
Figura 1.2.1 – Tela inicial do GeoGebra 
 6 
 
 O Geogebra é um software gratuito e pode ser obtido facilmente em sites de 
busca ou nos endereço http://www.geogebra.org/cms/. 
 O campo de Entrada é usado para escrever as coordenadas de pontos a 
serem marcados/representados na tela, equações, comandos e funções, diretamente; 
e esses objetos serão mostrados na área de trabalho, imediatamente após pressionar 
a tecla Enter. 
Observamos que no Geogebra, o sistema decimal usa ponto ao invés de 
vírgula, assim usa-se (na caixa de entrada) 3.4 ao invés de 3,4. 
A área de trabalho possui um sistema de eixos cartesianos onde o usuário 
pode fazer as construções geométricas (diretamente, com o uso do mouse, ou usando 
a Entrada) e ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes são 
mostradas na janela algébrica. 
Ao clicar em um dos itens/comandos do menu: Arquivo, Editar, Exibir, 
Opções, Ferramentas, Janela, ou Ajuda (que tem em geral funções coerentes com o 
próprio nome) e mantendo o botão do mouse apertado aparecerão sub-comandos que 
podem ser selecionados para serem aplicados. Por exemplo, se a janela de álgebra 
não esteja ativada, para ativá-la basta clicar em Exibir, no menu, e selecionar Janela 
de Álgebra. Neste mesmo item (Exibir) podemos também, ativar/desativar os Eixos, 
a Malha, além de outras funções: 
 
Figura 1.2.2 – Explorando o comando Exibir 
 
A barra de ferramentas inicial é composta de 11 caixas de ferramentas 
(ícones) cada uma delas é indicada por um quadradinho com uma figura, e é de fato 
composta de outras ferramentas/ícones relacionadas com a função inicialmente 
descrita na figura. 
 
 
Figura 1.2.3 - Barra de ferramentas - inicial 
 
Para fins didáticos enumeraremos as caixas de ferramentas, da barra inicial, de 01 
a 11 (da esquerda para a direita). Para ter acesso a uma das ferramentas 
(comandos/ ícones) dentro de uma caixa de ferramentas, basta clicar na seta do 
canto inferior direito de cada caixa de ferramenta\ícone e manter o botão esquerdo 
do mouse pressionado deslizando para baixo até o ícone/ferramenta de interesse. 
Mostramos abaixo as ferramentas/comandos do ícone Polígono (caixa de 
ferramenta no. 5): 
 
Figura 1.2.4 – Ícone/caixa de ferramenta Polígono 
 7 
É interessante observar que ao selecionar uma ferramenta/ícone obtemos no 
lado direito da Barra de ferramenta inicial a informação de qual é a função desse 
ícone, por exemplo, se selecionamos no penúltimo caixa o ícone , aparecerá à 
informação: “Inserir Texto – Clique na área de trabalho ou em um ponto para criar 
um texto”, como mostra a figura: 
 
Figura 1.2.5 – Detalhes – Ícone Texto 
 
Outro ícone, ainda na penúltima caixa, é o Seletor, que é mostrado na figura 
seguinte. Esse ícone é muito usado para descrever, por exemplo, uma função que 
depende de um parâmetro “a” que pode variar num certo intervalo. Mais 
especificamente, após representar na área de trabalho um Seletor nomeado, 
suponhamos de “a” (com as especificações desejadas), podemos definir, por exemplo, 
na Entrada, a função y= a*x+2, ou o ponto (a, 0) e conforme movimentamos o Seletor 
“a”, os objetos também se movimentam, de acordo com o intervalo selecionado (para 
“a” variar). 
 
 
Figura 1.2.6 – Ícone Seletor 
 
Motivados por essa facilidade, não descreveremos aqui cada uma das 
ferramentas/ícones, mesmo porque não é nosso objeto fazer um estudo dos 
comandos/ícones do Geogebra, mas sim utilizá-lo no estudo de certos conteúdos 
matemáticos como polígonos, funções reais, e cônicas, como já citado no início. 
Ressaltamos também que em Ajuda obtemos importantes informações para o 
estudo/desenvolvimentos de atividades com o GeoGebra. 
 
 
 
Figura 1.2.7– Menu: Ajuda 
 
Para mudar a cor e/ou espessura de um objeto: Clique sobre o objeto com o botão 
direito do mouse, a seguir clique em Propriedades e em Cor, para mudar sua cor, e 
em Estilo (selecionado a seguir o nível de espessura) para mudar a espessura do 
objeto: 
 
Figura 1.2.8 – Sobre Cor e Espessura 
 8 
Observamos que essa janela também é obtida no menu - Editar – Propriedades). 
Podemos adequar a área de trabalho para melhor visualização de uma 
construção/figura apresentada, usando a ferramenta Zoom. Para isso clique na tela 
(na parte geométrica) com o botão do mouse direito e aparecerá uma tela como a da 
Figura 8, selecione então a melhor aproximação. 
 
 
Figura 1.2.9 – Janela de Visualização - Ferramenta Zoom 
 
 Às vezes, para melhor visualização da área de trabalho (parte geométrica) é 
interessante também deslocar os eixos, para tanto devemos selecionar Deslocar 
Eixos na última caixa de ferramentas e depois clicar na área de trabalho e, mantendo 
o botão esquerdo do mouse apertado, deslocamos “a tela/área de trabalho" de modo 
conveniente. 
 Observamos que paraobter grande parte dos elementos/representações 
geométricas com o GeoGebra como, por exemplo, pontos, retas, polígonos, basta 
selecionar o ícone adequado, na barra de ferramentas de acesso rápido e em seguida 
clicar na parte geométrica da janela inicial do GeoGebra, que facilmente o elemento 
desejado seja representado. 
Para representar o gráfico das funções, e em geral, em atividades de 
Geometria Analítica Plana, necessitamos de um sistema cartesiano ortogonal. Para 
obter isso procedemos do seguinte modo (já mencionado antes): 
Para obter os eixos: Clique em Exibir no menu e logo depois em Eixos. 
Para obter a malha ou grade: clique novamente em Exibir e selecione agora Malha. 
Na tela, na parte geométrica, irá aparecer uma grade (com distância de 1 cm entre os 
seus pontos consecutivos alinhados – que pode ser alterada se usamos a ferramenta 
Zoom), como mostra a figura: 
 
 
Figura 1.2.10 – Eixos e Malha 
 9 
Observação: Podemos copiar um trabalho feito na tela do GeoGebra e colar num 
arquivo do Word, ou Paint, por exemplo. Isso pode ser feito abrindo o arquivo 
desejado do GeoGebra, clicando em Arquivo, Exportar e selecionado, na tela que 
aparece, Copiar para a Área de Transferência (Ctrl+Shift+C). Depois no arquivo (que 
se pretende copiar – Word, por exemplo) use Ctrl+V para colar. 
 
1.3 Atividades com o GeoGebra: 
 
Atividade 1: Representar geometricamente as cônicas dadas pelas equações: 
(a) reduzida: 1
4
y
9
x
22
=+ , (b) 1
4
2)-(y
9
1)-(x 22
=+ 
(a):
 
 
Figura 1.3.1 – Elipse (dada por equação reduzida) 
Conhecendo os focos e um ponto da elipse, podemos usar o ícone/ferramenta Elipse 
 para obter a sua representação geométrica. No caso os focos são F1=(- 5 ,0) 
e F2=( 5 ,0), e tomaremos como ponto da elipse o vértice B2=(0,2). Para 
representar os focos entre na Janela Algébrica com os pontos (-sqrt(5),0) e depois 
(sqrt(5),0). Para renomear os pontos (ou objetos) clique com o botão do mouse 
direito na letra/nomenclatura existente, selecione Renomear na 
caixa que irá abrir e em seguida digite o novo nome/ letra desejada. Os focos 
(vértices) podem ser ainda obtidos digitando no campo Entrada Foco[c] (Vértice [c]), 
onde c é a letra que indica/nomea a elipse na tela de trabalho. Vejamos (b): 
 
 Figura 1.3.2 – Elipse (transladada) 
 10 
Atividade 2: Representar geometricamente as cônicas dadas pelas equações: 
(a) reduzida: 1)
ac
y
a
x(
4
y
9
x
22
2
2
222
=
−
−=− , 
 
(b) .1
4
2)-(y
9
1)-(x 22
=−
 
(a): 4 = b2 = c2-a2 = c2 – 9 ⇒ c2 = 9 + 4 =13 ⇒ c ~ 3.61 
 
 
Figura 1.3.3– Hipérbole (dada por equação reduzida) 
 
(b): 
 
 
Figura 1.3.4 – Hipérbole (transladada) 
 
Atividade 3: Representar as cônicas dadas pelas equações: 
(a) reduzida: y2 -5x = 0, (b) (y-2)2 -5(x -1) = 0. 
 
(a): 
 11 
 
 
Figura 1.3.5 – Parábola (dada por equação reduzida) 
 
Note que a equação é do tipo y² = 4px, e diretriz x = - p. Assim o foco é F= (5/4, 0) e 
a reta diretriz é x = -5/4. Tendo o foco e vértice, a parábola pode ser então obtida 
usando a ferramenta Parábola na caixa de no 7 . 
(b): 
 
 
Figura 1.3.6 – Parábola (transladada) 
 
Atividade 4. Dada a parábola de equação y2 - 8x - 6y - 23 = 0. Represente 
geometricamente: (1) usando a equação algébrica, (2) usando o ícone/ferramenta 
Parábola, e o foco e a diretriz (para isso complete quadrados: y2 - 8x -6y – 23 = 0 ⇒ 
y2 -6y = 8x+23 ⇒ y2 - 6y + 9 = 8x+23+9 ⇒ (y-3)2 = 8(x+4) ⇒ V=(- 4, 3), foco F = (-2,3) 
=(2,0)+(- 4,3) e diretriz r: x = - 6 = -2 +(-4)). 
 12 
 (aqui usamos a ferramenta Zoom) 
Figura 1.3.7 – Parábola 
 
Atividade 5. Representar e classificar a cônica de equação: 3x2 + 12xy + 8y2 –18x – 
28y + 11 = 0. 
 
 
Figura 1.3.8 – Cônica (hipérbole) 
 
Pelo gráfico observamos que a cônica é uma hipérbole. 
 
Alguns exercícios gerais 
 
 Representar e classificar as cônicas de equação: 
1. 2x2 – 12xy + 7y2 + 8x + 20y – 14 = 0, 
2. 9x2 – 4y2 – 18x – 16y – 7 = 0, 
3. 16x2 – 24xy + 9y2 – 38x – 34y + 71 = 0, 
4. 35x2 – 2xy + 35y2 – 34x – 34y – 289 = 0, 
5. 4x2 – 4xy + y2 – 2x + y + 1/5 = 0. 
 13 
Capítulo 2 - Introdução ao estudo 
de Quádricas com o Maple. 
 
 
 2.1 Quádricas – uma introdução 
 Chama-se Quádrica ou Superfície Quádrica ao conjunto dos pontos P = 
(x,y,z) em E3 tais que G(x,y,z) = ax² + by² +cz2+dxy + exz + fyz + gx + hy +iz + j = 0, 
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, são números reais, com a, b, c, d, e, f, não 
simultaneamente nulos. Os exemplos mais interessantes de quádricas são o 
elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, 
parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico ou sela. 
 Segundo Boulos e Camargo ([1], cap. 25), o nome quádrica vem do fato que 
as equações que as descrevem são equações do segundo grau, ou equações 
quadráticas. 
 
 São exemplos de quádricas: 
1. Elipsóide: Um subconjunto S de E3 é um elipsóide se existe um sistema ortogonal 
de coordenadas e números a, b e c positivos tais que: 
S = { P = (x,y,z) ; x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 }. 
No caso particular em que a2=b2=c2, temos a equação de uma superfície esférica: 
x2 + y2 + z2 = a2. 
 
2.Hiperbolóide de uma folha: Um subconjunto S de E3 é um hiperbolóide de uma 
folha se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a, b e c tais que: 
S = {P = (x,y,z) ; x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 }. 
São também equações de hiperbolóide de uma folha, -x2/a2 + y2/b2 +z2/c2 = 1 e 
x2/a2 - y2/b2 + z2/c2 = 1 (um dos sinais é negativo). 
 
3. Hiperbolóide de duas folhas: Um subconjunto S de E3 é um hiperbolóide de 
duas folhas se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a, b e c 
positivos tais que: S = { P = (x,y,z) ; -x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 }. 
Como no caso de h. de 1 folha têm-se outras equações similares para o de 2 folhas. 
 
4. Parabolóide elíptico: um subconjunto S de E3 é um parabolóide elíptico se existe 
um sistema ortogonal de coordenadas e números a e b positivos tais que: S= { P = 
(x,y,z) ; z = x2/a2 + y2/b2 }. Quando a=b, o parabolóide elíptico é um parabolóide de 
rotação. 
 
5. Parabolóide hiperbólico: um subconjunto S de E3 é um parabolóide hiperbólico 
(ou sela) se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a e b positivos 
tais que: S= { P = (x,y,z) ; z = -x2/a2 + y2/b2 }. 
 
6. Cone elíptico (ou quádrica cônica elíptica): é uma superfície quádrica cuja 
equação padrão é da forma: x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 0 (ou equivalentemente, x2/a12 + 
y2/b12 = z2 (Quando a = b, obtém-se uma quádrica cônica de rotação. Também é 
equação de um cone elíptico uma equação do tipo x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 0 ou -x2/a2 
y2/b2 - z2/c2 = 0 (ou seja nem todos os sinais do lado esquerdo são iguais). 
 
7. Quadricas cilíndricas: uma quádrica S é cilíndrica elíptica (também referida 
como cilindro elíptico) ou cilíndrica hiperbólica (cilindro hiperbólico) ou cilíndrica 
parabólica (cilindro parabólico) se existem números reais positivos e um sistema 
 14 
ortogonal de coordenadas em relação a qual S pode ser descrita, respectivamente, 
pelas equações: 
x2/a2 + y2/b2=1 (a≠b); x2/a2 - y2/b2 =1; y2 = cx. 
Se na primeira equação consideramos a = b (a equação fica x2 + y2 = a2) e obtemos a 
quádrica é denominada quádrica cilíndrica de rotação (ou cilindro reto ou circular). 
 
Outros exemplos de quadricas (chamadas degeneradas): 
1- O conjunto vazio: G(x,y,z) = x² + y² + z2 + 1 = 0. 
2- Um ponto: G(x,y,z) = x² + y² +z2 = 0. 
3- Uma reta:G(x,y,z) = x² + y² = 0. 
4 - Um plano G(x,y,z) = x² = 0. 
5- Reunião de dois planos paralelos: G(x,y,z) = x² - 4=0. 
6- Reunião de dois planos transversais: G(x,y,z) = x²/4 - y² /9= 0. 
 
 De fato, os exemplos de quádricas apresentados anteriormente, juntamente 
com estes de quádricas degeneradas nos dão todos os tipos possíveis de quádricas 
(Boulos e Camargo [1], cap. 25, p. 428). Pela rotação ou translação do sistema 
coordenado de E3, é possível transformar uma equação geral de uma quádrica em 
certas formas padronizadas, de modo a reconhecê-la. 
 
 
2.2 Maple – noções básicas 
 O Maple é um software com vários recursos que pode auxiliar muito no ensino 
e aprendizagem de Matemática do ensino básico à universidade, além de ser muito útil 
em pesquisas. Não é um software gratuito como o GeoGebra. 
 Para iniciar o Maple clique duas vezes no ícone Maple. Para sair do Maple, 
clique em Arquivo (file) e, em seguida, clique em Sair (exit). Para salvar o conteúdo, 
após o término das tarefas, proceder da seguinte maneira: 
* clicar em Arquivo/(file); 
* clicar em Salvar como/ save us; 
* nomear o arquivo; 
* escolher a unidade de disco desejada; 
* Para terminar, clicar em OK. 
 
Observação: Sempre que alterado o conteúdo, deve-se usar a opção Salvar/Save 
para salvar as alterações. Já existem várias versões do MAPLE. O MAPLE possui 
um sistema de ajuda ao usuário. Para acessar basta clicar na barra de menu em 
Ajuda (Help) e, em seguida, em um dos tópicos. No Maple 16, tem-se, por exemplo: 
Ajuda do Maple, Excursão pelo Maple, Referência Rápida, Ajuda Rápida. Para ser 
mais específico na busca, clique em Ajuda do Maple e, no espaço reservado para 
busca a esquerda, sabendo o nome do comando sobre o qual se tem dúvidas, digite 
"?nome" onde "nome" é o nome do comando desejado e em seguida a tecla enter 
(por exemplo, digitando ?plot e selecionando procurar por texto, obtemos vários itens 
relacionados ao comando plot). Uma descrição completa das opções do comando plot 
pode ser obtidas através do Ajuda digitando-se ?plot[options]. 
 
Símbolos: 
+ Adição, - Subtração, * Multiplicação, / Divisão, ^ Potenciação, 
sqrt(x) x (Raíz quadrada de x), Pi Número Irracional pi ,
 
 exp(1), Número de 
Euler eeee
, 
 abs(x) Valor absoluto de x (|x|), ! Fatorial. 
 
Definindo Variáveis: 
Para fazer a variável x receber um valor n, onde n é um número qualquer, digitamos o 
comando de atribuição := (dois pontos seguidos do sinal de igual). 
 15 
> x:=5; 
x:= 5 
Para remover o valor atribuído à variável x, digitamos o comando unassign. 
> unassign('x'); 
Observação: As letras E e I não podem ser usadas para definir novas variáveis pois 
elas já representam números pré-definidos. 
 
Expressões Algébricas: x 
As operações básicas que podem ser feitas numa calculadora podem também ser 
feitas no MAPLE V. Observe: 
> x:=1; 
x: = 5 
> y:=2; 
y: =2 
> z:=-2; 
z:= -2 
 
> z^y; 
4 
> sqrt(y); 
2 
Como visto, um comando só é executado quando finalizado por ";" (ponto e vírgula) ou 
":" (dois pontos). No caso dos ":" , o resultado não é exibido na tela, fica armazenado. 
Isso é útil para economizar espaço quando se tem vários comandos ou quando se faz 
um programa. 
 Podemos digitar vários comandos numa mesma linha. 
> x+y; y-z; x*z; 
3 
4 
-2 
Em uma expressão numérica a ordem de resolução das operações deve ser 
explicitada pelo uso de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, se necessário. 
> (x+z)*y; 
-2 
Comando Restart: Este comando "limpa" os comandos anteriores o que é importante 
para não sobrecarregar a memória do computador.O comando restart, no início, 
permite por exemplo, que você use a mesma letra para definir uma nova função. 
> restart; 
 
Gráficos de Funções de uma Variável: Gráficos de funções reais de uma variável 
real são obtidos no Maple com o comando plot. Na sua forma mais simples, uma 
chamada do comando plot é assim: > plot(f(x), x=a..b); onde f(x) é a função e a..b 
especifica o intervalo [a,b] do eixo horizontal no qual f será desenhada. A escala no 
eixo vertical será tomada pelo Maple de modo a oferecer uma melhor visualização, 
sendo em geral diferente da escala no eixo horizontal. É claro que a função f deve ser 
conhecida do Maple. Existe uma série de funções que fazem parte do programa e 
podem ser usadas livremente. 
Por exemplo, a função cos(x) é conhecida pelo MAPLE, assim podemos usar 
> plot(1+cos(x), x=-6..6); 
Para a função seno, usa-se sin(x). Quando a função não é conhecida pelo Maple, isto 
é, não faz parte do pacote de funções do Maple, ela precisa ser definida. Por exemplo, 
a função f(x) = x - 1/x, pode ser assim definida : 
> f:=x->x-1/x: 
> plot(f(x),x=0..5); 
 16 
 
 Algumas opções do comando plot aparecem numa barra de menu exibida 
quando o gráfico é selecionado. Por exemplo, para ver o gráfico com os eixos na 
mesma escala, basta clicar no ícone [1:1] que aparece quando se seleciona o gráfico 
através de um clique do mouse na região do mesmo. No entanto, a maioria das 
opções, deve (e pode) ser colocada dentro do comando plot. Usando por exemplo a 
opção scaling=constrained dentro do comando plot, o gráfico também será mostrado 
com as mesmas escalas nos dois eixos. Exemplo: 
> f: = x -> x-1/x: 
> plot(f(x), x=0..5, scaling =constrained); (aqui uma função f(x) deve ser dada). 
Devemos ter muita atenção/cuidado, pois o Maple é muito sensível à sintaxe. Não se 
pode colocar, por exemplo: > plot(f(x), x=a..b), sem especificar um dos valores para a 
ou b, que aparecerão mensagens de erro. Também o Maple não aceita x=a...b (três 
pontos), novamente uma mensagem de erro será dada. 
 É interessante observar que, a não observação cuidadosa da escala vertical 
pode levar a interpretações errôneas do comportamento da função. Às vezes é 
necessário alterarmos a escala vertical, introduzindo a variação no eixo vertical y para 
melhorarmos a visualização do gráfico como no exemplo: 
> plot(f(x),x=0..5,y=0..9); 
 Quando as informações dadas a..b que especificam o intervalo [a,b] do eixo 
horizontal x, e c..d do eixo vertical y, não são bem escolhidos a representação 
geométrica fica prejudicada; torna-se necessário uma nova escolha. 
 
Vejamos uma situação interessante: 
> plot(3+sin(x), x=-Pi..Pi); nos fornece: 
 
 
> plot(3+sin(x), x=-Pi..Pi, y= -1..5); nos dá a representação: 
 
 
Gráfico de relações: Relações entre as variáveis x e y na forma implícita são 
desenhadas usando o comando implicitplot. 
O comando implicitplot (precedido do comando plot) é usado no caso bi-dimensional, 
como por exemplo, para representar as cônicas: 
 17 
> implicitplot(expr, x=a..b, y=c(x)..d(x), options) 
onde expr indica uma expression or equation depending on x and y. 
Representando uma elipse: 
> restart: with(plots): 
> implicitplot(x^2/9+y^2/4=1, x=-5..5,y=-5..5,thickness=2); 
ou simplesmente, 
> implicitplot(x^2/9+y^2/4=1, x=-5..5,y=-5..5,thickness=2); 
 
O comando implicitplot3d (precedido do comando plot) é usado no caso tri-
dimensional, como por exemplo, para representar as quádricas: 
>implicitplot3d(expr, x=a..b, y=c..d, z=p..q, options) 
onde expr indica uma expression or equation depending on x, y e z. 
 
Outras opções (importantes) do comando plot: 
1) numpoints=n 
Especifica o número de pontos n a ser tomado para gerar o gráfico. Às vezes é preciso 
aumentar o número de pontos para se ter uma melhor avaliação do gráfico (ver por 
exemplo, atividade 3, exemplo 5, abaixo), como mostra o exemplo seguinte: 
> plot(sin(x), x = 0..4*Pi, y=-1..1, numpoints = 300); 
 
2) Style=estilo. 
O estilo usado em geral (para representação de curvas) é o line, em que os pontos 
usados para gerar o gráficosão ligados por uma curva. Um outro possível é point, em 
que só os pontos são mostrados. No caso de superfícies podemos usar, por exemplo, 
style=patchnogrid, style=wireframe, style=contour, 
 
3) title= ‘titulo’ 
 Especifica o título do gráfico. O padrão é sem título. O titulo deve ser um conjunto de 
caracteres colocados entre dois acentos graves. Exemplo: 
> plot(f(x), x=-2..2, style=point, title = ‘Gráfico de f(x)’); 
 
4) thickness= n 
Especifica a grossura da linha do gráfico. O padrão é n=0, e outros valores possíveis 
vão de 1 a 15 para exibição no vídeo (imprimível até n=5). 
 
5) color=cor 
Especifica a cor do gráfico. É útil quando se quer obter várias funções num mesmo 
gráfico. A cor padrão é red. Algumas possíveis cores são aquamarine, black, blue, 
cyan, brown, gold, green, gray, khaki, magenta, maroon, orange, pink, sienna, 
turquoise, violet e yellow. Outras tonalidades podem ser criadas, consultando a 
Ajuda/Help através do comando ?plot[color]. 
 
6) tickmarks=[m,n] 
 Especifica o número de marcas numeradas nos eixos horizontal (m) e vertical (n), 
além da marca da origem. Pode-se usar ainda as opções xtickmarks=m ou 
ytickmarks=n para alterar as marcas apenas em um dos eixos. 
 
7) axesfont=[fonte, n] 
Define o tipo de fonte e o tamanho n usados na numeração dos eixos ou no título do 
gráfico. fonte pode ser times, courier, helvetica ou symbol. Admite ainda as opções 
bold e italic. 
8) linestyle=n 
 Indica o estilo da linha do gráfico. Os valores possíveis para n vão de 1 (linha sólida, 
que é o padrão) até 4 (interrompida-pontilhada). 
 18 
9) axes=eixo 
Especifica o sistema de coordenadas. O padrão é eixo normal (no caso de figuras 
planares). Já em superfície, em geral não aparecem os eixos. Algumas possibilidades 
interessantes são axes=boxed e axes=framed. Se clicamos sobre uma 
superfície/figura apresentada pelo Maple, aparecerá na barra acima várias 
ferramentas, dentre elas (que nos fornecerá os vários estilos - Estilo de eixo em 
caixa (boxed), em moldura (framed), normal e nenhum estilo de eixo). Clicando nessa 
ferramenta, e selecionado um dos estilos, esse será aplicado/incorporado 
imediatamente na figura que estava representada. No caso de representação no 
plano, o procedimento é similar. 
 
 
2.3 Atividades com o Maple: 
 Usando os recursos do Maple podemos visualizar melhor as quádricas e 
observar determinadas propriedades. Analisaremos também algumas seções cônicas 
em quádricas. 
 
Atividade 1: Representar o elipsóide dado pela equação abaixo (colocar título): 
15
254
222
=++
zyx
 
Comandos: 
>restart; with(plots): implicitplot3d(x^2/4 + y^2/5 + z^2/2 = 15, x= -10..10, y = -
10..10, z = -10..10, title = ‘Elipsoide’, thickness = 1, numpoints = 4000); 
 
ou simplesmente: 
> implicitplot3d(x^2/4 + y^2/5 + z^2/2 = 15, x= -10..10, y = -10..10, z = -10..10, title 
= ‘Elipsoide’, thickness = 1, numpoints = 4000); 
 
Observação: ao digitar x^2/4 + y^2/5 + z^2/2 = 15, na tela do Maple 16, aparecerá 
15
254
222
=++
zyx
. 
 
Figura 2.3.1 - Elipsóide 
(Os eixos foram obtidos, clicando no elipsóide e selecionando na caixa , como já 
mencionado o item corresponde ao eixo axes=boxed). 
Exercícios: 1) Representar o elipsóide de equação x2/4+y2/5+z2/16=15, utilizando a 
mesma variação para x, y e z do exemplo anterior, o que ocorre com a superficie? 
 19 
2) Representar o elipsóide de equação x2/4+y2/5+(z-4)2/2=15. Comparar com o 
primeiro elipsóide, o que ocorreu? 
 
Atividade 2: Representar o hiperbolóide de uma folha dado pela equação 
x2/2+y2/2-z2/3 = 20. 
Comandos: 
> implicitplot3d(x^2/2+y^2/2-z^2/3 = 20, x = -15..15, y = -15..15, z = -15..15, title = 
‘Hiperboloide1folha’, thickness = 2, numpoints = 1000); 
 
Figura 2.3.2 – Hiperbolóide de uma folha 
 
Atividade 3: Representar o hiperbolóide de duas folhas dado pela equação 
-x2/2+y2/2-z2/3 = 20. 
Comandos: 
> restart; with(plots):implicitplot3d( -x^2/2 + y^2/2 –z^2/3 = 20, x = -60..60, y = -
60..60, z = -100..100, title = ‘Hiperboloide2folhas’, thickness = 2, numpoints = 
4000); 
 
Figura 2.3.3 - Hiperbolóide de duas folhas 
 
Atividade 4: Representar o parabolóide elíptico dado pela equação x2/5+y2/6 = z. 
Comandos: 
> restart; with(plots):implicitplot3d(x^2/5 + y^2/6 = z, x= -10..10, y = -13..13, z = -
5..5, title = ‘ParaboloideEliptico’, thickness = 2, numpoints = 4000); 
 20 
 
Figura 2.3.4 - Parabolóide elíptico 
 
Atividade 5: Representar o parabolóide hiperbólico dado pela equação 
-x2/2+y2/2=z. 
Comandos: 
> restart; with(plots):implicitplot3d(-x^2/2 + y^2/2 = z, x = -50..50, y = -30..30, z 
= -200..200, title = ‘ParaboloideHiperbolico’, thickness = 2, numpoints = 4000); 
 
Figura 2.3.5 - parabolóide hiperbólico (ou sela) 
Exercício: Represente o parabolóide hiperbólico acima, usando style= patchnogrid e 
color=blue. 
 
Atividade 6: Representar o cone elíptico dado pela equação x2/5+y2/6-z2/3=0. 
Comandos: 
> restart; with(plots):implicitplot3d(x^2/5 + y^2/6 – z^2/3 = 0, x = -50..50, y = -
30..30, z = -20..20, title = ‘Cone’, thickness = 2, numpoints = 4000); 
 
Figura 2.3.6 – Cone Elíptico 
 21 
Observe a falha do Maple (a figura inicialmente apresentada (1a) não parece um 
cone). Repita, porém usando agora a opção numpoints= 800000 (2ª Figura). 
 
Atividade 7: Representar o cilindro elíptico dado pela equação x^2/6 + y^2/16 = 1. 
Comandos: 
> restart; with(plots):implicitplot3d(x^2/6 + y^2/16 = 1, x = -5..5, y = -5..5, z= -
5..5, title = ‘Cilindro eliptico’, numpoints = 4000); 
 
Figura 2.3.7 – cilindro elíptico 
 
 
 Seções em quádricas: 
 Usaremos as potencialidades do software Maple para poder visualizar algumas 
seções em quádricas. As seções de uma superfície são as curvas de interseção da 
superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Por exemplo, as equações 
das seções paralelas ao plano yz, são obtidas fazendo x = k, sendo k uma constante. 
Seguem abaixo alguns exemplos de seções em quádricas. Para tanto temos que 
plotar dois gráficos num mesmo sistema de coordenadas. Podemos obter também 
seções intersectando com outros planos. 
 
1) Seção em um elipsóide: 
comandos: 
> with(plots): graficos := implicitplot3d(x^2/4 + y^2/16 +z^2/9 = 1, x = -2..2, y = -
4..4, z = -4..4, numpoints = 4000), implicitplot3d(z = 0, x = -3..3, y = -5..5, z = -5..5, 
thickness = 5, color = blue): display ([graficos]); 
 
Figura 2.3.8 – seção em um elipsóide 
As interseções pode ser obtidas também utilizando os comandos como no exemplo 
seguinte: 
 22 
> fig1: = implicitplot3d((x^2/4 + y^2/16 +z^2/9 = 1, x = -2..2, y = -4..4, z = -4..4, 
axes=boxed, style=patchnogrid): fig2:= implicitplot3d(z = 0, x = -3..3, y = -5..5, z = 
-5..5, style=patchnogrid , thickness = 5, color = yelow): display ({fig1,fig2}); 
 
1) Seção em um hiperbolóide de uma folha: 
No exemplo que segue abaixo plotamos dois gráficos num mesmo sistema de 
coordenadas, sendo um dos quais um hiperbolóide de uma folha e outro um plano. Vê-
se que a interseção dos dois gráficos produziu uma hipérbole 
 
Comandos: 
> graficos := implicitplot3d(x^2/4 + y^2/5 – z^2/7 = 1, x = -7..7, y = -7..7, z = -7..7, 
numpoints = 4000), implicitplot3d(x+2*y = 1, x = -7..7, y = -7..7, z = -7..7, thickness 
= 5, color = grey): display ([graficos]); 
 
Figura 2.3.9 – seção de um plano em um hiperbolóide de uma folha 
 
Mudando sensivelmente a inclinação do plano interceptor notamos que a interseção 
obtida é uma elipse. 
Comandos: 
> gráficos:= implicitplot3d(x^2/4 + y^2/5 –z^2/7 = 1, x = -9..9, y = -9..9, z = -9..9, 
numpoints = 4000), implicitplot3d(y+z = 1, x = -7..7, y = -7..7, z = -9..9, thickness = 
5, color = grey, numpoints = 1500): display(graficos]); 
 
Figura 2.3.10 – seção de um plano em um hiperbolóidede uma folha 
 
Alguns exercícios gerais 
 
1. Representar os hiperbolóides de uma folha e analisar características existentes 
entre eles: -x2/4 +y2/4 + z2 /4 – 1 = 0; x2/4 - y2/4 + z2 /4 – 1 = 0; x2/4 +y2/4 -z2 /4 – 1 = 0. 
2. Representar e classificar as quádricas de equação: 
 23 
(1) 4x2 +4 y2+4 z2 +4xy + 4xz+4yz-8 = 0, 
(2) 5x2 +11 y2+2 z2 +16xy + 20xz-4yz-36 = 0, 
(3) x2 +y2 + z2 – 4yz – 1 = 0, 
(4) 2xy+z=0. 
3. (a) Represente um cilindro hiperbólico. 
(b) Represente uma quádrica degenerada dada por dois plano paralelos e uma outra 
dada por dois planos transversais 
4. Represente um cone e seções cônicas de modo a obter elipse, hipérbole e 
parábola. 
5. Usando o comando animate do Maple, observe no exemplo seguinte, como a 
variação do sinal de A, nos dá hiperbolóides de uma folha (para A > 0), um cilindro, 
(para A=0) e elipsóides (para A>0). 
 
> with(plots):animate(implicitplot(x^2/4 + A*y^2/4+z^2/4 =9, x = -9..9, y = -9..9, z = 
-9 ..9), A = -2..4, scaling=constrained, style patchcontour); 
(para obter a animação, clique na figura e depois na setinha a esquerda ou 
movimente ). 
 
 
Referências 
 
 
[1] P. Boulos, I. Camargo, Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial. Prentice Hall, 
São Paulo, 2005. 
[2] E.L.C. Fanti, Utilizando o software GeoGebra no ensino de certos conteúdos 
matemáticos, V Bienal da SBM, UFPB, C3, 2010. 
[3] E.L.C. Fanti, Introdução ao Maple - notas de aula - Disciplina Informática no ensino 
de Matemática – 2011. 
[4] E.L. Lima, P.C.P Carvalho, Coordenadas no Plano. Rio de Janeiro, 1982.

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